Embed Size (px)
Citation preview
Formule Kružnica
Kružnica
1. Odredite središte i radijus kružnice (x-4)2+(y+3)2=25 .
2. Odredite središte i radijus kružnice x2+(y-6)2=81.
3. Odredite središte i radijus kružnice x2+y2=64.
4. Odredite središte i radijus kružnice x2+y2+14x-6y+33=0.
5. Odredite središte i radijus kružnice x2+y2-4x-5=0.
6. Odredite središte i radijus kružnice x2+y2-6y-16=0.
7. Odredite jednadžbu kružnice koja prolazi točkama A(-3,1), B(5,5), C(-2,4).
8. Odredite jednadžbu kružnice koja prolazi točkama A(4,-5), B(0,5), C(10,9).
Elipsa 9. Skicirajte elipsu 9x2+4y2=36.
10. Skicirajte elipsu x2+4y2=16.
11. Odredite jednadžbu elipse koja prolazi točkama A(-2,2), B(4,-1).
12. Odredite jednadžbu elipse koja prolazi točkama A(-18,20), B(24,-15).
Hiperbola
13. Skicirajte hiperbolu 25x2 - 9y2 =225.
14. Skicirajte hiperbolu 16x2 - 9y2 =144.
15. Odredite jednadžbu hiperbole koja prolazi kroz točke A(-9,0) i B(-15,-18).
16. Odredite jednadžbu hiperbole koja prolazi kroz točke A(-6,-3) i ( )3,18B .
Parabola
17. Skicirajte parabolu y2=6x.
18. Skicirajte parabolu y2=10x.
19. Odredite jednadžbu parabole čiji fokus je
a) na pozitivnom dijelu x osi i koja prozazi kroz točku A(5,-5)
b) na nagativnom dijelu x osi i koja prolazi kroz točku A(-5,-5) .
20. Odredite jednadžbu parabole čiji fokus je na
a) pozitivnom dijelu x osi i koja prolazi kroz točku A(2,1) ,
b) negativnom dijelu x osi i koja prolazi kroz točku A(-2,1) .
Rješenja: Kružnica
Na slici 1. su prikazane kružnice iz zadataka 1, 2 i 3 asredišta sui m po redu: S, C i D.
Opća jednadžba kružnice dana je formulom: (x-p)2+(y-q)2=r2 , pri čemu su p I g coordinate
središta kružnice S = (p,q). a r je radijus kružnice. Lako iz prva tri zadatka pročita iz zadanih
jednadžbi:
1. iz jednadžbe (x-4)2+(y+3)2=25 => p = 4, q = -3 => S = (4,-3), r = 5
2. iz jednadžbe x2+(y-6)2=81 => p = 0, q = 6 => S = (0,6), r = 9
3. iz jednadžbe x2+y2=64 => p = 0, q = 0 => S = (0,0), r = 8 => ovu kružnicu koja ima
središte u ishodištu zovemo središnja kružnica.
Jednadžba kružnice (x-p)2+(y-q)2=r2
može se napisati i u obliku:
x2 + y2 + ax + by + c =0,
pri čemu je: a = -2p
b = -2q
c = p2 + q2 – r2
4. Iz jednadžbe:
x2+y2+14x-6y+33=0
vidimo da je 14 = -2p / : (-2)
-6 = -2q / : (-2)
33 = p2 + q2 – r2
=> p = -7, q = 3 => S= (-7,3)
r2 = -33 + (-7)2 + 32 = -33 + 49 +9
r2 = 25
r = 5
pa jednadžu možemo pisati kao : Slika 1
(x+7)2+(y-3)2=25 a graf joj je dan na slici 2.
Slika 2.
5. Iz jednadžbe: x2+y2-4x-5=0 vidimo da je : Slika 3.
-4 = -2p / : (-2
0 = -2q / : (-2)
-5 = p2 + q2 – r2
=> p = 2, q = 0 => S= (2,0)
r2 = 5 + 22 + 02 = 9
r = 5
pa jednadžu možemo pisati kao :
(x-2)2 + y2 = 9 a graf joj je dan na slici 3.
6. Iz jednadžbe: x2+y2-6y-16=0 vidimo da je Slika 4.
0 = -2p / : (-2
-6 = -2q / : (-2)
-16 = p2 + q2 – r2
=> p = 0, q = 3 => S= (0,3)
r2 = 16 + 02 + 32 = 25
r = 5
pa jednadžu možemo pisati kao :
x2 + (y-3)2 = 25 a graf joj je dan na slici 4.
7. Odredite jednadžbu kružnice koja prolazi točkama A(-3,1), B(5,5), C(-2,4).
Slika 11.
U jednadžbu kružnice (x-p)2+(y-q)2=r2 uvrstimo koordinate točaka A, B i C.
222 )1()3....( rqpA =−+−−
222 )5()5....( rqpB =−+−
______________________
)4()2....( 222 rqpC =−+−−
222 2169.... rqqppA =+−+++
( )1/10251025.... 222 −⋅=+−++− rqqppB
____________________________
81644.... 222 rqqppC =+−+++
Zbrajanjem prve i druge, te druge i treće jednadžbe dobijemo:
222 2169.... rqqppA =+−+++ 222 10251025.... rqqppB −=−+−−+−
222 10251025.... rqqppB −=−+−−+− 222 81644.... rqqppC =+−+++
__________________________0291421.....08241616.....
=+−+−+=+−+−+
qpCBqpBA
( )__________________________
4/30214.....40816.....
−⋅=++=++
qpCBqpBA
(__________________________
4/120856.....40816.....
−⋅−=−−+ )=++qpCB
qpBA
=> ( )
240:/8040
=−−=−
pp
408216 =+⋅ q => 8q = 40 – 32 => 8q = 8 /:8 => q = 1
Uvrstimo p = 2 i q = 1 u početnu jednadžbu sa A: 222 )11()23....( rA =−+−− => 25 + 0 = r2 => r = 5
pa jednadžba kružnice glasi:
(x-2)2+(y-1)2=25 , a skica joj je na slici 11.
8. Odredite jednadžbu kružnice koja prolazi točkama A(4,-5), B(0,5), C(10,9).
Po skici na slici 12. provjeri svoje riješenje.
Slika 12.
Rješenje: (x-7)2 + (y-2)2 = 58
Rješenja: Elipsa
9. Elipsa 9x2+4y2=36 dana je općom formulom bx2 + ay2 = a2 b2 Da bi skicirali elipsu treba
jednadžbu elipse prikazati u kanonskom obliku: 12
2
2
2
=+by
ax .
9x2+4y2=36 / :36
194
22
=+yx => dakle, velika poluos 24 ==a I mala poluos 39 ==b
Kordinate fokusa elipse su: )0,(2,1 eF ±= , ako je a > b,
),0(2,1 eF ±= , ako je b > a,
a e je linearni ekscentricitet i za njega vrijedi :
e2 = a2 - b2 za a >b
e2 = b2 - a2 za b >a => 23,254922 ==−=−= abe => )5,0(2,1 ±=F
Slika 5.
10. Elipsa x2+4y2=16
Da bi skicirali elipsu treba jednadžbu elipse prikazati u kanonskom obliku: 12
2
2
2
=+by
ax .
x2+4y2=16 / :16
1416
22
=+yx => dakle, velika poluos 416 ==a I mala poluos 24 ==b
Koordinate fokusa elipse su: )0,(2,1 eF ±= , jer je a > b =>
e2 = a2 - b2 => 73,3321241622 ===−=−= bae => )0,32(2,1 ±=F
Slika 6.
11. Odredite jednadžbu elipse koja prolazi točkama A(-2,2), B(4,-1).
U jednadžbu elipse : 12
2
2
2
=+by
ax uvrstimo koordinate točaka A i B
( ) 122.... 2
2
2
2
=+−
baA => 144.... 22 =+
baA => zbrojimo jednadžbe =>
( ) 114.... 2
2
2
2
=−
+ba
B => ( )4/1116.... 22 −=+ba
B
144.... 22 =+ba
A => 22 /360.... a
aBA ⋅−=
−+ => => ( 3:/360 2 −−=− a )
4464.... 22 −=−
+−
baB
20 = a2 => 20=a => 14204.... 2 =+
bA =>
5114
2 −=b
=> 22 5/
544 b
b⋅= =>
4:/420 2b= => => 52 =b 5=b => jednadžba elipse glasi:
20/1520
22
⋅=+yx => 204 22 =+ yx
Slika 13.
12. Odredite jednadžbu elipse koja prolazi točkama A(-18,20), B(24,-15).
Slika 14.
Rješenje: 22500/1625900
22
⋅=+yx => 225003625 22 =+ yx
Rješenja: Hiperbola
13. Da bi skicirali hiperbolu 25x2 - 9y2 =225, zadanu u jednadžbom u općem obliku:
bx2 - ay2 = a2 b2 , trebamo tu jednadžbu prebaciti u kanonski oblik: 12
2
2
2
=−by
ax .
25x2 - 9y2 =225 /: 225
1259
22
=−yx => dakle, velika poluos 39 ==a I mala poluos 525 ==b
Kordinate fokusa hiperbole su: )0,(2,1 eF ±= , ako je jednadžba hiperbole: bx2 - ay2 = a2 b2
),0(2,1 eF ±= , ako je jednadžba hiperbole: - bx2 + ay2 = a2 b2
a e je linearni ekscentricitet i za njega vrijedi :
e2 = a2 + b2 => 83,53425922 ==+=+= bae => )0,34(2,1 ±=F
Asimptote hyperbole a1,2 dane su formulom xaby ±= , pa iz toga vidimo da su
xya35...2,1 ±=
A tjemena hiperbole su točke: A = (a,0) i B = (-a,0) za hiperbolu bx2 - ay2 = a2 b2
A = (0,b) i B = (0,-b) za hiperbolu -bx2 + ay2 = a2 b2
Pa su tjemena naše hyperbole: A = (3,0) i B = (-3,0)
Skicu hiperbole pogledati na slici 7.
Slika 7.
14. Skicirajte hiperbolu 16x2 - 9y2 =144 za vježbu. Možete se pomoći slikom 8.
Slika 8.
15. Odredite jednadžbu hiperbole koja prolazi kroz točke A(-9,0) i B(-15,-18).
Riješava se kao i zadatak 16. Za pomoć su dani skica i rješenje.
Slika 15.
Rješenje: 1
472981
22
=−yx => 729/1
7294
81
22
⋅=−yx => 72949 22 =− yx
16. Odredite jednadžbu hiperbole koja prolazi kroz točke A(-6,-3) i ( )3,18B .
U jednadžbu hiperbole : 12
2
2
2
=−by
ax uvrstimo koordinate točaka A i B
( ) ( ) 136.... 2
2
2
2
=−
−−
baA => 1936.... 22 =−
baA => zbrojimo jednadžbe =>
1318.... 2
2
2
2
=−ba
B => ( )3/1318.... 22 −=−ba
B
--------------------------- -----------------------------
1936.... 22 =−ba
A => 22 /218.... a
aBA ⋅−=
−+ => => ( 2:/218 2 −−=− a )
3954.... 22 −=+−ba
B
---------------------------
9 = a2 => 39 ==a => 19936.... 2 =−
bA => 419
2 −=−b
=> )(/39 22 b
b−⋅−=− =>
3:/39 2b= => => 32 =b 3=b => jednadžba hiperbole glasi:
9/139
22
⋅=+yx => 93 22 =+ yx
Linearni ekscentricitet 32123922 ==+=+= bae pa su koordinate fokusa:
F1,2 = ( 0,32± )
Slika 16.
Rješenja: Parabola
17. Skicirajte parabolu y2=6x.
Jednadžba parabole je: y2=2px. => 2p = 6 => p = 3, parameter parabole, a jednadžba
direktrise ii ravnalice je 2px −= =>
23
−=x . Koordinate fokusa ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= 0,
2pF => ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= 0,
23F
Slika 9.
18. Skicirajte parabolu y2=10x za vježbu. Možete se pomoći slikom 10.
Slika 10.
19. Odredite jednadžbu parabole čiji fokus je na
a) pozitivnom dijelu x osi i koja prolazi kroz točku A(5,-5),
b) negativnom dijelu osi x i koja prolazi kroz točku A(-5,-5) .
Rješenje:
Jednadžba parabole y2 = 2px ovisno o vrijednosti parametra p može imati različiti
grafiči prikaz:
za p>0, a fokus F se nalazi na pozitivnom dijelu osi x
za p<0, a fokus F se nalazi na negativnom dijelu osi x
a) Uvrstimo koordinate točke A i jednadžbu parabole: ( )
25
1025
)10(/1025525 2
==
−⋅=⋅=−
p
pp
=> => xy 52 =
a koordinate fokusa su ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= 0,
450,
2pF , a ravnaloca ili direktrisa:
45
−=x
Slika 17.
b) Uvrstimo koordinate točke A i jednadžbu parabole: ( )
25
1025
)10(/1025)5(25 2
−=−=
−⋅−=−⋅=−
p
pp
=> => xy 52 −=
a koordinate fokusa su ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= 0,
450,
2pF , a ravnaloca ili direktrisa:
45
=x
Slika 18.
20. Odredite jednadžbu parabole čiji fokus je na
a) pozitivnom dijelu x osi i koja prolazi kroz točku A(2,1),
b) negativnom dijelu osi x i koja prolazi kroz točku A(-2,1) .
Isti zadatak kao i 20. Skica rješenja dana na slici 19.
Slika 19.
Odnos krivulje i pravca
21. Odredite jednadžbu tangente i normale kružnice (x-1)2+(y+2)2=26 u točki D(0,3).
22. Odredite jednadžbu tangente i normale elipse 115
22
=+yx u točki D(0,-1).
23. Odredite jednadžbu tangente i normale hiperbole 2x2-9y2=18 u točki D(9,4).
24. Odredite jednadžbu tangente i normale parabole y2=18x u točki D(2,6).
25. Odredite zajedničke točke pravca x-2y+3=0 i kružnice (x-4)2+(y-6)2=25 .
26. Odredite zajedničke točke pravca 4x+3y+1=0 i kružnice x2+y2-6x-8y=0.
27. Odredite zajedničke točke pravca x-y+2=0 i kružnice (x+2)2+(y-3)2=4.
28. Odredite zajedničke točke elipse x2+4y2=20 i pravca 3x+2y-10=0.
29. Odredite zajedničke točke elipse x2+4y2=16 i pravca y= - x+5.
30. Odredite zajedničke točke elipse x2+4y2=20 i pravca x+4y+10=0.
31. Odredite zajedničke točke pravca 3x-4y-2=0 i hiperbole x2-2y2=2.
32. Odredite zajedničke točke pravca 15x-8y+18=0 i hiperbole 9x2-4y2=36.
33. Odredite zajedničke točke pravca 2x-y+1=0 i hiperbole x2-2y2=2.
34. Odredite zajedničke točke pravca 4x+y-4=0 i parabole y2=8x.
35. Odredite zajedničke točke pravca 2x-y+2=0 i parabole y2=4x.
Rješenja:
21. Odredite jednadžbu tangente i normale kružnice (x-1)2+(y+2)2=26 u točki D(0,3).
Rješenje: Ako je zadana jednadžba kružnice: (x-p)2+(y-q)2=r2 i točka D(x1, x2 ) koja leži na
toj kružnici jednadžba pravca koji dira tu kružnicu u toj točki, odnosno tangenta dana je
formulom: ( 11
11 xx
qypxyy −
−−
−=− ) , a pravac koji je okomit na tangentu i prolazi kroz točku
dirališta, odnosno normala, dan je formulom: ( )11
11 xx
pxqyyy −
−−
=− .
Kružnica: (x-1)2+(y+2)2=26 ima središte u točki S(1,-2) i radijus: 26=r
Slika 20.
Izračunavanje jednadžba tangente: ( )11
11 xx
qypxyy −
−−
−=− => ( )0)2(3
103 −−−−
−=− xy
=> xy513 =− => 3
51
+= xy u eksplicitnom obliku ili t...x -5y +15 = 0 u implicitnom
obliku.
Izračunavanje jednadžba normale: ( )11
11 xx
qypxyy −
−−
=− => ( )010
)2(33 −−−−
=− xy
=> => u eksplicitnom obliku ili n...5x +y -3 = 0 u implicitnom
obliku.
xy 53 −=− 35 +−= xy
22. Odredite jednadžbu tangente i normale elipse 115
22
=+yx u točki D(0,-1).
Rješenje: Ako je zadana jednadžba elipse: 12
2
2
2
=+by
ax i točka D(x1, x2 ) koja leži na toj
elipsi jednadžba pravca koji dira tu elipsu u toj točki, odnosno tangenta dana je formulom:
( 11
21
2
1 xxyaxbyy −−=− ) , a pravac koji je okomit na tangentu i prolazi kroz točku dirališta,
odnosno normala, dan je formulom: ( )11
21
2
1 xxxbyayy −=− .
Elipsa: 115
22
=+yx ima veliku poluos 5=a , a malu poluos b = 1, a linearni ekscentricitet
215 =−=e pa su koordinate fokusa )0,2(2,1 ±=F . Skiciramo elipsu i diralište:
Slika 21.
Iz slike 21. lako je očitati da je t...y = -1, a n...x = 0 . Provjerimo to računski:
( 11
21
2
1... xxyaxbyyt −−=− ) => ( ) ( 0
1501)1(... 2
2
−−⋅⋅
−=−− xyt ) => t... y +1 = 0
( 11
21
2
1... xxxbyayyn −=− ) => ( ) ( ) 0/0
0115)1(... 2
2
⋅−⋅−⋅
=−− xyn => x250 −= => n...x = 0
23. Odredite jednadžbu tangente i normale hiperbole 2x2-9y2=18 u točki D(9,4).
Rješenje: Ako je zadana jednadžba hiperbola: 12
2
2
2
=−by
ax i točka D(x1, x2 ) koja leži na toj
hiperboli jednadžba pravca koji dira tu hiperbolu u toj točki, odnosno tangenta dana je
formulom: ( 11
21
2
1 xxyaxbyy −=− ) , a pravac koji je okomit na tangentu i prolazi kroz točku
dirališta, odnosno normala, dan je formulom: ( )11
21
2
1 xxxbyayy −−=− .
Hiperbola: 2x2-9y2=18 / :18 => 129
22
=−yx ima veliku poluos a = 3, a malu poluos
2=b , a linearni ekscentricitet 1129 =+=e pa su koordinate fokusa )0,11(2,1 ±=F .
Skiciramo hiperbolu i diralište:
Slika 22.
Provjerimo sliku računski:
( )11
21
2
1... xxyaxbyyt −=− => ( 9
49924 −⋅
)⋅=− xy => ( 9
214 −=− xy ) => 4
29
21
+−= xy
=> 21
21
−= xy u eksplicitnom obliku ili t ... x -2y -1= 0 u implicitnom obliku.
( 11
21
2
1.... xxxbyayyn −−=− )=> ( 9
92494 −⋅
)⋅−=− xy => ( 924 −−= )− xy =>
=> u eksplicitnom obliku ili t ... 2x + y - 22= 0 u
implicitnom obliku.
4182 ++−= xy 222 +−= xy
24. Odredite jednadžbu tangente i normale parabole y2=18x u točki D(2,6).
Rješenje: Ako je zadana jednadžba parabole: y2 = 2px i točka D(x1, x2 ) koja leži na toj
paraboli jednadžba pravca koji dira tu parabolu u toj točki, odnosno tangenta dana je
formulom: ( )11 xxpyy +=⋅ , a pravac koji je okomit na tangentu i prolazi kroz točku
dirališta, odnosno normala, dan je formulom: ( )11
1 xxpy
yy −−=− .
Parabola y2=18x ima parametar p=9, a jednadžba ravnalice joj je 29
−=x , a fokus u točki
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= 0,
29F , pa u točki D(2,6) možemo izračunati jednadžbu tangente pomoću formule:
( 11..... xxpyyt +=⋅ ) => ( ) 6:/296 +=⋅ xy => ( 223
+= xy ) => 323... += xyt u
eksplicitnom obliku, a u implicitnom glasi t.... 3x – 2y + 6 =0.
A jednadžbu normale formulom: ( 11
1... xxpy
yyn −−=− ) => ( 2966... −−=− xyn ) =>
634
32... ++−= xyn =>
322
32... +−= xyn u eksplicitnom obliku, a u implicitnom
2x + 3y + 22 = 0. Pogledajmo rješenja na skici na slici 23.
Slika 23.
25. Odredite zajedničke točke pravca x-2y+3=0 i kružnice (x-4)2+(y-6)2=25 .Nađi
jednadžbe tangenti u točkama presjeka.
Rješenje :
Ako napišemo jednadžbu pravca i kružnice jednu ispod druge dobivamo sustav dvije
jednadžbe sa svije nepoznanice. A rješenja tog sustava su koordinate točaka presjeka pravca i
kružnice.
x-2y+3=0 => x = 2y -3
(x-4)2+(y-6)2=25 => (2y -3 – 4 )2 + (y – 6)2 = 25 => (2y - 7 )2 + (y – 6)2 = 25 =>
-----------------------
4y2 - 28y + 49 + y2 -12y +36 – 25 =0 => 5y2 - 40y + 60 =0 / : 6 => y2 - 8y + 12 =0
( ) ( )2
4812
121488 2
2,1±
=⋅
⋅⋅−−±−−=y => 2,6 21 == yy =>
13229362
2
1
=−⋅==−⋅=
xx
=>
točke presjeka su : A=(1,2) i B=(9,6). A jednadžbe tangenti i normali u točkama A i B su : t1
... 3x+4y=11 n1 ..... 4x-3y=-2 t2 ... x=9 n2 ... y=6 Vidi na slici 24.
Slika 24.
26. Odredite zajedničke točke pravca 4x+3y+1=0 i kružnice x2+y2-6x-8y=0. Nađi jednadžbe
tangenti i normala u točkama presjeka.
Postupak rješavanja isti kao i u zadatku 25.Rezultate provjeri na slici 25.
Rješenje A = (-1,1), pravac a je tangenta kružnice : 4x -3y +1 = 0, a normala n...-3x+4y=7
Slika 25.
27. Odredite zajedničke točke pravca x-y+2=0 i kružnice (x+2)2+(y-3)2=4. Nađi jednadžbe
tangenti i normali u točkama presjeka.
Rješenje :
Slika 26.
A=(-6.7, 4.7) B=(-0.3, -1.7) t1 …-4,7x+1.7y-39.51=0 t2 … -1.7x+4.7y+7.49=0
n1 … 1.7x+4.7y-10.7=0 n2 …4.7x+1.7y+4.3=0
28. Odredite zajedničke točke elipse x2+4y2=20 i pravca 3x+2y-10=0. Nađi jednadžbe
tangenti u točkama presjeka.
Rješenje:
Slika 27.
Točke presjeka: B=(2,2) C=(4,-1) t1 …y=-0,5x+2,5 t2 …. y=x-5,01
Kružnica - zadatci za vježbu
1. Odredi koordinate središta i polumjer kružnice kojoj je središnja jednadžba 9)3()1( 22 =++− yx .
2. Kako glasi centralna jednadžba kružnice kojoj je središte u točki )41,3(−S , a polumjer
15=r ? 3. Odredi koordinate središta kružnice, polumjer kružnice i prikaži grafički kružnicu :
a) 1622 =+ yx
b) ( ) ( ) 932 22 =−+− yx
4. Kako glasi jednadžba kružnice: 5),0,3( =rS
5. Odredi jednadžbu kružnice koncentrične kružnici ( ) 492 22 =−+ yx čiji je polumjer r = 1.
6. Kako glasi jednadžba kružnice kojoj je središte S(4,2) , a prolazi točkom A(3,-1).
7. Odredi jednadžbu kružnice kojoj je AB promjer ako je A(-3,-4), B(10,-1).
8. Odredi jednadžbu kružnice koja prolazi kroz točke A(2,5), B(4,1),C(8,3).
9. Odredi jednadžbu kružnice koja prolazi točkama A(6,6),B(-3,3) a središte joj je na x
osi.
10. Odredi polumjer i središte kružnice 072222 =−−++ yxyx
11. Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 1 koncentrične kružnici 0910622 =−+−+ yxyx
12. Odredi presjek pravca i kružnice 0163 =−+ yx i 06422 =−−+ xyx
13. Odredi duljinu tetive kružnice određene pravcem ako je zadano: 021422 =−−+ yyx
i 0397 =−+ yx
14. Odredi jednadžbu tangente na kružnicu u njezinoj točki D(-6,-8). 10022 =+ yx
15. Odredi jednadžbu tangente na kružnicu u njezinoj točki D(5,1). 0126422 =−+−+ yxyx
16. Odredi jednadžbu tangente na kružnicu ( ) 1691)1( 22 =−++ yx u njezinoj točki D(x>-1, -9)
17. Odredi jednadžbe tangenata povučene iz točke T(1,9) na kružnicu ( ) 54)1( 22 =−+− yx
18. Odredi jednadžbe tangenata kružnice ( ) ( ) 5041 22 =−+− yx paralelnih pravcu 10−= xy
19. Kako glase jednadžbe kružnica koje diraju obje koordinatne osi i kojima je 2=r ?
20. Odredi polumjer i središte kružnice . 072222 =−−++ yxyx
21. Napiši jednadžbu tangente na kružnicu u njenoj točki . 10022 =+ yx )0,8( <yD
22. Odredi položaj točke obzirom na kružnicu )2,4(T ( ) .16)3(2 22 =−++ yx
23. Kako glasi jednadžba kružnice koja prolazi točkama )0,2(−A , i ? )0,2(B )2,0(C
Elipsa - zadatci za vježbu
1.Odredi osnu jednadžbu elipse parametra 94
i male osi duljine 3.
2.Odredi jednadžbu elipse koja prolazi točkama A(4,-2) i B( 6 ,3).
3.Žarišta elipse i jedno njezino tjeme vrhovi su jednakostraničnog trokuta površine 39
.Odredi jednadžbu elipse.
4.Koliki kut zatvaraju tangente na elipsu 11832
22
=+yx iz točke P(12,-3)?
5.U kojim točkama tangente elipse paralelne s pravcem 3x–2y +18 = 0
dodiruju elipsu?
4843 22 =+ yx
6.Odredite zajedničke točke pravca x-2y+4=0 i parabole y2=4x. Odredi m R∈ elipse
tako da je pravac x + 4y - 16 = 0 tangenta elipse. Odredi numerički i
linearni ekscentricitet elipse.
mx y2 216 192+ =
7.Odredi tangentu na elipsu 3 iz točke T(4,2).Odredi numerički i linearni
ekscentricitet te parametar elipse. Slika.
4 482 2x y+ =
8.Odredi normalu elipse u točki x y2 24 2+ = 0 ( )T y2, > 0 .Odredi kut normale i pravca y -
x = 2.
Hiperbola - zadatci za vježbu
1.Odredi jednadžbu tangente i normale hiperbole u točki sjecišta hiperbole i
pravca y = 5.
9 1442 2x y− =
2.Odredi jednadžbu hiperbole numeričkog ekscentriciteta 43
i linearnog ekscentriciteta 2.
3.Odredi jednadžbu hiperbole linearnog ekscentriciteta 17 ako je a - b + 7 = 0.
4.Odredi tangentu hiperbole iz točke (3,5). Slika. 3 32 2x y− =
5.Kolika je površina trokuta što ga zatvaraju asimptote hiperbole 421 22 =− yx s pravcem koji
prolazi žarištem okomito na os apscisu? Koliki kut zatvaraju tangente hiperbole povučene u
točkama trokuta?
6.Kolika je površina trokuta što ga zatvaraju asimptote hiperbole s pravcem koji
prolazi žarištem okomito na os apscisu?
82 22 =− yx
7.Pravac je asimptota hiperbole kojoj su žarišta udaljena 023 =− yx 134 . Odredi jednadžbu
hiperbole.
8.Odredi zajedničke tangente krivulja i . 44 22 =+ yx 3694 22 =− yx
