Funciones elementales básicas - Universidad de … · compleja, como se verámás adelante. Funciones elementales básicas 43 Definición 3.2. La función logar´ıtmica real

CAPITULO 3

Funciones elementales basicas

3.1 INTRODUCCION

La familiaridad que hemos llegado a tener con funciones como la exponencial,el logaritmo, las funciones trigonometricas, pueden habernos hecho olvidar queen realidad nunca hemos establecido una definicion ‘analıtica’ rigurosa de ellas.Mediante consideraciones graficas, en algunos casos, o confiando en la autoridadde turno en otros, hemos aceptado ciertas propiedades (entre ellas, nada menos quesu existencia), de las que hemos ido deduciendo las demas.

Con nuestros conocimientos actuales, este es un buen momento y un buenlugar para ofrecer esa definicion rigurosa mediante series de potencias en el campocomplejo y mostrar como de la definicion van saliendo las propiedades que nosson tan ‘conocidas’. No es esta, desde luego, la unica via de construccion posible(pueden introducirse tambien mediante integrales indefinidas, o como solucionesde ciertas ecuaciones —o sistemas de ecuaciones— diferenciales), pero indudable-mente es la mas adecuada al presente curso.

3.2 FUNCION EXPONENCIAL

Funcion exponencial

La serie de potencias+∞∑

n=0

zn

n!tiene radio de convergencia +∞, por lo que podemos

definir en todo C una funcion como suma de tal serie.

Definicion 3.1. Se llama funcion exponencial a la definida por

exp : z ∈ C → exp(z) =+∞∑

n=0

zn

n!∈ C.

El numero exp(1) se denota por e, y suele escribirse ez en lugar de exp(z)[notacion justificada por la propiedad que probaremos a continuacion en (1.4)].

40

Funciones elementales basicas 41

Propiedades de la exponencial compleja.(1.1) La funcion exponencial es derivable (indefinidamente) y su derivada es ella

misma: para cada z ∈ C,

exp′(z) = exp(z).

(1.2) exp(0) = 1.(1.3) Para cada z ∈ C,

exp(−z) = 1

exp(z)

con lo que, en particular, exp(z) = 0. Ademas, para cualesquiera z, w ∈ C,

exp(z + w) = exp(z) exp(w).

(1.4) Dados n ∈ N y z ∈ C, exp(nz) es el producto de n factores iguales a exp(z),

exp(nz) = exp(z)n· · · exp(z);

en particular, exp(n) = en· · · e.

(1.5) Para cada x ∈ R, tambien exp(x) ∈ R.

Demostracion. (1.1) Basta aplicar la regla de derivacion de una funcion definidamediante una serie de potencias.

(1.2) Obvio.(1.3) Puede verse directamente a partir de la definicion y de la multiplicacion de

series de potencias. Otra demostracion que usa solo las ‘propiedades diferenciales’de la exponencial es la siguiente:

Para un w cualquiera en C previamente fijado, definamos

f : z ∈ C → f (z) = exp(−z) exp(z + w) ∈ C.

Derivando de acuerdo con (1.1),

f ′(z) = − exp(−z) exp(z + w) + exp(−z) exp(z + w) = 0,

luego como C es conexo, f toma constantemente el valor f (0) = exp(w).Si el w elegido es 0, esto significa que exp(−z) exp(z) = 1 cualquiera que

sea z ∈ C. Por consiguiente, volviendo al caso general, de exp(−z) exp(z + w) =f (0) = exp(w) podemos despejar

exp(z + w) = exp(z) exp(w).

(1.4) Se prueba por induccion sobre n utilizando (1.3).(1.5) Si x ∈ R, los terminos de la serie que define exp(x) son todos reales.

La restriccion de exp a R puede verse entonces como una aplicacion de R en R.Denotaremos provisionalmente por Exp esta funcion, de modo que Exp : R → R,y la llamaremos exponencial real. Recogemos sus propiedades mas importantes.

42 Funciones elementales basicas

Propiedades de la exponencial real.(1.6) Para cada x ∈ R,

Exp(x) > 0.

(1.7) La funcion exponencial real es estrictamente creciente y convexa. En particu-lar, es inyectiva.

(1.8) Se tienelim

x→+∞ Exp(x) = +∞ , limx→−∞ Exp(x) = 0.

En consecuencia, el conjunto imagen de la funcion exponencial real es (0, +∞).

Demostracion. (1.6) Exp(x) = (Exp(x/2))2 ≥ 0 y Exp(x) = 0.(1.7) La derivada primera y la derivada segunda de la funcion exponencial

real (que son iguales a ella misma) son estrictamente positivas.(1.8) Puesto que la funcion exponencial real es estrictamente creciente,

e = Exp(1) > Exp(0) = 1,

luego limn

Exp(n) = +∞. Nuevamente por la monotonıa de la funcion exponencial,

esto basta para probar que

limx→+∞ Exp(x) = +∞.

Finalmente,

limx→−∞ Exp(x) = lim

y→+∞ Exp(−y) = limy→+∞

1

Exp(y)= 0.

Aplicando el teorema de los valores intermedios (Darboux) se sigue que lafuncion exponencial aplica R sobre (0, +∞).

Observese que, segun la exposicion anterior, todas las propiedades basicas dela funcion exponencial se deducen realmente de (1.1) y (1.2), que en este sentidopueden ser consideradas sus propiedades “fundamentales”. Esto no es tan sorpren-dente sin pensamos en la unicidad de solucion de la ecuacion diferencial y′ = ycon la condicion inicial y(0) = 1.

En lo que sigue volveremos ya a la notacion tradicional, ez , para la exponencialde z.

Funcion logarıtmica real

Una vez conocidas las propiedades basicas de la funcion exponencial real, pode-mos definir la funcion logarıtmica real como su funcion inversa, y deducir de ahısus propiedades. No puede procederse de la misma manera con la exponencialcompleja, como se vera mas adelante.


Definicion 3.2. La funcion logarıtmica real

ln : x ∈ (0, +∞) → ln x ∈ R

es la inversa de la funcion exponencial, de modo que ln x = y si y solo si ey = x.

Por tanto, esta caracterizada por cumplir

ln(ex ) = x cualquiera que sea x ∈ R

yeln x = x cualquiera que sea x ∈ (0, +∞) .

Sus propiedades son consecuencia de las de la funcion exponencial.

Propiedades del logaritmo real.(2.1) La funcion logarıtmica real es derivable indefinidamente, y su derivada es la

funcion 1/x .(2.2) ln 1 = 0, ln e = 1.(2.3) Para cada x ∈ (0, +∞),

ln1

x= − ln x .

(2.4) Dados x, y ∈ (0, +∞),

ln(xy) = ln x + ln y .

(2.5) Dados n ∈ N y x ∈ (0, +∞),

ln(xn) = n ln x .

(2.6) El conjunto imagen de la funcion logarıtmica real es R.(2.7) La funcion logarıtmica real es estrictamente creciente y concava. En particular,

es inyectiva.(2.8) Se tiene

limx→+∞ ln x = +∞, lim

x→0+ln x = −∞ .

Demostracion. Recordar las propiedades de la funcion inversa estudiadas parafunciones reales de variable real.


3.3 FUNCIONES SENO Y COSENO

Funciones complejas seno y coseno

Definicion 3.3. La funcion seno esta definida por

sen : z ∈ C → sen z =∞∑

n=0

(−1)nz2n+1

(2n + 1)!∈ C ,

y la funcion coseno por

cos : z ∈ C → cos z =∞∑

n=0

(−1)nz2n

(2n)!∈ C .

Estas funciones estan bien definidas, pues las series de potencias que figuranen las formulas tienen radio de convergencia +∞. Recordando la definicion de lafuncion exponencial, las relaciones siguientes son inmediatas:

sen z = eiz − e−i z

2i, cos z = eiz + e−i z

2

para cada z ∈ C, con lo que la funcion exponencial aparece como “mas elemental”que el seno y el coseno, en el sentido de que estas son combinaciones lineales deexponenciales.

Propiedades del seno y coseno complejos.(3.1) El seno y el coseno son funciones derivables indefinidamente y se cumple

para todo z ∈ C

sen′(z) = cos z, cos′(z) = − sen z.

(3.2) El seno es una funcion impar, mientras que el coseno es una funcion par: esdecir, cualquiera que sea z ∈ C se tiene

sen(−z) = − sen z, cos(−z) = cos z .

(3.3) Para todos z, w ∈ C,

sen(z + w) = sen z cos w + cos z sen w,

cos(z + w) = cos z cos w − sen z sen w.


(3.4) Para cada z ∈ C essen2 z + cos2 z = 1 .

Demostracion. (3.1), (3.2), (3.3)

Se siguen directamente de la definicion mediante series de potencias o a partirde la expresion en terminos de exponenciales.

(3.4)

Se deduce de (3.2) y (3.3), tomando w = −z.Es instructivo ver como tambien puede probarse esta identidad usando derivacion:definiendo f : z ∈ C → f (z) = sen2 z + cos2 z ∈ C, a partir de (3.1) obtenemos

f ′(z) = 2 sen z cos z − 2 cos z sen z = 0

para todo z de C, luego f toma constantemente el valor f (0) = 1.

De las formulas anteriores se deducen mediante los calculos de costumbreotras muchas frecuentemente utilizadas; por ejemplo, las que se recogen en elsiguiente ejercicio.

Ejercicio. Dados z, w ∈ C, comprobar que

sen(z − w) = sen z cos w − cos z sen w;cos(z − w) = cos z cos w + sen z sen w;sen z cos w = 1

2[sen(z + w) + sen(z − w)];

sen z sen w = −1

2[cos(z + w) − cos(z − w)];

cos z cos w = 1

2[cos(z + w) + cos(z − w)];

sen 2z = 2 sen z cos z;cos 2z = cos2 z − sen2 z = 2 cos2 z − 1;sen 3z = 3 sen z − 4 sen3 z;cos 3z = 4 cos3 z − 3 cos z

y cualquier otra de las relaciones conocidas sobre las funciones seno y coseno.

Funciones seno y coseno reales

Las funciones seno y coseno toman valores reales sobre R, luego podemos verlas restricciones de estas funciones a R como funciones reales de variable real.Estudiemos sus propiedades, para comprobar que coinciden con las que se lesatribuyen habitualmente. Ya hemos encontrado algunas de ellas. Para continuar, loprimero que necesitamos es definir el numero real π .


Propiedades del seno y coseno reales.(4.1) La funcion seno tiene ceros reales positivos, es decir,

x > 0 : sen x = 0 = ∅ .

Este conjunto posee un elemento mınimo, que denotaremos por π :

πdef= minx > 0 : sen x = 0 .

En el intervalo (0, π), el seno toma valores estrictamente positivos.

(4.2) cos π = −1; cosπ

2= 0; sen

π

2= 1.

(4.3) Para conocer la funcion seno en R es suficiente conocerla en el intervalo[0,

π

2

]. En concreto,

(4.3.1) para cada x ∈ R es

sen (π − x) = sen x = − sen(x + π);

(4.3.2) para cualesquiera x ∈ R y k ∈ Z,

sen(x + 2kπ) = sen x,

es decir, el seno real es una funcion periodica de periodo 2π .(4.4) Para conocer la funcion coseno en R es suficiente conocerla en el intervalo[

0,π

2

]. En concreto,

(4.4.1) para cada x ∈ R es

cos (π − x) = − cos x = cos(x + π);

(4.4.2) para cualesquiera x ∈ R y k ∈ Z,

cos(x + 2kπ) = cos x,

es decir, el coseno real es una funcion periodica de periodo 2π .

(4.5) La restriccion de la funcion seno al intervalo[−π

2,π

2

]es una aplicacion

estrictamente creciente (en particular, inyectiva) sobre el intervalo [−1, 1].(4.6) La restriccion de la funcion coseno al intervalo [0, π ] es una aplicacion es-

trictamente decreciente (en particular, inyectiva) sobre el intervalo [−1, 1].(4.7) Dado x ∈ R, se verifica sen x = 0 si y solo si para algun k ∈ Z es x = kπ .


(4.8) Dado x ∈ R, se verifica cos x = 0 si y solo si para algun k ∈ Z es x = π

2+kπ .

Demostracion. (4.1) Agrupando sumandos convenientemente, es claro que

sen x > x − x3

3!> 0 siempre que 0 < x ≤ 1

y que

sen 4 < 4 − 43

3!+ 45

5!− 47

7!+ 49

9!< 0,

de donde se deduce que el seno no se anula en (0, 1] pero que, segun el teorema deBolzano, debe anularse al menos en un punto comprendido entre 1 y 4. Por tanto,esta perfectamente determinado el numero real

π = infx > 0 : sen x = 0y es mayor o igual que 1 (luego > 0). Para asegurar que π es el mınimo del conjunto,o sea, que pertenece a el, basta tener en cuenta que es punto adherente del conjuntoy emplear la continuidad del seno.

Ası sen x = 0 para todo x ∈ (0, π) y por continuidad el seno debe mantenerel signo en todo este intervalo. De acuerdo con la primera desigualdad que hemosescrito, debe ser estrictamente positivo en el.

(4.2) Como sen2 π + cos2 π = 1, se deduce que cos2 π = 1 y por tantocos π = 1 o cos π = −1. Pero si cos π = 1, como cos 0 = 1, el teorema de Rolledarıa la existencia de algun punto t ∈ (0, π) en el que se anularıa la derivada delcoseno, con lo cual serıa sen t = 0 contra lo que acabamos de probar.

Puesto que cos π = 2 cos2 π

2− 1, debe ser cos

π

2= 0, lo que obliga a que

sen2 π

2= 1. Como 0 <

π

2< π , sen

π

2debe ser positivo y por tanto igual a 1.

(4.3) Las igualdades de (4.3.1) son consecuencia de las formulas de adicion yde los valores previamente calculados. La de (4.3.2) se comprueba por induccion.

Con esto, conociendo los valores del seno en el intervalo[0,

π

2

], podemos

obtener los valores en el intervalo[π

2, π

]usando que sen x = sen (π − x); por ser

el seno impar, pasamos entonces a todo el intervalo [−π, π ] y ya por periodicidada todo R.

(4.4) Similar al apartado anterior.(4.5) Para cada x ∈ R la igualdad sen2 x+cos2 x = 1 asegura que | sen x | ≤ 1,

| cos x | ≤ 1. Como senπ

2= 1 y por tanto sen

(−π

2

)= −1, la continuidad del seno

y la propiedad de Darboux dan como conjunto imagen de[−π

2,π

2

]exactamente

el intervalo [−1, 1].


Para demostrar que el seno (que es continua) es estrictamente creciente en[−π

2,π

2

], usamos que es estrictamente positiva en (0, π). En consecuencia, el

coseno (que en cada punto x tiene por derivada − sen x) sera estrictamente decre-ciente en [0, π ], lo que permite afirmar que los valores que alcanza en el intervalo[0,

π

2

)son estrictamente mayores que cos

π

2= 0; como el coseno es par, lo mismo

vale en(−π

2,π

2

); y finalmente, como el coseno es la derivada del seno, vemos

que este ultimo es estrictamente creciente en[−π

2,π

2

].

(4.6) Repasar la demostracion anterior.(4.7) Es inmediato que si para algun k ∈ Z es x = kπ , se verifica que

sen x = 0.Recıprocamente, sea x ∈ R tal que sen x = 0. Para un k ∈ Z sera

x ∈((

k − 1

2

)π,

(k + 1

2

)π

]. Entonces t = x − kπ ∈

(−π

2,π

2

]y sen t =

sen x cos kπ − cos x sen kπ = 0, luego forzosamente t = 0 y x = kπ .(4.8) Similar a la anterior.

Funciones trigonometricas y Trigonometrıa

Tenemos ahora dos versiones de las funciones seno y coseno: la ‘version analıtica’que venimos explorando y la ‘version geometrica’ de la Trigonometrıa (=medida deangulos). La coherencia entre ambas versiones la prueba la siguiente proposicion,que a su vez justifica las afirmaciones que hicimos al definir los argumentos de unnumero complejo no nulo.

Proposicion. Dados x , y ∈ R tales que x2 + y2 = 1, existe un α ∈ R de modoque

cos α = x, sen α = y .

Ademas, para que un β ∈ R cumpla igualmente que

cos β = x, sen β = y,

es necesario y suficiente que exista un k ∈ Z tal que β = α + 2kπ .

Demostracion. Como x ∈ [−1, 1], existe al menos un t ∈ R tal que cos t = x .Entonces sen2 t = y2, de donde o bien sen t = y, y tomarıamos α = t , o biensen t = −y, y bastarıa tomar α = −t .

Por periodicidad, igualmente cos(α+2kπ) = x , sen(α+2kπ) = y para todok ∈ Z.

Supongamos ahora que encontramos β ∈ R para el que cos β = x , sen β = y.Entonces

sen(β − α) = y x − x y = 0,


luego por (4.7) existira un m ∈ Z tal que β − α = mπ . Si m fuese de la forma2k + 1, k ∈ Z, resultarıa cos(β − α) = −1, mientras que

cos(β − α) = x x + y y = x2 + y2 = 1,

por lo que debe ser m = 2k para algun k ∈ Z y finalmente β = α + 2kπ .

Graficamente, esta proposicion significa que para cada punto sobre la circun-ferencia T de centro el origen y radio unidad, hay un numero real que mide elangulo que forma el radio correspondiente al punto con el eje de abscisas, y quedicho numero esta unıvocamente determinado salvo multiplos enteros de 2π . Unainterpretacion algebraica nos dirıa que la aplicacion t ∈ R → eit ∈ T (que es unhomomorfismo entre el grupo aditivo R y el grupo multiplicativo T) es suprayectivay tiene por nucleo el semigrupo 2πZ, de modo que T es isomorfo al grupo cocienteR/2πZ (para este enfoque, ver Cartan, H.: Theorie elementaire des fonctionsanalytiques d’une ou plusieurs variables complexes. Hermann, Paris (1961).)

3.4 DETERMINACIONES DEL ARGUMENTO Y DEL LOGARITMO.

Querrıamos definir la funcion logaritmo como la inversa de la funcion exponencial.Pero nos encontramos con el problema, a diferencia de R, de que la funcion expo-nencial no es inyectiva en C. Puesto que el logaritmo es una potente herramientaen la teorıa de funciones de variable compleja, vamos a estudiarlo en todo detalle.

Valores de la exponencial compleja

Proposicion.(5.1) Dado z ∈ C, sea x = e z, y = m z. Entonces

ez = ex+iy = ex (cos y + i sen y)

(5.2) Para cada z ∈ C

e(ez

) = ee z cos(m z), m(ez

) = ee z sen(m z),∣∣ez

∣∣ = ee z, m z ∈ arg(ez

).

(5.3) La exponencial compleja no es inyectiva: es periodica de periodo 2π i . Conmayor precision, dados z, w ∈ C, se tiene ez = ew si y solo si z = w + 2kπ ipara algun k ∈ Z.

(5.4) El conjunto imagen de C mediante la exponencial es C \ 0. Ademas, paracada w ∈ C \ 0, ez = w si y solo si

z = ln |w| + i(φ + 2kπ), k ∈ Z, φ ∈ arg w.


Demostracion. (5.1) Segun la formula de adicion

ez = ex eiy,

y las formulas que ligan seno y coseno con exponenciales dan

cos y + i sen y = eiy .

(5.2) Aplicar lo anterior.(5.3) Si z = w + 2kπ i para algun k ∈ Z, ez = ew e2kπ i = ew.Recıprocamente, sea ez = ew. Tomando modulos,

ee z = ∣∣ez∣∣ = |ew| = ee w,

luego por la inyectividad de la exponencial real

e z = e w.

Pero entonces

cos(m z) + i sen(m z) = cos(m w) + i sen(m w),

o seacos(m z) = cos(m w), sen(m z) = sen(m w),

lo que, segun hemos visto en la proposicion anterior, solo es posible si m z =m w + 2kπ para algun k ∈ Z.

(5.4) Dado w ∈ C \ 0, sea φ ∈ arg w y

z = ln |w| + iφ.

Obviamente ez = w, y cualquier otro complejo cuya exponencial coincida con w

sera de la forma z + 2kπ i para algun k ∈ Z por lo que acabamos de probar en(5.3).

Esta informacion engloba asimismo informacion sobre el comportamiento deotras funciones. Por ejemplo:

Corolario. Los unicos ceros del seno y el coseno son sus ceros reales. Expresadode otro modo, si z ∈ C,

sen z = 0 ⇐⇒ z = kπ, k ∈ Z, cos z = 0 ⇐⇒ z = π

2+ kπ, k ∈ Z.

Demostracion. Notese que

sen z = 0 ⇐⇒ eiz = e−i z ⇐⇒ e2i z = 1 = e0,

cos z = 0 ⇐⇒ eiz = −e−i z ⇐⇒ e2i z = −1 = eiπ .

Determinaciones del argumento y del logaritmo.

La no inyectividad de la funcion exponencial C obliga a ser muy cuidadosos a lahora de abordar una definicion de logaritmo.


Definicion. Dado 0 = z ∈ C, diremos que w es un logaritmo de z si exp w = z.

Por tanto, un numero complejo tiene infinitos logaritmos, pero sabemos aque formula responden: misma parte real (el logaritmo real de |z|) y como parteimaginaria un argumento de z,

exp w = z ⇐⇒ w = ln |z| + i(φ + 2kπ), k ∈ Z, φ ∈ arg z.

Podrıamos definir el conjunto

log z = w : exp w = z

y se tendra la igualdad entre conjuntos,

log z = ln |z| + i arg z

Cuando queramos tener una funcion logaritmo, bastara fijar una ‘funcion argu-mento’. Por ejemplo, si tomamos el argumento principal, tendrıamos la funcionlogaritmo principal. Sin embargo, necesitamos conceptos mas flexibles.

Definicion. Sea ∅ = region, tal que 0 /∈ .

1. Diremos que φ : −→ R es una determinacion del argumento en si:

i) φ es continua en .

ii) φ(z) ∈ arg z, ∀z ∈ , (i.e., eiφ(z) = z

|z| ).

2. Diremos que f : −→ C es una determinacion del logaritmo en si:

i) f es continua en .

ii) f (z) ∈ log z, ∀z ∈ , (i.e., e f (z) = z).

Estos dos conceptos estan muy relacionados. En efecto,

Proposicion 1. Sea ∅ = region, tal que 0 /∈ . Entonces,

φ es una determinacion del argumento ⇐⇒ f (z) = ln |z| + iφ(z) es una determi-nacion del logaritmo.

Demostracion.

⇒) Si φ es continua, es claro que f (z) = ln |z| + iφ(z) es continua, y

e f (z) = |z|eiφ(z) = |z|(z/|z|) = z.


⇐) Si f es una determinacion del logaritmo, en cada z ∈ , su parte real debe

ser ln |z| y su parte imaginaria φ(z) = f (z) − ln |z|i

es una determinacion del

argumento, pues es continua y

eiφ(z) = e f (z)e− ln |z| = z/|z|.

Proposicion 2. Sea ∅ = region, tal que 0 /∈ .

i) Si φ1, φ2 son dos determinaciones del argumento, entonces

∃k ∈ Z, φ1(z) = φ2(z) + 2kπ, ∀z ∈ .

ii) Si f1, f2 son dos determinaciones del logaritmo, entonces

∃k ∈ Z, f1(z) = f2(z) + 2kπ i, ∀z ∈ .

Demostracion. i) Si φ1(z), φ2(z) ∈ arg z entonces, para cada z ∈ , φ1(z) −φ2(z) = 2k(z)π , con k(z) entero. La funcion k : −→ Z es continua, y como

es region, su rango debe ser conexo y subconjunto de Z, luego solo puede ser unpunto. Es decir, k(z) ≡ k es constante.

ii) Consecuencia de i), o directamente de forma similar.

Ejemplos.

1. El ejemplo mas aparente es Arg z, que es una determinacion del argumentoen la region C \ (−∞, 0].

La correspondiente determinacion del logaritmo en C \ (−∞, 0]

Log z = ln |z| + i Arg z

se llama funcion logaritmo principal.

Notese que el dominio de definicion de esta funcion es C \ 0, pero solo escontinua en C \ (−∞, 0]. Su restriccion a (0, +∞) es el logaritmo real.

2. Analogamente, fijado α ∈ R, la funcion Arg[α,α+2π) es una determinacion delargumento en C \ reiα : r ≥ 0. Y, la correspondiente determinacion dellogaritmo es Log[α,α+2π) z = ln |z| + i Arg[α,α+2π).

3. Las anteriores no son, obviamente, las unicas determinaciones del argumentoy del logaritmo. Veamos algun ejemplo mas:

Ω

Ω=Α∪Β

Α Β

γ

Β

Α

Β


La funcion φ : −→ R, definida por

φ(z) = Arg z, si z ∈ A,

φ(z) = Arg z + 2π , si z ∈ B,

(el segmento de R− lo debemos incluiren A), es continua eny, en cada punto,φ(z) ∈ arg z. Por tanto, es una determi-nacion del argumento en .

4.Sea = C \ γ , (γ une continuamente0 e ∞).

La funcion φ : −→ R, definida por

φ(z) = Arg z, si z ∈ A,

φ(z) = Arg z + 2π , si z ∈ B,

es una determinacion del argumento en.

5.Sea = D(0; 2) \ D(0; 1). En noexiste determinacion continua del argu-mento. Supongamos que φ : −→ Rlo es. En la region ∗ = \ R−, φ yArg z son dos determinaciones del ar-gumento y, por tanto, para algun k ∈ Z

φ(z) = Arg z + 2kπ, z ∈ ∗.

Pero entonces, φ no puede ser continua en porque si z0 ∈ (−2, −1), los lımites deφ(z) para z → z0 a traves de z ∈ : m z > 0 o a traves de z ∈ : m z < 0difieren en 2π .

Proposicion. Si f es una determinacion del logaritmo en entonces f es holo-morfa en . Ademas,

f ′(z) = 1

z, ∀z ∈ .

Demostracion. Fijemos un punto z0 ∈ . Como la derivada de la funcion expo-nencial es 1 en el punto 0, se tiene

limw→0

ew − 1

w= 1.


A partir de aquı, deducimos,

∀ε > 0, ∃δ > 0 |w| < δ ⇒∣∣∣∣

w

ew − 1− 1

∣∣∣∣ < ε|z0|.

Por otro lado, como f es continua en z0, se tiene,

∃δ1 > 0 |h| < δ1 ⇒ | f (z0 + h) − f (z0)| < δ.

Juntando estos dos hechos, y usando que e f (z) = z, si |h| < δ1,

∣∣∣∣f (z0 + h) − f (z0)

h− 1

z0

∣∣∣∣ =∣∣∣∣

f (z0 + h) − f (z0)

e f (z0+h) − e f (z0)− 1

e f (z0)

∣∣∣∣

= 1

|z0|∣∣∣∣

f (z0 + h) − f (z0)

e f (z0+h)− f (z0) − 1− 1

∣∣∣∣ < ε.

Luego, f es derivable en z0 con derivada 1/z0.

Todavıa tenemos mucho mas.

Proposicion. Si f es una determinacion del logaritmo en entonces f es analıticaen .

Demostracion. Sea z0 ∈ . Se verifica

1

z= 1

z0

1

1 + z − z0

z0

=∞∑

n=0

(−1)n (z − z0)n

zn+10

, |z − z0| < |z0|.

Por tanto, la serie de potencias “primitiva termino a termino” de la anterior

∞∑

n=0

(−1)n (z − z0)n+1

(n + 1)zn+10

es derivable en D(z0; |z0|) y su derivada es 1/z. Como este tambien es el caso def en un entorno (conexo) de z0, tendremos

f (z) = C +∞∑

n=0

(−1)n (z − z0)n+1

(n + 1)zn+10

en un entorno de z0. Por tanto, f es analıtica en z0.


Observacion.

La funcion Log(1 + z) es holomorfa (y analıtica) en C \ (−∞, −1], porcomposicion. Por cambios de variable, o bien, repitiendo la demostracion anterior,obtenemos que el desarrollo en un entorno de 0 es:

Log(1 + z) = C +∞∑

n=0

(−1)n zn+1

n + 1, |z| < 1

Evaluando la igualdad en z = 0, vemos que el valor de la constante es C = Log 1 =0.

Finalmente, cambiando el parametro de sumacion,

Log(1 + z) =∞∑

n=1

(−1)n+1 zn

n, |z| < 1.

El criterio de Dirichlet garantiza la convergencia de la serie tambien para|z| = 1, z = −1. La suma en tales puntos sigue siendo Log(1 + z) (¿por que?).

Observacion.

En la practica, convendra tener cuidado con el siguiente aspecto. Es claroque si φ ∈ arg z, ψ ∈ arg w, entonces φ + ψ ∈ arg(zw), pero al particularizara determinaciones concretas del argumento no siempre se traduce esto en unaigualdad. Ası, en general,

Arg z + Arg w = Arg(zw).

De forma analoga, en general,

Log z + Log w = Log(zw),

por ejemplo Log(−1)+Log(−1) = 2π i = 0 = Log((−1)(−1)

), aunque siempre

ocurre queLog z + Log w ∈ log(zw).

3.5 EXPONENCIALES Y POTENCIAS ARBITRARIAS

Al tener concepto de logaritmo, podemos definir la potenciacion.


Definicion. Dados u, v ∈ C, con u = 0, se define el conjunto

uv = exp(vα) : α ∈ log u

Podrıamos poner brevemente (igualdad entre conjuntos),

uv = exp(v log u)

Los elementos del conjunto uv son, por tanto,

expv(ln |u| + i Arg u + 2kπ i), k ∈ Z.

Este conjunto consta, en general, de infinitos elementos. Pero, debido a la periodici-dad de la funcion exponencial, estos elementos podrıan repetirse y dar un conjuntofinito. De hecho, es muy facil probar que:

i) Si n ∈ N, un consta de un solo elemento. Precisamente, u.u. . . .n) u.

ii) u0 = 1.

iii) Si n ∈ Z−, un = 1

u−n.

iv) Si n ∈ N, u1/n consta de n elementos, justamente las n raıces n-esimas de u.

Ahora, bastara precisar la eleccion de logaritmos para tener funciones expo-nenciales y potenciales

1. Dado a = 0, la funcion

f (z) = az = exp(z Log a)

es la funcion exponencial de base a. Es decir, a no ser que se indique locontrario, la expresion az indicara que estamos tomando el logaritmo principal.

Es claro que es una funcion entera (de hecho, analıtica en C), pues solo sediferencia de la exponencial por el factor constante Log a.

2. Dado α ∈ C, tambien usaremos la notacion zα para indicar la eleccion dellogaritmo principal.

f (z) = zα = exp(α Log z), z ∈ C \ 0.

Su dominio de definicion es C\0, pero solamente es holomorfa (y analıtica),por composicion de ellas, en C \ (−∞, 0].


Cuando el parametro α es entero, es claro que, de hecho zα es holomorfa enC \ 0. Y si es natural, es holomorfa en C (definiendola como 0 en 0). Encualquier otro caso, no puede ser holomorfa mas alla de C \ R−, pues es facilver que en los puntos de R− no es contınua.

Desarrollo de (1 + z)α en serie de potencias centrada en 0.

Por razones obvias, se considera (1+z)α (y no zα) para desarrollar en potenciasde z. En todo caso, es claro que simples cambios de variable llevan la informacionde una funcion a otra.

Denotemos

f (z) = (1 + z)α = exp(α Log(1 + z)), z = −1.

Esta funcion es analıtica en C \ (−∞, −1] (por composicion de analıticas) y, portanto, es analıtica en 0. Esto, teoricamente, nos dice que existe una serie de potenciascentrada en 0 con radio R > 0, tal que

f (z) =∞∑

n=0

anzn

en un entorno de 0. Si derivamos por la regla de la cadena,

f ′(z) = α f (z)

1 + z

y, ası, se debe cumplir la ecuacion

(1 + z) f ′(z) − α f (z) = 0. (1)

Por otra parte, la derivada de f es

f ′(z) =∞∑

n=1

annzn−1

Entonces, la ecuacion (1) queda

∞∑

n=1

annzn−1 +∞∑

n=1

annzn − α

∞∑

n=0

anzn

= (a1 − αa0) +∞∑

n=1

((n + 1)an+1 + (n − α)an)zn = 0


en un entorno del origen. Luego todos los coeficientes deben ser 0, o sea,

(n + 1)an+1 = (α − n)an, n = 0, 1, 2, . . .

Empezando con a0 = f (0) = 1, es facil comprobar por induccion que

an = α(α − 1) . . . (α − n + 1)

n!

Llamaremos a esta ultima cantidad numero combinatorio generalizado y deno-taremos (para α ∈ C)

(α

n

)= α(α − 1) . . . (α − n + 1)

n!, n ∈ N;

(α

0

)= 1.

Por tanto, hemos obtenido

(1 + z)α =∞∑

n=0

(α

n

)zn, (2)

en un entorno del origen.

Por ultimo, observemos que si α es un numero natural,(α

n

) = 0 si n > α y laecuacion (2) no es otra cosa que la formula del binomio de Newton.

En otro caso, es facil ver que la serie en (2) tiene radio R = 1. Tanto f comola serie son analıticas en D(0; 1) y coinciden en un entorno del origen. Entonces,por el P.P.A. tendremos

(1 + z)α =∞∑

n=0

(α

n

)zn, |z| < 1.

Raız cuadrada principal.

Cuando se particulariza lo anterior para el exponente α = 1/2, obtenemosel conjunto de las raıces cuadradas y la raız cuadrada principal. Nos encontramosahora con un buen lıo de notacion: ¿que significa z1/2? ¿que significa

√z? Los

convenios utilizados varıan de unos textos a otros, por lo cual, ante la menorambiguedad, merece la pena explicitar el significado atribuido a los signos que seesten empleando.


En todo lo que sigue, salvo que se diga expresamente otra cosa, pondremos:(i) ±√

z para el conjunto de las raıces cuadradas de z, es decir,

±√z

def= w ∈ C : w2 = z.

(Ojo: no es una notacion estandar). Tiene sentido para todo z ∈ C, incluidoz = 0.

(ii)√

z o z12 para la raız cuadrada principal de z, es decir,

√z

def= z12

def= e(1/2) Log z .

Tiene sentido para todo z ∈ C \ 0, aunque por comodidad puede ser conve-niente a veces escribir tambien

√0 = 0

12 = 0.

(ii.1) Segun este convenio, para todo z ∈ C es

±√z = √z, −√

z = z 12 , −z

12 .

(ii.2) Cuando z sea un numero real no negativo, z ∈ [0, +∞), como z = 0 oArg z = 0 se obtiene como raız cuadrada principal de z justamente suraız cuadrada real no negativa, con lo cual las notaciones introducidasson consistentes con las que empleamos para numeros reales.

Por lo que a desarrollos en serie de potencias respecta, bien repitiendo elproceso visto anteriormente o bien calculando

(1/2

n

)= (−1)n−1 1 · 3 · 5 · · · (2n − 3)

2 · 4 · 6 · · · (2n), n ≥ 2,

que suele abreviarse mediante factoriales dobles en

(1/2

n

)= (−1)n−1 (2n − 3)!!

(2n)!!,

queda, incluso si |z| = 1 (los coeficientes son del tamano de n−3/2),

√1 + z = 1 + 1

2z +

∞∑

n=2

(−1)n−1 (2n − 3)!!

(2n)!!zn

= 1 + 1

2z − 1

8z2 + 1

16z3 − 5

128z4 + . . . , |z| ≤ 1.


Otro desarrollo importante, correspondiente a α = −1

2, es

1√1 + z

= 1 +∞∑

n=1

(−1)n (2n − 1)!!

(2n)!!zn

= 1 − 1

2z + 3

8z2 − 5

16z3 + . . . , |z| < 1.

Del criterio de Dirichlet y el teorema del lımite de Abel se sigue que eldesarrollo es valido siempre que |z| ≤ 1, z = −1.

3.6 OTRAS FUNCIONES ELEMENTALES

Funciones trigonometricas e hiperbolicas complejas.

Funciones trigonometricas como la tangente, cotangente, secante y cosecante, asıcomo las funciones hiperbolicas, se pueden definir en C usando las formulas quelas definen en R. Las funciones obtenidas son las unicas extensiones analıticas aldominio correspondiente de las funciones reales del mismo nombre. De entre lasmuchas relaciones y propiedades que podemos deducir facilmente, nos limitamosa senalar un par de ellas que ligan funciones de distinto ‘grupo’.

Proposicion. Dado z ∈ C,

Sh z = −i sen(i z), Ch z = cos(i z).

Otras funciones inversas

La funcion arco tangente compleja.

Para su definicion, de nuevo tendremos que tomar precauciones, porque lafuncion tangente en C no es inyectiva. Tendremos que empezar por resolver laecuacion

tan w = z

para z ∈ C fijado. Aplicando la definicion

tan w = z ⇐⇒

eiw + e−iw = 0eiw − e−iw

eiw + e−iw= i z

⇐⇒

e2iw = −1e2iw − 1

e2iw + 1= i z

⇐⇒ (1 − i z) e2iw ∗= 1 + i z ⇐⇒

z = i, −i

e2iw = 1 + i z

1 − i z[⇒= −1]


Observamos en ∗ que si z = i o z = −i no puede haber solucion. Si z no es unode estos valores, las soluciones w son tales que

2iw ∈ log(

1 + i z

1 − i z

)⇔ w ∈ 1

2ilog

(1 + i z

1 − i z

)

Hemos demostrado con esto que la funcion tangente

tan : C \ π2

+ kπ : k ∈ Z −→ C \ i, −i

es suprayectiva, y dado z ∈ C \ i, −i,

tan w = z ⇔ w ∈ 1

2ilog

(1 + i z

1 − i z

)

Ası, podrıamos escribir, para z ∈ C \ i, −i, el conjunto

arctan z = 1

2ilog

(1 + i z

1 − i z

)

y, para tener una funcion, elegimos algun logaritmo. Por supuesto, lo mas logico estrabajar (casi siempre) con el principal. Ası, la funcion arco tangente principal,que escribiremos Arctan z, sera

Arctan z = 1

2iLog

(1 + i z

1 − i z

), z = i, −i.

El dominio de definicion es C\i, −i. Veamos donde es analıtica. Por composicionde analıticas lo sera en todos los puntos, salvo a lo mas en aquellos en que

1 + i z

1 − i z∈ R−.

Hallemos estos z’s:1 + i z

1 − i z= λ ⇐⇒ z = i

1 − λ

1 + λ.

Cuando λ recorre los numeros reales negativos, z recorre el conjunto

I = i x : x ∈ (−∞, −1) ∪ [1, +∞).

Por tanto, la funcion Arctan z es analıtica en el abierto = C \ I . (Que no lo esen los puntos de I se prueba como siempre.)

Ii

-i

O

.

.


Notemos que, en particular, es analıticaen el disco unidad. Vamos a hallar sudesarrollo en serie de potencias de z.Por la regla de la cadena, es facil llegara que

Arctan′(z) = 1

1 + z2, z ∈ .

Si tenemos en cuenta que

1

1 + z2=

∞∑

n=0

(−1)nz2n, |z| < 1,

por igualdad de derivadas en D(0; 1) (conexo),

Arctan z =∞∑

n=0

(−1)n z2n+1

2n + 1, |z| < 1,

salvo la adicion de una constante C , de valor C = Arctan 0 = 0.

La funcion Arctan es una extension analıtica (la unica posible en ) de lafuncion arco tangente real arc tg, inversa de la restriccion de la tangente al intervalo(−π/2, π/2). (¿Por que?)

Argumento principal y arco tangente real.

Para ciertos calculos que efectuaremos posteriormente conviene disponer deexpresiones del argumento principal mas manejables que su definicion. Para cadaz = 0 se tiene

x = e z = |z| cos(Arg z), y = m z = |z| sen(Arg z),luego tg (Arg z) = y/x si x = 0. Examinando los rangos de Arg y Arctan, se sigue

Arg(x + iy) =

Arctany

xsi x > 0;

Arctany

x+ π si x < 0, y ≥ 0;

Arctany

x− π si x < 0, y < 0;

en esquema, repartido por cuadrantes,

Arg(x + iy) = Arg(x + iy) =Arctan

y

x+ π Arctan

y

xArg(x + iy) = Arg(x + iy) =Arctan

y

x− π Arctan

y

x


La funcion arco seno compleja.

Fijado z ∈ C, tenemos que resolver la ecuacion sen w = z. Con nuestranotacion

sen w = z ⇔ eiw − e−iw = 2i z ⇔ (eiw)2 − 2i zeiw − 1 = 0

⇔ eiw ∈ i z ±√

1 − z2. (1)

Notese que ±√1 − z2 representa dos valores (los dos que elevados al cuadrado

nos dan 1 − z2).

Sea cual sea z ∈ C, ninguno de los dos valores de i z ± √1 − z2 es 0, ya que

i z ∈ ±√

1 − z2 ⇐⇒ −z2 = 1 − z2.

Por tanto, la ecuacion (1) siempre tiene solucion, a saber, aquellos w tales que

w ∈ 1

ilog(i z ±

√1 − z2).

Hemos demostrado entonces que

sen : C −→ C

es suprayectiva, y ademas, para cada z ∈ C, podemos definir el conjunto

arcsen z = 1

ilog(i z ±

√1 − z2)

donde, insistimos, por cada uno de los valores de z hay dos de√

1 − z2.

Si queremos una funcion Arcsen z, elegiremos las ramas principales, tanto enel logaritmo, como en la raiz interior.

Arcsen z = 1

iLog(i z +

√1 − z2), z ∈ C.

El dominio de esta funcion es todo C (si z = ±1, entendemos√

0 = 0).

Veamos donde es analıtica. Empezamos por la raız interior. Sera analıtica,excepto a lo mas en los z’s tales que

1 − z2 ∈ (−∞, 0] ⇔ z2 ∈ [1, +∞) ⇔ z ∈ [1, +∞) ∪ (−∞, −1].


Por tanto, la determinacion principal de√

1 − z2 es analıtica en C \ ([1, +∞) ∪(−∞, −1]).

Ahora, en lo que respecta al logaritmo exterior, debemos quitar los z’s talesque i z + √

1 − z2 ∈ R−. Pero,

i z +√

1 − z2 = λ ∈ R− ⇔√

1 − z2 = λ − i z (2)

De aquı, tiene que ser

1 − z2 = (λ − i z)2 ⇒ z = i

(1 − λ2

2λ

). (3)

Al elevar al cuadrado, se pueden anadir soluciones. Entonces, tenemos que llevarla expresion (3) a (2) y tenemos

√1 + (1 − λ2)2

4λ2= λ + 1 − λ2

2λ⇒

√(1 + λ2)2

4λ2= 1 + λ2

2λ.

Pero, comprobamos que la raiz principal de este numero es el numero positivo(1 + λ2)/2|λ|, de donde

(1 + λ2)

2|λ| = 1 + λ2

2λ⇒ λ = |λ| = −λ.

Este argumento ha demostrado que nunca sucede i z + √1 − z2 ∈ R−. Por tanto,

la unica limitacion es la del principio, y concluimos que:

La funcion Arcsen es analıtica en C \ ([1, +∞) ∪ (−∞, −1]).

En particular, lo es en D(0; 1). Para hallar el correspondiente desarrollo enserie, primero, comprobamos por la regla de la cadena que

Arcsen′(z) = 1√1 − z2

, z ∈ C \ ([1, +∞) ∪ (−∞, −1]).

Por otro lado,

1√1 − z2

= (1 − z2)−1/2 =∞∑

n=0

(−1/2

n

)(−1)nz2n, |z| < 1.

Integrando, (de nuevo la constante es C = Arcsen 0 = 0),

Arcsen z =∞∑

n=0

(−1/2

n

)(−1)n z2n+1

2n + 1, |z| < 1.

La funcion Arcsen es una extension analıtica (la unica posible enC \ ([1, +∞) ∪ (−∞, −1])) de la funcion arco seno real. (¿Por que?)

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Funciones elementales básicas - Universidad de … · compleja, como se verámás adelante. Funciones elementales básicas 43 Definición 3.2. La función logar´ıtmica real