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FUNCIONES VECTORIALES1 de enero
de 2011
1
UNIVERSIDAD NACIONAL DECAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERÌA
ESCUELA ACADÈMICA PROFESIONAL DE
INGENIERÌA DE SISTEMAS
CURSO:Análisis Matemático III
TEMA:
Funciones Vectoriales
DOCENTE:
Ing. Ramón Herrera Machuca.
ESTUDIANTE:
Gamboa Fernández, Cristhian
Cajamarca, 15 de Diciembre del 2011.
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Tabla de contenido1. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN VECTORIAL:....................................................................................... 3
1.1. DOMINIO............................................................................................................................. 3
2. IMPORTANCIA DE LA FUNCIÓN VECTORIAL ............................................................................. 6
2.1. DESCRIPCIÓN ACTUAL DEL ÁREA DE ALMACÉN ..................Error! Bookmark not defined.
3. LIMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL............................................................ 7
3.1. Diagrama General de CU del Sistema Web de Almacén ................................................... 7
4. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN INTEGRAL.................................................................................... 9
4.1 Realizaciones de CU Diagrama de Clases y Secuencia de Análisis........................................ 11
5. integral de una función vectorial .................................................................................................. 12
5.1 Patrón de Arquitectura AOD ................................................................................................... 12
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1. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN VECTORIAL:Se llama función vectorial a cualquier función de la forma
r(t) = f(t)i + g(t)j Plano
r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k Espacio
Donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con valores reales.
Las funciones vectoriales se denotan con frecuencia por
r(t) = <f(t) , g(t)>
r(t) = <f(t) , g(t) , h(t)>
Debe quedar clara la distinción entre la función vectorial r y las funciones de variable real f, g y h.
Todas son funciones de la variable real t, pero r (t) es un vector mientras que f (t), g (t) y h (t)
son números (para cada valor especificado de t ).
Las funciones vectoriales son aquellas cuyo dominio es un conjunto de números reales tales que
su contra dominio es un conjunto de vectores. . Las graficas de estas funciones son curvas, las
cuales también pueden representarse mediante ecuaciones paramétricas
Una función vectorial es un conjunto de pares ordenados, cuya primera componente es un
número real y cuya segunda componente es un vector n-dimensional (terna ordenada).
Es una función vectorial de R en .Que se puede escribir como
Son de interés particular las funciones vectoriales cuyos valores son vectores
tridimensionales. Si la función es continua, su recorrido es una curva de R3. La variable t se
denomina parámetro y es usual que se la defina dentro de un intervalo cerrado [a,b], al que se
denomina intervalo paramétrico.
1.1. DOMINIO
El dominio de una función vectorial está dado por la intersección de los dominios de cada una de
las funciones componentes, es decir:
O expresado de otro modo
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EJEMPLO
Dibuje la curva que tiene la ecuaci6n vectorial
R(t) = 2costi + 2sentj + tk 0 <_ t <_ 4π
Solución las curvas paramétricas de la curva son:
x= 2cost y= 2sent z= t
El parámetro t de las dos primeras ecuaciones se elimina al elevar al cuadrado los dos miembros
de estas ecuaciones y sumar los miembros correspondientes, obteniéndose:
Por tanto, la curva esta completamente contenida en el cilindro circular recto cuya directriz es la
circunferencia + = 4 del piano xy y cuyas regladuras (o posiciones de su generatriz) son
paralelas al eje z. La tabla I proporciona conjuntos de valores de x, y y z Para valores específicosde t. La figura con el cilindro muestra la curva
La curva del ejemplo se denomina, hélice circular. Una hélice mas general tiene la ecuacion
vectorial R(t) = a cos + b sen + c (4)
y ecuaciones paramétricas:
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x = a cost y = b sent z= c t
Donde a, b y c con constantes diferentes de cero. Cuando a = b, la curva es una hélice circular.
Para eliminar t de las dos primeras ecuaciones paramétricas se escriben dichas ecuaciones
como:
Al sumar los miembros correspondientes de estas dos ecuaciones se obtiene
Por tanto, la curva definida por (4) esta contenida completamente en el cilindro elíptico con
regladuras paralelas a] eje z y cuya directriz es una elipse del piano XY. Como se muestra en la
Figura siguiente
Una curva que tiene la ecuaci6n vectorial
Donde a, b y c son constantes diferentes de cero, se denomina cubica alabeada.
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2. IMPORTANCIA DE LA FUNCIÓN VECTORIAL
Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando comoparámetro t el tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo largo de una curva.
Más en general, podemos usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En
ambos casos, el punto final del vector posición r (t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la
curva dada por las ecuaciones paramétricas, como muestra la figura 1.1. La flecha sobre la curva
indica el sentido de recorrido, es decir, el sentido de valores crecientes de t
EJEMPLO
1: Dibujar la curva representada por la función vectorial
sentjtit r 3cos2 20 t
Solución:
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3. LIMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
3.1. Dia
Ejemplos:Calcular el limite de:
2 20
1 cos5 1 1lim ,t
t tsent t t
Solución:
2 2 2 20 0 0
1 cos5 1 1 1 cos5 1 1lim , lim , limt t t
t tsent t tsent
t t t t
Sea el límite: 2
0
1 cos51 lim
t
t f
t
=
2
0
1 cos5 1 cos5lim
1 cos5t
t t
t t
=
2
20
5lim1 cos5t
sen t t t
2
20
5 1lim
1 cos5t
sen t
t t
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2
0
5 25lim
5 1 cos5t
sen t
t t
=
2
0
5 125lim
5 1 cos5t
sen t
t t
25
2
2
0
1 12 lim
t
tsent f
t
20
1 1 1 1lim
1 1t
tsent tsent
t tsent
=
20
1 1lim
1 1t
tsent
t tsent
0
1lim
1 1t
sent
t tsent
0
1lim1 1t
sent t tsent
= 12
Entonces el límite será:2 2
0
1 cos5 1 1 25 1lim , ,
2 2t
t tsent
t t
1. Calcular el límite de:
7 5 tan 3lim , ,
3 2t o
sen t sen t t
t sen t sen t
Solución:
El límite de:
7 5 tan3 7 5 tan 3lim , , lim , lim , lim
3 2 3 2t o t o t o t o
sen t sen t t sen t sen t t
t sen t sen t t sen t sen t
Calculando los límites por separado y también levantando cada indeterminación.
Sea:
- 1
7limt o
sen t f
t =
7 7lim
7t o
sen t
t =
77lim
7t o
sen t
t =7
7
lim 7t o
sen t
t
- 2
5lim
3t o
sen t f
sen t =
5
lim3t o
s en t
t
sen t
t
=
5 5
5lim
3 3
3
t o
s en t
t
s en t
t
=
55 5lim
33
3
t o
sen t
t
sen t
t
=
5
3
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5 5
lim3 3t o
sen t
sen t
- 3
tan3lim
2t o
t f
sen t
=
tan 3
lim2t o
t
t
sen t
t
=
tan3 3
3lim
2 22
t o
t
t
sen t t
=
tan3
3 3lim
22
2
t o
t
t
sen t
t
=3
2
7 5 tan 3 5 3
lim , , 7, ,3 2 3 2t o
sen t sen t t
t sen t sen t
2. Analizar la continuidad de la función vectorial:
2
31, 1
1
2,1 1
t t sit
t f t
sit
Solución:
Será continua si: 1
lim 1t
f t f
a) 2
3
1
1lim ,
1t
t f t t
t
- 2
1
1lim
1t
t
t
=
1
1 1lim
1t
t t
t
=
1lim 1t
t
=2
- 3
1
limt
t
=1
2
3
1
1lim , 2,1
1t
t t
t
b) 1 2,1 f
Como 1
lim 1t
f t f
entonces es continua en 1t .
4. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN INTEGRAL
Sean f 1, f 2 y f 3 tres funciones reales de una variable real t. Entonces, para todo número
t en el dominio común a f 1, f 2 y f 3, existe un vector R definido por:
Si R(t) = f 1 (t)i + f 2 (t) j + f 3 (t)k, entonces
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Si existen:
La función vectorial R es continua en t1 si y solo si:
R(t1) existe.
La derivada de una función vectorial R es una función representada por R', y definida
por:
R'(t) =
si dicho límite existe.
Si R es una función vectorial definida por
R(t) = f 1 (t)i + f 2 (t) j + f 3 (t)k
y R(t) existe, entonces:
R(t) = f 1' (t)i + f 2' (t) j + f 3' (t)k
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La interpretación geométrica para la
derivada de R es el vector tangente a lacurva C en el punto P.
La figura de la derecha muestra una
porción de la curva C, que es la gráfica deR. En la figura OP es la representación de
posición de R(t), OQ es la representación
de posición de R(t + t) y así PQ es la
representación del vector [R(t + t) -
R(t)]. Cuando t tiende a cero, el vector
[R(t + t) - R(t)]/ t tiene una
representación que se aproxima a un
segmento rectilíneo dirigido, tangente a lacurva C en P.
R'(t) representa la velocidad instantánea v con la que el extremo de R describe la
curva en cuestión. De la misma manera, dv /dt = R''(t) es la aceleración instantánea alo largo de dicha curva.
4.1 Fórmulas de derivación
Sean A, B y C funciones vectoriales derivables de un escalar u y una función escalar
derivable de u.
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4.2 Derivadas parciales de un vector
Si A y B son funciones de x, y, z, se tiene:
5. INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Sea R(u) = R1 (u)i + R2 (u) j + R3 (u)k un vector función de una sola variable escalar
u, en donde R1 (u), R2 (u), R3 (u), se suponen continuas en un intervalo dado. En estascondiciones:
se llama integral indefinida de R(u).
Si existe un vector S(u) de forma que
se verifica que
en donde C es un vector constante arbitrario independiente de u.
La integral definida entre los límites de u = a y u = b es
5.1 Pa