27. Uraikan f(z) = dalam suatu deret Laurent yang berlaku untuk (a) 1 < |z| < 3, (b) |z| > 3, (c) 0 < |z+1| < 2, (d) |z|>1Penyelesaian :(a) Tulislah dalam bentuk pecahan bagian = - Jika |z| > 1, maka = Jika |z| < 3, maka = Maka uraian Laurent yang diinginkan dan berlaku untuk |z| >1 dan |z| 1, maka seperti dalam bagian (a),

Jika |z| > 3, maka Jadi uraian Laurent yang diinginkan dan berlaku untuk |z|>1 dan |z|>3, yaitu |z|>3, diperoleh dengan mengurangkan. Hasilnya adalah

(c) Misalkan z+1 = u , maka = Berlaku untuk |u| N, berlaku

< e LKarena e dapat dibuat sekecil mungkin maka

Tetapi menurut teorema Cauchy, karena itu

Dan menurut teorema Morera F(z) haruslah analitik.32. Buktikan bahwa suatu fungsi analitik tidak dapat dibatasi pada lingkungan dari suatu kesingualaran terpencil.Penyelesaian :Misalkan f(z) analitik di dalam dan pada suatu lingkaran C berjari-jari r kecuali pada kesingularan terpencilnya z=a yang diambil sebagai pusat C, maka menurut teorema Laurent f(z)memiliki suatu uraian Laurent

Dimana koefisien diberikan oleh persamaan (7) khususnya

Sekarang, jika |f(z)| < M untuk suatu konstanta M, yaitu f(z) terbatas, maka dari (2) diperoleh

Jadi, karena r dapat dibuat sebarang kecilnya, maka kita mempunyai yaitu , dan deret Laurentnya direduksikan menjadi deret Taylor di sekitar ini menunjukkan bahwa f(z) analitik di sehingga bukan suatu kesingularan, dan hal ini bertentangan dengan hipotesa. Pertentangan ini menunjukkan bahwa f(z) tidak dapat dibatasi pada lingkungan dari suatu kesingularan terpencil.

33. Buktikan bahwa jika z 0, maka

Dimana Penyelesaian :Titik z=0 hanyalah merupakan kesingularan berhingga dari fungsi dan ini mengakibatkan bahwa fungsi tersebut haruslah memiliki suatu uraian Laurent yang berbentuk

Dan berlaku untuk |z| > 0. Menurut persamaan (7) koefisien diberikan oleh

Dimana C suatu kurva tertutup sederhana yang memuat z=0 di dalamnyaMisalkan khususnya kita memilih C suatu lingkaran berjari-jari 1 dan berpusat dititik asal, yaitu persamaan C |z|=1 atau . Maka (2) menjadi

Dengan menggunakan kenyataan = 0 hasil terakhir langsung dicapai dengan memisalkan yang mengakibatkan . Sehingga I = -I dan I = 0. Dengan demikian terbuktilah hasil yang diinginkan. Fungsi dinamakan suatu fungsi Bessel jenis pertama bertingkat n. Pembahasan selanjutnya tentang fungsi Bessel lihat pada BAB 10.34. Suku banyak Legendre didefinisikan dengan rumus Rodrigues

(a)Buktikan bahwa jika C suatu kurva tertutup sederhana yang mengelilingi titik z=t, maka Ini dinamakan penyajian Schlaefi untuk atau rumus Schlaefi(b) buktikan bahwa

Penyelesaian :(a) Menurut rumus integral Cauchy, jika C mengelilingi t, maka

Kemudian ambillah f(t)=(t2-1)n sehingga f(z)=(z2-1)n, kita memperoleh hasil yang diinginkan

(b) Pilihlah C suatu lingkaran yang berpusat di t dan berjari-jari seperti ditunjukkan gambar diatas. Maka suatu persamaan untuk C adalah |z-t|= atau z= t + . gunakan ini pada bagian (a) kita memperoleh

Pembahasan selanjutnya dari suku banyak Legendre dapat dilihat pada bab 10