Formalismus der QuantenmechanikMesspostulat, Quantenkryptographie

WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 10. Vorlesung

HilbertraumDer Hilbertraum ist der Raum aller möglicher Zustände

H

beliebiger Zustand (Wellenfunktion) Y

Ein Vektor a kann in einem Koordinatensystem dargestellt werden, (a1,a2,a3).Analog dazu kann ein Zustand in einer Basis dargestellt werden, z.B. Orts- oder Impulsbasis

Zustände und BasisGegeben sei eine vollständige Basis, in der jeder Zustand entwickelt werden kann

Jeder Zustand des Hilbertraums kann in dieser Basis entwickelt werden

Beispiel: Impulsbasis

Operatoren im HilbertraumEin Operator A verschiebt einen Zustand im Hilbertraum

H

Beispiel: Zeitentwicklung der Schrödingergleichung

Finite DifferenzenBetrachten wir eine Wellenfunktion, die nur an bestimmten Orten gegeben ist

OperatorenImpuls- und Hamiltonoperatoren können als Matrizen angeschrieben werden

0

0

Anwenden der Operatoren auf Wellenfunktion entspricht Matrix-Vektorprodukt

Messoperatoren in der Quantenmechanik sind hermitesche Matrizen

Eigenvektoren und EigenwerteEinige Eigenschaften für hermitesche Matrizen

Alle Eigenwerte sind reell

Die Eigenvektoren bilden eine vollständige Basis, das heißt, dass jederbeliebige Vektor als Linearkombination der Eigenvektoren dargestelltwerden kann

Alle Eigenvektoren sind normiert

John von Neumann, Messvorschrift 1932

von Neumannsches MesspostulatJedem Messapparat entspricht ein hermitescher Operator :

(1) die Eigenenwerte dieses Operators sind immer reell(2) die Eigenfunktionen sind vollständig

Ortsmessungen werden durch den Operator x beschrieben, Impulsmessungen durch den Impulsoperator p

Jeder Zustand kann nach diesen Eigenfunktionen entwickelt werden

von Neumannsches MesspostulatJedem Messapparat entspricht ein hermitescher Operator :

(1) die Eigenenwerte dieses Operators sind immer reell(2) die Eigenfunktionen sind vollständig

Beispiel: Impulsbasis

Jeder Zustand kann nach diesen Eigenfunktionen entwickelt werden

von Neumannsches MesspostulatJedem Messapparat entspricht ein hermitescher Operator :

(1) die Eigenenwerte dieses Operators sind immer reell(2) die Eigenfunktionen sind vollständig

Das Betragsquadrat | cl |2 gibt die Wahrscheinlichkeit, den Eigenwert l zu messen

Nach der Messung von l, befindet sich das System im Zustand Yl

von – Neumannsches Messpostulat … Reduktion der Wellenfunktion

Jeder Zustand kann nach diesen Eigenfunktionen entwickelt werden

von Neumannsches MesspostulatJedem Messapparat entspricht ein hermitescher Operator :

(1) die Eigenenwerte dieses Operators sind immer reell(2) die Eigenfunktionen sind vollständig

Das Betragsquadrat | cl |2 gibt die Wahrscheinlichkeit, den Eigenwert l zu messen

… Eigenzustände des Messoperators

… Zustand vor Messung

Messprozess in der QuantenmechanikZusammenfassung des Messprozesses

Kryptographie … Kann man Quantenmechanik benutzen, um Daten sicher zu übertragen ?

Bennett-Brassard-Protokoll BB84Anfang der 80er Jahre erkannte man, dass man mit der Quantenmechanik eineabsolut abhörsichere Datenübertragung erzielen kann

Im BB84 Protokoll wird ein zufälliger Schlüssel zwischen Alice und Bob aus-getauscht, der zur Verschlüsselung von Daten verwendet werden kann

Alice Bob

Informationskanal

0110100... 0110100...Ä

Eve ... eavesdropper

BB84-Protokoll : ZielZiel des BB84 Protokoll ist es, einen zufälligen Schlüssel zwischen Alice und Bob auszutauschen

Es soll verhindert werden, dass Eve den Schlüssel erhält, indem sie die Datenleitungabhört – dazu werden die Eigenheiten der Quantenmechanik ausgenutzt

0

BobAlice 1

0

11

0

1

0

Quantenkanal

Einphotonenquelle Photodetektor

BB84-Protokoll : HardwareBenötigt wird eine Quelle, die einzelne Photonen aussendet, und ein

Detektor für einzelne Photonen

0

Bob

Öffentlicher Kanal

Alice 1

0

11

0

1

0

Å Ä Ä Å Ä ...0 1 1 0 1 ...

Ä Ä Å Å Ä ...1 1 1 0 1 Übereinstimmung in 50%

“ Å Ä Ä Å Ä ... “

Quantenkanal

BB84-Protokoll

Alice sendet die Photonen mit einer zufällig gewählten Polarisation

Bob empfängt die Photonen, indem er die Basis für seinen Detektor zufällig wählt

Am Ende teilen sich Alice und Bob über einen „öffentlichen Kanal“ (z.B. Internet, Telefon)mit, welche der Polarisationsbasen übereingestimmt haben

0

1

0

11

0

1

0

Ä Ä

Eve ... muss Basis raten !

Å Ä Ä Å Ä ...0 1 1 0 1 ...

Ä Ä Å Å Ä ...1 1 1 0 1 Übereinstimmung in 50%

BobAliceQuantenkanal

Öffentlicher Kanal

BB84-Protokoll

Wenn Eve den Kanal abhört, zerstört sie den Quantenzustand – Alice und Bob könnenfeststellen, dass sie abgehört werden

„... einige entschlüsselte Bits““ Å Ä Ä Å Ä ... “

C. Kurtsiefer, P. Zarda, M. Halder, H. Weinfurter, P. M. Gorman, P. R. Tapster & J. G. Garity, Nature 419, 450 (2002).

BB84-Protokoll : ExperimentDas so eine „Quantenkryptographie“ tatsächlich funktioniert, wurde in einer

Reihe von Experimenten gezeigt

Zeilinger-Gruppe Nature 489, 269 (2012).

Experimentieren mit einzelnen Photonen

Nobelpreis 2012

Cavity-QED

Atome, die durch eine Kavität fallen, wechselwirken mit den Lichtmoden.Durch die Wechselwirkung kommt es zu einem Energieaustausch, ähnlich wie bei zwei gekoppelten Pendeln

Gekoppelte Pendel

Eigenmoden

Schwebung

Damit es zu einer Schwebung (Überlagerung von Eigenmoden) kommt, muss die Kopplung stärker als die Dämpfung sein

Lebensdauer von AtomenLebensdauer von Atomen ist durch spontane Emission von Photonen limitiertWigner – Weisskopf – Zerfallsrate

- Lebensdauer von einigen ms- extrem große Dipolmomente

Rydbergzustände : n ~ 50 – 200, semiklassische Zustände

Lebensdauer von KavitätLebensdauer von Kavität ist durch „leaky modes“ und Verluste im Metall limitiert

Durch supraleitende Spiegel (Nb) kann die Photon-Verweildauer (51 GHz) in der Kavität auf ca. 100 ms angehoben werden

0.1 x 300 000 km / s = 30 000 km !!!

Quantum non-demolition measurement (QND)Die Energien von Atomübergang und Photon sind sehr verschieden, dadurchkommt es nur zu einer Phasenverschiebung aber keiner Absorption

Überlagerungszustand

Atom fällt durch Kavität

Rücksetzen des Überlagerunszustandes

Photoionisation

Quantum non-demolition measurement (QND)Die Energien von Atomübergang und Photon sind sehr verschieden, dadurchkommt es nur zu einer Phasenverschiebung aber keiner Absorption

Überlagerungszustand

Atom fällt durch Kavität

Rücksetzen des Überlagerunszustandes

Photoionisation

QND – Messung einzelner PhotonenQuantum jumps of light recording the birth and death of a photon in a cavity

„majority vote“

Gleyzes et. al, Nature 446, 297 (2007).

QND – Messung einzelner PhotonenQuantum jumps of light recording the birth and death of a photon in a cavity

Gleyzes et. al, Nature 446, 297 (2007).

Ensemble Mittelung über (b) 5, (c) 15 und (d) 904 Ereignisse man erkennt, dass der Photonenzerfall exponentiell ist