Fourier-TransformationImpulsmessung, quantenmechanische Messung

WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 3. Vorlesung

“I remember my friend Johnny von Neumann used to say, with four parameters I can fit an elephant, and with five I can make him wiggle his trunk.”

Enrico Fermi

Komplexe Ebene

Periodische Funktion kann in der komplexen Ebene dargestellt werden

Komplexe Ebene : stehende Welle eikx

Kreis mit Umfang L

Periodische Funktion

Wellenzahl

Komplexe Ebene : stehende Welle eikx

Kreis mit Umfang L

Wellen mit höherer Wellenzahl (n > N) können auf solche mit geringerer Wellenzahl (n) abgebildet werden

FouriertransformationEine beliebige periodische Funktion, die an N Stellen entlang des Kreisesgegeben ist, kann man durch Überlagerung von N Wellen darstellen

wobei die N Stützstellen x und die N Wellenzahlen k gegeben sind als

Welche Darstellung man bevorzugt ist Geschmackssache. Beide Darstellungen beinhalten dieselbe Information.

Vollständigkeit

Was ist ?

Vollständigkeit

Terme heben sich paarweise auf !

Mit der Vollständigkeitsrelation kann man leicht zeigen, dass die x- und k-Darstellung über die Fouriertransformation bzw. die

inverse Fouriertransformation miteinander verknüpft sind.

Beweisen Sie die beiden Beziehungen

(Inverse) Fouriertransformation

Das Konzept der Fouriertransformation lässt sich auch auf unendlicheBereiche und kontinuierliche x- und k-Werte verallgemeinern

(Inverse) Fouriertransformation

Fouriertransformation : Gaußsche Funktion

Wie sieht die Fouriertransformierte der Gaußschen Funktion aus ?

Je breiter die Gaußfunktion, desto schmäler die Fouriertransformierteund umgekehrt

Standardabweichung

Normierung

Mittelwert

Gegeben sei die Wellenfunktion

Bestimmen Sie: • die Normierung C• den Mittelwert x• das Schwankungsquadrat Dx

Wellenfunktion : Ortsmessgrößen

Wie bestimmt (misst) man den Impuls eines Wellenpakets ?

Standardabweichung

Wellenfunktion : ImpulsmessgrößenImpulsmessgrößen werden bestimmt, indem man zuerst die Fourier-

transformierte der Wellenfunktion bestimmt

Normierung

Mittelwert

Orts- und Impulsmessung

Je breiter die Wellenfunktion im Ortsraum desto schmäler im Impulsraum, und umgekehrt

Wahrscheinlichkeit klein Wahrscheinlichkeit groß

Beispiele :

Wahrscheinlichkeit klein Wahrscheinlichkeit groß

Beispiele :

Quantenmechanische MessungIn der Quantenmechanik kann ein beliebige Messung beschrieben werden durch

Messgröße

Ortsmessung …

Impulsmessung …

Messoperator

Beweis

Quantenmechanische MessungImpulsmessung

Kinetische Energie

Kinetische Energie hängt mit mittlerer Krümmung der Wellenfunktion zusammen

Aufgabe : Ordnen Sie die Energie der Wellenfunktionen n = 1,2,3

Aufgabe : Welche Wellenfunktion hat die höhere Energie: (a) oder (b); (a) oder (c) ?

a b c

a b c