Geometri Analitik Bidang dan Ruang fileSetelah mengikuti perkuliahan Geometri Analitik Bidang dan Ruang, mahasiswa diharapkan memiliki pengetahuan dan pemahaman, serta mampu mengaplikasikannya

GEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN RUANG

sofyan mahfudy-IAIN Mataram

PERKENALAN

Nama : Sofyan Mahfudy

Tempat tgl lahir : Pacitan, 29 Maret 1985

Status : Menikah

Pendidikan : Universitas Muhammadiyah Surakarta dan

Universitas Sebelas Maret

Alamat : Perumahan LA Green, Terong Tawah, Labu Api

No. HP : 081 329 446 085/087 865 623 496

Email : [email protected]

Blog : http://bengkelmatematikakampus.wordpress.com


mailto:[email protected]

http://bengkelmatematikakampus.wordpress.com/

DESKRIPSI MATA KULIAH

Mata kuliah ini dimaksudkan supaya mahasiswa dapat memiliki pengetahuan, pemahaman tentang : Sistem koordinat kartesius, jarak dua titik, Persamaan garis lurus, Jarak dua garis lurus, Persamaan normal garis jarak titik dan garis, Lingkaran, Persamaan lingkaran, Kuasa dua lingkaran, Kedudukan garis dan lingkaran, Persamaan parabola, Persamaan ellips, Persamaan hiperbola, Sistem koordinat ruang, Persamaan bidang datar dan persamaan normal, Sudut antara dua bidang rata, Jarak antara titik bidang, dan bidang ke bidang, Garis lurus dalam ruang, Tempat kedudukan dalam ruang, dan Bola. Serta dapat mengaplikasikan teori yang ada dalam menyelesaikan soal – soal.


TUJUAN MATA KULIAH

Setelah mengikuti perkuliahan Geometri Analitik Bidang dan Ruang, mahasiswa diharapkan memiliki pengetahuan dan pemahaman, serta mampu mengaplikasikannya dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan Sistem koordinat kartesius, jarak dua titik, Persamaangaris lurus, jarak dua garis lurus, Persamaan normal garis jarak titik dan garis, Lingkaran, Persamaan lingkaran, Kuasa dua lingkaran, Kedudukan garis dan lingkaran, Persamaan parabola, Persamaan ellips, Persamaan hiperbola, Sistem koordinat ruang, Persamaan bidang datar dan persamaan normal, Sudut antara dua bidang rata, jarak antara titik bidang, dan bidang ke bidang, Garis lurus dalam ruang, Tempat kedudukan dalam ruang, dan Bola.


RENCANA PERKULIAHANPertemuan 1 Sistem koordinat kartesius, jarak dua titik

Pertemuan 2 Persamaan garis lurus, jarak dua garis lurus

Pertemuan 3 Persamaan normal garis jarak titik dan garis

Pertemuan 4 Lingkaran

Pertemuan 5 Persamaan lingkaran, kuasa dua lingkaran

Pertemuan 6 Kedudukan garis dan lingkaran

Pertemuan 7 Persamaan parabola

Pertemuan 8 Persamaan ellips

Pertemuan 9 UTS

Pertemuan 10 Persamaan hiperbola

Pertemuan 11 Sistem koordinat ruang

Pertemuan 12 Persamaan bidang datar dan persamaan normal

Pertemuan 13 Sudut antara dua bidang rata, jarak antara titik bidang, dan bidang ke bidang

Pertemuan 14 Garis lurus dalam ruang

Pertemuan 15 Tempat kedudukan dalam ruang

Pertemuan 16 Bola


REFERENSI

• D Suryadi H.S. Teori dan Soal: Ilmu Ukur Analitik Ruang. Fakultas MIPA Universitas Indonesia. 2001

• Sukirman. Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Universitas Terbuka (dalam proses pemesanan)

• E-book (file): silahkan download di http://bengkelmatematikakampus.wordpress.com


http://bengkelmatematikakampus.wordpress.com/

KONTRAK KULIAH


BENTUK TUGAS

• Mahasiswa harus mengerjakan tugas yang diberikan. Tugas terbagi menjadi 2 bagian yaitu tugas I dan tugas II. Tugas I akan diberikan sebelum pelaksaanaan Ujian Tengah Semester (UTS) dan diserahkan pada saat pelaksanaan UTS sebagai prasyarat mengikuti UTS. Tugas II akan diberikan sebelum pelaksaanaan Ujian Akhir Semester (UAS) dan diserahkan pada saat pelaksanaan UAS sebagai prasyarat mengikuti UAS. Mahasiswa yang belum menyerahkan tugas tidak bias mengikuti ujian

• Kuis akan diberikan sebanyak 3 atau 4 kali


BENTUK TUGAS

• Ujian Tengah Semester (UTS) akan dilaksanakan pada pertemuan ke-9 dan Ujian Akhir Semester (UAS) akan dilaksanakan setelahpertemuan ke-16

• Mahasiswa harus mengikuti perkuliahan minimal 75% dari kehadiran. Jika kurang dari 75% kehadiran, maka mahasiswa“TIDAK DAPAT” mengikuti UAS. Jika pun diperbolehkan makaharus dengan “SYARAT PENUGASAN KHUSUS” dengan NILAI AKHIR akan dikurangi sesuai prosedur penilaian yang telah dibuat (dapat dilihat pada Kriteria Penilaian)


KRITERIA PENILAIAN

Penilaian akan dilakukan oleh dosen pengampu dengan menggunakan kriteria sebagai berikut ini:

• Penilaian akan dilakukan terhadap 3 komponen yaitu Nilai Tugas (T), Nilai Ujian Tengah Semester (U), dan Nilai Ujian Akhir Semester (A)

• Formula Penilaian adalah sebagai berikut:

• Nilai Akhir (NA) = 2 × T + 3 × U + (5 ×A)

10• Catatan: Jika persentase kehadiran mahasiswa < 70%, maka akan

digunakan penilaian dengan formula sebagai berikut:


10 × 80 %sofyan mahfudy-IAIN Mataram

KRITERIA PENILAIAN

Penilaian akan dilakukan oleh dosen pengampu dengan menggunakan kriteria sebagai berikut ini:

• Penilaian akan dilakukan terhadap 3 komponen yaitu Nilai Tugas (T), Nilai Ujian Tengah Semester (U), dan Nilai Ujian Akhir Semester (A).

• Formula Penilaian adalah sebagai berikut:





10 × 70 %


KRITERIA PENILAIAN





10× 80 %


Nilai Huruf (Kualitatif)Nilai Angka

(Kuantitatif)Bobot Nilai Predikat

A+ 91 – 100 4,00 Cumlaude

A 86 – 90 3,75 Sangat Memuaskan

A- 81 – 85 3,50 Memuaskan

B+ 76 – 80 3,25 Sangat Baik

B 71 – 75 3,00 Baik

B- 66 – 70 2,75 Cukup

C+ 61 – 65 2,50 Lebih dari cukup

C 56 – 60 2,25 Cukup

D < 55 2,25 Kurang

TATA TERTIB PERKULIAHAN & TES/UJIAN

• Batas toleransi keterlambatan adalah 10 menit dari waktu kehadirandosen

• Jika mahasiswa datang terlambat > 10 menit maka mahasiswa dapat mengikuti perkuliahan, TETAPI harus mengisi FORM KETERLAMBATAN yang berisi alasan keterlambatan, lama waktu keterlambatan, jam kedatangan, tanda tangan, dll. FORM diisi dengan JUJUR. Selanjutnya ini akan menjadi CATATAN KHUSUS bagi dosen yang dapat berdampak pada penilaian

• Jika dosen terlambat 30 menit tanpa ada keterangan/informasi maka perkuliahan dikosongkan. Mahasiswa yang hadir saat itu dihitungmasuk


TATA TERTIB PERKULIAHAN & TES/UJIAN

• Perilaku (attitude) mahasiswa dalam kelas akan menjadi catatan bagi dosen

• Mahasiswa yang tidak sopan dan tidak bisa diatur dikeluarkan dariruang kuliah

• Ketahuan mencontek pada saat ujian/tes/kuis maka jawaban tidakakan dikoreksi dan mendapatkan nilai 0. Oleh karena itu JUJUR-lahsaat ujian


GEOMETRI ANALITIK

Geometri analitik adalah suatu cabang ilmu matematika yang merupakan kombinasi antara aljabar dan geometri. Dengan membuat korespondensi antara persamaan matematika secara aljabar dengan tempat kedudukan secara geometrik diperoleh suatu metoda pemecahan masalah geometri yang lebih sistematik dan lebih tegas.

Masalah-masalah geometri akan diselesaikan secara aljabar (atau secara analitik). Sebaliknya gambar geometri sering memberikan pemahaman yang lebih jelas pada pengertian hasil secara aljabar.


Apa perbedaan geometri murni dengangeometri AnalitikLingkaran


Lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari jari 2 satuan misalnyadapat dinyatakan denganekspresi:

x2 + y2 = 4O 2

2

-2

-2

Garis Bilangan

Jarak antara dua buah titik pada garis adalah sama dengan nilai mutlakselisih kedua absis titik-titik tersebut.

Oleh karenanya pada gambar di atas jarak Antara titik x1 dan x2 adalahx1 − x2 atau x2 − x1

O x1x2


Garis Bilangan



O x1x2


Garis Bilangan



O x1x2


Koordinat Kartesius


Koordinat kartesius dikenalkan oleh Rene Descartes (1596-1650, Filsuf dan Matematikawan Perancis, terkenal dengan karyanya “La geometrie” (1937) dan ucapannya “Cogito ergo sum”). Dasarpemikirannya adalah bagaimana menunjukkankedudukan sebuah titik P pada bidang dengan duabilangan yang dituliskan dengan (x,y)

Koordinat Kartesius


Untuk merepresentasikan titik pada sebuah bidang dengan pasangan bilangan, kita tentukan dua garis bilangan bersilangan OX dan OY, dan tentukan skala pada masing-masing garis. Titik potong kedua garis itu digunakan sebagai titik pusat.

Bilangan positif ditempatkan pada sebelah kanan titik O garis mendatar OX dan sebelah atas titik O garis ke vertikal OY. Sedangkan bilangan negatif ditempatkan pada sebelah kiri titik O garis mendatar OX dan sebelah bawah titik O garis ke vertikal OY.

Koordinat Kartesius


Biasanya arah positif ditandai dengan tanda panah pada garis bilangan. Garis OX disebut sumbu-x dan garis OY disebut sumbu-y. Dua garis yang bersilangan itu disebut sumbu koordinat

Koordinat Kartesius


Bilangan-bilangan pada sumbuX disebut dengan absis danbilangan-bilangan pada sumbuY disebut ordinat. Keduasumbu membagi bidang datarmenjadi 4 bagian yaitu: kuadran I, kuadran II, kuadranIII, dan kuadran IV

X

Y

O

Koordinat Kartesius


Bilangan-bilangan pada sumbuX disebut dengan absis danbilangan-bilangan pada sumbuY disebut ordinat. Keduasumbu membagi bidang datarmenjadi 4 bagian yaitu: kuadran I, kuadran II, kuadranIII, dan kuadran IV

X

Y

kuadran Ikuadran II

kuadran III kuadran IV

O

Koordinat Kartesius

Dapat dibuat tabel tanda untuk setiap kuadran sebagai berikut:


Kuadran Tanda absis (𝑥) Tanda ordinat (𝑦)

I + +

II − +

III − −

IV + −

Koordinat Kartesius


Titik A (4,2) berada di kuadran I

Titik A memiliki absis 4 danordrdinat 2

Titik B (-2,-4) berada di kuadran III

Titik B memiliki absis -2 danordrdinat -4

X

Y

O

A

B

Latihan

Tentukan di kuadran manakah titik-titik berikut:

a. P (−2,6)

b. Q (−2,−6)

c. R (2,−6)

d. S (2,6)

Bangun apakah yang terbentuk jika keempat titik itu dihubungkan?

Berapa luas bangun tersebut


Latihan


a. P (−2,6)

b. Q (−2,−6)

c. R (2,−6)

d. S (2,6)


Berapa luas bangun tersebut


Latihan


a. P (−2,6)

b. Q (−2,−6)

c. R (2,−6)

d. S (2,6)


Berapa luas bangun tersebut?


Jarak antara dua titik sembarang

Jarak antara titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2) adalah

PQ = (x1 − x2)2+(y1 − y2)

2

X

Y

P

Q

x1 x2

y1

y2




PQ = (x1 − x2)2+(y1 − y2)

2

X

Y

P

Q

x1 x2

y1

y2




PQ 2 = (x1 − x2)2+(y1 − y2)

2

Karena jarak selalu bernilai positif, maka

PQ = (x1 − x2)2+(y1 − y2)

2

X

Y

P

Q

x1 x2

y1

y2




PQ 2 = (x1 − x2)2+(y1 − y2)

2

Karena jarak selalu bernilai positif, maka

PQ = (x1 − x2)2+(y1 − y2)

2

X

Y

P

Q

x1 x2

y1

y2


Darimana muncul rumustersebut?? DISKUSIKAN


Selanjutnya notasi jarak antara titikP(x1,y1) dan Q(x2,y2) adalah sama panjangruas garis PQ.

Sehingga dapat Anda tuliskan PQ = PQ

PQ = (x1 − x2)2+(y1 − y2)

2X

Y

P

Q

x1 x2

y1

y2


Latihan

a. Diketahui titik-titik: A (2,5), B (−4,6), C (1, −7)

Carilah AB , BC dan AC ? Manakah yang mempunyai jarak paling pendek?

b. Diketahui titik P (−3,2), Q (4,2) dan R (0,𝑦)

Carilah koordinat titik R sehingga luas segitiga PQR adalah sebesar28 satuan luas?


Latihan

c. Tunjukkan bahwa segitiga AOB dengan titik-titik sudutnya berupa titik pusat O, titik A (a, b), dan B ( ½(a + b 3), ½(b – a 3)) adalah sama sisi.

d. Jarak titik A (x, –5) ke titik B (–5, 4) adalah tiga kali terhadap jarak A titik itu ketitik C (10, –1). Tentukan nilai x (ada dua jawab)


Antara dua titik pada yang segaris


Misalkan B adalah titik yang terletakpada ruas garis AC

Dan diketahui A (xA,yA) dan C (xC,yC) serta perbandingan AB ∶ BC = p : q, maka dapatkah kita mencari koordinattitik B?

DISKUSIKAN TERLEBIH DAHULU

X

Y

O

C

A

B





DISKUSIKAN TERLEBIH DAHULU

X

Y

O

C

A

B





Diperoleh, koordinat titik B (xB,yB) dengan:

xB =𝑝xC+𝑞xA

𝑝+𝑞dan yB =

𝑝yC+𝑞yA

𝑝+𝑞

X

Y

O

C

A

B

Latihan

a. Diketahui titik A (5,2) dan C (−6,−4). Jika titik B terletak ditengah-tengah ruas AC. Tentukan koordinat titik B?

b. Diketahui titik P (1,7) dan Q (−2,5). Titik T adalah titik yang terletakdi ruas garis PQ dengan perbandingan PT : TQ = 3 : 1. Carilahkoordinat titik T?

c. Diketahui titik A, B, dan C segaris. Titik B terletak diantara titik A danC. Jika koordinat titik B (−2, −1) dan C (3,2) dan perbandingan AB: BC = 4 : 1. Carilah koordinat titik A?


Sistem koordinat polar/kutub

Cara lain untuk menentukan kedudukan suatu titik pada bidang adalahdengan sistem koordinat polar (kutub)

Untuk mengenal koordinat kutub, kita dapat memulai denganmenggambar sebuah setengah garis tetap yang dinamakan sumbukutub yang berpangkal di titik O. Titik tersebut dinamakan titik kutubatau titik asal. Biasanya sumbu kutub ini kita gambar mendatar danmengarah ke kanan oleh karena itu disebut sumbu 𝑥 positip padasystem koordinat cartesius


Sistem koordinat polar/kutub

Setiap titik 𝑃 adalah perpotongan antara sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di O dan sebuah sinar tunggal yang memancar dari O. Jika 𝑟adalah jari-jari lingkaran dan 𝜃 adalah salah satu sudut antara sinar dan sumbu kutub, maka (𝑟,𝜃) adalah sepasang koordinat kutub dari titik 𝑃. Untuk memperjelas pemahaman Andalihat gambar disamping


Hubungan Antara koordinat kutub dankoordinat kartesius

Dari gambar disam


X

Y

A (𝑟,𝜃)

𝑟

O𝜃

𝑥

𝑦

Hubungan Antara koordinat kutub dankoordinat kartesius

Dari gambar disamping titik A (𝑟,𝜃)

Dapat dinyatakan dengan A (𝑥, 𝑦)

dengan

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 dan 𝑦 = 𝑟 cos 𝜃

Jadi setiap titik yang dinyatakandalam system koordinat kartesiusdapat dinyatakan dalam koordinatpolar dan sebaliknya


X

Y

𝑟

O𝜃

𝑥

𝑦A (𝑟,𝜃)

Latihan

a. Nyatakan dalam koordinat kartesius titik-titik berikut:

P (2,1

3𝜋)

Q (4,2

3𝜋)

R (8,5

6𝜋)

b. Nyatakan dalam koordinat kartesius titik-titik berikut:

A (2,2 2)

B (−3,3)

C (4, −4 3)


Documents

Geometri Analitik Bidang dan Ruang fileSetelah mengikuti perkuliahan Geometri Analitik Bidang dan Ruang, mahasiswa diharapkan memiliki pengetahuan dan pemahaman, serta mampu mengaplikasikannya