Fundamentos de Álgebra - WordPress.com...Fundamentos de Algebra 3x1 + 6x2 6x3 = 9 2x1 5x2 + 4x3 = 6 5x1 + 28x2 26x3 = 8 Otro m etodo de soluci on de sistemas de ecuaciones lineales

Humberto Morales Cortes-ESIME Culhuacan IPN

Fundamentos de Algebra


Humberto Morales Cortes

ESIME Culhuacan IPN



Inversa de una matrizUna posible pregunta cuando se multiplican dos matrices cuadradas es, ¿cuando elproducto AB = BA = I?, donde I es la matriz identidad. Este cuestionamiento nosconduce a la existencia de una matriz invertible. Diremos que una matriz A esinvertible si su determinate detA 6= 0 y recordemos que el determinate de una matrizse define solamente para las matrices cuadradas. Pues bien, aquellas matrices cuyodeterminante es distinto de cero las llamaremos no singulares y son invertibles.

DefinicionSean A,B dos matrices de n × n. Suponga que AB = BA = I . Entonces B se llamainversa de A y se denota por A−1 tal que AA−1 = A−1A = I .

TeoremaSi una matriz A es invertible, entonces su inversa es unica.

TeoremaSean A,B dos matrices invertibles de n × n, entonces AB es invertible y(AB)−1 = B−1A−1.

Una aplicacion de las matrices invertibles es en la solucion de sistemas de ecuacioneslineales como se enuncia a continuacion.

TeoremaSi A es invertible el sistema de ecuaciones lineales Ax = b tiene una solucion unicax = A−1b.



El metodo de reduccion por renglones

Ejemplo.Determinar la matriz inversa de A mediante el metodo de reduccion por renglones.

1. A =

(2 −3−4 5

)Solucion.Podemos notar que el determinante de la matriz A es distinto de cero.Para el calculo de la matriz inversa consideramos la matriz aumentada(

2 −3 | 1 0−4 5 | 0 1

)tal que por el metodo de reduccion por renglones la transformaremos a(

1 0 | a b0 1 | c d

),

donde a, b, c y d son los elementos de la matriz inversa A−1.Ahora se llevan a cabo los calculos.



(2 −3 | 1 0−4 5 | 0 1

)R1→ 1

2R1−→(

1 − 32| 1

20

−4 5 | 0 1

)R2→− 1

4R2−→(

1 − 32| 1

20

1 − 54| 0 − 1

4

)R2→R1−R2−→

(1 − 3

2| 1

20

0 − 14| 1

214

)R2→−4R2−→

(1 − 3

2| 1

20

0 1 | −2 −1

)R1→ 3

2R2+R1−→

(1 0 | − 5

2− 3

20 1 | −2 −1

).

Por lo tanto,

A−1 =

(− 5

2− 3

2−2 −1

).

Como ensayo, evaluen el producto AA−1 y A−1A.



¿Que fue lo que hicimos?. Si el elemento a11 es distinto de 1, multiplicamos al renglonR1 por un numero k tal que ka11 = 1, que en nuestro caso fue 1

2. Lo mismo hicimos

para el renglon R2 con un valor de k = − 14

tal que ka21 = 1 ( por supuesto que los

demas elementos del renglon R2 quedan multiplicados por − 14

).Pero queremos que los elementos de la diagonal principal (a11, a22) de nuestra matrizA sean 1 y los demas 0, asi que para obtener un 0 que represente al elemento a21

restamos del renglon R1 el renglon R2 elemento a elemento y los resultados seran loselementos del renglon R2.Para que el elemento a22 = 1 necesitamos multiplicar al renglon R2 por −4. Porultimo multiplicamos por 3

2al renglon R2 y sumamos al renglon R1 elemento a

elemento y con esto conseguimos que el elemento a12 = 0.Podemos notar que esta no es la unica forma de hacerlo, puede empezar anulando loselementos a12, a21 y despues hacer que a11 = 1 = a22, tambien puede intercambiarrenglones, Puede pensar el menor numero de operaciones para lograrlo, es como jugarun juego de estrategia. Quiza yo use muchas operaciones. Analogamente se puededeterminar la matriz inversa de una matriz de 3× 3, 4× 4, ... con la condicion de quesu determinante sea distinto de 0.Otro metodo para hallar la inversa de una matriz es el metodo de la matriz adjunta.Ver la definicion 3.3.1 y teorema 3.3.3 paginas 210-214 Algebra Lineal de Grossman.



Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.Podemos plantear un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas.

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

...... ...

... =...

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bn

En representacion matricial tenemos las matrices A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

......

am1 am2 . . . amn

,

X =

x1

x2

...xn

y B =

b1

b2

...bn

. Donde la matriz A es llamada la matriz de coeficientes del

sistema. Podemos notar que el producto de las matrices A y X esta definido, mas aun,la matriz resultante es de m × 1. Por tanto, nuestro sistema de ecuaciones linealespuede ser escrito matricialmente por

AX = B.



Si m = n tendremos un sistema de n ecuaciones lineales con n incognitas. En estecaso tendremos que la matriz de coeficientes es una matriz de n × n, si esta matriztiene un determinante distinto de cero, entonces A tiene inversa y nuestro sistema deecuaciones tiene solucion unica y X = A−1B.EjemploResolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el calculo de la matrizinversa.

2x1 + 4x2 + 6x3 = 18

4x1 + 5x2 + 6x3 = 24

3x1 + x2 − 2x3 = 4

I Identificamos la matriz de coeficientes A del sistema de ecuaciones lineales, juntocon la matriz B y la matriz solucion X .

A =

2 4 64 5 63 1 −2

, B =

18244

, X =

x1

x2

x3

.



I Calculo de la matriz inversa.2 4 6 | 1 0 04 5 6 | 0 1 03 1 −2 | 0 0 1

R1→ 12R1−→

1 2 3 | 12

0 04 5 6 | 0 1 03 1 −2 | 0 0 1

R2→4R1−R2−→ ;

R3→3R1−R3−→

1 2 3 | 12

0 00 3 6 | 2 −1 00 5 11 | 3

20 −1

R2→ 1

3R2−→

1 2 3 | 12

0 0

0 1 2 | 23− 1

30

0 5 11 | 32

0 −1

R1→R1−2R2−→ ;

R3→5R2−R3−→

1 0 −1 | − 56

23

0

0 1 2 | 23

− 13

0

0 0 −1 | 116− 5

31

R3→−R3−→

1 0 −1 | − 56

23

0

0 1 2 | 23

− 13

0

0 0 1 | − 116

53

−1



R1→R2+R3−→ ;R2→R2−2R3−→

1 0 0 | − 83

73

−1

0 1 0 | 133

− 113

2

0 0 1 | −116

− 53−1

Por lo tanto, la matriz inversa A−1 =

− 83

73

−1133

− 113

2

− 116

53

−1

.

I Evaluando el producto de matrices A−1B tenemos que− 83

73

−1133

− 113

2

− 116

53

−1

18244

=

4−23

.

Por lo tanto, la solucion del sistema lıneal de ecuaciones esta dada por X =

4−23

.

EjerciciosResolver los sistemas de ecuaciones lineales dados mediante el calculo de la matrizinversa.

x1 − 2x2 + 3x3 = 11

4x1 + x2 − x3 = 4

2x1 − x2 + 3x3 = 10



3x1 + 6x2 − 6x3 = 9

2x1 − 5x2 + 4x3 = 6

5x1 + 28x2 − 26x3 = −8

Otro metodo de solucion de sistemas de ecuaciones lineales es la regla de Cramer.Este metodo de solucion es bastante amigable para matrices no singulares de 2× 2,3× 3 y 4× 4, el cual pueden consultar en las paginas 219-222.EjerciciosResolver por la regla de Cramer los ejercicios impares del 1 al 9 de la seccion 3.4 (paraque no olviden como calcular un determinante).



Solucion de sistemas de ecuaciones lineales por el metodo de Gauss-Jordan

En esta seccion se estudiara un metodo mas general para determinar todas lassoluciones (si es que existen) de un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas.Al hacerlo veremos si nuestro sistema tiene solucion unica, no tiene solucion o tieneuna infinidad de soluciones.













I De la seccion 1.2 del libro de algebra lineal de Grosmann resolver los ejerciciosimpares del 1 al 27.

I Estudiar y hacer algunos ejemplos del metodo de eliminacion Gaussiana en lasolucion de sistemas de ecuaciones lineales.Temas a evaluar:

I Calculo de la matriz inversa mediante reduccion por renglones y el metodo de lamatriz adjunta.Solucion de sistemas de ecuaciones lineales por:

I Matriz inversa.

I Regla de Cramer.

I Eliminacion de Gauss-Jordan.

I Eliminacion de Gauss.

Estudien mucho y saludos cordiales.

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