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Formulario de matematica de 12 anoCombinações e probabilidadeFunçõesTrigonometriaNumeros Imaginarios
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Conhece a Matemtica e dominars o Mundo. Galileu Galilei
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
[email protected] Tm.: 919 853 327
- PROBABILIDADES Prop. Distributiva: )()()( CABACBA = ; )()()( CABACBA =
Leis de De Morgan: BABA = BABA = ; )(1)( APAP = )()()()( BAPBPAPBAP +=
Prob. Condicionada (acontecer A sabendo que B aconteceu):
)()()/(
BPBAPBAP = Lei Laplace: possiveisacontn
favorveisacontnAP..)( =
Acont. Independ.: )().()( BPAPBAP = ; )()/( APBAP = . BABABA ==\ Acont. Diferena( A realiza-se sem que B se realize ): )()()|( BAPAPBAP = ; )()()|( BPAPBAPAB =
Permutaes !nPn = Arranjos (a ordem importa) : s/ repetio )!(!pnnAp
n
= c/ repetio pp
n nA ='
Combinaes (no h repetio e ordem no importa): )!(.!
!pnp
nCpn
=
Binmio Newton =
=+n
p
ppnp
nn baCba0
)( 32233 33)( babbaaba +++=+ 4322344 464)( babbabaaba ++++=+
Prop. Tringulo Pascal:
111
1
11
1
+
+
++
+
=
=
=+
=
pnpp
np
ppnp
np
pn
pn
pn
pnn
pn
abCT
baCT
CCC
CC
Dist. Prob. : =
=n
iii pp
1
110 valor mdio =
=n
iii px
1
varincia =
=n
iii px
1
22 )( desvio padro 2 =
Coef. Binomial )!(.!
!rnr
nCrn
= rnrr
n ppCrXP == )1()( ( n=n experincias e r=n sucessos )
Estandardizao da varivel ),( NXZ =
Curva Normal
:
Intervalo Probabilidade ] [ + , 68.27% ] [ 2,2 + 95.45% ] [ 3,3 + 99.73%
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- FUNES -
nm
n m
nn
nmnm
mmm
mmm
nmnm
nmnm
aa
aa
aseaaa
babababa
aaaaaaPOTENCIASPROP
=
=
=
=
=
=
=
=
+
101
)()()(
:.
022
222
222
))((2)(2)(
:
bababababababababa
NOTVEISCASOS
=+
+=
++=+
aacbbxZeros
abc
abVVrtice
khxaycbxaxxf
quadraticaFuno
24:
4;
2:
)()(
:
2
2
2
2
=
+=
++=
!
xaxy ya == log xexyy == ln yxyx aaa loglog).(log +=
yxyx
aaa logloglog =
ab
ba log
1log = xpx ap
a log.)(log =
axx bab log.loglog = abba log
loglog = xn
x ana log1log = 1log =aa
01log =a xax
a =log xaxa =log
11lim0
=
xex
x +=
+ p
x
x xelim 1lim
0=
xxsen
x 1
)1ln(lim0
=+
xx
x 1
1lnlim
1=
xx
x 0
lnlim =+ x
xx
xn
enx
=
+1lim xu
n
eux n
=
+1lim
Assimpt. funo racional
mmm
nnn
bxbxbaxaxa
xqxpxf
++++++
==
...
...)()()( 1
10
110
Assimpt. Vert. )(xqdezeros Assimpt. Horiz. )()(0)(0
0 mnseexistenomnseymnsebay >
>
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- TRIGONOMETRIA -
1cos22 =+ sen
cossentg =
22111
sentg=+
22
cos11=+tg bsenasenbaba .cos.cos)(cos +=
bsenasenbaba .cos.cos)(cos =+ bsenabasenbasen .coscos.)( +=+ bsenabasenbasen .coscos.)( = asenaa 22cos)2(cos = aasenasen cos..2)2( =
btgatgbtgatgbatg
.1)(
+
=+ btgatgbtgatgbatg
.1)(
+
= atgatgatg 21
.2)2(
=
Redues ao 1 quadrante:
tgtg
sensen
=
=
=
)(cos)(cos
)(
sen
sen
=
=
)2(cos
cos)2(
sen
sen
=+
=+
)2(cos
cos)2(
sen
sen
=
=
)23(cos
cos)23(
sen
sen
=+
=+
)23(cos
cos)23(
tgtg
sensen
=
=
=
)(cos)(cos
)(
tgtg
sensen
=+
=+
=+
)(cos)(cos
)(
tgtg
sensen
=
=
=
)2(cos)2(cos
)2(
Equaes trigonomtricas: +=+== kkxkxsenxsen ,22 +=+== kkxkxx ,22coscos +== kkxx ,tantan
Circulo trigonomtrico:
ngulo
0 ou 0 rad 30 ou
6
rad 45 ou 4
rad 60 ou 3
rad 90 ou 2
rad 180 ou rad 270 ou
23
rad
sen
0
21
22
23
1
0
-1
cos
1
23
22 2
1
0
-1
0
tg
0
33
1
3
--
0
--
-1 +1
-1
+1
sin x
cos x
tan xeixodos
senos
eixo dos co-senos
eixodas
tangentes
0
2
x
23
2-1 +1
-1
+1
sin x
cos x
tan xeixodos
senos
eixo dos co-senos
eixodas
tangentes
0
2
x
23
2
caco
x
hca
x
hco
xsen
=
=
=
tan
coshco
cax
RAZES TRIGONOMTRICAS
TEOREMA PITGORAS
22
22
222
cahco
cacoh
cacoh
=
+=
+=
caco
x
hca
x
hco
xsen
=
=
=
tan
coshco
cax
RAZES TRIGONOMTRICAS
TEOREMA PITGORAS
22
22
222
cahco
cacoh
cacoh
=
+=
+=
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- NMEROS COMPLEXOS -
Forma algbrica n complexo: biaz += Conjugado de z: biaz = Mdulo de z: 22 bazr +== Argumento de z:
== abz 1tanarg
Forma trigonomtrica: cisrz .= ou ).(cos. senirz +=
1=i 12 =i ii =3 14 +=i 14 =ni ii n =+14 124 =+ni ii n =+34
realnzz = zz
z2
= )( = ciszz
Conjugado )( += ciszzSimtrico
)(111 == ciszz
z
Inverso ( ) i
bab
baabia 2222
1
+
+=+
Operaes com n complexos (frmulas de Moivre) :
)( 212121 += cisrrzz = nncisrznn ,).( )( 21
2
1
2
1 = cisrr
zz
+
= knkcisrcisr nn ,2.
Nota: todas as razes de ndice n tm o mesmo mdulo e os argumentos (no negativos mnimos) esto em progresso aritmtica de razo n2
.
Nota: as n razes de ndice n tm por imagem os vrtices de um polgono regular de n lados, inscrito numa circunferncia de raio n z . Domnios planos e condies de varivel complexa:
Circunf. de centro z1 e raio r : rzz = 1
Mediatriz do segm. recta entre z1 e z2 : 21 zzzz =
Semiplano limitado por mediatriz segm rect entre z1 e z2 , ao qual pertence z1 : 21 zzzz
Recta vertical x=a+r : rzz = )(Re 1 Exemplo: ( ) az Re representa o semiplano fechado definido pela recta x=a , que fica direita da recta.
Recta horizontal y=b+r : rzz = )(Im 1 Semi-recta origem afixo z1 q forma com Ox um ang : = )(arg 1zz
- SUCESSES
crescenteuu nn + 01 edecrescentuu nn + 01
Progresso Aritmtica : ruu nn =+1 rnuun .)1(1 += nuuS nn
+=
21
abuur ab
=
Progresso Geomtrica : ruu
n
n =+1 11 .= nn ruu r
ruSn
n
=
11.1
Diagrama Argand
a
b
Re
Im
a
b
Re
Im
porqueiiExemplo 327: =27 4
63porqueiiExemplo327: =
27 463
27 463
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- GEOMETRIA Distncia entre 2 pontos )2,2()1,1(
212
212 )()( yxQeyxPsendoyyxxPQd +==
Mediatriz de [AB] : )2,2()1,1(2
22
22
12
1 )()()()( yxBeyxAsendoyyxxyyxx +=+
Eq. Circunf. centro (x1,y1) raio r : 22
12
1 )()( ryyxx =+ Eq. Elipse
>=+
=
222:2:
),0()0,()0,(cos
2
2
2
2
)(1bac
bmenoreixoamaioreixo
bavrticescfo
sendobaeby
ax
Vectores )2,2()1,1(1212 ),( yxBeyxAsendoyyxxABAB ==
Soma de vectores )2,2()1,1(2121 ),( yxveyxusendoyyxxvu ++=+ Norma vector: )1,1(21
21 yxuseyxu +=
Ponto mdio [AB] )2,2()1,1(2121
2,
2yxBeyxAse
yyxxM ==
++!
Eq. Vectorial recta )2,1()0,0(),(),(),( 2100 uuuyxAkuukyxyx dedirecotemeptoocontm+=
Eq. Paramtricas recta
+=
+=
20
10
ukyyukxx
Eq. Cartezianas recta
2
0
1
0
uyy
uxx =
Declive recta
12
12tanxxyym
== Equao recta q contm P(x1,y1) e declive m: )(. 11 xxmyy = Eq. Reduzida: bmxy +=
Relao entre declives de duas rectas:
=
=
+=
+=
srm
m
srmm
bxmysbmxyr
1'
//'
''::
Produto escalar: ),(),(. dcvebausebdacvu ==+=
Produto vectorial: ),(cos... vuvuvu = ou cos... baba = ng. entre 2 vectores: baba..cos = Projeco: cos.bbproj a =
aabbproj
a
.= Teorema co-senos bccba cos.2222 +=
Eq. plano ),,()1,1,1(111 0)()()( cbauezyxptoocontmzzcyybxxa =++ Eq. geral do plano ),,(0 cbauaplanodczbyax =+++
reas e Volumes:
3
3..4:
3:
:2
:
2...2:
2:
rVESFERA
hbaseAVCONEePIRMIDE
hbaseAVCILINDROePRISMA
hbB
ATRAPZIO
rArPCIRCULO
hbATRINGULO
=
=
=
+
=
==
=
x
y
a
c +a -a
b . . Elipse