Gabarito P1 - Calculo para FAUProf. Jaime Angulo

1a Questao [1.5]

Note que |x| ≥ 2 quando x ≤ −2 ou x ≥ 2 e |x| < 2 quando −2 < x < 2.Para |x| ≥ 2, vem que 4− x2 ≤ 0, e portanto |4− x2| = −(4− x2) = x2 − 4,

que e uma parabola com concavidade para cima e raızes −2 e 2. Entre as raızes(−2, 2), a funcao e contante igual a 0 (uma reta horizontal no eixo x entre −2e 2). Portanto, o grafico de f(x) e:

2a Questao

a) [1.5] f(x) =√x2 + 3x+ 2 so esta definida nos numeros reais. Portanto,

devemos ter que x2 + 3x+ 2 ≥ 0 (pois raiz quadrada de numero negativo nao eReal). Como o coeficiente de x e 1, que e positivo, x2 + 3x+ 2 e uma parabolacom concavidade para cima, de modo que x2 + 3x+ 2 < 0 entre as raızes dessafuncao. Por Bhaskara, ou fatorando o polinomio p(x) = x2 + 3x + 2 comop(x) = (x+2)(x+1), obtemos as raızes sao x1 = −2 e x2 = −1. Portanto, entre−2 e −1, a expressao x2+3x+2 sera negativa, e portanto sua raiz quadrada naoesta definida (nos Reais). Em −2 e em −1, sera 0 (e

√0 = 0). Nos intervalos

(−∞,−2] e [−1,∞), o valor de x2 + 3x + 2 sera positivo (pois a parabola temconcavidade para cima), e a raiz quadrada de numeros positivos e um numeroReal. Segue que o domınio de f e

Dom(f) = {x ∈ R;x ≤ −2} ∪ {x ∈ R;x ≥ −1} = (−∞,−2] ∪ [−1,∞).

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Grafico para o polinomio dentro da raiz p(x) = x2 + 3x+ 2 = (x+ 2)(x+ 1).Repare o intervalo onde ela e positiva e negativa.

Grafico para a funcao f(x) =√x2 + 3x+ 2.

b) [1.5] f(x) = log10(x2 + 5x) e uma funcao logarıtmica. Note o seguinte:10x > 0 para qualquer x ∈ R, ou seja, 10x nunca pode ser negativa, nem 0.Portanto, log10(x2 + 5x) so existira se (x2 + 5x) > 0, e sabemos que isso e umaparabola com concavidade para cima, ou seja, e 0 nas raızes e negativa entreelas. Por Bhaskara, ou usando a fatoracao (x2 + 5x) = x(x + 5), obtemos queas raızes de x2 + 5x sao x1 = −5 e x2 = 0. Logo, para x2 + 5x ser positivo, xpode ser qualquer numero que nao seja as raızes −5 e 0, nem esteja entre elas.Segue que o domınio da f e

Dom(f) = {x ∈ R;x < −5} ∪ {x ∈ R;x > 0} = (−∞,−5) ∪ (0,∞).

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Grafico para a funcao (x2 + 5x) = x(x+ 5). Repare os intervalos onde ela epositiva e negativa.

Grafico para a funcao f(x) = log10(x2 + 5x).

3a Questao

a) [1.0] A equacao da reta que passa pelos pontos P = (xP , yP ) = (−1,−1)e Q = (xQ, yQ) = (1, 2) e dada por (y − yP ) = m(x − xP ) = (y − (−1)) =

m(x − (−1)), onde m =yP−yQ

xP−xQ= −1−2−1−1 = 3

2 e a tangente do angulo de in-

clinacao da reta. Assim, temos que (y + 1) = 32 (x + 1) → y + 1 = 3

2x + 32 . Na

forma geral, obtemos − 32x+ y − 1

2 = 0, isto e, a = − 32 , b = 1 e c = − 1

2 (ou

qualquer multiplo disso).

b) [1.0] Note que ~v = ~PQ = (xQ−xP , yQ−yP ) = (1−(−1), 2−(−1)) = (1+1, 2 + 1) = (2, 3) (ou qualquer multiplo disso). Podemos tomar (x0, y0) = P ou(x0, y0) = Q, e portanto, a equacao vetorial da reta e (x, y) = (−1,−1) + t(2, 3)(ou (x, y) = (1, 2) + t(2, 3)).

4a Questao

Precisamos primeiro achar a equacao da reta r, a fim de obtermos seu co-eficiente angular mr e compara-lo com o coeficiente angular ms da reta s deacordo com o caso de serem paralelas ou perpendiculares:

a) [1.0] Sejam A = (xA, yA) = (−3, 5) e B = (xB , yB) = (0,−1) os pontospelos quais a reta r passa. O seu coeficiente angular mr e simplesmente m =

3

yA−yB

xA−xB= 5−(−1)

−3−0 = 6−3 = −2. Portanto, para que a reta s seja paralela a

reta r, seus coeficientes angulares devem ser iguais, ou seja, ms = mr = −2.Precisamos encontrar um outro ponto Q = (xQ, yQ) alem de P = (1, 1) peloqual a reta s tambem passe. Isto e, precisamos encontrar uma solucao para aequacao da reta s (y − yP ) = ms(x− xP ). Note que, quando x = 0, obteremos(y−1) = −2(0−1), ou seja, y−1 = 2. Logo, y = 3. Isto quer dizer que a reta spassa, tambem pelo ponto Q = (0, 3). Agora podemos encontrar o vetor diretorde s: ~v = (xP − xQ, yP − yQ) = (1 − 0, 1 − 3) = (1,−2) (ou qualquer multiplodisso). Portanto, a equacao vetorial da reta s fica

s : (x, y) = (xP , yP ) + t~v = (1, 1) + t(1,−2), t ∈ R.

b) [1.0] Note que a reta r e a mesma do tem a). Portanto, mr = −2. Masagora queremos que s seja perpendiular a r. Para isso acontecer, seu coeficienteangular ms deve respeitar a relacao ms = −1

mr. Portanto, ms = −1

−2 = 12 .

Analogo ao item a), precisamos achar um outro ponto Q = (xQ, yQ) diferentede P = (1, 1) pelo qual s tambem passe. Para isso, precisamos resolver a equacao(y − yP ) = ms(x− xP ). De novo, quando x = 0, temos que (y − 1) = 1

2 (0− 1),ou seja, y = 1

2 . Portanto, a reta s passa tambem pelo ponto Q = (0, 1/2).Agora podemos encontrar seu novo vetor diretor: ~v = (xP − xQ, yP − yQ) =(1 − 0, 1 − 1/2) = (1, 1/2) (ou qualquer multiplo disso, por exemplo ~v = (2, 1)etc). Portanto, a equacao vetorial da reta s fica

s : (x, y) = (xP , yP ) + t~v = (1, 1) + t(1, 12 ), t ∈ R.

5a Questao

Sejam ~v = (vx, vy) e ~w = (wx, wy) os dois vetores que fazem um angulo θcom ~u = (8,−6), tal que cos(θ) = 3

5 , como ilutra a figura. Ou seja, vale que:cos(θ) = 35 = ~u.~v

|~u||~v| =(8,−6).(vx,vy)√

82+(−6)2√

vx2+v2

y

(1)

cos(θ) = 35 = ~u.~w

|~u||~w| =(8,−6).(wx,wy)√

82+(−6)2√

wx2+w2

y

(2)

Vamos resolver a equacao de cima (1):

35 =

8vx−6vy√64+36

√v2x+v2

y

→ 35 =

8vx−6y10√

v2x+v2

y

→ 3 =8vx−6vy2√

v2x+v2

y

→

6√v2x + v2y = 8vx − 6vy → 36v2x + 36v2y = 64v2x − 96vxvy + 36v2y →

28v2x − 96vxvy = 0. Agora, supondo vx 6= 0, podemos dividir por vx nosdois lados da equacao, e obter que vx = 24

7 vy. Ou seja, ~v = ( 247 , 1), ou qualquer

multiplo positivo disso, por exemplo ~v = (24, 7).Agora observe que chegarıamos na mesma equacao se resolvessemos para ~w.

Ou seja, o sistema para wx e wy seria o mesmo. Ou seja, 28w2x − 96wxwy = 0.

Como nao queremos que ~v e ~w sejam paralelos, resta-nos o caso em que wx = 0.Mas aı ficamos com 0− 0 = 0. Neste caso, a equacao nao depende do valor de

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wy. Mas note pela figura que qualquer wy < 0 satisfaz o enunciado. Portanto~w = (0,−1), ou qualquer multiplo disso, mantendo wy < 0.

Logo,~v = ( 24

7 , 1) (ou ~v = λ( 247 , 1), λ > 0, por exemplo ~v = (24, 7)) e

~w = (0,−1) (ou ~w = t(0,−1), t > 0).

Figura para para ilustrar a direcao dos vetores ~v e ~w. O ~w real esta no eixo yapontando para baixo.

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