Latihan BAB II

1) Tulis fungsi pembangkit biasa dari barisan-barisan berikut dan sederhanakan,jika

mungkin!

a. (0,0,0,1,1,1,1,....)

P ( x )=0.1+0. x+0.x2+1. x3+1. x4+1. x5+1. x6+…

¿ x3+ x4+x5+x6+…=(1+x+x2+ x3+x4 +x5+x6+…)−(1+x+x2)

= 1

1−x−(1+x+x2)

¿ 1−1−x−x2

1+x

¿ −x−x2

1−x

b. (0,0 ,12!,

13 !,

14 !,…)

p ( x )=0.1+0. x+ 12 !. x2+ 1

3 !x2+ 1

4 !x4+…

¿ 12!x2+ 1

3 !x3+ 1

4 !x4+….¿−(1+x )

¿c x−(1+x )

¿c x−x−1

c. ( 13 !,

14 !,

15 !,….)

p ( x )= 13 !

.1+ 14 !x+ 1

5 !x2+…

¿ 13!

+ 14 !x+ 1

5!x2+…

¿ x3

x3 ( 13!

+ 14 !x+ 1

5!x2+…)

¿ 1

x3 !( 13!x3+ 1

4 !x4+ 1

5 !x5+…)

¿ 1

x3 (1+x+ 12 !x2+ 1

3 !x3+ 1

4 !x4+ 1

5!x5+…)−(1+x+ 1

2 !x2)

¿1

x3 (ex−(1+x+12!x2))

¿ 1

x3(ex− 1

2 !x2−x−1)

¿ 1x3 ( 2ex−x2−2x−2

2 )=2ex−x2−2 x−22x3

d. (1 ,−1 ,12!,

13 !,

14 !,

15 !,…)

p ( x )=1∙1+(−1 ∙ x )+ 12!x2+ 1

3 !x3+ 1

4 !x4+ 1

5 !x5+¿ x+ 1

2 !x2+ 1

3 !x3+ 1

4 !x4+ 1

5!x5+…=1+ (−2x+x )+ 1

2 !x2+ 1

3 !x3+ 1

4 !x4+ 1

5!x5+…=−2x+(1+ x+ 1

2 !x2+ 1

3 !x3+ 1

4 !x4+ 1

5 !x5+…)

¿−2x+e x¿ex−2 x

e. (0,1,0,1,0,1 , ...)

p ( x )=0.1+1. x+0.x2+0. x3+0. x4+1. x5+…

¿ x+x3+x5+x7+…

¿ ex−e− x

2

f. (2 ,0 , 23 ,0 , 23 ,…)p ( x )=2.1+0. x+ 2

3x2+0. x3+ 2

3x 4+…

¿2+ 23x2+ 2

3x4+…¿2+ 2

3( x2+x4+…)¿2+ 2

3( e

x+e−x

2−1)¿2+ 2

3( e

x+e−x−2

2)

¿2+ 13( e

x+e−x−2

2)

2) Tulis fungsi pembangkit eksponensial dari barisan berikut

a. (3,3,3,3,....)

p ( x )=∑n=0

∞

anxn

n!=3+3 x+ 3x2

3!+3x3

3 !+…

¿3(1+x+ x2

2!+ x

3

3 !+…)

¿3ex

b. (0 ,1 ,0 ,1 ,0 ,1 ,…)

p ( x )=∑n=0

∞

anxn

n!=0+1 ∙ x+0∙

x2

2!+1 ∙

x3

3 !+0 ∙

x4

4 !+1∙

x5

5 !+…

¿ x+ x3

3 !+ x

5

5 !+…

¿(1+ x+ x2

2 !+ x

3

3 !+ x

4

4 !+ x

5

5 !+…)−(1+ x

2

2 !+ x

4

4 !+…)

¿ex−( ex+e−x2 )

p(x )=2ex−(ex+e− x)

2

c. (3 ,1 ,3 ,1 ,3 ,… )

p ( x )=∑n=0

∞

anxn

n!=3+1 ∙ x+3 ∙

x2

2 !+1 ∙

x3

3 !+…

¿3+x+3 ∙x2

2 !+ x

3

3 !+…

¿( 3+3 x2

2 !+ 3 x4

4 !+…)+(x+ x3

3!+ x

5

5 !+…)

¿3(1+ x2

2 !+ x

4

4 !+…)+( x+ x3

3 !+ x

5

5 !+…)

¿3( ex+e− x2 )+( ex−e−x2 )¿ 3ex+3 e−x+ex−e− x

2

¿ 4 ex+2e− x

2=2ex+e− x

d. (an )=3n

p ( x )=∑n=0

∞

anxn

n!=∑n=0

∞

3nxn

n!

Untuk n=0⟹a0=30=1

n=1⟹a1=3

n=2⟹ a2=32

n=3⟹a3=33

Maka untuk

p ( x )=∑n=0

∞

anxn

n!=1+3 x+32 x

2

2 !+33 x

2

2 !+…

¿∑n=0

∞

3nxn

n!=e3x

3) p ( x ) adalah fungsi pembangkitbiasa dari (a¿¿n)¿. Tentukan

a. p ( x )=1+ 11−x

fungsi pembangkit biasa

∑n=0

∞

axn=a0+a1 x+a2 x2+a3 x

3+…

Dengan an=a0, a1 , a2 , a3

Maka untuk p ( x )=1+ 11−x

¿1+(1+x+x2+x3+… )

¿2+x+x2+x3+…

Berdasarkan definisi fungsi pembangkit biasa (fpb), maka diperoleh

an=(2 ,1 ,1 ,1 ,1 ,…)

b. p ( x )= x5

1−8 x

Definisi fpb:

p ( x )=∑n=0

∞

axn=a0+a1 x+a2 x2+a3 x

3+…;an=a0 , a1 , a2 , a3

maka untuk p ( x )= x5

1−8 x

¿ x5−( 11−8 x )

¿ x5(∑n=0

∞

8n∙ xn)¿ x5 (1+8+82 x2+83 x3+…)

¿ x5+ (8 x6+82 x7+83 x8+…)

Berdasarkan definisi fpb, maka diperoleh

an=(0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1 ,8 ,82 ,83 ,…)

c. p ( x )= 21−x

+3 x2+6 x+1

Definisi fpb:

p ( x )=∑n=0

∞

axn=a0+a1 x+a2 x2+a3 x

3+…;an=a0 , a1 , a2 , a3

Maka untuk p ( x )= 21−x

+3 x2+6 x+1

¿2( 11−x )+3 x2+6 x+1

¿2 (1+x+ x2+x3+…)+3 x2+6 x+1

¿ (2+2 x+2x2+2 x3+…)+3 x2+6 x+1

¿3+8 x+5 x2+2 x3+…

an=(3 ,8 ,5 ,2 ,…)

d. p ( x )=2x+e2

Definisi fpb:

p ( x )=∑n=0

∞

axn=a0+a1 x+a2 x2+a3 x

3+…;an=a0 , a1 , a2 , a3

Maka untuk p ( x )=2x+e2

¿2 x+(2+2 x+ 22 !x2+ 2

3!x3+…)

¿2+4 x+ 22 !x2+ 2

3!x3+…

an=(2, 4 ,2

2 !,

23 !,…)

e. p ( x )=12

(x2+e−x )

¿ 12x2+ e

− x

2

¿ 12x2+ 1

2(1+x+ 12!x2+ 1

3 !x3+…)

¿ 12 (x+1+ 1

x+ 1

2!x2+ 1

3 !x3+…)

¿ 12+ 1

2x2+ 1

2∙

12!x2+ 1

2∙

13!x3+…

¿( 12,12,

12,

12 !,12,

13 !,…)

f. p ( x )= 11−3 x

+ 4 x1−x

¿ 11−3 x

+4 x ∙1

1−x

¿ (1+3+9x2+27 x3+…)+4 x (1+x+x2+x3+…)

¿ (1+3+9x2+27 x3+…)+4 x+4 x2+4 x3+4 x4+…

¿1+7 x+13x2+31 x3+…

an=(1 ,7,13 ,31,…)

4) Carilah nilai an jika p(x) merupakan fpb eksponensial barisan an

a. p ( x )=5+5 x+5x2+5 x3+…

Definisi fpb:

p ( x )=∑n=0

∞

axn=a0+a1 x+a2 x2+a3 x

3+…;an=a0 , a1 , a2 , a3

Maka untuk p ( x )=5+5 x+5x2+5 x3+…

¿5( 11−x )=5∑

n=0

∞

xn=∑n=0

∞

5 (n!) xn

n!

Maka

p ( x )=∑n=0

∞

anxn

n!

Diperoleh an=5 (n!)=(5 ,5 ,10 ,30 ,…)

b. p ( x )=ex+e4 x

¿(1+ x+ x2

2 !+ x

3

3 !+…)+(1+4 x+42 x

2

2 !+43 x

3

3 !+…)

¿(∑n=0

∞

1xn

n! )+(∑n=0

∞

4nxn

n ! )¿∑n=0

∞

(1+4n ) xn

n !

an=1+4n

an=(2 ,5 ,17 ,65 ,…)

c. p ( x )= 11−4 x

FPB=∑n=0

∞

anxn

n!

¿a0+a1 x+a2x2

2 !+a3

x3

3 !+…

p ( x )= 11−4 x

¿∑n=0

∞

4n xn

¿∑n=0

∞

4n (n !) xn

n!

an=4n (n!)

an=(1 ,4 ,32 ,144 ,…)

d. p ( x )=(1+x2 )k

5)

6) Misal p ( x )=1+x+x2+x3

1−x adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan (an ). Tentukan (an ).

Penyelesaian :

Misal,

p ( x )=1+x+x2+x3

1−x

¿ (1+x+x2+x3 ) (1−x−1)

¿∑n=0

n

cn xn

Jelas bahwa (1+x+x2+x3 ) adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan

(an )=(1 ,1 ,1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,…) adalah FPB dari barisan bk=(1 ,1 ,1 ,1 ,…) sehingga diperoleh

cn=∑n=0

∞

anbn−k

¿∑n=0

∞

an

Dengan demikian ck= (1 ,2 ,2,2 ,…,2 ) atau

ck={1 , n=02n≥1

7) Cari an dengan fungsi pembangkit biasa p ( x ) dimana

p ( x )=(1+10 x2) (1+2 x+3 x2+4 x3+…)

Penyelesaian :

p ( x )=(1+10 x2) (1+2 x+3 x2+4 x3+…)

¿ (1+10 x2 )+(1+10 x2 ) 2 x+ (1+10x2 ) 3 x2+(1+10 x2 ) 4 x3+…

¿1+10 x2+( 2x+20 x3 )+(3 x2+30 x4 )+ (4 x3+40 x5 )+…

¿1+2 x+13 x2+24 x3+30 x4+40 x5+…

FPB dari an

p ( x )=∑n=0

∞

axn=a0+a1 x+a2 x2+a3 x

3+…

an=(1 ,2 ,13 ,24 ,30 ,40 ,…)

8) a. p ( x )= e3x

2−3 x

p ( x )=e3x 1(2−3 x )

¿e3x (2−3 x )−1

¿∑n=0

∞

(3 )n xn

n !(2−3x )−1

¿(1+3x+32 x2

2 !+33 x

3

3 !+…) (2−3 x )−1

¿ (2−3 x )+(2−3 x ) 3x+(2−3x )( x2

2 ! )+…

¿ (2−3x+6 x−9x2 )+ 2x2

2 !−3x3

3 !+…

¿2+3 x−(9+ 22! )x2+…an=(2 ,3 ,9+ 2

2 ! )

b. p ( x )=1+2 x+x2

e3x

p ( x )=e−3x (1+2x+x2 )

¿(3−3 x− 32!x2− 3

3!x2−…) (1+2 x+x2+…)

¿4−x− 32 !

+1x2− 33 !x3

an=(4 ,−1 ,32 !,− 3

3 !,…)

c. p ( x )= 1+ex

( 1+ x−6 x2)k

9)

10) Tulis fungsi pembangkit biasa barisan (an ) jika untuk n≥0

an=10!

+ 11 !

+ 12 !

+ 13!

+…+ 1n!

∑n=0

∞

an xn=a0+a1 x+a2 x

2+a3 x3+…

¿1+x+ 12 !x2+ 1

3 !x3+…+ 1

n !xn

¿ex

11) Tentukan bentuk sederhana fungsi pembangkit biasa barisan(an ) dengan

a. (an )= 2n+1

untuk :

n=0→2

n=1→1 (an )=(2 ,1 , 23 , 12 , 25 ,…)n=2→

23

n=3→13p ( x )=2+x+ 2

3x2+ 1

2x4+…

n=4→25

b. an=n+2

untuk :

n=0→2 (an )=(2 ,3 ,4 ,5 ,…)

n=1→3 p (x )=2+3x+4 x2+5 x3+…

n=2→4= (1+1 ) (x+2x)+( x2+3 x2 )+…

n=3→5=(1+x+ x3+…)+¿

¿ 11−x

+ 1

(1−x )2

c. an=n (n+1 )

untuk :

n=0→0 (an )= (0 ,2 ,6 ,8 ,…)

n=1→2 p ( x )=0+2x+6 x2+8 x2+…

n=2→6=2x+6 x2+8 x2+…

n=3→8=2 x+3 x2+3 x2+4 x2+4 x2+…

¿ (2 x2+3 x2+4 x2+5 x2+…) (3 x2+4 x2+5x2+… )

¿( 11− x

+x−1)( 11−x

−x2−x−1)

¿( 1− x (1−x )− (1−x )1−x )( 1−x2 (1−x )−x (1−x )−1−x3

1−x )¿ 1−x+ x2−1+ x2

1−x ( 1−x2−x3−x+x2−1−x1−x )

¿( 2 x2−x−21−x )(−x3−2 x

1−x )12)

13) Tentukan banyaknya cara untuk memilih k huruf dari huruf-huruf C, A, N, T, I, K,

sedemikian sehingga

a. Memuat paling sedikit satu C

p ( x )=(x+x2+x3+x4+x5+…)1 (1+x+x2+x3+x4+x5+… )5

¿( 11− x

−1)( 11−x )

5

¿( xx−1 )( 1

1−x )5

¿ x (1−x )−1 (1− x )−5

¿ x (1−x )−6

¿ x∑r=0

∞

(6+r+1r ) xr

¿∑r=0

∞

(6+r−1r ) xr+1

¿∑r=1

n

(r+4r−1) xr

Jadi banyaknya cara adalah :

{ 0 , jikan<1

(r+4r−1), jikan≥1

b. Memuat tepat 1 C dan paling banyak 5 A

p ( x )=(x+x2+x3+x4+… )4 ( x ) (1+x+x2+x3+x 4+ x5 )

¿( 11− x

−1)4

(x+x2+x3+x4+x5 )

¿ x4 (1−x )−4 ( x ) (1−x6 ) (1−x )−1

¿ x5 (1−x )−5 (1−x6 )

¿ (x5−x4 ) (1− x )−5

¿ (x5−x4 )∑r=0

n

(5+r−1r ) xr

¿∑r=0

∞

(5+r−1r ) xr+5−∑

r=0

∞

(5+r−1r )xr+11

¿∑r=5

n

(r−1r−5) xr−∑

r=1

n

( r−7r−11) xr

Jadi banyaknya cara adalah :

{0 , jikan<5

(r−1r−5) jika5≤n<10

( r−7r−11) jikan≥11

14) Ada berapa cara mengambil 100 huruf dari huruf-huruf membentuk kata

“KOMBINATORIKA” sedemikian sehingga setiap konsonan terpilih paling banyak 20?

Penyelesaian:

Di dalam kata “KOMBINATORIKA” terdapat 6 konsonan dan 3 vokal. Setiap konsonan

terpilih paling banyak 20. Oleh karena itu, dapat dibentuk fungsi pembangkit sebagai

berikut :

p ( x )=(1+x+x2+x3+…+x20 )6 (1+x+x2+x3+… )3

¿( 1−x21

−x+1 )6

( 11−x )

3

=(1−x21 )6( 11−x )

9

¿ [(60)10 (−x21 )6+(61)11 (−x21)5+(62)12 (−x21 )4+(63)13 (−x21 )3+(6

4)14 (−x21)2+(65)15 (−x21 )+(6

6)16 (−x21 )0]∑r=0

∞

(9+r−1r )xr

¿ [ x126−6 x105+15 x84−20 x63+15 x42−6 x21+1 ]∑r=0

∞

(9+r−1r ) xr

¿∑r=0

∞

(r+8r )xr+126−6∑

r=0

∞

(r+8r ) xr+105+15∑

r=0

∞

(r+8r )xr+84−20∑

r=0

∞

(r+8r ) xr+63+15∑

r=0

∞

(r+8r )xr+42−6∑

r=0

∞

(r+8r ) xr+21+∑

r=0

∞

(r+8r ) xr

¿ ∑r=126

∞

(r−118r−126) xr−6 ∑

r=105

∞

( r−97r−105) xr+15 ∑

r=84

∞

(r−76r−84) xr−20 ∑

r=63

∞

(r−55r−63) xr+15 ∑

r=42

∞

(r−34r−42)xr−6∑

r=21

∞

(r−13r−21)xr+∑

r=0

∞

(r+8r ) xr

Jadi banyaknya cara untuk mengambil 100 huruf dari huruf-huruf membentuk kata

“KOMBINATORIKA” dengan huruf konsonan terpilih paling banyak 20 adalah

⟹15(r−76r−84) xr−20 (r−55

r−63) xr+15(r−34r−42) xr−6 (r−13

r−21) xr

Variabel x dihilangkan dan r = 100 sehingga diperoleh :

⟹15(2416)−20(45

37 )+15(6658)−6(87

79)=59.664 .083 .900car a

15) Sebanyak n koin (mata uang logam) yang identik ditempatkan didalam k kotak yang

berbeda. Berapa probabilitasnya bahwa setiap ko=tak menempatkan paling sedikit satu

koin ?

Penyelesaian :

Jumlah koin sebanyak n yang identik ditempatkan didalam k kotak mendapatkan paling

sedikit berisi satu koin. Oleh karena itu dapat dibentuk persamaan fungsi pembangkit

bisas sebagai berikut :

p ( x )=(1+x+x2+x3+…+xn )k

¿( 1− xn+1

1−x )k

¿ (1−xn+1 )k ∙( 11−x )

k

¿∑i=0

k

(ki )1i ∙ (−xn+1 )k ∙∑r=0

k

(k+r−1i )xr