Úvod

Fraktály – Stručný úvod a přehled

Jan Velechovský

KFE, FJFI ČVUT

27. dubna 2009

Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled

Úvod

1 ÚvodDimenzeKonstrukcePřehledUkázkaAplikaceZávěrOdkazy

Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled

Úvod

Motivace

Benoıt Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature

Clouds are not spheres, mountains are not cones,coastlines are not circles, and bark is not smooth,

nor does lightning travel in a straight line.

Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled

Úvod

Historie

Název Fractalrok 1975Benoıt Mandelbrot (∗1924), IBM Research

How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarityand Fractional Dimension

objekt, jehož Hausdorffova dimenze je větší než topologická

Již dříve byly známy matematické konstrukce, problém sezobrazením

Gottfried Leibniz (1646 – 1716)rekurzivně zkonstruoval první soběpodobný objekt – přímku

Karl Weierstrass (1815 – 1897), Helgevon Koch (1870 – 1924) – Kochova křivka

Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled

Úvod Dimenze

Dimenze fraktálu

Hausdorffova dimenze df - formální definice poměrně složitá

M(L) ∝ Ldf , kde

L . . . Charakteristický rozměr objektuM(L) . . . Hmotnost objektu

Například pro plošný objekt

ρ =M(L)plocha

∝ Ldf

L2 ∝ Ldf−2

Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled

Úvod Dimenze

Dimenze fraktálu

Alternativní zavedení, vhodné pro numerické vyčíslení

N útvarů velikosti r potřebných k zakrytí objektu

r → 0

N(r) ∝ 1rdf→ df = −∆ lnN(r)

∆ ln r

Obrázek: K definici dimenze, převzato z [1]

Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled

Úvod Konstrukce

Konstrukce fraktálů

Mnoho možností, například:

V přírodě

Afinní transformace (chceme soběpodobný objekt)

Zkoumáme konvergenci na množině

Buněčné automaty (Cellular automata)

Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled

Úvod Konstrukce

V přírodě

Obrázek: Romanesco broccoli

Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled

Úvod Konstrukce

Afinní transformace

Obrázek: Fraktál vytvořený afinní transformací pro 100 000 iterací

Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled

Úvod Konstrukce

Zkoumáme konvergenci na množině

Obrázek: Mandelbrotova množina

Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled

Úvod Konstrukce

Buněčné automaty (Cellular automata)

Obrázek: http://mathworld.wolfram.com/Rule90.html

Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled

Úvod Přehled

Cantorovo diskontinuum

Obrázek: Cantorovo diskontinuum 1D a 2D

je nespočetná množina

je perfektní množina (je rovno množině svých limitních bodů)

je řídká množina

je uzavřená množina

má Lebesgueovu míru 0

má Hausdorffovu dimenzi ln 2ln 3

Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled

Úvod Přehled

Sierpinského trojúhelník

Obrázek: Sierpinského trojúhelník a pyramida

poprvé popsán roku 1915, Wac law Sierpinski (1892 – 1969)

Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled

Úvod Přehled

Mandelbrotova množina

Obrázek: Mandelbrotova množina, detail okraje

množina c ∈ C, pro která

limn→∞

‖zn‖ 6=∞, kde z0 = 0, zn+1 = z2n + c

Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled

Úvod Ukázka

Vytvořme si vlastní fraktál

kfe.fjfi.cvut.cz/˜ velechov/mandel.c

kfe.fjfi.cvut.cz/˜ velechov/sharp.c

Zkompilujeme, např: gcc -o sharp sharp.c -lm

Spustíme, přesměrujeme výstup do souboru:./sharp > sharp.dat

Zobrazíme: gnuplot >>> p ’sharp.dat’

Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled

Úvod Aplikace

Použítí obecně

Generování různých povrchů v PC grafice

Komprese obrázků

Medicína - měření Hausdorffovy dimenze částic krve, mozku

Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled

Úvod Aplikace

Aplikace ve fyzice

Atraktory - problém tří těles, počasí

Fázové přechody

Brownův pohyb, DLA - en.wikipedia.org/wiki/DLA

Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled

Úvod Odkazy

Zajímavé zdroje (1)

Wikipedia.org. . .mnoho informací, můžeme začít napříkladtady:

en.wikipedia.org/wiki/Fractalen.wikipedia.org/wiki/List of fractals by Hausdorff dimensionen.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot seten.wikipedia.org/wiki/Koch snowflake

Pavel Tišnovský - Seriál Fraktály v počítačové grafice(82 článků):

www.root.cz/serialy/fraktaly-v-pocitacove-grafice

Rešerše - Počítačové generování fraktálních množin:kmlinux.fjfi.cvut.cz/˜ pauspetr/html/skola/. . .

Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled

Úvod Odkazy

Zajímavé zdroje (2)

Buněčné automaty:en.wikipedia.org/wiki/Cellular automatonmathworld.wolfram.com/ElementaryCellularAutomaton.htmlmathworld.wolfram.com/SierpinskiSieve.htmlherodes.feld.cvut.cz/mereni/dema/alife/math.bu.edu/DYSYS/applets/chaos-game.html

[1] A Survey of Computational Physics: IntroductoryComputational Science,Rubin H. Landau, Manuel José Páez & Cristian C. Bordeianu,Princeton University Press, ISBN: 0691131376

Introduction to Nonlinear Physics, Lui Lam,Springer, ISBN: 0-387-40614-X

Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled