Mtrica de Friedman-Lematre-Robertson-Walker 1

Mtrica deFriedman-Lematre-Robertson-WalkerLa mtrica de Friedman-Lematre-Robertson-Walker o modelo FLRW es una solucin exacta de las ecuacionesde campo de Einstein de la relatividad general. Describe un Universo en expansin (o contraccin), homogneo eistropo. Segn las preferencias geogrficas o histricas en el nombre de esta mtrica se utiliza algn subconjunto delos nombres de los cientficos Alexander Friedman, Georges Lematre, Howard Percy Robertson y Arthur GeoffreyWalker.

Forma de la mtricaLa mtrica FLRW empieza con la suposicin de homogeneidad e isotropa. Tambin asume que el componenteespacial de la mtrica puede ser dependiente del tiempo. La mtrica general que cumple estas condiciones es:

(1)

Donde describe la curvatura y es constante en el tiempo y es el factor de escala y es explcitamentedependiente del tiempo y las unidades naturales son utilizadas estableciendo la velocidad de la luz a la unidad. Lasecuaciones del campo de Einstein no se utilizan en esta solucin: la mtrica se obtiene de las propiedadesgeomtricas de homogeneidad e isotropa. La forma especfica de necesita conocer las ecuaciones del campo yla definicin de la ecuacin de densidad de estado, .

NormalizacinLa mtrica deja alguna posibilidad de normalizacin. Una eleccin comn es considerar el factor de escala actualcomo la unidad ( ). En esta eleccin la coordenada es dimensional al igual que . En estaaproximacin no es igual a 1 0 sino que .Otra posibilidad es especificar que es 1 0. De esto se obtiene que donde elfactor de escala ahora es dimensional y la coordenada es adimensional.La mtrica frecuentemente se escribe de una manera de curvatura normalizada mediante la transformacin

En coordenadas normalizadas en curvatura la mtrica se convierte en:

(2) Donde:

Esta eleccin asume que el factor de escala es adimensional pero puede convertirse fcilmente a la normalizada.La distancia comvil es la distancia a un objeto con velocidad peculiar cero. En la curvatura normalizada lacoordenada es . La distancia propia es la distancia fsica a un punto en el espacio en un instante de tiempo. Ladistancia propia es .

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Propiedades generales del espacio-tiempo de FLRW

Contenido materialLa solucin dada por la mtrica FLRW, describe un universo lleno de un fluido ideal con densidad y presin dadapor las ecuaciones de Friedmann. Es una solucin de las ecuaciones del campo de Einstein

dando las ecuaciones de Friedman cuando el tensor momento energa se supone de lamisma manera que es istropo y homogneo. Las ecuaciones resultantes son:

(3)

(4)

Donde:

es el signo de la curvatura espacial.es el factor de escala, a partir del cual puede calcularse el tamao del universo observable.es la constante cosmolgicaes la constante de la gravitacin universal

son la densidad y la presin de la materia interestelar.Estas ecuaciones sirven como una primera aproximacin del modelo cosmolgico connvencional del Big Bangincluyendo el actual Modelo Lambda-CDM.Debido a que la mtrica FLRW exacto describe un universo perfectamente homogneo, algunas fuentes afirmanerrneamente que el modelo del Big Bang basado en la mtrica FLRW no puede dar cuenta de la grumosidadobservada del Universo. En un modelo FLRW estricto, no hay cmulos galcticos o acumulaciones de estrellas, yaque esas estructuras constituyen inhomogeneidades. No obstante, la FLRW se utilza como una primera aproximacinpara la evolucin del Universo porque es simple y los modelos que calculan la grumosidad del Universo se aaden alFLRW como extensiones. Muchos cosmlogos estn de acuerdo con que el Universo observable se aproxima demanera fiel a un modelo quasi-FLRW, es decir, un modelo que utiliza la mtrica FLRW a partir de las fluctuacionesde la densidad primigenia. Hasta 2003, las implicaciones tericas de las varias extensiones del FLRW parecean estarbien comprendidas y el objetivo es hacer estas consistentes con las observaciones del COBE y del WMAP.

GeodsicasEl movimiento libre de las partculas en un universo, es decir, las trayectorias que siguen a medida que elespacio-tiempo entero evoluciona vienen dadas por las lneas geodsicas calculables a partir de la mtrica:

Puede comprobarse que los llamados observadores galcticos que se mueven junto con la materia que provoca lacurvatura del espacio-tiempo dada por:

Son lneas geodsicas.

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Tensor de RiemannDe las potencialmente 55 componentes independientes del tensor de Riemann, en las mismas coordenadas usadas enla mtrica (2), el tensor de Riemann se puede escribir a partir de como mximo seis componentes diferentes de cero:

Grupo de isometraPara cualquier valor de los parmetros la mtrica FLRW define un universo espacialmente istropo y homogneo,aunque no existe ningua simetra respecto al tiempo, eso hace que el grupo de isometra sea precisamente el grupo desimetra de un espacio istropo y homogneo de curvatura uniforme. Ese grupo es un grupo de Lie de dimensin 6,para el caso de un espacio plano (k = 0) ese grupo es precisamente:

Modelos cosmolgicos basados en la mtrica FLRWLa mtrica FLRW se utiliza como primera aproximacin para el modelo cosmolgico del universo a partir del bigbang. Dado que FLRW asume homogeneidad, se ha especulado errneamente que el modelo del big bang no puedeexplicar las variaciones de temperatura del universo en diferentes escalas. Actualmente la FLRW se utiliza comoprimera aproximacin para la evolucin del universo debido a que es simple calcular y se puede extender de maneraque modele las variaciones de temperatura del universo en diferentes escalas. Desde 2003, se conocen lasimplicaciones tericas de diferentes extensiones de la mtrica FLRW y se trabaja en hacerlas consistentes con laevidencia observacional obtenida de COBE y WMAP.

InterpretacinLas ecuaciones (3) y (4) son equivalentes al siguiente par de ecuaciones:

con haciendo de constante de integracin para la segunda ecuacin.La primera ecuacin se puede obtener a partir de consideraciones termodinmicas y es equivalente a la Primera leyde la termodinmica, suponiendo que la expansin del Universo es un proceso adiabtico (que es asumidoimplcitamente en la obtencin de la mtrica Friedmann-Lematre-Robertson-Walker).La segunda ecuacin dice que la densidad de energa y la presin causan que la tasa de expansin del Universo nodisminuya, p.ej. ambas causan una deceleracin en la expansin del Universo. Esto es una consecuencia de lagravedad, con la presin jugando un papel similar a esa densidad de energa (masa), de acuerdo con los principios dela relatividad general. La constante cosmolgica, por otra parte, causa una aceleracin en la expansin del Universo.

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El trmino cosmolgico constanteEl trmino de la constante cosmolgica se puede omitir si reemplazamos los siguientes trminos:

Por tanto, la constante cosmolgica se puede interpretar como que es una dorma de energa que tiene una presinnegativa, igual en magnitud a esta densidad de energa (positiva):

Tal forma de energa, una generalizacin de la nocin de una constante cosmolgica, es conocida como energaoscura.De hecho, para obtener un trmino que causa una aceleracin de la expansin del Universo, es suficiente tener uncampo escalar que satisfaga

Tal campo algunas veces es llamado quintaesencia.

Aproximacin newtonianaHasta cierto punto, las ecuaciones anteriores ((3) y (4) ) se pueden aproximar utilizando la Mecnica clsica. Paravalores del factor de escala a(t) suficientemente grandes, el universo es aproximadamente plano en el sentido de queel trmino de densidad (proporcional a para la materia oscura o para la radiacin) en mucho mayor que el

trmino de curvatura y ste se puede despreciar. El trmino de la constante cosmolgica tambin es

relativamente pequeo y se puede despreciar y entonces la primera de las ecuaciones se transforma simplemente en:

(*)

Esta ecuacin puede ser interpretada de hecho como la ley de la conservacin de la energa clsica newtoniana:

1. El universo tiene una masa proporcional a y, por tanto, su energa potencial es proporcional a.

2. La energa cintica del universo por otro lado es proporcional a La suma de energa cintica ms energa potencial multiplicada por una cierta constante es precisamente la ecuacin(*):

Siendo C una cierta constante de proporcionalidad que debe tomarse igual a para ser consistente con elresultado de la ecuacin (*).Ntese que en las etapas muy primigenias del Universo, esta aproximacin no es adecuada por varias razones. Porejemplo, durante la inflacin csmica el trmino de la constante cosmolgica domina las ecuaciones del movimiento.Incluso antes, durante la poca de Planck, no se pueden despreciar los efectos cunticos.

Nombre e HistoriaLos principales resultados del modelo FLRW fueron obtenidos primero por el fsico sovitico Alexander Friedmannentre 19221924. Aunque su trabajo se public en una prestigiosa revista fsica Zeitschrift fr Physik, pasrelativamente desapercibido para sus contemporneos. Friedmann comunic sus resultados directamente a Einstein,que confirm que el modelo era correcto matemticamente pero err al apreciar el significado fsico de laspredicciones de Friedmann.

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Friedmann muri en 1925. En 1927, Georges Lematre, un estudiante belga de astronoma, y profesor a tiempoparcial de la Universidad Catlica de Lovaina, lleg a resultados similares independientemente de Friedmann y lospublic en los Anales de la Sociedad Cientfica de Bruselas. Frente a las pruebas observacionales de la expansin delUniverso obtenidas por Edwin Hubble a finales de los aos 1920, los resultados de Lematre fueron percibidos y en19301931 su artculo fue traducido al ingls y publicado en Nature.Howard Percy Robertson de EE. UU. y Arthur Geoffrey Walker de Gran Bretaa exploraron el problemaprofundamente en los aos 1930. En 1935 Robertson y Walker probaron rigurosamente que la mtrica FLRW es lanica en una banda lorentziana que es homognea e istropa (como se expone arriba, es decir, un resultadogeomtrico y no est ligado especficamente a las ecuaciones de la relatividad general, que siempre eransupuestamente ciertas por Friedman y Lematre).Debido al hecho de que la dinmica del modelo FLRW fue obtenida por Friedmann y Lematre, los siguientes dosnombres son omitidos a veces por los cientficos de fuera de EE. UU. Por el contrario, los fsicos de EE. UU.frecuentemente se refieren a ella simplemente como la mtrica "Robertson-Walker". El ttulo completo con loscuatro nombres es ms democrtico y es utilizado frecuentemente. A menudo, la mtrica "Robertson-Walker" esllamada de esta manera ya que ellos probaron sus propiedades genricas, es distinguida de los modelos dinmicos de"Friedmann-Lematre", soluciones especficas para a(t) que suponen que slo las contribuciones de energa de stressson materia fra, radiacin y una constante cosmolgica.

El radio del Universo de EinsteinEl radio del Universo de Einstein es el radio de curvatura del espacio del Universo esttico de Einstein, un modeloesttico enormemente abandonado que se supuso representaba nuestro Universo de una forma idealizada. Poniendo

en la ecuacin de Friedman, el radio de curvatura del espacio de este Universo (el radio de Einstein) es:

donde es la velocidad de la luz, es la constante gravitacional newtoniana y es la densidad del espacio delUniverso. El valor numrico del radio de Einstein es del orden de 1010 aos luz.

Enlaces externos presenta la formulacin del universo de Friedmann Lemaitr, incluyendo las constante cosmolgica [1]

argues for a generalization of the Friedmann Lemaitre universe by including anisotropy effects (intrinsic rotationof the universe) [2]

Referencias Friedmann, Alexander (1922). ber die Krmmung des Raumes [3]. Zeitschrift fr Physik A 10: pp.377386.

0939-7922. Friedmann, Alexander (1924). ber die Mglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krmmung des

Raumes [4]. Zeitschrift fr Physik A 21: pp.326332. 0939-7922. d'Inverno, Ray (1992). Oxford University Press. ed. Introducing Einstein's Relativity. Oxford. ISBN 0-19-859686-3..

(Ver Captulo 23 para una introduccin particularmente clara y concisa de los modelos FLRW.) Lematre, Georges (1931). Expansion of the universe, A homogeneous universe of constant mass and increasing

radius accounting for the radial velocity of extra-galactic nebul [5]. Monthly Notices of the Royal AstronomicalSociety 91: pp.483-490.

Lematre, Georges (1933). lUnivers en expansion. Annales de la Socit Scientifique de Bruxelles A53:pp.51-85.

Robertson, Howard Percy (1935). Kinematics and world structure [6]. Astrophysical Journal 82: pp.248-301. Robertson, Howard Percy (1936). Kinematics and world structure [7]. Astrophysical Journal 83: pp.187-201.

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Robertson, Howard Percy (1936). Kinematics and world structure [8]. Astrophysical Journal 83: pp.257271. Walker, Arthur Geoffrey (1937). On Milnes theory of world-structure [9]. Proceedings of the London

Mathematical Society 2 42: pp.90-127.

Referencias[1] http:/ / www. worldscinet. com/ mpla/ 14/ 1427/ S021773239900198X. html[2] http:/ / www. worldscinet. com/ mpla/ 12/ 1232/ S0217732397002594. html[3] http:/ / www. springerlink. com/ content/ l23864w241673530/[4] http:/ / www. springerlink. com/ content/ n152711192238714/[5] http:/ / adsabs. harvard. edu/ abs/ 1931MNRAS. . 91. . 483L[6] http:/ / adsabs. harvard. edu/ abs/ 1935ApJ. . . . 82. . 284R[7] http:/ / adsabs. harvard. edu/ abs?bibcode=1936ApJ. . . . 83. . 187R&[8] http:/ / adsabs. harvard. edu/ abs?bibcode=1936ApJ. . . . 83. . 257R&[9] http:/ / plms. oxfordjournals. org/ cgi/ content/ citation/ s2-42/ 1/ 90

Fuentes y contribuyentes del artculo 7

Fuentes y contribuyentes del artculoMtrica de Friedman-Lematre-Robertson-Walker Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=62745704 Contribuyentes: Ascnder, Camilo, Daniloquispe, Davius, Dpeinador,Granwotan, Leonpolanco, RoyFocker, Theday, Urdangaray, Varano, 20 ediciones annimas

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Mtrica de Friedman-Lematre-Robertson-WalkerForma de la mtrica Normalizacin

Propiedades generales del espacio-tiempo de FLRW Contenido material Geodsicas Tensor de Riemann Grupo de isometra

Modelos cosmolgicos basados en la mtrica FLRW Interpretacin El trmino cosmolgico constante Aproximacin newtoniana

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