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Funktionen und funktionales Denken

Referenten: Ines HeinrichRonny Do Xuan

Mathematikdidaktik A

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Gliederung

• Geschichte• Lehrplaneinordnung, Bildungsstandards• Funktionales Denken • Erarbeitung einer Übersicht• Schulmathematische Grundlagen

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Geschichte• schon seit 2000 v. Chr. bis Ende 16.Jh.

Tabellierung, trigonometrische/ logarithmische Tafeln

• 1636 Einführung des Koordinatensystems u. A. durch Rene Descartes

• 1671 Isaac Newton Entwicklung der Begriffe Fluxionen und Fluente

• 1694 Leibniz hat das Wort „Funktion“ eingeführt

• 1734 Euler Funktionsbezeichnung f(x) eingeführt

• 1888 Dedekind Begriff „Abbildung“ als eindeutige Zuordnung

• Im 20. Jh. Neudefinition unter dem Einfluss der mengentheoretisch orientierten Sicht der Mathematik

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Geschichte

• FELIX KLEIN (1849-1925) – Reform des Mathematikunterrichts– Der Funktionsbegriff sollte zu

einem Leitbegriff werden, der in der Algebra Problemstellungen und Lösungsverfahren liefern sollte.

– Mit Hilfe des Funktionsbegriffs sollte eine enge Verbindung zwischen Algebra und Geometrie hergestellt werden.

– Schließlich sollte das funktionale Denken alle Bereiche des Mathematikunterrichts befruchten.

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LehrplanBayern Hessen Thüringen Sachsen

6 •Proportionalität •Proportionalität

7 •Proportionalität •Proportionalität •Tabellenkalkulation

8 •Einführung des Funktionsbegriffs•Lineare Funktionen und ihre Graphen

•Lineare Funktionen •Kennen von Funktionen•Anwenden von Eigenschaften linearer Funktionen

9 •Quadratische Funktionen und ihre Graphen

•Quadratische Funktionen

•Lineare Funktionen•Quadratische Fkt.

•Quadratische Funktionen•Potenzfunktionen

10 •Potenzfunktionen•Exponentialfunktionen•Logarithmusfunktionen

•Potenzfunktionen•Exponentialfunktionen•Logarithmusfunktionen,•Wachstumsmodelle,•Trigonometrische Funktionen

•Potenzfunktionen•Exponentialfunktionen •Trigonometrische Funktionen •Umkehrfunktionen

•Wachstums- und Zerfallsprozesse•Exponentialfunktionen•Sinusfunktion•Umkehrfunktionen•Verketten von Funktionen•Zahlenfolgen als spezielle Funktionen

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Voraussetzungen / Vorkenntnisse

• 7.1.10 Proportionale und umgekehrt proportionale Zuordnungen von Größen beschreiben und ihre graphischen Darstellungen kennen

• 7.2 Rationale Zahlen– 7.2.4 Das Koordinatensystem auf vier Quadranten erweitern und die

Begriffe "Koordinatensystem", "Quadrant", "Abszisse", "Ordinate" und "Koordinatenursprung" kennen und anwenden

• 7.3 Termumformungen, lineare Gleichungen und lineare Ungleichungen mit einer Lösungsvariablen

• 8.1 Termumformungen und Bruchgleichungen• 8.2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten• 8.3 Quadratwurzeln und reelle Zahlen

• 9.1 Lineare Funktionen und lineare Gleichungssysteme

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Bildungsstandards

• (L 1) Leitidee Zahl• (L 2) Leitidee Messen• (L 3) Leitidee Raum und Form• (L 4) Leitidee Funktionaler

Zusammenhang• (L 5) Leitidee Daten und Zufall

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Bildungsstandards

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(L 4) Leitidee Funktionaler

ZusammenhangDie Schülerinnen und Schüler• nutzen Funktionen als Mittel zur Beschreibung quantitativer

Zusammenhänge,• erkennen und beschreiben funktionale Zusammenhänge

und stellen diese in sprachlicher, tabellarischer oder graphischer Form sowie gegebenenfalls als Term dar,

• analysieren, interpretieren und vergleichen unterschiedliche Darstellungen funktionaler Zusammenhänge (wie lineare, proportionale und antiproportionale),

• lösen realitätsnahe Probleme im Zusammenhang mit linearen, proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen,

• interpretieren lineare Gleichungssysteme graphisch,• lösen Gleichungen, und lineare Gleichungssysteme

kalkülmäßig bzw. algorithmisch, auch unter Einsatz geeigneter Software, und vergleichen ggf. die Effektivität ihres Vorgehens mit anderen Lösungsverfahren (wie mit inhaltlichem Lösen oder Lösen durch systematisches Probieren),

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(L 4) Leitidee Funktionaler

Zusammenhang (Forts.)Die Schülerinnen und Schüler• untersuchen Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von

linearen und quadratischen Gleichungen sowie linearen Gleichungssystemen und formulieren diesbezüglich Aussagen,

• bestimmen kennzeichnende Merkmale von Funktionen und stellen Beziehungen zwischen Funktionsterm und Graph her,

• wenden insbesondere lineare und quadratische Funktionen sowie Exponentialfunktionen bei der Beschreibung und Bearbeitung von Problemen an,

• verwenden die Sinusfunktion zur Beschreibung von periodischen Vorgängen,

• beschreiben Veränderungen von Größen mittels Funktionen, auch unter Verwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms,

• geben zu vorgegebenen Funktionen Sachsituationen an, die mit Hilfe dieser Funktion beschrieben werden können.

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Alte Mathematiker sterben nicht – sie verlieren nur einige ihrer Funktionen.

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Funktionales Denken

• „Funktionales Denken ist eine Denkweise, die typisch für den Umgang mit Funktionen ist.“ VOLLRATH

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Funktionales DenkenAspekte des funktionalen Denkens

– 1. Zuordnungscharakter; Zusammenhänge zwischen Größen, eine abhängig von der anderen

– 2. Änderungsverhalten; Veränderung der einen Größe Wirkung auf abhängige Größe

– 3. Sicht als Ganzes; gegebener Zusammenhang als Ganzes

Funktionales Denken funktioniert auch ohne Funktionen

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Graphen interpretieren

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Graphen interpretieren

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Typische Fehler

• Typischer Fehler: „Graph-als-Bild-Fehler“

• Ursache: Mängel bei der Übersetzung zwischen Situation und Graph (Modellierung)

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Mathematiker in der Physikprüfung.

Prof.: "Malen Sie doch mal eine Skizze vom Sinus." (Prüfling malt.) Prof.: "Sieht doch schon ganz gut aus." Stud.: "Nein, das sollte die x-Achse sein, ich bin so aufgeregt."

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Darstellung von Funktionen

Verbale Darstellung Angeben einer Zuordnungsvorschrift Bsp.: „Jede Zahl wird mit drei multipliziert.“

Bildlich Graphisch Wertetabelle

Kann oft nur einen Ausschnitt der Funktion liefern Bsp.:

Zuordnungsvorschrift Bsp.: x→3x

Algebraisch (Funktionsgleichung) Bsp.: f(x)=3x od. y=3x

x 1 2 3 4

3x 1 6 9 12

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Übersetzung der Darstellungsprozesse

– Tabelle Graph:• Kein Problem: Punkte aus Wertetabelle in gegebenes KS• Problem: Erstellen eines geeigneten KS zu gegebenen Werten

– Graph Tabelle:• Kein Problem

– Funktionsgleichung Tabelle:• Problem nur: Urbilder

– Wertepaare Funktionsgleichung• Rechenvorschrift gefunden, mathematische Gleichung dazu jedoch

nicht

– Graph Gleichung:– Gleichung Graph:

• Umweg Tabelle

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Beispiel (aus MatheNetz 8)

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Funktionen im Alltag

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Ein Mann ist mit einer Mathematikerin verheiratet. Er kommt nach Hause, schenkt seiner Frau einen grossen Strauss Rosen und sagt: "Ich liebe Dich!". Sie nimmt die Rosen, haut sie ihm um die Ohren, gibt ihm einen Tritt und wirft ihn aus der Wohnung. Was hat er falsch gemacht? Er hätte sagen müssen: "Ich liebe Dich und nur Dich!"

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Funktionsbegriff:

• Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge genau einen Funktionswert f(x) aus der Wertemenge zu (eindeutige Zuordnung)

• x … Argument, f(x) = y … Funktionswert

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Funktionsbegriff

Schüler{Name} X {Größe} X {Alter}

X…

Seitenlängedes Quadrats

Fläche

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Nichtmathematiker zum Mathematiker: "Ich finde Ihre Arbeit ziemlich monoton."Mathematiker: "Mag sein! Dafür ist sie aber stetig und nicht beschränkt."

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Wichtige Eigenschaften

• Definitions- und Wertebereich• Nullstelle und

y-Achsenabschnitt• Monotonie• Symmetrie

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Erstellung einer Übersicht

Erstelle eine Übersicht zum Themenkomplex Funktionen!

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Danke für die

Aufmerksamkeit

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QuellenBellstedt, M.m Parkan, J., Tomaschek, H. (2005): Lambacher Schweizer 9.

Stuttgart, Düsseldorf, Leipzig: Ernst KlettCukrowcz, J., Kalenberg, H., Knechtel, H., Meyer, J., Szambien, H.,

Zimmermann, B.: MatheNetz 8 (2004): MatheNetz 8. Hrsg: Cukrowicz, J., Zimmermann, B. (5.Aufl.). Braunschweig: westermann druck GmbH

Cukrowcz, J., Kalenberg, H., Knechtel, H., Löding, W., Meyer, J., Rehlich, H., Schlichting, F., Szambien, H., Theileberg, J., Wichtmann, S., Zimmermann, B.: Mathenetz 10 (2004): MatheNetz 10. Hrsg: Cukrowicz, J., Zimmermann, B. (5.Aufl.). Braunschweig: westermann druck GmbH

Meyer, M. (2007): Entdecken und Begründen im Mathematikunterricht. Texte zur mathematischen Forschung und Lehre. Hildesheim, Berlin: Franzbecker

Roth, J. (2005): Bewegliches Denken im Mathematikunterricht. Texte zur mathematischen Forschung und Lehre. Hildesheim, Berlin: Franzbecker

Eigene Schulhefter aus den Klassen 9 und 10