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Função seno. Função seno. Seja x um número real e P sua imagem na circunferência trigonométrica. Função seno. Denominamos de função seno a função f: ℝ → ℝ que associa a cada número real x o número real OP 1 = sen x, isto é, f(x) = sen x. - PowerPoint PPT Presentation
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Seja x um número real e P sua imagem na circunferência trigonométrica.
Denominamos de função seno a função f: ℝ → ℝ que associa a cada número real x o número real OP1= sen x, isto é, f(x) = sen x.
Observe que f associa a cada número real x a ordenada do ponto correspondente a sua imagem no ciclo.
sen x
x 3
2
2 2
Então:
0
sen x
x 3
2
2 2
Então:
sen x
x 3
2
2 2
Então:
sen x
x 3
2
2 2
Então:
sen x
x 3
2
2 2
Então:
sen x
x 3
2
2 2
Então:
sen x
x 3
2
2 2
Então:
sen x
x 3
2
2 2
Então:
2
sen x
x 3
2
2 2
1
Então:
sen x
x 3
2
2 2
1
Então:
sen x
x 3
2
2 2
1
Então:
sen x
x 3
2
2 2
1
Então:
sen x
x 3
2
2 2
1
Então:
sen x
x 3
2
2 2
1
Então:
sen x
x 3
2
2 2
1
Então:
sen x
x 3
2
2 2
1
Então:
sen x
x 3
2
2 2
1
Então:
sen x
x 3
2
2 2
1
Então:
sen x
x 3
2
2 2
1
Então:
sen x
x 3
2
2 2
1
Então:
sen x
x 3
2
2 2
1
Então:
sen x
x 3
2
2 2
1
Então:
sen x
x 3
2
2 2
1
Então:
sen x
x 3
2
2 2
1
Então:
32
sen x
x 3
2
2 2
1
-1
Então:
sen x
x 3
2
2 2
1
-1
Então:
sen x
x 3
2
2 2
1
-1
Então:
sen x
x 3
2
2 2
1
-1
Então:
sen x
x 3
2
2 2
1
-1
Então:
sen x
x 3
2
2 2
1
-1
Então:
sen x
x 3
2
2 2
1
-1
Então:
sen x
x 3
2
2 2
1
-1
Então:
sen x
x 3
2
2 2
1
-1
2
Então:
2
sen x
x 3
2
2 2
1
-1
Então:
Assim, podemos identificar algumas propriedades da função seno:
O sinal da função f(x) = sen
x é positivo quando x
pertence ao 1° e 2° quadrantes; e
é negativo quando x
pertence ao 3° e 4° quadrantes.
x
sen x
32
2
2
1
-1
IQ IIQ IIIQ IVQ
+ +
- -
0 x
sen x
32
2
2
1
-1
IQ IIQ IIIQ IVQ
No 1° quadrante, a função f é crescente, pois, a medida que x aumenta, os valores de sen x aumentam de 0 até 1.
x
sen x
32
2
2
1
-1
IQ IIQ IIIQ IVQ
No 2° e 3° quadrantes, f é decrescente: a medida que x aumenta, os valores de y = sen x diminuem de 1 (valor máximo) até –1 (valor mínimo).
x
sen x
32
2
2
1
-1
IQ IIQ IIIQ IVQ
No 4° quadrante, a função retoma o crescimento e seus valores aumentam de –1 a 0.
Os números reais x e x + k ∙ 2, para k ℤ, tem a mesma imagem no ciclo e, portanto, sen x = sen (x + k ∙ 2). Assim, f é periódica e seu período p corresponde ao menor valor positivo de k ∙ 2, que é 2.
O domínio e o contradomínio de f são iguais a ℝ. No entanto, o conjunto imagem da função seno é o intervalo real [–1, 1], assim: −1 sen x 1.
Note que a senóide continua para a esquerda de 0 e para a direita de 2, pois o domínio de f é ℝ.
Para construir os gráficos de um período das funções f: ℝ → ℝ dada por f(x) = sen x + 1 e f(x) = sen x - 1 , podemos fazer uma tabela atribuindo valores convenientes para x.
Em seguida, associamos a x os valores correspondentes de sen x.
E, somamos e subtraímos 1 do sen x:
Resumindo:Somando uma unidade a sen x, o gráfico é “deslocado” uma unidade para cima.Im=[0;2]p=2
Resumindo:Subtraindo uma unidade de sen x, o gráfico é “deslocado” uma unidade para baixo.Im=[-2;0]p=2
Para construir os gráficos de um período das funções f: ℝ → ℝ dada por f(x) = 2sen x e , podemos fazer uma tabela atribuindo valores convenientes para x.
2senx)x(f
Em seguida, associamos a x os valores correspondentes de sen x.
E, multiplicando e dividindo sen x por dois:
Resumindo:Multiplicando sen x por 2, o gráfico é “esticado” verticalmente de modo que seu conjunto imagem é Im=[-2;-2]p=2
Resumindo:Dividindo sen x por 2, o gráfico é “comprimido” verticalmente de modo que seu conjunto imagem é p=2
]21;
21[Im
Para construir o gráfico de um período da função f: ℝ → ℝ dada por f(x) = sen 2x, podemos fazer uma tabela atribuindo valores convenientes para a. a
x2
aa
Em seguida, associamos o valor correspondente a sen a.
ax
2
ax
2 aa
E, calculamos os valores de x:
ax
2 aa
Assim, verifica-se que o gráfico é “comprimido” horizontalmente de modo que: Im=[-1;1]p=
Para construir o gráfico de um período da função f: ℝ → ℝ dada por , podemos fazer uma tabela atribuindo valores convenientes para a .
2xsen)x(f
x 2a a a
Em seguida, associamos o valor correspondente a sen a .
x 2a a a
E, calculamos os valores de x:
x 2a a a
Assim, verifica-se que o gráfico é “deslocado” horizontalmente de modo que:
Im=[-1;1]p=4
Comparando as funções, temos:
Para construir o gráfico de um período da função f: ℝ → ℝ dada por f(x)=sen(x+), podemos fazer uma tabela atribuindo valores convenientes para a. x=a-π a a
Em seguida, associamos o valor correspondente a sen a.
x=a-π a a
E, calculamos os valores de x:
x=a-π a a
Assim, verifica-se que o gráfico é “deslocado” para a esquerda de modo que:
Im=[-1;1]p=2
Para construir o gráfico de um período da função f: ℝ → ℝ dada por f(x)=sen(x-), podemos fazer uma tabela atribuindo valores convenientes para a. x=a+π a a
Em seguida, associamos o valor correspondente a sen a.
x=a+π a a
E, calculamos os valores de x:
x=a+π a a
Assim, verifica-se que o gráfico é “deslocado” para a direita de modo que:
Im=[-1;1]p=2
Comparando as funções, temos: