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Fondamenti di Controlli Automatici
1 Temi d'esame
© Politecnico di Torino Pagina 1 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina
Politecnico di TorinoCeTeM
ATTENZIONE: i temi d’esame e gli esercizi proposti riguardano (per ora)solo la parte di analisi di sistemi di controllo; per quanto riguarda ilprogetto, si faccia riferimento agli esercizi proposti nelle schede FCA9,FCA10, FCA11 delle dispense disponibili presso Politeko (l’elencocompleto delle schede utilizzate è riportato all’interno della descrizione delprogramma del tutorato).
Fondamenti di Controlli Automatici
1 Temi d'esame
© Politecnico di Torino Pagina 2 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina
Politecnico di TorinoCeTeM
Temi d’esame ed esercizi di preparazione all’esame
Tema 1
Es.1
Sia dato il seguente sistema elettrico:
y = I1R1 = 2, R2 = 1/4C1 = 1/3 , C2 = 3
Scrivere le equazioni del modello in variabili di stato.
Es.2
Sia dato un sistema a tempo continuo, descritto in variabili di stato dalle seguenti matrici:
[ ] [ ]�������
��
��50 5050
6
151
516
15151
=−−=
=
−−−−
= DCBA
Discutere la stabilità interna (autovalori). Calcolare la funzione di trasferimento fra ingresso euscita, mettendone in evidenza zeri, poli e guadagno stazionario.Calcolare quindi la risposta al gradino per condizioni iniziali nulle.
Es. 3
Data ��
23
310.5)G(
2
2
+++=
ss
sss tracciare i diagrammi di Bode di G(s), e dire per quali valori di K
il sistema è asintoticamente stabile in catena chiusa.
I1
+u
RC C
R
K G(sr +
-
e u y
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1 Temi d'esame
© Politecnico di Torino Pagina 3 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina
Politecnico di TorinoCeTeM
Es. 5
Calcolare la risposta al gradino del sistema descritto dalle matrici A, B, C, D date nell’es.2, per condizioni iniziali nulle.
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1 Temi d'esame
© Politecnico di Torino Pagina 4 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina
Politecnico di TorinoCeTeM
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1 Temi d'esame
© Politecnico di Torino Pagina 5 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina
Politecnico di TorinoCeTeM
Soluzione tema 1
Es. 1
Variabili di stato:x1 e x2 tensioni suicondensatori
Vettore di stato:
2
1
x
x
Dalle relazioni:
22RR21
222111
2111
RI I II
C I C I
IRu
x
xx
xx
=+===++=
�
� ��
considerando I1 come uscita, si ricavano le equazioni del modello in variabilidi stato:
DuCxy
BuAxx
+=+=�
con
=
−−=
=
+−−
−−=
111
21
11
222121
1111
R
1
R
1
R
1
CR
1CR
1
CR
1
CR
1
CR
1CR
1
CR
1
DCBA ��� .
Sostituendo i valori numerici indicati, si ottengono le matrici indicate nell’esercizio 2.
+u
RC C
R
I1
x x
IR
I2
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1 Temi d'esame
© Politecnico di Torino Pagina 6 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina
Politecnico di TorinoCeTeM
Es. 2
Gli autovalori della matrice A sono: λ1 = -1 e λ2 = -2; essendo reali negativi, il sistema èasintoticamente stabile internamente.La funzione di trasferimento può essere calcolata come:
DBAsICs +−= -1)()G(
Si ottiene la funzione G(s) proposta nell’es. 3, avente uno zero in 31�− , unpolo in 1− ed uno in 2− e guadagno stazionario nullo.
Es. 3
Diagrammi di Bode di G(s):
Frequency (rad/sec)
Pha
se (
deg)
; M
agni
tude
(dB
)
Bode Diagrams
-50
-40
-30
-20
-10
0From: U(1)
10-2 10-1 100 1010
20
40
60
80
100
To: Y
(1)
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1 Temi d'esame
© Politecnico di Torino Pagina 7 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina
Politecnico di TorinoCeTeM
Es. 4
La stabilità del sistema in catena chiusa al variare di K può essere valutatasia ricorrendo al criterio di Nyquist (dopo aver tracciato il diagramma diNyquist di G(s)), sia applicando il criterio di Routh al polinomio caratteristicoad anello chiuso, dato da:
2 K)(3 0.5K)(1 K)(322 ++++= sssd �
Poiché il polinomio è di secondo grado, affinché le sue radici siano tutte a parte realenegativa, è sufficiente imporre che tutti i coefficienti siano positivi; si ottiene così che ilsistema in catena chiusa è asintoticamente stabile per K > -2 (naturalmente con K 0≠ ).
Come ulteriore esercizio, si consiglia di ritrovare tale risultato applicando ilcriterio di Nyquist.
Es. 5
La risposta al gradino può essere calcolata agevolmente utilizzando lafunzione di trasferimento calcolata precedentemente. Ricordando che la
trasformata di Laplace della funzione gradino è data da s
1 , la trasformata
della risposta cercata è data da:
23
31.0.5)(
2 +++=
ss
ssy
Scomponendo y(s) in fratti semplici come
++
+=
210.5 )( 3
231
sssy ed
antitrasformando si ottiene:tt eety 2
31
61)( −− += .
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1 Temi d'esame
© Politecnico di Torino Pagina 8 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina
Politecnico di TorinoCeTeM
Tema 2
Es.1
Sia dato il seguente sistema elettrico:
y = I1R1 = 2, R2 = 1/4C1 = 2/3 , C2 = 3, C3=2/3
Scrivere le equazioni del modello in variabili di stato.
Es.2
Sia dato un sistema a tempo continuo, descritto in variabili di stato dalle seguenti matrici:
[ ] [ ]������
�
��
��
50 05050
16
151
500
0516
105151
=−−=
=
−
−−−−
= DCBA
Discutere la stabilità interna (autovalori). Calcolare la funzione di trasferimento fra ingresso euscita, mettendone in evidenza zeri, poli e guadagno stazionario.
Es. 3
+u
RC
C
R
C
I1
K G(sr +
-
e u y
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1 Temi d'esame
© Politecnico di Torino Pagina 9 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina
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Data �)10010(
1005)G(
2 +++=
sss
ss rispondere alle seguenti domande:
1. Tracciare i diagrammi di Bode di G(s)2. Discutere la stabilità in catena chiusa per K = 1, rilevando i margini di stabilità di fase e
di guadagno.3. Dire per quali valori di K il sistema è asintoticamente stabile in catena chiusa.
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1 Temi d'esame
© Politecnico di Torino Pagina 10 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina
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Soluzione tema 2
Es. 1
Variabili di stato:x1, x2, x3 tensioni suicondensatori
Vettore di stato:
3
2
1
x
x
x
Dalle relazioni:
223321
22233111
32111
RI I II
C I CC I
IRu
x
xxx
xxx
=+====
+++=
�
� ���
considerando I1 come uscita, si ricavano le equazioni del modello in variabilidi stato:
DuCxy
BuAxx
+=+=�
con
+u
RC
C
R
C
I1 I2
I3
xx
x
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1 Temi d'esame
© Politecnico di Torino Pagina 11 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina
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=
−−−=
=
−−−
−
+−−
−−−
=
1111
31
21
11
313131
21222121
111111
R
1
R
1
R
1
R
1
CR
1CR
1CR
1
CR
1
CR
1
CR
1CR
1
CR
1
CR
1
CR
1CR
1
CR
1
CR
1
DC
BA
�
��
.
Sostituendo i valori numerici indicati, si ottiene:
[ ] [ ]�������
�
�
�
�
���
���
���
50 505050
750
61
750
750750750
615161
750750750
=−−−=
=
−−−−−−−−−
= DCBA
Es. 2
Gli autovalori della matrice A data sono: -1, -2, -5. Essendo tutti reali negativi, il sistema èasintoticamente stabile internamente.
La funzione di trasferimento può essere calcolata come:
DBAsICs +−= -1)()G(
ottenendo così:
��
23
310.5)G(
2
2
+++=
ss
sss
avente uno zero in 31�− , un polo in 1− ed uno in 2− e guadagno stazionarionullo.
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1 Temi d'esame
© Politecnico di Torino Pagina 12 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina
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Es. 3
Diagrammi di Bode di G(s):
Poiché il sistema è a stabilità regolare, è possibile dedurre l’asintotica stabilitàad anello chiuso per K = 1 direttamente dai diagrammi di Bode, da cui sirilevano i seguenti valori per i margini di stabilità:
margine di fase = 53o
margine di guadagno = 7 dB
Frequency (rad/sec)
Pha
se (
deg)
; M
agni
tude
(dB
)
Bode Diagrams
-150
-100
-50
0
50From: U(1)
10-1 100 101 102 103-250
-200
-150
-100
-50
To: Y
(1)
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1 Temi d'esame
© Politecnico di Torino Pagina 13 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina
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La stabilità del sistema in catena chiusa al variare di K può essere valutatasia ricorrendo al criterio di Nyquist (dopo aver tracciato il diagramma diNyquist di G(s)), sia applicando il criterio di Routh al polinomio caratteristicoad anello chiuso, dato da:
K500 K)5(100 10K)( 23 ++++= ssssd �
Condizione necessaria affinché tutte le radici di tale polinomio siano a partereale negativa è che i suoi coefficienti siano tutti concordi in segno (in questocaso positivi), da cui si ricava la condizione K > 0.Dalla tabella di Routh:
K 500
K 450-1000
K 50010
K51001 +
si ricava che la radici del polinomio d(s,K) sono tutte a parte reale negativa, e quindi ilsistema in catena chiusa è asintoticamente stabile, per 0 < K < 2.22. (Si noti che, aconferma di quanto precedentemente trovato, il valore K = 1 appartiene all’intervallo distabilità).
Come ulteriore esercizio, si consiglia di ritrovare tale risultato applicando ilcriterio di Nyquist.
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1 Temi d'esame
© Politecnico di Torino Pagina 14 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina
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Tema 3
Es. 1
Dato il sistema in retroazione riportato in figura:
verificare l’asintotica stabilità del sistema in catena chiusa. Calcolare quindi il margine di fase ed ilmargine di guadagno, dopo aver determinato la pulsazione di attraversamento.
Es. 2
Dato il sistema in retroazione riportato in figura:
dire per quali valori di K il sistema è asintoticamente stabile in catena chiusa.
0.)1(
10
++ss
s+
-
K5))(s1(
1+−s
+
-
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1 Temi d'esame
© Politecnico di Torino Pagina 15 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina
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Es. 3
Sia dato un sistema a tempo continuo, descritto in variabili di stato dalle seguenti matrici:
[ ] [ ]���� 0 100
1
0
0
111
100
100
==
−=
−−−
= DCBA
Discutere la stabilità interna (autovalori), l’osservabilità e la controllabilità. Determinareinoltre la funzione di trasferimento fra ingresso e uscita.
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1 Temi d'esame
© Politecnico di Torino Pagina 16 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina
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Soluzione tema 3
Es. 1
Si può facilmente verificare che il sistema in catena chiusa è descritto dalla seguente funzione ditrasferimento:
111
1102 ++
+ss
s
�
�
avente due poli a parte reale negativa in 8350550 �� ±− (corrispondenti a ωn = 1 e ζ = 0.55):tale sistema è pertanto asintoticamente stabile.Dai diagrammi di Bode della funzione ad anello aperto, sotto riportati:
si possono leggere i valori richiesti, ovvero:• pulsazione di attraversamento: ωt = 0.78 rad/s• margine di fase: 56o
Frequency (rad/sec)
Pha
se (
deg)
; M
agni
tude
(dB
)
Bode Diagrams
-60
-40
-20
0
20
40From: U(1)
10-2 10-1 100 101 102-160
-140
-120
-100
-80
To: Y
(1)
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1 Temi d'esame
© Politecnico di Torino Pagina 17 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina
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• margine di guadagno: infinito
Es. 2
La stabilità del sistema in catena chiusa al variare di K può essere valutatasia ricorrendo al criterio di Nyquist (dopo aver tracciato il diagramma diNyquist di G(s)), sia applicando il criterio di Routh al polinomio caratteristicoad anello chiuso, dato da:
5K 4 K)( 2 −++= sssd �
Poiché il polinomio è di secondo grado, affinché le sue radici siano tutte a parte realenegativa, è sufficiente imporre che tutti i coefficienti siano di segno concorde (in questocaso positivi); si ottiene così che il sistema in catena chiusa è asintoticamente stabile perK > 5.
Come ulteriore esercizio, si consiglia di ritrovare tale risultato applicando ilcriterio di Nyquist al diagramma di Nyquist della funzione in catena apertasotto riportato:
Es. 3
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
From: U(1)
To: Y
(1)
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1 Temi d'esame
© Politecnico di Torino Pagina 18 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina
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Gli autovalori della matrice A data sono: 0, -0.5000 + 1.3229i, -0.5000 - 1.3229i. Poichéuno solo di essi è nullo, mentre tutti gli altri sono a parte reale strettamente negativa, ilsistema è semplicemenre stabile.La matrice di raggiungibilità del sistema è data da:
−−−
=111
110
110
R
Poiché la matrice ha rango 2, il sistema non è completamente raggiungibile; in particolare, ilsottospazio di raggiungibilità ha dimensione 2.La matrice di osservabilità del sistema è data da:
−−−−=
111
111
100
O
Poiché la matrice O ha rango 2, il sistema non è completamente osservabile; in particolareil sottospazio di osservabilità ha dimensione 2.
La funzione di trasferimento può essere calcolata come:
DBAsI C sG +−= -1)()(
ottenendo così:
2)(
2 ++−=
ss
ssG
(Si noti l’avvenuta cancellazione di una coppia zero-polo in s = 0, corrispondente al modonon osservabile del sistema).
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1 Temi d'esame
© Politecnico di Torino Pagina 19 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina
Politecnico di TorinoCeTeM
Altri esercizi
Risolvere i seguenti esercizi, facendo riferimento alla figura sotto riportata:
Es. A
Data 3
2)1(10)G(
s
ss
+= �, rispondere alle seguenti domande:
1. Con l’ausilio del criterio di Routh, dire per quali valori di K il sistema è asintoticamentestabile in catena chiusa.
2. Tracciare i diagrammi di Bode e di Nyquist del sistema in catena aperta per K = 0.5 efare un’analisi di stabilità del sistema in catena chiusa (se instabile, dire quanti sono ipoli instabili; se stabile, dire quanto valgono i margini di stabilità di fase e di guadagno).
3. Ripetere quanto richiesto al punto 2 per K = 50.
Es. B
Data 317020
50000)G(
2 −+−=
sss , rispondere alle seguenti domande:
1. Tracciare i diagrammi di Bode ed il diagramma di Nyquist di G(s).2. Dire per quali valori di K il sistema in catena chiusa è asintoticamente stabile.
Soluzione es. A
1. La stabilità del sistema in catena chiusa al variare di K può essere valutataapplicando il criterio di Routh al polinomio caratteristico ad anello chiuso, datoda:
K10K 20K 10 s K)( 23���� +++= sssd
K G(sr +
-
e u y
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1 Temi d'esame
© Politecnico di Torino Pagina 20 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina
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Condizione necessaria affinché tutte le radici di tale polinomio siano a partereale negativa è che i suoi coefficienti siano tutti concordi in segno (in questocaso positivi), da cui si ricava la condizione K > 0.Dalla tabella di Routh:
K 0.1
K 0.1-0.02K
K 0.10.1K
.2K01
2
si ricava che la radici del polinomio d(s,K) sono tutte a parte reale negativa, e quindi ilsistema in catena chiusa è asintoticamente stabile, per K > 5.
2. Dai diagrammi di Bode di 0.5 G(s) sotto riportati, si vede che per K = 0.5 il sistema incatena chiusa è instabile (i margini di stabilità sono negativi):
Frequency (rad/sec)
Pha
se (
deg)
; M
agni
tude
(dB
)
Bode Diagrams
-50
0
50
100From: U(1)
10-2 10-1 100 101-300
-250
-200
-150
-100
To: Y
(1)
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1 Temi d'esame
© Politecnico di Torino Pagina 21 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina
Politecnico di TorinoCeTeM
Applicando il criterio di Nyquist al diagramma di Nyquist di 0.5 G(s), si ricava inoltre che ilnumero di poli instabili è pari a due, poiché il diagramma della funzione compie duerotazioni orarie attorno al punto critico –1.
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
From: U(1)
To: Y
(1)
Il punto corrispondente a ω=0- deve essereraccordato al punto simmetrico, corrispondente aω=0+, con tre semicerchi all’infinito, percorsi insenso orario.
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© Politecnico di Torino Pagina 22 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina
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3. Dai diagrammi di Bode di 50 G(s) sotto riportati, si vede che per K = 50 il sistema incatena chiusa è asintoticamente stabile con margine di fase di 68o.
Frequency (rad/sec)
Pha
se (
deg)
; M
agni
tude
(dB
)
Bode Diagrams
-50
0
50
100
150From: U(1)
10-2 10-1 100 101-300
-250
-200
-150
-100
To: Y
(1)
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© Politecnico di Torino Pagina 23 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina
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Il guadagno può essere aumentato a piacimento, continuando a mantenere l’asintoticastabilità del sistema, ma non può essere ridotto al di sotto di 0.1 (confermando così irisultati ottenuti dall’analisi fatta con il criterio di Routh). Tale risultato è ritrovabile anchedall’applicazione del criterio di Nyquist al diagramma di Nyquist di 50G(s), sotto riportato(N.B. la rotazione antioraria attorno al punto –1 è compensata dalla rotazione orariadeterminata dai semicerchi all’infinito):
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
From: U(1)
To: Y
(1)
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1 Temi d'esame
© Politecnico di Torino Pagina 24 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina
Politecnico di TorinoCeTeM
Soluzione es. B
1. Diagrammi di Bode di G(s):
2. Diagramma di Nyquist di G(s):
La funzione G(s) data ha due poli reali, uno negativo (in –6.72) e l’altro positivo (in 4.72).Applicando il criterio di Nyquist al diagramma sopra riportato, si ricava che:
Frequency (rad/sec)
Pha
se (
deg)
; M
agni
tude
(dB
)
Bode Diagrams
-40
-20
0
20
40From: U(1)
101 102 1030
5
10
15
To: Y
(1)
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2From: U(1)
To: Y
(1)
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1 Temi d'esame
© Politecnico di Torino Pagina 25 di 25Data ultima revisione 19/09/00 Autore: Indri Marina
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• per qualunque K > 0, il sistema in catena chiusa presenta un polo instabile (non c’ènessuna rotazione anti-oraria della funzione a compensare il polo instabile già presentead anello aperto);
• per K < -0.0634, il sistema in catena chiusa è asintoticamente stabile (il punto critico diNyquist cade all’interno della curva chiusa antioraria);
• per –0.0634 < K < 0, il sistema in catena chiusa presenta un polo instabile (non c’ènessuna rotazione anti-oraria della funzione a compensare il polo instabile già presentead anello aperto).
È possibile ritrovare l’intervallo di valori di K per cui il sistema in catena chiusa èasintoticamente stabile, considerandone il polinomio caratteristico, dato da:
K500003170 02 K)( 2 −−+= sssd �
Poiché il polinomio è di secondo grado, affinché le sue radici siano tutte a parte reale negativa, èsufficiente imporre che tutti i coefficienti siano di segno concorde (positivo, in questo caso); siritrova così che il sistema in catena chiusa è asintoticamente stabile per K < -0.0634.