Heisenbergsche UnschärferelationKopenhagener Interpretation

WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 6. Vorlesung

Macht es einen Unterschied, in welcher Reihenfolge Messungen durchgeführt werden ?

Orts- und ImpulsmessungOrts- und Impulserwartungswert sind gegeben durch :

Orts- und ImpulsmessungUnterschied in der Reihenfolge der Messungen :

„Kommutator“ … unterschiedliche Messabfolge

Abkürzung für Erwartungswert von Messoperator

Orts- und ImpulsmessungKommutator kann allgemein bestimmt werden

bzw.

Reihenfolge der Messungen spielt eine Rolle !!!

Normierung

Bilden des Erwartungswertes

bzw.

Heisenbergsche Unschärferelation

Je genauer man den Ort misst (Dx klein), desto unbestimmterist der Impuls (Dp groß) und umgekehrt !

Teilcheneigenschaft (Dx genau) und Welleneigenschaft(Dp genau) schließen einander aus ( Komplementarität ) !

Heisenbergsche UnschärferelationEs kann gezeigt werden (s.u.), dass allgemein gilt

Heisenbergsche Unschärferelation : BeweisPositiv definite Hilfsgröße

Umschreiben auf Erwartungswerte

Dx und Dp müssen bestimmte Bedingungen erfüllen, damit Ungleichung erfüllt ist !!!

Heisenbergsche Unschärferelation : BeweisGrenzfall I( l ) = 0 … quadratische Form

Dx und Dp müssen bestimmte Bedingungen erfüllen, damit Ungleichung erfüllt ist !!!

l reell … Wurzelausdruck muss größer oder gleich Null sein

Werner Heisenberg (1901 – 1976)

bzw.

Heisenberg:

„Im Augenblick der Ortsbestimmung, also dem Augenblick, in dem das Lichtquant vomElektron abgebeugt wird, verändert das Elektron seinen Impuls unstetig [ … ]. Je genauer der Ort bestimmt ist, desto ungenauer ist der Impuls bekannt und umgekehrt.“

l = h / p

HeisenbergmikroskopWerner Heisenberg (1901 – 1976)

Heisenbergsche Unschärferelation

Doppelspaltexperiment:Information über „welcher Spalt“ (Dx genau) zerstört Interferenzmuster (da Dp ungenau)

Was macht Elektron zwischen den Messungen ?Frage kann physikalisch nicht sinnvoll beantwortet werden !

bzw.

Heisenberg:

„Im Augenblick der Ortsbestimmung, also dem Augenblick, in dem das Lichtquant vomElektron abgebeugt wird, verändert das Elektron seinen Impuls unstetig [ … ]. Je genauer der Ort bestimmt ist, desto ungenauer ist der Impuls bekannt und umgekehrt.“

Heisenbergsche Unschärferelation

Begriff der „Komplementarität“

- Potentielle Energie klein, wenn Elektron möglichst lokalisiert- Kinetische Energie klein, wenn Elektron möglichst delokalisiert

Warum fällt im Wasserstoffatom das Elektron nicht in den Kern ?

Wie stark ist Elektron lokalisiert ?Energie kann aus Heisenbergscher Unschärferelation abgeschätzt werden

Natur wählt mittleren Abstand r so, dass Energie minimiert wird !!!

… Aufgabe : Bestimmen Sie r und E

Teilchen in der Schachtel : Particle in a boxGegeben sei ein Teilchen, das sich in einer Schachtel mit unendlich hohenPotentialwänden bewegt

Die ungefähre Energie kann aus der Heisenbergschen Unschärferelationbestimmt werden

Teilchen in der Schachtel : QuantenpunkteQuantenpunkte sind künstliche Atome, die aus Halbleitermaterialien hergestelltwerden. Je nach Wachsumtsbedingungen sind die Quantenpunkte unterschiedlichgroß.

Chemisch synthetisierte Quantenpunkte (colloidal quantum dots)

Kleine Quantenpunkte

Teilchen in der Schachtel : QuantenpunkteDie optischen Übergänge hängen von der Größe der Quantenpunkte ab :Je größer der Quantenpunkt, desto niedriger ist die Elektronenenergie undentsprechend die Energie des ausgesandten Photons, E=hn

GroßeQuantenpunkte

bzw.

Energie – Zeit – Unschärfe

Energie-Zeit-UnschärfeFouriertransformation

z.B. Gausspaket

a – Teilchen „borgt“ sich für kurze Zeit Energie (unter Berücksichtigung der Heisenbergschen Unschärferelation) und überspringt Potentialbarriere

Energie-Zeit-Unschärfe : radioaktiver Zerfall

Energie-Zeit-Unschärfe : LinienbreiteBeispiel : angeregter Atomzustand hat Lebensdauer von ~ 1 ns

Wie breit ist Spektrallinie ?

A. Piccard, E. Henriot, P. Ehrenfest, Ed. Herzen, Th. De Donder, E. Schrödinger, J.E. Verschaffelt, W. Pauli, W. Heisenberg, R.H. Fowler, L. Brillouin,P. Debye, M. Knudsen, W.L. Bragg, H.A. Kramers, P.A.M. Dirac, A.H. Compton, L. de Broglie, M. Born, N. Bohr,

I. Langmuir, M. Planck, Mme. Curie, H.A. Lorentz, A. Einstein, P. Langevin, Ch. E. Guye, C.T.R. Wilson, O.W. Richardson

Kopenhagen – Interpretation (1927)

Die Schrödingersche Wellenfunktion Y …

ist eine reine Hilfsgröße besitzt keine „objektive Realität“ benötigt eine Interpretation

Die Quantenmechanik …

ist eine statistische Theorie – nur Ergebnisse von vielen Messungen sind vorhersagbar – das Ergebnis einer einzelnen Messungen kann nur im Sinne einer bestimmten Wahrscheinlichkeit vorausgesagt werden

Kopenhagener Interpretation

… Will man nun dieses Resultat korpuskular umdeuten, so ist nur eine Interpretation möglich: Y bestimmt die Wahrschein-lichkeit [Anmerkung bei der Korrektur: Genauere Überlegung zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit dem Quadrat der Größe proportional ist.] dafür, dass das aus z-Richtung kommende Elektron in eine andere Richtung geworfen wird.…Die Schrödingersche Quantenmechanik gibt also auf die Frage nach dem Effekt eines Zusammenstoßes eine ganz bestimmte Antwort; aber es handelt sich um keine Kausal-beziehung. Man bekommt keine Antwort auf die Frage, ‘wie ist der Zustand nach dem Zusammenstoße’, sondern nurauf die Frage, ‘wie wahrscheinlich ist ein vorgegebener Effekt des Zusammenstoßes’.

Hier ergibt sich die ganze Problematik des Determinismus. Vom Standpunktder Quantenmechanik gibt es keine Größe, die im Einzelfalle denEffekt eines Stoßes kausal festlegt […] Ich selber neige dazu, die Determiniertheit in der atomaren Welt aufzugeben. Aber das ist eine philosophische Frage, für die physikalische Argumente allein nicht maßgebend sind.

Bornsche Interpretation (1926)

Komplementarität bedeutet, dass bestimmte Größen nicht gleichzeitiggenau gemessen werden können. In der klassischen Physik sind beidedieser Größen (z.B. Ort und Impuls) notwendig, um das System voll-ständig zu charakterisieren.

Heisenbergsche Unschärferelation

Bisher beruht alle Beschreibung von Erfahrungen auf der bereits dem gewöhn-lichen Sprachgebrauch innewohnenden Annahme, dass es möglich sei, zwischen dem Verhalten der Objekte und der zu ihrer Beobachtung notwendigen Geräte scharf zu unterscheiden. […] Wir müssen uns einerseits klarmachen, dass das Zieljedes physikalischen Experimentes —nämlich Erfahrungen unter reproduzierbaren und mitteilbaren Versuchsbedingungenzu gewinnen— uns keine andere Wahl lässt als die Begriffe des täglichen Lebens anzuwenden.

Unter bestimmten, einander ausschließenden Versuchsbedingungen gewonneneAufschlüsse über das Verhalten ein und desselben Objekteskönnen jedoch gemäß einer häufig in der Atomphysik angewandten Terminologietreffend als komplementär bezeichnet werden, da sie, obgleich ihreBeschreibung mit Hilfe alltäglicher Begriffe nicht zu einem einheitlichenBilde zusammengefasst werden kann, doch jeder für sich gleich wesentlicheSeiten der Gesamtheit aller Erfahrungen über das Objekt ausdrückt,die überhaupt in jenem Gebiet möglich sind

Nils Bohr

… so enthielt doch der Bohr-Kramer-Slatersche Deutungsversuch sehrwesentlich Züge der späteren richtigen Interpretation. Der wichtigste wardie Einführung der Wahrscheinlichkeit als einer neuen Art von ‘objektiver’physikalischer Realität.

Der Bohrsche Begriff der Komplementarität führte zu der Begrenzung in der Anwendbarkeit klassischer Begriffe durch das Aufzeichnen ganz verschiedenartiger, eben ‘komplementärer’ anschaulicher Bilder, die nur dann ohne Widerspruch nebeneinander existieren konnten, wenn ihr Anwendungsbereich eingeschränkt wurde.

Werner Heisenberg

Kritik an der Kopenhagener Deutung

Einstein an Schrödinger, 1928Die Heisenberg-Bohrsche Beruhigungsphilosophie –oder Religion?— istso fein ausgeheckt, dass sie dem Gläubigen einstweilen ein sanftes Ruhekissenliefert, von dem er sich nicht so leicht aufscheuchen lässt.

Stapp, 1972Lehrbuchdarstellungen der Kopenhagener Deutung übergehen die heiklenPunkte im allgemeinen. Bezüglich näherer Details werden die Lesermeist auf die Schriften Bohrs und Heisenbergs verwiesen. Aber auch dortist es schwer Klarheit zu gewinnen. Die Schriften Bohrs sind außerordentlichschwer erfassbar und scheinen nie zu sagen, was man eigentlichwissen will. Sie weben einen Schleier von Worten rund um die KopenhagenerDeutung, sagen aber nicht, was sie nun wirklich ist. HeisenbergsSchriften sind direkter. Seine Aussagen scheinen aber auf eine subjektiveDeutung hinauszulaufen, die scheinbar den Intentionen Bohrs diametralwiderspricht.

Leggett (Nobelpreis 2003)… though it should probably more correctly called the ‘Copenhagennon-interpretation’, since its whole point is that any attempt to interpretthe formalism in intuitive terms is doomed to failure.

Kritik an der Kopenhagener Deutung