Formelsammlung Dimensionieren 14 - lookass.chlookass.ch/content_study/Formelsammlung_Dimensionieren... · 2011. 5. 29. · Formelsammlung Dimensionieren I (30 Seiten) Prof. Dr. Paolo

Formelsammlung Dimensionieren I (30 Seiten) Prof. Dr. Paolo Ermanni

Formelsammlung_Dimensionieren_14.doc (20.01.2009) Seite 1 von 18 05.10.2009 / LP, ETH Masching HS2009

1) Mathe Allgemein

Geometrie r: Radius, V: Volumen, h: Höhe, A: Fläche, A0: Gesamtoberfläche, G: Grundfläche, U: Umfang, M: Mantelfläche

Zylinder : hGV ⋅= hUM ⋅=

(nur gerader Zylinder)

GMO ⋅+= 2 GU

r

ssh

Kegel (gerade):

GhhrV 312

31 == π

π⋅⋅= srM )(0 srrA += π

22 rhs += 22 rsh −= 22 hsr −=

)( 223 rRrRVh ++= ⋅π

22)( hrRm +−= mrRM ⋅⋅+= π)(

)tan(ϕrRh −=

r

Kugel : 3

34 rV ⋅= π

20 4 rA ⋅= π

Kreissegment (Winkel in Bogenmass):

( ))()sin( 2122

hrsrbA r −−=−= αα

hshr 8

4 22 += 22

2 )(2)sin(2 hrrrs −−== α

( ) 422 2)cos( srrrrh −−=⋅−= α )tan(42 α⋅= s

°+⋅ ⋅⋅==⋅= 1808

)4( 22 Gradrrb hsh αα πα )arctan(4 2s

h⋅=α

Logarithem, Wurzeln, Euler, Sin, Cos, Tan, …

xy alog= ⇔ xay =

)(log)(log)(log vuvu bbb +=⋅ )(log)(log)/(log vuvu bbb −=

n

mn m aa =

m nnmn m aaa == nnn abba =

Allg.: +∈ Rba, Potenzen: Rmn /∈, Wurzeln: Nmn /∈,

)sin()cos( xixe xi ⋅+=⋅ xe x =)ln( 1)ln( =e

xxe 1)ln( =−

mnmn aaa += mn

m

n

aa

a −=

nmmn aa =)( nnn abba )(=

na

na 1=− n

n

n

b

a

b

a = 10 =a

aa =1

)(log)(log uru br

b ⋅=

)log(

)log(

)ln(

)ln()(log

a

x

a

xxa ==

0)1log( =

?)1log( =−

Cosinussatz:

)cos(2222 αbccba −+= Rechenregeln sin/cos/tan:

Rechtwinkliges Dreieck:

eHypothenusteGegenkathe=)sin(α

eHypothenusAnkathete=)cos(α

AnkatheteteGegenkathe=)tan(α

ααα cossin)tan( =

1)(cos)(sin 22 =+ αα

2)2cos(12 )(sin xx −=

2)2cos(12 )(cos xx +=

)2sin()cos()sin(2 xxx =

)sin()cos( ϕϕϕ iei +=

)()cos(

)()sin(

21

21

αα

αα

αα

⋅−⋅

⋅−⋅

+=

−=ii

iii

ee

ee

)()sinh( 21 ααα −−= ee

)()cosh( 21 ααα −+= ee

)(tan1 2)(cos

12 αα +=

)(cot1 2)(sin

12 αα +=

Parameterwirkung cos/sin dcbxa ++⋅ )sin( a : Amplitude, b : Periode= bπ2 , c : Nullstelle, d : y-Verschiebung ( ))cos()cos()sin()sin( 21 yxyxyx +−−= ( ))cos()cos()cos()cos( 21 yxyxyx ++−= ( ))sin()sin()cos()sin( 21 yxyxyx ++−=

)sin()sin()cos()cos()cos( αγαγγ +=− a )sin()cos()cos()sin()sin( αγαγγ −=− a

( ))2cos(1)(sin 212 xx −= ( ))3sin()sin(3)(sin 413 xxx −= ( )3)2cos(4)4cos()(sin 814 +−= xxx

)sin()cos()cos()sin()sin( yxyxyx +=+ )sin()sin()cos()cos()cos( yxyxyx −=+

( ))2cos(1)(cos 212 xx += ( ))3cos()cos(3)(cos 413 xxx += ( )3)2cos(4)4cos()(cos 814 ++= xxx

Häufige Ableitungen (Funktion � Ableitung)

xa )ln(aa x ⋅ xae ⋅ axea ⋅

nx 1−⋅ nxn )ln(x x

1

)(log xa xax1

)ln(1 = )(log ea

)sin(x )cos(x )cos(x )sin(x−

)tan(x )(cos12 x )(tan1

2 x+=

)arcsin(x 211

x−

)arccos(x 21

1

x−−

)arctan(x 21 1x+ )sinh(x )cosh(x )cosh(x )sinh(x

)tanh(x )(cosh12 x )(tan1

2 x−=



2) Allgemein

SI-Präfixe

Symbol Name Wert T Tera 1012 1.000.000.000.000 Billion G Giga 109 1.000.000.000 Milliarde M Mega 106 1.000.000 Million k Kilo 103 1.000 Tausend h Hekto 102 100 Hundert

da Deka 101 10 Zehn --- --- 100 1 Eins d Dezi 10−1 0,1 Zehntel c Zenti 10−2 0,01 Hundertstel m Milli 10−3 0,001 Tausendstel µ Mikro 10−6 0,000.001 Millionstel n Nano 10−9 0,000.000.001 Milliardstel p Piko 10−12 0,000.000.000.001 Billionstel

Einheiten

][J = ][ 22

s

kgm= ][Nm = ][VAs = ][CV = ][Ws

][C = ][ As ][J = ][eV

][][][ 33 mMN

mmNMPa ==

Kraft amF ⋅= Energie Kinetisch: 22

1 vmT ⋅= , potentiell: hgmT ⋅⋅=

Definierte Funktionen (TI Voyage 200)

Funktion Beschreibung ),,( dtrforman Formzahl Absatz Normalspannung

),,,( Ddtrformab Formzahl Absatz Biegung ),,,( Ddtrformato Formzahl Absatz Torsion

),,( dtrformrn Formzahl Rundnut Normalspannung ),,( dtrformrb Formzahl Rundnut Biegung ),,( dtrformrto Formzahl Rundnut Torsion

3) Kräfte, Beanspruchungen

Spannungskomponenten im Bauteil (vereinfacht)

σ = Fn / A

FFn

Fq

τ= Fq / A

A

Fn=σ

A

Fq=τ

F : Kraft

nF : Normalkraft

qF : Querkraft σ : Normalspannung τ : Scherspannung

Zahnkraft )cos(α

AFF = )90cos( α−°⋅= FFR

Beispiel:

2d

ttA

MMF

∆+=

F : Zahnkraft

RF : Radiale Kraftkomponente der Zahnkraft

AF : Axiale Kraftkomponente der Zahnkraft α : Verzahnungswinkel d : Durchmesser (…)

tM : Antriebsmoment Mittelwert ][Nm

tM∆ : Antriebsmoment Amplitude ][Nm

Beanspruchung (Notation)

x

y

N

Q

M

N

Q

M

x

z

N

Q

M

N

Q

M



4) Statischer Festigkeitsnachweis

Spannungen (mit und ohne Kerbe)

Nennspannung (Normalspannung)

Mögliche Nennspannungen:

Zn,σ infolge Zug

Bn,σ infolge Biegung

Tn,τ infolge Torsion

Qn,τ infolge Querkraft Immer nur kritische Querschnitte (z.B. Kerbe) betrachten!

einachsig:

A

FZugn =,σ ][ 2m

N

Dehnung: 0ll∆=ε

ax

b

WM

Biegungn =,σ

P

T

WM

Torsionn =,τ

AF

Querkraftn =,τ

bM : Biegemoment

TM : Torsionsmoment z.B. Antriebsmoment +

Amplitude: TT MM ∆+ F : Z.B. wirkende Lagerkraft A : Querschnittsfläche

ba ⋅ bei Kerbe Ba ⋅ genügend weit von Kerbe entfernt

W : Widerstandsmoment ][ 3m

Scherung Schubspannung:

AF=τ

Scherung:

hy∆== αγ tan

FZ

FZ

n

maxK

Z

a

b

B

σ

σ

σ

σ*

Spannungserhöhung

mit Kerbe

Widerstandsmoment & Flächenmoment

axW ][3m :

Das axiale Widerstandsmoment ist ein Mass für den Widerstand der Randfaser gegen eine Biegebeanspruchung.

PW ][3m :

Das polare Widerstandsmoment oder Torsionswiderstandsmoment ist ein Maß für den Widerstand der Randfaser gegen Torsion.

W : Widerstandsmoment ][ 3m D : Aussendurchmesser d : Innendurchmesser (Ring)

yW : Bez. Horizontalachse

yW : Bez. Vertikalachse

Kreis 3

32 DWaxπ=

316 DWPπ=

( )424 DZY II π==

Rechteck

6

2bhYW = 12

3bhYI =

6

2hbZW = 12

3hbZI =

Kreisring

DdD

axW)(

32

44−= π

DdD

PW)(

16

44−= π

( ) ( )[ ]42424 dDZY II −== π

Quadrat

6

3aYW =

6

3aZW =

Hohlprofil

HbhBH

YW 633−=

BhbHB

ZW 633 −=

)( 33121 hbHBI Z −=

Trapez

)2(12)4( 222

bBbBbBh

oW +++=

)2(12)4( 222

bBbBbBh

uW +++=

Normalspannungs- hypothese sprödes Bauteilverhalten

Durch Trennbruch in Ebene senkrecht zur grössten Normalspannung. Bei sprödem Bauteilverhalten anwenden, oder wenn die Hauptspannungen im Zugbereich liegen und ähnlich gross sind (= sprödes Bauteilverhalten).

2221

21 4)( XYYXVYX τσσσσ σσ +−+== + falls 0=Yσ :

2221

2 4 XYXVX τσσ σ ++=

Schubspannungs- hypothese (Tresca) zähes Bauteilverhalten

Fliessgefahr, wenn max. Schubspannung einen Versagensgrenzwert erreicht.

max2 τσ ⋅=V falls 03 =σ : 22

21

21 4)()( XYYXYXV τσσσσσ +−++=

minmax σσ −= falls 02 =σ : 22 4)( XYYXV τσσσ +−=

31 σσ −= falls 02 =σ : 22 4 XYXV τσσ += resp. 0=Yσ

Gestaltänderungs- hypothese (Mises) Nach dieser Hypothese tritt Fliessen ein, wenn die Arbeit für die Gestaltänderung im mehr- und dreiachsigen Spannungszustand denselben Wert aufweisen.

213

232

2212

1 )()()( σσσσσσσ −+−+−⋅=V Für den allgemeinen dreiachsigen Spannungszustand in x-, y-, z-Komponenten:

)(6)()()( 2222222

1ZXYZXYXZZYYXV τττσσσσσσσ +++−+−+−⋅=

Entsprechend für den allgemeinen zweiachsigen Spannungszustand:

222 3 XYYXYXV τσσσσσ +⋅−+= und für zusätzlich 0=Yσ : 22 3 XYXV τσσ +=



Vergelichsspannung Festigkeitsnachweis (Vergleichsspannung Von obiger Versagenshypothese prüfen)

j

GzulässigV S

σσσ =≤

Wenn erfüllt � Bauteil O.K. z.B.:

F

F

SzulAF

xσσσ =≤=

Gσ : Grenzbelastung (Zäh/Fliessen: FG σσ = , bei nicht ausgeprägter Fliessgrenze: 2.0σσ =G , Bruch/Spröd: BG σσ = )

jS : Sicherheitszahl gegen Versagen durch Fliessen oder Bruch

Kerben, Kerbwirkung, Formzahl

Beispiel (Baum mit Kerbe) B

B

WM

XV == σσ 323πd

KreisaxB WW == � Spannungserhöhung durch Kerbe von Faktor 4 bis 5

Formzahl (Verhältnis der Spannungsspitze im Kerbgrund

Kmaxσ und der Nennspannung in der Kerbe)

Ist die Formzahl weit über 3: Konstruktion anpassen!

n

K

σσα max=

⇒ ασσ ⋅= nKmax

Normalspannungen: n

K

σσ

σα max= Schubspannungen infolge Torsion:

n

K

ττ

τα max=

Kmaxσ : Spannungsspitze im Kerbgrund

(siehe Bild vorige Seite)

nσ : Nennspannung in der Kerbe nK σσ ≥max

Formzahl für Absatz oder Rundnut

DdZ

tr

dr

dr

tr CBA ⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅

+=)()21(2

11

2,τσα

r , t , d , D

↓

Kombination : Formzahl für Absatz mit Freistich

Bei Biegung und Zug:

AbsatzdDdD

AbsatzRundnut σσσσ αααα +⋅−= −−1)(

Bei Torsion:

Absatzττ αα ⋅= 04.1 ( Rundnutτα wird nicht benötigt)

Formzahl für Rundstab mit Querbohrung

Zug: ( )drZug 23−=σα Biegung: ( ) drdrBieg 28.2324.1 −+=σα Bei Biegung: Falls die Bohrung in Richtung des Momentenvektors liegt, wird ασBieg ≈ 1 (kleiner 1!)

Torsion: dr2125.1023.2 −=τα

MBMB

MTMT

2r

d

F F

Tabellen, Maximalspannungen

Geometrie/Belastung A B C Z

F F0.22 1.37 0 0

MB MB 0.2 2.75 0 0

T T0.7 10.3 0 0

F F0.62 3.5 0 0

MB MB 0.62 5.8 0.2 3

T T3.4 19 1 2

Zug Biegung Torsion

Nennspannungs- und wirkliche Spannungsverteilung

ma xK

n

FF

σ

σMB

maxK

n

MB

σ

σ

MT

MT τmaxK

τn

Nennspannung

σn = FA σn =M BWB

τn = MTWPFormzahl

ασ(Zug ) =σmaxKσn

ασ(Biegung ) =σmaxKσn

α τ (Torsion ) =τmaxKτ n

Überlagerung von Kerben 21 ααα ⋅=

Nur eine Näherung! Überlagerungen von Kerben können z.B. bei Wellenschulter und gleichzeitiger Passfeder oder Wellenschulter und gleichzeitiger Schrumpfpassung auftreten.

Einfluss der Kerbwirkung auf die Festigkeits-rechnung

Für ruhende Belastung und zähes Materialverhalten (duktil) (Gestaltänd.- oder Schubspannungshypothese) 22 3)( ntnBiegxnZugxV τσσσ ++=

Für ruhende Belastung und sprödes Materialverhalten (Normalspannungshypothese)

( )2221 )(4)( tnBiegxBiegnZugxZugnBiegxBiegnZugxZugV τασασασασασ τσσσσ ++++=

Für wechselnde Belastung

sfaktorSicherheitungGrenzspann

SV GG =≤ σσ

Tragfähigkeit AT zul ⋅= σ A : Fläche zulσ : Zulässige Spannung



5) Dynamischer Festigkeitsnachweis (Ermüdungsfestigkeit)

Statisches Versagen: Durch Fliessen Brechen oder Knicken. Dynamisches Versagen: Durch Ermüdung bei andauernder wechselnder Belastung.

Vorgehen Allgemein

Ausschlagsspannung - Berechnung der Ausschlags-Amplituden jeder Spannungskomponente im krit. Querschnitt - Vergleichs-Ausschlagsspannung berechnen als Kombination aller Spannungsamplituden Vaσ Mittelspannung - Berechnung der mittleren Spannung aller Komonenten um welche die Amplitude ausschlägt - Vergleichs-Mittelspannung als Kombination aller Ausschlags-Spannungsamplituden Vmσ Gestaltfestigkeit - Berechnung der maximal ertragbaren Spannung VADKσ unter Berücksichtigung von:

Materialeigenschaften, Bauteilgrösse-/Geometrie, Kerbe, Spannungsart, Oberfläche… Vergleich - Vergleich der vorliegenden Spannung bei berechneter Mittelspannung zu Gestaltfestigkeit:

Ausschlagsspannung: B

mVADK

SVa)(σσσ ≤ Sicherheit gegen Bruch:

Va

VADKBS σ

σ= (?)

Schwingende Belastung 1 Lastspiel

oσ : Oberspannung

uσ : Unterspannung

aσ : Spannungsamplitude

mσ : Mittelspannung R : Spannungsverhältnis

n : Anzahl Lastspiele mit der Lastspielzahl

N : Lastspielzahl

2uo

aσσσ −=

2uo

mσσσ +=

o

uR σσ=

σ

Belastungsfälle & Wöhlerkurve

Bauteilbeanspruchung erfolgt vielfach in Kurzform:

am σσσ ±= , am τττ ±=

Bei Stahl: Dauerfestigkeit ab 106 oder 107 Lasten.

Smithdiagramm

Oberspannungslinie:

amo σσσ += Unterspannungslinie:

amu σσσ −=



Festigkeitswerte (Richtwerte)

dB: Nenndurchmesser Festigkeitswerte für allgemeine Baustähle, d B ≤ 16 mm

1) Nach DIN EN 10025 2) Richtwerte berechnet nach Gleichung

(5.7) bis (5.9) 3) Gilt für Nenndurchmesser dB ≤ 16 mm

Kurzname 1)σ1)B

[N / mm2]dB ≤ 3, mm

σ1),3)S

[N / mm2]σ

2)zdW

[N / mm2]σ

2)bW

[N / mm2]τ

2)t W

[N / mm2]

S235JR 360 235 140 180 105

S275JR 430 275 170 215 125

E295 490 295 195 245 145

S355JO 510 355 205 255 150

E335 590 335 235 290 180

E360 690 360 275 345 205

Festigkeitswerte für Einsatzstähle (für die Kantenhärte) dB ≤ 11 mm


(5.7) bis (5.9) 3) Richtwerte 4) dB ≤ 16 mm

Kurzname1)σ

3)B

[N / mm2]σ

3)S

[N / mm2]σ

2)z dW

[N / mm2]σ

2)bW

[N / mm2]τ

2)t W

[N / mm2]

C10E 750 430 300 375 225

17Cr3 1050 750 420 525 315

16MnCr5 900 630 360 450 270

20MnCr5 1100 730 440 550 330

20MoCrS4 900 630 360 450 270

18CrNiMo7-64 1150 830 460 575 345

Festigkeitswerte für Vergütungsstähle (im vergüteten Zustand) dB ≤ 16 mm


(5.7) bis (5.9) 3) Richtwerte

Kurzname 1)σ 3)B

[N / mm2]σ 1)S

[N / mm2]σ2)z dW

[N / mm2]σ2)bW

[N / mm2]τ 2)t W

[N / mm2]

1 C 22 500 340 200 250 150

2 C 22 500 340 200 250 150

1 C 25 550 370 220 275 165

1 C 30 600 400 240 300 180

1 C 35 630 430 250 315 190

1 C 40 650 460 260 325 200

1 C 45 700 490 280 350 210

2 C 45 700 490 280 350 210

1 C 50 750 520 300 375 220

(1 C 60) 850 580 340 425 250

46Cr2 900 650 360 450 270

41Cr4 1000 800 400 500 300

34CrMo4 1000 800 400 500 300

42CrMo4 1100 900 440 550 330

50CrMo4 1100 900 440 550 330

36CrNiMo4 1100 900 440 550 330

30CrNiMo8 1250 1050 500 625 375

34CrNiMo6 1200 1000 480 600 360

Festigkeitswerte für Nietrierstähle dB ≤ 100 mm


(5.7) bis (5.9)

Kurzname1)σ

1)B

[N / mm2]σ

1)S

[N / mm2]σ

2)z dW

[N / mm2]σ

2)bW

[N / mm2]τ

2)t W

[N / mm2]

31CrMo12 1000 800 400 500 300

31CrMoV9 1000 800 400 500 300

15CrMoV59 900 750 360 450 270

34CrAlMo5 800 600 320 400 240

34CrAlNi7 850 650 340 425 255



6) Achsen und Wellen

Achsen sind zum Tragen und Lagern von Laufrädern, Seilrollen, Hebel etc... Sie übertragen kein Drehmoment. Sie werden durch Querkräfte auf Biegung, weniger durch Längskräfte zusätzlich noch auf Zug oder Druck beansprucht.

Wellen drehen sich um ihre eigene Achse und übertragen das Drehmoment auf Zahnräder, Riemenscheiben usw. Wellen werden auf Torsion und durch Querkräfte zusätzlich auf Biegung beansprucht. Durch Kegelräder oder schrägverzahnte Stirnräder werden zusätzliche Längskräfte eingeleitet, die von der Welle und den Lagern aufgenommen werden müssen.

Verformungen infolge Torsionsbeanspruchung

Spezifische Verdrehung P

t

IG

M

L ⋅== θυ

Verdrehungswinkel P

tGrad GI

LM

πθ 180=

P

tRad IG

ML

⋅⋅=θ

tM : Torsionsmoment

θ : Absoluter Torsionswinkel (Verdrehungswinkel)

υ : Relativer längenbezogener Torsionswinkel

Gesamtverdrehungswinkel ∑= iθθ Summe der Verdrehungswinkel von den einzelnen Wellenabschnitten ergibt Gesamtverdrehungswinkel.

Verformungen infolge Biegebeanspruchung

Durchbiegung (Allgemein) IE

LFf

⋅⋅⋅=

3

3

64

4dI

⋅= π

Verschiebung f (an der Stelle A)

−+−+=3

32

33

2

31

32

1

31

3 a

aa

a

aa

a

aAA I

LL

I

LL

I

L

E

Ff

Neigung α (an der Stelle A)

−+−+=3

22

23

2

21

22

1

2

2 a

aa

a

aa

a

aiA

I

LL

I

LL

I

L

E

Fα

Durchbiegung f )( ABa

A ffL

Lff −⋅+=

Neigungswinkel γ (der Tangente der Biegelinie) L

ff BA −=≈ γγ )tan(

Die Welle wird an der Stelle geschnitten, wo die Durchbiegung bestimmt werden soll.

I : Flächenträgheitsmoment 2. Grades Neigungswinkel α (am Lager A, resp. B) γαα −=L γββ +=L

Schwingungen

Krit. Winkelgeschwindigkeit mc

k =ω Gf199=

Krit. Frequenz Gfk

n 1946⋅≈

22

21

11

1

kk

krit

ωω

ω+

=

c : Federkonstante der Welle m : Masse der Exzentrizität

kn : Frequenz ][ min1

Gf : Durchbiegung Welle ][mm infolge Gewichtskraft einer Einzelmasse

A : Drehpunkt S : Massenschwerpunkt O : Mom. Drehzentrum

Bei mehreren Massen: Superposition wie bei Thévenin

Knickung

1. Ermittlung der Schlankheit λ 2. Entscheidung für Theorie: Quetschen:

Fλλ < , Tetmajer: 0λλλ



7) Flächenpressung

Flächenpressung ebener Wirkflächen A

Fp x= ][ 2m

N XF : Kraft normal auf Berührungsfläche

A : Berührungsfläche

Flächenpressung bei Zapfen- Bohr-Verbindungen (Bolzen) (Lochleibung)

projAFp = ⇐ LdAproj ⋅=

(Falls die Durchmesser annähernd gleich sind)

Überprüfung : Zulässige Pressung : ppzul >

L : Bohrungstiefe (Berührungstiefe) d : Bohrungsdurchmesser, Bolzendurchmesser

Hertz'sche Pressung (Flächenpressung gewölbter Wirkflächen)

Voraussetzungen: - Wirkfläche ist klein gegenüber den Hauptkrümmungsradien - Elastizitätsgrenze wird nicht überschritten - Nur Normalspannungen auf Druckoberfläche (keine Reibung)

b

z

x

y

a

Berührungsfläche ist im Allgemeinen elliptisch.

( )( )3 11

112

43

21

21)1(rr

EEFa++

⋅⋅−⋅= υ Druckfläche / Berührungsfläche ist ein Kreis mit Radius a.

Kugel gegen Kugel (Hertz)

Druckfläche 2a

F

r2

A

F

A

r1

pmax

z

Maximale Spannung: )0(max =−= zp zσ

( )( )3 211223

211

max

21

21

)1(

6

EE

rrFp+⋅−⋅

+⋅⋅=

υπ ][ 2m

N (?)

a : Radius Berührungsfläche

2,1E : Elastizitätsmoduli der Kugeln

2,1r : Radius der Kugeln

υ : Querkontraktionszahl [] F : Anpresskraft ][N

Eine Kugel gegen eine Platte gepresst: ∞== Platterr2 und mit E1=E2=E: 3)1(5.1 2

ErFa ⋅−⋅= υ 3

)1(5.11

max 2222

υπ −⋅⋅=

rEFp

Eine Kugel gegen die innere Seite einer anderen Kugel gepresst: 02



8) Dünnwandige Träger

Dünnwandige Stäbe Lut s



Momenttabelle W T, IT

dΘdx = Θ' =

MTGIT

, τ max = MTWT

Querschnitt WT IT Bemerkungen

1 Vollkreisquerschnitt πr3

a2

πr 4a2

grösst e Schubspannung amRand r = ra

2 Ellipse a ≥ b πab2

2πa3b3

a2+ b2

grösst e Schubspannung inden Endpunkten der kleinenAchse

3 Quadrat 0.208a3 0.141a4grösst e Schubspannung aus-sen, in der Mitte der Seiten

4dickwandiges

Kreisrohr α = r ira

πr 3a2 (1− α

4 )grösst e Schubspannung amäusseren Rand r = ra

5dünnwandigegeschlossene

Hohlquerschnitte2Amt mi n

(2Am)21t ds

Am = Von der Profil-mitte eingeschlosseneFläche

1t ds = Linienintegra l über

die Profilmittellinie

(für t = const .: 1t ·Umfang)grösst e Schubspannung imdünnensten Querschnittsteil(tmin )

6dünnwandiges

Kreisrohr t = const .2πr 2m t 2πr

3m t

7schmales

Rechtecksrohrt



9) Bolzen und Nietverbindungen



10) Klebverbindungen

Vorteile: Kombination unterschiedlicher Werkstoffe, gute Krafteinleitung, geringes Gewicht, gute Dämpfung, Flüssigkeits-/Gasdicht, Elektrische Isolation. Nachteile: Nur geringer Schälbeanspruchung möglich, Kostenintensive Montage (Härtungserhitzung, Vorbehandlung Fügeteile, Vorrichtungen nötig, …) Unterteilung: Chemisch reagierend (z.B. Epoxi, Polyurethan, …) und physikalisch abbindend (z.B. Schmelzklebstoffe, Polyamid, Thermoplaste, …)

Chemisch reagierende Mechanische Kennwerte üblicher Zweikomponentenklebstoffe (warmhärtende: bessere Eigenschaften!): Kleber-Typ Querkontraktionszahl E-Modul [MPa] Gleitmodul [MPa] Zugscherfestigkeit [MPa] Warmhärtend 0.38 - 0.40 3000 - 4200 900 - 1520 20 - 35 Kalthärtend 0.38 - 0.40 1200 - 2500 1500 - 2500 18 - 25

Schmelz- klebstoffe

Charakteristische Verarbeitungsparameter von Schmelzklebstoffpolymeren: Klebstoff-Grundstoff Erweichungsbereich Schmelzviskosität [s Pa] Verarbeitsungstemp. [°C] Polyamid 95 - 175 1 - 20 120 - 240 Polyester 50 - 230 20 - 2000 150 - 240 Ethylen, Vinyl 90 - 200 20 - 10000 Max. 200

Beanspruchungs-arten

Beanspruchungsarten von Klebverbindungen:

b : Breite der Klebfläche

ül : Überlappungslänge

BS : Sicherheit gegen Bruch

5.35.1 −≈BS

Zug-Druck-Beanspruchung (Spannungsverteilung in der Klebefuge sehr gleichmässig)

üx lb

F

A

F

⋅==σ

B

Bzul S

σσ =≤

F : Zug- oder Druckkraft

xσ : Zugspannung ( zulσ : Zulässige)

Bσ : Zugfestigkeit des Klebstoffs

Scher-beanspruchung

ülb

F

A

F

⋅==τ

B

Bzul S

ττ =≤

Abminderungsfaktoren (Für rechnerische Abschätzung)

Statische Beanspruchungen:

BSBWQrealB Fff τττ 1, ==

Dynamiasche Beanspruchungen:

BATDWQdynB fffff ττ =, Bτ1.0≈

8.0=Qf 66.0=Wf

5.0...2.0=Af

F : Scherkraft

τ : mittlere Scherspannung ( zulτ : uulässige)

B : Zugfestigkeit des Klebstoffs

Bτ : Scherfestigkeit des Klebstoffs Qf : Werkstoffeigenschaften

B

Temp

Tf ττ=

B

schwD

Df ττ=

Überlappungslänge

B

moptü

tRl

τ⋅=,

Für duktile metallische Werkstoffe: B

moptü

tRl

τ⋅=, F

F : Kräfte im Fügeteil: btRF mF =

KF : Kräfte im Klebstoff: üBK blF τ= Klebschichtdicke Die Klebschichtdicke wird vom Hersteller angegeben.

Dünnschicht Epoxid-Harze (Bsp.): mmd 2.0...05.0= Faustformel (Allgemein): max3 Rd ⋅=

t : Fügeteildicke (schmalere) d : Klebschichtdicke

maxR : Maximale Rautiefe

Schäl-beanspruchung

EHb

Fx ⋅

=σK

abszul S

σσ =≤

(Beanspruchungsspitzen treten an der Schälstelle auf)

absσ : Absolute Schälfestigkeit F : Schälkraft EH : Einheitslänge ( mmEH 1= )

xσ : Schälspannung ( zulσ : Zulässige)

KS : Sicherheitsfaktor 2 bis 5

Geometrie der Fügeteile



11) Druckbeanspruchung rotationssymmetrischer Teile

Ebener Formänderungszustand (EFZ)

Länge >> Radius, kein Einfluss der Längskoordinate x und der Umlaufkoordinate, nur Radius!

Längsdehnung Xε überall konstant; Spannung Xσ unbekannt. Ebener Spannungszustand (ESZ) Radius >> Länge, Längsdehnung Xε unbekannt; 0=Xσ .

x

z

r

θ

y

Grundbeziehungen Dehnungen / Verschiebungen / Spannungen

0Xx

uX εε == ∂∂ 0=rθγ

rw=θε 0=rxγ

rrw

r w,== ∂∂ε 0=θγ x

Stoffgesetze (Hooke'sches Gesetz):

)]([1 rXEX σσυσε θ +−= )]([1 XrE σσυσε θθ +−= )]([1 θσσυσε +−= XrEr

Ebener Formänderungs-zustand (EFZ)

0XX εε =

Dehnungen:

−

⋅

−+−+−−

=

0

0

2

21

1)1(

)1(1

X

X

rE

r υευε

σσ

υυυυυυ

εε θθ

Spannungen:

++

⋅

−−

=

−− 0

0

21 1

12

Xr

XE

r υεευεε

υυυυ

σσ θ

υυθ

Differentialgleichung: 02)1(2211

,1

,

2

2 =+−+ − −− ωρυ υυ rwww Errrrr

Ebener Spannungs-zustand (EFZ)

0=Xσ

Dehnungen: )( rEx σσε θυ +−= )(1 θυσσε −= rEr )(1 rE υσσε θθ −=

Spannungen:

⋅

=

−

r

E

r εε

υυ

σσ θ

υθ

1

121

Differentialgleichung: 0211,1

,

2

2 =+−+ − ωρυ rwww Errrrr

Druckbelasteter dickwandiger Zylinder

Druckbehälter mit freier Längsdehnung (im ESZ mit 0=Xσ )

Dehnungen:

Er

r

ppE

pprw aaiai )1(

1

)()1(

1 2

22

22

2 υχχυ

χχ

θε+

−−−

−− +==

Er

r

ppE

pprr

aaiaiw )1(1

)()1(

1, 2

22

22

2 υχχυ

χχε +

−−−

−− −==

( )2212 χχυε − −−= ai ppEx

Spannungen:

2

2

2

2

2

2

11)(

r

rai

pp aai ppχ

χχ

χθσ −−

− −+=

2

2

2

2

2

2

11)(

r

rai

ppr

aai ppχ

χχ

χσ−−

− −−= 0=Xσ

Radiusverhältnis: a

i

rr=χ

(Im ESZ UND EFZ gleichzeitig)

ra

r ipa

p i

Dehnungen:

)]([1 XrE σσυσε θθ +−= )]([1 XrEr σσυσε θ +−= )]([1 rXEX σσυσε θ +−=

Spannungen:

2

2

1 χχσ

−−= ai ppX

υυσ

θυθυεεσ −− ++= 11 )(2

X

rE

υυσ

θυυεεσ −− ++= 11 )(2

X

rE

r

Druckbehälter mit behinderter Längsdehnung

00 =Xε , Xσ unbekannt

Dehnungen:

Er

r

ppE

pp aaiai )1(

1

)()1(

1 2

22

22

2 υχχυ

χχ

θε+

−−−

−− +=

Er

r

ppE

ppr

aaiai )1(

1

)()1(

1 2

22

22

2 υχχυ

χχε +

−−−

−− −=

0=xε

Spannungen:

2

22

22

2

1

)(

1 χχ

χχ

θσ −−

−− += aaiai r

r

pppp

2

22

22

2

1

)(

1 χχ

χχσ

−−

−− −= aaiai r

r

ppppr

2

2

12

χχυσ

−−= ai ppX

Vergleichsspannung Normalspannungs- und Schubspannungshyothese:

rV σσσ θ −= (bei irr = maximal) Xε , θε , rε sind Hauptspannungen für die

entsprechende Hypothese

Druckrohr mit vernachlässigbarem Aussendruck (bei ai pp >> ⇒ 0=ap )

)1( 22

2

2

1 r

ri

ap +=−χχ

θσ )1( 22

2

2

1 r

rir

ap −=−χχσ

Spezialfälle

Freie Längs-ausdehnung: 0=Xσ

behinderte Längsaus-dehnung:

2

2

1

2

χυχσ−

= ipX freie Läng-dehnung mit axialer Last

2

2

1 χχσ−

= ipX

Mit Schubspannungshypothese: F

F

SzuliiriV prrσ

χθσσσσ =≤=−=

−)()()( 21

2 F

F

Sip 2)1( 2χσ −≤

Grenzwertbetrachtung (Extreme Innendrücke erfordern hohe Wanddicken mit ∞→χ ) Für irr = : ip=θσ ir p−=σ 0≈Xσ Mit Schubspannungshypothese: iV p2=σ

p i

pa

r ir a

p i

pa

Dichtungen Stopfbüchsen

r ira

p i

pa



Zylinder unter Aussendruck ( 0=ip , 0=riσ )

)1( 222

211

r

ra

ap ⋅−

+−= χχθ

σ )1( 222

211

r

rar

ap ⋅−

−−= χχ

σ )()( 212χθ

σσ−

== aiV pr

Für extreme Wanddicke ∞→χ : ap2−=θσ , 0=rσ aV p2=σ

Vollwelle unter Aussendruck 21 χθ σσ −

−== apr

Druckbelasteter dünnwandiger Zylinder (Kesselformel n)

Verhältnis von mittlerem Radius rm zur Wanddicke t in der Grössenordnung von > 100.

Man setzt: 222

mia rrr ≈≈ (mit vernachlässigbarem Fehler)

)( aitr ppm −=θσ )(2 ait

rX pp

m −=σ resp.: lrptl m22 =θσ prtr mXm πσπ

22 = σθ

p

t

rm

p

σθ

σx

Rotierende rotationssymmetrische Zylinder

Differentialgleichung Er

b rarw22 1

8

3υρω −−+=

Dehnungen und Spannungen (ESZ) EE

r

r

ppE

pprw raaiai

22

2

22

22

21

82)1(

1

)()1(

1υρωυ

χχυ

χχ

θε −+

−−−

−− −+==

EEr

r

ppE

pprr rw

aaiai22

2

22

22

21

82)1(

1

)()1(

1,3 υρωυ

χχυ

χχε −+

−−−

−− −−==

[ ] )31(82)1(1)()1(11 2222222222 υσ ρωυχχυχχυθ +−+= −−−−− −− rErr ppEppE aaiai [ ] )3(82)1(1)()1(11 2222222222 υσ ρωυχχυχχυ +−−= −−−−− −− rErr ppEppEr aaiai

Schwungscheibe ohne Bohrung ( )0()0( rσσθ = , 0)( =ar rσ )

Differentialgleichung Er

b rarw22 1

8

3υρω −−+=

Dehnungen und Spannungen (ESZ)

Spannungskomponenten: Radialverschiebung:

])31()3[( 2282

rra υυσρω

θ +−+= rrrw a )1]()1()3[(22

8

2

υυυρω −+−+=

)])(3[( 2282

rrar −+= υσρω

0=Xσ

Schwungscheibe mit Bohrung (Innen- und Aussenrand frei von Radialspannungen)

Spannungen ( ) ])31()3[( 2228 2 222 rrr r rrai ai υυσ ρωθ +−+++= ⋅ ( )2228 2 222 )3( rrr r rrair ai −−++= ⋅υσ ρω

Extrem ungünstige Auswirkung der Bohrung auf die Materialbeanspruchung durch das Emporschnellen der Umfangsspannung nach innen im Radius (siehe Bild)

0 50 100 150 200 2500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

r[ m m]

σθ

σr



12) Anhang: Theorie

Entwicklungs-prozess

Planung: Produkt an die Rand- und Rahmenbedingungen anpassen (Umfeld, Unternehmen, Markt). Konzept: Anforderungskatalog in konkrete Vorstellungen über Gestaltung, Werkstoffe, Herstell.-Prozess umsetzen. Vorentwicklung: Ausarbeitung von Konstruktionsvarianten. Detailphase: Dimensionierung der einzelnen Komponenten durch Festigkeits- / Steifigkeitsanalyse.

Bauteil-dimensionierung (7-Schritt-Methode)

1. Betriebszustände bestimmen: Meist Nenn-Belastungszustand, resp. Maximalbelastung Abweichungen der Nennbelastung sind in Betriebsfaktor c zusammengefasst:

nennB FcF ⋅=max mit ≈Bc 41 72.02.0

Ermüdungsnachweis (rechnerisch): Ausfallwahrscheinlichkeit von 1·10-4, Überlebenswahrscheinlichkeit von 95%, Sicherheitsfaktor mind. 1.35. Lastspiele bei Fahrt in Station, Stationsführung und auf der Strecke zusammen, ca.: 5.5·106.



Mögliche Versagensarten (Unter Umständen kann eine plastische Verformung erlaubt sein.)

Fliessen: Belastung an der Beanspruchungsgrenze: Plastische Deformation.

Bruch: Bei z.B. allseitigen Zugspannungen (keine plastischen Bereiche). Belastungsgrenze kann auch durch Verformung gegeben werden.

Zu grosse Gestalterische Restriktion mit benachbarten Deformation: Bauteilen (Wirkflächen), die nur bestimmte Verformung 7 Deformation zulassen.

Instabilität: Vor allem schlanke Bauteile (Knicken) oder axiale Druckspannungen (Beulen).

Werkstoffkennwerte Spannung σ [N/mm ]

Gleichmassdehnung ε

2

Rm

Re

Fliessgrenze

Gleichmassdehnung ε1 2Bruchdehnung

Dehnung ε [-]

Spannungs-Dehnungsdiagramm für Metalle mit ausgeprägter Streckgrenze

eR : Streck-/Fliessgrenze (Zugbeanspr.)

"Fliessbeginn im Zugversuch", früher auch SF σσ ,

2,0pR : 0.2%-Dehngrenze (Zugbeanspr.) Spannung bei bleibender Dehnung von 0.2%

mR : Zugfestigkeit (Zugbeanspr.)

Spannung bei maxF (bez. auf Ausgangsquerschnitt)

edR : Quetsch-/Druckfliessgrenze (Druckbeanspr.)

bFσ : Biegefliessgrenze (Biegebeanspr.)

tFτ : Torsionsfliessgrenze (Torsionsbeanspr.)

sFτ : Scherfliessgrenze (Schubbeanspr.)

sBτ : Scherfestigkeit (Schubbeanspr.)

Werkstofftrennung

kritische Normalspannung

Trennfestigkeit kritσ ⇒> kritσσ Trennbruch (spröd) Kritische Schubspannung krit

τ ⇒> kritττ plastische Deformation (duktil)

Spröd / Duktil

Spröd : Trennfestigkeit überschritten. - Senkrechte Bruchfläche - Keine Verformung - Kündigt sich nicht an.

Duktil : Schubfestigkeit überschritten. - Schräge Bruchfläche - Deutliche Verformung - Kündigt sich an

Mischbruch (Trichterbruch) Bruchverlauf in Abhängigkeit der Beanspruchungsart

Erst duktil: Da Einschnürung und 45° schräger Anris s Dann Trennbruch: In der Mitte infolge mehrachsigem Spannungszustand.

Dauerbruch

Dauerbrüche unterscheiden sich von Gewaltbrüchen dadurch, dass sie in der Regel aus zwei Teilbruchflächen bestehen:

- Dauerbruchfläche: glatte, feine, manchmal blankgescheuerte Zone mit deutlich erkennbaren Rastlinien. Rastlinien entstehen, wenn die Schwingbeanspruchung zeitweilig unterbrochen wird oder nur absinkt, wobei sich die Anrissflächen glätten können.

- Restbruchfläche: Gewaltbruch, spröd oder duktil Bild rechts: Typisches makroskopisches Aussehen einer Schwingbruchfläche; A=Anriss, D=Dauerbruch (oben), G=Gewaltbruch (unten)

Ermüdungsriss (Entstehung)

- Ausbildung von Gleitbändern im Mikrobereich - Austau von Versetzungen an der Oberfläche mit Ausbildung von Gleitbändern in Form von In- und Extrusionen

infolge von Wechselgleitungen. - Entstehung und Ausbreitung von Mikrorissen entlang der Gleitbänder ausgehend von den Intrusionen. - Zyklische Fortpflanzung von Makrorissen über dem Querschnitt senkrecht zur grössten Hauptspannung - Restbruch schliesst sich in Form eines Gewaltbruchs an.



Schadensfall (Vorgehen)

- Bestandesaufnahme

- Schadenshypothesen

Entweder ist Tragwiderstand zu gering, oder die Einwirkung zu hoch.

- Fehlerhaftes Material - Lufteinschluss, Materialfehler - Verunreinigung - Herstellungsverfahren - Zugfestigkeit, Härte, Kerbschlagfähigkeit - Korrosion - Wartung / Inspektion - Montagefehler - Auslegung - Sabotage - Kräfte (Betrieb)

- Vermeidung von weiteren Unfällen

Evtl. neue Richtlinien einführen…



13) Index

7 7-Schritt-Methode..................................15

A Abminderungsfaktoren..........................12 Achsen .....................................................7 Auslastungsgrad...................................15

B Bauteil-dimensionierung.....................15 Beanspruchung (Notation)....................2 Betriebsfaktor.........................................15 Bruch.....................................................16

C Cosinussatz..............................................1

D Dauerbruch ..........................................16 Deformation...........................................16 Dickwandige Zylinder ...........................13 Druckrohr .............................................13 Duktil ....................................................16 Dünnwandige Träger ...............................9

E Entwicklungsprozess............................15 Ermüdungsbeanspruchung.................15 Ermüdungsriss.....................................16

F Festigkeitsrechnung...............................4 Festigkeitswerte .......................................6 Flächenpressung.......................................8 Flächenträgheitsmoment ........................10 Flächenträgheitsmomente 2. Ordnung .....9

Fliessen..................................................16 Fliessgrenze ...........................................16 Formzahl..................................................4

G Gesamtsicherheitsfaktor.........................15 Gestaltänderungshypothese..................3

H Hertz'sche Pressung...............................8

I Instabilität..............................................16

K Kerbe.......................................................4 Kesselformeln ........................................14 Klebschichtdicke....................................12 Klebverbindungen..................................12 Knickspannung (Euler)............................7 Knickung..................................................7

L Lochleibung............................................8

M Mischbruch ...........................................16 Mises........................................................3 Momenttabelle .......................................10

N Nennspannung........................................3 Normalspannungshypothese.................3

Q Quetschen................................................7

R Rastlinien...............................................16 Restbruchfläche.....................................16 Rotationssymmetrischer Teile................13

S Satz von Steiner.......................................9 Scherung.................................................3 Schlankheit..............................................7 Schubspannungshypothese.......................3 Schwingungen..........................................7 Sicherheitsfaktor..................................15 Spannungshypothese..............................3 Spröd.....................................................16 Streckgrenze...........................................16

T Tetmajer Gerade......................................7 Tragfähigkeit ..........................................4 Trennbruch.............................................16 Tresca.......................................................3 Trichterbruch .........................................16

V Vergelichsspannung...............................4 Versagensarten.....................................16

W Wellen......................................................7 Werkstoffkennwerte ............................16 Werkstofftrennung .................................16 Widerstandsmoment........................3, 10

Z Zahnkraft ................................................2

Documents

Formelsammlung Dimensionieren 14 - lookass.chlookass.ch/content_study/Formelsammlung_Dimensionieren... · 2011. 5. 29. · Formelsammlung Dimensionieren I (30 Seiten) Prof. Dr. Paolo