FURIEOVI REDOVI
Pretpostavimo da funkcija f(x) u konacnom intervalu (a, b) (a
< b) zado-voljava sledece uslove: postoji takav broj M da je
|f(x)| M za svako x (a, b) (tj. funkcija je
ogranicena u (a, b)); f(x) ima najvise konacan broj tacaka
prekida i sve su one prve vrste, tj.
u svakoj tacki prekida postoji konacna leva granicna vrednost
limx0
f(x) =
f(0) i konacna desna granicna vrednost limx+0
f(x) = f(+0);
ima konacan broj strogih ekstrema.Fourier-ov red funkcije f(x)
je funkcionalni (tigonometrijski) red oblika
a02
+n=1
(an cosnpix
l+ bn sin
npix
l) (1)
gde je l =b a
2, a0 =
1
l
ba
f(x)dx
an =1
l
ba
f(x) cosnpix
ldx, bn =
1
l
ba
f(x) sinnpix
ldx za n = 1, 2, 3, . . .
Oznacimo li sumu reda (1) sa S(x), onda (pod navedenim uslovima)
vazi sledece:
S(x) je definisana za svako realno x, tj. oblast konvergencije
reda (1) jerazmak (,): S(x) je periodicna funkcija sa periodom b a
= 2l za x (a, b) je S(x) = f(x+ 0) + f(x 0)
2(u specijalnom slucaju, kada
je f(x) neprekidna funkcija u tacki x, ova jednakost se pretvara
u S(x) = f(x))
S(a) = S(b) = f(a+ 0) + f(b 0)2
;
ako je a = l i b = l, tj. ako je (a, b) razmak ciji je centar u
tacki x = 0,tada parnost funkcije f(x) (f(x) = f(x)) u tom razmaku
povlaci bn = 0,a0 =
2
l
l0
f(x)dx i an =2
l
l0
f(x) cosnpix
ldx za svako n = 1, 2, 3, . . ., a iz
neparnosti funkcije f(x) (f(x) = f(x)) sledi an = 0 za n = 1, 2,
3, . . . ibn =
2
l
l0
f(x) sinnpix
ldx za n = 1, 2, 3, . . .
cos npi = (1)n sinnpi = 0
1
2.Funkciju f(x) = cos ax razviti u Furijeov red na intervalu
(pi, pi).Resenje:
l = pi, f(x) = f(x) bn = 0
a0 =2
pi
pi0
cos ax dx =2
pi
sin ax
a
pi0
=2
pia
(sin api sin 0) = 2sin api
api
an =2
pi
pi0
cos ax cos nxdx =1
pi
pi0
(cos(a+ n)x+ cos(a n)x)dx
=1
pi
(sin(a+ n)x
a+ n+sin(a n)x
a n)pi
0
=1
pi
(sin(a+ n)pi
a+ n+sin(a n)pi
a n)
=1
pi
(sin apicos npi + sin npicos api
a+ n+sin apicos npi sin npicos api
a n)
=1
pi
(sin api(1)n
a+ n+sin api(1)n
a n)
=(1)npi
asin api nsin api + asin api + nsin apia2 n2
=2a(1)npi(a2 n2)sin api
f(x) =2sin api
2pia+
n=1
2a(1)npi(a2 n2) sin api cos nx
f(x) =2sin api
pi
(1
2a+
n=1
a(1)na2 n2 cos nx
)
3.Funkciju f(x) = |x| razviti u Furijeov red na intervalu (1,
1).Resenje:
l = 1, f(x) = f(x) bn = 0
f(x) =
{ x, 1 < x < 0x, 0 x < 1
a0 = 01xdx+
10
xdx =x2
2
01
+x2
2
10
=1
2+
1
2= 1
an = 01xcos npix dx+
10
x cos npix dx
x = u cos npix dx = dv
dx = dusinnpix
npi= v
3
10(1)nnpi
f(x) =
n=1
10(1)nnpi
sinnpix
5=
10
pi
n=1
(1)nn
sinnpix
5
5.Funkciju f(x) = 5x2 razviti u Furijeov red na intervalu (pi,
pi).Resenje:
l =pi (pi)
2= pi f(x) = f(x) bn = 0
a0 =2
pi
pi0
5x2dx =10
pi
x3
3
pi0
=10pi2
3
an =5
pi2
pi0
x2cosnpix
pidx =
10
pi
pi0
x2cosnxdx =10
pi
(x2sin npi
n
pi0
2n
pi0
x sinnxdx
)x2 = u cos nx dx = dv x = u sinnx dx = dv
2xdx = dusinnx
n= v dx = du cos nx
n= v
= 20npi
(xcosnx
n
pi0
+1
n
pi0
cosnxdx
)= 20
npi
( picosnpi 0 cos0
n+sinnx
n2
pi0
)=
20(1)nn2
f(x) =5pi2
3+
n=1
20(1)nn2
cosnpix
pi=
5pi2
3+ 20
n=1
(1)nn2
cosnx
6.Funkciju f(x) =pi x
3razviti u Furijeov red na intervalu (0, 2pi).
Resenje: f(x) =2
3
n=1
sinax
n
7.Funkciju f(x) = 2x2 2 razviti u Furijeov red na intervalu (1,
1).
Resenje: f(x) =2
3+
2
pi
n=1
4(1)nn2pi
cosnpix+(1)nn
sinnpix
8.Funkciju f(x) = sinax razviti u Furijeov red na intervalu (pi,
pi).
Resenje: f(x) =2sinapi
pi
n=1
n(1)na2 n2 sinnx
5
