Nepravi integrali

Franka Miriam Brückler

Zadatak ∫ 51

dx

(x − 2)2 =?

Zadatak ∫ ∞1

exp(−x) dx =?

Odredeni (Riemannov) integral definiran je samo za ograničenefunkcije na ograničenom području integriranja.

Nepravi integrali . . .

. . . su integrali koji podsjećaju na odredene (Riemannove) integralejer su im definirane granice integriranja, ali je funkcija na intervaluintegriranja neograničena ili je pak interval integriranjaneograničen.

Zadatak ∫ 51

dx

(x − 2)2 =?

Zadatak ∫ ∞1

exp(−x) dx =?

Odredeni (Riemannov) integral definiran je samo za ograničenefunkcije na ograničenom području integriranja.

Nepravi integrali . . .

. . . su integrali koji podsjećaju na odredene (Riemannove) integralejer su im definirane granice integriranja, ali je funkcija na intervaluintegriranja neograničena ili je pak interval integriranjaneograničen.

Zadatak ∫ 51

dx

(x − 2)2 =?

Zadatak ∫ ∞1

exp(−x) dx =?

Odredeni (Riemannov) integral definiran je samo za ograničenefunkcije na ograničenom području integriranja.

Nepravi integrali . . .

. . . su integrali koji podsjećaju na odredene (Riemannove) integralejer su im definirane granice integriranja, ali je funkcija na intervaluintegriranja neograničena ili je pak interval integriranjaneograničen.

∫ 51

dx

(x − 2)2 =∞?!

Neograničeno = beskonačno?

Ako je povřsina nečega opisiva kao P(x) = 2 + 11−x za rastućix > 0, onda ona ne postaje beskonačno velika iako s rastućim x iona raste: limx→+∞ P(x) = 2.

Primjeri nepravih integrala∫ 30

dx

x − 1 ,∫ 10

ln x dx ,

∫ ππ/2

tg x dx ,

∫ +∞1

dx

x2,

∫ 5−∞

dx

1 + x2,

∫ +∞−∞

e−x2

dx .

Nepravi integrali s neograničenom podintegralnomfunkcijom

x

y

ba b− ε

∫ ba

f (x) dx za f koja unutar [a, b] ima vertikalnu asimptotu se

definira na sljedeći način:

Ako je x = a vertikalna asimptota za f ,∫ ba

f (x) dx = limε→0+

∫ ba+ε

f (x) dx .

Ako je x = b vertikalna asimptota za f ,∫ ba

f (x) dx = limε→0+

∫ b−εa

f (x) dx .

Ako je za neki c ∈ 〈a, b〉 pravac x = c VA za f :∫ ba

f (x) dx =

∫ ca

f (x) dx +

∫ bc

f (x) dx .

∫ ba

f (x) dx za f koja unutar [a, b] ima vertikalnu asimptotu se

definira na sljedeći način:

Ako je x = a vertikalna asimptota za f ,∫ ba

f (x) dx = limε→0+

∫ ba+ε

f (x) dx .

Ako je x = b vertikalna asimptota za f ,∫ ba

f (x) dx = limε→0+

∫ b−εa

f (x) dx .

Ako je za neki c ∈ 〈a, b〉 pravac x = c VA za f :∫ ba

f (x) dx =

∫ ca

f (x) dx +

∫ bc

f (x) dx .

Ukoliko je konačni rezultat izračunavanja potrebnog (potrebnih)

limesa realan broj, kažemo da nepravi integral∫ ba f (x) dx

konvergira, a u suprotnom da divergira.

Primjer

Izračunajte∫ 90

dx3√x − 1 =

∫ 10

dx3√x − 1 +

∫ 91

dx3√x − 1 = I1 + I2;

I1 = limε→0+

∫ 1−ε0

(x − 1)−1/3 dx =

= limε→0+

3

2(x − 1)2/3

∣∣∣∣1−ε0

=3

2limε→0+

(−ε− 1) = −32.

Analogno: I2 = 6 pa naš integral iznosi 412 .

Ukoliko je konačni rezultat izračunavanja potrebnog (potrebnih)

limesa realan broj, kažemo da nepravi integral∫ ba f (x) dx

konvergira, a u suprotnom da divergira.

Primjer

Izračunajte∫ 90

dx3√x − 1 =

∫ 10

dx3√x − 1 +

∫ 91

dx3√x − 1 = I1 + I2;

I1 = limε→0+

∫ 1−ε0

(x − 1)−1/3 dx =

= limε→0+

3

2(x − 1)2/3

∣∣∣∣1−ε0

=3

2limε→0+

(−ε− 1) = −32.

Analogno: I2 = 6 pa naš integral iznosi 412 .

Ukoliko je konačni rezultat izračunavanja potrebnog (potrebnih)

limesa realan broj, kažemo da nepravi integral∫ ba f (x) dx

konvergira, a u suprotnom da divergira.

Primjer

Izračunajte∫ 90

dx3√x − 1 =

∫ 10

dx3√x − 1 +

∫ 91

dx3√x − 1 = I1 + I2;

I1 = limε→0+

∫ 1−ε0

(x − 1)−1/3 dx =

= limε→0+

3

2(x − 1)2/3

∣∣∣∣1−ε0

=3

2limε→0+

(−ε− 1) = −32.

Analogno: I2 = 6 pa naš integral iznosi 412 .

Ukoliko je konačni rezultat izračunavanja potrebnog (potrebnih)

limesa realan broj, kažemo da nepravi integral∫ ba f (x) dx

konvergira, a u suprotnom da divergira.

Primjer

Izračunajte∫ 90

dx3√x − 1 =

∫ 10

dx3√x − 1 +

∫ 91

dx3√x − 1 = I1 + I2;

I1 = limε→0+

∫ 1−ε0

(x − 1)−1/3 dx =

= limε→0+

3

2(x − 1)2/3

∣∣∣∣1−ε0

=3

2limε→0+

(−ε− 1) = −32.

Analogno: I2 = 6 pa naš integral iznosi 412 .

Primjer

Za koje a ∈ R konvergira ∫ 10

dx

xa?

Uočimo prvo da ovo nije nepravi, nego odredeni integral ako jea ≤ 0. Sami ga izračunajte. Za pozitivne a taj nepravi integraljednak je

limε→0+

∫ 1ε

x−a dx .

Za a = 1 neodredeni integral od x−a je ln x + C (zašto nismo pisali|x |?), a za ostale a je neodredeni integral od x−a jednak 11−ax1−a.

Primjer

Za koje a ∈ R konvergira ∫ 10

dx

xa?

Uočimo prvo da ovo nije nepravi, nego odredeni integral ako jea ≤ 0. Sami ga izračunajte.

Za pozitivne a taj nepravi integraljednak je

limε→0+

∫ 1ε

x−a dx .

Za a = 1 neodredeni integral od x−a je ln x + C (zašto nismo pisali|x |?), a za ostale a je neodredeni integral od x−a jednak 11−ax1−a.

Primjer

Za koje a ∈ R konvergira ∫ 10

dx

xa?

Uočimo prvo da ovo nije nepravi, nego odredeni integral ako jea ≤ 0. Sami ga izračunajte. Za pozitivne a taj nepravi integraljednak je

limε→0+

∫ 1ε

x−a dx .

Za a = 1 neodredeni integral od x−a je ln x + C (zašto nismo pisali|x |?), a za ostale a je neodredeni integral od x−a jednak 11−ax1−a.

Primjer

Za koje a ∈ R konvergira ∫ 10

dx

xa?

Uočimo prvo da ovo nije nepravi, nego odredeni integral ako jea ≤ 0. Sami ga izračunajte. Za pozitivne a taj nepravi integraljednak je

limε→0+

∫ 1ε

x−a dx .

Za a = 1 neodredeni integral od x−a je ln x + C (zašto nismo pisali|x |?),

a za ostale a je neodredeni integral od x−a jednak 11−ax1−a.

Primjer

Za koje a ∈ R konvergira ∫ 10

dx

xa?

Uočimo prvo da ovo nije nepravi, nego odredeni integral ako jea ≤ 0. Sami ga izračunajte. Za pozitivne a taj nepravi integraljednak je

limε→0+

∫ 1ε

x−a dx .

Za a = 1 neodredeni integral od x−a je ln x + C (zašto nismo pisali|x |?), a za ostale a je neodredeni integral od x−a jednak 11−ax1−a.

Primjer

Za koje a ∈ R konvergira ∫ 10

dx

xa?

Uočimo prvo da ovo nije nepravi, nego odredeni integral ako jea ≤ 0. Sami ga izračunajte. Za pozitivne a taj nepravi integraljednak je

limε→0+

∫ 1ε

x−a dx .

Za a = 1 neodredeni integral od x−a je ln x + C (zašto nismo pisali|x |?), a za ostale a je neodredeni integral od x−a jednak 11−ax1−a.

Dakle, za a = 1 zadani integral jednak je

limε→0+

ln x |1ε = limε→0+(0− ln ε) = +∞.

Za pozitivne a različite od 1 integral je

limε→0+

1

1− ax1−a∣∣∣∣1ε

=1

1− a limε→0+(1− ε1−a).

Ako je a > 1, onda je 1− a < 0 pa je taj limes beskonačan, a akoje 0 < a < 1, onda je 1− a > 0 pa dobivamo 11−a . Dakle, integral∫ 1

0

dx

xa

je odredeni za a ≤ 0, konvergentan nepravi za 0 < a < 1, a inačedivergentan.

Dakle, za a = 1 zadani integral jednak je

limε→0+

ln x |1ε = limε→0+(0− ln ε) = +∞.

Za pozitivne a različite od 1 integral je

limε→0+

1

1− ax1−a∣∣∣∣1ε

=1

1− a limε→0+(1− ε1−a).

Ako je a > 1, onda je 1− a < 0 pa je taj limes beskonačan, a akoje 0 < a < 1, onda je 1− a > 0 pa dobivamo 11−a . Dakle, integral∫ 1

0

dx

xa

je odredeni za a ≤ 0, konvergentan nepravi za 0 < a < 1, a inačedivergentan.

Dakle, za a = 1 zadani integral jednak je

limε→0+

ln x |1ε = limε→0+(0− ln ε) = +∞.

Za pozitivne a različite od 1 integral je

limε→0+

1

1− ax1−a∣∣∣∣1ε

=1

1− a limε→0+(1− ε1−a).

Ako je a > 1, onda je 1− a < 0 pa je taj limes beskonačan, a akoje 0 < a < 1, onda je 1− a > 0 pa dobivamo 11−a .

Dakle, integral∫ 10

dx

xa

je odredeni za a ≤ 0, konvergentan nepravi za 0 < a < 1, a inačedivergentan.

Dakle, za a = 1 zadani integral jednak je

limε→0+

ln x |1ε = limε→0+(0− ln ε) = +∞.

Za pozitivne a različite od 1 integral je

limε→0+

1

1− ax1−a∣∣∣∣1ε

=1

1− a limε→0+(1− ε1−a).

Ako je a > 1, onda je 1− a < 0 pa je taj limes beskonačan, a akoje 0 < a < 1, onda je 1− a > 0 pa dobivamo 11−a . Dakle, integral∫ 1

0

dx

xa

je odredeni za a ≤ 0, konvergentan nepravi za 0 < a < 1, a inačedivergentan.

Nepravi integrali s neograničenim područjem integriranja

x

y

a R

∫ ba

f (x) dx za slučajeve kad je a = −∞ i/ili b = +∞ se definirana sljedeći način:∫ b

−∞f (x) dx = lim

R→+∞

∫ b−R

f (x) dx .

∫ +∞a

f (x) dx = limR→+∞

∫ Ra

f (x) dx .

Ukoliko je konačni rezultat izračunavanja potrebnog limesarealan broj, kažemo da nepravi integral konvergira, a usuprotnom da divergira.∫ +∞−∞

f (x) dx =

∫ c−∞

f (x) dx +

∫ +∞c

f (x) dx za bilo koji c za

koji integrali na desnoj strani konvergiraju.

∫ ba

f (x) dx za slučajeve kad je a = −∞ i/ili b = +∞ se definirana sljedeći način:∫ b

−∞f (x) dx = lim

R→+∞

∫ b−R

f (x) dx .∫ +∞a

f (x) dx = limR→+∞

∫ Ra

f (x) dx .

Ukoliko je konačni rezultat izračunavanja potrebnog limesarealan broj, kažemo da nepravi integral konvergira, a usuprotnom da divergira.∫ +∞−∞

f (x) dx =

∫ c−∞

f (x) dx +

∫ +∞c

f (x) dx za bilo koji c za

koji integrali na desnoj strani konvergiraju.

∫ ba

f (x) dx za slučajeve kad je a = −∞ i/ili b = +∞ se definirana sljedeći način:∫ b

−∞f (x) dx = lim

R→+∞

∫ b−R

f (x) dx .∫ +∞a

f (x) dx = limR→+∞

∫ Ra

f (x) dx .

Ukoliko je konačni rezultat izračunavanja potrebnog limesarealan broj, kažemo da nepravi integral konvergira, a usuprotnom da divergira.∫ +∞−∞

f (x) dx =

∫ c−∞

f (x) dx +

∫ +∞c

f (x) dx za bilo koji c za

koji integrali na desnoj strani konvergiraju.

∫ ba

f (x) dx za slučajeve kad je a = −∞ i/ili b = +∞ se definirana sljedeći način:∫ b

−∞f (x) dx = lim

R→+∞

∫ b−R

f (x) dx .∫ +∞a

f (x) dx = limR→+∞

∫ Ra

f (x) dx .

Ukoliko je konačni rezultat izračunavanja potrebnog limesarealan broj, kažemo da nepravi integral konvergira, a usuprotnom da divergira.∫ +∞−∞

f (x) dx =

∫ c−∞

f (x) dx +

∫ +∞c

f (x) dx za bilo koji c za

koji integrali na desnoj strani konvergiraju.

Primjer

∫ ∞0

exp(−x) dx = limR→+∞

∫ R0

exp(−x) dx = limR→+∞

(−e−R+e0) = 1.

Primjer∫ +∞−∞

dx

1 + x2=

∫ 0−∞

dx

1 + x2+

∫ +∞0

dx

1 + x2= I1 + I2.

Podintegralna funkcija je parna, pa ako konvergira I2, on je jednakI1 te će rezultat biti 2I2, a ako I2 divergira, onda i rezultat divergira.

I2 = limR→∞

∫ R0

dx

1 + x2= lim

R→∞arctg x |R0 = lim

R→∞arctgR =

π

2

Dakle, polazni integral iznosi π.

Primjer

∫ ∞0

exp(−x) dx = limR→+∞

∫ R0

exp(−x) dx = limR→+∞

(−e−R+e0) = 1.

Primjer∫ +∞−∞

dx

1 + x2=

∫ 0−∞

dx

1 + x2+

∫ +∞0

dx

1 + x2= I1 + I2.

Podintegralna funkcija je parna, pa ako konvergira I2, on je jednakI1 te će rezultat biti 2I2, a ako I2 divergira, onda i rezultat divergira.

I2 = limR→∞

∫ R0

dx

1 + x2= lim

R→∞arctg x |R0 = lim

R→∞arctgR =

π

2

Dakle, polazni integral iznosi π.

Primjer

∫ ∞0

exp(−x) dx = limR→+∞

∫ R0

exp(−x) dx = limR→+∞

(−e−R+e0) = 1.

Primjer∫ +∞−∞

dx

1 + x2=

∫ 0−∞

dx

1 + x2+

∫ +∞0

dx

1 + x2= I1 + I2.

Podintegralna funkcija je parna, pa ako konvergira I2, on je jednakI1 te će rezultat biti 2I2, a ako I2 divergira, onda i rezultat divergira.

I2 = limR→∞

∫ R0

dx

1 + x2= lim

R→∞arctg x |R0 = lim

R→∞arctgR =

π

2

Dakle, polazni integral iznosi π.

Primjer

∫ ∞0

exp(−x) dx = limR→+∞

∫ R0

exp(−x) dx = limR→+∞

(−e−R+e0) = 1.

Primjer∫ +∞−∞

dx

1 + x2=

∫ 0−∞

dx

1 + x2+

∫ +∞0

dx

1 + x2= I1 + I2.

Podintegralna funkcija je parna, pa ako konvergira I2, on je jednakI1 te će rezultat biti 2I2, a ako I2 divergira, onda i rezultat divergira.

I2 = limR→∞

∫ R0

dx

1 + x2= lim

R→∞arctg x |R0 = lim

R→∞arctgR =

π

2

Dakle, polazni integral iznosi π.

Primjer

∫ ∞0

exp(−x) dx = limR→+∞

∫ R0

exp(−x) dx = limR→+∞

(−e−R+e0) = 1.

Primjer∫ +∞−∞

dx

1 + x2=

∫ 0−∞

dx

1 + x2+

∫ +∞0

dx

1 + x2= I1 + I2.

Podintegralna funkcija je parna, pa ako konvergira I2, on je jednakI1 te će rezultat biti 2I2, a ako I2 divergira, onda i rezultat divergira.

I2 = limR→∞

∫ R0

dx

1 + x2= lim

R→∞arctg x |R0 = lim

R→∞arctgR =

π

2

Dakle, polazni integral iznosi π.

Primjer

Za koje α ∈ R konvergira ∫ ∞1

dx

xa?

Uočimo prvo da za negativne a podintegralna funkcija nijeograničena na [1,+∞〉 pa integral sigurno divergira, a tako i zaa = 0. Dakle, nastavljamo za a > 0. Za a = 1 neodredeni integralod x−a je ln x + C , a za ostale a je neodredeni integral od x−a

jednak 11−ax1−a, pa u prvom slučaju imamo

limR→∞

lnR − ln 1 = +∞,

a u drugom1

1− a limR→∞R1−a − 1,

a to je konačno samo ako a > 1 (1− a < 0 pa tad R1−a → 0).Dakle, integral konvergira samo za a > 1.

Primjer

Za koje α ∈ R konvergira ∫ ∞1

dx

xa?

Uočimo prvo da za negativne a podintegralna funkcija nijeograničena na [1,+∞〉 pa integral sigurno divergira, a tako i zaa = 0.

Dakle, nastavljamo za a > 0. Za a = 1 neodredeni integralod x−a je ln x + C , a za ostale a je neodredeni integral od x−a

jednak 11−ax1−a, pa u prvom slučaju imamo

limR→∞

lnR − ln 1 = +∞,

a u drugom1

1− a limR→∞R1−a − 1,

a to je konačno samo ako a > 1 (1− a < 0 pa tad R1−a → 0).Dakle, integral konvergira samo za a > 1.

Primjer

Za koje α ∈ R konvergira ∫ ∞1

dx

xa?

Uočimo prvo da za negativne a podintegralna funkcija nijeograničena na [1,+∞〉 pa integral sigurno divergira, a tako i zaa = 0. Dakle, nastavljamo za a > 0. Za a = 1 neodredeni integralod x−a je ln x + C , a za ostale a je neodredeni integral od x−a

jednak 11−ax1−a, pa u prvom slučaju imamo

limR→∞

lnR − ln 1 = +∞,

a u drugom1

1− a limR→∞R1−a − 1,

a to je konačno samo ako a > 1 (1− a < 0 pa tad R1−a → 0).Dakle, integral konvergira samo za a > 1.

Kakva treba biti podintegralna funkcija . . .

. . . da bi bilo šanse da njen integral od 0 do +∞ konvergira?

Za konvergenciju integrala∫∞0 f (x) dx nužno je (ali ne i dovoljno)

da je limx→∞ f (x) = 0, tj. da je x-os HA podintegralne funkcije f .

Kakva treba biti podintegralna funkcija . . .

. . . da bi bilo šanse da njen integral od 0 do +∞ konvergira?

Za konvergenciju integrala∫∞0 f (x) dx nužno je (ali ne i dovoljno)

da je limx→∞ f (x) = 0, tj. da je x-os HA podintegralne funkcije f .

Neelementarni integrali

Postoje integrali koji imaju konkretne vrijednosti, ali seodgovarajuća antiderivacija ne može zapisati jednom formulom(nije elementarna funkcija). Najpoznatiji takav je

erf x =2√π

∫ x0

exp(−t2) dt

i često se pojavljuje u vjerojatnosti i statistici. Posebno se čestopojavljuje njegova varijanta s x =∞:∫ +∞

0e−ax

2dx =

1

2

√π

a.

Gama-funkcija

Što su faktorijeli?

0! = 1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24; 5! = 120;6! = 720; . . .

n! = 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1) · n = n · (n − 1)!, n ∈ N

Interpretacija faktorijela

n! je broj načina da poredamo n predmeta: 3 predmeta se moguporedati na 6 načina.

No, pojavila se potreba n u n! poopćiti na realan broj . . .

Gama-funkcija

Što su faktorijeli? 0! = 1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24; 5! = 120;6! = 720; . . .

n! = 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1) · n = n · (n − 1)!, n ∈ N

Interpretacija faktorijela

n! je broj načina da poredamo n predmeta: 3 predmeta se moguporedati na 6 načina.

No, pojavila se potreba n u n! poopćiti na realan broj . . .

Γ : R \ (−N)→ R, Γ(x) =∫ +∞0

tx−1e−t dt.

Za prirodne brojeve n je Γ(n + 1) =

∫ +∞0

tne−t dt = n!, tj.

∫ +∞0

xne−ax dx =n!

an+1, n ∈ N.