GEOMETRÍA · 2020. 4. 22. · SEMANA N° 1 ÁNGULOS . 1. El suplemento del complemento del doble de un ángulo excede en 42° a los dos tercios del complemento del ángulo. Calcule

Exclusivo Universidad Agraria COMPENDIO-PRIMERA PARTE- REPASO 2020-I

Grupo de Estudio “PROMEDIO 21” Telf. 458-7015 / 220 – 9789 / 528 – 9255 / 734 – 2805 / 349 – 9406 / 917356357/ 920250987/ 981096120 Pág 145

GEOMETRÍA SEMANA N° 1 ÁNGULOS 1. El suplemento del complemento del doble

de un ángulo excede en 42° a los dos tercios del complemento del ángulo. Calcule el valor de dicho ángulo. A) 2,5° C) 4.5° E) 9° B) 3° D) 5°

2. Calcule la medida de un ángulo, si el

complemento de la cuarta parte del suplemento del complemento del ángulo es igual al complemento del doble del ángulo, más 16°. A) 57° C) 35° E) 22° B) 45° D) 28°

3. La suma de los complementos y

suplementos de las medidas de dos ángulos es 230°. Si se sabe que la diferencia de las medidas de ambos ángulos 15°, calcule el complemento de la medida del mayor ángulo. A) 5° C) 12,5° E) 62.5° B) 10° D) 27.5°

4. Se tienen los ángulos consecutivos AOB,

BOC y COD; OP�� es bisectriz del ∠AOB; OQ�� es bisectriz del ∠COD. Si m∠AOC + m∠BOD = 140°, calcule m∠QOP. A) 20° C) 35° E) 70° B) 25° D) 50°

5. Se tienen los ángulos adyacentes AOB y

BOC; se trazan OF�� y OE�� bisectrices de los AOB y AOC. Calcule m∠FOE, si m∠BOC = 60°. A) 60° C) 45° E) 30° B) 50° D) 35°

6. En la figura, calcule x, si m∠MRL = 120°.

A) 120° C) 150° E) 140° B) 130° D) 110°

7. La diferencia entre las medidas de dos

ángulos consecutivos ∠AOB y ∠BOC es

30º. Encuentre la medida del ángulo que forman 𝑂𝑂𝑂𝑂��⃗ y la bisectriz del ∠AOC. A) 5° C) 15° E) 35° B) 10° D) 20°

8. Se tienen los ángulos consecutivos AOB,

BOC y COD tales que el rayo OC�� es la bisectriz del ángulo BOD y el rayo OD�� es opuesto a la bisectriz del ángulo AOB. Calcule la medida del ángulo BOC, si la medida del ángulo AOC es 120°. A) 60° C) 80° E) 40° B) 70° D) 20°

9. Considere los ángulos consecutivos:

∠AOB, ∠BOC y ∠COD; tal que, los ángulos AOC y BOD son suplementarios. Determine el ángulo formado por las bisectrices de ∠AOB y ∠COD. Si m∠BOC = 42º y m∠AOB = 2m∠COD. A) 60° C) 45° E) 86° B) 90° D) 68°

10. En la figura, L1 paralela a L2, calcule x.

A) 130° C) 110° E) 90° B) 120° D) 100°

11. En la figura, L1 paralela a L2, calcule x.

A) 45° C) 75° E) 100° B) 60° D) 85°

12. Determine el valor que tiene x, si L1 es

paralela a L2.

A) 30° C) 20° E) 10° B) 25° D) 15°

13. Determine el valor de x; si a + b = 300° y

L1 paralela a L2.

A) 20° C) 40° E) 60° B) 30° D) 50°

14. Si L1 paralela a L2 y θ = 45°, calcule a + b

+ c.

A) 60° C) 120° E) 180° B) 90° D) 150°

15. En la figura, las rectas a y b son paralelas,

al igual que las rectas m y r. calcule x.

A) 40° C) 54° E) 30° B) 60° D) 45°

16. En la figura, las rectas m y r son paralelas.

Calcule x, si: 3.x + y = 180°.

A) 30° C) 20° E) 12° B) 15° D) 18°

17. En la figura, las rectas m y r son paralelas.

Calcule el mínimo valor entero de x; si el ángulo w es agudo.



A) 36° C) 46° E) 45° B) 42° D) 32°

18. En la figura, las rectas P y Q son paralelas

lo mismo que las rectas M y R. Halle x.

A) 70° C) 75° E) 80° B) 65° D) 60°

19. En la figura, L1//L2. Halle el valor de α.

A) 20° C) 15° E) 30° B) 10° D) 45°

20. En la figura, calcule el valor de x, si L1//L2.

A) 53° C) 56° E) 72° B) 37° D) 60°

21. En la figura, la recta L1 es paralela a L2.

Calcule (x + y)

A) 120° C) 150° E) 180° B) 135° D) 160°

SEMANA N° 2 TRIÁNGULOS

1. Se tienen un triángulo ABC, tal que AC = BC, y en AC�� se ubica un punto D de modo que AB = BD = DC. Calcule m∠C. A) 12° C) 24° E) 48° B) 18° D) 36°

2. En un triángulo ABC, en AC�� se ubica el

punto D, tal que AB = BD = DC. Si m∠CBD = 20°. Calcule m∠ABC. A) 40° C) 100° E) 140° B) 80° D) 120°

3. En un triángulo ABC, m∠A = 30° y m∠B =

120°. En la prolongación de AB�� se ubica en el punto P y en AC�� se ubica un punto Q, tal que AB = BP = QC. Calcule m∠PQC. A) 90° C) 60° E) 30° B) 75° D) 45°

4. En los lados BC�� y AC�� de un triángulo

isósceles ABC (AB = BC) están los puntos M y R, respectivamente, ubicados de forme tal que BM = BR. Si m ∠ ABR = 36º, calcule la medida del ángulo MRC. A) 12° C) 18° E) 30° B) 15° D) 24°

5. En un triángulo ABC, m∠A = 2 m∠C = 2α;

sea P un punto exterior al triangulo y relativo a BC�� tal que AB = CP y m∠BCP = 60° - α. Calcule m∠PBC. A) 45° C) 30° E) 15° B) 37° D) 20°

6. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B,

la m ∠ BCA = 40º; AM�� es una ceviana interior que cumple con BC+BM=AC. Calcule la medida del ángulo MAC. A) 25° C) 20° E) 40° B) 30° D) 35°

7. Se tiene un triángulo ABC, en el cual AB =

BC; en AB�� se ubica un punto Q y en BC�� el punto S, de manera que el triángulo QSC es equilátero. Si m∠BQS = 40°, calcule la m∠QCA. A) 10° C) 40° E) 80° B) 20° D) 60°

8. En un triángulo isósceles, uno de los

ángulos congruentes mide 30° y uno de los lados congruentes mide 3√2. Calcule la medida de la base del triángulo. A) 6 C) 4√3 E) 3√6 B) 4√2 D) 8

9. En la figura, AB = FC. Halle el valor de x.

A) 15° C) 5° E) 20° B) 10° D) 25°

10. En la figura, CM = CR. Halle x.

A) 30° C) 45° E) 35° B) 60° D) 40°

11. En la figura, AM = MC y el triángulo MRC

es equilátero. Halle la medida del ángulo x.

A) 10° C) 90° E) 60° B) 80° D) 110°

12. En la figura, m∠BCA = 2 m∠ABH. Si BC

– AH =12, calcule CH.

A) 6 C) 12 E) 9 B) 8 D) 10

13. En la figura, AB = BC, AF = 7 y MC = 3.

Calcule BF.

A) 2 C) 1 E) 3 B) 1,5 D) 2,5

14. En un triángulo ABC, si m∠A = 2m∠C y

AB = 6, ¿Cuántos valores enteros puede tomar BC?



A) 3 C) 6 E) 4 B) 11 D) 5

15. En un triángulo ABC, BC excede en 10

unidades a AB. Halle el menor valor entero que podrá tener el lado AB, si AC = 15 y AC > AB. A) 2 C) 4 E) 5 B) 3 D) 1

16. Los lados de un triángulo están en

progresión aritmética de razón “r”. si el perímetro del triángulo es 18, calcule el mayor valor entero que puede tomar “r”. A) 1 C) 3 E) 5 B) 2 D) 4

17. En un triángulo ABC se traza BD�� (D∈AC),

si CD = 12. Calcule el valor entero de AB, si se cumple que: m∠DBC/3 = m∠BAD/2 = m∠ACB. A) 12 C) 9 E) 7 B) 11 D) 8

18. En un triángulo ABC se traza BD�� (D∈AC)

tal que m∠DCB = 2m∠DBC = 2α y m∠BAD = 60° - 2α; si AD = BC, calcule α. A) 10° C) 30° E) 60° B) 15° D) 45°

19. P es un punto interior a un triángulo ABC

tal que: PB = AC, m∠PAC = 2α, m∠PCA = 90° - 3α y m∠BPC = 150° - α. Calcule la m∠PCB. A) 20° C) 40° E) 60° B) 30° D) 50°

20. En un triángulo rectángulo ABC recto en B,

se traza BD�� (D∈AC��), tal que AB = BC + CD y m∠DBC/3 = m∠BAC/2 = α. Calcule α. A) 30° C) 20° E) 10° B) 25° D) 15°

SEMANA N° 3 LINEAS Y PUNTOS NOTABLES 1. Las medidas de los ángulos de un triángulo

ABC están en progresión aritmética, siendo m∠ABC el de valor promedio. Si se traza la bisectriz interior BS��, determine la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos BAC y BSC. A) 60° C) 30° E) 10° B) 45° D) 15°

2. En un triángulo ABC, la medida del ángulo A excede a la medida del ángulo C en 28°. Luego se traza CM�� perpendicular a la prolongación de la bisectriz interior BN��. Determine m∠ACM. A) 10° C) 28° E) 76° B) 14° D) 56°

3. En un triángulo ABC m∠A = 2m∠C; la

prolongación de la bisectriz interior BD�� interseca en E a la bisectriz exterior que parte de C. Calcule CE, si DE = 4. A) 1 C) 4 E) 8 B) 2 D) 6

4. Si las medidas de los ángulos internos de

un triángulo están formando una progresión aritmética, calcule la medida del mayor ángulo determinado por la intersección de las bisectrices del menor y mayor ángulo interno del triángulo. A) 100° C) 115° E) 125° B) 110° D) 120°

5. En un triángulo ABC se traza la ceviana

AM�� y en el triángulo ABM se traza la mediana BL��. La prolongación de CL�� interseca en T a AB��. si BL = LM = MC y BT = TL, calcule m∠TLB. A) 46° C) 50° E) 54° B) 48° D) 52°

6. En un triángulo ABC se traza la ceviana BP��

y la bisectriz interior AQ�� tal que para el triángulo PBC, BA�� es bisectriz exterior. Si además AB = 6, QC = 2 y BP = PC, calcule AC. A) 8 C) 4 E) 2 B) 6 D) 3

7. En un triángulo ABC se traza la bisectriz

interior BD�� tal que AB = 6, m∠BAC = 2m∠ADB = 2θ y BC = 9. Calcule CD. A) 15 C) 6 E) 1.5 B) 9 D) 3

8. En un triángulo ABC se traza la ceviana BD��

y en el triángulo BDC se traza la bisectriz interior DE�� (E∈BC). Si m∠ABC = 115°, m∠ECD = 45° y m∠EDC = 35°, calcule m∠AED. A) 25° C) 15° E) 5° B) 20° D) 10°

9. Dado el triángulo isósceles ABC donde AB

= BC = 6. Determine el número de valores enteros que puede tomar AE, si E es el excentro relativo a BC��.

A) 7 C) 5 E) 3 B) 6 D) 4

10. En un triángulo ABC, m∠A = 2m∠C, la

bisectriz del ángulo exterior B interseca en D a la prolongación de CA��. Si AB + BC = 12. Calcule AD. A) 24 C) 15 E) 10 B) 18 D) 12

11. En la figura, calcule el valor de x.

A) 84° C) 70° E) 76° B) 78° D) 72°

12. En la figura, calcule la m∠DOC

A) 72° C) 82° E) 92° B) 68° D) 88°

13. En un triángulo ABC, m∠ABC - m∠ACB =

20° y E es el excentro relativo al lado AC��. Calcule la medida del mayor ángulo que forman al cortarse las bisectrices de los ángulos AEC y BCE. A) 100° C) 95° E) 105° B) 115° D) 110°

14. En un triángulo ABC, de ortocentro O,

m∠OAC = 40° y m∠OCA = 30°. Halle la m∠ABC. A) 60° C) 80° E) 70° B) 65° D) 75°

15. En la figura, R es el ortocentro del triángulo

ABC, el ángulo RBC mide 35° y AM = MR. Halle el valor de x.



A) 30° C) 20° E) 35° B) 15° D) 25°

16. En un triángulo acutángulo ABC de

ortocentro O, las bisectrices de los ángulos AOAC y OBC se intersecan en Q. Halle la medida del ángulo AQB. A) 60° C) 110° E) 80° B) 120° D) 90°

17. En la figura, I es el incentro del triángulo

ABC. Halle el valor de x, si la medida del ángulo AIM es 55° y la medida del ángulo MIC es 65°

A) 70° C) 60° E) 55° B) 80° D) 50°

18. En la figura, I es el incentro del triángulo

ABC y el ángulo A mide 70°. Calcule (z – w).

A) 45° C) 55° E) 65° B) 35° D) 25°

19. En un triángulo ABC, I es el incentro y F es

el excentro relativo a BC��. En la prolongación de FC�� se ubica el punto M por el cual se traza MG�� perpendicular a AI��. Calcule la medida del ángulo GMC, si el ángulo ABC mide 50°. A) 55° C) 50° E) 65° B) 60° D) 70°

20. En un triángulo acutángulo ABC de

circuncentro O la m∠ABC = 45°. Si la distancia de O al circuncentro del triángulo AOC es 12, calcule la distancia del baricentro al ortocentro del triángulo AOC. A) 6 C) 9 E) 4 B) 8 D) 3

SEMANA N° 4 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 1. Se tiene el triángulo isósceles ABC, (AB =

BC). Se construye exteriormente el triángulo AFB, (AF = FB) tal que AF = BF = BC y m∠BFA = 2m∠ABC. ¿Cuánto mide el ángulo BCA? A) 60° C) 75° E) 80° B) 45° D) 65°

2. En un triángulo ABC se traza la ceviana

interior BD = AC. Calcule la medida del ángulo ABD si m∠ABD = w, m∠CBD = 2w y m∠ACB = 4w. A) 16° C) 12° E) 18° B) 9° D) 15°

3. En un triángulo ABC se traza la mediana

BF�� y en ella se toma el punto H tal que el ángulo AHF mide 90°. Calcule la medida del ángulo CHF, si AH = 8 y FH = 3. A) 37° C) 37° E) 53° B) 60° D) 45°

4. Sobre los lados 𝐴𝐴𝑂𝑂�� y 𝑂𝑂𝐵𝐵�� de un triángulo

escaleno ABC se construyen exteriormente los triángulos equiláteros ABP y BQC. Halle el mayor ángulo que forman 𝐴𝐴𝐴𝐴�� con 𝐵𝐵𝐶𝐶��. A) 60° C) 90° E) 150° B) 75° D) 120°


M es punto medio de la hipotenusa. La prolongación de la ceviana interior BF�� interseca en G a la mediatriz de AC��, tal que el ángulo ACB = 28° y AM = MC = MG. Calcule la medida del ángulo BGM. A) 18° C) 20° E)17° B) 22° D) 24°

6. En la figura, MR = ID y MR + LD = 24. Halle

MD.

A) 18 C) 24 E) 16 B) 20 D) 22

7. En la figura, si los triángulos ABC y CDA

son congruentes; entonces, el valor de x es:

A) 120° C) 150° E) 140° B) 135° D) 100°


AB=3 y BC =5; se construye exteriormente el cuadrado ACDE. Calcule la distancia del punto “D” a la prolongación de 𝑂𝑂𝐴𝐴��. A) 6 C) 8 E) 11 B) 7 D) 10


BM��. Si AB = 3, BM = 2 y BC = 5, halle la m∠MBC. A) 53° C) 37° E) 45° B) 30° D) 24°

10. En un triángulo ABC, obtuso en C, se traza

la medina CM�� y en el triángulo BCM se traza la altura BP�� tal que BC = 2 MP. Calcule x, si los ángulos CBP y ACM miden x y 2x respectivamente. A) 15° C) 12° E) 18° B) 24° D) 20°

11. En la figura, AB = 20 y BM = MC. Calcule

MF. A) 30º C) 53º E) 60º B) 45º D) 37º


la altura BH�� y la bisectriz interior AF�� se cortan en G. Halle la distancia de F a AC��, si BG = 6. A) 4 C) 3 E) 5 B) 6 D) 2

13. En un paralelogramo ABCD se traza la

altura BH�� la cual interseca en G a AM��, siendo M un punto de BC�� tal que los ángulos BAG y DAG miden 2w y w respectivamente. Calcule AB, si MG = 24. A) 6 C) 8 E) 10 B) 12 D) 9

14. En un triángulo ABC, recto en B, se traza la

ceviana interior AF��, tal que m∠FAC = 2 m∠FAB. Calcule la distancia de B a AF��, si la distancia de F a AC�� mide 6. A) 2 C) 3 E) 2,5 B) 4 D) 1


CM�� y en el triángulo MBC se traza la



mediana BG��. Por M se traza una paralela a BG�� la cual interseca en R a AC��. Calcule MR, si BG = 12. A) 9 C) 6 E) 7 B) 8 D) 10

16. En un triángulo ABC la suma de las

medidas de los ángulos BAC y ACB es 20°. Las mediatrices de AB�� y BC�� intersecan en P y Q a AC��, respectivamente. Halle la m∠PBQ. A) 120° C) 160° E) 130° B) 140° D) 150°

17. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la mediatriz de AC�� corta en M a BC��. Si MC = (2BM), halle la m∠BCA. A) 36° C) 40° E) 18° B) 30° D) 24°

18. En un triángulo ABC, se toman los puntos

P y Q en los lados AB�� y BC�� respectivamente tal que BP = QC. Las mediatrices de PQ�� y BC�� se intersecan en M. En el triángulo ABC, BM�� es: A) Altura B) Bisectriz interior C) Mediana D) Mediatriz E) Una ceviana cualquiera

19. En la figura, AB = 12 y AC = 18. Halle la

distancia de H al punto medio de BC��.

A) 6 C) 3 E) 4 B) 9 D) 3,5


un ángulo agudo mide 15º y la hipotenusa mide 28m. Calcule la medida del lado del cuadrado inscrito en el triángulo de forma que uno de sus lados está en la hipotenusa. A) 4m C) 5.6m E) 6.9m B) 6.4m D) 8m

SEMANA N° 5 POLÍGONOS 1. En un polígono regular ABCDEF………., el

ángulo ABD mide 135°. Calcule el número de diagonales de dicho polígono.

A) 54 C) 20 E) 90 B) 35 D) 27

2. Se tienen dos polígonos regulares cuyos

ángulos internos miden α y β, respectivamente. ¿Cuánto suman un ángulo central de uno de ellos, con un ángulo central del otro; si la suma de α y β es 210°? A) 210° C) 160° E) 140° B) 150° D) 120°

3. Calcule el número de lados de un polígono

regular en el cual si el número de lados aumenta en dos, su ángulo central disminuye en 15°. A) 8 C) 6 E) 15 B) 12 D) 9

4. Se tiene un polígono equilátero cuyo lado

mide 4. Si su número de diagonales es numéricamente igual al cuádruplo de su perímetro calcule el número de diagonales que se pueden trazar de un vértice. A) 35 C) 33° E) 31 B) 34 D) 32

5. Calcule el número de diagonales de un

polígono regular en el cual la medida del ángulo interior es 8 veces la medida de su ángulo central. A) 209 C) 135 E) 104 B) 180 D) 90

6. Si la suma de las longitudes de las

diagonales de un trapezoide es 30, calcule el perímetro del cuadrilátero que se forma al unir consecutivamente los puntos medios de todos sus lados. A) 36 C) 32 E) 30 B) 24 D) 18

7. Es cierto polígono convexo, si el número de

triángulos obtenidos al unir un punto de uno de sus lados con los vértices es 9, ¿en cuánto excede su número de diagonales a su número de lados? A) 10 C) 40 E) 25 B) 35 D) 30

8. Si de 4 vértices consecutivos de un

polígono convexo equiángulo, se trazan hasta 33 diagonales, ¿Cuánto mide uno de sus ángulos interiores? A) 120° C) 135° E) 150° B) 90° D) 100°

9. El número de lados de un polígono es igual

a la mitad del número de diagonales.

Calcule el número de segmentos trazados desde un lado hacia el punto medio de los demás lados de dicho polígono. A) 7 C) 5 E) 3 B) 6 D) 4

10. Identifique el polígono en el cual al triplicar

el número de lados, la suma de ángulos internos se quíntupla. A) Hexágono D) Dodecágono B) Decágono E) Cuadrilátero C) Octágono

11. En un polígono regular, la relación en que

están el número de triangulo que se forman al trazar todas las diagonales desde uno de sus vértices y su número de diagonales es 4 a 9. Calcule la medida de su ángulo exterior. A) 36° C) 40° E) 60° B) 45° D) 18°

12. En un octógono equiángulo ABCDEFGH,

AB = 6√2 y BC = 2. Halle la medida del ángulo BAC. A) 10° C) 8° E) 16° B) 12° D) 15°

13. Si el número de lados de un polígono

regular aumenta en tres, su número de diagonales se duplica. Calcule la suma de los ángulos internos de dicho polígono. A) 1260° C) 1080° E) 3240° B) 1800° D) 3600°

14. En la figura, ABCDEF y APQRF son

polígonos regulares. Halle la medida del ángulo “x”.

A) 124° C) 108° E) 135° B) 130° D) 132°

15. Las diagonales de un trapecio escaleno

son perpendiculares entre si y miden 12 y 16. Calcule la longitud de su mediana. A) 10 C) 15 E) 14 B) 12 D) 9

16. Respecto al polígono regular ABCDEF…..,

de n lados, calcule, en función de n, la



medida del ángulo que forman las diagonales 𝐴𝐴𝐵𝐵 ��y 𝑂𝑂𝐵𝐵�� al intersecarse”. A) 180º/n B) 180º(n-2)/n C) 180º/(n-2 D) 180º(n+2)/n E) 90º(n-2)/n

17. En el hexágono equiángulo ABCDEF, AB

=8, BC=6 y DE=5. Calcule EF.

A) 10 C) 8 E) 9 B) 6 D) 7

18. Los ángulos internos de un nonágono

convexo están en progresión aritmética. Calcule el máximo valor interno de la razón. A) 10 C) 8 E) 34 B) 9 D) 11

19. En un rectángulo ABCD, AB = 8 m, la

diagonal AC�� mide 10 m, P es un punto de BD�� y (3BP) = PD. Halle la distancia de P a AB��. A) 1,5 m C) 1,8 m E) 1,0 m B) 1,2 m D) 2,0 m

20. En la figura, ABCD es un trapecio. Si AD =

(2 CD); y m∠CBD = m∠BDC, calcule x.

A) 100° C) 80° E) 120° B) 90° D) 75°

SEMANA N° 6 CIRCUNFERENCIA I 1. En la figura, ABCD es un rombo y D es el

centro de la semicircunferencia. Calcule la medida del ángulo MGC, si AC�� // FM��.

A) 35° C) 30° E) 40° B) 45° D) 60°

2. Por un punto A exterior a una circunferencia de centro O, se trazan las tangentes AT�� y la secante ABC y luego se toma M punto medio del arco BC. Se traza MH�� perpendicular a la cuenta CT��. Calcule m∠CMH si m∠TAC = 40°. A) 40° C) 20° E) 10° B) 30° D) 15°

3. Por un punto P, exterior a una

circunferencia de centro O, se trazan las tangentes PE�� y PL��. desde E se traza EM�� perpendicular a PL��, la cual corta en R a la circunferencia. Calcule la m∠OEM, si ER = 2 y RM = 1. A) 37° C) 60° E) 30° B) 45° D) 75°

4. En un triángulo rectángulo BC, recto en B,

de incentro I, AB = 3 y BC = 4. Si M es punto medio de BC��, calcule la m∠IMB. A) 45° C) 30° E) 37° B) 60° D) 75°

5. Por un punto A exterior a una

circunferencia se trazan las tangentes AB�� y AD�� y en el mayor arco BD se toma el punto C y se traza la cuerda CE�� que interseca en O a la cuerda BD�� tal que m∠BOE = 82° y los arcos DE y CD miden 80° y 130° respectivamente. Calcule la medida del ángulo BAD. A) 65° C) 80° E) 70° B) 66° D) 60°

6. En la figura, si α + β = 150°, calcule

m∠ACE

A) 10° C) 30° E) 45° B) 20° D) 40°

7. En la figura, O y M son centros y la suma

de las medidas de los arcos AB y CG es 200°. Calcule la medida del ángulo ODF.

A) 70° C) 60° E) 80° B) 75° D) 85°

8. En la figura, calcule el valor de θ.

A) 15° C) 45° E) 30° B) 25° D) 20°

9. En la figura, AB�� es diámetro de la

semicircunferencia. Calcule la medida del ángulo MDB, al CM = MG, m∠CDM = 28° y el arco CG mide 56°.

A) 62° C) 52° E) 56° B) 68° D) 58°

10. En la figura, O es el centro de la

semicircunferencia y MG�� con AB�� son paralelas. Calcule la medida del arco MC, si m∠MGB = 70°

A) 20° C) 40° E) 25° B) 50° D) 30°

11. En la figura, si (a + b) = 80°, halle (x + y).

A) 80° C) 70° E) 90° B) 60° D) 75°

12. En la figura, halle m∠HBC, si T es punto

de tangencia.



A) 20° C) 30° E) 40° B) 25° D) 35°

13. En un triángulo acutángulo ABC, m∠A =

64º. Si O es el centro de la circunferencia circunscrita, calcule la m ∠OBC. A) 32° C) 26° E)16° B) 16° D) 13°

14. Un trapecio rectángulo está circunscrito a

una circunferencia cuyo radio mide 2. Si uno de sus lados no paralelos mide 5, calcule la longitud de la base menor. A) 4,5 C) 3 E) 3,5 B) 2,5 D) 4

15. En la figura, O y P son centros y I es una

recta tangente. Calcule el valor de x.

A) 30° C) 45° E) 26°30´ B) 22°30´ D) 37°30´

16. En la figura, el arco ABM mide 136°.

Calcule la medida del ángulo MCD.

A) 62° C) 68° E) 66° B) 73° D) 64°

17. En la figura, halle la medida del ángulo x; si

m∠ABC = 50°; y además, P, Q, R, S y T son puntos de tangencia.

A) 9° C) 31° E) 24° B) 18° D) 27°

18. En la figura, el ángulo ACB mide 50°.

Calcule la medida del ángulo FGO.

A) 130° C) 125° E) 135° B) 120° D) 115°

19. En la figura, calcule la medida del ángulo x,

si mABC� + mADC� = 240°.

A) 100° C) 150° E) 130° B) 110° D) 120°

20. En una circunferencia de centro O, si las

diagonales de un rectángulo inscrito forman un ángulo que mide 60°, halle la medida del ángulo establecido por la diagonal con el lado mayor. A) 45° C) 40° E) 35° B) 30° D) 60°

SEMANA N° 7 CIRCUNFERENCIA II 1. En la figura, las cuerdas AB�� y MI�� son

parales. Halle la medida del ángulo ALI, si los arcos AB y MLI miden 80° y 200°, respectivamente.

A) 50° C) 40° E) 30° B) 60° D) 70°

2. Si la mediana de un trapecio circunscrito a una circunferencia mide “n”, entonces el perímetro del trapecio, en función de n, medirá: A) 2n C) 8n E) 6n B) 3n D) 4n

3. En la figura, calcule “x” sabiendo que el

perímetro del triángulo mide 18 cm, AB = 5cm; y, P, O y R son puntos de tangencia.

A) 3 cm C) 6 cm E) 4 cm B) 7 cm D) 5 cm

4. En un trapecio ABCD, circunscrito a una

circunferencia y recto en A y B, AC�� ⊥ CD��. Si los inradios de los triángulos ABC y ACD miden 4 cm y 5 cm, respectivamente, calcule BC. A) 6 cm C) 8 cm E) 10 cm B) 7 cm D) 9 cm

5. En la figura, halle BN, si el inradio del

triángulo MNA mide 4 cm; y además, T, B y C son puntos de tangencia.

A) 4 cm C) 2,5 cm E) 5 cm B) 3 cm D) 3,5 cm

6. Halle el perímetro de un triángulo

rectángulo, si los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita miden 4m y 13m, respectivamente. A) 40 m C) 60 m E) 48 m B) 28 m D) 64 m

7. En un triángulo ABC se traza la ceviana BE��

(E en AC��) de tal manera que su circuncentro se encuentra sobre BE��. Calcule m∠BEC, si m∠ABE = 20° y m∠EBC = 30°. A) 60° C) 80° E) 65° B) 70° D) 75°

8. Respecto a la figura, halle el radio r de la

circunferencia; si (DE – CE) = 4 m



A) √2 m C) 2 m E) 4 m B) 2 √2 m D) 3 m


el radio de la circunferencia exinscrita relativa a AC�� mide 17 m y el inradio mide 2m. calcule la hipotenusa AC. A) 19 m C) 15 m E) 13 m B) 17 m D) 12 m

10. Un trapecio rectángulo está circunscrito a

una circunferencia cuyo radio mide 2. Si unos de sus lados no paralelos mide 5, calcule la longitud de la base menor. A) 4,5 C) 3 E) 3,5 B) 2,5° D) 4

11. En la figura, “O” es centro y AB = (2PQ).

Calcule el valor de x.

A) 15° C) 45° E) 60° B) 30° D) 53°

12. La relación de los radios de dos

circunferencias concéntricas es de 1 a 3. En la circunferencia mayor, 𝐴𝐴𝐵𝐵�� es diámetro y 𝑂𝑂𝐵𝐵�� una cuerda tangente a la circunferencia menor. Si AB = 8, calcule la longitud del radio de la circunferencia mayor.

A) 8 C) 10 E) 12 B) 9 D) 14

13. En la figura, AB = 10, BC = 8, AC = 12;

calcule el perímetro del triángulo MLC.

A) 5 C) 15 E) 26 B) 10 D) 20

14. En la figura adjunta, halle AD si TC = 4, CD

= 7 y R = 2.

A) 2 C) 4 E) 6 B) 3 D) 5

15. Se tienen dos circunferencia tangentes,

exteriores en B. Una recta secante que pasa por B interseca a las circunferencias en los puntos A y C. Halle la medida del menor arco BC, si el menor arco AB mide 120º. A) 120º C) 100º E) 80º B) 110º D) 60º

16. Respecto a la figura, calcule r1 + r2; si AB

= 9 y AD = BC + CD.

A) 1 C) 2,5 E) 4,5 B) 2 D) 4

17. Del gráfico, calcule el inradio del triángulo

ABC si PQ = 2 (PQ�� es la sagita de la cuerda BC).

A) 1 C) 3 E) 5 B) 2 D) 4

18. La hipotenusa y un cateto de un triángulo

rectángulo miden 30 y 24. Halle el radio de la circunferencia exinscrita al otro cateto. A) 10 C) 7 E) 8 B) 9 D) 12

19. En un triángulo rectángulo PQR, sobre la hipotenusa PR, se construye exteriormente el cuadrado PMNR. Si las diagonales de dicho cuadrado se intercepta en “O”. halle m∠QOP. Si: m∠QPR = 56° A) 15° C) 18° E) 30° B) 24° D) 34°

20. En un triángulo rectángulo cuyos ángulos

agudos miden 37° y 53°. Calcule la relación entre el inradio y el circunradio. A) 2/5 C) 3/10 E) 2/7 B) 1/5 D) 3/5

SEMANA N° 8 PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA 1. En la figura, AB�� // PF�� // QE��. Si BE = 4 y EF

= 3, calcule FC.

A) 12 C) 18 E) 36 B) 15 D) 21

2. Respecto a la figura, halle x, si las rectas a,

b, c y d son paralelas.

A) 1 C) 2 E) 6 B) 3 D) 8

3. En un triángulo ABC se trazan las

bisectrices interiores AD�� y CE�� siendo: AE = 2, EB = 4 y BD = 4. Hallar DC. A) 22/7 C) 24/7 E) 26/7 B) 23/7 D) 25/7

4. En un triángulo ABC, AB = 7, BC = 5, AC =

6, la circunferencia inscrita es tangente al lado AC�� en D. se traza la bisectriz exterior BE��. Hallar DE. A) 15 C) 17 E) 19 B) 16 D) 18



5. En la figura, L1//L2//L3, M es punto medio de AB��; si AD = 8, MN = 2 y AM = 3, calcule PB.

A) ½ C) 2 E) 3/2 B) 1 D) 3

6. En un trapezoide ABCD, se ubican los

puntos G en AB��, F en BD�� y E en BC��, tal que FG�� es paralelo AD�� y FE�� es paralelo a CD��. Calcule EC, si BC = 30 y BG con GA están en la relación de 3 a 2. A) 16 C) 12 E) 18 B) 9 D) 8

7. En un triángulo ABC (AB>BC) se traza la

bisectriz exterior BF��. Si AB = 8, AC = 10 y CF = 15, halle BC. A) 40/7 C) 24/5 E) 27/4 B) 35/6 D) 20/3

8. En un triángulo ABC, I es el incentro y la

prolongación de AI�� corta en M a BC��. Si AI = 12, IM = 9 y MC = 15, calcule AC. A) 18 C) 20 E) 22 B) 16 D) 24

9. En un trapezoide ABCD, F es un punto de

AC�� tal que BF�� y DF�� son las bisectrices de los ángulos ABC y ADC, respectivamente. Calcule CD, si CD = AB, BC = 16 y AD = 9. A) 14 C) 10 E) 12 B) 15 D) 13

10. En un triángulo ABC, BC = (2AB). se traza

la altura BH��, si AH = 2 y el ángulo HBC mide el triple del ángulo ABH, calcule CH. A) 6 C) 8 E) 10 B) 9 D) 12

11. Si PQRS es un cuadrado. Halle QR, si AC

= 12, BH = 8.

A) 4 C) 4,8 E) 3,5 B) 3 D) 6

12. En un triángulo ABC, AB = 8u y BC = 6u. se traza la bisectriz exterior BP��, siendo M punto medio de BP�� y AM�� ∩ BC�� = {N}, calcule BN. A) 2,4u C) 3,6u E) 4,8u B) 2,8u D) 4,0u

13. Sobre los lados de un triángulo ABC se

toman los puntos D, E y F sobre AB��, BC�� y AC�� respectivamente. Halle BD para que el cuadrilátero ADEF sea un rombo (AB = 6, BC = 7 y AC = 8) A) 18/7 C) 15/7 E) 16/7 B) 10/7 D) 20/7

14. En un triángulo ABC donde B = 90°, se

considera el punto medio M de AC�� y un punto cualquiera F de BC tal que m∠A = m∠BFM, AM = p y BC = q. halle BF. A) p2/q C) 2p2/q E) 2�pq B) q2/p D) 2q2/p

15. La prolongación de la bisectriz interior BD��

de un triángulo ABC corta la circunferencia circunscrita en el punto “E”, si BD = 6 y DE = 2. Calcular AE A) 2 C) 6 E) 9 B) 4 D) 8

16. En un triángulo ABC se traza la bisectriz

interior BD�� y luego se ubica el punto M en BC�� tal que DM�� es paralelo a AB��. si BM = 3 y BC = 3AB, calcule BC. A) 10 C) 12 E) 9 B) 14 D) 8

17. En un triángulo ABC se ubican los puntos

Q en AB�� y F en BC�� tal que QF�� es paralelo de AC��, AF�� es la bisectriz del ángulo QFC, QF= 3 y FB = 9. Calcule CF. A) 4 C) 4,5 E) 6 B) 5 D) 5,5

18. En la figura, ABCD es un rectángulo, M y F

son los puntos medios de BC�� y CD�� si GM = 6, calcule AG.

A) 18 C) 24 E) 28 B) 30 D) 15

19. En un triángulo ABC, AB = 8 y BC = 12; se

trazan la bisectriz interior BD�� y la mediana MB��. Si DM = 1,5; calcule AC.

A) 12 C) 18 E) 16 B) 15 D) 14

20. Las medidas de los lados de un triángulo

son números consecutivos, si el ángulo mayor mide el doble de la medida del ángulo menor; calcule el perímetro del triángulo. A) 12 C) 14 E) 16 B) 13 D) 15

SEMANA N° 9 RELACIONES METRICAS EN EL TRIANGULO RECTANGULO 1. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B,

se ubica el punto O en BC��, tal que, haciendo centro en O y con radio OB se traza una semicircunferencia que es tangente en M a AC��. Si BC = 12 y MC = 6, calcule AB. A) 9 C) 8 E) 7 B) 10 D) 11

2. Se tienen dos circunferencias exteriores de

radios 2 y 4. La tangente trazada del centro de la circunferencia menor a la circunferencia mayor mide √65. Calcule la distancia entre ambas circunferencias. A) 6 C) 2 E) 3 B) 4 D) 5


las medianas AM�� y BF�� son perpendiculares entre sí. Calcule AB, si BC = 8. A) 3√2 C) 4√2 E) 10√2 B) 6√2 D) 8√2

4. En la figura, ABCD es un cuadrado, AB�� es

diámetro; y D es centro del arco AC. Halle (BC)(DR), si AM = 6.

A) 18 C) 30 E) 42 B) 24 D) 36

5. En la figura, O y Q son centros y A es punto

de tangencia. Calcule LM, si OM = 2 y FM = 6.



A) 1 C) 3 E) 2,5 B) 2 D) 1,5

6. En la figura, O es centro de la

circunferencia y B es punto de tangencia. Si HE = 1cm y EF = 3cm; entonces, el radio de la circunferencia mide:

A) 2 cm C) 1,8 cm E) 1,2 cm B) 2,5 cm D) 1,5 cm

7. En la figura, M y Q son centros, AL = 4 y

FM = 2. Calcule MR.

A) 2 C) 1,5 E) 0,5 B) 1 D) 2,5

8. Los catetos de un triángulo rectángulo

están en relación de 5 a 10. Calcule la relación en que están las proyecciones de estos catetos sobre la hipotenusa. A) 1/5 C) 2/5 E) 1/6 B) 1/4 D) 1/10

9. En la figura, AP = 4 y BC = 10. Calcule PQ.

A) 1,2 C) 1.6 E) 2 B) 1.4 D) 1.8

10. Calcule la medida del radio del círculo

pequeño. Si el lado del cuadrado es 16.

A) 1 C) 2/3 E) 3 B) 2 D) ½

11. Grafique al triangulo rectángulo ABC

(m∠B = 90°) y a la circunferencia circunscrita. En AC�� se marca el punto “D” y se levanta la perpendicular DE�� a dicha hipotenusa (E ∈ BC��), la prolongación de DE�� corta la circunferencia en “F” y la prolongación de DE�� corta a la circunferencia en “F” y la prolongación de AB�� en “G”. si ED = 8 y DG = 18. Calcule EF. A) 6 C) 5 E) 4,5 B) 3 D) 4

12. En un triángulo rectángulo ABC (m∠B =

90°) se traza la altura BH, luego se trazan HE y HF perpendiculares a los lados AB y BC respectivamente. Hallar EB si AE = 1 y FC = 8 A) 5 C) 3 E) 1 B) 4 D) 2

13. La altura relativa a la hipotenusa es un

triángulo rectángulo determina sobre ella dos segmentos de valores 9m y 16m respectivamente. Hallar la suma de los valores de los catetos y la medida de la altura mencionada. A) 30m y 12m D) 35m y 15m B) 35m y 12m E) 30m y 20m C) 30m y 15m

14. Se tiene un trapecio isósceles cuyas bases

miden 1 y 5, los lados no paralelos 4. Calcular la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales. A) 38 C) 42 E) 44 B) 40 D) 45

15. En una circunferencia de centro “O” se

traza un radio OA. Por “A” se trazan las cuerdas AB�� y AD�� (B en el arco AD), por “B” se traza una perpendicular a OA que corta a AD en F. hallar AB si AF = 1 y FD = 8. A) 1 C) 3 E) 5 B) 2 D) 4

16. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), sobre BC�� y AC�� se toman los puntos P y Q respectivamente de modo que AB = BQ y QP = PC. Hallar AC, si AB = 8 y PC = 6. A) 8 C) 8√5 E) 4√5 B) 6 D) 6√5

17. Se tiene un cuadrado ABCD inscrito en una

circunferencia, sobre el arco AB se forma un punto “M”. Hallar MD, si AM = 3√2 y BM = 4. A) 6 C) 8 E) 10 B) 7 D) 9

18. En el trapecio ABCD (BC��//AD��) las

diagonales se cortan perpendicularmente, AC = 6, BD = 8 y BC = 3. Hallar AD. A) 10 C) 7 E) 10 B) 6 D) 8

19. En un paralelogramo ABCD se toma el

punto F en el lado BC�� tal que m∠AFD = 90°. Halle la longitud de la proyección de FD�� sobre BC�� si BC = a y AF = b.

A) 𝑎𝑎2−𝑏𝑏2

𝑏𝑏 D) 𝑎𝑎

2−𝑏𝑏2

2

B) 𝑎𝑎2−𝑏𝑏2

4 E) 𝑎𝑎

2−𝑏𝑏2

2𝑏𝑏

C) 𝑎𝑎2−𝑏𝑏2

𝑎𝑎

20. Exteriormente a un triángulo obtusángulo

isósceles ABC de base BC��, se construye el triángulo equilátero BDC. Halle le menor valor entero que puede tomar el perímetro del triángulo BDC, si AB = 4. A) 12 C) 13 E) 17 B) 10 D) 15

21. Calcule la medida de la diagonal de un

rectángulo ABCD, de perímetro 40, si al trazar la perpendicular BE�� a la diagonal AC�� se cumple que AC.BE = 40. A) 8√5 C) 7√5 E) 6√5 B) 7,5√5 D) 6,5√5

22. En un triángulo ABC, recto en B, AB = 10 y

BC = 24. Calcule la relación en la que se encuentran las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, si se sabe que es mayor que 1. A) 5,76 C) 1,24 E) 2,36 B) 2,56 D) 4,25

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GEOMETRÍA · 2020. 4. 22. · SEMANA N° 1 ÁNGULOS . 1. El suplemento del complemento del doble de un ángulo excede en 42° a los dos tercios del complemento del ángulo. Calcule