Upload
others
View
9
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Fungsi TrigonometriTim Matematika Dasar
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA DALAM SUMBU KARTESIUS
Sb y
Sb x
yr
x
=sisiyangberdampingandgn A y
sinussisimiring r
=sisiyangberhadapandgn A x
cosinussisimiring r
=sisiyangberhadapandgn A y
tangensisiyangberdampingandgn A x
Fungsi trigonometri
1sin
csc
1cos
sec
1tan
cot
1csc
sin
1sec
cos
1cot
tan
sintan
cos
coscot
sin
SUDUT ISTIMEWA
0O 30O 45O 60O 90O
Sin 0 1
Cos 1 0
Tg 0 1
Ctg 1 0
1
2
12
2
13
21
32
13
33
y
x
1-1
-1
1
r
12
2
1
2
13
33
sin = y/r
cos = x/r
tan = y/x
Fungsi trigonometri
Fungsi trigonometri untuk sudut (90 + α)o dan (1800 - α)o
• Sin (90 + α)o = cos αo
• cos (90 + α)o = -sin αo
• tan (90 + α)o = -cot αo
• Sin (180 - α)o = sin αo
• Cos (180 - α)o = -cos αo
• tan (180 - α)o = -tan αo
Fungsi trigonometri
Fungsi trigonometri untuk sudut (180 + α)o dan (270 - α)o
• Sin (180 + α)o = -sin αo
• cos (180 + α)o = -cos αo
• tan (180 + α)o = tan αo
• Sin (270 - α)o = -cos αo
• Cos (270 - α)o = -sin αo
• tan (270 - α)o = cot αo
Fungsi trigonometri
Fungsi trigonometri untuk sudut (270 + α)o dan (360 - α)o
• Sin (270 + α)o = -cos αo
• cos (270 + α)o = sin αo
• tan (270 + α)o = -cot αo
• Sin (360 - α)o = -sin αo
• Cos (360 - α)o = cos αo
• tan (360 - α)o = -tan αo
Fungsi trigonometri
Fungsi trigonometri untuk sudut (k.360 + α)o
• Sin (k.360 + α)o = sin αo
• cos (k.360 + α)o = cos αo
• tan (k.360 + α)o = tan αo
Contoh
• Sin 150o = sin (90 + 60)o = cos 60o = ½
• Tan 300o = tan (270 + 30)o =-cot 30o = -√3
latihan
Hitunglah nilai dari :
• sin 225o
• Cos 315o
• Sin (-960)o
• Sin 225o + cos 150o
ATURAN SINUS DAN KOSINUS
ATURAN SINUS
ATURAN KOSINUS
SinCc
SinBb
SinAa
2bcCosA2c2b2a
2acCosB2c2a2b
2abCosC2b2a2c
2 2 2a b c 2bcCosA
2 2 2b a c 2acCosB
2 2 2c a b 2abCosC
a b cSinA SinB SinC
CONTOH SOAL :
Pada segitiga ABC, diketahui
c = 6, sudut B = 600 dan sudut C = 450.
Tentukan panjang b !
0
PENYELESAIAN :
2
6
3
45
6
60
21
21
00
b
SinSin
b
SinC
c
SinB
b
632
66
2
2
2
36
2
63
21
21
b
b
b
Latihan
• Dalam sebuah segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 8 cm, sisi b = 3 cm, dan sudut C = 60o. Tentukan panjang sisi c dan kedua sudut lainnya.
15
b. f(x) = cos x o
c. f(x) = tan x o
d. f(x) = 2 sin x o
e. f(x) = cos 2x o
Fungsi-fungsi di atas merupakan contoh fungsi trigonometri
a. f(x) = sin x o
Fungsi Trigonometri
16
1. Y = SIN X
2. Y = COS X
3. Y = TG X
Grafik Fungsi Trigonometri
17
a. Grafik y = sin x , 00 ≤ X ≤ 3600
x 0 30 90 150 180 210 270 330 360
y 0 ½ 1 ½ 0 -1/2 -1 -1/2 0
Grafik Fungsi Trigonometri
18
1
0
-1
90 0 180 0
270 0
360 0
Y = sin x
y
x
19
b. Grafik y = Cos x ; 00 ≤ X ≤ 3600
x 0 60 90 120 180 240 270 300 360
y 1 1/2 0 1/2 -1 - 1/2 -1 1/2 1
20
1
0
-1
90 0 180 0
270 0
360 0
Y = Cos x
21
c. Grafik y = tg x
x 0 45 90 135 180 225 270 315 360
y 0 1 ∞ -1 0 1 ∞ 1 0
22
1
0
-190 0 180 0
270 0
360 0
Y = Tg x
45 0
315 0135 0
225 0
Grafik Fungsi Trigonometri
y = a sin xy = a cos x
y = sin kxy = cos kx
y = sin (ax ± b)y = cos (ax ± b)
y = sin x ± cy = cos x ± c
y = k sin2 xy = k cos2 x
24
a. Grafik y = 2 sin x , 00 ≤ X ≤ 3600
Grafik Fungsi Trigonometri
X 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
y 0 1 √3 2 √3 1 0 -1 -√3 -2 -√3 -1 0
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 90 180 270 360
1. Gambarkan grafik y = - 3 cos x
2. Dengan menggunakan gambar grafik, tentukan nilai x yang memenuhi persamaan2 cos x + 1 = 0, untuk 0o ≤ x ≤ 360o
Latihan
b. Grafik y = sin 2x , 00 ≤ X ≤ 3600
X 0 45 90 135 180 225 270 315 360
y 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 90 180 270 360
c. Grafik y = cos (3x - 45) , 150 ≤ x ≤ 2550
X 15 45 75 105 135 165 195 225 255
y 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
15 45 75 105 135 165 195 225 255
d. Grafik y =sin x + 1 , 00 ≤ x ≤ 3600
X 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
Sin x 0 ½ 1/2√3
1 1/2√3
½ 0 -1/2 -1/2 √3
-1 -1/2 √3
-1/2 0
Sin x+ 1
1 3/2 1+1/2√3
2 1+1/2√3
3/2 1 ½ 1-1/2 √3
0 1-1/2 √3
½ 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
e. Grafik y = 2 sin2 x , 00 ≤ x ≤ 3600
X 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
2sin2
x0 1 √3 2 √3 1 0 1 √3 2 √3 1 0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
1. Gambarkan grafik y = cos 3x, dengan 00 ≤ x ≤ 3600
2. Gambarkan grafik y = sin (2x + 60), dengan -300 ≤ x ≤ 3400
3.Gambarkan grafik y = 2 cos x - 2
Latihan
persamaan
• Persamaan sin
Jika sin x = sin α, maka :
a. x1 = α + k.360o
b. x2 = (180- α) + k.360o
dengan k bilangan bulat
Contoh
• Untuk -1800 ≤ x ≤ 1800 , tentukan nilai x yang memenuhi persamaan sin x = ½
• Sin x = ½
• Sin x = sin 30o
Berdasarkan rumus, Jika sin x = sin α, maka :
a. x1 = α + k.360o
b. x2 = (180- α) + k.360o
Jadi sin x = sin 300, maka :
a. x1 = α + k.360o
Untuk k = -1 x = 300 – 3600 = -3300 (tidak memenuhi)
Untuk k = 0 x = 30o ± 0 = 30o (memenuhi)
Untuk k = 1 x = 300 + 3600 = 3900 (tidak memenuhi)
Jawab
• Sin x = ½
• Sin x = sin 30o
b. x2 = (180- α) + k.360o
Untuk k = -1 x = 1500 – 3600 = -2100 (tidak memenuhi)
Untuk k = 0 x = 150o ± 0 = 150o (memenuhi)
Untuk k = 1 x = 1500 + 3600 = 5100 (tidak memenuhi)
Nilai x yg memenuhi persamaan sin x = ½ dalam interval
-1800 ≤ x ≤ 1800 adalah {300, 1500}
persamaan
• Persamaan cos
Jika cos x = cos α, maka :
a. x1 = α + k.360o
b. x2 = (360- α) + k.360o
atau x1 dan 2 = ± α ± k.360o
dengan k bilangan bulat
persamaan
• Persamaan tan
Jika tan x = tan α, maka :
x1 = α ± k.180o
dengan k bilangan bulat
latihan
• Untuk -1800 ≤ x ≤ 1800 , tentukan nilai x yang memenuhi persamaan :
a. Cos x = -1/2 √3
b. Tan x = 1/3 √3
• Untuk -360 ≤ x ≤ 360, tentukan nilai x ygmemenuhi pers 2 cos x = 1
o
o1,2
o
o o1,2
1cos x 3
2
cos x cos150
penyelesaian:
x k.360
cos x cos150
x 150 k.360
o o o1
o o o2
o o1
o o2
o o o1
o o o1
o o
k 1 x 150 360 210
k 1 x 150 360 510
k 0 x 150 0 150
k 0 x 150 0 150
k 1 x 150 360 510
k 1 x 150 360 210
HP 150 ,150
Cos x = -1/2 √3
o
o
o
o o
o o o1
o o1
o o o1
o o
1tanx 3
3
tanx tan30
penyelesaian:
x k.180
tanx tan30
x 30 k.180
k 1 x 30 180 150
k 0 x 30 0 30
k 1 x 30 180 210
HP 150 ,30
Tan x = 1/3 √3
o
o1,2
o
o o1,2
2cos x 1
1cos x
2
cos x cos60
penyelesaian:
x k.360
cos x cos60
x 60 k.360
o o o1
o o o2
o o1
o o2
o o o1
o o o1
o o o o
k 1 x 60 360 300
k 1 x 60 360 420
k 0 x 60 0 60
k 0 x 60 0 60
k 1 x 60 360 420
k 1 x 60 360 300
HP 300 , 60 ,60 ,300
2 cos x = 1
persamaan
• Persamaan a cos x + b sin x = c
diubah menjadi k cos (x-α) = c, sehingga
k = dan tan
disesuaikan kuadrannya dengan
tanda a dan b)
2 2
ccos(x )
kb
dengan a ba
(
latihan
• Untuk 0 ≤ x ≤ 360o, tentukan nilai x yg memenuhi pers √3 cos x + sin x = 1
• Untuk 0 ≤ x ≤ 360o, tentukan nilai x yg memenuhi pers √3 cos x + sin x = 1
• a = √3, b=1, c=1
kuadran I, krn a dan b positif)
sehingga
atau cos (x-30
atau x=330
2 2
o
o
o
o o o o
o o
o o
k ( 3) 1 2
1tan , 30 (pada
3
3 cos x sinx 1
2cos(x 30 ) 1
1cos(x 30 )
2
cos(x 30 ) cos60 ) cos300
x 90
HP 90 ,330
Invers fungsi trigonometri
• Agar invers dari fungsi trigonometri merupakan fungsi trigonometri merupakan sebuah fungsi, maka harus ada domain (daerah asal) fungsi, misal :
2/3
1atau
2/0
1jikasecsec
2/2/jikatantan
0
11 jikacoscos
2/2/
11jikasinsin
1
1
1
1
y
x
y
xxyxy
y
xxyxy
y
xxyxy
y
xxyxy
49
Teorema
Invers fs sin x
• Fungsi y = sin x dengan daerah asal memiliki invers :
y = sin-1 x atau y = arc sin x atau sin y = x
• Sin-1 x adalah sudut pada interval yang memiliki nilai sama dengan x : -1 ≤ x ≤ 1
• Contoh : sin-1 ( ½ ) = = 30o
x2 2
6
52
Grafik invers fs sin x
Grafik invers fs sin x
Grafik fungsi y = arc sin x atau y = sin-1 x memiliki
• daerah asal : -1 ≤ x ≤ 1
• Daerah hasil : x2 2
Invers fs cos x
• Fungsi y = cos x dengan daerah asal memiliki invers :
y = cos-1 x atau y = arc cos x atau cos y = x
• cos-1 x adalah sudut pada interval yang memiliki nilai sama dengan x : -1 ≤ x ≤ 1
• Contoh : cos-1 ( ½ ) = = 60o
3
0 x
55
Latihan
1. Hitunglah nilai :
1 otan tan240
A = arctan(
maka tentukan nilai A
3 52.jika ) arctan( ),
4 12
Jawab
tan
karena tan t>0, maka 0<t<90 t = 60
1 o 1
1
0 o
1 o o
tan tan240 tan ( 3)
misal ( 3) t,makatant 3
,sehingga
jadi tan tan240 60
1 otan tan240
Jawab A = arctan
A = sin arctan
x = arctan atau tan x =
sin x = dan cos x =
tan y =
sin y = dan cos y =
3 5jika arctan
4 12misal
3 5sin arctan
4 12
3 3dimana
4 43 4
maka5 5
5 5y arctan atau
12 125 12
maka12 13
Jawab A = sin arctan
A = sin (x+y)
sin A = sin x.cos y + sin y.cos x
sin A =
A =
jadi,
3 5sin arctan
4 12
sin
3 12 5 4. .
5 13 13 5
36 20 56sin
65 65 65
56A arcsin
65