Raumkurven und Schnitte Ein Plädoyer für Funktionales Denken in der Raumgeometrie Matthias Ludwig PH Weingarten

Raumkurven und Schnitte

Ein Plädoyer

für Funktionales Denken in der

Raumgeometrie

Matthias LudwigPH Weingarten

Matthias Ludwig PH Weingarten

Bestandsaufnahme

• Funktionen fast nur eindimensional• Formeln als Funktionen in der Raumgeometrie• Kaum dynamische Prozesse• Keine Bewegungen in der Raumgeometrie• Viel Potential vorhanden


Einführung

• Funktionales Denken => Algebra• Bekannte Beispiele aus der Raumgeometrie• Die Füllkurven


Füllkurven


FüllkurvenV

V

h

h


FüllkurvenV

V

h

h


Sektglas und Eiskugel

• Wie voll muss ein kegelförmiges Sektglas gefüllt werden, damit es halb voll ist? (50%, 66%, 73%, 79%, 85%)

• Um wie viel Prozent muss der Radius der Eiskugel zunehmen, damit ein fairer Eisverkäufer den doppelten Preis verlangen kann? (16%, 26%, 36%, 41%, 50%, 100%)



• Erstaunen!? • Beide Volumenformeln kann man in

Abhängigkeit einer Größe (Höhe oder Radius) darstellen.



Eiskugel

Sektglas

Funktionales Argumentieren

Vollrath 1989


TRaumkurven


TRaumkurven


TRaumkurven


TRaumkurven


TRaumkurven


TRaumkurven


TRaumkurven

• Für jeden Punkt auf der Rotationsfläche gilt:

• x2+y2=r(z)2

• Der Radius r hängt also von der Höhe z ab.

• Der Graph von r(z) beschreibt die Kurve welche die Rotationsfläche erzeugt.

• Im Falle der Parabel ist es eine Wurzel.


TRaumkurven

• Der Kehrwert von a gibt die Anzahl der Umschlingungen pro Periode an.


TRaumkurven


TRaumkurven Erzeugungsweise durch Überlagerung

• Es bewegt sich ein Punkt auf der Kurve welche die Rotationsfläche erzeugt.

• Durch Superposition der beiden Bewegungen erhält man die Raumkurve.


TRaumkurven


TRaumkurven


TRaumkurven


Formen als Funktionswerte

• Idee des Beweglichen Denkens (Roth 2002)

• Im zweidimensionalen Raum erhält man Ortslinien oder „neue Kurven (Weth 1997)

• Im dreidimensionalen Raum kann man Ebenen durch Körper drehen und gleiten lassen.

• Je nach Schnittwinkel erhält man unterschiedlich geformte Schnittflächen.


Die Kegelschnitte

• Sicher das berühmteste Beispiel

• Als Funktionswerte in Abhängigkeit des Schnittwinkels erhält man geoemtrische Formen bzw. algebraische Kurven.


Die Kegelschnitte


Die Würfelschnitte von Max Bill

• Ein Würfel wird durch Schnitte mit einer Ebene in kongruente Teilkörper zerlegt bzw. halbiert.

• Je nach Schnittwinkel erhält man verschiedene Schnittflächen.

• Welche?






Stetige Würfelschnitte


Stetige Würfelschnitte


Eine Würfelschnittfunktion








Tetraederschnitteüber funktionales Denken zu einer

genialen Verpackung

• Welche Schnittflächen können bei einem Tetraeder auftreten?– Dreiecke– Spezielle Vierecke


Tetraederschnitte


Tetraederschnitte


Tetraederschnitte

• Mögliche Fragestellungen:– Wie verändert sich der

Flächeninhalt der Schnittfläche in Abhängigkeit der Schnitthöhe?

– Wie verändert sich der Umfang des Rechtecks in Abhängigkeit der Schnitthöhe?


Tetraederschnitte

• Wie verändert sich der Umfang des Rechtecks in Abhängigkeit der Schnitthöhe?

• Antwort: Er ändert sich gar nicht. • Der Umfang ist eine Konstante.• U=2s


Tetraederschnitte


Tetraederschnitte


Tetraederschnitte

2s


Anwendung im Alltag


Anwendung im Alltag


Anwendung im Alltag


Vorläufiger Abschluss

• Durch Funktionen Situationen erfassen und beherrschen ist nach Vollrath ein wichtiges Ziel auf dem Weg zum Funktionalen Denken.

• Ein letztes Beispiel:


Traumschnitte

vom Dodekaeder zum großen Dodekaeder















Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit

Für weitere Fragen und Informationen

[email protected]/~ludwig

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