FRAKTALIFRAKTALIi njihova primjena u znanostii njihova primjena u znanosti

Andrej Ficnar, PMFAndrej Ficnar, PMF

27. siječanj 2005.

22

33

UvodUvod

razvoj od razvoj od 1872.1872. kao kontinuirane ali nigdje kao kontinuirane ali nigdje diferencijabilne funkcijediferencijabilne funkcije

1975. 1975. B. MandelbrotB. Mandelbrot uvodi riječ fraktal za uvodi riječ fraktal za opis samosličnih objekata koji nemaju opis samosličnih objekata koji nemaju jasnu dimenzijujasnu dimenziju

dolazi lat. dolazi lat. fractusfractus - nepravilan ili slomljen - nepravilan ili slomljen geometrija u prirodi je važna!geometrija u prirodi je važna! danas višestruke primjenedanas višestruke primjene

44

DefinicijaDefinicija

skup za koji dimenzija Hausdorff - skup za koji dimenzija Hausdorff - Besicovitcha strogo premašuje topološku Besicovitcha strogo premašuje topološku dimenzijudimenziju

oblik načinjen od dijelova koji su slični oblik načinjen od dijelova koji su slični cjelini na neki načincjelini na neki način

55

Hausdorff – Besicovitcheva dim.Hausdorff – Besicovitcheva dim. kako mjeriti veličinu skupa kako mjeriti veličinu skupa SS točaka u prostoru ? točaka u prostoru ? prekriti ga sa N malih kockica dimenzije prekriti ga sa N malih kockica dimenzije δδ, pokušajmo za krivulju , pokušajmo za krivulju

duljine Lduljine L00::

1

00

2

0

lim

)(lim

L

NA2

00

3

0

lim

)(lim

L

NV0

00

0

lim

)(lim

L

NL

66

pokušajmo sada sa plohom površine pokušajmo sada sa plohom površine AA00::

motivacija za definiciju dimenzije Hausdorff – Besicovitcha motivacija za definiciju dimenzije Hausdorff – Besicovitcha DD::

gdje je gdje je γγ geometrijski faktor (za kocke geometrijski faktor (za kocke γγ=1, diskove =1, diskove γγ = =ππ/4.. ), a /4.. ), a veličina veličina MMdd se naziva d-mjerom skupa se naziva d-mjerom skupa SS

1

000lim)(lim

ANL

0

002

0lim)(lim

ANA

1

003

0lim)(lim

VNV

DdDd

NdM dd ,

,0)()( 0

77

Kochova krivuljaKochova krivulja

nnL 3,)3/4()(

12628.1 TDD !fraktal

1)1( L3/4)3/1( L

9/16)3/4()9/1( 2 L

ddd NM )(

)3ln(/)ln(44)( nN

2628.1)3ln(/)4ln(,

)3/4()(1

)3ln()]3ln()4)[ln(ln(

)3ln()ln(

eL

Dd

88

Vrste fraktalaVrste fraktala

1.1. Sustavi iteriranih funkcija (trokut Sustavi iteriranih funkcija (trokut Sierpinskog)Sierpinskog)

2.2. Fraktali definirani rekurzivnim relacijama Fraktali definirani rekurzivnim relacijama (Mandelbrotov skup)(Mandelbrotov skup)

3.3. Slučajni (random) fraktali (priroda)Slučajni (random) fraktali (priroda)

99

SamosličnostSamosličnost promatramo skup promatramo skup SS i ako promijenimo skalu za i ako promijenimo skalu za r<1r<1, tako da sa , tako da sa NN

disjunktnih skaliranih skupova možemo prekriti disjunktnih skaliranih skupova možemo prekriti SS, kažemo da je , kažemo da je SS samosličan samosličan s obzirom na skalirajući faktor s obzirom na skalirajući faktor rr

općenito, faktor skaliranja je dan sa općenito, faktor skaliranja je dan sa

gdje je gdje je dd dimenzija sličnosti, za koju se pokazuje da je jednaka dimenzija sličnosti, za koju se pokazuje da je jednaka DD podjela fraktala po samosličnosti:podjela fraktala po samosličnosti:

1.1. Egzaktno samoslični fraktali (iteracija)Egzaktno samoslični fraktali (iteracija)2.2. Kvazi samoslični fraktali (rekurzivni)Kvazi samoslični fraktali (rekurzivni)3.3. Statistički samoslični fraktali (slučajni)Statistički samoslični fraktali (slučajni)

dNNr /1)/1()(

1010

Primjeri u znanostiPrimjeri u znanosti teorija kaosa: čudni atraktori imaju fraktalnu teorija kaosa: čudni atraktori imaju fraktalnu

strukturustrukturu

1111

Brownovo gibanje Brownovo gibanje

1212

fraktalna kompresijafraktalna kompresija izrada superkondenzatoraizrada superkondenzatora procesi agregacije molekulaprocesi agregacije molekula dielektrični probojdielektrični proboj pomaganje osobama oboljelim od pomaganje osobama oboljelim od

Parkinsonove bolestiParkinsonove bolesti

1313

Hvala na pažnji!Hvala na pažnji!

aficnar@fizika.orgaficnar@fizika.org