GEO340-Elipstetegetnormal 399-407 4

399

www.mustafayagci.com.tr 2013

Geometri Notları Mustafa YAĞCI, [email protected]

Elipsin Teğet ve Normali Elipste Teğet Denklemi Nasıl ki çemberin analitik incelenmesi dersinde çemberin denklemiyle tanışıp ardından çembere çi-zilen teğet ve normal denklemlerini öğrenmiştik, şimdi de bir elipse çizilen teğet ve normalin denk-lemlerini öğrenmeye geldi sıra.

2 2

2 21

x y

a b+ =

elipsi üzerinde rastgele bir P(x0, y0) noktası alalım. Bu noktadan elipse sadece 1 tane teğet çizilebilece-ğini biliyoruz. Şimdi o teğetin denklemini bulaca-ğız:

x

yb

a

P(x , y )0 0

0

Normal

Teğet

P noktası elips üzerinde olduğundan

b2x02 + a2y0

2 = a2b2 eşitliğine sahibiz. Bu bir kenarda beklesin. Teğet üzerinde bir nokta (P) bildiğimiz için teğetin eği-mini bulmamız yetecek. Türev yardımıyla bulalım:

b2x2 + a2y2 = a2b2 b22x + a22yy′ = 0

2

2'

b xy

a y

−= ⋅

olduğundan 2

02

0t

xbm

a y

−= ⋅

olmalıdır. Eğimi ve geçtiği bir noktası bilinen doğ-ru denklemi formülünde yerine yazarsak

2 2

20

0 020

2 2 2 2 2 20 0 0 0

2 2 2 2 2 20 0 0 0

2 2 2 20 0

0 02 2

( )

1

a b

xby y x x

a y

a y y a y b x x b x

b x x a y y a y b x

b x x a y y a b

xx yy

a b

− = − ⋅ −

⋅ − ⋅ = − +

+ = +

+ =

+ =

elde edilir. Uyarı. Dikkat edilecek olursa elipsin denklemi olan

2 21

xx yy

a b+ =

eşitliğinde x’in birinin yerine x0 ve y’nin birinin ye-rine de y0 değerini yazıyormuşuz, olup bitiyormuş! Şimdi de normal denklemini bulalım: Elipste Normal Denklemi Normal de P(x0, y0) noktasından geçiyor, o halde normalin eğimini bulmak denklemini yazmamıza yetecek. Teğetle normal dik kesiştikleri için eğimle-ri çarpımı −1 olmalıdır.

20

20

1n

t

yam

m b x

−= =

olduğundan normal denklemi de

( )2

00 02

0

yay y x x

b x− = −

eşitliğiyle bulunur. Uyarı. Bu formülü ezberlemek kendi zekamıza ha-karet demektir. Teğet denklemi bir çırpıda buluna-bildiğinden onu bulup oradan teğet eğiminden nor-mal eğimini bulacağız ve denklemi öyle yazacağız, tamam mı?!

Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr Elipsin Teğet ve Normali

400

Alıştırmalar. Aşağıdaki tablolarda boş kutuları grafikte verilen değme noktasına göre doldurunuz.

x

y

5

3

0

T

Teğet denklemi

Normal eğimi

Normal denklemi

Teğet eğimi

2

x

y

-15 0T

Teğet denklemi

Normal eğimi

Normal denklemi

Teğet eğimi

8

x

y

40

T

Teğet denklemi

Normal eğimi

Normal denklemi

Teğet eğimi

2

F' F

Örnek. x2 + 4y2 = 8 elipsinin (−2, 1) noktasındaki teğet ve normallerinin denklemlerini bulalım. Çözüm: (−2)2 + 4⋅12 = 8 olduğundan (−2, 1) nokta-sı elips üzerindedir. O halde çıkardığımız formüle göre teğet denklemi

x⋅(−2) + 4⋅y⋅1 = 8 bulunur. Eşitliğin her iki yanını −2’ye bölersek

x − 2y + 4 = 0 bulunur.

Teğetin eğimi 1

2 olduğundan normalin eğimi −2

olmalıdır. O halde normalin denklemi de y − 1 = −2(x + 2)

eşitliğinden 2x − y + 3 = 0

olarak bulunur.

Örnek.

2 2

125 9

+ =x y

elipsinin negatif apsisli odağından x eksenine çizi-len dikmenin elipsi kestiği pozitif ordinatlı nokta T ise, T’den elipse çizilen teğetin denklemini bulalım. Çözüm: a2 = 25 ve b2 = 9 bilgilerinden c2 = 16 ol-duğunu anlarız. Bize negatif apsisli odak lazım ol-duğundan c = −4 alalım. Şu halde T noktası (−4, p) şeklindedir. T elips üstünde olduğundan elips denk-

lemini sağlamalıdır. Buradan 9

5=p bulunur. O

halde 9

( 4, )5

− noktasında çizilen teğetin denklemi

4 1 91

25 9 5

− + ⋅ =x y

yani 4x − 5y + 25 = 0

bulunur. Örnek.

2x2 + y2 = 19 elipsinin (3, 1) noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? Çözüm: (3, 1) verilen elips denklemini sağladığı için o noktadan elipse çizilen teğetin denklemi

2x(3) + y(1) = 19 yani

6x + y − 19 = 0 olur. O halde teğetin eğimi −6 olmalıdır. Örnek.

x2 + 3y2 = 16 elipsine (2, 2) noktasında çizilen normal doğrusu 3mx − y + 5 = 0 doğrusuna paralelse m kaçtır? Çözüm: (2, 2) noktasının elips üzerinde olduğunu fark ediniz. O halde o noktadan çizilen teğetin denklemi

x(2) + 3y(2) = 16

olup teğet eğimi 1

3− olduğundan normalin eğimi 3

olmalıdır. Bu değerde 3m’ye eşit olacağından m = 1 bulunur.


401

Örnek. Merkezil bir elipste odakların birinin elip-sin bir teğeti üzerine dik izdüşümünün koordinatları (4, 3) olduğuna göre bu elipsin asal eksen uzunluğu kaç birimdir? Çözüm: Bir elipste odakların teğetler üzerindeki dik izdüşümlerinin geometrik yeri asal çemberdi. O halde (4, 3) noktası

x2 + y2 = a2 denklemini sağlamalıdır. Buradan a = 5 bulunaca-ğından asal ekseninin uzunluğu 10 birimdir. Değme Noktasının Koordinatları Şimdiye kadar çözdüğümüz teğet ve normal ile ilgi-li örneklerin hepsinde değme noktası soruda veril-mişti. Şimdi, elips dışındaki bir noktadan elipse te-ğet çizildiğinde oluşacak değme noktalarını bulma-yı öğreneceğiz.

x

yb

a

T(x , y )0 0

0

T(x0, y0) noktasından 2 2

2 21+ =x y

a b elipsine çizilen

teğetin denkleminin

0 02 2

1+ =xx yy

a b yani 2 2 2 2

0 0+ =b x x a y y a b

olduğunu öğrenmiştik. Söz konusu bu teğet y = mx + n yani mx − y + n = 0

olacağından; 2 2 2 2

0 0 0

0

b x x a y y a b

mx y n

+ − =

− + =

doğruları çakışık olmalıdır. Bu da ancak 2 2 2 2

0 0

1

b x a y a b

m n

−= =−

eşitliğiyle mümkündür. Buradan anlaşılıyor ki 2

0 = − a mx

n ve

2

0 = by

n

imiş. Yani değme noktasının koordinatları 2 2

( , )a m b

Tn n

−

imiş.

Uyarı. Hatırlarsanız y = mx + n doğrusu, denklemi x2 + y2 = r2 olan merkezil bir çembere teğetse, teğe-tin değme noktası

2 2

( , )r m r

Tn n

−

olurdu. Burada ise 2 2

( , )a m b

Tn n

−

oluyor. Kıssadan çıkaracağımız hisse; çemberin özel bir elips olduğunu bir kez daha görmüş olduk! Bir Doğru ile Bir Elipsin Birbirine Göre Durumu

2 2

2 21+ =x y

a b

elipsiyle y = mx + n doğrusunun birbirine göre du-rumunu anlayabilmek için denklemleri ortak çöz-meli ve çıkan denklemin kaç reel kökünün olduğu-na bakmalıyız. Önce elipsin kapalı denklemini ya-zalım:

b2x2 + a2y2 − a2b2 = 0 y yerine mx + n yazalım:

b2x2 + a2(mx + n)2 − a2b2 = 0 Parantez içindeki kare ifadeyi açalım:

b2x2 + a2m2x2 + 2a2mnx + a2n2 − a2b2 = 0 Katsayıları belirleyelim:

(b2 + a2m2)x2 + (2a2mn)x + (a2n2 − a2b2) = 0 Eşitliğin her iki yanını a2’ye bölelim:

( ) ( )2

2 2 2 22

2 0

+ + + − =

bm x mn x n b

a

çıkar. Şimdi bunun diskriminantına bakalım.

( ) ( )2

2 2 2 22

' 2 4b

mn m n ba

Δ = − + −

Kareleri açıp parantezleri dağıtalım: 2 4

2 2 2 2 2 2 22 2

' 4 4 4 4 4b b

m n n m n b ma a

Δ = − + − +

Gerekli sadeleştirmeler yapıldıktan sonra 4 2

2 2 22 2

' 4 4 4b b

b m na a

Δ = + −

elde edilir. Şu aşamada 2

'4

a Δ = Δ tanımını yapar-

sak (Δ′ ile Δ’nın işaretleri aynı olacağından buna hakkımız vardır.)

2 2 2 2a m b nΔ = + − elde edilir. O halde; eğer

Δ > 0 ise doğru elipsi farklı iki noktada keser. Δ = 0 ise doğru elipse teğettir. Δ < 0 ise doğru elipsi kesmez.


402

Örnek.

2 2

112 3

+ =x y

elipsine (0, 2) noktasından çizilen teğetlerin x ekse-nini kestiği noktaların apsisleri kaçtır? Çözüm: Teğet doğrusu (0, 2) noktasından geçtiği için denklemi y = mx + 2 şeklindedir. O halde çı-kardığımız formüle göre;

Δ = 12m2 + 3 − 4 = 0

yani m2 = 1

12 olmalıdır. Buradan

1

2 3= m

bulunacağından teğet denklemi 1

22 3

y x= +

olur ki, bu doğrular da x eksenini 4 3± apsisli noktalarda keser. Örnek.

2x2 + y2 = 1 elipsinin y = 2x doğrusuna paralel teğetlerinin denklemlerini yazalım. Çözüm: Paralel doğruların eğimleri birbirlerine eşit olduğundan aranan teğetler y = 2x + n şeklinde olurlar. O halde

2 2 212 1 0

2Δ = ⋅ + − =n

olacağından n2 = 3 bulunur. Demek ki teğetler

2 3= −y x ve 2 3= +y x doğrularıymış. Örnek.

2x2 + y2 = 1 elipsinin x − 2y + 3 = 0 doğrusuna dik olan teğetle-rinin denklemlerini bulalım.

Çözüm: x − 2y + 3 = 0 doğrusunun eğimi 1

2 oldu-

ğundan aranan teğetin eğimi −2 olmalıdır. O halde

( )2 2 212 1 0

2Δ = − + − =n

olacağından n2 = 3 bulunur. Demek ki teğetler,

2 3= − −y x ve 2 3= − +y x doğrularıymış.

Örnek.

x2 + 3y2 = 2 elipsinin 2x − y + k = 0 doğrusuna teğet olması için 3k2 kaç olmalıdır? Çözüm: Elips denklemi

2 2

1223

+ =x y

olarak düzenlenirse

( )2 222 2 0

3Δ = + − =k

eşitliğinden 2 26

3=k dolayısıyla 3k2 = 26 olarak

bulunur. Örnek. Bir elipsin odaklarının o elipsin bir teğeti-ne olan uzaklıklarının çarpımının bir sabit olduğu-nu gösteriniz. Çözüm: Bir önceki konuda bu teoremi kanıtlamış ve sabiti b2 bulmuştuk. Şimdi analitik olarak kanıt-layacağız. Elipsin teğetinin denklemi y = mx + n yani

mx – y + n = 0 olsun. Odaklar da her zamanki gibi (−c, 0) ve (c, 0) olsun. Noktanın doğruya uzaklığı formülünü kulla-narak odakların teğete uzaklıklarını yazıp çarpalım bakalım. Görüldüğü üzere, çarpım

2 2 2

22 2 11 1

n m cmc n mc n

mm m

−− + +⋅ =

++ +

çıkıyor. Şimdi elipsler için geçerli olan a2 = b2 + c2 formülünden c2’yi çekip yerine yazalım:

2 2 2 2

2

( )

1

n m a b

m

− −+

çıkıyor. Düzenleyelim: 2 2 2 2 2

21

n m a m b

m

− ++

oluyor. Diğer yandan elipste teğetlik şartının 2 2 2 2a m b n+ =

olduğunu biliyoruz. Buradan a2m2 değerini çekip yerine yazalım:

2 2 2 2 2 2 2 2

22 2

( )

1 1

n n b m b b m bb

m m

− − + += =

+ +.


403

Meraklıları İçin Dandelin Teoremi’nin Elips Hali Konikler dersine girerken bir koninin tepesinden geçmeyen bir düzlemle arakesitinin bir konik olduğunu ka-nıtlamıştık. Şimdi, eğer düzlem koninin hiçbir anadoğrusuna paralel değilse arakesit koniğinin bir elips ola-cağını kanıtlayacağız.

E

E

E

1

2

3

T

A'

A

B' B

C'

F'

F

P

U'

U

C

C1

d

d'

E1 düzlemi koninin bütün anadoğrularını kesecek biçimde koniyi kessin. Arakesitin şekildeki kapalı C1 eğrisi olacağı besbellidir. (Aslında Dandelin teoreminde arakesitin konik olacağını kanıtlamıştık ya, şimdi de kapa-lı bir eğri olduğunu gördük. O halde hiperbol ya da parabol olamaz ki, onlar kapalı değiller!) Şimdi hem bu düzleme hem de koniye teğet olan biri düzlemin üstünde diğeri altında olan iki küre çizelim. Üstteki kürenin koniye değme noktaları şekildeki gibi B′ ve B, düzleme değme noktası da F′ olsun. Alttaki kürenin de koniye değme noktaları C′ ve C, düzleme değme noktası da F olsun. Üstteki kürenin [B′B] çaplı dairesini taşıyan düzleme E2, alttaki kürenin de [C′C] çaplı dairesini taşıyan düzleme de E3 diyelim. C1 eğrisi üzerinde rastgele bir P noktası alalım. E1 ile E2’nin arakesiti d′, E1 ile E3’ün arakesiti de d olsun. Şimdi koninin P’den geçen anadoğrusunu çizelim. Bu anadoğru E2 düzlemini U′ noktasında E1 düzlemini de U noktasında kessin. U′ noktasının üstteki küreye, U noktasının da alttaki küreye ait olduğunu görünüz. Şu durumda PF′ ve PU′ doğruları aynı küreye teğet olduklarından |PF′| = |PU′| eşitliğine sahibiz. Diğer yandan PF ve PU doğruları da aynı küreye teğet olduklarından |PF| = |PU| eşitliğine de sahibiz. O halde |PF′| + |PF| toplamı |PU′| + |MU| = |U′U| toplamına eşittir. Dikkat edilecek olursa |U′U| değeri P seçiminden bağımsızdır. P’yi C1 eğrisi üze-rinde P’den başka bir nokta seçseydik de bu toplam |U′U| çıkacaktır. Sonuç olarak C1 eğrisi üzerinde alınan bir noktanın verilmiş iki farklı noktaya uzaklıkları toplamının sabit olduğu kanıtlandığından C1’in bir elips olduğu da kanıtlanmıştır. F′ ve F noktaları bu elipsin odakları olup d′ ve d doğruları da bu elipsin doğrult-manlarıdır. Bu doğruların doğrultman olacağı zaten genel Dandelin Teoremi’nde kanıtlanmıştı.

404

MY GEO 3 KONİKLER TEST 166

Mustafa YAĞCI Elipsin Teğet ve Normali BBBEDCC 1.

2 2

125 9

x y+ =

elipsine analitik düzlemin birinci bölgesinde te-ğet olup 3x + 5y = 60 doğrusuna paralel olan doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

A) 3 B) 3 2 C) 4 D) 4 2 E) 5 2.

2 2

12 8

x y+ =

elipsine, üzerindeki (−1, 2) noktasından çizilen teğetin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = x + 3 B) y = 2x + 4 C) y = 3x + 5

D) y = 4x + 6 E) y = 5x + 7 3.

2 2

136 4

x y+ =

elipsinin x ekseniyle pozitif yönde 30° lik açı ya-pan teğetlerinden birinin y ekseninin kestiği noktanın ordinatı aşağıdakilerden hangisi olabi-lir? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 4.

25x2 + 16y2 = 400 elipsi üzerinde ordinatı 5 olan noktadan çizilen teğetin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x + y = 1 B) x − y = 1 C) x + y = 4

D) x = 5 E) y = 5

5.

4x2 + 9y2 = 72 elipsinin üzerindeki A(3, −2) noktasından çizilen teğetin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x − 5y + 8 = 0 B) −4y + 3x + 6 = 0 C) 2x + y − 7 = 0 D) 2x − 3y −12 = 0 E) 3x + 2y + 8 = 0 6.

2 2

125 9

x y+ =

elipsinin F odağından x eksenine çizilen dikme elipsi K ve K′ noktalarında kesiyor. K noktasından çizilen teğetin ve normalin denk-lemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 4x − 5y = 25 ve 25x − 20y = 64 B) 4x − 5y = 25 ve 25x + 20y = 64 C) 4x + 5y = 25 ve 25x − 20y = 64 D) 4x + 5y = 25 ve 25x + 20y = 64 E) 4x + 5y = 25 ve 25x − 2y = 64 7. Denklemi

x2 + 5y2 = 5 olan elipsin; x ekseni ile pozitif yönde 60°lik açı yapan teğetlerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3 7y x= + ve 3 7y x= − +

B) y = −3x + 3 ve y = −3x + 3

C) 3 4y x= + ve 3 4y x= − D) y = 3x + 4 ve y = 3x + 4

E) 3 1y x= + ve 3 4y x= +

405


Mustafa YAĞCI Elipsin Teğet ve Normali ABBDBCDA 1.

x2 + 4y2 = 8 elipsinin (2, 1) noktasındaki teğetinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x + 2y − 4 = 0 B) x − 2y – 4 = 0 C) x − 2y = 0 D) x + 2y − 2 = 0 E) 2x − y − 1 = 0 2.

x2 + 4y2 = 8 elipsinin (2, 1) noktasındaki normalinin denkle-mi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = x − 1 B) y = 2x − 3 C) y = 3x − 5

D) y = 4x − 7 E) y = 5x − 9 3.

x2 + 4y2 = 5 elipsinin üzerinde ve IV. bölgede olan (1, p) nok-tasından elipse çizilen normalin eğimi kaçtır?

A) −5 B) −4 C) −1 D) 1

4 E) 4

4. x2 + 4y2 = 52 elipsine 3x + 4y = 26 doğrusu P(6, 2) noktasında teğettir. Buna göre teğetin normalinin denklemi aşağıda-kilerden hangisidir?

A) 4

93

y x= − + B) 4

63

y x= − + C) 4

63

y x= − −

D) 4

63

y x= − E) 4

63

y x= +

5.

5y2 + 4x2 −21 = 0 elipsinin üzerindeki P(−2, 1) noktasından geçen normalinin denklemi aşağıdakilerden hangisi-dir? A) 8x − 5y + 21 = 0 B) 5x + 8y + 2 = 0 C) 5x − 8y + 21 = 0 D) 8x − 5y + 2 = 0 E) 5x = 8y − 4

6. y = mx + 5 doğrusu

9x2 + 25y2 − 225 = 0 elipsine teğet olduğuna göre m’nin değeri kaç-tır?

ÖYS 1995

A) 2

5 B)

3

5 C)

4

5 D) 1 E) 2

7.

y = x + n doğrusunun 2 2

125 16

x y+ = elipsine teğet

olması için n kaç olmalıdır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 41 E) 7 8.

9x2 + 16y2 = 144 elipsinin y = 3x + 4 doğrusuna paralel teğetleri-nin denklemlerinden biri aşağıdakilerden hangi-sidir?

A) 3 3 17y x= + B) 3 17y x= +

C) 3 17y x= + D) y = 3x + 3

E) 3 17y x= −

406


Mustafa YAĞCI Elipsin Teğet ve Normali ACBBAC

1. 4x2 + 9y2 = 36

elipsinin y = 2x − 3 doğrusuna dik teğetlerinin denklemlerinden biri aşağıdakilerden hangisi-dir?

A) 5

2 2

xy = − + B)

5

2y x= + C) 5

2

xy = − +

D) y = 3x + 3 E) 5

2y x= −

2.

x2 + 9y2 = 52 elipsinin 9y = 2x + k doğrusuna teğet olması için k’nin alabileceği değerlerden küçük olanı kaç-tır? A) −22/9 B) −24/9 C) −26/9 D) −28/9 E) −30/9 3. t < 0 olmak üzere N(t, 2); merkezi O ve odakları F ve F′ olan merkezil elipsin bir noktasıdır. |NF′| + |NF| = 10 birim ve elipsin N noktasındaki teğeti y eksenini P(0, 3) noktasında kesiyor. Buna göre elipsin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2 2

19 25

x y+ = B) 2 2

125 6

x y+ = C) 2 2

125 9

x y+ =

D) 2 2

16 25

x y+ = E) 2 2

116 36

x y+ =

4.

Denklemi 2 2

15 4

x y+ = olan elipse, P(1, 4) nokta-

sından PE ve PD teğetleri çiziliyor. Elipsin değme kirişinin denklemi aşağıdakiler-den hangisidir?

A) 5

2 2

xy = − + B) 1

5

xy = − + C) 5

2

xy = − +

D) y = 3x − 3 E) 25

xy = +

5.

Denklemi 2 2

15 4


sından PD ve PE teğetleri çiziliyor. D ve E noktalarının koordinatları aşağıdakiler-den hangisidir? A) D(−5/3, 4/3), E(15/7, 4/7) B) D(−5/3, 4/3), E(15/7, −4/7) C) D(−5/3, 4/3), E(−15/7, 4/7) D) D(5/3, 4/3), E(15/7, 4/7) E) D(5/3, 4/3), E(15/7, −4/7) 6.

Denklemi 2 2

15 4


sından PD ve PE teğetleri çiziliyor. PD ve PE teğetlerin denklemleri aşağıdakilerden hangisidir? A) y = x − 3 ve y = −3x + 7 B) y = x + 3 ve y = −3x − 7 C) y = x + 3 ve y = −3x + 7 D) y = x − 3 ve y = −3x − 7 E) y = x + 1 ve y = −3x + 7

407


Mustafa YAĞCI Elipsin Teğet ve Normali ECEBAC 1.

2 2

125 9

x y+ =

elipsinin x ekseninin pozitif tarafındaki odağından x eksenine çıkılan dikme elipsi I. bölgede K nokta-sında kesiyor olsun. K’dan elipse çizilen teğet doğrusunun denklemi ax + by = 25 ise a⋅b kaçtır? A) 4 B) 5 C) 9 D) 15 E) 20 2. Asal eksen uzunluğu 10 birim, yedek eksen uzunluğu 6 birim olan merkezil elipsin üzerin-deki (4, 9/5) noktasından çizilen normalin denk-lemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 25x − 20y = 32 B) 4x − 5y = 7 C) 25x − 20y = 64 D) 8x − 20y = −4 E) 5x − 4y = 16 3.

7

2y mx= + doğrusunun

22 1

5

xy+ =

elipsine teğet olması için m aşağıdaki değerler-den hangisini alabilir?

A) 1

2 B) 1 C)

1

4 D) −1 E)

3

2−

4.

|PA| / |PB| = 2/3 [AB]’nin uçları eksenlerde değiştikçe P noktasının ge-ometrik yeri aşağıdakiler-den hangisidir?

A) 2 2

19 16

x y+ = B) 2 2

14 9

x y+ = C) x + y = 1

D) x = 2 E) y = 3

5. Köşeleri A(x, y), B(−a, 0), C(a, 0) olan ABC üçge-ninin [AB] ve [AC] kenarlarının eğimlerinin çarpımı

2

2

b

a

−’dir.

A köşesinin geometrik yerinin denklemi nedir?

A) 2 2

2 21

x y

a b+ = B)

2 2

2 21

x y

a b− = C) x2 + y2 = a2

D) x2 − y2 = a2 E) 2 2

2 21

x y

b a+ =

6. Eksenleri koordinat eksenleri olan elipste, odağın teğet üzerindeki dik izdüşümü H(4, 3) noktasıdır. Bu elipsin büyük eksen uzunluğu nedir? A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 16

x

y

0

P(x, y)A

B

Documents

GEO340-Elipstetegetnormal 399-407 4