1

FYZIKA PRO CHEMIKY

2

Cíle předmětu:

Vytvořit základní fyzikální předpoklady pro řešení vybraných oblastí chemie, např. řešení Schrödingerovy

rovnice, řešení vibračních a rotačních pohybů molekul, chování el. nabité částice v elektrickém a magnetic-

kém poli a uplatnění těchto jevů u chemických částic v instrumentálních metodách, fyzikální principy vzni-

ku spekter atomů a molekul a dalších.

Předmět navazuje na přednášku a seminář Úvod do fyziky.

3

Předmluva

Tyto opory jsou určeny pro studenty magisterského stupně kombinovaného studia učitelství chemie na PřF

UJEP. Smyslem těchto opor je především poskytnout studentovi vodítko k samostudiu ve formě souhrnu

tematických celků, výchozích poznatků, modelových otázek a příkladů a doporučené literatury. Některé

kapitoly jsou však uvedeny a vysvětleny podrobněji. Dalším zdrojem bude kontaktní forma studia (prezenta-

ce z přednášek s obrazovým materiálem).

Opory v žádném případě nesuplují studijní literaturu, spíše shrnují nejzákladnější pojmy, jejichž znalost bu-

de v průběhu kontroly studia od studenta očekávána. Členění na jednotlivé kapitoly volně kopíruje sylabus

přednášek s určitými vzájemnými přesahy v některých oblastech. Každá kapitola obsahuje krátké shrnutí

tématu, vzorově zpracované příklady, příklady a otázky k samostudiu a doporučenou studijní literaturu.

Předložené opory budou průběžně dále doplňovány a korigovány tak, jak si to trendy v jednotlivých oblas-

tech vyžádají.

4

Náplň předmětu:

1. Měření fyzikálních veličin, chyby měření, zpracování souboru dat

2. Vztažné soustavy a jejich využití při řešení Schrödingerovy rovnice

3. Skalární a vektorové fyzikální veličiny, vektorový počet

4. Pohyb rovnoměrný po kružnici, harmonický pohyb

5. Harmonické kmitání, energie kmitů

6. Ekvipartiční teorém – řešení vibračně rotačních pohybů molekul (využití v infračervené spektrosko-

pii)

7. Kinetická teorie plynů (dokonalý plyn, rovnice ideálního plynu, střední kvadratická rychlost částic,

energie, střední volná dráha molekul)

8. Maxwellův zákon rozdělení rychlosti

9. Mechanika kapalin a plynů (obecné vlastnosti tekutin, povrchové napětí, dynamika tekutin – rovnice

kontinuity, Bernoulliova rovnice)

10. Elektrostatické pole bodového náboje, elektrostatické pole nabitých vodičů, kondenzátor

11. Ustálený stejnosměrný elektrický proud (vodiče, nevodiče, polovodiče – teorie, zabývající se vysvět-

lením, vedení el. proudu v kapalinách -Faradayovy zákony)

12. Vedení el. proudu v plynech

13. Galvanické články, chemické zdroje el. napětí

14. Nauka o magnetismu – silové účinky magnetického pole (měření poměru el. náboje a jeho hmotnosti,

další využití v chemických instrumentálních metodách

15. Elektromagnetické vlnění

16. Geometrická optika (základní zákony, rychlost světla, odraz a lom světla, index lomu, refraktometry,

využití v chemii)

17. Paprsková optika

18. Vlnová optika (ohyb světla, interference světla, polarizace, využití v instrumentálních metodách)

19. Kvantová optika (postuláty kvantové optiky, fotoelektrický jev, fotometrie, využití v chemii)

5

MĚŘENÍ FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, CHYBY MĚŘENÍ, STATISTICKÉ ZPRACO-

VÁNÍ SOUBORU DAT

Struktura základních pojmů:

Chyby náhodné, chyby soustavné

Postup při zpracování souboru dat:

- Pořádková statistika,

- Stanovení hladiny významnosti,

- Vyloučení odlehlých hodnot,

- Testování rozdělení souboru dat,

- Zpracování souboru dat: odhad polohy, odhad rozptylu, interval spolehlivosti,

- Zpracování souboru dat s normálním rozdělením,

- Zpracování souboru dat s jiným, než normálním rozdělením.

- Testování shodnosti výsledků,

- Testování správnosti výsledků.

6

7

1

1

2

n

xxs

n

ii

nxxn

ni

/1

s s

µ

s

8

3. Q-test= test pro zjištění odlehlého výsledku

Q1 = (x2 – x1) / R Qn = (xn – xn – 1) / R

R – rozpětí R = xn – x1

4. Test rozdělení

test na normální rozdělení

5. Výpočet požadovaných parametrů pro soubor dat s normálním rozdělením

odhad polohy – výpočet aritmetického průměru

x = n

xi

odhad rozptylu (směrodatná odchylka, střední kvadratická chyba)

střední kvadratická chyba jednotlivých měření s

Soubory s normálním rozdělením

normální rozdělení

robustní statistika

9

s = 1

2

n

xxi

střední kvadratická chyba aritmetického průměru sp

sp = n

s

míra přesnosti h = 21

s

pravděpodobná chyba s3

2 pp s

3

2´

průměrná chyba

2

s = 0,798 s

2

p sp = 0,798 sp

Intervalový odhad

volba hladiny významnosti 05,001,0

výpočet dolní a horní hranice intervalu spolehlivosti

L1,2 =

x s n

t

6. Výpočet požadovaných parametrů pro soubor dat s jiným, než normálním rozděle-

ním – ROBUSTNÍ STATISTIKA

stanovení hladiny významnosti

pořádková statistika

vyloučení odlehlých hodnot Q - testem

odhad polohy – Medián x50 – prostřední hodnota souboru dat

pro liché n x50 = xk k = (n + 1) / 2

pro sudé n x50 = (xk + xk +1) / 2 k = n / 2

Kvantily xp – hodnota znaku, pro kterou platí, že nejméně p procent prvků má hodnotu

menší nebo rovnou xp a 100 – p procent prvků je větších nebo rovno xp

x1, 2, 3.....99 percentily

x25, x75 kvartily (dolní a horní kvartil)

10

Příslušný kvantil získáme jako pořadí k – té hodnoty (v pořádkově uspořádaném souboru

dat), vypočtené podle vztahu:

k = (počet pozorování).(úroveň kvantilu)/100

k = n * p / 100

k zaokrouhlujeme nahoru

Např. pro 12 hodnot:

x25 = 12 * 25 /100 = 3

x75 = 12 * 75 / 100 = 9

Odhad rozptylu (směrodatná odchylka) R

R = 0,7413 (x75 - x25 )

Interval spolehlivosti

n

)xx(57,1xL 2575

502,1

7. Test správnosti výsledků

Studentův test

t = s

nxx sp

xp – průměrná hodnota

xs – správná hodnota

n – počet měření

s – směrodatná odchylka jednotlivých měření

8. Test shodnosti výsledků

Test u0

u0 =

BA

pBpA

RR

xx

xpA – aritmetický průměr hodnot souboru A

xpB - aritmetický průměr hodnot souboru B

RA – rozpětí souboru A

11

RB - rozpětí souboru B

Tab. Kritické hodnoty testů pro hladinu významnosti α=0,05

Počet výsledků n

Kritická hodnota testu 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Testu u0 - 0,94 0,76 0,64 0,56 0,51 0,47 0,44 0,41

Testu t 12,71 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26

12

Tab.1 Kritické hodnoty testů a hodnoty parametru t/ n pro hladinu významnosti

1 - = 0,95, = 0,05

POČET KRITICKÁ HODNOTA TESTU

VÝSLEDKŮ Q U0 t t/ n

1 12,71

2 -- 6,35 4,30 9,00

3 0,94 1,30 3,18 2,48

4 0,76 0,72 2,78 1,59

5 0,64 0,51 2,57 1,24

6 0,56 0,40 2,45 1,05

7 0,51 0,33 2,37 0,92

8 0,47 0,29 2,31 0,84

9 0,44 0,26 2,26 0,77

10 0,41 0,23 2,23 0,72

11 0,39 2,20 0,67

12 0,38 2,18 0,64

13 0,36 2,16 0,60

14 0,35 2,145 0,58

15 0,34 2,13 0,55

16 0,33 2,12 0,53

17 0,32 2,11 0,51

18 0,31 2,10 0,50

19 0,306 2,09 0,48

20 0,30 2,086 0,47

21 0,295 2,0796 0,45

22 0,29 2,074 0,44

23 0,285 2,069 0,43

24 0,281 2,064 0,42

25 0,277 2,059 0,41

Q - test odlehlosti výsledků

U0 - test shodnosti

t - test správnosti výsledků

13

Statistika souboru dat s normálním rozdělením

14

15

Robustní statistika

16

17

Příklady a otázky k procvičování

Příklad 1:

Správná funkce náplně spalovací trubice pro mikrostanovení dusíku se kontroluje tak, že se provede analýza

testované látky a určí se, zda výsledky se neliší od skutečného obsahu dusíku v testované látce.

Touto testovanou látkou je benzanilid se 7,10% dusíku. Při šesti paralelních stanoveních byl nalezen obsah

dusíku: 7,02%, 7,15%, 7,16% 7,18%, 7,21%.

Zjistěte, zda se tyto výsledky shodují na hladině významnosti α = 0,05 se skutečným obsahem dusíku

v testovací látce.

Příklad 2:

Titračním stanovením manganu ve standardním vzorku s obsahem 0,670% Mn bylo při opakovaném stano-

vení nalezeno 0,69%, 0,68%, 0,70%, 0,67%, 0,67%, 0,69%, 0,66%, 0,68%, 0,67% a 0,68% Mn. Zpracujte

tyto výsledky statistickým aparátem na hladině významnosti α = 0,05.

Příklad 3:

Dvěma různými metodami byl ve vzorku farmaceutického preparátu nalezen tento procentový obsah železa:

Metoda A: 13,29; 13,26; 13,32; 13,53; 13,56; 13,43; 13,30; a 13,43

Metoda B: 13,86; 13,99; 13,88; 13,91; 13,89; 13,94; 13,80; a 13,89

Zjistěte, zda jsou výsledky shodné v mezích náhodných chyb na hladině významnosti α = 0,05.

18

VZTAŽNÉ SOUSTAVY A JEJICH VYUŽITÍ PŘI ŘEŠENÍ SCHRÖDINGEROVY

ROVNICE

Struktura základních pojmů:

Hmotný bod

Vztažná soustava

Kartézské souřadnice

Sférické souřadnice

Převod mezi souřadnými systémy

Hmotný bod – těleso, jehož lineární rozměry jsou menší než pokusná nepřesnost v měření souřadnic, které

určují jeho polohu. To znamená, že hmotný bod je takové těleso, jehož rozměry a tvar nemusíme při popisu

jeho pohybu uvažovat. Je to tedy abstrakce, kterou v konkrétním případě dosáhneme zjednodušení popisu

zkoumaného pohybu.

Pohyb tělesa, změnu jeho polohy v čase můžeme popsat jenom tehdy, určíme-li, vzhledem ke kterému jiné-

mu tělesu budeme jeho pohyb popisovat. Tím jsme postaveni před otázku volby souřadnicového systému,

který myšlenkově pevně spojíme s tělesy, vzhledem k nimž budeme pohyb popisovat

Kartézské souřadnice

Kartézská soustava souřadnic je taková soustava souřadnic, u které jsou souřadné osy vzájemně kolmé a

protínají se v jednom bodě - počátku soustavy souřadnic. Jednotka se obvykle volí na všech osách stejně

velká. Jednotlivé souřadnice polohy tělesa je možno dostat jako kolmé průměty polohy k jednotlivým osám.

Soustava je pojmenována podle francouzského filosofa Descarta, který se zasloužil (kromě jiného) o propo-

jení algebry a eukleidovské geometrie.

V prostoru má kartézská soustava souřadnic 3 vzájemně kolmé osy (běžně označované x, y, z), v rovině 2

kolmé osy (x, y)

19

Sférické souřadnice

Sférická soustava souřadnic (kulová soustava souřadnic) je soustava souřadnic v prostoru, u které jedna

souřadnice (označovaná ) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná )

udává úhel odklonu průvodiče bodu od osy a třetí souřadnice (označovaná ) úhel mezi průvodičem a osou

.

Sférická soustava souřadnic je vhodná v případech takových problémů, které mají sférickou symetrii. Tyto

mají zpravidla ve sférických souřadnicích podstatně jednodušší tvar

Transformace sférických souřadnic na kartézské:

Převod kartézských souřadnic na sférické:

= arctg (y/x)

Úhly volíme v rozsahu a

Popis pohybu hmotného bodu (a tedy i např. elektronu) je možný jedině tehdy, jestliže popíšeme polohu

tohoto bodu v každém časovém okamžiku. To platí i pro nejjednodušší atom – atom vodíku.

Atom vodíku považujeme za objekt skládající se z jedné kladně nabité částice a z jedné záporně nabité částice, jejíž

hmotnost je oproti hmotnosti první částice zanedbatelná. Střed souřadnicového systému prostoru si tedy

umístíme do středu kladného náboje – protonu, který budeme považovat za nehybný. Dalším zjednodu-

20

šením, které si zde dovolíme, je zanedbání relativistických jevů, neboť na úrovni tak jednoduchého atomu se

tím nedopustíme podstatné nepřesnosti. Schrödingerova rovnice je pro atom vodíku jednoduchá a definuje v

podstatě vlnové funkce přípustných stavů atomu jako vlastní funkce operátoru celkové energie

H (tzv.Hamiltonián).

Rovnice, která bude uvedena, řešena a diskutována později, není řešitelná v kartézských souřadnicích. Její

tvar je nutné převést do sférických souřadnic. Proto je nutné ozřejmit si aparát, kterým přejdeme z jednoho

do druhého typu souřadnic.

Vlnově mechanický model atomu vodíku

Vyjdeme-li z dualistického, korpuskulárně vlnového charakteru, můžeme elektronu (stejně jako každé jiné

pohybující se mikročástici) o hmotnosti me, pohybujícímu se rychlostí v, přiřadit vlnovou délku

vm

h

e

Rychlost elektronu můžeme vyjádřit z rovnice pro kinetickou energii EK = ½ me v2.

Skládá-li se celková energie elektronu E z energie potenciální a kinetické , potom pro vlnovou délku pohy-

bujícího se elektronu dostaneme

)EE(m2

h

vm

h

pee

Vlnový charakter elektronu vyjádříme pomocí diferenciální vlnové rovnice (popisující např. šíření světla),

do které za vlnovou délku dosadíme výše uvedený vztah. Dostaneme rovnici, která se nazývá Schrödingero-

va rovnice pro jedinou mikročástici (elektron) a pro časově konstantní děj:

0)EE( ph

m2

2

e

kde je Laplaceův operátor = 2

2

2

2

2

2

zyx

Dosadíme-li do vztahu za uvedené výrazy, získáme Schrödingerovu rovnici ve tvaru

0)EE(h

m8)

zyx( p

e2

2

2

2

2

2

2

2

V těchto rovnicích se vyskytuje nová veličina – vlnová funkce . Jaký je její význam. Vlnová funkce je

analogií amplitudy v teorii vlnění. V klasické mechanice udává čtverec této funkce hustotu energie, ve vlno-

vé mechanice má čtverec funkce 2 význam hustoty (pravděpodobnosti) výskytu elektronu v daném

21

místě. Fyzikální význam vlnové funkce spočívá v tom, že se vztahuje k pravděpodobnosti P, s jakou najde-

me elektron v daném bodě prostoru, určeném souřadnicemi x, y, z. Pravděpodobnost je dána vztahem P =

│2│.

Vlnová funkce musí splňovat tyto podmínky:

Musí být jednoznačná, to znamená že musí mít jen jednu hodnotu pro každý bod v prostoru určený sou-

řadnicemi x, y, z.

Musí být konečná, to znamená, že v žádném bodě nesmí mít hodnotu nekonečno.

Její absolutní hodnota musí splňovat podmínku 1││ d2 , která vyjadřuje, že pravděpodobnost výsky-

tu elektronu v daném prostoru se musí rovnat jedné. Potom je funkce normalizovaná.

Řešení, která vyhovují těmto podmínkám, jsou možná jen pro určité hodnoty E a označují se jako vlastní

hodnoty. Jim příslušející vlnové funkce se označují jako vlastní funkce. Pokud jedné vlastní hodnotě

energie přísluší více vlastních funkcí, označujeme je jako degenerované. Bude tolikrát degenerovaná,

kolik vlastních funkcí jí přísluší.

Vlnová mechanika popisuje tedy elektron jako určité množství záporného náboje, který je rozptýlen okolo

atomového jádra tak, že splňuje výše uvedenou rovnici. Kdybychom mohli pozorovat jeden atom vodíku

v určitých časových intervalech vícekrát za sebou, zjistili bychom, že elektron mění svou polohu vzhledem

k jádru.

Ve Schrödingerově rovnici neznáme funkci a celkovou energii, známe však hmotnost částice a energii

potenciální. Řešením rovnice získáme vlnové funkce příslušející určitým energiím. Jednoznačné a konečné

řešení má však rovnice jen pro zcela určité hodnoty celkové energie částice. Řešením této rovnice získáme

tedy jak všechny přípustné hodnoty energie, které může částice nabývat, tak i příslušné vlnové funkce

z nichž určíme pravděpodobnost s jakou se částice může vyskytovat v libovolném místě prostoru.

Exaktní řešení rovnice je možné jen pro atom s jedním elektronem, který obíhá v poli protonu. Vypočtené

hodnoty a E charakterizují stav elektronu v atomu a současně vymezují jeho existenční oblasti, které na-

zýváme atomové orbity (orbitaly), značené AO. Řešení je vhodnější provádět namísto v pravoúhlých sou-

řadnicích v souřadnicích sférických (polárních) r, a . Řešení takto modifikované Schrödingerovy rovnice

je složitý matematický problém. Ukázalo se, že pohyb elektronu v atomu vodíku je možné rozložit na dvě

nezávislé části, jedna závisí na souřadnici r a druhá na úhlech a . Část závislá jen na souřadnici r se na-

zývá radiální část R(r), druhá závisí jen na úhlech a a nazývá se angulární nebo také úhlová část Y (

, ) vlnové funkce.

(r, , ) = R(r) Y ( , )

Aby řešení této rovnice mělo smysl, musí vyhovovat výše uvedeným podmínkám. Tyto podmínky jsou spl-

něny zavedením tří veličin n, l a ml , které nazýváme kvantová čísla. Ta musí nabývat celočíselných hod-

not. Potom obecným řešením rovnice je funkce

22

n,l,m (r, , ) =N Rn,l(r) Yl,m ( , )

kde N je normalizační faktor.

Hlavní kvantové číslo n může nabývat hodnot 1, 2, 3,.....n a charakterizuje energii elektronu v poli atomo-

vého jádra. Říkáme také, že charakterizuje energii AO. S rostoucí hodnotou n roste také hodnota energie.

Vedlejší kvantové číslo l nabývá celočíselných hodnot od 0 do (n-1). Závisí tedy na hodnotě kvantového

čísla n. Např. pro n=1, l=0; pro n=2, l=0,1. Z uvedeného vyplývá, že počet hodnot, kterých l může dosáh-

nout se rovná n. Používá se také označení s, p, d, f, g, h pro hodnoty 0, 1, 2, 3, 4, 5

Kvantové číslo l je mírou dráhového momentu hybnosti elektronu. Velikost dráhového momentu hybnosti je

dána vztahem

2

h)1l(l

Z tohoto vztahu vyplývá, že elektron s l=0 má dráhový moment hybnosti roven nule, elektron s l=1 má drá-

hový moment hybnosti 1,41.(h/2) atd.

Vedlejší kvantové číslo určuje směr a tvar AO. U složitějších atomů, nikoliv však u atomu vodíku, má také

vliv na energii AO.

Magnetické kvantové číslo ml nabývá celočíselných hodnot, které se vztahují k hodnotě vedlejšího kvanto-

vého čísla l. Počet hodnot, kterých magnetické kvantové číslo může dosáhnout je (2l + 1). Tyto hodnoty jsou

v intervalu +l, +(l-1),...0, -(l-1), -l. Např. pro l=0 je ml = 0, pro l = 1 je ml =+1,0,-1, pro l=2 je ml = +2, +1, 0,

-1, -2. Magnetické kvantové číslo udává směrovou orientaci dráhového momentu hybnosti elektronu

v magnetickém poli. Nemá vliv na energii AO, tzn. může existovat více AO o stejné energii. Skupina AO o

stejné energii se nazývá degenerované orbitaly.

Pro úplný popis vlastností elektronu v atomu je třeba zavést čtvrté kvantové číslo, které označujeme ms a

nazýváme ho spinové kvantové číslo. Zavedení spinového čísla nevyplývá ze Schrödingerovy rovnice, ale

z poznatku, že elektrony, stejně jako ostatní mikročástice hmoty mají tři základní vlastnosti: hmotnost,

náboj a spin. Spin s je vnitřní stupeň volnosti, se kterým úzce souvisí mechanický moment částice. Elek-

tron má hodnotu spinu ½. Projekce s do směru osy z může mít jen dvě hodnoty: +1/2 nebo –1/2, které udá-

vají spinové kvantové číslo ms. Projevem existence spinu je vzájemné ovlivňování dvou elektronů. Elektro-

ny s rozdílnými spiny se snaží k sobě přibližovat, elektrony se stejnými spiny se snaží odpuzovat.

Vlnově mechanický model tedy na rozdíl od Bohrova modelu nepředpokládá pohyb elektronu po zcela urči-

té dráze, ale vymezuje oblast, ve které se elektron může vyskytovat.

Radiální rozložení pravděpodobnosti výskytu elektronu získáme snadno z vlnové funkce příslušné danému

AO (dané kombinací kvantových čísel). Objem kulové slupky o tloušťce dr nacházející se ve vzdálenosti r

od jádra je d = 4r2dr. Protože d

2 je pravděpodobnost výskytu elektronu v objemu d, je 4r2

2dr

23

pravděpodobnost výskytu elektronu v kulové slupce tloušťky dr ve vzdálenosti r od jádra. Vynesením tako-

vé funkce pro s orbital pro n =1, 2, 3 dostaneme rozložení.

Vidíme, že s orbitaly jsou kulově symetrické a s rostoucím n se orbital stává difuznějším s komplikovanější

vnitřní strukturou, která má (n – 1) uzlových (nodálních) ploch, kde pravděpodobnost výskytu elektronu je

nulová. Orbital 1s nemá uzlovou plochu, 2s má jednu a 3s má 2 uzlové plochy. Z obrázků(viz doporučená

literatura) také vyplývá, že elektronová hustota se se stoupající hodnotou n koncentruje do větší vzdálenosti

od středu atomu a nabývá nejvyšší hodnoty za poslední uzlovou plochou. Schématické modely orbitalů jsou

konstruovány tak, že v prostoru, který uzavírá jejich povrch je největší část jejich elektronové hustoty. Ně-

kdy se na modelech orbitalů vyznačuje také znaménko vlnové funkce. Orbitaly 1s mají znaménko vlnové

funkce v celé vymezené oblasti kladné.

Příklady a otázky k procvičování

Příklad 1:

Poloha hmotného bodu je v kartézském systému je určena souřadnicemi 2, 4, 6. Určete jeho polohu

v systému sférických souřadnic

Příklad 2:

Poloha hmotného bodu B je dána sférickými souřadnicemi R = 9, = 1 r , = 0,5 r

Příklad 3:

Vyložte, co je vztažná soustava. Uveďte příklady.

24

SKALÁRNÍ A VEKTOROVÉ FYZIKÁLNÍ VELIČINY, VEKTOROVÝ POČET

Struktura základních pojmů:

Fyzikální veličina

Základní fyzikální veličiny

Odvozené fyzikální veličiny

Skalární a vektorové fyzikální veličiny

Vektorový počet

Fyzikální veličinou rozumíme pojem, kterým lze kvantitativně a kvalitativně vyjadřovat různé jevy, stavy

nebo vlastnosti materiálních objektů. Většinu fyzikálních veličin, jako je např. rychlost, hustota, viskozita,

tepelná vodivost a další nelze vždy měřit bezprostředně, nýbrž je nutné je zjišťovat z výsledků měření někte-

rých základních veličin, které lze měřit přímo.

Z hlediska fyzikálních oborů, k nimž veličina patří, rozeznáváme veličiny mechanické, elektrické, optické a

další. Podle povahy je lze rozdělit na kvantity a kvality.

Další pohled dělí veličiny na dva druhy – veličiny skalární a veličiny vektorové.

Skalární fyzikální veličiny lze jednoznačně určit pouze udáním velikosti, tedy číselnou hodnotou v přísluš-

ných jednotkách (např. hmotnost, hustota, objem, délka).

Vektorové fyzikální veličiny (rychlost, síla, zrychlení) mohou být plně určeny jen udáním velikosti a směru.

Pro počítání s vektory platí zvláštní pravidla.

Příklady a otázky k procvičování

Příklad 1:

Určete skalární součin vektorů a, b, které mají velikost /a/ = 3 a /b/ = 2 a svírají spolu úhel 600.

Příklad 2:

Jsou dány dva vektory a, b, z nichž první má velikost /a/ = 5, druhý /b/ = 3 a svírají spolu úhel 600. Určete

graficky součet těchto vektorů a početně velikost tohoto součtu a úhel, který svírá součet vektoru s vektory a

a b.

Příklad 3:

Určete vektorový součin dvou vektorů (axb), jejichž velikost je /a/ = 7 a /b/ = 4 a svírají spolu úhel 300.

Příklad 4:

Vyložte pojmy: polohový vektor, trajektorie

25

POHYB ROVNOMĚRNÝ PO KRUŽNICI, HARMONICKÝ POHYB

Struktura základních pojmů:

Pohyb hmotného bodu po kružnici

Průvodič

Úhlová rychlost

Úhlové zrychlení

Normálové a tečné zrychlení

Úhlová frekvence

Definice harmonického pohybu

Odvození pohybové rovnice a její řešení

- Je zvláštním příkladem rovinného křivočarého pohybu,

- Hmotný bod opisuje kruhovou dráhu, projekcí pohybu do roviny získáme kružnici

Příklady a otázky k procvičování

Příklad 1:

Brusný kotouč o poloměru r=0,3 m se roztáčí z klidu s konstantním úhlovým zrychlením 2 s-2

okolo vodo-

rovné osy. V čase t=0 se bod B nachází v klidu. V čase t1=0,5 s určete

obvodovou rychlost v1, normálové zrychlení a celkové zrychlení

Příklad 2:

Těleso se začíná otáčet okolo pevné osy s konstantním úhlovým zrychlením = 0,04 m.s-2

. V jakém čase od

začátku otáčení bude celkové zrychlení libovolného bodu tělesa svírat úhel = 760

s vektorem obvodové

rychlosti tohoto bodu.

Příklad 3:

Kolik otáček za minutu musí mít ultracentrifuga, aby dostředivé zrychlení bodu, nacházejícího se 1 cm od

osy otáčení bylo 3.105 krát větší než tíhové zrychlení?

Příklad 4:

Hmotný bod se pohybuje po kruhové dráze o poloměru r = 1 cm s úhlovým zrychlením ε = 2 rad s-2

. Za jak

dlouho je dostředivé zrychlení ad rovno čtyřnásobku zrychlení tečného at, začíná-li pohyb z klidu?

Příklad 5:

Vysvětlete souvislost harmonického pohybu s rovnoměrným kruhovým pohybem

26

HARMONICKÉ KMITÁNÍ, ENERGIE KMITŮ

Struktura základních pojmů:

Definice kmitavého pohybu

Pohybová rovnice kmitavého pohybu a její řešení

Rychlost a zrychlení kmitavého pohybu

Energie harmonického pohybu

Netlumené kmity

Tlumené kmity

Skládání kmitů

Vztah pro časovou závislost okamžité výchylky najdeme srovnáním s pohybem po kružnici – kmita-

vému pohybu odpovídá průmět pohybu rovnoměrného po kružnici do svislé roviny

kmitavý pohyb, jehož časovým diagramem je sinusoida (kosinusoida), se nazývá harmonický kmi-

tavý pohyb nebo obecně harmonické kmitání

27

Časový diagram kmitavého pohybu závaží na pružině

Když grafy proložíme funkcí sinus, celkem přesně sedí – harmonické kmitání půjde pomocí této funkce po-

psat. Lze z nich vyčíst další údaje – perioda (viz B), amplituda (viz A), fáze (viz C) blíže další hodiny – po-

mocí nich popíšeme kmitání

28

Odvození rovnice kmitavého pohybu matematickou cestou

29

30

31

32

Energie netlumeného harmonického oscilátoru

33

Tlumené kmity

34

35

36

37

38

Nucené kmity

39

Příklady a otázky k procvičování

Příklad 1:

Jaká je doba kmitu harmonického pohybu bodu o hmotnosti m = 10 g, jestliže působící síla má při výchylce

x = 3 cm velikost F = 0,05.

Příklad 2:

Nakresli graf závislosti výchylky na čase u kyvadla pokud se kývá s periodou 2 sekundy a s maximální

výchylkou 10 cm. Předpokládej harmonický pohyb kyvadla

Příklad 3:

Hmotný bod zavěšený na pružině koná harmonický pohyb ve svislém směru. Určete maximální rychlost a

zrychlení kmitajícího bodu, je-li perioda kmitu T = 1,2 s a amplituda A = 20 cm.

Příklad 4:

Harmonický kmit je vyjádřen tabulkou

Napište rovnici harmonického kmitání a nakreslete časový diagram kmitání.

Příklad 5:

Na obr. je časový průběh harmonického kmitání. Zapiš na základě grafu jeho periodu, frekvenci, úhlovou

frekvenci,amplitudu a zapiš rovnici tohoto kmitání.

Urči okamžitou výchylku v čase t1 = 0,1 s.

Příklad 6:

Jakou silou musíme působit na pružinu o tuhosti 150Nm-1 , aby se prodloužila o 2cm?

Příklad 7:

Urči experimentálně tuhost pružiny.

t/s 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

y/mm 1,4 2,0 1,4 0,0 -1,4 -2,0 -1,4 0,0

40

Na pružinu zavěsíme závaží (jeho tíha bude na pružinu působit) a změříme její prodloužení.

m 200gF 1N , l 7,5cm, k ?

Příklad 8:

Ze vztahu pro periodu kmitavého pohybu závaží na pružině odvoďte vztah pro frekvenci tohoto pohybu.

Příklad 9:

Hmotný bod kmitá harmonicky s amplitudou výchylky 0,8 cm a s periodou 0,075 s. Napište rovnici harmo-

nického kmitání.

Příklad 10:

Závaží o hmotnosti 15 g zavěšené na spirále vykonává kmitavý pohyb daný rovnicí x = A.sin (3/5.t +

/3), kde A = 1 m. Určete maximální sílu, která působí během pohybu na hmotný bod.

Příklad 11:

Kámen o hmotnosti 3 kg, uvázaný na niti délky 1 m koná pohyb po kružnici ve vertikální rovině. Určete

nejmenší úhlovou rychlost kruhového pohybu kamene, při které by se nit přetrhla, jestliže jsme experimen-

tálně zjistili, že na přetržení je potřebná minimální síla 90 N.

Příklad 12:

Nakresli do jednoho obrázku grafy závislosti výchylky na čase u dvou kyvadel. První se kývá periodou 2

sekundy a s maximální výchylkou 10 cm, druhé s periodou 1,5 sekundy a stejnou maximální výchylkou.

Předpokládej harmonický pohyb kyvadel.

Příklad 13:

Určete amplitudu a fázovou konstantu (fázi) netlumeného harmonického pohybu po přímce, jestliže v čase t

= 0 má hmotný bod výchylku x0 = 5 cm a rychlost 20 cm-1

. Frekvence pohybu je f = 1 s-1

.

Příklad 14:

Jaká je frekvence netlumeného harmonického pohybu hmotného bodu o hmotnosti m = 2 kg, jestliže ampli-

tuda tohoto pohybu je 10 cm a celková energie hmotného bodu při tomto pohybu je 1 J.

Příklad 15:

Proveďte rozbor energetických dějů tělesa kmitajícího na zavěšené pružině

Příklad 16:

Pružina s připevněnou kuličkou se prodloužila jistým přívažkem o délku 10 cm. Po odstranění přívažku vy-

konala kulička za minutu 15 kmitů.

a) Jakou výchylku měla kulička za 0,5 s po průchodu rovnovážnou polohou

b) Jakou úhlovou rychlostí by se muselo otáčet těleso, aby se jeho doba oběhu rovnala době kmitu.

Příklad 17:

Určete kmitání y(t) rtuťového sloupce délky l v trubici tvaru U, nepřihlížíme-li ke tření za následujících

počátečních podmínek: t = 0, y = 0, v = v0

Příklad 18:

41

Hmotný bod koná harmonický pohyb s počáteční fází rovnou nule. Určete

a) Poměr jeho kinetické energie k potenciální v časovém okamžiku t = T/12 s

b) V kterých okamžicích je jeho kinetická energie rovna energii potenciální

Příklad 19:

Na obrázku jsou grafy výchylek dvou kmitajících kyvadel. Napiš rovnice jejich okamžité výchylky.

Příklad 20:

Příklad 21:

Příklad 15:

42

EKVIPARTIČNÍ TEORÉM

ŘEŠENÍ VIBRAČNĚ ROTAČNÍCH POHYBŮ MOLEKUL (VYUŽITÍ

V INFRAČERVENÉ SPEKTROSKOPII)

Struktura základních pojmů:

Energie translačního, rotačního a vibračního pohybu

Struktura molekuly a obsah její energie – ekvipartiční teorém

Rotační pohyb molekuly

Vibrační pohyb molekuly

Využití ekvipartičního teorému pro určení vibračních módů molekuly

● Důvod: stále vycházíme z předpokladu, že částice ideálního plynu jsou elastické koule, to je dobry před-

poklad pro vzácné plyny. Pro ostatní plyny to nemůžeme předpokládat, jsou to už molekuly s více atomy.

● Pro více-atomové molekuly k vnitřní energii přispívá i rotační pohyb molekul. Tedy máme zde více stup-

ňů volnosti.

● Jeden atom má 3 stupně volnosti – viz mechanika hmotného bodu.

● Tří a více atomový plyn má pak 6 stupňů volnosti.

● Pokud budou i atomy v molekule vibrovat máme další stupeň volnosti navíc.

● Jeden atom se 3 stupni volnosti má <Ekin> = 3/2 kB T. Tedy jednomu stupni volnosti bude odpovídat

energie ½ kB T.

● Vnitřní energie soustavy je rovnoměrně rozdělena mezi všechny platné stupně volnosti a na každý stupeň

volnosti jedné molekuly připadá střední energie ½ kB T.

43

44

45

46

Příklady a otázky k procvičování

Příklad 1:

Vyjádřete číselně celkovou energii 1 molu molekul oxidu sírového při teplotě 1500C.

Příklad 2:

Určete velikost vibrační energie jedné molekuly fluoridu sírového při teplotě

25 0C

Příklad 3:

Kolik základních vibračních módů můžeme předpokládat u molekuly oxidu dusného

Příklad 4:

Vypočítejte hodnotu vnitřní energie 1 molu molekul oxidu siřičitého při teplotě 25 1 molu molekul oxidu

siřičitého při teplotě 25 0C

Příklad 5:

Vypočítejte velikost rotační energie 1 molu molekul ethenu při teplotě -30 0C

47

KINETICKÁ TEORIE PLYNŮ

Struktura základních pojmů:

Základní (nedokazované) věty, které jsou východiskem pro formulaci kinetické teorie plynů

Střední kvadratická rychlost molekul

Odvození Boylova zákona

Střední energie molekul jednoatomového plynu

Vnitřní energie plynu

Tlak plynu

Průměrná (střední) rychlost

Pravděpodobná rychlost

Střední volná dráha molekul

Příklady a otázky k procvičování

Příklad 1:

Vypočítejte střední kvadratickou rychlost a střední kinetickou energii posuvného pohybu molekul helia při

teplotě 27 0C.

Příklad 2:

Při jaké teplotě se střední kvadratická rychlost molekul oxidu uhličitého rovná střední kvadratické rychlosti

molekul dusíku při teplotě 0 0C.

Příklad 3:

Vypočítejte celkovou energii molekul oxidu uhličitého, který zaujímá při tlaku 150 kPa objem 10 litrů.

Příklad 4: Vypočítejte, jak se změní střední hodnota kinetické energie molekul argonu, jehož hmptnost je

200 g, jestliže při zachování stálého objemu dodáme teplo o velikosti 3516 J.

Příklad 5:

Vypočítejte koncentraci molekul dokonalého plynu (tj. počet molekul v 1 m3) při teplotě 27

0C a tlaku

133,322 Pa.

Příklad 6:

Vypočítejte střední volnou dráhu molekul vzduchu při teplotě 17 0C, tlaku 101,325 kPa a při účinném (efek-

tivním) průměru molekuly vzduchu 3.10-10

m.

Příklad 7:

Ve vakuové technice nazýváme vakuem takové zředění plynu, při kterém střední volná dráha molekul je

rovna vnitřním rozměrům nádoby, ve které se tento plyn nachází. Jaký tlak plynu odpovídá takovému stavu,

jestliže vnitřní rozměr nádoby je 0,2 m, průměr molekuly 3.10-10

m a teplota plynu 0 0C.

48

MAXWELLŮV ZÁKON ROZDĚLENÍ RYCHLOSTÍ

Struktura základních pojmů:

Viz kap. Kinetická teorie plynů

Závislost rychlosti molekul na fyzikálních podmínkách (teplota, hmotnost molekuly)

Matematické vyjádření (Maxwellův – Boltzmannův zákon rozdělení rychlosti)

• rychlost (velikost i směr) jednotlivých molekul se neustále mění,

• ALE rozdělení rychlostí na čase nezávisí,

• rychlost pohybu v trojrozměrném (3D)

prostoru lze rozložit na 3 translační složky podle os x, y, z

Rozdělení molekul podle rychlostí závisí na teplotě plynu (viz obr.): při vyšší teplotě je relativní četnost

molekul s malými rychlostmi menší a relativní četnost molekul s velkými rychlostmi větší. Zákon rozdělení

molekul podle rychlostí odvodil jako první skotský fyzik J. C. Maxwell, který se tímto problémem zabýval

od roku 1852.

Na obr. je v grafu na svislé ose vynesena veličina , která se nazývá rozdělovací funkce, která má tvar:

. Její jednotka je taková, že součin je bezrozměrový. Tento součin při-

tom udává relativní četnost molekul s velikostmi rychlostí v intervalu . Číselná hodnota plochy pod

49

křivkou rozdělovací funkce z obr. 16 na intervalu udává relativní počet molekul, jejichž velikosti

rychlostí leží v uvažovaném intervalu .

Představíme-li si na svislé ose místo veličiny P počet částic, které se pohybují danou rychlostí, nebude to

sice zcela přesné, ale pro pochopení grafu postačující.

● Rozdělení nám říká jaké procento částic ideálního plynu bude mít velikost rychlostí v intervalu <v, v+dv>

pokud nebude existovat žádné vnější silové pole.

● Obecně lze Maxwellovo rozdělení odvodit pro jednotlivé složky vektoru rychlosti. v = |v| = √(vx2+vy

2+vz

2)

● Pracovat v pravděpodobnostní funkcí je nepraktické, proto zavedu rychlosti, které mi budou celý soubor

částic ideálního plynu charakterizovat jedním číslem.

● Nejpravděpodobnější rychlost vp – rychlost, kterou bude mít největší procento částic.

Střední rychlost vstr – průměrná rychlost všech částic.

Střední kvadratická rychlost vkvr

Je přirozené, že částice ideálního plynu v důsledku vzájemných srážek nabývají různých rychlostí. Třebaže

hodnoty některých z nich mohou být i extrémně vysoké a jiných naopak extrémně nízké, neliší se většina z

nich příliš od jisté hodnoty, kterou nazýváme nejpravděpodobnější rychlostí (vp). Počet částic n, které mají

hodnotu rychlosti v intervalu v a v + dv je dán Maxwellovým rozdělení ve tvaru:

N ... počet částic ideálního plynu

m ... hmotnost jedné částice

k ... Boltzmannova konstanta

T ... absolutní teplota v ... rychlost

Je patrné, že následující graf splňuje naše očekávání: prochází počátkem (nulovou rychlost nemůže mít žádná

částic), má výrazné maximum (nejpravděpodobnější rychlost) a se vzrůstající hodnotou rychlosti v se funkční

50

hodnoty postupně blíží nule (i velmi rychlých částic je v souboru málo). Tvar křivky je ovlivněn dvěma parame-

try: hmotností částice a teplotou. Protože energie jedné částice je přímo úměrná pouze absolutní teplotě, je zřej-

mé, že méně hmotné částice se musí pohybovat rychleji a více hmotné pomaleji. Mění-li se hmotnost částice, tak

se v souladu s tím posouvá maximum křivky. Můžeme učinit závěr, že hmotnější částice se svými rychlostmi od

sebe tolik neliší jako částice méně hmotné.

Na dalším grafu sestrojeném pro jeden milion molekul vodíku je na druhou stranu vidět, jak tvar křivky ovlivňuje

teplota. V souladu s očekávání se při vzrůstu teploty maximum křivky posouvá směrem doprava a celá křivka je

plošší. Částice studeného plynu se opět svými rychlostmi příliš neliší. Částice teplého plynu mají oproti tomu

rychlosti velmi různorodé.

51

52

Průběh funkce P (v) pro vodík při 373 K

Příklady a otázky k procvičování

Příklad 1:

Vypočítejte střední kvadratickou rychlost, aritmetickou střední rychlost a nejpravděpodobnější rychlost mo-

lekul helia při teplotě 100 0C.

Příklad 2:

Pro molekulu kyslíku, dusíku a helia při teplotě 00C určete

a) střední kvadratickou rychlost, střední aritmetickou a nejpravděpodobnější rychlost,

b) střední volnou dráhu molekuly při tlaku 133,322 Pa.

Průměr molekuly:

kyslíku = 2,96.10-10

m dusíku=3,16.10-10

m helia=2,2.10-10

m

Příklad 3:

Při jaké teplotě dosahuje střední kvadratická rychlost oxidu uhličitého třetiny střední kvadratické rychlosti

molekul dusíku při teplotě -20 0C.

Příklad 4:

Střední kvadratická rychlost molekul plynu je 1200 m.s-1

. Kolik molekul obsahuje 300 g tohoto plynu, jehož

teplota je 80 0C.

Příklad 5:

Střední kvadratická rychlost helia má hodnotu 1367 m.s-1

. Jakou teplotu má soustava.

Příklad 6:

Dodáním tepla o velikosti 3516 J se změní střední hodnota kinetické energie translačního pohybu molekul o

116,3.10-23

J. Hmotnost systému je 200 g. Jaká je relativní molekulová hmotnost molekul.

smvvvRMSmean

/2146;1977;1752max

0

0.00005

0.0001

0.00015

0.0002

0.00025

0.0003

0.00035

0.0004

0.00045

0.0005

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

53

MECHANIKA KAPALIN A PLYNŮ

Struktura základních pojmů:

Hydrostatika a aerostatika - studuje rovnováhu kapalin a plynů

Hydrodynamika a aerodynamika - studuje pohyb kapalin a plynů

Tlak v tekutinách

Atmosférický tlak

Povrchové napětí a jeho měření, povrchová energie

Jevy na rozhraní kapaliny a pevného tělesa

Způsoby měření povrchového napětí

Molekulové míchání látek

Ustálený (stacionární) pohyb tekutiny

Zákon kontinuity (spojitosti) toku

Bernoulliova rovnice, příklady jejího využití

Viskozita a její měření

Osmóza a dialýza

Vlastnosti kapalin a plynů

Základní vlastností kapalin a plynů je tekutost=>takutiny; nemají stálý tvar; různé vlastnosti dané uspořádá-

ním částic a silami mezi nimi

Kapaliny: stálý objem

velmi malá stačitelnost

Plyny: nemají stálý tvar ani objem

velmi snadno stlačitelné

Tekutiny mají různou tekutost, danou vnitřní třením.

Ideální kapalina: dokonale tekutá, bez vnitřního tření, zcela nestlačitelná

Ideální plyn: dokonale tekutý, bez vnitřního tření, dokonale stlačitelný

Pro odvozování zákonitostí považujeme ideální kapaliny za spojité prostředí (kontinuum) - nepřihlížíme k

částicové struktuře

Tlak v tekutinách

p = F / S jednotou je pascal Pa = N . m-2

(v praxi většinou násobky kPa, MPa)

K měření tlaku používáme manometry - u kapalinového Učka se určuje tlak z rozdílu hladin

u kovových ze změn vyvolaných pružnou deformací jeho určitých částí

Tlak v kapalinách vyvolaný vnější silou

54

Tlak vyvolaný vnější silou, která působí na kapalné těleso v uzavřené nádobě, je ve všech místech kapaliny

stejný.

Tento Pascalův zákon platí také pro plyny.

Využití: v hydraulických a pneumatických zařízení

F1S2 = F2S1 (Velikosti sil působících na písty jsou ve stejném poměru jako obsahy jejich průřezů.)

hydraulika - kapaliny, pneumatika - s plynem

Tlak v kapalinách vyvolaný tíhovou silou

hydrostatická tlaková síla Fh; Fh = G = mg

Fh = Shrg (závisí na hustotě kapaliny, obsahu dna a na hloubce pod volným povrchem)

hydrostatický tlak ph = Fh / S = hrg

Hydrostatický tlak je přímo úměrnýhustotě kapaliny a hloubce místa pod volným povrchem kapaliny.

Spojené nádoby r1 / r2 = h2 / h1

Tlak vzduchu vyvolaný tíhovou silou

atmosféra - připoutávána částicemi k povrchu země=>atmosferická tlaková síla Fa

Tlak vyvolaný Fa je atmosferický tlak pa (klesá s nadm. výškou)

Torricelliho pokus - sloupec rtuti v trubici klesne a ustálí se=>rtuťové barometry

normální atmosferický tlak = 1 013,25 hPa

kovové barometry - aneroidy; se zaznamenáváním - barograf

Vztlaková sílav tekutinách

nadlehčuje vztlaková síla Fvz

velikost Fvz , kterou je těleso v kapalině nadlehčováno, je přímo úměrná hustotě kapaliny a V ponořeného

tělesa.

Fvz = Vrg

Archimédův zákon:

Těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno silou, která se rovná tíze kapaliny tělesem vytlačené.

Je-li rt >r pak těleso klesá ke dnu

Je-li rt =r pak se těleso v kapalině volně vznáší

Je-li rt <r pak těleso stoupá k volné hladině a plove (částečně se vynoří a ustálí se síla FG a Fvz)

Fvz je i v plynech, důkaz: pod recipientem se vysaje vzduch, těleso klesne.

55

Dynamika tekutin

Převažuje-li pohyb tekutiny v jednom směru, nazývá se tento pohyb prouděním.

Proudění graficky znázorňujeme proudnicemi (zobrazují trajektorii částic) – čarami, jejichž

tečna v libovolném bodě má směr vektoru rychlosti pohybujících se částic.

Druhy proudění: a) podle stálosti vektoru rychlosti v_v daném míst_

STACIONÁRNÍ … v_je v daném míst_ konst.

NE STACIONÁRNÍ … v_je v daném míst_ prom_nný

b) podle rovnoběžnosti proudnic

LAMINÁRNÍ … rychlost malá, proudnice rovnoběžné

TURBULENTNÍ … rychlost velká, dochází k chaotickým změnám rychlosti proudění, hustoty a tlaku teku-

tiny, proudnice se zakřivují, promíchávají, vznikají víry

Proudění ideální tekutiny: - ustálené (stacionární) proudění ideální kapaliny

1) rovnice kontinuity (spojitosti)

QV = S.v … objemový průtok ([QV] = m3.s

-1)

Qm = S.v. … hmotnostní průtok ([Qm] = kg.s-1)

56

Obtékání tělesa reálnou kapalinou

v důsledku vnitřního tření=>odporové síly=>odpor prostředí

F = CSv2 / 2

C je součinitel odporu, pro různé tvary různý (1,33 má dutá polokoule, dutina proti proudu; 0,03 má hydro-

popř. aerodynamický tvar kapky)

křídlo letadla:

nad křídlem má vzduch větší rychlost=>menší tlak na horní než na spodní stěnu křídla

Příklady a otázky k procvičování

Příklad 1:

Vyslovte definici tlaku v tekutině a definici a název jeho jednotky. Vysvětlete co je to hydrostatiský tlak

v tekutinách, jak vznikne a na čem závisí. Jaký je rozdíl mezi tlakem a tlakovou silou.

Příklad 2:

Vyslovte, vysvětlete a odvoďte Archimedův zákon.

Příklad 3:

Vysvětlete, co je viskozita tekutin. Uveďte příklady s malou a velkou viskozitou. Uveďte způsoby měření visko-

zity.

Příklad 4:

Vyslovte a vysvětlete rovnici kontinuity pro ideální kapalinu.

Příklad 5:

Vysvětlete, co je ideální kapalina

Příklad 6:

Vyslovte a vysvětlete Bernoulliovu rovnici, zdůvodněte, za jakých podmínek platí.

57

Příklad 7:

Dvě různé kapaliny o hustotách 1=1.103 kg.m

-3, 2=0,8.10

3 kg.m

-3 jsou v klidu v uzavřených válcových

nádobách o průřezech obsahu S1=0,5 m2, 0,3 m

2 spojených krátkou trubicí o průřezu obsahu S0=4.10

-4 m

2.

Nad hladinami kapalin je vzduch, který má v první nádobě tlak p01=2.105 Pa, v druhé nádobě tlak

p02=2,1.105 Pa. Výška hladiny v prvé nádobě je h1=2 m. Ve spojovací nádobě je volně pohyblivá zátka Z,

zabraňující promíšení kapalin. Určete:

a) tlakovou sílu působící na zátku zleva,

b) objem kapaliny v druhé nádobě.

Příklad 8:

Při ustáleném proudění vody vodorovným potrubím s proměnným průřezem je mezi místy, v nichž mají

průřezy obsah S1=50 cm2, S2=20 cm

2, tlakový rozdíl │p│=400 Pa. Zjistěte:

a) který z tlaků p1 a p2 je větší,

b) velikost rychlosti v1, v2 vody v obou místech.

Příklad 9:

Tíha tělesa na vzduchu je 34 N, úplně ponořeného ve vodě 5 N. Jaký je jeho objem a jakou má průměrnou

hustotu, zanedbáme-li vztlak vzduchu.

Příklad 10:

Při rychlosti vodního proudu v=2 m.s-1

v potrubí vystoupí voda v manometrické trubici do výšky h=60 cm.

Jaká je úhrnná mechanická energie 1 cm3 proudící vody.

Příklad 11:

Voda protéká vodorovnou trubicí o průměru d1=4 cm rychlostí v1=1,41 m.s-1

. V jednom místě se trubice

zužuje a má průměr d2=1,5 cm. Jaký tlak je v zúženém místě, je-li v širší části trubice tlak 118 kPa.

Příklad 12:

Vysvětlete měření povrchového napětí metodou kapilární elevace

Příklad 13:

Vysvětlete měření povrchového napětí metodou odtrhávací

Příklad 14:

Vysvětlete měření povrchového napětí metodou kapkovou

Příklad 15:

Vysvětlete difúzi pevné látky do kapaliny

Příklad 16:

Vysvětlete difúzi kapaliny do kapaliny

58

Příklad 17:

Vysvětlete difúzi plynu do plynu

Příklad 18:

Odvoďte zákony difúze

59

ELEKTROSTATICKÉ POLE BODOVÉHO NÁBOJE, ELEKTROSTATICKÉ POLE NABITÝCH

VODIČŮ, KONDENZÁTOR

Struktura základních pojmů:

Elektrický náboj

Coulombův zákon pro silové působení bodových el. Nábojů

Elektrické pole bodového náboje

Silové působení elektrického pole na elektrický náboj

Elektrický potenciál

Kapacita vodičů

Energie elektrostatického pole nabitého vodiče

Elektrostatické jevy v dielektriku

Příklady a otázky k procvičování

Příklad 1:

Dva bodové elektrické náboje Q1=-4.10-8

C a Q1=-8.10-8

C jsou v inerciální vztažné soustavě ve vakuu

v klidu ve vzájemné vzdálenosti d=20 cm. Určete:

a) elektrickou sílu, která působí na náboj Q2,

b) elektrickou sílu, která působí na náboj Q1,

c) intenzitu elektrického pole buzeného nábojem Q1 v místě náboje Q2,

d) intenzitu elektrického pole ve středu P úsečky spojující oba náboje.

Jiné elektrické pole než uvažovaných nábojů není přítomno.

Příklad 2:

Ve vrcholech A, C čtverce ABCD o straně a=50 cm jsou umístěny ve vakuu bodové náboje QA = QC =

2,0.10-8

C. Určete:

a) sílu, kterou působí pole buzené nábojem QA na náboj QC,

b) intenzitu výsledného pole buzeného oběma náboji

ve vrcholu B,

ve středu čtverce.

Příklad 3:

Deskový kondenzátor ve vakuu má kruhové desky D1, D2 nabity elektrickými náboji Q=6,6.10-10

C (Q´=-Q).

Desky jsou od sebe vzdáleny o d=3 mm, obsah každé z nich je S=0,01 m2. Řešte tyto úkoly:

a) určete elektrické napětí kondenzátoru ,

b) určete intenzitu elektrického pole mezi deskami,

c) určete intenzitu elektrického pole vytvořeného v kondenzátoru nábojem desky D2,

d) určete kinetickou energii, kterou účinkem sil pole získal elektron při přechodu z desky D2 na D1.

60

Příklad 4:

Elektron se pohyboval v elektrostatickém poli elektronky tak, že v určitém bodě P1, v němž měl elektrický

potenciál hodnotu 1=5 V měla jeho rychlost velikost v1=4.105 m.s

-1. V bodě P2 své dráhy měl elektron

rychlost o velikosti v2=9.105 m.s

-1. Určete

a) přírůstek kinetické energie elektronu na uvedeném úseku dráhy,

b) práci elektrické síly působící na elektron na uvedeném úseku,

c) elektrické napětí,

d) elektrický potenciál v bodě P2.

Příklad 5:

Osm vodních kapek o přibližně stejném poloměru 1 mm, každá s elektrickým nábojem 1.10-10

C, se spojí

v jednu. Vypočítejte potenciál na povrchu velké kapky.

Příklad 6:

Proton se pohybuje rychlostí 7,7.106 m.s

-1. Na jakou nejmenší vzdálenost se může přiblížit k jádru atomu

hliníku 27

13Al? Vliv elektronového obalu zanedbejte.

Příklad 7:

V elektrickém poli se potenciál v místě A rovná 300 V, v místě B 1200 V. Jak velkou práci je třeba vykonat,

abychom kladný náboj o velikosti 3.10-8

C přenesli z místa A do místa B.

61

USTÁLENÝ STEJNOSMĚRNÝ ELEKTRICKÝ PROUD (VODIČE, NEVODIČE,

POLOVODIČE – TEORIE, ZABÝVAJÍCÍ SE VYSVĚTLENÍM, VEDENÍ EL.

PROUDU V KAPALINÁCH -FARADAYOVY ZÁKONY)

Struktura základních pojmů:

Struktura kovů

Pásová teorie kovů, polokovů a nekovů

Iontová vodivost elektrolytů

Elektrolytická disociace

Elektrolýza

Faradayovy zákony elektrolýzy

Příklady a otázky k procvičování

Příklad 1:

Pomocí pásové teorie kovů vysvětlete elektrickou vodivost atomů sodíku a hořčíku

Příklad 2:

Vysvětlete, co jsou polovodiče. Pomocí pásové teorie vysvětlete vodivé vlastnosti křemíku, vodivost polo-

vodičů typu p a n

Příklad 3:

Vysvětlete co je donor a co jsou majoritní a minoritní nosiče náboje

Příklad 4:

Vyslovte, zapište a vysvětlete Faradayovy zákony elektrolýzy

Příklad 5:

Zředěnou kyselinou sírovou v Hofmannově přístroji procházel při elektrolýze po dobu 43 minut proud 0,3

A. Na katodě se při tom vyloučil molekulární vodík. Určete:

a) elektrický náboj prošlý přístrojem,

b) elektrochemický ekvivalent molekulárního vodíku,

c) počet vyloučených molekul vodíku,

d) jeho hmotnost,

e) jeho látkové množství.

Příklad 6:

Vypočítejte hmotnost stříbra, které se vyloučí z roztoku dusičnanu stříbrného proudem 1,3 A za dvě hodiny.

62

Příklad 7: Pro určení elektrochemického ekvivalentu mědi procházel roztokem síranu měďnatého 25 min

proud 0,6 A. Hmotnost vyloučené mědi, která byla určena zváženým katody před pokusem a po pokusu,

byla 0,29 g. Z těchto hodnot vypočítejte elektrochemický ekvivalent mědi.

63

VEDENÍ EL. PROUDU V PLYNECH

Struktura základních pojmů:

Vodivost plynů

Ionizační energie

Způsoby ionizace

Zákonitosti vzniku a průběhu elektrických výbojů

Nesamostatný a samostatný výboj

Elektronky (výbojka s dutou katodou)

Příklady a otázky k procvičování

Příklad 1:

Vysvětlete mechanismus vedení elektřiny v plynech. Kdy je plyn izolant a kdy vodič.

Příklad 2:

Vysvětlete, jak vznikají v plynu ionty. Co je to ionizační energie. Proč je ionizační energie u různých plynů

různá. Jak je definován 1 eV.

Příklad 3:

Vysvětlete rozdíl mezi samostatným a nesamostatným výbojem v plynu.

64

GALVANICKÉ ČLÁNKY, CHEMICKÉ ZDROJE EL. NAPĚTÍ

Struktura základních pojmů:

Primární články, obnovitelné články

Poločlánek

Podstata přeměny energie chemické reakce na energii elektrickou

Elektromotorické napětí

Daniellův článek

LeClancheův článek

Zinkochloridový článek

Alkalický burelový článek

Stříbrozinkový článek

Lithiový článek

Akumulátory (olověný akumulátor, niklkadmiový akumulátor

Obnovitelné zdroje stejnosměrného napětí (akumulátory)

Příklady a otázky k procvičování

Příklad 1:

Vysvětlete principy přeměny chemické energie v energii elektrickou.

Příklad 2:

Odvoďte obecná pravidla pro určení elektromotorického napětí chemického článku

Příklad 3:

Napište chemické děje a výpočet elektromotorického napětí Daniellova článku

Příklad 4:

Napište chemické děje a výpočet elektromotorického napětí LeClancheova článku

Příklad 5:

Uveďte základní konstrukční rozdíly LeClancheova a zinkochloridového článku

Příklad 6:

Příkladem miniaturního „knoflíkového“ článku je stříbrozinkový. Vysvětlete chemické děje a výpočet elek-

tromotorického napětí u tohoto článku.

Příklad 7:

U olověného akumulátoru popište:

a) stav před nabitím (složení akumulátoru ve vybitém stavu),

b) nabíjecí děje,

c) vybíjecí děje,

65

d) výhody a nevýhody akumulátoru

Příklad 6:

Napište vybíjecí procesy a celkovou chemickou reakci u niklkadmiového akumulátoru

66

NAUKA O MAGNETISMU – SILOVÉ ÚČINKY MAGNETICKÉHO POLE (MĚŘE-

NÍ POMĚRU EL. NÁBOJE A JEHO HMOTNOSTI, DALŠÍ VYUŽITÍ

V CHEMICKÝCH INSTRUMENTÁLNÍCH METODÁCH

Struktura základních pojmů:

Vektor magnetické indukce

Magnetické indukční čáry

Síla působící v magnetickém poli

Lorentzova síla

Amperova síla

Intenzita magnetického pole

Permeabilita vakua, permeabilita prostředí

Zdroje magnetického pole

Jevy elektromagnetické indukce

Indukované elektromotorické napětí, indukovaný proud

Magnetický indukční tok

Faradayův zákon elektromagnetické indukce

Magnetické vlastnosti látek, magnetizace látek

Měření poměru e/m

Fyzikální principy hmotového spektrografu

Příklady a otázky k procvičování

Příklad 1:

V homogenním magnetickém poli, jehož magnetická indukce má velikost 0,08 T, je elektron. Určete směr a

velikost síly, kterou na něj magnetické pole působí, jestliže elektron:

a) je v klidu,

b) pohybuje se rychlostí 8000 m.s-1

ve směru indukčních čar,

proti směru indukčních čar,

kolmo na indukční čáry,

ve směru svírajícím s indukčními čarami úhel 1200.

Příklad 2:

Kovová tyč délky 150 mm se pohybuje v magnetickém poli o magnetické indukci 0,3 T rychlostí 80 m.s-1

.

Vyřešte tyto úkoly:

a) určete magnetickou sílu, která působí na elektrony vodiče a zakreslete ji,

67

b) určete, který konec se nabíjí kladně a který záporně,

c) určete intenzitu elektrického pole vytvořeného ve vodiči v ustáleném stavu, kdy se rozložení nábojů

v tyči již nemění, a zakreslete ji,

d) dokažte, že pro elektrické napětí mezi konci vodiče UNR platí UNR = v.l.B

Příklad 3:

Elektron vletí do homogenního magnetického pole s indukcí 6.10-4

T rychlostí 2.107 m.s

-1. Směr rychlosti je

kolmý na směr indukčních čar. Určete poloměr kruhové dráhy elektronu.

Příklad 4:

Nabitá částice se pohybuje rychlostí 200 m.s-1

po kružnici s poloměrem 0,01 m v rovině kolmé na směr in-

dukčních čar magnetického pole s indukcí 0,03 T. pohybová energie částice je 0,05 J. Vypočítejte elektrický

náboj částice.

Příklad 5:

Vypočítejte magnetickou indukci a intenzitu magnetického pole v okolí dlouhého přímého vodiče, kterým

protéká proud 2,5 A v kolmé vzdálenosti 5 cm.

Příklad 6:

Vypočítejte, jaký musí být poloměr závitu s proudem 25 A, aby indukce magnetického pole v jeho středu

měla hodnotu 1,26.10-4

T.

Příklad 7:

V rozvodné skříni nízkého napětí jsou vedle sebe rovnoběžně upevněny sběrné vodiče ve vzdálenosti 10 cm.

Při krátkém spojení jimi prochází zkratový proud 104 A. Jakou silou se při zkratu přitahují dvě sousední ty-

če.

68

ELEKTROMAGNETICKÉ VLNĚNÍ

Struktura základních pojmů:

Přehled elektromagnetického záření

Radiové záření

Infračervené záření

Viditelné záření

Ultrafialové záření

Rentgenové záření

Přenos energie zářením

Fotometrické veličiny

Elektromagnetické záření látek

Spektra látek (emisní a absorpční spektra, spojité a čárové spektrum

Základní veličiny vztahující se k elektromagnetickému záření:

Vlnová délka (λ)

Popisuje dráhu, kterou urazí vlnění za dobu jednoho kmitu. Její jednotka je metr (m). Odvozené

jednotky jsou nm a μm.

Frekvence (ν)

Počet kmitů za jednu sekundu. Vypočítá se jako podíl rychlosti světla a vlnové délky. λv = c

Její jednotka je Hertz (Hz)

Vlnočet

Počet vln za jeden metr (častěji centimetr) =λ-1 , jednotka m

-1 , cm

-1

Energie (E)

Její jednotka je joule J.

Rychlost (v)

Dráha, kterou urazí vlnění za jednotku času. (rychlost světla ve vakuu: c = 2,9979 . 108 m.s-1

) Má

jednotku m.s-1

.

69

Elektromagnetické záření se skládá z magnetické a elektrické složky, které se periodicky šíří ve směru pa-

prsků záření.

U polarizovaného záření jsou oba vektory E a B na sebe navzájem kolmé a současně jsou kolmé na směr

šíření k.

Elektromagnetické záření nemá jen vlnový, ale i částicový charakter. To znamená, že při interakci s jinou

látkou se projevuje jako soubor částic majících svou energii, hybnost a přitom jejich hmotnost je nulová,

tyto částice, neboli kvanta energie se nazývají fotony.

70

Hmotný objekt se projevuje do svého okolí různým silovým působením a vyzařováním fotonů. Každý

hmotný objekt je zdrojem elektromagnetického záření a navíc může také záření odrážet, pohlcovat a pro-

pouštět. Generované elektromagnetické záření se šíří prostředím rychlostí c, která je závislá na druhu pro-

středí. Rychlost šíření záření ve vakuu co má hodnotu co = (2,997924580,000000012).108 m.s

-1.

Jelikož elektromagnetické záření má vlnový charakter, je možné definovat jeho vlnovou délku . Dle vlnové

délky lze rozlišovat různé typy elektromagnetického záření,

Elektromagnetickému záření, které má vlnový charakter, lze také přiřadit frekvenci záření f, a to dle vztahu

=f

kde c je rychlost šíření elektromagnetického záření v daném prostředí a je vlnová délka elektromagnetic-

kého záření.

Světlo je elektromagnetické vlnění a jeho zdrojem jsou přeměny energie v atomech a molekulách svítícího

tělesa. Získá-li atom větší energii (např. při vyšší teplotě), může tuto energii vyzářit v podobě elektromagne-

tického vlnění. Elektromagnetické vlnění je charakterizované vlnovou délkou, která určuje jeho fyzikální

vlastnosti. Pro elektromagnetické vlnění se často používá také termín elektromagnetické záření.

Podle vlnové délky (resp. frekvence) elektromagnetického vlnění lze rozlišit několik druhů elektromagnetic-

kého záření. Přehledně jsou všechny druhy vyznačeny ve spektru elektromagnetického záření. Hranice mezi

jednotlivými druhy elektromagnetického záření není ostrá, přechody jsou plynulé nebo se oblasti jednotli-

vých druhů záření i překrývají.

71

záření gama reakce elementárních

částic

betatrony, cyklotrony,

reaktory

děje v jádře atomu

rentgenové záření tvrdé

děje v elektronovém

obalu atomu

rentgenové záření měkké

výboj v plynu, elek-

trický oblouk, jiskra

rentgenové záření mezní

ultrafialové záření vaku-

ové

ultrafialové záření blízké

světlo

kmity molekul rozžhavená vlákna

infračervené záření mi-

krovlnné

infračervené záření vzdá-

lené

reakce molekul

mikrovlny tepelné zdroje

kmitavý pohyb elektro-

nů

televizní a rozhlasové

vlny s frekvenční modu-

lací (VKV)

elektronické oscilátory

rozhlasové vlny

s amplitudovou modulací

(KV)

atmosférické výboje

rozhlasové vlny

s amplitudovou modulací

(SV)

elektrické obvody

rozhlasové vlny

s amplitudovou modulací

(DV)

nízkofrekvenční vlny;

technické frekvence

Infračervené záření > 760 nm

(objevil ho angl. astronom William Herschel r. 1800)- ve spektru Slun. záření

- platí pro něj stejné zákony jako pro viditelné světlo (můžeme sestrojit infračer. dalekohled)

- proniká zakaleným prostředím snadněji než světlo (pomocí IČ záření lze vidět za tmy

a mlhy)

- využití ve vojenství, v lékařství, biologii, meteorologii, geologii atd.

- je 10x až desetmilionkrát větší než viditelného světla ⇒ ve vesmíru překonává pohodlně překážky ne-

překonatelné pro viditelné světlo ⇒ objevení jádra galaxie

Ultrafialové záření < 400 nm

(10 nm – 400 nm)

72

hraničí s rentgen. zářením

- zdrojem jsou tělesa zahřátá na vysokou teplotu (Slunce, el. oblouk)

- má fyziologické účinky – působí léčivě při některých kožních chorobách

- je pohlcováno sklem a atmosférou – na horách se člověk víc opálí než v nížinách

Tepelné záření

- emitováno tělesy, která jsou zahřátá na vyšší teplotu

- jeho spektrum je spojité a jeho vln. délka závisí na teplotě tělesa

525° C ~ IČ

700° C ~ tmavočervené

900° C ~ červené

1 100° C ~ oranžové

1 300° C ~ bílé

3 000° C ~ modrobílé

Záření černého tělesa

ČT: Ideální těleso, které pohlcuje všechnu dopadající zářivou energii bez ohledu na vlnovou délku a potom

ji vysílá ve formě tepelného záření

- černé těleso: dutina se začerněnými vnitřními stěnami a malým otvorem, kterým záření vystupuje.

Při mnohonásobných odrazech se záření pohlcuje a opět je stěnami vyzařováno

⇒ tepelná rovnováha mezi dop. a vyzař. zářením.

- vyšrafovaná plocha odpovídá energii vyzářené v intervalu △ za 1 s plochou 1 m2 při dané teplotě,

- plocha pod celou křivkou odpovídá celkové energii vyzářené jednotkovou plochou za 1 s při dané teplotě

73

- každá křivka na obrázku má maximum při určité vlnové délce max, s rostoucí teplotou se toto maximum

posouvá ke kratším vln. délkám. Rovnice čárkované křivky, která spojuje všechna maxima má rovnici:

max. ×T = b b = 2,9×10-3

m.K

Příklady a otázky k procvičování

Příklad 1:

V promítacím přístroji se používá žárovka, která vydává celkový světelný tok 0 = 4800 lm. Při promítání je

obdelníkové promítací plátno (a = 2 m, b = 1,5 m) rovnoměrně osvětleno a intenzita jeho osvětlení je E = 4

lx. Jaká část světelného toku, který žárovka vysílá, dopadne na projekční plátno.

Příklad 2:

Na 1 cm2 zemského povrchu dopadá ze Slunce asi 8,12 J energie za minutu. Vypočítejte, jakou teplotu má

povrch Slunce za předpokladu, že Slunce září jako absolutně černé těleso. Vzdálenost Slunce od Země je

149,5.106 km, poloměr Slunce 695550 km.

Příklad 3:

Jaký je rozdíl mezi experimenty a experimentálním zařízením, sloužícím ke studiu absorpčních a emisních

spekter

Příklad 4:

Formulujte hypotézu o souvislosti emisního a absorpčního spektra daného prvku (např. sodíku). Jak lze tuto

hypotézu ověřit.

74

Příklad 5:

Definujte základní fotometrické veličiny

75

GEOMETRICKÁ OPTIKA

Struktura základních pojmů:

Rychlost šíření světla

Jevy při dopadu světla na optické rozhraní

Zákon lomu

Zákon odrazu

Mezní úhel

Index lomu, využití v refraktometrii

Abbeův refraktometr

Význam měření indexu lomu v chemii

Příklady a otázky k procvičování

Příklad 1:

Světelný paprsek postupuje z prostředí s indexem lomu 1,5 do prostředí s indexem lomu 1,7. Paprsek dopa-

dá na rozhraní pod úhlem 300 a láme se pod úhlem . Posuďte, zda úhel lomu bude větší nebo menší než

úhel dopadu.

Příklad 2:

Vypočítejte index lomu diamantu, jestliže při dopadu světla na rozhraní vzduch-diamant pod úhlem 680 bu-

dou odražený a lomený paprsky navzájem kolmé.

Příklad 3:

Vypočítejte mezní úhel pro sklo, jehož index lomu je 1,51.

Příklad 4:

Index lomu skla pro červené světlo 1,505 a pro světlo fialové 1,524. Vypočítejte jakou rychlostí se budou

tato monochromatická záření šířit ve skle.

Příklad 5:

Vypočítejte index lomu flintového skla, jestliže se v něm šíří světlo rychlostí 1,667.108 m.s

-1.

Příklad 6:

Vysvětlete jevy, které mohou nastat při dopadu světla z jednoho optického prostředí na jiné optické prostře-

dí.

Příklad 7:

Jakého optického jevu a jakého světla se využívá při měření indexu lomu Abbeovým refraktometrem

76

PAPRSKOVÁ OPTIKA

Struktura základních pojmů:

Zobrazování rovinným zrcadlem

Zobrazování dutým a vypuklým zrcadlem

Zobrazování spojnou a rozptylnou čočkou (ohniska, ohniskové roviny, chod hlavních paprsků, zvětšení)

Skutečný a zdánlivý obraz

Geometrická konstrukce obrazu, zobrazovací rovnice

Příklady a otázky k procvičování

Příklad 1:

Tenkou rozptylnou čočkou o ohniskové vzdálenosti 150 mm se zobrazuje úsečka AB kolmá na optickou osu

umístěná ve vzdálenosti 350 mm od čočky.

a) Sestrojte graficky obraz úsečky AB.

b) Vypočtěte obrazovou vzdálenost a´. Je obraz skutečný nebo zdánlivý

c) Vypočtěte příčné zvětšení Z. Rozhodněte, zda obraz je přímý, nebo převrácený.

Příklad 2:

Tenkou spojnou čočkou o ohniskové vzdálenosti 150 mm se zobrazuje úsečka AB kolmá na optickou osu

umístěná ve vzdálenosti 350 mm od čočky.

a) Sestrojte graficky obraz úsečky AB.

b) Vypočtěte obrazovou vzdálenost a´. Je obraz skutečný nebo zdánlivý

c) Vypočtěte příčné zvětšení Z. Rozhodněte, zda obraz je přímý, nebo převrácený.

Příklad 3:

Předmět je umístěn 60 cm před dutým zrcadlem. Přiblíží-li se k zrcadlu o 10 cm, zvětší se vzdálenost obrazu

od zrcadla o 80 cm. Vypočítejte ohniskovou vzdálenost zrcadla.

Příklad 4:

Na rovinný povrch kapaliny dopadá ze vzduchu pod úhlem 500 světelný paprsek a vstupuje do ní pod úhlem

300. Lomený paprsek dopadá na přilehlé dno, jehož index lomu je 1,2. Určete

a) Index lomu kapaliny

b) Směr šíření paprsku ve dně nádoby.

Příklad 5:

Před tenkou spojkou s ohniskovou vzdáleností 0,20 m je umístěn předmět ve vzdálenosti 0,25 m. Určete,

v jaké vzdálenosti od středu čočky se vytvoří obraz.

Příklad 6:

Jakou optiku je nutno používat při experimentech s infračerveným zářením

77

VLNOVÁ OPTIKA

Struktura základních pojmů:

Světlo jako elektromagnetické vlnění

Rychlost šíření světla

Polarizace světla

Interference světla

Podmínka vzniku minim a maxim

Interference světla na tenké vrstvě

Ohyb světla

Ohybová mřížka, mřížková rovnice, mřížkový spektrometr

Příklady a otázky k procvičování

Příklad 1:

Mřížkovým spektrometrem bylo zjištěno, že při kolmém dopadu žlutého sodíkového světla na mřížku vzni-

ká ohybové maximum druhého řádu ve směru odchýleném od původního směru o úhel = 36,070. Vlnová

délka sodíkového světla je 589 nm.

a) Určete mřížkovou konstantu

b) Určete rozdíl drah paprsků vycházejících ze sousedních štěrbin ve směru svírajícím s původním smě-

rem úhel 900

c) Vyšetřete, která z maxim nultého až pátého řádů vzniknou.

Příklad 2:

Vysvětlete konstrukci mřížky, která pracuje na principu odrazu a mřížky, která pracuje na principu lomu.

Příklad 3:

Vlnové délky žlutých čar sodíkového světla ve vzduchu (při teplotě 15 0C a tlaku 1,013.10

5 Pa) jsou 01 =

588,997 nm, 02 = 589,593 nm a příslušné indexy lomu sulfanu n1 = 1,628, n2 = 1,626. Určete frekvence,

vlnové délky a fázové rychlosti světla v sulfanu. Uveďte, zda se v sulfanu změní barva světla.

Příklad 4:

Určete tloušťku mýdlové bubliny s indexem lomu 1,350 v místech, v kterých vidíme blánu v odraženém

světle žlutou (vlnová délka 589,3 nm), je-li blána kolmo osvětlena sodíkovým světlem. Zdůvodněte, proč

místa s vyššími řády interferenčního maxima (k = 2, 3,…..) mají postupně menší intenzitu než interferenční

maximum 1. řádu.

Příklad 5:

Na vrstvu oleje tloušťka 0,2 m, která je na vodě, dopadá kolmo sluneční světlo. Určete vlnovou délku svět-

la, které se bude v odraženém světle nejvíce a nejméně zesilovat. Rychlost světla v oleji je 2.108 m.s

-1, ve

vodě 2,2.108 m.s

-1.

78

Příklad 6:

Vysvětlete na základě schematického znázornění ohyb světla na štěrbině

Příklad 7:

Vysvětlete princip měření vlnové délky světla při použití Newtonových skel

Příklad 8:

Vysvětlete princip antireflexních vrstev např. u fotoaparátu, čoček, hranolů

Příklad 9:

Vysvětlete ohyb na dvojštěrbině

Příklad 10:

Vysvětlete principy polarizace světla odrazem a lomem

Příklad 11:

Vysvětlete princip polarimetru

79

KVANTOVÁ OPTIKA

Struktura základních pojmů:

Postuláty kvantové optiky

Fotoelektrický jev

Comptonův jev

Lasery

Fotometrie

Ke konci devatenáctého století se zdálo, že vše podstatné bylo ve fyzice již dokázáno. Vědci se domnívaly,

že nic nového nelze v oblasti fyziky objevit. Fyzika té doby se řídila i pro nás známými Newtonovými po-

stuláty. Isaac Newton své tři zákony dokázal již v sedmnáctém století. Na nich byla postavena fyzika té do-

by. Newtonovská klasická fyzika předpovídá v každém okamžiku přesné trajektorie částic s přesně určenými

souřadnicemi a hybností. Dovoluje, aby se translační, rotační nebo vibrační druhy pohybu měnily na

libovolnou energetickou hladinu podle působení sil.

Koncem devatenáctého století se nahromadily informace, u kterých klasická fyzika selhávala. Zejména, by-

la-li aplikována na přenosy velmi malých množstvích energie a na tělesa s velmi malou hmotností.

Jedním z příkladů, kde selhávali postuláty klasické fyziky bylo i záření černého tělesa.

Jakýkoliv horký objekt emituje elekromagnetické záření. Toto emitované záření má vlnovou délku v oblasti

viditelného spektra (400-700 nm). Kdybychom teplotu tělesa zvyšovali, posunovala by se i vlnová délka

emitovaného elektromagnetického záření. Nastal by posun ke kratším vlnovým délkám.

Z pohledu klasické fyziky tento experiment studoval lord Rayleigh, který považoval elektromagnetické pole

za soubor oscilátorů s různými frekvencemi. Rayleigh objevil přítomnost záření s frekvencí ν a vlnovou

délkou λ. Vše naznačovalo tomu, že záření bylo excitováno. Rayleigh použil ekvipartiční princip (zákon

rovnoměrného rozdělení energie. Vyplývá z klasické kinetické teorie látek. Podle něj je střední energie jedné

molekuly v rovnovážném stavu látky při termodynamické teplotě T° rozdělena stejnoměrně na všechny kva-

dratické složky energie. Tedy kinetickou, rotační a vibrační složku) na výpočet hodnoty průměrné energie

každého oscilátoru kT.

S menší pomocí Jamese Jeanse dospěl k Rayleigh – Jeansenovému zákonu. Rayleigh – Jeansenův zákon

platí pro vysoké hodnoty vlnových délek. Selhává však v oblasti malých hodnot vlnových délek. Podle této

rovnice by oscilátory malých vlnových délek byly excitovány již při pokojové teplotě. Znamenalo by to, že

by tělesa měla sálat ve tmě. Ve skutečnosti by vlastně žádná tma neměla existovat.

Z pohledu termodynamiky se otázkou záření absolutně černého tělesa zabýval německý fyzik Max Planck.

Na základě experimentálního pozorování v roce 1900 usoudil, že teoretické výsledky by se shodovali s

praktickými, za předpokladu, že energie elektromagnetického oscilátoru je omezena na diskrétní hodnoty.

Nemůže nabývat libovolných hodnot, ale pouze některých. Dovolené hodnoty energie elektomagnetického

oscilátoru s frekvencí νjsou pouze celočíselné násobky hν .

80

Pozorování, že elektromagnetické záření s frekvencí ν může nabývat energie jen 0, hν ,2 hν ,… na-

značuje, že se skládá z 0, 1, 2,… částic a každá částice má energii hν . Tedy, jestliže je přítomna jedna z

těchto částic, energie je hν, jestliže dvě, tak energie je 2 hν Tyto částice elektromagnetického záření se

nazývají fotony.

Principy kvantové chemie a fyziky mohou být pozorovány všude kolem nás. Výzkum by bez drahých pří-

strojů, které pracují právě na těchto principech, nebyl na takové úrovni, jak je dnes. Jedním z nich je napří-

klad laser. Název je odvozen podle anglického „light amplification by stimulated emission of radiation“.

Znamená to světlo zesilněné stimulovanou emisí záření. Jedná se v podstatě o zesilovač pro infračervenou,

viditelnou nebo ultrafialovou oblast. Lasery jsou založeny na interakci hmoty se zářením. Zjednodušeně si

můžeme princip laseru vysvětlit následovně. Atom absorbuje energii z vnějšího zdroje. Dojde k vybuzení

částic na vyšší energetickou hladinu. Jak bylo uvedeno (viz odstavec Excitace, Fluorescence, Fosforescence)

excitované částice se přebytečné energie, která ji činí nestabilní, zbaví vyzářením. Mluvíme tak o stimulo-

vané emisi. Generované záření je koherentní (všechny elektromagnetické vlny jsou ve fázi) a monochroma-

tické. „Snadnost excitovat elektrony atomů závisí i na skupenství, ve kterém se atomy nachází. Nazývejme

atomy nebo molekuly, které by byly schopny excitovat se a vyzářit elektromagnetické záření, aktivní atomy

nebo molekuly. V krystalech je kolem 0,1% aktivních atomů. V kapalné fázi je koncentrace aktivních atomů

c = 10-5

-10-3

°mol.l-1

. V plynném prostředí může dosáhnout počet aktivních atomů nebo molekul až 100%.

Excitace, Fluorescence, Fosforescence

Každá částice má určitou energii. Jinak by nemohla existovat. Energetický stav kvantového systému je, jak

už bylo řečeno, kvantován, a pohybuje se po určitých diskrétních hodnotách. Energetické hladiny částice,

které mají větší hodnotu než je základní hodnota energie se nazývají excitované (vzbuzené) stavy. Příslušná

energie, o kterou energie převyšuje energii základního stavu se nazývá excitační energie. Systém v excito-

vaném stavu je vždy nestabilní a přechází do energetické hladiny s nižší energií, popř. do základního stavu

vyzářením fotonu nebo částice. Aby se částice dostala do excitovaného stavu, musí přijmout energii. A to

buď chemicky (chemickou reakcí), bombardováním energeticky bohatými částicemi

81

Kvantové vlastnosti záření se výrazně projevují při fotoelektrickém jevu, který pozorujeme u kovů ( vněj-

ší fotoel. jev) a polovodičů ( vnitřní fotoel. jev). Fotoelektrický jev byl znám už dlouho, ale až v našem

století byl vysvětlen.

Při vnějším jevu se působením záření uvolňují elektrony, které unikají z povrchu látky. Zinková destička

(katoda) je připojena přes galvanometr k zápornému pólu zdroje a před katodou je kovová síťka – anoda. Po

ozáření krátkovlnným zdrojem Z se z katody uvolňují elektrony, které jsou přitahovány k anodě a dochází

k uzavření elektrického obvodu – galvanometrem prochází malý proud (fotoproud).

Experimentálně byly zjištěny zákonitosti vnějšího fotoelektrického jevu:

1. Pro každý kov existuje mezní frekvence fm, při níž dochází k fotoemisi. Je-li f < fm, k fotoelektrickému

jevu nedochází.

2. Elektrický proud (počet emitovaných elektronů) je přímo úměrný intenzitě dopadajícího záření.

3. Rychlost emitovaných elektronů (tedy i jejich kinetická energie) je přímo úměrná frekvenci dopadající-

ho záření, závisí na materiálu katody a nezávisí na intenzitě dopadajícího záření.

Klasická fyzika nedokázala uspokojivě vysvětlit závislost na frekvenci a nezávislost energie elektronů na

intenzitě dopadajícího záření.

Vysvětlení podal v roce 1905 A. Einstein s využitím Planckovy kvantové teorie a za teorii fotoelektrického

jevu získal v roce 1921 Nobelovu cenu.

Einstein předpokládal, že elektromagnetická vlna o frekvenci f a vlnové délce je soubor částic, světelných

kvant o určité energii a hybnosti

82

Při fotoelektrickém jevu každé kvantum záření předá svou energii pouze jednomu elektronu, který ji využije

k uvolnění z kovu (výstupní práce Wv) a na zvýšení své kinetické energie.

Einsteinova rovnice fotoelektrického jevu pak má tvar:

Je-li f < fm, nemá kvantum záření dostatečnou energii na uvolnění elektronu z kovu.

Je-li f ≥ fm, elektrony se ihned uvolňují a jejich počet (velikost fotoproudu) závisí na počtu dopadajících

kvant, tj. na intenzitě záření.

Malou výstupní práci mají kovy se slabě vázanými elektrony (např. u cesia fotoefekt nastává ve viditelné

oblasti – m = 642 nm), zinek má výstupní práci větší a k fotoefektu dochází v ultrafialové oblasti. Fotoelek-

trický jev se uplatňuje v optoelektrických zařízeních, automatizačních soustavách, snímacích elektronkách

televizních kamer, slunečních bateriích apod. Nejčastěji se využívá vnitřní fotoelektrický jev

v polovodičových součástkách – fotorezistor a fotodioda.

Fotorezistor – pokud není osvětlen, má velký odpor, který se po osvětlení snižuje a obvodem

s fotorezistorem prochází proud úměrný intenzitě dopadajícího záření.

Fotodioda – po osvětlení snižuje svůj odpor v závěrném směru (odporové zapojení) nebo na elektrodách

diody vzniká napětí a fotodioda se stává zdrojem stejnosměrného napětí (hradlové zapojení).

Princip a některé typy laserů

Pokud se podaří docílit toho, že vyšší energetická hladina je více obsazena, N2 > N1 nedojde k zeslabování

záření, ale naopak k zesilování záření. Prostředí záření zesiluje.

Zesilování záření pomocí kvantové soustavy energetických hladin, patřících určitým částicím je možné jen

tehdy, jestliže obsazení vyšší energetické hladiny je větší než obsazování nižší energetické hladiny. To

ovšem znamená, že tento jev nemůže nastat v případě termodynamické rovnováhy. Musíme tedy porušit

termodynamickou rovnováhu, neboli zasáhnout do distribuce energetických hladin. Prostředí, které je

schopno zesilovat optické záření potom nazýváme aktivním prostředím nebo také prostředím s inverzní

populací..

Jak vytvořit aktivní prostředí, neboli jak docílit efektu zesilování. K tomu vede několik cest, procesy se ob-

vykle označují jako buzení laserů nebo také excitace.

1. Základní metodou, která byla použita fyzikem Maimanem je tzv. optické buzení. Představme si sousta-

vu tří energetických hladin

83

2 Rychlá relaxace

1

Buzení

Laser

0

Pokud máme k dispozici dostatečně intenzivní zdroj záření o vlnové délce 0,3 , odpovídající přechodu

0 2, bude výrazně populována hladina 2, zatímco obsazení hladin zůstane prakticky nezměněné. Potom

může nastat situace, kdy populace hladiny 2 převýší populaci 1 a 2 a mezi těmito hladinami může dojít

k zesílení záření o energii fotonů, odpovídající energetickému rozdílu hladin E2 – E1 nebo E2 – E0 .

Sám Maiman použil v rubínu buzení lampou hladiny 2, která je ovšem hladina s velmi krátkou dobou života

a nezářivým procesem je populována metastabilní (s dlouhou dobou života) hladina 1. Při intenzivním buze-

ní se potom mezi hladinami 1 a 0 vytvoří inverzní populace. Toto schéma je však nevýhodné, protože zá-

kladní hladina se velmi rychle zaplňují a inverzní populace rychle mizí.

Proto je mnohem výhodnější čtyřhladinové schéma, kde nad základní hladinou leží ještě jedna, na níž končí

stimulovaný laserový přechod.

3

Rychlá relaxace

2

Buzení Laser

1

Relaxace

0

84

2. Buzení elektrickým výbojem v plynech (pro plynové lasery a lasery pracující s parami kovů)

3. Buzení exotermickou chemickou reakcí

4. Přímé injektování elektrického proudu (polovodičové lasery)

Princip zesílení

Laserové

záření

Totálně Polopropustné zrcadlo

Odrazné zrcadlo

Zrcadlo, které efektivně vrací záření emitované z aktivního prostředí zpět. Tím se již jednou zesílené záření

vrací zpět a dochází k dalšímu zesílení.

Na opačné straně ve společné optické ose je umístěno druhé zrcadlo, které opět vrací záření k dalšímu zesí-

lení. Tímto mnohonásobným průchodem aktivním prostředím je záření zesilováno a uvnitř optického systé-

mu, který se nazývá otevřený neboli Fabryův-Perotův rezonátor se vytváří stojaté vlnění. Pokud jedno ze

zrcadel neodráží 100 % dopadajícího záření, jedná se o polopropustné zrcadlo. Část energie je vyvázána

mimo rezonátor. Záření vyniká zcela mimořádnou monochromatičností.

Typy laserů

Obecně lze lasery třídit podle:

Materiálu aktivního prostředí,

Časového průběhu intenzity laserového záření

Spektroskopického chování laserů

Lasery podle materiálu aktivního prostředí

1. Pevnolátkové lasery

Aktivní prostředí ve formě pevné látky má několik výrazných výhod. Jednou je velmi vysoká hustota

částic, které se mohou podílet na zesilování záření, v jednotce objemu. Vlastní prostředí je opticky trans-

parentní materiál krystalické nebo sklovité povahy, který slouží jako nosná mřížka. Do této mřížky se

zabudovávají opticky aktivní ionty příměsí, na nichž vlastně dojde k vytvoření aktivního prostředí.

Množství příměsí může být rozdílné, ale obecně je nižší než 1 %. V případě rubínu, což je krystal Al2O3

s příměsí Cr3+

, je koncentrace chromových iontů pouze 0,05%.

85

Zatímco volné ionty mají ostré čárové spektrum, ionty umístěné v krystalové mřížce jsou podrobeny si-

lovému působení a původně čárové spektrum přechází v pásové. Níže ležící hladiny jsou přitom rozšiřo-

vány méně než hladiny ležící výše. Rozšiřování je důsledkem nehomogenit v krystalové mřížce.

Existuje celá řada kombinací nosných skeletů a příměsových iontů. Jedná se o Al2O3, ale také např.

CaWO4, SrWO4, CaMO4, SrMO4, PbMO4, CaF2, BaF2, SrF2, YAG (ytrium aluminium granat Y3Al5O12)

a řada jiných. Ze skel je možné použít bariové sklo (oxid křemičitý, barnatý, draselný a antimonitý).

Do těchto nosičů bývají zabudovány aktivní příměsové ionty, jako např. chromité, titanité, holmité a dal-

ší.

Pevnolátkové lasery mohou být čerpány pouze pomocí optického záření. Jako budícího zdroje se nejčas-

těji využívá výbojová lampa plněná plynem, např. xenonem. Výhodou těchto laserů je kompaktní kon-

strukce, velká hustota aktivních částic a dobrá regulovatelnost výstupního záření pomocí budícího zdroje

a přídavných optických prvků.

2. Plynové lasery

Jako aktivní prostředí využívají plyn. Pod pojmem plyn většinou chápeme směs několika plynných

komponent, přičemž jako aktivní slouží vždy pouze jedna složka. Třída plynových laserů je neobyčejně

rozsáhlá. Tvoří ji skupina vzácných plynů (Ne, Kr, Xe), molekulární plyny oxid uhličitý, dusík, oxid

dusný, chlorovodík, fluorovodík a řada dalších, ale také páry kovů a neutrálních atomů.

Podmínky, za kterých plynové lasery pracují, jsou velmi rozmanité. Plynové prostředí může mít velmi

nízký tlak, potřebný pro zapálení stabilního doutnavého výboje, ale může také pracovat při atmosfé-

rickém a vyšším tlaku. Nejčastěji jsou buzené výbojem, ale je možno budit je i opticky, elektronovým

svazkem, chemickou reakcí.

Plynové lasery generují záření jak kontinuálně, tak ve formě pulsů. Zahrnují oblast od milimetrových

vln až po ultrafialovou oblast. Jsou výrazně monochromatické, některé typy jsou také laditelné.

Proces buzení v laserové trubici probíhá v důsledku srážek částic aktivního prostředí s elektrony výboje.

Výboj se vytvoří mezi dvěma hlavními podélnými elektrodami. Další možností buzení je srážkou

s rychlými elektrony. Pro buzení lze využívat také záření jiného laseru. Jedná se o tzv. opticky čerpané

lasery. K excitaci musí být jako zdroj využit jiný laser. V případě dobré koincidence laserové a absorp-

ční linie je plyn velmi účinně a selektivně excitován, neboť dochází ke zvyšování obsazení pouze jedné

energetické hladiny relativně k ostatním.

Poněkud neobvyklým způsobem mohou být buzeny některé molekulární lasery. Excitace se týká vibračních

energetických hladin. Jestliže (např. ohřevem) vybudíme molekulární prostředí a relativně tak zvýšíme ob-

sazení vyšších energetických hladin, můžeme využít skutečnosti, že rozdílné energetické hladiny mají

odlišnou dobu života, neboli odlišnou rychlost relaxace. Při prudkém ochlazení, např. expanzi do vakua,

mohou některé hladiny zamrznout ve vybuzeném stavu, zatímco jiné rychle relaxují a vrací se do Boltz-

mannova rozložení, odpovídající teplotě na výstupu.

86

Další možností buzení je chemickou reakcí. Jsou známy pod názvem “chemické lasery”. Reakce musí být

exotermní a musí proběhnout rychle, to znamená dříve, než se reakční produkt nebo částice na kterou má

být takto získaná energie přenesena, vrátí relaxačními pochody do termodynamické rovnováhy. Musí se

proto zřejmě jednat o reakce rychlého hoření nebo dokonce reakce explozivní.

Kapalinové lasery

Aktivním prostředím je kapalina. Může se jednat o roztok, což je vlastně obdoba pevnolátkových laserů, kdy

je v nosném mediu rozptýleno malé množství aktivních “laserových” částic. Na rozdíl od pevnolátkových

laserů však toto prostředí může zaujímat vhodný objem podle nádoby. Nejčastějším zástupcem kapalino-

vých laserů jsou lasery barvivové, které využívají roztku organických barviv. Jedná se o poměrně složité

molekuly typů rhodaminu, stilbenu, kumarinu a dalších. Ty díky množství vnitřních interakcí a velké hustotě

energetických hladin, které jsou navíc rozšířeny interakcí s rozpouštědlem mají pásový charakter a nikoliv

čarový charakter spekter. Princip činnosti těchto laserů je zřejmý z tzv. Jablonského diagramu.

Buzení probíhá opticky s dobrou účinností přes singletový přechod S0 S1. Část energie se může

ztrácet na vybuzení tripletového stavu T1 pomocí mimosystémového přechodu ICS (intersystem crossing

přechod) a dále na buzení vyšších tripletových hladin. Nicméně většina energie „deformuje „ rovnovážné

obsazení obsazení uvnitř energetických pásů a tak vlastně vytváří přebytek částic v části prvého singletové-

ho stavu.

K laserové emisi dochází na stejném přechodu jako absorpce, tedy S0 S1 (fluor),s posunem emise

do oblasti větších vlnových délek než je vlnová délka čerpacího záření. Část energie přenesená do tripleto-

vého stavu pak bude s mnohem nižší rychlostí (o tři řády) relaxovat přes pomalý proces fosforescence zpět

na základní singletový stav.

K buzení je možno použít jak výbojku, jejíž účinnost ale není velká, tak jiné lasery. Bohužel, část energie se

transformuje na teplo a snižuje inverzní populaci. Pokud bychom intenzivně excitovali barvivo v jednom

místě, došlo by posléze k vymizení inverze populace způsobenému ohřevem roztoku. Je proto potřeba

roztok promíchávat a při vyšším přísunu budící energie cirkulací barviva udržovat “čerstvý” roztok, který je

vhodné i chladit.

Destruktivně působí i samo budící záření. Rozměrné molekuly organických barviv podléhají fotodegradaci a

proto je nutné počítat s občasnou výměnou roztoku. V současné době se v komerčních barvivových laserech

používají průtokové křemenné kyvety, napojené na cirkulační a chladící okruh.

Šířka pásma barvivového laseru je poměrně značná, asi 50 – 100 nm, podle typu barviva.

Aplikace a užití laseru

V dnešní době se stále více používá laseru jako výrobního nástroje. Předností laserového zpracování mater i-

álu je jeho vysoká flexibilita, malé tepelné ovlivnění materiálu, různorodost materiálu, který se dá laserem

zpracovávat a možnost inovace četných technologických systémů.

87

Lasery (a masery) se v mnoha aplikacích uplatňují v nejrůznějších výzkumných a průmyslových odvětvích:

Poskytují vynikající etalony času a délky. Důležitou součástí systému globálního indikátoru polohy

(GPI) jsou vodíkové maserové hodiny. Vodíkový maser umožňuje vyrobit hodiny s přesností asi 10–

15 s, ve srovnání s hodinami na principu svazku cesiových atomů.

Lasery dokázaly změřit Rydbergovu konstantu s přesností 5·10–15

.

Díky laserům není už mezinárodním standardem délky standardní metrová tyč, ale vlnová délka urči-

té spektrální linie. Lasery jsou rovněž skvělým zaměřovacím nástrojem, který snadno poskytuje

přímky i přesné měření vzdálenosti. Například laserové pulsy vyslané na Měsíc a odražené zpět na

Zemi změřily vzdálenost Měsíce s přesností přibližně jeden palec (palec, angl. inch = 25,396 mm,

střední vzdál. Země-Měsíc = 384 000 km).

LIGO, experimentální aparatura v California Institute of Technology (USA) k měření gravitačních

vln, používá laser k měření konstantnosti asi čtyřkilometrové vzdálenosti s přesností 10–21

km nebo

4·10–16

cm, což je asi 10–8

velikosti atomu.

Velmi krátké časy, až několik násobků 10–15

s, se také měří pomocí laserových pulsů a umožňují tak

vědcům pozorovat procesy chemických reakcí.

Masery a lasery poskytují nejcitlivější zesilovače elektromagnetických vln s citlivostí blízkou jed-

nomu fotonu na jednotku šířky pásu.

Vysoký výkon laseru dovoluje vytvořit širokou škálu nelineárních optických jevů, přičemž poskytuje

první, druhé a třetí harmonické frekvence světla, stejně jako směsi frekvencí. Lasery mohou s pomo-

cí pulsů dát velké množství nelineárních efektů bez přehřívání optického média, a tím poskytují nové

fyzikální jevy a nové metody pro analýzu materiálů.

Lasery také mohou materiály ochlazovat; umožňují dosahovat teplot až 10–6

K a otevírají tak další

nové a široké pole fyzikálních jevů.

Vysoká frekvence viditelného světla představuje obrovský potenciál šířky pásu pro komunikaci a

přenos laserového záření pomocí optických vláken, se šířkami pásu 10–11

Hz přenášenými jedním op-

tickým vláknem, je dnes důležitou součástí komunikační techniky. Lasery jsou proto běžným a důle-

žitým nástrojem při záznamu a čtení informace.

Koncentrovaná energie krátkých laserových pulsů může řezat nebo odpařovat materiál. To činí lase-

ry užitečnými pro operace v medicíně, ale i pro jiné způsoby využití v lékařství.

Vysoce koncentrovaný výkon laserového svazku se široce využívá při řezání a svařování a v široké

škále průmyslových výrobních postupů.

V průmyslu se nejčastěji používají lasery CO2 a Nd:YAG, v poslední době i diodové lasery, (viz tab.) a lase-

ry rubínové.

Tab. Rozdělení typů laserů se základními technickými parametry

88

Zdroj CO2 laser Nd:YAG laser

(buzený výbojkami)

Nd:YAG laser

(buzený diodami) Diodový laser

vlnová délka 10,6 m 1,06 m 1,06 m 0,8 ÷ 1,0 m

účinnost 5 ÷ 15% 2 ÷ 5% 10 ÷ 20% 30 ÷ 55%

výkon do 40 kW do 6 kW do 5 kW do 6 kW

druh provozu kontinuální/pulzní kontinuální/pulzní kontinuální/pulzní kontinuální

intenzita v ohnisku

106 ÷ 10

8 W/cm

2 105 ÷ 10

7 W/cm

2 106 ÷ 10

8 W/cm

2 103 ÷ 10

5 W/cm

2

přibližná cena 50 ÷ 100 euro/W 75 ÷ 150 euro/W 100 ÷ 175 euro/W 80 ÷ 100 euro/W

typické apli-

kace řezání, svařování

svařování, obrábění

povrchu

svařování, obrábění

povrchu

svařování, obrábění

povrchu

CO2 laser je plynový laser s aktivním prostředím CO2, který generuje stimulované záření o vlnové délce

10,6 µm nebo 9,6 µm s účinností až 25 %. Záření je usměrňováno odrazovými zrcadly s vysoce precizními

naváděcími systémy, což zaručuje stálou kvalitu. V kontinuálním provozu dosahuje CO2 laser výkonu až

několika desítek kW, v pulsním až několika set MW.

CO2 laser je jeden z nejstarších plynových laserů (v roce 1964 ho vynalezl C. Kumar N. Patel v Bellových

laboratořích) a stále je jedním z nejpoužívanějších. V současné době je CO2 laser nejsilnější kontinuální la-

ser. Má také dobrou účinnost (okolo 20%).

Aktivní prostředí tvoří:

Oxid uhličitý (CO2) - kolem 10–20 %

Dusík (N2) - kolem 10–20%

Vodík (H2) a/nebo xenon (Xe) - několik procent; obvykle používaný jen v zatavené trubici.

Helium (He) - zbytek směsi plynu

Vzájemné poměry těchto prvků se mohou u jednotlivých CO2 laserů lišit. Ke stimulované emisi dochází

pouze v molekulách CO2, ostatní plyny zlepšují podmínky vzniku inverzní populace.

Druhy:

Laser buzený elektrickým výbojem v trubici se směsí plynů. Používá se vysokonapěťový zdroj (1000

- 1700 V) o proudu 30 až 50 mA.

Expanzní CO2 laser - je tvořený expanzní komorou, do které se vhání plyny. K excitaci molekul CO2

dochází díky elektrickému obloukovému výboji o vysoké teplotě. Plyn s excitovaným CO2 proudí

rychlostí několikrát převyšující rychlost zvuku ve vzduchu štěrbinovou tryskou do vakua. Díky rych-

lému snižování tlaku dochází k poklesu teploty plynu. Energetické hladiny s velkými energiemi v

molekulách CO2 zůstávají po určitou dobu zaplněny elektrony. Říká se tomu "zamrzání" vyšších

energetických hladin.

89

Neodymový laser je kvantový generátor infračerveného záření o vlnové délce 1,06 µm. Je založen na využi-

tí zářivých přechodů v energetickém spektru Nd3+

v aktivním prostředí monokrystalu yttrito–hlinitého gra-

nátu (YAG).

ND:YAG lasery mají ve srovnání s CO2 lasery vyšší absorpci záření u vysoce odrazivých materiálů, např.

mědi nebo hliníku. S flexibilními světlovody lze záření ND:YAG laserů přenášet téměř beze ztrát, takže lze

realizovat obrábění velmi malých objektů. Pro průmyslové použití se vyrábějí ND:YAG lasery s trvalým

výkonem až 6 kW. S pulsně řízenými ND:YAG lasery může být dosaženo pulsního výkonu až 10 kW, takže

mohou být použity pro řezání a sváření materiálů tloušťky až 40 mm.

Polovodičový laser je kvantový generátor koherentního záření, jehož aktivním prostředím je polovodičový

krystal obvykle menší než 1 mm. Polovodičový laser má pro své nepatrné rozměry uplatnění zejména ve

sdělovací technice.

Rubínový laser je kvantový generátor koherentního záření o vlnové délce 0,69 µm. Využívá luminiscence

rubínového monokrystalu (Al2O3 : Cr3+

). V kombinaci se zesilovačem má při délce pulsu několik ns nebo ps

výkon až několik tisíc MW. V kontinuálním režimu může generovat výkon několik W.

Rubínový laser se v technologii používá při řezání, vrtání a svařování, v astronomii pro lokaci družic a ves-

mírných objektů a v očním lékařství pro některé speciální zákroky.

Diodové lasery se vyrábějí pro výkony několika W až 6 kW. Tyto lasery mají vysokou účinnost (až 55 %),

avšak ve srovnání s CO2 a ND:YAG lasery mají nižší kvalitu sváření.

Pro aplikaci vhodného laseru je důležitá hlavně absorpce záření u opracovávaného materiálu. U krátkovln-

ných ND:YAG laserů je stupeň absorpce 3 až 5kráte vyšší nežli u dlouhovlnného CO2 laseru, který je zase

vhodný pro většinu umělých hmot.

Ve srovnání s konvenčními metodami se při laserovém opracovávání materiálů neopotřebovává žádný obrá-

běcí nástroj, obráběný materiál je celkově minimálně namáhán a pracovní rychlost je vysoká.

Laserový ohřev lze automaticky a flexibilně řídit, kvalita opracování je výborná a stabilní. V metalurgickém

průmyslu se laserový ohřev používá na řezání, vrtání, svařování, letování a povrchové vytvrzování. Lasero-

vý ohřev je cenově výhodný i při velké rozmanitosti výrobků a při malých vyráběných sériích.

CO2 laser se v průmyslu nejčastěji používá k řezání. Předností je úzký a čistý řez, který zaručuje minimální

tepelný vliv na okolní materiál.

Koaxiálně s laserovým paprskem se přivádí do řezné rýhy pod vysokým tlakem plyn, který vyfukuje zbytky

materiálu v řezné ploše. Obvykle je to kyslík, u ušlechtilých ocelí, hliníku a titanu se používají inertní plyny.

Laserové sváření má mnohostranné využití, od sváření drobných pružinek pro měřicí přístroje až po sváření

silných plechů.

U drobných výrobků velikosti několika milimetrů a pro bodové sváření se uplatňují Nd-YAG lasery s výko-

nem do 1,5 kW.

90

Užití laseru v medicíně

V současnosti se v medicíně používají Nd:YAG a CO2 lasery, které pracují v pásmu infračerveného záření.

Pro klinickou praxi byl např. na ČVUT vyvinut a realizován kontinuální Nd:YAG laser s přenosem záření

optickým vláknem MEDICALAS. Přístroj má řídicí počítač SAPI, který současně s regulací výkonového

čerpacího zdroje a nastavení parametrů laserové akce kontroluje a řídí celou řadu čidel a akčních členů. Tím

se stává obsluha zařízení jednodušší a předchází se i porušení některých bezpečnostních požadavků při práci

s lasery. Byly vyvinuty aplikační koncovky pro obecnou chirurgii a endoskopii a elektronická řídicí jednotka

pro laserovou likvidaci („hypertermii„) nádorů.

Biologické účinky laseru

Infračervený paprsek chirurgického laseru, který se používá k vedení řezu, je silně pohlcován biologickými

tkáněmi, které obsahují vnitrobuněčnou a mimobuněčnou tekutinu. To způsobuje odpařování tkáně. Povrch

klasického a laserového řezu se podstatně liší.

U operace provedené laserem je řez hladký a tkáň je poškozena jen tepelnou nekrózou, která zároveň slouží

jako ideální kryt ranné operační plochy.

Lasery se ale uplatňují v mnoha dalších oborech, počínaje geodézií a konče zbrojní technikou.

Na rozdíl od rychlosti střely v ústí hlavně děla 1,6 km·s–1

je rychlost laserového paprsku 300 000 km·s–1

. Již

v roce 1980 byl realizován laser s výkonem 5 MW, který mohl likvidovat objekty vzdálené až 800 km. Lase-

ry o výkonu 100 až 200 MW umístěné v kosmickém prostoru by byly schopny zničit všechny umělé družice

a napadat i interkontinentální střely.

Příklady a otázky k procvičování

Příklad 1:

Vysvětlete jev, který je označován jako gravitační rudý posun.

Příklad 2:

Za předpokladu, že wolframové vlákno obyčejné žárovky je ekvivalentní absolutně černému tělesu při teplo-

tě 2900 K, vypočtěte procento zářivé energie, emitované ve formě viditelného světla s kmitočty mezi 4.1014

a 7.1014

Hz.

Příklad 3:

Odvoďte vztah, který udává změnu frekvence, resp. Vlnové délky fotonu při Comptonově jevu.

Příklad 4:

Foton röntgenova záření, jemuž přísluší vlnová délka 1.10-10

m, dopadne na slabě vázaný elektron atomu

lehkého kovu a odchýlí se od svého původního směru o úhel 900. Vypočítejte, jak velkou energii při této

srážce získal elektron a v jakém směru se bude po srážce pohybovat.

91

Příklad 5:

Jakou hodnotu musí mít vlnová délka fotonu, jestliže má ionizovat atom cézia, jehož ionizační potenciál je

= 3,88 V.

Příklad 6:

Klidová hmotnost elektronu je 9,109.1028

g. Jaká je energie elektronu, která odpovídá této hmotnosti.

Příklad 7:

Určete energii, hybnost a hmotnost fotonu röntgenova záření s vlnovou délkou 1.10-10

m.

92

DOPORUČENÁ LITERATURA

Beiser, A.: Úvod do moderní fyziky. Academia, Praha 1978.

Novotný D.: Teorie elektromagnetického pole. PřF UJEP, Ústí n.L, 2008.

Jackson, J. D.: Classical Electrodynamics (3-rd Edition). John Willey, New York, 1998.

Sedlák B., Štoll I.: Elektřina a magnetismus. Academia Praha, 2002.

Kvasnica J.: Teorie elektromagnetického pole. Academia Praha, 1985.

Saleh B. E. A., Teich M. C. : Fundamentals of Photonics. John Wiley & Sons, New York - Chichester -

Brisbane - Toronto - Singapur (český překlad: Základy fotoniky sv.1. MATFYZPRESS, Praha 1994)

Main I. G.: Kmity a vlny ve fyzice. Academia, Praha. 1990

Klimeš B., Kracík J., Ženíšek A. Základy fyziky II. Academia, Praha. 1972.

Fuka J., Havelka B.: Elektřina a magnetismus, SPN, Praha. 1965.