1

GUIA DE MATERIAL BASICO

PARA TRABAJAR CON FRACCIONES COMUNES.

FRACCIONES COMUNES

M. Lucía Briones P. Profesora de Matemáticas. Universidad de Chile.

2

FRACCIONES COMUNES. conocimientos previos indispensables para operar con fracciones.

MULTIPLICACIÓN Y MÚLTIPLOS.

Recuerda que el conjunto de los números Naturales es { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 8. 9. 10. 11.....} Si queremos obtener los múltiplos de un número cualquiera, basta con multiplicar dicho número , por cada uno de los naturales. Ej: Queremos obtener los múltiplos de 2 y también los de 7. Hacemos lo siguiente: 2 x 1 = 2 7 x 1 = 7 2 x 2 = 4 7 x 2 = 14 2 x 3 = 6 7 x 3 = 21 2 x 4 = 8 7 x 4 = 28 2 x 5 = 10 7 x 5 = 35 2 x 6 = 12 7 x 6 = 42 2 x 7 = 14 7 x 7 = 49 2 x 8 = 16 7 x 8 = 56 2 x 9 = 18 7 x 9 = 63 2 x 10 = 20 7 x 10 = 70 2 x 11 = 22 7 x 11 = 77 2 x 12 = 24 7 x 12 = 84 ................... .................... Y así podemos seguir hasta infinito. Ejercicios: Completa con el número pedido en cada caso.

1) Múltiplos de 6, mayores que 10 y menores que 25

2) Múltiplos de 3 , mayores que 19 y menores que 28

3) Múltiplo de 7 , menor que 30 y mayor que 21

4) El cuarto múltiplo de 5

5) Múltiplos de 4 mayores que 54 y menores que 66

6) 3 veces el cuarto múltiplo de 8

7) Dos veces el múltiplo de 2 , mayor que 2 y menor que 6

8) El múltiplo de 10 entre 990 y 1.010, disminuido en 999

9) Escribe los múltiplos de 12 menores que 120

10) Escribe los múltiplos de 5 menores que 50

3

11) Los múltiplos de 7 menores que 60

12) Los múltiplos de 10 entre 50 y 100.

MINIMO COMUN MÚLTIPLO.( M.C.M )

¿A que se llama mínimo común múltiplo? Imagina que queremos saber cuál es el M.C.M. entre los números 8 y 12- Escribimos los múltiplos de 8 y en otra fila, los múltiplos de 12, hasta 80 por ejemplo. Vemos los que se repiten y los marcamos. M8 = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80 M12 = 12,24, 36, 48, 60, 72 Escribimos en una nueva linea los que se repitieron. Múltiplos Comunes = 24, 48, 72 y ahora hemos destacado el más pequeño de todos ellos que es el 24. Ese es el Mínimo Común Múltiplo. Pero ese método se usa sólo para explicar de dónde proviene, dado que existe otra forma que llamaremos Forma Práctica y que veremos a continuación. Ejemplo: Calcular el M.C.M. entre 15 y 25. 15 - 25 3 5 - 25 5 M.C.M. = 3 x 5 x 5 = 75 1 - 5 5 1 Calcula el Mínimo Común Múltiplo de cada grupo de Números: 1) 8, 6 y 12 2) 16 y 24 3) 12 y 16 4) 9, 27 y 54 5) 16 y 24 6) 10,15 y 150 7) 30 y 45 8) 4, 20 y 32 9) 25 y 100 10) 6, 30 y 45

4

Resolver los siguientes problemas: Un avión viaja a U.S.A. cada 10 días y otro cada 15 días. Si ambos salen juntos el día 05 de Agosto.¿Cuál es la fecha siguiente en la que ambos volverán a salir juntos? Cálculos Respuesta La moto de Diego se llena con Bencina cada 5 días y la de Alonso cada 7 días. Si el Lunes llenaron ambos estanques. ¿Dentro de cuántos días coincidirán nuevamente? Cálculos Respuesta

FACTORES O DIVISORES Y MÚLTIPLOS.

Recuerda que si multiplicamos una pareja de números, ellos se llaman factores y el resultado de la multiplicación se llama producto. Podemos multiplicar muchos números, pero siempre de dos en dos, por lo cual la operación multiplicación se dice que es binaria Ejercicios: Expresa cada uno de los siguientes números como producto de dos factores, en que alguno de ellos no sea 1. 1.- 18 2.- 24 3.- 36 4.- 1 5.- 100 6.- 120 7.- 245 8.- 300

5

Escribe los primeros 8 múltiplos de cada uno de los números siguientes: 1.- Múltiplos de 5 = { 2.- Múltiplos de 8 = { 3.- Múltiplos de 11 = { Recuerda que el M.C.M. de dos o más números, corresponde al menor de los múltiplos comunes de dichos números. Ejercicios: Calcular el M.C.M. de los siguientes números: 1.- 4 y 8 2.- 5 y 20 3.- 12 y 48 4.- 7 y 5

Problemas.-

1.- Una alumna necesita comprar la misma cantidad de papel lustre en colores amarillo y verde. Si el papel amarillo viene en paquetitos de 6 unidades y el papel verde en otros de 4 unidades ¿Cuál es la menor cantidad de papel lustre que puede comprar? 2.- La doctora Leticia le da a Alonso la siguiente receta. Cada 8 horas tomar el anti- inflamatorio, cada 6 horas el analgésico y cada 4 horas el jarabe para la tos. Si Alonso comienza a tomar los tres remedios a las 14 horas, ¿A qué hora volverá a tomar los tres remedios juntos?

6

3.- Si Diego visita a su tía cada 15 días y su hermana Verónica la va a ver cada 20 días y ambos fueron juntos el día Miércoles, ¿En cuántos días más se volverán a encontrar donde la tía? 4.- Alejandro tiene un negocio en el cual vende tortas y pasteles. Una bandeja de 6 dulces chilenos, tiene un valor de $ 1.200. Si vendió en un día 32 de estas bandejas ¿Cuánto dinero reunió con esta venta? 5.- Un mueble del dormitorio tiene 5 cajones. En cada cajón hay guardadas 12 camisas y cada camisa tiene 8 botones. ¿Cuántos botones hay en cada cajón? 6.- Una fotocopiadora saca 10 fotocopias por minuto. ¿Qué cálculo hay que hacer para saber cuántas fotocopias se sacan en 5 minutos? a) 10 + 5 b) 10 x 5 c) 10 x 1 + 5 d) 10 x 5 + 1 7.- ¿ Cuántas tenidas diferentes se pueden hacer con 3 blusas y 4 pantalones distintos? a) 7 b) 12 c) 14 d) 34 8.- En la casa de Francisco compraron 3 juegos de loza para 4 personas a $ 9.990 c/u, 4 sets de 6 vasos a $ 1.490 c/u y 2 juegos de cuchillería para 6 personas a $ 14.990. Si pagaron con 14 billetes de $ 5.000, ¿Cuánto dinero les sobró?

7

Piensa cuidadosamente:

a) ¿Qué datos son importantes para resolver el problema? b) ¿Qué operaciones vas a realizar para encontrar la solución?

c) ¿Cuál es la respuesta al problema?

DIVISIBILIDAD DE LOS NUMEROS. Un número es divisible por 2 si termina en cifra 0 o par.- Ej: 2346 ; 36980 Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3; Ej 396⇒⇒⇒⇒3+9+6= 18 Un número es divisible por 4 si sus dos últimas cifras son múltiplos de 4; Ej: 4520 y 8700 Un número es divisible por 5 si termina en 5 o en 0 Ej: 3795 y 2580 Un número es divisible por 6, si lo es por 2 y por 3 a la vez Ej: 4592364 Un número es divisible por 8, si sus 3 últimas cifras son múltiplos de 8: Ej. 523.816 Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Ej. 981 ⇒⇒⇒⇒9 + 8 + 1= 18 Un número es divisible por 10 si termina en 0 Ej: 2850 y 4500 Un número es divisible por 25 si termina en 00 ; 25; 50; o 75 Ejercicios:

2 3 4 5 6 8 9 10 25 376.200

283.425

183.624

453.645

124.680

657.428

8

NUMEROS PRIMOS.

1 2 3 4 5 6 7 1·1 1·2 1·3 1·4 1·5 1·6 1·7 2·2 2·3

8 9 10 11 12 13 14 1·8 1·9 1·10 1·11 1·12 1·13 1·14 2·4 3·3 2·5 2·6 2·7 3·4

15 16 17 18 19 20 21 1·15 1·16 1·17 1·18 1·19 1·20 1·21 3 · 5 2 ·8 2 · 9 2·10 3 ·7 4 · 4 3 · 6 4 · 5

22 23 24 25 26 27 28 1 ·22 1· 23 1· 24 1· 25 1· 26 1· 27 1· 28 2 · 11 2 · 12 5 · 5 2 · 13 3 · 9 2 · 14 3 · 8 4 · 7 4 · 6 4 · 7

29 30 31 32 33 34············ 1 · 29 1 · 30 1 · 31 1 · 32 1 · 33 1 · 34 2 · 15 2 · 16 3 · 11 2 · 17 3 · 10 4 · 8 5 · 6 NUMEROS PRIMOS: son los que sólo son divisibles por 1 y por sí mismos, o sea por sólo 2 factores distintos. ( Por eso el 1 no es primo, porque sus factores son iguales: Factores primos entre sí: son aquellos que no tienen ningún factor común, fuera del 1. Ejemplos: 8 y 15 ; 10 y 27 ; 14 y 36. 1 · 8 1 · 15 1 · 10 1 · 27 1 · 14 1 · 36 2 · 4 3 · 5 2 · 5 3 · 9 2 · 7 4 · 9

9

MÁXIMO COMÚN DIVISOR ( M.C.D.-

¿Cuál es el Máximo Común Civisor entre 18 y 12? Formemos los conjuntos de divisores de cada número:

18 12 1 · 18 1 · 12 2 · 9 2 · 6 3 · 6 3 · 4

D18 = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 } Se repiten { 1, 2, 3, 6 } y el mayor de ellos es el 6 = M.C.D. D12 = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 } Es el más grande de los divisores comunes. Forma práctica: Se va descomponiendo cada número en sus factores primos como un arbolito.

18 12 2 · 9 2 · 6

2 · 3 · 3 2 · 2 · 3 2 · 32 22 · 3

2 · 3 = 6 M.C.D. Se multiplican las potencias de igual base que tienen menor exponente que nos resulten en cada descomposición.-

Calcular el M.C.D. entre: 36 y 24 42 y 63

10

FRACCIONES COMUNES.-

½ ¼ ¡ La primera fracción representa el disco entero, o sea un entero. Vamos a colorear y a completar los nombres de los demás discos, que representarán respectivamente : la mitad o un medio ( ½ ); la tercera parte o 1 ; la cuarta parte o ( ¼ ) laquinta parte 3 o 1 ; etc. 5 Para obtener 1 tendríamos que dividir el disco en 6 partes iguales y tomar unaparte. 6 Si se divide un entero, por ejemplo una torta en 4 partes iguales , ya vimos que cada parte

es 1 . Eligiendo 3 de estas partes, obtenemos tres cuartos ( ¾ ) . 4 Definición: ( 3 ) son 3 partes de un entero que se ha dividido en 4 partes iguales. 4 Una fracción se compone de dos términos:

3 Numerador 4 Denominador

El denominador indica el número de partes iguales en que se ha dividido el entero. El numerador señala cuántas de esas partes se han elegido. DEF,.FRACCIONES PROPIAS: son aquellos menores que el entero ( Su numerador es menor que el denominador). Ej: 1 ; 2 ; 5 ; 7 ; 45 ; 89 ; ............ En la figura 2 3 6 10 100 128 pinta ¾ DEF.- FRACCIONES IMPROPIAS.- Son aquellas mayores o iguales al entero. (Su numerador es mayor o igual al denominador)

1

11

Ej.- 5 ; 9 ; 15 ; 3 ; 164 ; 9 ;.................. 2 4 8 3 23 9 La figura siguiente, representa 5 2 DEF.- NUMEROS MIXTOS.- Son los que están compuestos de un entero y una fracción propia.- Ej.- .- 1 3 15 14 4 2 10 20 100 9 Transformar un número mixto a fracción impropia.- Ej.- 3 4 1 entero = 4 1 entero = 4 3 En total vemos 11 4 4 4 4 Es decir: El número mixto 3 es equivalente a la fracción impropia 11 . 4 4 Forma práctica de efectuar la transformación:

Se multiplica el entero por el denominador y a ese producto se le suma el numerador.

Se conserva el mismo denominador que tenía la fracción acompañante. Ejercicios; Transformar a fracción impropia: 1 9 1 5 14 3 2 10 2 6 1100 5

Transformar una fracción impropia a número mixto.-

10 = 1 10 : 3 = 3 3 3 1 Se divide el numerador por el denominador, quedando como indica el ejemplo.

3 8 14 10 25

2

2

3 8 1 4 9

3

12

Ejercicios: Transformar a número mixto.- 36 28 130 220 45 150 89 14 10 15 5 9 13 17 100 5 91 48 1243 346 96 16 2 7 12 251 23 3

AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES.- DEF: Amplificar una fracción es multiplicar tanto el numerador como el denominador por un mismo número sin que cambie su valor. Ejemplos: Amplificar la fracción 3 por 2, 3, 4, 6, 10. 4 3 · 2 = 6 3 · 3 = 9 3 · 4 = 12 3 · 6 = 18 4 · 2 8 4 · 3 12 4 · 4 16 4 · 6 24 3 · 10 = 30 Con las fracciones amplificadas se puede formar un 4 · 10 40 “Conjunto de fracciones equivalentes”.- 3 = 6 = 9 = 12 = 18 = 30 =........................... 4 8 12 16 24 40 Ejercicios: Amplificar por 3, 5, 7, 9, las fracciones 2 , 5, 9 . En el espacio que sigue. 3 7 11

13

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES.-

DEF.-Simplificar una fracción es dividir tanto el numerador como el denominador por un mismo número, sin que cambie su valor. (Debe encontrarse el número que esté contenido exactamente en ambos términos ) (Ver divisivilidad de los números ).-

Ejemplos.- Simplificar 36 ( Se puede sólo por 2, 3, 4, 6, 12. Por eso el conjunto es finito ) 48 36 : 2 = 18 36 : 3 = 12 36 : 4 = 9 36 : 6 = 48 : 2 24 48 : 3 16 48 : 4 12 48 : 6 36 : 12 = 3 Con las fracciones simplificadas se puede formar un conjunto de 48 : 12 4 “Fracciones equivalentes” 36 = 18 = 12 = 9 = 6 = 3 48 24 16 12 8 4 Ejercicios: Simplificar dejando la fracción en su mínima expresión.- 27 12 30 20 49 50 1 45 15 36 55 56 60 2 72 33 24 21 16 30 2 80 77 32 28 48 45 4

EJERCICIOS DE APLICACIÓN.

Unidad de Fracciones ( básicas) Recuerda.

Obtenemos una fracción después de haber dividido el entero en partes iguales y tomar alguna (s) de ella (s).

FRACCIONES PROPIAS.

Son aquellas menores que el entero, es decir , su numerador es menor que el denominador.

14

Ejemplos: 3 ; 7 ; 85 ; 94 ; 138 5 9 90 100 425

FRACCIONES IMPROPIAS.-

Son aquellas mayores o iguales al entero; es decir su numerador es mayor o igual al denominador. Ejemplos: 7 11 43 96 278 4 11 21 96 100 Las fracciones son números de la forma a , en que b es ≠≠≠≠ de 0 b “ b “ es el denominador y nos indica en cuantas partes se ha dividido el entero “ a “ es el numerador y nos indica cuantas partes del entero se han tomado.

Ejercicios:

1) Inventa 4 fracciones propias y represéntalas (Haciendo las divisiones y pintando)

2) Inventa 4 fracciones Impropias y represéntalas:

15

3) 3 fracciones que representen al entero cuyo denominador sea ≠≠≠≠ de 1

4) 3 fracciones que representen al entero , cuyos denominadores sean 3 y sus múltiplos

5) 3 fracciones que representen al entero, cuyo denominador sea 5 y sus múltiplos Recordar: De toda fracción impropia se obtiene un número mixto, es decir 1 entero acompañado de una fracción. Ejemplos: 14 = 27 =

8 8 462 = 18 =

24 18

150 = 1720 = 23 56

749 = 4500 = 21 50

174 = 2848 = 32 24

16

No olvidar: Entre el entero y la fracción en un número mixto existe una adición.

Ejemplos: 4 + = 2 + 9

5 + 6 + Expresar cada número mixto como fracción impropia

2

33 =

5

74 =

3

56 =

7

98 =

5

69 =

3

45 =

1

37 =

4

70 = FRACCIONES EQUIVALENTES.

Son las fracciones que representan la misma parte de un entero. Están situadas en

el mismo lugar de la recta numérica.

Para obtener una fracción equivalente a otra dada, basta con amplificar o

simplificar la fracción dada. Ejemplo:

Dada la fracción 3 y amplificada por 4, obtenemos 3 · 4 = 12 entonces, 5 5 · 4 20 3 es equivalente con 12 5 20

5 7

7 9

8 19

6 15

17

Otro ejemplo: Dada la fracción 36 y simplificada por 12, obtenemos la fracción 36 : 12 = 3 , 48 48 : 12 4 36 es equivalente con 3

48 4 Resuelve los siguientes problemas: a) En un curso hay 36 niños, 17 son morenos, 10 son castaños y 9 son rubios.

¿Qué fracción del curso son morenos? ¿Qué fracción son castaños? ¿Qué fracción son rubios?

b) Roberto tiene 9 metros de género. ¿Qué fracción del género representa 1 m?

¿ 4 m? ¿ 5 m? ¿ 7 m? Escribe las fracciones? c) Luz quiere darle una galleta a cada uno de los compañeros de su curso. El

curso tiene 38 alumnos. Si cada paquete tiene 20 galletas ¿Qué fracción representa “ darle galletas a todo el curso”? ¿Qué tipo de fracción es?

COMPARACION DE NÚMEROS FRACCIONARIOS.-

4 3 6 6

Las dos regiones están divididas en 6 partes iguales. En la primera región se han tomado 4 partes y en la segunda se han tomado 3 partes. Luego decimos : cuatro sextos es mayor que tres sextos y anotamos 4 >>>> 3

6 6

De dos números fraccionarios que tienen el mismo denominador, es mayor el que tiene mayor denominador.

18

3 – VII Para cada una de las fracciones dadas, forma un conjunto con 4 fracciones equivalentes a ella. 1) 1

2 3 5 4 7 3 10 2) Completa el cuadrado para que sean fracciones equivalentes entre sí. a) 3 = ___ b) 100 = ____ c) 4 = ____ 4 20 200 20 5 40 3) Usando dos enteros del mismo tamaño, uno bajo el otro, “ muestra “ que 1 = 2

2 4

b) Muestra que 1 = 2 3 6

19

3) En una recta numérica, ubica las siguientes fracciones: a) 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5

2 2 2 2 2 2 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

b) 1 , 3 , 5 , 2 , 0 , 7 3 3 3 3 3 3 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | c) 3 , 8 , 0 , 1 , 5 4 4 4 4 4 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | d) 4 , 5 , 8 , 0 , 7 , 3 5 5 5 5 5 5 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Ejercicios.- Ubica en una recta numérica las siguientes fracciones: 1) 1 , 3 , 5 , 12 , 5 , 7 2 4 8 4 2 8 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

20

2) 5 , 3 , 4 , 7 , 8 , 9 , 7 2 6 12 3 6 2 12 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Usa distintos colores y distinta longitud. Del ejercicio 2) vemos que 4 <<<< 3 <<<< 7 <<<< 8 <<<< 7 <<<< 5 <<<< 9 12 6 12 6 3 2 2 Hemos estabilizado la relación <<<< (menor que ) para todas las fracciones que se ubican en la recta numérica. Otro ejercicio: Ordena en forma creciente: 2 , 5 , 7 , 8 3 6 3 6 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Ordena en forma decreciente: 3 , 1 , 1 , 5 2 4 2 4 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Resumiendo: El conjunto de las fracciones positivas incluyendo el 0 ( Q+0 ) es un conjunto infinito y además un conjunto ordenado, lo que significa que en este conjunto se pueden establecer las relaciones >>>> ( mayor que ) o <<<< (menor que ) para todos sus elementos , sin embargo existe un método que nos permite establecer esta relación sin necesidad de ubicar las fracciones en la recta numérica y consiste en buscar fraccionesequivalentes a las dadas, todas ellas de igual denominador. Ejemplo: Ordenar en forma creciente sin ubicar en la recta numérica: 8, 3, 7 , 9 = 8 , 15 , 14 , 90 20 4 10 2 20 20 20 20 Ordenando en forma decreciente, quedan: 20 - 4 - 10 - 20 : 2 9 >>>> 3 >>>> 7 >>>> 8 10 - 2 - 5 - 10 : 2 2 4 10 20 5 - 1 - 5 - 5 : 5 1 - 1 - 1 - 1

M.C.M = 2 · 2 · 5 = 20

21

Recordemos que existe otro método para comparar fracciones son o no equivalentes cuando dos o decidir cual es mayor o cual es menor. ( Con este método nos evitamos igualar los denominadores.

Ejemplo. (Colocar >>>> , <<<< , ==== en cada ). 3 2 1º 3 · 7 = 21

5 7 2º 5 · 2 = 10 3º 21 >>>> 10 ⇒⇒⇒⇒ 3 >>>> 2

5 7 Vamos a comprobar igualando denominadores en los siguientes ejercicios: 3 >>>> 2 5 - 7 5

5 7 1 - 7 7 21 10 35 35 M.C.M.= 35

Ejercicios:

1) 3 2 6) 1

44 2

84 4 5 2) 5 2 7) 27 3 3 7 5 3 3) 1 3 8) 16 33 2 4 1 15 * 4) 2 10 9) 5 7 3 15 * 2 4 5) 13 26 * 10) 8 24 * 5 10 5 15 Notar que las fracciones que marcamos con * son equivalentes entre si. ( son iguales ). Por lo tanto: si y sólo si

Dos fracciones son equivalentes entre si ⇔⇔⇔⇔ su producto cruzado es el mismo.

22

a = c ⇔⇔⇔⇔ a · d = b · c , b ∧∧∧∧ d ≠≠≠≠ 0

b d Ejemplo: 2 = 10 2 · 15 = 30 3 15 3 · 10 = 30 Ejercicios: Compara los siguientes pares de fracciones y señala cual es mayor y cual menor.- a) 3 1 b) 2 3 c) 5 6 4 4 7 7 125 125 Transforma cada par de fracciones en fracciones equivalentes de igual denominador y Compáralos poniendo dentro de la , los signos <<<< , >>>> , o ==== . a) 4 5 b) 1 1 c) 3 8 5 5 2 5 10 15 ___ ___ ___ ___ ___ ___ d) 5 3 e) 7 8 f) 4 5 12 8 32 28 18 16 ___ ___ ___ ___ ___ ___ Dentro del rectángulo, escribe el dígito o cifra que corresponda. 1) 3

5 56 5 2) 2

9 98 7

23

3) 1

2 24 3 4) 7

3 32 4 5) 9

5 54 5 6) 7

3 36 8 7) 1

2 29 8 8) 3

4 410 6 9) 1

2 28 3 10) 2

5 53 2 11) 8

5 54 5 12) 7

5 59 10 13) 1

7 73 14) 2

3 34 1

24

15) 2

3 310 5 16) 3

9 94 2 II.- Completa cada con ====, >>>>, <<<<.. Trabaja REPASANDO EL SIGNIFICADO.

a) 2 3 d) 2 5

5 31 0 1 g) 9 3 3 2 5 4

b) 4 8 e) 4 1 h) 2 8 5 7 9 1 3 7 28

c) 5 15 f) 2 5 i) 1 2

5 103 3 3 9 1 6 2) Transforma cada número mixto a fracción impropia: a) 1 d) 1 g) 3

2 2 43 9 6 b) 7 e) 5 h) 2

9 8 94 7 10 c) 2 f) 4 i) 5

5 7 88 6 2 3) Cada Número mixto debe ser dejado en su mínima expresión como en el

ejemplo:

Ej: 4 1 1

3 3 33 3 1 4

25

Ejercicios. 1) 3

26

2) 7

59

3) 9

45

4) 8

35

5) 10

88

6) 9

67 4) Ordena en forma CRECIENTE los elementos de este conjunto. Método: 1º.- Iguala en primer lugar los denominadores, buscando el M.C.M. 2º.- Conviertes las fracciones en equivalentes y las comparas. 3º.- Escribe las respuestas. A = { 3 , 1 , 3 , 1 } B = { 3 , 2 , 7 , 4 } 5 2 4 10 5 3 15 30 ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ 5) Ordena en forma DECRECIENTE los elementos del conjunto dado. J = { 1 , 2 , 3 , 1 , 5 } K = { 3 , 1 , 13 , 7 , 3 } 6 3 4 3 12 4 2 8 16 2 ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ____ ____ ____ ___ ___ ___ ___ ___ ___

26

6) Ubica sobre la recta numérica 1 , 3 , 5 , 4 2 4 2 4 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 2 , 5 , 7 , 8 3 6 3 6 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 6) Resuelve cada operación, pero antes recuerda: Para sumar fracciones de igual denominador, Sumas los numeradores y mantienes el mismo denominador. Ejemplos: 2 + 8 + 1 = 12 5 5 5 5

1 3 5 9

4 4 4 43 8 7 18 Para restar fracciones de igual denominador, restas los numeradores y mantienes el mismodenominador. Ejemplo: 2 - 1 = 1 3 3 3

27

Ejercicios:

a) 4 + 2 + 15 = e) 2 3 8

5 5 54 7 9 3 18

b) 2 1

3 35 8 f) 9 - 5 + 7 - 5 = 2 2 2 2 d) 17 - 5 =

7 7

d) 15 - 8 + 11 = g) 3

24 1 5

2 28 4 4 4

1 3

5 54 2 Puedes restar los enteros, pero no puedes restar 1 - 3 por ahora 5 2 Tenemos 2 caminos para resolver el problema: 1º.- Transformo ambos números mixtos a fracción impropia y resto. 21 - 13 = 8 5 5 5 No usaremos el 2º método.

2º.- Al minuendo 1

54 le “quito “ 1 entero, transformado en quintos y se lo agrego a 1 , entonces tu ejercicio se transforma así. 5

1 6

5 53 4 3 6 3

5 53 2 3

51 se suprime el 4 y queda

28

Ejercicios:

a) 1 3

4 47 5 b) 2 5

7 78 3 c) 1 7

10 109 4 d) 2 4

7 75 3 e) 4 6

5 58 1 f) 1 2

3 34 2 5 g) 2 3 4

9 9 99 5 2 Ejercicios: Recordar.- Adición y sustracción de fracciones de = denominador. No olvidar: Tu respuesta debe quedar en la mínima expresión:

29

1) 3 + 2 + 7 = 2) 8 + 5 + 20 4 4 4

9 9 9

3) 5 + 8 + 7 + 4 = 12 12 12 12 4) 1 7

5 52 3 5) 1 4 7

5 5 56 2 3 6) 1 2 7

3 3 34 2 5 7) 4 3

7 73 2 8) 3 2

5 59 4

9 1 3

2 23 1 10) 2 3

5 54 1 11) 2 3 8

9 9 97 5 4 Recordar .- Adición y sustracción de fracciones con ≠≠≠≠ denominador. No olvidar que debemos igualar los DENOMINADORES ANTES de empezar la operación. Para igualar denominadores usamos la tabla de los divisores primos que nos permite encontrar el M.C. M.

30

Una vez encontrado el M.C.M. se transforma cada fracción del ejercicio a otra equivalente, cuyo denominador es el M.C.M. Luego se suman o restan los numeradores. Ejemplo: 4 - 3 = 16 - 9 = 7 3 - 4 2 3 4 12 12 12 3 - 2 2 3 - 1 3 1 Ejercicios: Sumarlos todos los de las dos columnas. 1 1 1 1 3 8 4 3 2 2 1 8 1 4 1 3 3 2 Restar a c/u de los elementos de arriba del cuadro, c/u de los de la izquierda. 1 1 1 1 8 6 5 4 3 8 5 3 3 5 4 7 Si a = 3 b = 2 c = 1 5 9 15 Calcula: a) a + b + c b) ( a + b ) – c c) ( a – c ) + b d) a – ( b + c )

31

Calcula: a) 1 b) 3

4 25 6 c) 1 d) 1

9 37 7 e) 3 f) 3

4 712 18 Resuelve las operaciones combinadas: a) 7 3 1

16 8 4 b) 28 1 3

35 7 5 c) 10 3 1 5

16 8 12 8 d) 8 2 7

13 26 39 e) 12 1 17 3

25 5 25 50 f) 1 1 1 1

5 8 5 8 Problemas.-

1) Tengo 48 calugas. 5 de ellas las pienso comer. Calcula (planteando ) cuántas me 6 pienso comer, que fracción de calugas me sobra y cuántas son.

32

2) ¿Cuánto más pesado es el perro de Claudia ( 5¾ kg ) que el gato de Pedro ( 2 kg y125 gr)?

3) Cordel 1 mide 3½ m. Cordel 2 mide ¾ m más que cordel 1 y cordel 3 mide ¼ m

menos que cordel 1 . Calcula la longitud de cada cordel y luego responde: Si los unes, cuánto falta o sobra para igualar la cuerda de Ignacio, que mide 25 m.

4) Marta trabaja 5¼ horas en la mañana y 4¾ horas en la tarde. ¿Cuántas horas trabaja al día?

5) Carolina compra una caja de lápices de colores. Ya le ha sacado punta a 3 de los

lápices¿ Qué parte le queda por afilar? 4 6) En un autobús viajan 48 personas. ¼ del total van sentadas. Calcular cuántas

personas van sentadas y cuántas de pié. 7 ) Un niño pesa ¾ kg menos que su primo. El primo pesa 1½ kg más que su vecino. Su vecino pesa 24 kg. ¿Cuánto pesan los otros niños del problema?

33

Prueba Parcial de Matemáticas.-

I Ubica sobre la recta numérica 3 y 5 . Usa colores diferentes. 2 4

II Completa lo pedido:

1) 3)

18 = 5 =

7 7 3

2)3

5 54 III Coloca <<<<, >>>> , ==== según corresponda: 1) 9 98

10 108 2) 4 32

3 24 3) 4 5

7 8 IV Ordena en forma decreciente: A = { 5 , 1 , 2 , 3 } Incluye proceso y escribe respuesta: 4 6 3 V Resuelve: 1) 1 3

5 57 2 2) 3 1

4 46 5

34

3) 4 5 5

5 3 15 4) 2 1

7 25 3 5) 1 2

6 38 4 VI Resuelve los siguientes problemas:

1) El perro de Roberto pesa 1

27 kg y el de Sofía pesa 3 kg más que el perro de Roberto. ¿Cuánto pesan entonces los dos? 4

2) Compras: 1 kg de salame y 250 gr de jamón.¿Es correcto afirmar que mi paquete pesa 375 grs ¿Por qué? 3) Compras: 500 gr de pan; 2¼ kg de naranjas y ½ kg de paltas. Niño A dice que para saber el peso de mi bolsa debo efectuar:

1 1 1

2 4 22 Niño B dice que para saber el peso de mi bolsa debo efectuar:

500 1 1

4 22 Elige quien tiene la razón y resuelve para saber el peso de mi bolsa. Cálculos: Elijo el niño------- Respuesta. Lo hago:

35

MULTIPLICACION DE FRACCIONES.-

Vemos en el dibujo que la mitad de 1 del dibujo 1 3 6 es 1 del total, o sea 1 · 1 = 1

6 2 3 6 Representaremos 2 de 3 y comprobaremos que es igual a 6 3 5 15 Tengo 3 5 Representa la siguiente situación: Rocío tiene medio pan. De esa porción decide regalar la 3ª parte. ¿Qué fracción respecto del pancompleto es 1 de 1 ? 3 2 Equivale a 1 · 1 = 1 1 de 1

3 2 6 3 2

1 de pan 2

Me quedan 3 de una casata. Me comeré los 2 de lo que queda. ¿Qué fracción del 5 3 entero mecomido?

Lo achurado doblemente representa 6 15 De todo el entero ya que 6 = 2

15 5

2 · 3 = 2 3 5 5

Ejercicios: Representa: a) 3 de 1 b) 2 de 1 c) 2 de 4 4 2 5 2 3 5

36

d) 1 de 1 * e) 3 de 2 = 2 2 3 5 3 5 Compara el ejmplo * con las respuestas que se dieron. ¿Qué puedes concluir? Al comparar ambos ejercicios, vemos que se está cumpliendo la propiedad Conmutativade la multiplicación en Q0

+ ( Racionales positivos incluyendo el 0). Todos los ejemplos representados graficamente, nos permiten concluir que:

Una fracción de otra, es igual al producto de ambas. a de c = a · c = ac ∀∀∀∀ a , c ∈∈∈∈ Q0

+ , b ∧∧∧∧ d ≠≠≠≠ 0 b d b d bd b d Ejercicios: 1) 3 · 2 = 6 2) 2 · 4 · 1 = 8 5 7 35 3 5 3 45 3) 4 · 1 = 4) 4 · 1 · 10 = 3 9 7 2 3 5) 4 · 5 = 6) 2 · 1 · 3 = 7 3 3 2 4 Probaremos que la multiplicación de fracciones es Asociativa.- 4 · 1 · 10 = 4 · 1 · 10 = 7 2 3 7 2 3 4 · 10 = 4 · 10 = 7 6 14 3 40 40

42 42 Atención: 1 1 1 1 2 1 a) 3 · 2 = 1 b) 7 · 4 · 3 = 1 6 10 10 14 9 18 27 2 5 2 3 9 1

37

1 1 1 3 1 3 6 c) 4 · 18 = 1 d) 2 · 30 · 60 = 6 6 12 3 20 10 1 3 1 2 1

1 1

1 2 2 1

e) 10 · 16 · 50 = 2 8 25 100 5

1 5 2 1 ¿Te diste cuenta cuantas simplificaciones se pueden hacer en una multiplicación de fracciones para disminuir el trabajo? En esa forma te quedan sólo números chicos para multiplicar. Hazlo tú lo mejor posible.

A) 3 · 2 = B) 7 · 4 · 3 = 6 10 14 9 18 C) 4 · 18 = D) 2 · 30 · 60 = 6 12 3 20 10 E) 10 · 16 · 50 = 8 25 100

Fracciones II ( básicas ) Resolver los siguientes problemas:

Ejemplo: 2 7 2 14

3 1 3 37

38

1) 4

5 8 2) 7

104 3) 2 1

5 28 6 4) 1 1

4 53 2 5) 2 1

5 33 8 6) 2

76 3 7) 3 1

4 58 2 8) 3 2 9

4 6 5 9) 4 2 7 3

3 5 2 41 2 Ejercicios: 1) 3 15 1

5 24 24

39

2) 3 12 4

4 5 37 3) 2 10 3

5 4 55 1 Problemas:

1) Juan pesa 3

48 Kg. Su primo pesa el triple de Juan y su papá pesa 10 veces lo que pesa Juan.¿Cuánto les falta entre los 2 niños para igualar el peso del papá? 2) Joaquín tiene 24 bolitas. Arnaldo tiene 36 bolitas y Agata tiene 28 bolitas.

Si Joaquín regala a Tomás 1 de ellas, Arnaldo le regala 5 y Agata le regala 3 de las suyas: 6 9 4 ¿Con cuántas bolitas se queda cada uno de los niños?

3) La mamá de Camila compra 1

26 kg de naranjas. La mamá de Pedro compra el doble que la mamá de Camila, y la mamá de Paula compra la mitad de las naranjas que la mamá de Pedro. ¿Cuántos kg compran entre los 3?

Si el cajón de naranjas pesaba 3

448 kg ¿Cuántos kg hay aún en el cajón? Si el kg vale $ 300 ¿Cuánto paga cada mamá?

40

DIVISION DE FRACCIONES.- ( básicas )

Ejemplo.

a) Tenemos 1 li. de yogur para repartir entre 4 niños.¿Cuánto le toca a cada niño? 2

Planteo: 1 : 4 = 1 : 4 = 1 · 1 = 1 2 2 1 2 4 8 Ejercicios: b) ¿Y si se reparte entre 4 alumnos y un profesor? 1 : 5 = 1 : 5 = 1 · 1 = 1 2 2 1 2 5 10

b) ¿Qué parte del litro de yogur le correspondería a cada uno si se reparte 2 de litro entre 9 niños? 5

ELEMENTO NEUTRO MULTIPLICATIVO ( 1 ) 1 de un litro de leche = 1 · 1

2 2 2 de un kg de manjar = 2 · 1

3 3 ¿Qué sucede cuando multiplicamos una fracción por uno?-------------------------------- Recuerda que esta propiedad de la multiplicación se llama elemento neutro multiplicativo Al existir el elemento neutro multiplicativo, es posible definir el elemento inverso Multiplicativo para cada fracción. El inverso multiplicativo de 3 es 4 porque 3 · 4 = 1 1 ( neutro multiplicativo) 4 3 4 3 En general, el inverso multiplicativo de una fracción cualquiera a es b pues a · b = 1 b a b a La multiplicación con respecto a la división son operaciones inversas. Al existir los Inversos Multiplicativos, la división se hace posible.

41

Ejercicios: 1) 3 litro : litro : 1

4 49 1 2) 3 litro : 1 7 kg : 2

5 2 8 3 3) litro : 1 litro : 1

4 51 1 4) litro : 1 kg : 1

8 81 2 5) metros : 1

83 Recuerda: 1 kg = 1.000 gr 1 kg = 500 gr 2 1 kg = 250 gr 1 kg = 125 gr 4 8 Problemas.

a) Con 1 kg de manjar ¿Cuántas bolsitas de 125 gr se pueden regalar?

b) Con 5 kg de manjar ¿Cuántas bolsas de 500 gr se obtienen? Para dividir 2 fracciones, la división se convierte a su operación multiplicación. Se multiplica la fracción dividendo por el inverso multiplicativo de la fracción divisor.

42

Ejemplo:

3 litro 2 3 5 15 7

4 5 4 2 8 81 En general: a ∈∈∈∈ N ⇒⇒⇒⇒ a = a ∈∈∈∈ fracciones Si a pertenece a los números Naturales

1 entonces a pertenece a las fracciones. 1

Ejercicios: 1) 2 2

5 33 5 2) 1 1

3 44 2 3) 1 1

2 34 2 Problemas:

1) Mi gato pesa 3

41 kg El tuyo, 125 gr mas. ¿Cuánto pesan entre los dos?

2) Tengo 1

23 kg de azúcar para envasarla en bolsas de 1

8 kg.¿Cuántas bolsas obtengo?

3) En mi poder hay 3 cajas con las siguientes características.

La caja I pesa 3

42 kg. La caja II pesa el doble que la caja I. La caja III tiene 1 del peso de la caja II. 5 ¿Cuánto pesan entre las tres?

43

4) Tengo 1

54 kg de dulces. Me regalan 1

2 kg más. Me como 1

4 kg . ¿Cuánto tengo ahora? ¿A cuántos kg equivalen los dulces?

5) Tengo 100 calugas. Regalo los 2 a Florencia. Del resto, 1 se lo regalo a

Daniela. 5 3 ¿Cuántas calugas regalo a Florencia? ¿Cuántas a Daniela? ¿Cuántas dejo para mí?

Ejercicios de división de fracciones: ( Divide c/u de las de arriba por c/u de las que se encuentran al costado izquierdo del cuadro.

1 1 2 1 5 2 5 3 4 7 3 4 4 9

2 5 7 8 5 6

44

Encuentra el término que falta en cada operación: Ejemplo.- a) x : 5 = 4 x = 4 · 5 = 20 13 9 9 13 117 b) 1 · p = 3 x = 2 10 5 c) x · 5 = 7 x =

8 10 d) 4 : y = 2 y = 3 7 e) q · 15 = 30 q = 18 Otros ejercicios: a) 2 : 1 = x x = 3 4 b) 4 : x = 1 x = 5 2 c) x : 4 = 5 x = 7

d) 3 5

7 92 2 e) 5 1 1

18 3 33

45

Otros ejercicios. a) 2 1

3 66

10 1

13 41

1 1

10 384 2

3 1

7 212

PRUEBA DE MATEMÁTICAS.-

Resuelve los siguientes ejercicios:

1) 2 · 6

5 53

2) 5 3 9

6 4 10 III Si al doble de la suma de 1 ∧∧∧∧ 5 le agregas 6, obtienes..............

4 6 Si al cuociente entre 4 ∧∧∧∧ 1 le quitas 6 obtienes.......... 9 4 Si a la diferencia entre 5 ∧∧∧∧ 1 la divides por 2, obtienes.................

3 2

46

Resuelve los siguientes problemas : Si se tienen 3 cajas, de las cuales:

La caja I pesa 1

24 kg La caja II pesa el doble que la caja I La caja III pesa 5 kg más que la caja 5

a) Calcular cuanto pesa cada una.

b) ¿Cuánto pesan entre las 3?

c) ¿Cuánto más que la caja 2 pesa un cajón de 1

28 kg?

d) ¿Cuántos gramos le faltan a la caja I para completar 3

46 kg? Si una persona sólo puede cargar 20 kg. ¿Podrá llevar las 3 cajas juntas?

47

SOLUCIONARIO.

48

MULTIPLICACIÓN Y MÚLTIPLOS.

Recuerda que el conjunto de los números Naturales es { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 8. 9. 10. 11.....} Si queremos obtener los múltiplos de un número cualquiera, basta con multiplicar dicho número , por cada uno de los naturales. Ej: Queremos obtener los múltiplos de 2 y también los de 7. Hacemos lo siguiente: 2 x 1 = 2 7 x 1 = 7 2 x 2 = 4 7 x 2 = 14 2 x 3 = 6 7 x 3 = 21 2 x 4 = 8 7 x 4 = 28 2 x 5 = 10 7 x 5 = 35 2 x 6 = 12 7 x 6 = 42 2 x 7 = 14 7 x 7 = 49 2 x 8 = 16 7 x 8 = 56 2 x 9 = 18 7 x 9 = 63 2 x 10 = 20 7 x 10 = 70 2 x 11 = 22 7 x 11 = 77 2 x 12 = 24 7 x 12 = 84 ................... .................... Y así podemos seguir hasta infinito. Ejercicios: Completa con el número pedido en cada caso.

13) Múltiplos de 6, mayores que 10 y menores que 25 = { 12, 18, 24 }

14) Múltiplos de 3 , mayores que 19 y menores que 28 = { 21, 24, 27 }

15) Múltiplo de 7 , menor que 30 y mayor que 21 = { 28 }

16) El cuarto múltiplo de 5 = { 20}

17) Múltiplos de 4 mayores que 54 y menores que 66 = { 56, 60. 64 }

18) 3 veces el cuarto múltiplo de 8 = 3 · 32 = 96

19) Dos veces el múltiplo de 2 , mayor que 2 y menor que 6 = 2 · 4 = 8

20) El múltiplo de 10 entre 990 y 1.010, disminuido en 999 = 1.000 – 999 1= 1

21) Escribe los múltiplos de 12 menores que 120 = { 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96,108}

22) Escribe los múltiplos de 5 menores que 50 = { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45}

49

23) Los múltiplos de 7 menores que 60 = { 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56 }

24) Los múltiplos de 10 entre 50 y 100 = { 60, 70, 80, 90 }

MINIMO COMUN MÚLTIPLO.( M.C.M )

¿A que se llama mínimo común múltiplo? Imagina que queremos saber cuál es el M.C.M. entre los números 8 y 12- Escribimos los múltiplos de 8 y en otra fila, los múltiplos de 12, hasta 80 por ejemplo. Vemos los que se repiten y los marcamos. M8 = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80 M12 = 12,24, 36, 48, 60, 72 Escribimos en una nueva linea los que se repitieron. Múltiplos Comunes = 24, 48, 72 y ahora hemos destacado el más pequeño de todos ellos que es el 24. Ese es el Mínimo Común Múltiplo. Pero ese método se usa sólo para explicar de dónde proviene, dado que existe otra forma que llamaremos Forma Práctica y que veremos a continuación. Ejemplo: Calcular el M.C.M. entre 15 y 25. 15 - 25 3 5 - 25 5 M.C.M. = 3 x 5 x 5 = 75 Si alguno de los números está contenido en

1 - 5 5 otro del grupo, no se toma en cuenta 1 Calcula el Mínimo Común Múltiplo de cada grupo de Números: 8 – 12 : 2 4 - 6 : 2 1) 8, 6 y 12 MCM = 24 2) 16 y 24 48 2 - 3 : 2 1 - 3 : 3 3) 12 y 16 “ 48 4) 9, 27 y 54 54 1 M.C.M. 1) 5) 16 y 24 “ 48 6) 10,15 y150 150 2·2·2·3=24 7) 30 y 45 “ 90 8) 4, 20 y 32 160 Los demás se hacen igual 9) 25 y 100 “ 100 10) 6, 30 y 45 90 dividiendo sólo por Nos.Primos

50

Resolver los siguientes problemas: Un avión viaja a U.S.A. cada 10 días y otro cada 15 días. Si ambos salen juntos el día 05 de Agosto.¿Cuál es la fecha siguiente en la que ambos volverán a salir juntos? Cálculos Respuesta 10 – 15 : 2 5 - 15 3 Volverán a salir juntos 5 - 5 5 1 - 1 el 5 de Septiembre 2 · 3 · 5 = 30 La moto de Diego se llena con Bencina cada 5 días y la de Alonso cada 7 días. Si el Lunes llenaron ambos estanques. ¿Dentro de cuántos días coincidirán nuevamente? Cálculos Respuesta 5 · 7 = 35 Coincidirán dentro de 35 días

FACTORES O DIVISORES Y MÚLTIPLOS.

Recuerda que si multiplicamos una pareja de números, ellos se llaman factores y el resultado de la multiplicación se llama producto. Podemos multiplicar muchos números, pero siempre de dos en dos, por lo cual la operación multiplicación se dice que es binaria. Ejercicios: Expresa cada uno de los siguientes números como producto de dos factores, en que alguno de ellos no sea 1. 1.- 18 2.- 24 3.- 36 4.- 14 2 · 9 2 · 12 2 · 18 2 · 7 3 · 6 3 · 8 3 · 12 4 · 6 4 · 9 5.- 100 6.- 120 7.- 245 8.- 300 2 · 50 2 · 60 5 · 49 2 · 150 4 · 25 3 · 40 7 · 35 3 · 100 5 · 20 4 · 30 4 · 75 10 · 10 5 · 24 5 · 60 6 · 20 6 · 50 8 · 15 10 · 30 10 · 12 15 · 20

51

Escribe los primeros 8 múltiplos de cada uno de los números siguientes: 1.- Múltiplos de 5 = { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40…….} 2.- Múltiplos de 8 = { 8, 16, 24, 32. 40, 48, 56, 64……..} 3.- Múltiplos de 11 = { 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88……} Recuerda que el M.C.M. de dos o más números, corresponde al menor de los múltiplos comunes de dichos números. Ejercicios: Calcular el M.C.M. de los siguientes números: 1.- 4 y 8 = 8 2.- 5 y 20 = 20 3.- 12 y 48 = 48 4.- 7 y 5 = 35

Problemas.-

1.- Una alumna necesita comprar la misma cantidad de papel lustre en colores amarillo y verde.Si el papel amarillo viene en paquetitos de 6 unidades y el papel verde en otros de 4 unidades ¿Cuál es la menor cantidad de papel lustre que puede comprar? 6 – 4 : 2 3 - 2 : 2 12 paquetitos 3 - 1 : 3 1 2.- La doctora Leticia le da a Alonso la siguiente receta. Cada 8 horas tomar el anti- inflamatorio, cada 6 horas el analgésico y cada 4 horas el jarabe para la tos. Si Alonso comienza a tomar los tres remedios a las 14 horas, ¿A qué hora volverá a tomar los tres remedios juntos?

52

8 – 6 – 4 : 2 4 - 3 : 2 Resp: Después de 24 Horas = 2 - 3 : 2 1 - 3 : 3 A 14 horas del día siguiente.las 1 3.- Si Diego visita a su tía cada 15 días y su hermana Verónica la va a ver cada 20 días y ambos fueron juntos el día Miércoles, ¿En cuántos días más se volverán a encontrar donde la tía? 15 – 20 : 2 Resp: En 60 días más, es decir, en 2 meses. 15 – 10 : 2 15 - 5 : 3 5 - 5 : 5 1 - 1 4.- Alejandro tiene un negocio en el cual vende tortas y pasteles. Una bandeja de 6 dulces chilenos, tiene un valor de $ 1.200. Si vendió en un día 32 de estas bandejas ¿Cuánto dinero reunió con esta venta? 1.200 · 32 = $ 38.400 5.- Un mueble del dormitorio tiene 5 cajones. En cada cajón hay guardadas 12 camisas y cada camisa tiene 8 botones. ¿Cuántos botones hay en cada cajón? 12 · 8 En cada cajón hay 96 botones 96 6.- Una fotocopiadora saca 10 fotocopias por minuto. ¿Qué cálculo hay que hacer para saber cuántas fotocopias se sacan en 5 minutos? Resp: b a) 10 + 5 b) 10 x 5 c) 10 x 1 + 5 d) 10 x 5 + 1 7.- ¿ Cuántas tenidas diferentes se pueden hacer con 3 blusas y 4 pantalones distintos? a) 7 Resp: b) 12 c) 14 d) 34 8.- En la casa de Francisco compraron 3 juegos de loza para 4 personas a $ 9.990 c/u, 4 sets de 6 vasos a $ 1.490 c/u y 2 juegos de cuchillería para 6 personas a $ 14.990. Si pagaron con 14 billetes de $ 5.000, ¿Cuánto dinero les sobró?

53

Piensa cuidadosamente:

d) ¿Qué datos son importantes para resolver el problema? e) ¿Qué operaciones vas a realizar para encontrar la solución?3· 9.990 = 29.970

4 · 1.490 = 5.960 f) ¿Cuál es la respuesta al problema? 2 · 14.990 = 29.980

$ 65.910 14 · 5.000 = 7 0.000 = pago - 65.910 = gasto 4.090 = sobró

DIVISIBILIDAD DE LOS NUMEROS. Un número es divisible por 2 si termina en cifra 0 o par.- Ej: 2346 ; 36980 Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3; Ej 396⇒⇒⇒⇒3+9+6= 18 Un número es divisible por 4 si sus dos últimas cifras son múltiplos de 4; Ej: 4520 y 8700 Un número es divisible por 5 si termina en 5 o en 0 Ej: 3795 y 2580 Un número es divisible por 6, si lo es por 2 y por 3 a la vez Ej: 4592364 Un número es divisible por 8, si sus 3 últimas cifras son múltiplos de 8: Ej. 523.816 Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Ej. 981 ⇒⇒⇒⇒9 + 8 + 1= 18 Un número es divisible por 10 si termina en 0 Ej: 2850 y 4500 Un número es divisible por 25 si termina en 00 ; 25; 50; o 75 Rellenar cada cuadrito con SI o NO según el Nº dado sea o no divisible por el rojo. Ejercicios:

2 3 4 5 6 8 9 10 25 376.200

SI SI SI SI SI SI SI SI SI

283.425

NO SI NO SI NO NO NO NO SI

183.624

SI SI SI NO SI SI NO NO NO

453.645

NO SI NO SI NO NO SI NO NO

124.680

SI SI SI SI SI SI NO SI NO

657.428

SI NO SI NO NO NO NO NO NO

54

NUMEROS PRIMOS.

1 2 3 4 5 6 7 1·1 1·2 1·3 1·4 1·5 1·6 1·7 2·2 2·3

8 9 10 11 12 13 14 1·8 1·9 1·10 1·11 1·12 1·13 1·14 2·4 3·3 2·5 2·6 2·7 3·4

15 16 17 18 19 20 21 1·15 1·16 1·17 1·18 1·19 1·20 1·21 3 · 5 2 ·8 2 · 9 2·10 3 ·7 4 · 4 3 · 6 4 · 5

22 23 24 25 26 27 28 1 ·22 1· 23 1· 24 1· 25 1· 26 1· 27 1· 28 2 · 11 2 · 12 5 · 5 2 · 13 3 · 9 2 · 14 3 · 8 4 · 7 4 · 6 4 · 7

29 30 31 32 33 34············ 1 · 29 1 · 30 1 · 31 1 · 32 1 · 33 1 · 34 2 · 15 2 · 16 3 · 11 2 · 17 3 · 10 4 · 8 5 · 6 NUMEROS PRIMOS: son los que sólo son divisibles por 1 y por sí mismos, o sea por sólo 2 factores distintos. ( Por eso el 1 no es primo, porque sus factores son iguales) Factores primos entre sí: son aquellos que no tienen ningún factor común, fuera del 1. Ejemplos: 8 y 15 ; 10 y 27 ; 14 y 36. 1 · 8 1 · 15 1 · 10 1 · 27 1 · 14 1 · 36 2 · 4 3 · 5 2 · 5 3 · 9 2 · 7 4 · 9

55

MÁXIMO COMÚN DIVISOR ( M.C.D.-

¿Cuál es el Máximo Común Civisor entre 18 y 12? Formemos los conjuntos de divisores de cada número:

19 12 1 · 18 1 · 12 2 · 9 2 · 6 3 · 6 3 · 4

D18 = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 } Se repiten { 1, 2, 3, 6 } y el mayor de ellos es el 6 = M.C.D. D12 = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 } Es el más grande de los divisores comunes. Forma práctica: Se va descomponiendo cada número en sus factores primos como un arbolito.

19 12 2 · 9 2 · 6

2 · 3 · 3 2 · 2 · 3 2 · 32 22 · 3

2 · 3 = 6 M.C.D. Se multiplican las potencias de igual base que tienen menor exponente que nos resulten en cada descomposición.- Calcular el M.C.D. entre: 36 y 24 42 y 63 6 · 6 4 · 6 6 · 7 9 · 7 3·2· 3·2 2·2·2·3 2·3·7 3·3 · 7 22 · 32 23 · 3 2·3·7 32 · 7 22 · 3 = 12 3 · 7 = 21

56

FRACCIONES COMUNES. ¡ La primera fracción representa el disco entero, o sea un entero. Vamos a colorear y a completar los nombres de los demás discos, que representarán respectivamente : la mitad o un medio ( ½ ); la tercera parte o 1 ; la cuarta parte o ( ¼ ) laquinta parte 3 o 1 ; etc. 5 Para obtener 1 tendríamos que dividir el disco en 6 partes iguales y tomar una parte. 6 Si se divide un entero, por ejemplo una torta en 4 partes iguales , ya vimos que cada parte es 1 . Eligiendo 3 de estas partes, obtenemos tres cuartos ( ¾ ) . 4 Definición: ( 3 ) son 3 partes de un entero que se ha dividido en 4 partes iguales. 4 Una fracción se compone de dos términos:

4 Numerador 5 Denominador

El denominador indica el número de partes iguales en que se ha dividido el entero. El numerador señala cuántas de esas partes se han elegido. DEF,.FRACCIONES PROPIAS: son aquellos menores que el entero ( Su numerador es menor que el denominador). Ej: 1 ; 2 ; 5 ; 7 ; 45 ; 89 ; ............ En la figura 2 3 6 10 100 128 pinta ¾

57

DEF.- FRACCIONES IMPROPIAS.- Son aquellas mayores o iguales al entero. (Su numerador es mayor o igual al denominador) Ej.- 5 ; 9 ; 15 ; 3 ; 164 ; 9 ;.................. 2 4 8 3 23 9 La figura siguiente, representa 5 2 DEF.- NUMEROS MIXTOS.- Son los que están compuestos de un entero y una fracción propia.- Ej.- .- 1 3 15 14 8 2 10 20 100 9 Transformar un número mixto a fracción impropia.- Ej.- 3 4 1 entero = 4 1 entero = 4 3 En total vemos 11 4 4 4 4 Es decir: El número mixto 3 es equivalente a la fracción impropia 11 . 4 4 Forma práctica de efectuar la transformación:

Se multiplica el entero por el denominador y a ese producto se le suma el numerador.

Se conserva el mismo denominador que tenía la fracción acompañante.

3 8 14 1

2

2

2

58

Ejercicios; Transformar a fracción impropia: 1 9 1 5 14 3 2 10 2 6 1100 5

Transformar una fracción impropia a número mixto.-

10 = 1 10 : 3 = 3 3 3 1 Se divide el numerador por el denominador, quedando como indica el ejemplo. Ejercicios: Transformar a número mixto.- 36 28 130 220 45 150 89 14 10 15 5 9 13 17

2 2 8 44 5 11 5 100 5 91 48 1243 346 96 16 2 7 12 251 23 3

2 13 4 4 15 32

AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES.- DEF: Amplificar una fracción es multiplicar tanto el numerador como el denominador por un mismo número sin que cambie su valor. Ejemplos: Amplificar la fracción 3 por 2, 3, 4, 6, 10. 4 3 · 2 = 6 3 · 3 = 9 3 · 4 = 12 3 · 6 = 18 4 · 2 8 4 · 3 12 4 · 4 16 4 · 6 24 3 · 10 = 30 Con las fracciones amplificadas se puede formar un 4 · 10 40 “Conjunto de fracciones equivalentes”.- 3 = 6 = 9 = 12 = 18 = 30 =........................... 4 8 12 16 24 4

3 8 1 4 9

3

239

22 14

1 2

8 10

10 15

7 13

4 17

4 16 6

1 23

59

Ejercicios: Amplificar por 3, 5, 7, 9, las fracciones 2 , 5, 9 . 3 7 11 2 · 3 = 6 2 · 5 = 10 2 · 7 = 14 2 · 9 = 18 3 3 9 3 5 15 3 7 21 3 9 27 5 · 3 = 15 5 · 5 = 25 5 · 7 = 35 5 · 9 = 45 7 3 21 7 5 35 7 7 49 7 9 63 9 · 3 = 27 9 · 5 = 45 9 · 7 = 63 9 · 9 = 81 11 3 33 11 5 55 11 7 77 11 9 99

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES.-

DEF.-Simplificar una fracción es dividir tanto el numerador como el denominador por un mismo número, sin que cambie su valor. (Debe encontrarse el número que esté contenido exactamente en ambos términos ) (Ver divisivilidad de los números )

Ejemplos.- Simplificar 36 ( Se puede sólo por 2, 3, 4, 6, 12. Por eso el conjunto es finito ) 48 36 : 2 = 18 36 : 3 = 12 36 : 4 = 9 36 : 6 = 6 48 : 2 24 48 : 3 16 48 : 4 12 48 : 6 8 36 : 12 = 3 Con las fracciones simplificadas se puede formar un conjunto de 48 : 12 4 “Fracciones equivalentes” 36 = 18 = 12 = 9 = 6 = 3 48 24 16 12 8 4 Ejercicios: Simplificar dejando la fracción en su mínima expresión.- 3 4 5 4 7 5 27 12 30 20 49 50 1 45 15 36 55 56 60 2 5 5 6 11 8 6 9 3 3 3 1 2 1 72 33 24 21 16 30 2 80 77 32 28 48 45 4 10 7 4 4 3 3 2

60

EJERCICIOS DE APLICACIÓN.

Unidad de Fracciones ( básicas) Recuerda: Obtenemos una fracción después de haber dividido el entero en partes iguales y tomar alguna (s) de ella (s).

FRACCIONES PROPIAS.

Son aquellas menores que el entero, es decir , su numerador es menor que el denominador.

Ejemplos: 3 ; 7 ; 85 ; 94 ; 138 5 9 90 100 425

FRACCIONES IMPROPIAS.-

Son aquellas mayores o iguales al entero; es decir su numerador es mayor o igual al denominador. Ejemplos: 7 11 43 96 278 4 11 21 96 100 Las fracciones son números de la forma a , en que b es ≠≠≠≠ de 0 b “ b “ es el denominador y nos indica en cuantas partes se ha dividido el entero “ a “ es el numerador y nos indica cuantas partes del entero se han tomado.

Ejercicios:

1) Inventa 4 fracciones propias y represéntalas (Haciendo las divisiones y pintando)

3 7 2 5 4 14 4 8

61

2) Inventa 4 fracciones Impropias y represéntalas:

5 2

20 4

13 3

28 8

3) 2 fracciones que representen al entero cuyo denominador sea ≠≠≠≠ de 1

2 ; 4 2 4

5) 3 fracciones que representen al entero , cuyos denominadores sean 3 y sus múltiplos. 3 6 9 3 6 9

5) 3 fracciones que representen al entero, cuyo denominador sea 5 y sus múltiplos ¡Ojo! Este es un caso que no se puede ejecutar Porque a las figuras no es posible dividirlas en partes iguales, por lo tanto no se puede formar una Fracción. Recordar: De toda fracción impropia se obtiene un número mixto, es decir 1 entero acompañado de una fracción.

62

Ejemplos: = 1 = 3

= 18 = 1

= 6 = 30

= 34 = 90 = 5

No olvidar: Entre el entero y la fracción en un número mixto hay una suma

6 + = 6 6 + = = 6

Expresar cada número mixto como fracción impropia

2

33 =

5

74 =

7

98 =

5

69 =

12 25

5 9

3 8

8 19

6 15

11 3

33 7

79 9

59 6

23 4

27 8

14 9

462 25

4500 50

6 24

9 33

18 18

150 24

749 22

1 22

40 56

1720 56

174 33

8 19

6 15 15

63

3

45 =

1

37 =

4

70 =

FRACCIONES EQUIVALENTES. Son las fracciones que representan la misma parte de un entero. Están situadas en

el mismo lugar de la recta numérica.

Para obtener una fracción equivalente a otra dada, basta con amplificar o

simplificar la fracción dada. Ejemplo:

Dada la fracción 3 y amplificada por 4, obtenemos 3 · 4 = 12 entonces, 5 5 · 4 20 3 es equivalente con 12 5 20

Otro ejemplo: Dada la fracción 36 y simplificada por 12, obtenemos la fracción 36 : 12 = 3 , 48 48 : 12 4 36 es equivalente con 3

49 4 Resuelve los siguientes problemas: e) En un curso hay 36 niños, 17 son morenos, 10 son castaños y 9 son rubios.

¿Qué fracción del curso son morenos? ¿Qué fracción son castaños? ¿Qué fracción son rubios? 17 morenos 10 castaños 9 rubios

36 36 36 f) Roberto tiene 9 metros de género. ¿Qué fracción del género representa 1 m?

¿ 4 m? ¿ 5 m? ¿ 7 m? Escribe las fracciones? 1 ; 4; 5; 7 9 9 9 9

22 3

4 7

64

g) Luz quiere darle una galleta a cada uno de los compañeros de su curso. El

curso tiene 38 alumnos. Si cada paquete tiene 20 galletas ¿Qué fracción representa “ darle galletas a todo el curso”? ¿Qué tipo de fracción es?

Para que alcance para todo el curso debe abrir 2 paquetes, con lo cual tendría 40 galletas, de las cuales repartiré 38. La fracción sería 40 ( impropia )

38

COMPARACION DE NÚMEROS FRACCIONARIOS.-

4 3 6 6

Las dos regiones están divididas en 6 partes iguales. En la primera región se han tomado 4 partes y en la segunda se han tomado 3 partes. Luego decimos : cuatro sextos es mayor que tres sextos y anotamos 4 >>>> 3

6 6

De dos números fraccionarios que tienen el mismo denominador, es mayor el que tiene mayor denominador.

Para cada una de las fracciones dadas, forma un conjunto con 4 fracciones equivalentes a ella. 4) 1 = 2 = 4 = 8 = 16

2 4 8 16 32 3 = 9 = 27 = 81 = 243 5 15 45 135 405 4 = 8 = 12 = 16 = 20 7 14 21 28 35 3 = 15 = 30 = 6 = 21 10 50 100 20 70

65

5) Completa el cuadrado para que sean fracciones equivalentes entre sí. a) 3 = 15 b) 100 = 10 c) 4 = 32 4 20 200 20 5 40 3) Usando dos enteros del mismo tamaño, uno bajo el otro, “ muestra “ que 1 = 2

2 4

b) Muestra que 1 = 2 3 6 6) En una recta numérica, ubica las siguientes fracciones: a) 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5

2 2 2 2 2 2 0 1 2 3 4 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 0| 1 2 3 4 5

2 2 2 2 2 2 b) 1 , 3 , 5 , 2 , 0 , 7 3 3 3 3 3 3 0 1 2 3 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 0 2 3 5 7 3 3 3 3 3 c) 3 , 8 , 0 , 1 , 5 4 4 4 4 4 0 1 2 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 0 1 3 5 8 4 4 4 4 4

66

d) 4 , 5 , 8 , 0 , 7 , 3 5 5 5 5 5 5 0 1 2 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |___| 0 3 4 5 7 8 5 5 5 5 5 5 Ejercicios.- Ubica en una recta numérica las siguientes fracciones: no alcanza

1) 1 , 3 , 5 , 12 , 5 , 7 2 4 8 4 2 8 0 1 2 |___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___| 1 5 3 7 5 2 8 4 8 2 2) 5 , 3 , 4 , 7 , 8 , 7 , 7 2 6 12 3 6 2 12 0 1 0 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |___| | 4 3 7 8 12 12 6 12 6 2 3 |___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___| 7 5 7 3 2 2 Usa distintos colores y distinta longitud. Del ejercicio 2) vemos que 4 <<<< 3 <<<< 7 <<<< 8 <<<< 7 <<<< 5 <<<< 7 12 6 12 6 3 2 2 Hemos estabilizado la relación <<<< (menor que ) para todas las fracciones que se ubican en la recta numérica. Otro ejercicio: Ordena en forma creciente: 2 , 5 , 7 , 8 3 6 3 6 0 1 2 3 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 2 5 8 7 3 6 6 3

67

Ordena en forma decreciente: 3 , 1 , 1 , 5 2 4 2 4 0 1 2 3 4 5 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 1 1 5 3 4 2 4 2 Resumiendo: 3 ; 5 ; 1 ; 1 2 4 2 4 El conjunto de las fracciones positivas incluyendo el 0 ( Q+0 ) es un conjunto infinito y además un conjunto ordenado, lo que significa que en este conjunto se pueden establecer las relaciones >>>> ( mayor que ) o <<<< (menor que ) para todos sus elementos , sin embargo existe un método que nos permite establecer esta relación sin necesidad de ubicar las fracciones en la recta numérica y consiste en buscar fracciones equivalentes a las dadas, todas ellas de igual denominador. Ejemplo: Ordenar en forma creciente sin ubicar en la recta numérica: 8, 3, 7 , 9 = 8 , 15 , 14 , 90 20 4 10 2 20 20 20 20 Ordenando en forma decreciente, quedan: 20 - 4 - 10 - 2 : 2 9 >>>> 3 >>>> 7 >>>> 8 10 - 2 - 5 - 1 : 2 2 4 10 20 5 - 1 - 5 : 5 1 - 1 - 1

M.C.M = 2 · 2 · 5 = 20

Recordemos que existe otro método para comparar cuando dos fracciones son o no equivalentes o decidir cual es mayor o cual es menor. ( Con este método nos evitamos igualar los denominadores).

Ejemplo. (Colocar >>>> , <<<< ==== en cada ). 3 2 1º) 3 · 7 = 21

5 7 2º) 5 · 2 = 10 3º) 21 >>>> 10 ⇒⇒⇒⇒ 3 >>>> 2

5 7 Vamos a comprobar igualando denominadores en los siguientes ejercicios: 3 >>>> 2 5 - 7 5

5 7 1 - 7 7 21 10 35 35 M.C.M.= 35

Ejercicios: 17 34 4 8

68

1) 3 > 2 6) 1

44 2

84 4 5 34 34 15 8 8 8 20 20 2) 5 > 2 7) 27 > 3 3 7 5 3 35 6 81 15 21 21 15 15 3) 1 3 8) 16 33 2 4 1 15 * 2 3 240 33 4 4 1 15 4) 2 = 10 9) 5 > 7 3 15 * 2 4 10 10 10 7 15 15 4 4 5) 13 = 26 * 10) 8 = 24 * 5 10 5 15 26 26 24 24 10 10 15 15 Notar que las fracciones que marcamos con * son equivalentes entre si. ( son iguales ). Por lo tanto: si y sólo si

Dos fracciones son equivalentes entre si ⇔⇔⇔⇔ su producto cruzado es el mismo.

a = c ⇔⇔⇔⇔ a · d = b · c , b ∧∧∧∧ d ≠≠≠≠ 0 b d Ejemplo: 2 = 10 2 · 15 = 30 3 15 3 · 10 = 30 Ejercicios: Compara los siguientes pares de fracciones y señala cual es mayor y cual menor.- a) 3 > 1 b) 2 < 3 c) 5 < 6 4 4 7 7 125 125

=

69

Transforma cada par de fracciones en fracciones equivalentes de igual denominador y Compáralos poniendo dentro de la , los signos <<<< , >>>> , o ==== . a) 4 < 5 b) 1 > 1 c) 3 < 8 5 5 2 5 10 15 4 5 5 2 9 16 5 5 10 10 30 30 d) 5 > 3 e) 7 < 8 f) 4 < 5 12 8 32 28 18 15 10 9 49 64 20 30 24 24 224 224 90 90 Dentro del rectángulo, escribe el dígito o cifra que corresponda. 8 1) 3

5 56 5 11 2) 2

9 98 7 3 3) 1

2 24 3 1 4) 7

3 32 4 4 5) 9

5 54 5 1 6) 7

3 36 8 3 7) 1

2 29 8 19 8) 3

4 410 6 11

70

9) 1

2 28 3 7 10) 2

5 53 2 3 11) 8

5 54 5 2 12) 7

5 59 10 22 13) 1

7 73 11 14) 2

3 34 1 17 15) 2

3 310 5 21 16) 3

9 94 2 NOTA. Para economizar tiempo, podemos usar un M.C.M. de los denominadores en vez de escribir uno para cada fracción. Eso es muy útil en la operatoria que viene mas adelante. Ej: Calcular el M.C.M de 2 , 5 , 7 , 9 y ordenarlos en forma decreciente 6 2 12 4 M.C.M = 12. En orden decreciente pasarían desde 4, 30, 7, 27 a 5, 9, 7 , 2 12 2 4 12 6 II.- Completa cada con ====, >>>>, <<<<.. Trabaja REPASANDO EL SIGNIFICADO.

a) 2 < 3 d) 2 5

5 31 0 1 g) 9 3 3 2 7 8 5 > 4 4 9 5 21 40 3 36 15 6 15 20

71

b) 4 < 8 e) 4 < 1 h) 2 < 8 5 7 9 1 3 7 28 40 4 9 14 24 35 9 21 16 32 5 10

c) 5 15 f) 2 > 5 i) 1 2

5 103 3 3 9 1 6 15 15 12 5 32 32 9 6 10 7) Transforma cada número mixto a fracción impropia: a) 1 d) 1 g) 3

2 2 43 9 6 7 19 27 2 2 4 b) 7 e) 5 h) 2

9 8 94 7 10 43 61 92 9 8 9 c) 2 f) 4 i) 5

5 7 88 6 2 42 46 21 5 7 8 8) Cada Número mixto debe ser dejado en su mínima expresión como en el

ejemplo:

Ej: 4 1 1

3 3 33 3 1 4 1

Ejercicio1) 3

26 = 6 + 1 = 7

2) 7

59 9 + 1 = 10

3) 9

45 5 + 2 = 7

1 2

1 2

2 5

2 5

1 4

1 4

72

4) 8

35 5 + 2 = 7

5) 10

88 8 + 1 = 9

6) 9

67 7 + 1 = 8 9) Ordena en forma CRECIENTE los elementos de este conjunto. Método: 1º.- Iguala en primer lugar los denominadores, buscando el M.C.M. 2º.- Conviertes las fracciones en equivalentes y las comparas. 3º.- Escribe las respuestas. A = { 3 , 1 , 3 , 1 } B = { 3 , 2 , 7 , 4 } 5 2 4 10 5 3 15 30 12 10 15 2 18 20 14 4 20 20 20 20 30 30 30 30 1, 1, 3, 3 4, 7, 3, 2 10 2 5 4 30 15 5 3 10) Ordena en forma DECRECIENTE los elementos del conjunto dado. J = { 1 , 2 , 3 , 1 , 5 } K = { 3 , 1 , 13 , 7 , 3 } 6 3 4 3 12 4 2 8 16 2 2 8 9 4 5 12 8 26 7 24 12 12 12 12 12 16 16 16 16 16 9 8 5 4 2 26 24 12 8 7 12 12 12 12 12 16 16 16 16 16 3, 2, 5, 1 1 13 3 3 1 7 4 3 12 3 6 8 2 4 2 16 6) Ubica sobre la recta numérica 1 , 3 , 5 , 4 2 4 2 4 0 1 2 3 4 5 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 1 3 4 5 2 4 4 2 2 , 5 , 7 , 8 3 6 3 6

2 3

2 3

2 8

2 8

3 6

3 6

73

0 1 2 3 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 2 5 8 7 3 6 6 3 11) Resuelve cada operación, pero antes recuerda: Para sumar fracciones de igual denominador, Sumas los numeradores y mantienes el mismo denominador. Ejemplos: 2 + 8 + 1 = 11 5 5 5 5

1 3 5 9

4 4 4 43 8 7 18 Para restar fracciones de igual denominador, restas los numeradores y mantienes el mismodenominador. Si se trata de operación con números mixtos, estos se convierten a fracción impropia. Ejemplo 2 - 1 = 1 3 3 3 Ejercicios: a) 4 + 2 + 15 = 8 + 12 + 15 = 35 9 3 18 18 18

b)2 3 8

5 5 54 7 22 + 38 + 8 = 68 5 5 5 5

c) 2 1

3 35 8 f) 9 - 5 + 7 - 5 = 6 17 + 25 = 42 2 2 2 2 2 3 3 3 4 + 2 2 2 d) 17 - 5 = 12

7 7 7

e) 15 - 8 + 11 = 18 g) 3

24 1 5

2 28 4 4 4 4 11 - 1 + 21 = 31 7 + 11 2 2 2 2 4 4

21 - 13 = 8 5 5

74

1 3

5 54 2 = Es necesario convertir a fracción impropia pues puedes restar los enteros, pero no puedes restar 1 - 3 por ahora. 5 5 Tenemos 2 caminos para resolver el problema: 1º.- Transformo ambos números mixtos a fracción impropia y resto. 21 - 13 = 8 5 5 5 No usaremos el 2º método.

2º.- Al minuendo 1

54 le “quito “ 1 entero, transformado en quintos y se lo agrego a 1 , entonces tu ejercicio se transforma así

1 6

5 53 4 3 6 3

5 53 2 3

51 Ejercicios válidos:

a) 1 3

4 47 5 29 _ 23 = 6 4 4 4 b) 2 5

7 78 3 58 - 26 = 32 7 7 7 c) 1 7

10 109 4 91 -- 47 = 44 10 10 10 d) 2 4

7 75 3 37 -- 25 = 12 7 7 7

75

e) 4 6

5 58 1 44 -- 11 = 33 5 5 5

f) 1 2

3 34 2 5 ( 13 -- 8 ) + 15 3 3 3 5 + 15 = 20 3 3 3 g) 2 3 4

9 9 99 5 2 ( 83 -- 48 ) + 22 = 9 9 9

35 + 22 = 57 9 9 9

Ejercicios: Recordar .- Adición y sustracción de fracciones de = denominador. Tu respuesta debe quedar en la mínima expresión: 11

1) 3 + 2 + 7 = 12 = 2) 8 + 5 + 20 = 33 = 11 4 4 4 4 9 9 9 9 3 3 4) 1 7

5 52 3 11 + 22 = 33 5 5 5 5) 1 4 7

5 5 56 2 3 31 + 10 + 19 7 = 67 5 5 5 5 5 6) 1 2 7

3 3 34 2 5 12 + 6 + 1 + 17 + 7 = 43 3 3 3 3 3 3 7) 4 3

7 73 2 25 -- 17 = 8 7 7 7 8) 3 2

5 59 4 48 -- 22 = 26 5 5 5

3

76

9 1 3

2 23 1 7 -- 5 = 2 = 2 2 2 10) 2 3

5 54 1 22 -- 8 = 14 5 5 5 11) 2 3 8

9 9 97 5 4 65 -- 48 + 44 = 61 9 9 9 9 Recordar .- Adición y sustracción de fracciones con ≠≠≠≠ denominador. No olvidar que debemos igualar los DENOMINADORES ANTES de empezar la operación. Para igualar denominadores usamos la tabla de los divisores primos que nos permite encontrar el M.C. M. Una vez encontrado el M.C.M. se transforma cada fracción del ejercicio a otra equivalente, cuyo denominador es el M.C.M. Luego se suman o restan los numeradores. Ejemplo: 4 - 3 = 16 - 9 = 7 3 - 4 2 3 4 12 12 12 3 - 2 2 3 - 1 3 1 Ejercicios: 1 1 1 1 3 8 4 3 2 2 1 2 3 11 5 13 8 8 8 24 8 8 1 3 2 7 3 7 4 8 4 12 4 4 1 11 7 2 5 5 3 24 12 3 6 6 3 13 7 11 4 6 2 8 4 6 2 2

1

77

SUSTRAENDO

___ 1 1 1 1 8 6 5 4 3 2 5 7 1 8 8 24 40 8 5 37 9 22 17 3 24 6 15 12 3 19 13 2 7 5 40 30 5 20 4 25 17 13 9 7 56 42 35 28

Si a = 3 b = 2 c = 1 5 9 15 Calcula: a) a + b + c b) ( a + b ) – c 3 + 2 + 1 ( 3 + 2 ) - 1 5 9 15 5 9 15 27 + 10 + 3 = 40 ( 27 + 10) - 3 = 37 – 3 = 34 45 45 45 45 45 45 c) ( a – c ) + b d) a – ( b + c ) ( 3 - 1) + 2 3 - ( 2 + 1 ) 5 15 9 5 9 15 ( 9 - 1) + 2 3 - (10 + 3) 15 + 9 5 - 45 8 + 2 3 -- 13 15 9 5 45 24 +10 = 34 27 – 13 = 14 45 45 45 45

Calcula: a) 1 b) 3

4 25 6

5 7

c) 1 d) 1

9 37 7

7 6 e) 3 f) 3

4 712 18

11 17

1 4

1 2

1 9

2 3

1 4

4 7

78

Resuelve las operaciones combinadas: a) 7 3 1

16 8 4 7 + 1 = 7 + 2 = 9 16 8 16 16 b) 28 1 3

35 7 5 28 + 26 = 54 35 35 35 c) 10 3 1 5

16 8 12 8 ( 10 + 6) -- ( 2 + 15 ) = 16 - 10 = _ 10 = 14 16 24 16 24 24 24 d) 8 2 7

13 26 39 16 - 2 + 7 = 14 + 7 = 42 + 14 = 56 26 39 26 39 78 78 e) 12 1 17 3

25 5 25 50 7 + 31 = 14 + 31 = 45 25 50 50 50 f) 1 1 1 1

5 8 5 8 8 + 5 + 8 _- 5 = 13 + 3 = 16 40 40 40 40 Problemas.-

7) Tengo 48 calugas. 5 de ellas las pienso comer. Calcula (planteando ) cuántas me 6 pienso comer, que fracción de calugas me sobra y cuántas son. 5 de 48 calugas: Divido 48 por 6 y ese resultado lo multiplico por 5, que es lo mismo 6 que hacer la siguiente operación 5 · 48 = 40calugas 6 Si tenía 48 calugas y me como 40, me quedan 8 calugas es decir 8 del total. 48 8) ¿Cuánto más pesado es el perro de Claudia ( 5¾ kg ) que el gato de Pedro ( 2 kg

y125 gr)? ¾ de kilo equivale a 750 gramos. Si el perro de Claudia pesa 5 kilos 750 gramos y El gato de Pedro pesa 2 kilos 125 gramos, la diferencia será la respuesta 3 kilos 625 gramos

1

79

9) Cordel 1 mide 3½ m. Cordel 2 mide ¾ m más que cordel 1 y cordel 3 mide ¼ m menos que cordel 1 . Calcula la longitud de cada cordel y luego responde: Si los unes, cuánto falta o sobra para igualar la cuerda de Ignacio, que mide 25 m. Cordel 1 = 3m 50cm = 350 cm 350,0 Cordel 2 = 3 · 350 + 262,5 cm - _ 87,5 4 2) 612,5 cm 262,5 Cordel 3 = 1 · 350 6,125 m 2,625,m 4 3,50 25,00 + 6,125 - 12,25 2,625 12,75 faltan para igualar 12,25 = 12m 25cm la cuerda.

10) Marta trabaja 5¼ horas en la mañana y 4¾ horas en la tarde. ¿Cuántas horas trabaja al día? Trabaja 10 horas

11) Carolina compra una caja de lápices de colores. Ya le ha sacado punta a 3 de los

lápices¿ Qué parte le queda por afilar? 1 4 4 12) En un autobús viajan 48 personas. ¼ del total van sentadas. Calcular cuántas

personas van sentadas y cuántas de pié. 48 : 4 = 12 personas sentadas 48 – 12 = 36 personas van de pié Un niño pesa ¾ kg menos que su primo. El primo pesa 1½ kg más que su vecino. Su vecino pesa 24 kg. ¿Cuánto pesan los otros niños del problema? El primo pesa 24 + 1 kilo ½. Luego el primo pesa 25 kilos ½ . Este peso menos ¾ = 24 kilos ¾

80

Prueba Parcial de Matemáticas.-

I Ubica sobre la recta numérica 3 y 5 . Usa colores diferentes. 2 4

0 1 2 |___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___| 5 3 4 2 II Completa lo pedido:

18 = 4 5 = 15

7 7 3

3

5 54

III Coloca <<<<, >>>> , ==== según corresponde 2) 4 32

3 24 3) 4 5

7 8 IV Ordena en forma decreciente: A = { 5 , 1 , 2 , 3 } Incluye proceso y escribe respuesta: 4 6 3 2 15, 2, 8 18 Ordenados en forma decreciente 12 12 12 12 3, 5, 2, 1 2 4 3 6 V Resuelve: 1) 1 3

5 57 2 36 -- 13 = 23

2

23

1) 9 98

10 108

81

5 5 5 2) 3 1

4 46 5 == 3) 4 5 5

5 3 15 12 + 25 + 5 = 42 15 15 4) 2 1

7 25 3

4 -- 2 = - = = 5) 1 2

6 38 4

7 + 3 = 11 VI Resuelve los siguientes problemas:

2) El perro de Roberto pesa 1

27 kg y el de Sofía pesa 3 kg más que el perro de Roberto. ¿Cuánto pesan entonces los dos? 4

71/2 + 71/2 + 3/4 = 153/4 kg pesan los dos 2) Compras: 1 kg de salame y 250 gr de jamón.¿Es correcto afirmar que mi paquete pesa 375 grs ¿Por qué? 1 kg = 1.000 gr + 250 gr 1.250 gr pesa el paquete y no 375 gr. 3) Compras: 500 gr de pan; 2¼ kg de naranjas y ½ kg de paltas. 500 gr = ½ kg Niño A dice que para saber el peso de mi bolsa debo efectuar:

1 1 1

2 4 22 Esta es la respuesta correcta. 31/4 kg Niño B dice que para saber el peso de mi bolsa debo efectuar:

501 1 1

4 22 Elige quien tiene la razón y resuelve para saber el peso de mi bolsa. Cálculos: Elijo el niño A

12

5 7

1 2

33 7

5 2

66 – 35 14

31 14

5 6

1 3

1 6

82

MULTIPLICACION DE FRACCIONES.-

Vemos en el dibujo que la mitad de 1 del dibujo 1 3 6 es 1 del total, o sea 1 · 1 = 1

6 2 3 6 Representaremos 2 de 3 y comprobaremos que es igual a 6 3 5 15 Tengo 3 5 Representa la siguiente situación: Rocío tiene medio pan. De esa porción decide regalar la 3ª parte. ¿Qué fracción respecto del pan completo es 1 de 1 ? 3 2 Equivale a 1 · 1 = 1 1 de 1

3 2 6 3 2

1 de pan 2

Me quedan 3 de una casata. Me comeré los 2 de lo que queda. ¿Qué fracción del 5 3 entero me he comido?

Lo achurado doblemente representa 6 15 de todo el entero ya que 6 = 2

15 5

2 · 3 = 2 3 5 5

Ejercicios: Representa: a) 3 de 1 b) 2 de 1 c) 2 de 4 4 2 5 2 3 5

83

d) 1 de 1 * e) 3 de 2 = 2 2 3 5 3 5

Compara los ejemplos * . ¿Qué puedes concluir? Todos los ejemplos representados gráficamente, nos permiten concluir que:

Una fracción de otra, es igual al producto de ambas. a de c = a · c = ac ∀∀∀∀ a , c ∈∈∈∈ Q0

+ , b ∧∧∧∧ d ≠≠≠≠ 0 b d b d bd b d Ejercicios: 1) 3 · 2 = 6 2) 2 · 4 · 1 = 8 5 7 35 3 5 3 45 3) 4 · 1 = 4 4) 4 · 1 · 10 = 40 3 9 27 7 2 3 42 5) 4 · 5 = 20 6) 2 · 1 · 3 = 6 7 3 21 3 2 4 24 En la multiplicación de fracciones, primero se resuelven los paréntesis y luego las sumas y las restas. 4 · 1 · 10 = 4 · 1 · 10 = 7 2 3 7 2 3 4 · 10 = 4 · 10 = 7 6 14 3 40 40

43 42

84

Atención: Practiquemos la simplificación destacando los números que se usan, con el mismo color. 1 1 1 1 2 1 a) 3 · 2 = 1 b) 7 · 4 · 3 = 1 6 10 10 14 9 18 27 2 5 2 3 9 1 1 1 1 3 1 3 6 c) 4 · 18 = 1 d) 2 · 30 · 60 = 6 6 12 3 20 10 1 3 1 2 1

1 1

1 2 2 1

e) 10 · 16 · 50 = 2 8 25 100 5

1 5 2 1 ¿Te diste cuenta cuantas simplificaciones se pueden hacer en una multiplicación de fracciones para disminuir el trabajo? En esa forma te quedan sólo números chicos para multiplicar. Hazlo tú lo mejor posible.

1 1 1 1 1 2 1 1 A) 3 · 2 = 10 B) 7 · 4 · 3 = 27 6 10 14 9 18 2 5 2 3 9 1 1 1 3 1 1 C) 4 · 18 = 1 D) 2 · 30 · 60 = 6 6 12 3 20 10 1 3 1 1 1 2 1 E) 10 · 16 · 50 = 2 8 25 100 5 1 5

85

Fracciones II ( básicas ) Resolver los siguientes problemas:

Ejemplo: 2 7 2 14

3 1 3 37 NOTA: Para facilitar las operaciones, es conveniente convertir los enteros en fracciones, colocándoles un denominador 1 , con lo cual no cambian de valor. 1) 4

5 8 2) 7

104 3) 2 1

5 28 6 4) 1 1

4 53 2 5) 2 1

5 33 8 6) 2

76 3 7) 3 1

4 58 2 8) 3 2 9

4 6 5 9) 4 2 7 3

3 5 2 41 2 13 1 20 + 6 · 7 + 7 · 2 = 26 · 7 + 7 · 2 = 91 + 7 = 15 2 4 1 15 2 4 1 15 2 1 2 = 182 + 105 = 287 30 30

4 · 8 = 32 5 1 = 5

4 · 7 = 28 1 10 10

2 · 8 · 1 · 6 = 48 5 1 2 1 5

13 · 11 = 143 4 5 20

17 · 25 5 = 85 5 3 3 1

44 · 3 = 132 7 1 7

35 7 · 11 = 77 4 5 4 1

1 · 1 · 9 = 9 2 2 5 20

86

Ejercicios: 1) 3 15 1

5 24 24 17 · 15 3 1 + 1 = 17 + 1 = 17 + 4 = 21 5 24 2 8 2 8 8 1 8 2) 3 12 4

4 5 37 5 3 25 · 12 + 4 = 15 + 4 = 45 + 4 = 49 4 5 3 1 3 3 3 1 1 1 1 2 3) 2 10 3

5 4 55 1 5 + 1 - 1 2 6 - 1 30 - 8 5 22 Problemas: 5

1) Juan pesa 3

48 Kg. Su primo pesa el triple de Juan y su papá pesa 10 veces lo que pesa Juan.¿Cuánto les falta entre los 2 niños para igualar el peso del papá? Primo = 3 · 35 = 105 = 26, 25 Kg 26.25 4 4 + 8,25 34,50 Kg pesan Papá = 10 · 35 = 350 = 87,5 Kg ambos niños 4 4 87,5 - 34,5 Juan = 33 = 8,25 Kg 53,0 kg les falta para

2 igualar el peso del papá. 4) Joaquín tiene 24 bolitas. Arnaldo tiene 36 bolitas y Agata tiene 28 bolitas.

Si Joaquín regala a Tomás 1 de ellas, Arnaldo le regala 5 y Agata le regala3 6 9 4

¿Con cuántas bolitas se queda cada uno de los niños? Joaquin: 1 · 24 = 4 Arnaldo 5 · 36 = 20 Agata 3 · 28 21 6 9 4 “ queda con 20 “ queda con 16 “ queda con 7

8 5

8 5

87

5) La mamá de Camila compra 1

26 kg de naranjas. La mamá de Pedro compra el doble que la mamá de Camila, y la mamá de Paula compra la mitad de las naranjas que la mamá de Pedro. ¿Cuántos kg compran entre los 3? Mamá de Camila 6 ½ Kg Mamá de Pedro 2 · 6 ½ = 13 Kg Mamá de Paula 13 : 2 = 6 ½ Kg Entre las tres compran 26 Kg

Si el cajón de naranjas pesaba 3

448 kg ¿Cuántos kg hay aún en el cajón? Hay 48 ¾ kg - 26 kg = 22 ¾ kg Si el kg vale $ 300 ¿Cuánto paga cada mamá? La Mamá de Camila y de Paula pagan $ 1.950 c/u y la mamá de Pedro paga $ 3.900

88

DIVISION DE FRACCIONES.- ( básicas )

Ejemplo.

c) Tenemos 1 li. de yogur para repartir entre 4 niños.¿Cuánto le toca a cada niño? 2

Planteo: 1 : 4 = 1 : 4 = 1 · 1 = 1 li para cada niño 2 2 1 2 4 8 Ejercicios: b) ¿Y si se reparte entre 4 alumnos y un profesor? 1 : 5 = 1 : 5 = 1 · 1 = 1 li para c/u 2 2 1 2 5 10

d) ¿Qué parte del litro de yogur le correspondería a cada uno si se reparte 2 de litro entre 9 niños? 5

2 : 9 = 2 · 1 = 2 5 5 9 45

ELEMENTO NEUTRO MULTIPLICATIVO ( 1 ) 1 de un litro de leche = 1 · 1

4 4 2 de un kg de manjar = 2 · 1

5 5 ¿Qué sucede cuando multiplicamos una fracción por uno?La fracción queda igual. Recuerda que esta propiedad de la multiplicación se llama elemento neutro multiplicativo Al existir el elemento neutro multiplicativo, es posible definir el elemento inverso multiplicativo para cada fracción. El inverso multiplicativo de 3 es 4 porque 3 · 4 = 1 = 1 ( neutromultiplicativo ) 4 3 4 3 1 En general, el inverso multiplicativo de una fracción cualquiera a es b pues a · b = 1 b a b a

89

La multiplicación con respecto a la división son operaciones inversas. Al existir los Inversos Multiplicativos, la división se hace posible. Ejercicios: 1) 3 litro : litro : 1

4 49 1 1 3 · 1 = 1 1 · 4 = 4 4 9 3 12 1 1 2) 3 litro : 1 7 kg : 2

5 2 8 3 3 · 2 = 6 7 · 3 = 21 5 1 5 8 2 16 3) litro : 1 litro : 1

4 51 1 1 · 4 = 4 1 · 5 = 5 1 1 4) litro : 1 kg : 1

8 81 2 1 · 8 = 8 2 · 8 = 16 1 1 1 5) metros : 1

83 Si queda denominador 1, el numerador se puede 3 · 8 = 24 considerar como entero 1 1 Recuerda: 1 kg = 1.000 gr 1 kg = 500 gr 2 1 kg = 250 gr 1 kg = 125 gr 4 8 Problemas.

c) Con 1 kg de manjar ¿Cuántas bolsitas de 125 gr se pueden regalar? 1.000 gr : 125 = 8 bolsitas

d) Con 5 kg de manjar ¿Cuántas bolsas de 500 gr se obtienen?

5.000 gr : 500 = 10 bolsas Para dividir 2 fracciones, la división se convierte a su operación inversa, la multiplicación.

90

Se multiplica la fracción dividendo por el inverso multiplicativo de la fracción divisor. Ejemplo:

3 litro 2 3 5 15 7

4 5 4 2 8 81 En general: a ∈∈∈∈ N ⇒⇒⇒⇒ a = a ∈∈∈∈ fracciones Si a pertenece a los números Naturales

1 entonces a pertenece a las fracciones. 1

Ejercicios: 1) 2 2

5 33 5

6 + 5 · 3 = 6 + 15 = 12 + 75 = 87 5 1 2 5 2 10 10 2) 1 1

3 44 2

3 1 = 11 : 7 = 11 · 4 = 44 3 4 3 7 21 3) 1 1

2 34 2 9 + 7 = 27 + 14 = 41 2 3 6 6 Problemas:

6) Mi gato pesa 3

41 kg El tuyo, 125 gr mas. ¿Cuánto pesan entre los dos? 1 kg 750 gr Juntos pesan 1 kg 750 gr + 125 gr + 1 kg 875 gr 1 kg 875 gr pesa el tuyo 3 kg 625 gr

7) Tengo 1

23 kg de azúcar para envasarla en bolsas de 1

8 kg.¿Cuántas 4 bolsas obtengo? 7 : 1 = 7 · 8 = 28 2 8 2 1 1

2 3

3 4

91

8) En mi poder hay 3 cajas con las siguientes características.

La caja I pesa 3

42 kg. 1 La caja II pesa el doble que la caja I. 2 · 11 = 11 = 5 ½ 4 2 La caja III tiene 1 del peso de la caja II. 2 11 : 5 = 11 · 1 5 2 1 2 5 = 11 = 1 kg 1 ¿Cuánto pesan entre las tres? 10 10 Caja I = 2,75 Kg Caja II = 5,50 Kg Caja III = 1,10 Kg 9.35 Kg pesan las 3 cajas

9) Tengo 1

54 kg de dulces. Me regalan 1

2 kg más. Me como 1

4 kg . ¿Cuánto tengo ahora? ¿A cuántos kg equivalen los dulces? (21 + 1) - 1 = 42 + 5 - 1 = 47 - 1 = 94 - 5 = 89 = 9

5 2 4 10 4 10 4 20 20 20 10) Tengo 100 calugas. Regalo los 2 a Florencia. Del resto, 1 se lo regalo a Daniela

5 3 ¿Cuántas calugas regalo a Florencia? ¿Cuántas a Daniela? ¿Cuántas dejo para mí?

2 · 100 = 40 calugas regalo a Florencia. Me quedan 60. 5 1 · 60 = 20 calugas regalo a Daniela. Me quedan 40 calugas. 3

4

92

Ejercicios de división de fracciones: ( Divide c/u de las de arriba por c/u de las que se encuentran al costado izquierdo del cuadro.)

1 1 2 1 5 2 5 3 4 7 3 2 4 8 1 20 4 3 15 9 3 21 4 9 9 3 9 45 9 8 20 2 16 28

2 5 1 5 5 25 5 4 2 3 8 14 7 4 8 16 2 40 8 7 35 21 7 49 5 3 6 4 3 6 6 5 25 5 10 7

Encuentra el término que falta en cada operación: Ejemplo.- a) x : 5 = 4 x = 4 · 5 = 20 13 9 9 13 117 b) 1 · p = 3 x = 12 2 10 5 c) x · 5 = 7 x = 63

9 10 50 d) 4 : y = 2 y = 14 3 7 3 e) q · 15 = 30 q = 36 18 Otros ejercicios: a) 2 : 1 = x x = 8 3 4 3 b) 4 : x = 1 x = 8 5 2 5

93

c) x : 4 = 5 x = 20 7 7

d) 3 5

7 92 2 3 6 : 10 = 6 · 9 = 27 7 9 7 10 35 5 e) 5 1 1

18 3 33 5 · 3 = 5 · = 5 54 3 54 54 Otros ejercicios. a) 2 1

3 66 2 20 · 6 = 20 · 2 = 40 3 1 1

10 1

13 41 2 10 : 5 = 10 · 4 = 8 13 4 13 5 13 1

1 1

10 384 2 19 41 : 77 = 41 · 38 = 779 10 38 10 77 385 5

3 1

7 212 3 17 : 1 = 17 · 21 = 51 7 21 7 1 1

1

94

PRUEBA DE MATEMÁTICAS.- (Fracciones)

Resuelve los siguientes ejercicios:

3) 2 · 6

5 53 ( 15 - 2 ) · 6 = 13 · 6 = 78 5 5 5 5 5 25

4) 5 3 9

6 4 10 2 1 1 ( 5 · 4 ) · 9 = 10 · 9 = 6 3 10 9 10 3 1 1 III Si al doble de la suma de 1 ∧∧∧∧ 5 le agregas 6, obtienes..............

4 6 1 2 ( 1 + 5) + 6 = 2 ( 3 + 10 ) + 6 = 2 · 13 + 6 = 13 + 6 = 13 + 36 = 4 6 12 12 6 6 = 49 = 6 6 Si al cuociente entre 4 ∧∧∧∧ 1 le quitas 6 obtienes.......... 9 4 2

( 4 : 1 ) - 6 = ( 4 · 4 ) - 6 = 16 · 6 = 32 = 102/3 9 4 9 1 1 9 1 3 3 Si a la diferencia entre 5 ∧∧∧∧ 1 la divides por 2, obtienes.................

3 2 5 - 1 ( 10 -- 3 ) : 2 = 7 · 1 = 7 3 2 = 6 1 6 2 12 2 Resuelve los siguientes problemas : Si se tienen 3 cajas, de las cuales:

La caja I pesa 1

24 kg La caja II pesa el doble que la caja I

8

1 6

1

95

La caja III pesa 5 kg más que la caja 1

e) Calcular cuanto pesa cada una.

f) ¿Cuánto pesan entre las 3?

g) ¿Cuánto más que la caja 2 pesa un cajón de 1

28 kg?

h) ¿Cuántos gramos le faltan a la caja I para completar 3

46 kg?

Respuestas:

e)

Caja I.- Pesa 4 ½ kg = 4,5 kg Caja II.- Pesa 9 kg Caja III.-Pesa 9 ½ kg = 4.5 kg f) Entre las 3 pesan 18 kg g) Pesa 1 kg “menos” h) 6 ¾ - 4 ½ = 27 - 9 = 27 - 18 = 9 = 4 2 4 4 = 2.250 gramos Si una persona sólo puede cargar 20 kg. ¿Podrá llevar las 3 cajas juntas? Si Ya vimos que las 3 cajas juntas pesan 18 kg.

2kg y1/4