Hvad ved i om lineære sammenhænge?

Bevis for ligningen en ret linje:

Lineære sammenhænge6. januar 2013

19:56

Forløb med beviser side 1

En ret linje, der ikke er parallel med y-aksen har en

ligning af typen � = �� + �

Konstanten a er grafens hældning og b er

afskæringen på y-aksen.

Bevis:

Forløb med beviser side 2

At afsløre en lineær sammenhæng:

Vi har foretaget en måling af fysiske størrelser og

ønsker at undersøge sammenhængen mellem disse

x 0,4 1,0 2,0 2,9 4,0 4,7 5,0 5,8 6,8 8,0

y 1,9 2,2 2,5 3,0 3,4 3,7 3,6 4,0 4,6 4,9

Dataene indsættes i et koordinatsystem-

Forløb med beviser side 3

Typisk konklusion:○

Da punkterne med god tilnærmelse ligger på

den bedste rette linje, afhænger y med god

tilnærmelse lineært af x med en ligning af

typen � = �� + �

Den bedste rette linje tilføjes.-

To punkter aflæses på den bedste rette linje-a og b beregnes ved -

� =Δ�

Δ�=�� − �

�� − �

� = � − �� = �� − ���

Forløb med beviser side 4

Opgaver:

Side 72, opgave 52.

Side 73, opgave 63.

Side 72, opgave 57.

Forløb med beviser side 5

Problemstilling: Vi ønsker at finde frem til en ukendt

vinkel i en retvinklet trekant.

Sætning 3.1

I en retvinklet trekant ABC gælder:

sin� =�

�=

��������������

����������

Sinus til en spids vinkel i en retvinklet trekant er lig

med den modstående katete divideret med

hypotenusen.

cos� =!

�=

���"#$$����������

�����������

Cosinus til en spids vinkel i en retvinklet trekant er lig

med den hosliggende katete divideret med

hypotenusen.

tan� =�

!=

��������������

���"#$$����������

Tangens til en spids vinkel i en retvinklet trekant er

lig med den modstående katete divideret med den

hosliggende katete.

Vi vil nu kigge på enhedscirklen:

Retvinklede trekanter9. januar 2013

18:30

Forløb med beviser side 6

Vi vil nu kigge på enhedscirklen:

Ud fra enhedscirklen konstruerer vi en retvinklet trekant ABC-Vi ønsker nu at finde sinus, cosinus og tangens.-

Forløb med beviser side 7

Forløb med beviser side 8

Opgaver:

Side 143, opgave 125.

Forløb med beviser side 9

Arealet af en trekant:

Areal af trekant og sinusrelationerne14. januar 2013

21:45

Forløb med beviser side 10

Sinusrelationerne:

I en vilkårlig trekant ABC gælder:

�

sin�=

�

sin'=

(

sin )

Forholdet mellem længden af en side og sinus til

den modstående vinkel er det samme for alle

sider i trekanten.

Vi bruger hvad vi netop har lært om arealet af en

trekant

Forløb med beviser side 11

Forløb med beviser side 12

Find et udtryk for arealet for denne trekant.

Hint: Kig på enhedscirklen

Forløb med beviser side 13

Opgaver:

Side 263 i pdf i fronter

236

237

Opgave 235

Forløb med beviser side 14

Forløb med beviser side 15

Cosinusrelationerne

Cosinusrelationerne:

I en vilkårlig trekant gælder:

(� = �� + �� − 2�� cos+),

�� = �� + (� − 2�(cos+',

�� = �� + (� − 2�(cos+�,

"Den udvidede pythagoræiske læresætning"

Bevis:

Cosinusrelationerne20. januar 2013

22:10

Forløb med beviser side 16

Forløb med beviser side 17

Bestemmelse af vinklen:

Isolér vinklen i ovenstående cosinusrelation-

Forløb med beviser side 18

Forløb med beviser side 19

Forløb med beviser side 20

Bevis for kapitalfremskrivningsformlen:

Kort sprogligt bevis:

Vi vil udføre beregningen

-�..�/ = 0�112/..�/ + 345(26..7//æ0

Kapitalfremskrivningsformlen23. januar 2013

10:21

Forløb med beviser side 21

Forløb med beviser side 22

Forløb med beviser side 23

Forløb med beviser side 24

Gruppearbejde med beviser:

Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 Gruppe 4 Gruppe 5

A Naja Mathias Kathrine Kristine Mathilde

B Michelle Tara Mette Sigrid Anders

C Frederik Sabrina Rune Sofie Tanja

Gruppe 6 Gruppe 7 Gruppe 8 Gruppe 9 Gruppe 10

D Benjamin Hannah Charlotte Esben Celine

E Anna Nikolaj Freja Mia Mikkel

E Stefan Ellen Cecilie

Beviser I skal arbejde med:

Gruppe 1+6: Den rette linjes ligning

Gruppe 2+7: Kapitalfremskrivningsformlen

Gruppe 3+8: Retvinklede trekanter

Gruppe 4+9: Cosinusrelationerne

Gruppe 5+10: Arealet af en trekant + sinusrelationerne

Gruppe arbejde29. januar 2013

09:09

Forløb med beviser side 25