Fuzz

y re

ndsz

erek

mér

nöki

meg

köz

elíté

sben

I

Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

Fuzzy alapfogalmak

Takács Márta

Fuzz

y re

ndsz

erek

mér

nöki

meg

köz

elíté

sben

I

A fuzzy szó jelentése• Elmosódott határokkal rendelkező• homályos,• határozatlan,• pontatlan,• változékony,• …• véletlen,• nehezen meghatározható,• nem pontos,• nem szabatos• …• Bizonytalan• …

Fuzz

y re

ndsz

erek

mér

nöki

meg

köz

elíté

sben

I

A bizonytalanság okai• hiányzó információ• túl sok információ• egymásnak ellentmondó információ• pontatlan információ• kétértelműség, félreérthetőség

• Kvalitatív leírás

Fuzz

y re

ndsz

erek

mér

nöki

meg

köz

elíté

sben

I

A fuzzy logika és a fuzzy halmazok elmélete• Kezeli a • a kétértelműségből (ambiguity),• pontatlanságból (imprecision), illetve az• információhiányból

fakadó bizonytalanságot

matematikai eszközökkel.

Fuzz

y re

ndsz

erek

mér

nöki

meg

köz

elíté

sben

I

Történeti áttekintés• £UKASIEWICZ többértékű logikája• később megszámlálhatatlan végtelen értékre is

általánosítottak• Operációkutatási eredmények • L. A. ZADEH berkeley-i professzor ötlete volt - felvetette

rendszerelméleti munkáiban a fuzzy halmazelmélet szükségességét.

• Az 1965-ben megjelent Fuzzy Sets c. tanulmánya• Az első időszak egyik lényeges alkalmazási sikét a MAMDANI-

módszer jelentette. • Az 1984-ben megalakult Fuzzy Rendszerek- Nemzetközi

Szövetség (IFSA) • a legkomolyabb fuzzy matematika eredmények döntő

többsége Európában született

Fuzz

y re

ndsz

erek

mér

nöki

meg

köz

elíté

sben

I

Alkalmazási területek• 1987-ben már: irányítási területeken, számítógépes látás

témájában• ipari és háztartási elektronikai berendezésekben való

alkalmazás • Orvos-biológia • Kockázatkezelés• fuzzy logikát követve más szubszimbolikus mesterséges

intelligens módszerek is megjelentek:mesterséges neurális hálózatok, evolúciós programok, genetikus algoritmusok, kaotikus rendszerek, stb.

• Ezen területek gyakran kombinálódnak is és együttesen a lágy számítástudomány (Soft Computing) megnevezés alatt ismertek.

Fuzz

y re

ndsz

erek

mér

nöki

meg

köz

elíté

sben

I

Fuzzy halmazok

Fuzz

y re

ndsz

erek

mér

nöki

meg

köz

elíté

sben

I

Halmazelméleti fogalmak• X klasszikus halmaz (crisp set): minden dologról egyértelműen el lehet (kell)

dönteni, hogy hozzá tartozik-e vagy sem.

• Alapfogalmak: • x X, x X, A X, A = B, üres halmaz ; X hatványhalmaza P(X).

• Műveletek : A B, A \ B, A B, A

• Műveletek tulajdonságai: • kommutativitás (A B = B A);• asszociativitás (A (B C) = (A B) C);• disztributivitás (A (B C) = (A B) (A C)); • idempotencia (A A = A);• egységelem létezése (A = A, A X = A); • az ellentmondás elve(A A = ); • De Morgan szabály• …

Fuzz

y re

ndsz

erek

mér

nöki

meg

köz

elíté

sben

I

Fuzzy-Halmazelméleti fogalmak• XX klasszikus halmaz (crisp set): minden dologról egyértelm klasszikus halmaz (crisp set): minden dologról egyértelműűen el en el

lehet (kell) lehet (kell) dönteni, hogy hozzá tartozik-e vagy sem. dönteni, hogy hozzá tartozik-e vagy sem.

• A halmaz élei nem élesek, …

• Alapfogalmak? • x X, x X, A X, A = B, üres halmaz ; X hatványhalmaza P(X).

• Műveletek ? : A B, A \ B, A B, A

• Műveletek tulajdonságai ? :

Fuzz

y re

ndsz

erek

mér

nöki

meg

köz

elíté

sben

I

Karakterisztikus függvény• Egy adott X halmaz bármely A

részhalmazát egyértelműen azonosíthatjuk egy X 0,1 függvénnyel, az A karakterisztikus függvényével:

AxhaAxha

xA 01

Fuzz

y re

ndsz

erek

mér

nöki

meg

köz

elíté

sben

I

A halmazműveletek karakterisztikus függvényekkel leírt halmazokon

xxx BABA ,min

xxx BABA ,max

xx AA 1

Fuzz

y re

ndsz

erek

mér

nöki

meg

köz

elíté

sben

I

Tagsági függvény, fuzzy halmaz• Fuzzy halmazok: a halmazhoz tartozás és nemtartozás között

fokozatos az átmenet. • Ezt a tagsági függvény segítségével tudjuk leírni. • A tagsági függvény a karakterisztikus függvény általánosítása Legyen X adott halmaz. Az X egy A fuzzy részhalmazát annak

A(x): X[0,1]

tagsági függvényével jellemezzük. Valamely xX esetén a A(x) szám azt fejezi ki, hogy x milyen mértékig

tartozik hozzá az A fuzzy halmazhoz.

Fuzz

y re

ndsz

erek

mér

nöki

meg

köz

elíté

sben

I

További jelölések• Egy X alaphalmaz fuzzy részhalmazainak összességét F(X) jelöli.

• Az egyszerűség kedvéért egy A fuzzy halmazt és annak tagsági függvényét is ugyanazzal az A szimbólummal jelöljük.

• Ha X = { x1 ,…, xn } véges halmaz és A egy fuzzy halmaz X-en, akkor az alábbi jelölés elterjedt az irodalomban:

A= 1/x1+ 2/x2 +...+ n/xn

ahol a i/xi ; i=1,…,n szimbólum azt fejezi ki, hogy i az xi tagsági értéke A-ban, a plusz jel pedig az uniót jelenti (lásd még: valószínűség-számítás, események összege).

Fuzz

y re

ndsz

erek

mér

nöki

meg

köz

elíté

sben

I

Tagsági függvények leírása

0 31 5031 31 354

1 35 4343 43 507

ha x vagy xx

ha xK x

ha xx

ha x

Fuzz

y re

ndsz

erek

mér

nöki

meg

köz

elíté

sben

I

Háromszög alakú fuzzy halmazok (trianguláris)

0),(

0,1max)(=d ifx

0d ifd

axxA

a

ad

Fuzz

y re

ndsz

erek

mér

nöki

meg

köz

elíté

sben

I

Fuzzy halmaz jellemzőitartó

supp(A) = { x X A(x)>0}

Fuzz

y re

ndsz

erek

mér

nöki

meg

köz

elíté

sben

I

Fuzzy halmaz jellemzőimag

core(A) = { x X A(x)=1}

Fuzz

y re

ndsz

erek

mér

nöki

meg

köz

elíté

sben

I

Fuzzy halmaz jellemzői szinthalmaz

00

hasuppAclhatAXt

A

Fuzz

y re

ndsz

erek

mér

nöki

meg

köz

elíté

sben

I

Fuzzy halmaz magassága, normális fuzzy halmaz

• Egy A fuzzy halmaz h(A)-val jelölt magasságán a tagsági függvénye szuprémumát értjük:

h(A) = supxXA(x)

• Egy A fuzzy halmazt normálisnak nevezünk, ha h(A) = 1. Ellenkező esetben (vagyis amikor h(A)<1) pedig szubnormálisnak.

Fuzz

y re

ndsz

erek

mér

nöki

meg

köz

elíté

sben

I

Részhalmaz

Definíció• Legyenek A és B fuzzy halmazok X-en. Azt mondjuk, hogy A

részhalmaza B-nek, jelölésben A B, ha A(t)B(t) minden tX esetén.

Fodor János (BMF NIK IMRI) Gépi intelligencia (bevezető előadás alapján)

Fuzz

y re

ndsz

erek

mér

nöki

meg

köz

elíté

sben

I

Egyenlőség

• Legyenek A és B fuzzy halmazok X-en. Azt mondjuk, hogy A egyenlő B-vel, jelölésben A =B, ha A(t) = B(t) minden tX esetén.

• A klasszikus esethez hasonlóan érvényesek az alábbiak (A és B fuzzy halmazok X-en):

• A = B pontosan akkor, ha AB és B A.

• A.

• A X.

• Itt (x) = 0 minden xX esetén.Fodor János (BMF NIK IMRI) Gépi

intelligencia (bevezető előadás alapján)

Fuzz

y re

ndsz

erek

mér

nöki

meg

köz

elíté

sben

I

Gyakorlati feladat• Rajzoljunk meg a fuzzy tagsági függvényeket a MATLAB-ban,

majd a FUZZY toolbox-ban!

Fodor János (BMF NIK IMRI) Gépi intelligencia (bevezető előadás alapján)

Fuzz

y re

ndsz

erek

mér

nöki

meg

köz

elíté

sben

I

Források

• Dr Fodor János: Gépi intelligencia I., előadás diák• http://www.tankonyvtar.hu/informatika/fuzzy-rendszerek-

fuzzy-080904