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Geoinformation31 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 2011
Geoinformation III
Punkt-in-Polygon-Verfahren III
(R/R+-Baum)
Vorlesung 4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
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• Punkt-in-Polygon-Suche II• MBR – minimum bounding
rectangle• Idee• Neues laufendes Beispiel• Rechtecke• Rechtecke mit R-Baum• R-Baum• R-Baum als B-Baum• Der R-Baum als solcher• Einfügen in einen R-Baum• Strategien zum Spalten
eines Knotens• Suchen eines Knotens
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Übersicht
• Nachteil des R-Baums• Alternative: Der R+-Baum• R+-Baum• Suche im R+-Baum
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R-Baum
• Bisher:– Zerlegung der Maschen in Streifen– Konstruktion einer Suchstruktur
• Alternatives Vorgehen:• Approximation der Maschen durch umschließende
achsenparallele Rechtecke – Minimal Bounding Rectangle (MBR)– Verwaltung der Rechtecke
• R-Baum• R+-Baum
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MBR – minimum bounding rectangle
A 4x
yAußen
x
3
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Idee
• In welcher Masche M liegt der Punkt P?• Nutze die Bounding Boxes als Filter
• Verwende effizientes Verfahren, um alle Rechtecke R1, ... Rn zu finden, die P enthalten
– Jedem Rechteck Ri entspricht eine Masche Mi
• Prüfe, ob P in einer der Maschen M1, ... Mn vorkommt
• Verwende dazu das Standardverfahren• Problem: Zugriffsstruktur für Rechtecke• Rechtecke sind einfacher zu handhaben als Maschen im
allgemeinen
4
A 1x
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Neues laufendes Beispiel
• Nur die Rechtecke interessieren uns hier, nicht die zugrundeliegenden Maschen
A 1x
4
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A 4x
Rechtecke mit R-Baum
B
D
G
J F
CI
E H
A
3 4
1 2
A I E H
5
B C D
6
J F G
6
4
21
35
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
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Rechtecke mit R-Baum
A 4x
A
I
3
A I
3
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
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Rechtecke mit R-Baum
A 4x
A
I
3
A I
3
E H
4
4
E H
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
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Rechtecke mit R-Baum
A 4x
A
I
3
A I
3
E H
4
4
E H
B
D
G
J F
CI 1 2
B C D J F G
6
2
5
5 6
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
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A 21x
R-Baum
A
1 2
B
D
G
J F
CI
12
E H
A
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
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A 21x
R-Baum
A
1 2
B
D
G
J F
CI
12
E H
A
3
A I
3
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
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A 21x
R-Baum
A
1 2
B
D
G
J F
CI
12
E H
A
3
A I
3 4
4
E H
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
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A 21x
R-Baum
A
1 2
B
D
G
J F
CI
12
E H
A
3
A I
3 4
4
E H
5
B C D
5
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
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A 21x
R-Baum
A
1 2
B
D
G
J F
CI
12
E H
A
3
A I
3 4
4
E H
5
B C D
56
6
J F G
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
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A 21x
R-Baum
A
1 2
B
D
G
J F
CI
12
E H
A
3
A I
3 4
4
E H
5
B C D
56
6
J F G
6
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R-Baum als B-Baum
• Ein R-Baum ist ein B-Baum mit zusätzlichen Eigenschaften• B-Baum
– Ein B-Baum ist (wie der AVL-Baum) ausgeglichen– Besonders gut für Hintergrundspeicher (Festplatte), innere Knoten
entsprechen „Kacheln“ des Sekundärspeichers– Alle Informationen stehen in den Blättern– Alle Blätter haben das gleiche Niveau– Alle inneren Knoten außer der Wurzel sind mindestens zur Hälfte
gefüllt– Teilung beim Überlauf eines inneren Knoten – Verteilung auf Nachbarn beim Unterlauf
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B-Baum
Ein kleiner Exkurs:
Der B-Baum wurde nach seinem Entwickler R. Bayer benannt.
Die Suche eines Elementes in einem B-Baum unterscheidetsich nur wenig von der Suche in anderen Such-Bäumen.
Das Einfügen und Entfernen von Elementen ist jedoch anvielen Stellen anders als in Binär-Such-Bäumen.
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
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B-Baum
• Eigenschaften eines B-Baumes der Ordnung n:– Ein B-Baum ist nicht binär– Ein B-Baum ist ausgeglichen– Alle Blätter haben das gleiche Niveau– Jeder Knoten enthält höchstens 2n Elemente– Jeder innere Knoten außer der Wurzel enthält mindestens n Elemente– Jeder innere Knoten hat m+1 Nachfolgeknoten, wobei m die Anzahl der
Schlüssel des inneren Knotens ist– Die m Schlüssel eines inneren Knotens werden in aufsteigender
Reihenfolge gespeichert: x1 < x2 < ... < x3
– Für jeden i-ten Teilbaum Si eines Knotens gilt:Die Schlüssel seiner Knoten sind grösser als xi und kleiner als xi+1 (ganz links und ganz rechts analog)
– Bei einigen Varianten des B-Baums stehen alle Informationen in den Blättern
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
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2 9 12
13 15 171 233
29 48
19
10 37 567
B-Baum
! Alle Knoten bestehen aus 4 Blättern, auch wenn sie im Folgenden nicht dargestellt sind ! 56
=
10
A 1x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
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Einfügen
• Einfügen eines Elements mit dem Wert 18 (Idealfall)
A 26x
2 9 12
13 15 171 3
19
107 23
29 48
37 56
18 < 19 linker Ast18 > 12 rechter Ast18 > 17 Einfügen
18
2 9 12
13 15 171 3
19
107 23
29 48
37 56
11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
11
18
Einfügen
• Einfügen eines Elements mit dem Wert 14 (Problemfall)
A 26x
2 9 12
13 15 171 3
19
107 23
29 48
37 56
14 < 19 linker Ast14 > 12 rechter Ast
2 9 12
13 15 171 3
19
107 23
29 48
37 5618
Problem: Speicher voll
Lösung: Knoten sprengen
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
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Setze das mittlere Element um einePosition nach oben
Bilde zwei neue Zweige
Einfügen
A 26x
• Einfügen eines Elements mit dem Wert 14
2 9 12
13 14 15 171 3 107
19
23
29 48
37 5618
15
151514 151817 1518
11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
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Das Löschen in einem B-Baum gestaltet sich sehr einfach. Wir unterscheiden hier folgende Fälle:
1. Löschen in einem Blatt: Einfaches Löschen 2. Löschen in einem inneren Knoten:
Beachte: die Anzahl der Schlüssel der inneren Knoten muss mindestens n sein Wie bei AVL-Bäumen den Eintrag ersetzen durch den Rechtesten Eintrag im linken Unterbaum oder den Linkesten im Rechten.
Entfernen
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A 5x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
11
Entfernen
• Entfernen des Elements mit dem Wert 48
A 5x
2 9 12
13 15 171 3
19
107 23
29 48
27 31 37 49 60
Keine n Elemente im
Knoten Ersetzen durch den rechtesten Eintrag im linken Unterbaum
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12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
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Der R-Baum als solcher
• Ein Blattknoten ist ein Paar (R,O), R ist das kleinste Rechteck, welches das Objekt O umschließt
• Jeder innere Knoten hat n Paare (R,P)– P zeigt auf einen Teilbaum– R ist das kleinste umschließende Rechteck dieses Teilbaums
Beachte• Rechtecke können sich überlappen• Struktur des R-Baums hängt von Reihenfolge des Einfügens ab• Jedes Paar (R,O) kommt genau einmal vor• R kann mehrere umschließenden Rechtecke schneiden
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Einfügen in einen R-Baum
• Ausgangspunkt: Einfügen eines neuen Knotens in einen R-Baum• Problem hier: an welche Stelle wird (R,O) eingefügt?
– Durchlaufe den R-Baum mit der Wurzel als Ausgangspunkt– Wähle an jedem inneren Knoten den Teilbaum, der durch
Einfügen von R minimal vergrößert würde– Füge (R,O) schließlich als Blatt ein– Beim Überlauf verfahre wie beim B-Baum
• Besonderheit gegenüber B-Baum:– Es gibt keine lineare Ordnung zwischen den Einträgen der Knoten– Verschiedene Strategien zum Spalten eines Knotens
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Strategien zum Spalten eines Knotens
A 5x
Minimierung des DurchschnittsMinimierung der Gesamtfläche
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
11
Suchen eines Knotens
A 13x
E H
A
B
D
G
J F
CI
3 4
1 2
A I E H
5
B C D
6
J F G
6
4
21
35
In welchem
R liegt Q?
16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
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Suchen eines Knotens
A 13x
E H
A
B
D
G
J F
CI
3 4
1 2
A I E H
5
B C D
6
J F G
6
4
21
35
16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
11
Suchen eines Knotens
A 13x
E H
A
B
D
G
J F
CI
3 4
1 2
A I E H
5
B C D
6
J F G
6
4
21
35
16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
11
Suchen eines Knotens
A 13x
E H
A
B
D
G
J F
CI
3 4
1 2
A I E H
5
B C D
6
J F G
6
4
21
35
16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
11
Suchen eines Knotens
A 13x
E H
A
B
D
G
J F
CI
3 4
1 2
A I E H
5
B C D
6
J F G
6
4
21
35
16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
11
Suchen eines Knotens
A 13x
E H
A
B
D
G
J F
CI
3 4
1 2
A I E H
5
B C D
6
J F G
6
4
21
35
16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
11 17
Nachteil des R-Baums
• Um das richtige Blatt zu finden, sind meist mehrere Durchläufe erforderlich
• Dies gilt insbesondere dann, wenn die Suche erfolglos ist• Abhilfe: R+-Baum
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Alternative: Der R+-Baum
• Alle inneren Rechtecke sind disjunkt• Ein Objekt / umschließendes Rechteck kann in mehreren
Blättern vorkommen• Jedes Blatt repräsentiert den Teil von (R,O), der von dem
Vaterknoten umschlossen wird
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R+-Baum
E H
A
B
D
G
J F
CI
12
3
4
5
6
7
8
9
2 31
4 5
A E D E H
6 7
B D I B C D
8 9
E G F J
A 34x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
11
R+-Baum
A 34x
1 2
E H
A
B
D
G
J F
CI
12
19
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
11
R+-Baum
A 34x
1 2
E H
A
B
D
G
J F
CI
12
33
4
A E
4
19
33
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
11
R+-Baum
A 34x
1 2
E H
A
B
D
G
J F
CI
12
33
4
A E
4
5
D E H
5
19
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
11
R+-Baum
A 34x
1 2
E H
A
B
D
G
J F
CI
12
33
4
A E
4
5
D E H
5
6
6
B D I
19
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
11
R+-Baum
A 34x
1 2
E H
A
B
D
G
J F
CI
12
33
4
A E
4
5
D E H
5
6
6
B D I
7
7
B C D
19
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
11
R+-Baum
A 34x
1 2
E H
A
B
D
G
J F
CI
12
33
4
A E
4
5
D E H
5
6
6
B D I
7
7
B C D
88
E G
19
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
11
R+-Baum
A 34x
1 2
E H
A
B
D
G
J F
CI
12
33
4
A E
4
5
D E H
5
6
6
B D I
7
7
B C D
88
E G
9
9
F J
19
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
11
R+-Baum
A 34x
1 2
E H
A
B
D
G
J F
CI
12
33
4
A E
4
5
D E H
5
6
6
B D I
7
7
B C D
88
E G
9
9
F J
19
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20Geoinformation3
11
Suche im R+-Baum
A 6x
E H
A
B
D
G
J F
CI
12
3
4
5
6
7
8
9
2 31
4 5
A E D E H
6 7
B D I B C D
8 9
E G F J
20
