Fizikos diferencialinės lygtysStygos svyravimų lygtis 237 35. Šilumos sklidimo lygtis 240 36. Furje metodo bendroji schema 242 37. Begalinė styga 247 38. Ideali baigtinė styga

VILNIAUS UNIVERSITETAS

TEORINĖS FIZIKOS KATEDRA

Juozas Bučinskas

Fizikos diferencialinės lygtys

Mokomoji knyga

Vilnius 2017

2

Leidinį J. Bučinskas. “Fizikos diferencialinės lygtys“ apsvarstė ir rekomendavo spaudai VU

teorinės fizikos katedra (2012-04-XX, protokolas Nr. X-20XX).

Recenzavo: doc. dr. K. Glemža

doc. dr. K. Svirskas

3

Turinys

Pratarmė 5

1 skyrius. Pirmos eilės diferencialinės lygtys

1. Diferencialinės lygties samprata 6

2. Paprasčiausios pirmos eilės diferencialinės lygtys 9

3. Košy uždavinys 15

4. Pirmos eilės diferencialinės lygtys, išsprendžiamos kvadratūromis 19

Uždaviniai 36

Sprendiniai 37

2 skyrius. Aukštesnės eilės diferencialinės lygtys

5. Aukštesnės eilės diferencialinės lygties eilės žeminimas 39

6. Tiesinė n -osios eilės diferencialinė lygtis 46

7. Tiesinės antrosios eilės diferencialinės lygties kanoniniai pavidalai 56

8. Eilučių metodas 60

9. Eilučių metodo taikymas Beselio lygčiai 62

10. Hipergeometrinė lygtis 67

11. Tiesinė n -osios eilės diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais 70

12. Mechaninis osciliatorius 76

Uždaviniai 79

Sprendiniai 80

3 skyrius. Diferencialinių lygčių sistemos

13. Diferencialinių lygčių sistemos samprata 84

14. Diferencialinių lygčių sistemų sprendimo metodai 86

15. Eulerio metodas 92

Uždaviniai 103

Sprendiniai 105

4 skyrius. Vektoriniai laukai

16. Veiksmai su vektoriniais laukais 109

17. Vektorinio lauko linijos 119

18. Veiksmai su Hamiltono operatoriumi 121

19. Vektorinio lauko srautas 125

Uždaviniai 131

Sprendiniai 131

4

5 skyrius. Variacinio skaičiavimo pradmenys

20. Variacinio skaičiavimo samprata 132

Uždaviniai 140

Sprendiniai 142

6 skyrius. Kompleksinio kintamojo funkcijų teorijos pagrindai

21. Kompleksiniai skaičiai 143

22. Kompleksinio kintamojo funkcijos samprata 148

23. Elementarios kompleksinio kintamojo funkcijos 156

24. Analizinės funkcijos integralas 160

25. Teiloro eilutė 164

26. Lorano eilutė 168

27. Reziduumų metodo taikymas skaičiavimuose 176

28. Reziduumų taikymas analizėje 192

29. Furje transformacija 195

30. Laplaso transformacija 204

31. Pirmvaizdžio radimas 215

32. Apibendrintoji daugybos teorema 218

33. Beselio funkcijos Laplaso atvaizdis 222

Uždaviniai 227

Sprendiniai 232

7 skyrius. Fizikinių vyksmų lygtys

34. Stygos svyravimų lygtis 237

35. Šilumos sklidimo lygtis 240

36. Furje metodo bendroji schema 242

37. Begalinė styga 247

38. Ideali baigtinė styga 249

39. Baigtinė styga su disipacija 254

40. Plokštės aušimo uždavinys 257

Literatūra 264

1 priedas. Tikrinių vardų sąrašas 267

5

Pratarmė

Šis fizikos diferencialinių lygčių kursas skirtas VU fizikos fakulteto programų

„Moderniųjų technologijų fizika ir vadyba“ ir „Energetikos fizika“ studentams su susiaurintu

matematinės fizikos metodų dėstymu. Iš studijuojančių šį kursą studentų tikimasi, kad jie yra

išklausę aukštosios matematikos kursą ir yra įsisavinę diferencijavimo ir integravimo

operacijas.

Fizikos diferencialinių lygčių kursas yra skirtas parengti studentus būsimoms teorinių

kursų studijoms. Dėl kurso glaustumo didžiausias dėmesys skirtas paprastosioms

diferencialinėms lygtims, kompleksinio kintamojo funkcijų teorijos pagrindams ir

integralinėms transformacijoms, nes tai yra pagrindas sprendžiant fizikinius vyksmus

aprašančias diferencialines lygtis. Dalykas dėstomas nesilaikant matematinio griežtumo,

pateikiamos tik kai kurių teoremų formuluotės, didžiausią dėmesį skiriant pamatiniams

uždavinių sprendimo metodams.

Gilesniam dalyko supratimui tekste yra pateikta uždavinių sprendimo pavyzdžių, o

skyrių pabaigoje ir uždavinių savarankiškam darbui.

Autorius

6

I skyrius. Pirmos eilės diferencialinės lygtys

1. Diferencialinės lygties samprata

1.1. Paprastosios diferencialinės lygties samprata. Sąryšis, kurio bendras pavidalas

yra

0),...,,,,( )( nyyyyxF (1)

vadinamas n -tosios eilės paprastąja diferencialine lygtimi. Kintamasis x vadinamas

nepriklausomu kintamuoju arba sprendinio )(xyy argumentu, o y - ieškoma funkcija

arba priklausomu kintamuoju. Priimsime, kad funkcija )(xyy ir jos pilnutinės išvestinės

argumento x atžvilgiu )(,...,, nyyy yra apibrėžtos intervale bax , . Funkcija (1) būtinai

turi turėti argumentą )(ny , likę argumentai gali būti ir ne visi. Maksimali išvestinės,

įeinančios į formulę (1), eilė rodo paprastosios diferencialinės lygties eilę. Lygtis vadinama

paprastąja tada, kai lygtyje nėra dalinių išvestinių. Tad (1) išraiška yra bendras neišreikštinis

n -tosios eilės paprastosios diferencialinės lygties pavidalas.

Pavyzdys 1. Tegul turime diferencialinę lygtį

).(shd

d

d

d4

2

22 xxy

x

yx

x

yy

Tai yra antros eilės diferencialinė lygtis.

Diferencialinės lygties (1) sprendiniu vadinama tokia funkcija )(xy , kurią įstačius

į lygtį gauname tapatybę

.,,0))(),...,(),(,( )( baxxxxxF n (2)

Kaip matome, atsakyti į klausimą, ar gautas diferencialinės lygties sprendinys yra teisingas,

nesudėtinga: reikia gautą sprendinį įstatyti į diferencialinę lygtį ir įsitikinti, kad diferencialinė

lygtis tikrai virsta tapatybe.

Diferencialinių lygčių teorijos pagrindinis uždavinys yra rasti diferencialinės lygties

sprendinį. Sprendinio radimo procedūra vadinama diferencialinės lygties integravimu.

Svarbiausi tradiciniai diferencialinių lygčių teorijos uždaviniai yra šie:

1 . Rasti visus diferencialinės lygties sprendinius.

2 . Rasti sprendinius, turinčius tam tikras savybes.

7

3 . Įrodyti, kad egzistuoja sprendinys su tam tikromis savybėmis, kada sprendinio radimo

būdas nežinomas.

Kyla neaiškumas, kiek yra svarbi diferencialinės lygties apibrėžimo sritis, kai

sprendžiame konkrečius uždavinius.


.0)sin()d

d(

d

d))sin()cos((

2

2

xyx

yx

x

yxxx

Nesunku įsitikinti, kad šios lygties sprendiniai yra funkcijos )sin()(1 xxy ir xxy )(2 .

Tiek sprendiniai, tiek pačios lygties sandai yra apibrėžti ).,( x Schematiškai užrašius

šią lygtį pavidalu (1) turime

.0),,,( 321 wwwxF (2)

Čia )(1 xyw , x

xyw

d

)(d2 ,

2

2

3d

)(d

x

xyw . Pastarojoje lygtyje funkcija F turi 4 argumentus

ir yra apibrėžta bet kokioms realioms argumento x vertėms.


.0d

d)1(

d

d)1(

2

2

yx

yx

x

yxx

Diferencialinė lygtis yra apibrėžta ),( x . Funkcijos 1)(1 xxy ir 1

1)(2

xxy

yra šios lygties sprendiniai. Sprendinys 1y apibrėžtas ),( x ir visur tenkina

diferencialinę lygtį. Sprendinys 2y neapibrėžtas taške 1x , todėl funkcija 2y taško 1x

aplinkoje negali būti diferencialinės lygties sprendiniu. Užrašykime diferencialinę lygtį kitu

pavidalu, padauginę ją iš 1

1

x:

.01

1

d

d

1

1

d

d2

2

y

xx

y

x

x

x

yx

Lygties sprendiniai liko tie patys, bet pati lygtis turi neapibrėžtų sandų, kai 1x .

Pavyzdžių 2 ir 3 pagrindu darome prielaidą, kad nėra reikalo nustatinėti, kokioje srityje

apibrėžta funkcija, užrašyta pavidalu (2). Kokioje argumento kitimo srityje sprendiniai yra

apibrėžti paprastai nustatome tada, kai surandame sprendinius. Kai prie išvestinių

diferencialinėje lygtyje esantys daugikliai priklauso nuo argumento, tokios lygties

sprendimas paprastai sudėtingesnis ir gali reikalauti papildomo tyrimo.

8

1.2. Bendrasis, dalinis ir ypatingasis sprendiniai. Tegul turime integralinio

skaičiavimo uždavinį

,d)()( xxfxg

kas atitinka diferencialinės lygties

)(d

)(dxf

x

xg (3)

integravimą:

xxfxg d)()(d

.d)()(

0

Cxxfxg

x

x

(4)

Sprendinys su neapibrėžta konstanta (4) vadinamas lygties (3) bendruoju sprendiniu. Čia C

- bet koks skaičius. Sprendinys su konkrečia konstantos verte 0CC vadinama daliniu

sprendiniu. Dalinio sprendinio grafikas vadinamas integraline kreive. Kaip matome funkcija

(4) aprašo kreivių šeimą. Sprendinys, kurio negalima gauti iš bendrojo sprendinio parenkant

konstantos vertę, vadinamas ypatinguoju sprendiniu.


.0,2 yyy (5)

Nesunku įsitikinti, kad

2)( Cxy (6)

tenkina (5) lygtį. Paėmę 1C iš (6) išraiškos gauname 2)1( xy . Tai yra dalinis (5) lygties

sprendinys. Iš (5) lygties matyti, kad funkcija 0y taip pat tenkina (5) lygtį, bet tokio

sprendinio iš (6) sąryšio, keičiant konstantą C , gauti negalima. Tad 0y yra (5) lygties

ypatingasis sprendinys.

Gamtos moksluose įprasta operuoti įvairių dydžių, charakterizuojančių reiškinius,

pokyčiais. Kiekybiniai tų pokyčių sąryšiai natūraliai veda prie diferencialinių lygčių.

Pavyzdys 5. Bandymais nustatyta, kad palankioje augimui terpėje bakterijų koncentracijos

pokytis per laiko intervalą yra proporcingas jų koncentracijai. Užrašykite proceso lygtį.

Tegul per laiką t bakterijų koncentracija n pakinta dydžiu n . Tada

,knt

n

9

čia k - proporcingumo koeficientas, nustatomas bandymais. Mažinant laiko intervalą, kai

0t turime

.d

dkn

t

n

Pavyzdys 6. Mažas masės m kūnas krenta vertikaliai žemyn. Oro pasipriešinimo jėga

proporcinga greičio kvadratui. Užrašykite judėjimo lygtį.

Ašį x nukreipiame vertikaliai žemyn. Iš antrojo Niutono dėsnio plaukia

.d

d

d

d2

2

2

t

xkmg

t

xm

Pavyzdys 7. Iš vieno taško sklindančią šviesą veidrodis turi atspindėti lygiagrečiu pluoštu.

Užrašykite lygtį veidrodžio formai.

Dekarto koordinačių pradžią pasirenkame taške, kur yra šaltinis. Ašį x nukreipiame

lygiagrečiai atspindėtam pluoštui. Tada

.22 yxx

yy

2. Paprasčiausios pirmos eilės diferencialinės lygtys

2.1. Lygtis su atsiskiriančiais kintamaisiais. Pirmo laipsnio diferencialinę lygtį, kurios

pavidalas

)(

)(

d

d

2

1

yf

xf

x

y (1)

vadinama lygtimi su atsiskiriančiais kintamaisiais. Tai reiškia, kad lygtį galima užrašyti taip,

kad kintamasis y būtų tiktai vienoje lygybės pusėje, o kintamasis x - tiktai kitoje. (1) lygtį

perrašome pavidalu

.d)(d)( 12 xxfyyf (2)

Integruodami gauname

.d)(d)(

00

12 Cxxfyyf

x

x

y

y

(3)

Apatinio integravimo rėžio įskaitymas kairėje ir dešinėje duos tik konstantas. Todėl,

nemažindami bendrumo, galime abiejose (3) lygybės pusėse skaičiuoti neapibrėžtinius

10

integralus, o konstantą C užsirašome patogiausiu pavidalu, vadovaujantis tuo, kokius

tolesnes matematines operacijas reikia atlikti su šiuo objektu. Paprastai rašoma

.d)(d)( 12 Cxxfyyf (4)

Kaip matome, kai lygtyje (1) atsiskiria kintamieji, galima x traktuoti kaip y funkciją

)(yxx . Diferencialinė lygtis su atsiskiriančiais kintamaisiais pavidalo (1) svarbi tuo, kad

sprendžiant sudėtingesnius uždavinius paprastai siekiama užrašyti lygtis tokiu pavidalu, kad

kintamieji atsiskirtų.

Pavyzdys 1. Išspręskite lygtį

1)exp( yxy . (1.1)

Sprendimas. Lygtį perrašome taip:

)exp()d

dyxxy

x . (1.2)

Pažymėję

wxy (1.3)

gauname lygtį su atsiskiriančiais kintamaisiais

)exp(d

dww

x . (1.4)

Atskyrę kintamuosius gauname sąryšį

xww dd)exp( . (1.5)

Suintegravę gauname lygties ((1.4) bendrąjį sprendinį

Cxw )exp( . (1.6)

Išsprendę lygtį (1.6) funkcijos w atžvilgiu ir, rezultatą įstatę į (1.3) sąryšį surandame lygties

(1.1) bendrąjį sprendinį

)ln( xCxy . (1.7)


yyxyxxy ddd 2 . (2.1)

Sprendimas. Lygtyje (2.1) tiesiogiai kintamieji neatsiskiria. Padaliję lygtį iš 2x gauname

0ddd

2

yy

x

xyyx. (2.2)

Dabar nesunku pastebėti, kad lygtį (2.2) galima užrašyti ir taip

02

d2

y

x

y. (2.3)

11

Suintegravę lygtį (2.3) gauname uždavinio (2.1) bendrąjį sprendinį

Cy

x

y

2

2

. (2.4)

Jeigu diferencialinės lygties sprendinį (ieškomą funkciją) pasiseka užrašyti reiškinio, į

kurį įeina integralai nuo žinomų funkcijų, pavidalu, tai lygtis laikoma išspręsta. Tuomet

sakoma, kad sprendinys užrašytas kvadratūromis.


)exp(yxy . (3.1)

Sprendimas. Perrašome lygtį (3.1) pavidalu, leidžiančiu atskirti kintamuosius

22exp

2d

d 222 xxy

xy

x. (3.2)

Pažymėję

wx

y 2

2

(3.3)

gauname lygtį su atsiskiriančiais kintamaisiais

2exp)exp(

d

d 2xww

x. (3.4)

Čia atskyrę kintamuosius ir suintegravę turime lygties (3.4) bendrąjį sprendinį

Cw

x

x

d

2exp)exp(

0

2

. (3.5)

Iš formulės (3.5) suradę funkciją w iš sąryšio (3.3) surandame lygties (3.1) bendrąjį sprendinį

C

xy

x

x

d2

expln2

0

22

. (3.6)

Formulėje (3.6) esantis integralas neišreiškiamas elementariomis funkcijomis. Kadangi

dešinėje lygybės pusėje yra tik žinomos funkcijos, tai turime sprendinio, užrašyto

kvadratūromis, atvejį.

Bendru atveju užrašyti lygties

),( yxfy (5)

sprendinį kvadratūromis (išspręsti lygtį) negalima. Sprendinio algebriniu pavidalu radimo

būdas yra žinomas tik esant tam tikriems funkcijos ),( yxf pavidalams. Paprasčiausius

funkcijos ),( yxf atvejus, kada lygtį (5) galima išspręsti analiziškai, toliau ir nagrinėsime.

12

2.2. Tiesinė pirmos eilės diferencialinė lygtis.

Apibrėžimas. Lygtis, kurios pavidalas yra

)()( xfyxgy (6)

vadinama tiesine pirmos eilės diferencialine lygtimi. Kai 0)( xf lygtis (6) vadinama

homogenine pirmos eilės tiesine diferencialine lygtimi, o kai 0)( xf lygtis (6) vadinama

nehomogenine pirmos eilės tiesine diferencialine lygtimi.

Nesunku įžvelgti, kad tiesinės homogeninės pirmos eilės diferencialinė lygties sprendinį

visada galima užrašyti kvadratūromis. Iš tikro lygtyje

sxgs )( (7)

kintamieji atsiskiria ir jos bendrasis sprendinys turi pavidalą

x

x

gCxs

0

).d)(exp()( (8)

Homogeninės lygties (7) sprendinys (8) netenkina (6) lygties. (6) lygties sprendinį pirmiausia

surasime Bernulio (Jacob Bernoulli, 1654-1705 m.) metodu. Metodo idėja yra ta, kad (6)

lygties sprendinio ieškome pavidalo

),()()( xsxvxy (9)

čia )(xv ir )(xs kol kas bet kokios funkcijos. Kadangi dabar vietoje vienos ieškomos

funkcijos turime dvi )(xv ir )(xs , tai funkcijas )(xv ir )(xs galime susieti kokiu nors

sąryšiu, atsisakydami perteklinės laisvės. Matematiškai tokį sąryšį galima sudaryti bet kokį.

Tačiau mums reikia išspręsti (6) lygtį, todėl sąryšį funkcijoms )(xv ir )(xs sudarome taip,

kad palengvėtų uždavinio sprendimas. Įstatę sąryšį (9) į (6) lygtį gauname:

).()( xfvsxgsvsv (10)

(10) lygtyje sugrupuojame narius:

).())(( xfsxgsvsv (11)

Pareikalavę, kad reiškinys skliaustuose tenkintų sąlygą

,0)( sxgs (12)

(11) lygties sprendinį galime užrašyti kvadratūra

x

x

Cs

fv

0

.d)(

)(1

(13)

13

Lygtis (12) yra tokio pat pavidalo, kaip ir lygties (6) homogeninė dalis, tad ją tenkina

sprendinys (8), kur konstanta C yra bet koks skaičius. Nemažinant bendrumo patogumo dėlei

imame, kad 1C . Surašę viską į (9) išraišką gauname

x

x

x

x

x

xs

fggCxy

000

.d)(

)(d)(expd)(exp)( 1

(14)

Ganėtinai paprastai gavome bendrąjį diferencialinės lygties (6) sprendinį, užrašytą

kvadratūromis. Tačiau Jakobio sugalvotas būdas nėra vienintelis, norint rasti (6) lygties

sprendinį. Kaip jau buvo minėta, pirmos eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygties

(7) sprendinį užrašyti kvadratūromis galima visada ir formulė (8) yra bendra, nes nepriklauso

nuo konkretaus funkcijos )(xg pavidalo.

Surasime (6) lygties sprendinį, naudodami kitą metodą, vadinamą konstantų varijavimo

metodu. Šio metodo idėja yra ta, kad tariame, jog nehomogeninę lygtį (6) tenkina pavidalo

(8) sprendinys, kur vietoje konstantos C yra funkcija )(xC . Tai yra, homogeninės lygties

sprendinys nusako, koks yra bendrojo sprendinio pavidalas. Todėl lygties (6) sprendinio

ieškome pavidalo

.d)(exp)()(

0

x

x

gxCxy (15)

Įrašę išraišką (15) į lygtį (6) ir, atlikę veiksmus, gauname diferencialinę lygtį funkcijos )(xC

atžvilgiu

).()d)(exp)(

0

xfgxC

x

x

(16)

Matome, kad šios lygties bendrasis sprendinys yra

.d

d)(exp

)()(

0

0

C

g

fxC

x

x

x

(17)

Čia brūkšnelis virš simbolio nurodo, kad dydis yra konstanta, kurios vertė išreiškiama

skaičiumi. Įrašę )(xC išraišką (17) į sąryšį (15) vėl gautume (14) formulę.

Konstantų varijavimo metodas svarbus visų pirma tuo, kad jisai pritaikomas ir

sudėtingesniems uždaviniams, kuriuose reikia spręsti aukštesnės eilės tiesines diferencialines

lygtis ar lygčių sistemas. Kita vertus, sprendžiant uždavinius reikia atlikti mažiau operacijų.

14

Iš karto pastebėsime, kad tiesinės nehomogeninės lygties sprendinys (14) turi būdingą

pavidalą, tai yra, jis visada yra tiesinės homogeninės lygties sprendinio ir atskirojo

sprendinio suma. Atskirasis sprendinys nepriklauso nuo integravimo konstantos. Tokia

sprendinio sandara būdinga bet kurios eilės tiesinei diferencialinei lygčiai ar jų sistemai.


.42 2

3

xyyx (4.1)

Sprendimas. Pirmiausia išsprendžiame homogeninę lygtį

02

hh yxy . (4.2)

Atskyrę kintamuosius ir suintegravę gauname

xCyh . (4.3)

Lygties (4.1) bendrojo sprendinio ieškome pavidalo

xxCy )(~ . (4.4)

Įrašę į (4.1) lygtį vietoje y sprendinį (4), gauname diferencialinę lygtį funkcijos )(xC

atžvilgiu

.4)(2 2

3

xxxCx (4.5)

Išsprendę )(xC atžvilgiu ir suintegravę gauname funkciją )(xC

CxxC 2)( . (4.6)

Dabar atskirasis sprendinys

xCxy 2

3

2~ . (4.7)

Matome, kad atskirojo sprendinio sandas su C sukuria vėl homogeninės lygties sprendinį.

Bendrasis lygties (4.1) sprendinys

xCCxyyy h )(2~ 2

3

. (4.8)

Laisvų konstantų sumą patogumo dėlei pažymėjus vienu simboliu C lygties (4.1) bendrasis

sprendinys

2

3

2xxCy . (4.9)


.43

nx

n

x

yy

(5.1)

15

Sprendimas. Homogeninėje lygtyje kintamieji atsiskiria. Jos sprendinys

.3x

Cyh (5.2)

Lygties (5.1) bendrojo sprendinio ieškome pavidalo

.)(

3x

xCy (5.3)

Įrašę išraišką (5.3) į lygtį (5.1) gauname lygtį funkcijos )(xC atžvilgiu

.)4()( 3 nxnxC (5.4)

Suintegravę lygtį (5.4) gauname

CxC n 4 (5.5)

Uždavinio (5.1) bendrasis sprendinys randamas pagal (5.3) formulę

.1

3

nxx

Cy (5.6)

3. Košy uždavinys

3.1. Košy uždavinio samprata. Integruojant n -tosios eilės diferencialinę lygtį

0),...,,,,( )( nyyyyxF (1)

reikia atlikti n integravimo operacijų. Kiekvienos tokios operacijos metu pasirodo po vieną

naują integravimo konstantą. Tad bendrasis sprendinys turės pavidalą

).,...,,,( 21 nCCCxyy (2)

Nusakyti konkrečiam daliniam sprendiniui reikia n papildomų sąlygų. Kai sąlygos užduotos

viename taške 0xx

)1(00

)1(

00

00

)(

....................

,)(

,)(

nn yxy

yxy

yxy

(3)

tai (1) lygties sprendinio radimo uždavinys su sąlygomis (3) vadinamas Košy uždaviniu

(Cauchy A. L.,1789-1857).

16

Aukštesnės negu pirmos eilės diferencialinėms lygtims prasmingas sąlygas galima

užduoti ir ne viename taške. Kai konstantos apskaičiuojamos iš sąlygų intervalo galuose, tai

uždavinys vadinamas kraštiniu uždaviniu.

Pavyzdys. 1: Išspręskite Košy uždavinį

1)(,1 2

eyxy

yy . (1.1)

Sprendimas. Uždavinio lygtis yra su atsiskiriančiais kintamaisiais. Atskyrę kintamuosius

gauname

.d

1

d

2 x

x

y

yy

(1.2)

Suintegravę lygties (1.2) kairiąją pusę pagal y , o dešiniąją pagal x gauname bendrąjį

sprendinį

).ln()ln(1 2 Cxy (1.3)

Pagal uždavinio (1.1) pradinę sąlygą

).ln()ln(11 Ce (1.4)

Iš čia surandame integravimo konstantą

).12exp( C (1.5)

Įrašę integravimo konstantos vertę (1.5) į bendrąjį sprendinį gauname Košy uždavinio

sprendinį

).121exp( 2yx (1.6)

Pavyzdys. 2: Išspręskite Košy uždavinį

.2)0(, yyxy (2.1)

Sprendimas. Uždavinio lygtis yra tiesinė nehomogeninė. Sprendžiame pagal bendrą

schemą: a) išsprendžiame homogeninę lygtį; b) taikydami konstantos varijavimo metodą

surandame atskirąjį sprendinį; c) užrašome bendrąjį sprendinį; d) apskaičiuojame

integravimo konstantą; e) užrašome Košy uždavinio sprendinį.

Homogeninė lygtis

.0 hh yy (2.2)

Jos sprendinys

).exp(xCyh (2.3)

Atskirojo sprendinio ieškome pavidalu

17

).exp()(~ xxCy (2.4)

Į lygtį (2.1) vietoje y įrašę atskirąjį sprendinį (2.4) gauname diferencialinę lygtį funkcijos

)(xC atžvilgiu

.)exp()( xxxC (2.5)

Iš (2.5) lygties surandame funkciją )(xC :

,)exp()1()( CxxxC (2.6)

čia C - integravimo konstanta, skaičius. Įrašę (2.6) į (2.4) gauname bendrąjį sprendinį

1)exp( xxCy . (2.7)

Iš uždavinio pradinės sąlygos surandame integravimo konstantą 1C . Košy uždavinio

sprendinys

1)exp( xxy . (2.8)

3.2. Košy uždavinio sprendinio vienatis.

Teorema 1. Tegul turime diferencialinę lygtį

),(d

dyxf

x

y (4)

ir tegul dviejų kintamųjų funkcija ),( yxf apibrėžta xOy plokštumos kokioje nors srityje D

. Imame bet kokį tašką DyxM ),( 00 . Jeigu egzistuoja taško ),( 00 yxM aplinka , kurioje

funkcija ),( yxf tenkina sąlygas:

1) yra tolydi pagal abu argumentus;

2) turi aprėžtą dalinę išvestinę y

f

,

tai egzistuoja kintamojo x intervalas 0),,( 00 hhxhxx , kuriame egzistuoja

vienintelė funkcija )(xy , tenkinanti lygtį (1) ir tokia, kad 00)( yx .

Teorema 1 nusako reikalavimus, kurių pakanka, kad egzistuotų sritis, kurioje lygtis (1)

turi vienintelį sprendinį. Teoremos 1 reikalavimų patenkinimo pakanka, kad per srities tašką

),( 00 yxM eitų tik viena integralinė kreivė.

Pavyzdys 3. Lygtyje

xyx

y

d

d

funkcija xyyxf ),( apibrėžta visoje xOy plokštumoje ir yra diferencijuojama pagal abu

argumentus. Pagal 1 teoremą per bet kurį plokštumos xOy tašką eina tik viena integralinė

18

kreivė. Išsprendę šią diferencialinę lygtį gauname, kad jos bendrasis sprendinys yra

25.0exp xCy ir tikrai turi reikalingas savybes.

Pavyzdys 4. Lygtyje

3

2

3d

dy

x

y

funkcija 3

2

3),( yyxf apibrėžta visoje plokštumoje xOy . Bet 3

1

2

y

y

f ir matyti, kad

y

f

y 0

lim,

todėl antra teoremos sąlyga neišpildyta. Nesunku įsitikinti, kad lygtį tenkina sprendiniai

.0

,)( 3

y

Cxy

Matome, kad per kiekvieną tašką, esantį ant x ašies, eina bent dvi integralinės kreivės, dėl

to lygties sprendinys ne visur vienintelis.

Pavyzdys 5. Lygtyje

23

1

d

d

yx

y

funkcija 2),( yyxf ir jos išvestinė 32

y

y

f yra trūkios. Galima įsitikinti, kad lygties

sprendinys yra 3

1

)( Cxy ir per bet kurį tašką, netgi esantį ant x ašies, eina tik viena

integralinė kreivė.

Matome, kad teorema 1 iš tikrųjų nusako reikalavimus, kuriuos patenkinus egzistuoja

vienintelis diferencialinės lygties sprendinys. 5 pavyzdys rodo, kad diferencialinė lygtis gali

turėti vienintelį sprendinį ir tuomet, kai 1 teoremos sąlygos nepatenkintos. Tad 1 teoremos

sąlygos nusako reikalavimus, kurių tenkinimo pakanka, kad diferencialinė lygtis turėtų

vienintelį sprendinį.

19

4. Pirmos eilės diferencialinės lygtys, išsprendžiamos kvadratūromis

Pirmos eilės tiesinė diferencialinė lygtis itin svarbi tuo, kad jos sprendinį visada galima

užrašyti kvadratūromis ir kad į tokį pavidalą pavyksta suvesti kai kurias sudėtingesnes lygtis.

Tad tiesinė diferencialinė lygtis yra kaip baigiamasis etapas, ko siekiama įvairiais

pertvarkymais, kai norime išspręsti sudėtingesnę diferencialinę lygtį.

Apibrėžimas. Jeigu galioja sąryšis

),,(),( yxfyxf k (1)

tai funkcija ),( yxf vadinama vienalyte laipsnio k funkcija.

4.1. Lygtis su vienalyte funkcija. Tegul turime pirmos eilės diferencialinę lygtį

).,( yxfy (2)

Svarbus atvejis, kuomet 0k . Tada keitiniu

)()( xxuxy (3)

lygtis suvedama į tiesinę diferencialinę lygtį.

Pavyzdys 1. Išspręskime diferencialinę lygtį

.22

xy

xyy

(1.1)

Sprendimas. Šiuo atveju xy

xyyxf

22

),(

yra nulinio laipsnio vienalytė funkcija, nes

).,()()(

),( 022

022

yxfxy

xy

yx

xyyxf

Įstatę )()( xxuxy į diferencialinę

lygtį

gauname

.1

uux (1.2)

Šioje lygtyje kintamieji atsiskiria, bendrasis integralas

.)ln( 22 Cxu (1.3)

Integravimo konstantą paprastai užrašome tokiu pavidalu, kuris būtų patogiausias sprendžiant

Košy uždavinį. Kaip taisyklė, tai yra pavidalas, kada sprendinys nuo integravimo konstantos

priklauso tiesiškai. Padarę atvirkščią keitinį surandame diferencialinės lygties (1.1) bendrąjį

sprendinį

).ln( 2222 xxCxy

20

4.2. Lygties 222

111

cybxa

cybxay

sprendimas.

Diferencialinėje lygtyje

222

111

cybxa

cybxay

(4)

sąryšiai

0

,0

222

111

cybxa

cybxa (5)

nusako tieses xOy plokštumoje. Tiesės plokštumoje gali sutapti, būti lygiagrečios arba

kirstis. Kai sąryšiai (5) skiriasi tik daugikliu, tai turime atskirą diferencialinės lygties (4)

atvejį

,ky

čia k yra skaičius. Šiuo atveju diferencialinės lygties integravimas elementarus.

Kai tiesės, aprašomos (5) lygtimis, yra lygiagrečios, tuomet

022

11

ba

ba (6)

ir determinanto (6) eilutės yra proporcingos. Tegul )( 1122 ybxaybxa . Lygtis (4)

supaprastinama padarius pakeitimą

.)( 11 ybxaxu (7)

Šiuo atveju lygtį (4) galime užrašyti taip:

.2

111

cu

cubau

(8)

Matome, kad lygtis (8) turi pavidalą, kuris leidžia atskirti kintamuosius ir užrašyti

kvadratūromis bendrąjį sprendinį.

Kai tiesės (5) kertasi

,022

11

ba

ba (9)

tada (4) lygtį užrašome koordinatėse, kurių pradžia yra tiesių (5) susikirtimo taške ( 0x , 0y ).

Naujas koordinates su senomis sieja sąryšiai

).(

,

0

0

yy

xx (10)

21

Įrašę sąryšius (10) į (4) lygtį gauname

.))(()(

))(()(

d

)(d

20202

10101

cybxa

cybxa

(11)

Kadangi 010101 cybxa ir 020202 cybxa , tai iš (11) lygties gauname

.)(

)(

d

)(d

22

11

ba

ba

(12)

(12) lygties dešinė pusė yra nulinio laipsnio homogeninė funkcija. Keitiniu

)()( w (13)

lygčiai (12) suteikiame pavidalą

.)(

)(

d

)(d)(

22

11

wba

wbaww

(14)

Kaip matome, šioje lygtyje taip pat kintamieji atsiskiria, todėl bendrąjį sprendinį visada

galima užrašyti kvadratūromis.


.3

624

yx

xyy (2.1)

Sprendimas. Pirmiausia surandame tašką į kurį reikia perkelti koordinačių pradžią, kad

lygties (2.1) dešinės pusės skaitiklis ir vardiklis neturėtų laisvų narių, nes kaip tik tada lygties

dešinė pusė bus vienalytė laipsnio nulis funkcija. Tam reikia išspręsti lygčių sistemą

.3

,624

00

00

yx

xy (2.2)

Išsprendę sistemą (2.2) gauname

.2,1 00 yx (2.3)

Padarę keitinį

2)(,1 yx (2.4)

Lygčiai (2.1) suteikiame pavidalą

.24

)(

(2.5)

Lygtis (2.5) suvedama į pavidalą, kur atsiskiria kintamieji , padarius pakeitimą

).()( w (2.6)

Įrašę išraišką (2.6) į lygtį (2.5) gauname

.1

24

w

www (2.7)

22

Šioje lygtyje kintamieji atsiskiria

.d

23

d)1(2

ww

ww (2.8)

Suintegravę lygtį (2.8) gauname lygties (2.7) bendrąjį sprendinį

).ln()ln()1ln(2)2ln(3 Cww (2.9)

Panaudoję formules (2.6) ir (2.4) grįžtame prie pradinių lygties (2.1) kintamųjų

.)1()2( 23 xyCxy (2.10)

4.3. Bernulio lygtis. Lygtis

0,1,0,0)()( yxqyxpy (15)

vadinama Bernulio (Jacob Bernoulli, 1654-1705 m.) lygtimi. Lygtį (15) padauginę iš y

gauname

.0,1,0,0)()( 1 xqyxpyy (16)

Kadangi

,)()1()]([ 1 yxyxydx

d

tai pažymėję

1)(xyu (17)

lygtį (16) galime užrašyti taip:

.0,1,0,0)()(1

1

xquxpu (18)

Turime tiesinę nehomogeninę lygtį funkcijos )(xu atžvilgiu. Jos bendrąjį sprendinį visada

galima užrašyti kvadratūromis, o paskui grįžti prie pradinių kintamųjų.

Pavyzdys 3. Išspręskite Košy uždavinį

1)0(,042 33 yyxxyy . (3.1)

Sprendimas. Diferencialinė lygtis yra Bernuli tipo. Padaliję ją iš 3y gauname

042 3

23

x

y

x

y

y. (3.2)

Padarę keitinį

wy

2

1 (3.3)

lygtį (3.2) suvedame į tiesinę nehomogeninę lygtį

23

3422

1xxww . (3.4)

Tolesnis sprendimo kelias yra standartinis: bendrasis lygties (3.4) sprendinys yra

homogeninės lygties ir atskirojo sprendinių suma. Homogeninės lygties sprendinys

)2exp( 2xCwh . (3.5)

Varijuodami konstantą surandame atskirąjį sprendinį

221~ xw . (3.6)

Bendrasis lygties (3.4) sprendinys

22 21)2exp( xxCw . (3.7)

Pagal formule(3.3) surandame lygties (3.1) bendrąjį sprendinį

22 21)2exp(

1

xxCy

. (3.8)

Matome, kad su neigiamu ženklu sprendinys negali patenkinti pradinės sąlygos. Imdami

teigiamą ženklą iš pradinės sąlygos gauname, kad 2C , o Košy uždavinio sprendinys

22 21)2exp(2

1

xxy

. (3.9)

4.4. Rikati (Riccati Jacopo Francesco, 1676 – 1754) lygtis. Diferencialinė lygtis pavidalo

)()()( 2 xRyxQyxPy (19)

vadinama bendrąja Rikati lygtimi. Šios lygties bendrojo sprendinio užrašyti kvadratūromis

bendru atveju, kai )(xP , )(xQ ir )(xR yra bet kokios argumento x funkcijos, negalima. Kai

0)( xP iš (19) lygties gauname tiesinę nehomogeninę diferencialinę lygtį, o kai 0)( xR

(19) lygtis virsta Bernuli tipo lygtimi, kuri taip pat integruojama kvadratūromis. Kuomet

žinome kokį nors dalinį lygties (19) sprendinį, tai kvadratūromis galima užrašyti ir bendrąjį

sprendinį. Tegul funkcija )(1 xy tenkina (19) lygtį. Įstatę į (19) lygtį keitinį

)()(1 xwxyy (20)

gauname

.))()(2)(()(

)()()()]()[()(

12

12

11

wxyxPxQwxP

xRxyxQxyxPxyw

(21)

24

Dėl to, kad funkcija )(1 xy tenkina Rikati lygtį, reiškinys riestiniuose skliaustuose yra lygus

nuliui. Tad gauname Bernulio lygtį funkcijos )(xw atžvilgiu. Kaip išdėstyta aukščiau, jos

sprendinį galima užrašyti kvadratūromis.

Rikati lygtis svarbi tuo, kad į tokį pavidalą gali būti suvesta antros eilės diferencialinė

lygtis

0)()( yxqyxpy (22)

įstačius keitinį

x

x

wxy

0

).)(exp()( (23)

Atlikę veiksmus gauname Rikati tipo diferencialinę lygtį

qpwww 2 . (24)

Atlikę atvirkščią keitinį

)(

)(

xy

xyw

(25)

Iš (24) lygties vėl gauname diferencialinę lygtį (22). Galima pastebėti, kad lygtys (22) ir (24)

nėra ekvivalentiškos, nes lygtis (22) turi sprendinį 0y , o lygtis (24) tokio sprendinio neturi,

nes keitinys (23) niekur nėra lygus nuliui. Tad transformuojant lygtį (22) į Rikati lygtį (24)

prarandamas sprendinys 0y . Tokia situacija yra tipinė, kai keitinio reikšmių sritis

nesutampa su keičiamos funkcijos reikšmių sritimi.


1)( xyayy . (4.1)

Sprendimas. Patikriname, gal lygtis (4.1) turi sprendinį

xy 1 . (4.2)

Įrašę sąryšį (4.2) į lygtį (4.1) gauname

1121 axaxx . (4.3)

Matome, kad lygtis (4.3) patenkinta, kai 1 , tad

xy 1 . (4.4)

Keitiniu

xxwy )( (4.5)

lygtį (4.1) suvedame į Bernuli tipo lygtį

02 awaxww . (4.6)

25

Lygtį (4.6) padaliję iš 2w ir padarę keitinį

w

u1

(4.7)

gauname tiesinę diferencialinę lygtį funkcijos u atžvilgiu

aaxuu . (4.8)

Varijuodami konstantą surandame jos bendrąjį sprendinį

d2

exp2

exp2

exp

0

222

x

x

aaxa

axCu . (4.9)

Panaudoję sąryšius (4.7) ir (4.5) surandame lygties (4.1) bendrąjį sprendinį

.

d2

exp

2exp

0

2

2

x

x

aaC

ax

xy (4.10)

Gavome, kad Rikati tipo lygtis (4.1) turi du sprendinius

.

d2

exp

2exp

,

0

2

2

2

1

x

x

aaC

ax

xy

xy

(4.11)

Pastebėtina, kad Rikati tipo lygtis yra netiesinė, todėl tiesinė sprendinių 1y ir 2y kombinacija

bendru atveju Rikati lygties netenkina.


2

2 2

xyy . (5.1)

Sprendimas. Tikriname, gal lygtis turi sprendinį pavidalo

x

y

1 . (5.2)

Įrašę sąryšį (5.2) į lygtį (5.1) gauname

22

2

2

2

xxx

. (5.3)

Sprendinys (5.2) tenkina lygtį, kai

022 . (5.4)

26

Lygties (5.4) sprendiniai

}2,1{ . (5.5)

Už lygties (5.1) sprendinį pavidalo (5.2) galima imti su bet kuria verte. Apibrėžtumo dėlei

imame 1 , tad

x

y1

1 . (5.6)

Lygties (5.1) sprendinio ieškome pavidalo

x

wy1

. (5.7)

Įrašę keitinį (5.7) į lygti (5.1) gauname Bernuli tipo lygtį

02 2 wwx

w . (5.8)

Išsprendę šią lygtį gauname

3

2

3

3

xC

xw

. (5.9)

Pagal (5.7) ir (5.6) formules lygtis (5.1) turi du sprendinius

.1

3

3

,1

3

2

2

1

xxC

xy

xy

(5.10)

Jeigu imtume 2 , sprendiniai atrodo kitaip:

.

2

3

1

,2

42

1

xxxC

y

xy

(5.11)

Keitiniu (25) Rikati tipo lygtį (5.1) galima suvesti į tiesinę

022

wx

w . (5.12)

Tai Eulerio tipo lygtis. Jos bendrasis sprendinys

x

CxCw 22

1 . (5.13)

4.5. Tiesinė diferencialinė forma. Tegul turime reiškinį

n

j

jnj xxxxM1

21 .0d),...,,( (26)

27

Reiškinys, kuris yra tiesinis į jį įeinančių diferencialų atžvilgiu ir turi pavidalą (26),

vadinamas tiesine diferencialine forma. Mums labai svarbus dviejų kintamųjų atvejis

.0d),(d),( yyxNxyxM (27)

Čia kintamieji x ir y traktuojami kaip lygiaverčiai. Šią lygtį galima užrašyti ir taip

),(

),(

d

d

yxN

yxM

x

y (28)

arba

.),(

),(

d

d

yxM

yxN

y

x (29)

Taigi tiesinė diferencialinė forma (27) yra ekvivalentiška paprastajai diferencialinei lygčiai.

Tegul turime dviejų kintamųjų funkciją

.0),( yxU (30)

Jos diferencialas

.0d),(

d),(

y

y

yxUx

x

yxU (31)

Tiesinė diferencialinė forma (27) yra pilnutinis diferencialas, jeigu

.),(),(

x

yxN

y

yxM

(32)

Remdamiesi (31) formule, galime užrašyti tiesinės diferencialinės formos (27) bendrąjį

integralą

).(d),( 1 yCxyxMU (33)

Čia integravimo konstanta gali priklausyti nuo kintamojo y , kaip ir nurodyta (33) išraiškoje.

Kadangi

),,( yxNy

U

(34)

tai, įstatę čia (33) išraišką, gauname lygtį, iš kurios surandame funkciją )(1 yC

).,()(d),( 1 yxNyCxyxMy

(35)

Matome, kad

.d),(dd),()(1 CxyxMy

yyyxNyC

(36)

Įrašę (36) sąryšį į (33) išraišką gauname tiesinės diferencialinės formos (27) bendrąjį

integralą

28

.0d),(dd),(d),(

CxyxM

yyyyxNxyxM (37)

Pavyzdys 6. Išspręskite diferencialinę lygtį

.0d)36(d)223( 22 yxxyxxxyy (6.1)

Sprendimas. Patikrinę aptinkame, kad diferencialinės formos daugikliai prie diferencialų

tenkina (32) sąlygą, dėl to lygtis (6.1) yra pilnutinis diferencialas kokios tai funkcijos

0),( yxU . Pagal formulę (33)

).(3

)(d)223(

222

2

yCxyxxy

yCxxxyyU

(6.2)

Pagal (35) formulę

.36)()3( 2222

xxyyCxyxxy

y (6.3)

Iš čia gauname lygtį funkcijai )(yC

.3)( yC (6.4)

Suintegravę lygtį (6.4) ir, rezultatą įrašę į (6.2) sąryšį, lygties (6.1) bendrąjį integralą galme

užrašyti taip:

.033 222 Cyxyxxy (6.5)

4.6. Integruojančio daugiklio metodas. Kai tiesinė diferencialinė forma (23) nėra pilnutinis

diferencialas, tada sąryšis (27) negalioja ir 3.5 punkte aprašytas diferencialinės formos

integravimo būdas negali būti pritaikytas tiesiogiai. Galima pabandyti surasti diferencialinės

formos (23) bendrąjį integralą tuo atveju jeigu pavyksta surasti tokią funkciją ),( yx , iš

kurios padauginus tiesinę diferencialinę formą (23) pastaroji tampa pilnutiniu diferencialu,

tai yra

.),(),(),(),( yxNyxx

yxMyxy

(38)

Funkcija ),( yx , iš kurios padauginus tiesinę diferencialinę formą (23) pastaroji tampa

pilnutiniu diferencialu, vadinama integruojančiu daugikliu.

Sąryšis (38) yra lygtis funkcijai ),( yx rasti. Bet ši lygtis yra sudėtingesnė, negu kuri

nors iš lygčių (28) ar (29), nes į ją įeina dalinės išvestinės. Sprendžiant konkretų uždavinį

žinome funkcijas ),( yxM ir ),( yxN , o neretai ir tiriamo reiškinio būdingus bruožus. Kai

kada tai leidžia iškelti hipotezę, nuo kokios argumentų kombinacijos ),( yxg gali priklausyti

29

sprendinys. Tad į funkciją ),( yx galima žiūrėti kaip į sudėtinę funkciją )),(( yxg . Įrašę

šitokio pavidalo funkciją į (38) lygtį gauname

.x

N

x

g

gN

y

M

y

g

gM

(39)

Taikymams šią lygtį patogiau užsirašyti taip:

.1

x

gN

y

gM

y

M

x

N

g

(40)

Jeigu reiškinį dešinėje (40) lygties pusėje pavyksta užrašyti pavidalu

)),,(( yxgF

x

gN

y

gM

y

M

x

N

(41)

tai (40) lygtis virsta paprastąja diferencialine lygtimi

).(1

gFg

(42)

Šioje lygtyje yra vienintelis argumentas g , tad dalinė išvestinė sutampa su pilnutine. (42)

lygties bendrasis integralas

).d)(exp( ggFC (43)

Kadangi funkcija į lygtį (38) įeina kaip daugiklis, tai, nemažinant bendrumo, formulėje

(43) galima imti 1C .

Jeigu (40) lygties dešinei pusei nepavyksta suteikti pavidalo )),(( yxgF , šitai

interpretuojame, kad pavidalo )),(( yxg su konkrečia ),( yxg išraiška integruojančio

daugiklio lygčiai (27) neegzistuoja. Belieka kurti ir tikrinti kitą hipotezę.


.0d2d12

2

y

y

x

y

xxyx

y

x (7.1)

Sprendimas. Patogumo dėlei pažymime

.2,12

2

y

x

y

xxyN

y

xM (7.2)

Apskaičiuojame išvestines:

30

.21

2,22 y

x

yyN

xy

xM

y

(7.3)

Matome, kad sąlyga (32) nepatenkinta ir diferencialinė forma (7.1) nėra pilnutinis

diferencialas. Apskaičiuojame formulės (40) skaitiklio reiškinį

2

12

y

x

yy

y

M

x

N

. (7.4)

Matome, kad reiškinys (7.4) toks pat, kaip ir x

N. Dabar lygtį (35) mūsų atveju galime užrašyti

taip:

.1

x

gN

y

gM

x

N

g

(7.5)

Matome, kad tada, kai )(xgg , lygties (7.5) dešinė pusė priklauso tik nuo x . Paprasčiausiu

atveju paėmę

xg , (7.6)

integruojančiam daugikliui gauname lygtį

.11

xx

(7.7)

Kai kitų kintamųjų nėra, tai dalinė išvestinė be išlygų sutampa su pilnutine ir lygtis (7.7) yra

paprastoji diferencialinė lygtis. Jos sprendinys

.1

x (7.8)

Padauginus iš šio daugiklio diferencialinė forma (7.1) tampa pilnutiniu diferencialu

0d1

2d11

2

y

y

x

yyx

yx (7.9)

ir yra lengvai integruojama 5 punkte išdėstytu būdu:

),()ln(

)(d11

yCy

xx

yCxyx

U

(7.10)

Pritaikę sąlygą (34) surandame integravimo konstantą

,1

2)(y

yyC (7.11)

31

CyyyC )ln()( 2 . (7.12)

Diferencialinės formos (lygties) (7.1) bendrasis sprendinys

0)ln(2 Cxyy

xy . (7.13)

4.7. Parametrizavimo metodas. Tegul turime pirmos eilės paprastąją diferencialinę lygtį

bendriausiu pavidalu

.0),,( yyxQ (44)

Tarkime, kad mums pavyko surasti tokias funkcijas

),,(),,(),,( 321 yyx (45)

Kad, įstatę jas į (44) lygtį, gauname tapatybę, t. y.,

.0)),(),,(),,(( 321 Q (46)

Dalinis diferencialinės lygties sprendinys )(xy atvaizduoja tašką ant argumentų ašies x

į tašką ant y ašies. Sąryšiai (45) atvaizduoja dvimatę sritį į vienmatę ir neužtikrina, kad bet

kokioms ir vertėms surastos atvaizdų x ir y vertės priklausys kuriai nors lygties (44)

integralinei kreivei. Tad reikalingas sąryšis tarp kintamųjų ir , kad jų verčių pora

nusakytų tašką ant integralinės kreivės. Kol kas kintamieji ir yra lygiateisiai. Iš formulių

(45) paskutinį sąryšį užrašome taip:

,d),(d 3 xy (47)

o diferencialus xd ir yd apskaičiuojame iš pirmųjų dviejų sąryšių:

.d),(

d),(

d

,d),(

d),(

d

22

11

y

x

(48)

Įrašę sąryšius (48) į (47) formulę gauname tiesinę diferencialinę formą

.dddd 113

22

(49)

Šią diferencialinę formą galime užrašyti diferencialinės lygties pavidalu už nepriklausomą

kintamąjį imant arba . Už nepriklausomą kintamąjį paėmę , gauname

.d

d

13

2

213

(50)

32

Lyginant lygtis (44) ir (50) matome, kad šio to pasiekti pavyko, nes (50) formulėje

diferencialinė lygtis jau turi normalinį pavidalą (išspręsta aukščiausios eilės išvestinės

atžvilgiu).

Jeigu (50) lygties išspręsti kvadratūromis nepavyksta, vis tik šis pavidalas yra

standartinis, jeigu norime pritaikyti skaitinio sprendimo metodus. Košy uždavinio

formulavimui reikalingos pradinės parametrų ir vertės. Jos surandamos išsprendus

algebrinių lygčių sistemą

).,(

),,(

20

10

y

x (51)

Bet kuris šios sistemos sprendinys ),( 00 gali būti panaudotas suformuluojant Košy

uždavinį (50) lygčiai.

Daug daugiau pasiekti pavyksta tuomet, kai lygtį (44) galima išspręsti x ar y atžvilgiu.

Tegul (44) lygtį išsprendėme x atžvilgiu

).,( yygx (52)

Pažymėję

,d

dp

x

y (53)

iš (52) sąryšio gauname

).,( pygx (54)

Funkcijos y parametrinę išraišką surandame iš (53) lygties, perrašę ją diferencialinės formos

pavidalu

.ddd

p

p

gy

y

gpy (55)

Jeigu pavyksta surasti šios lygties bendrąjį sprendinį

),,( Cpgy (56)

tai (54) ir (56) formulės nusako diferencialinės lygties (44) sprendinį parametriniu pavidalu.

Kai (44) lygtį galima išspręsti y atžvilgiu, tuomet į (53) lygtį įstatome atitinkamą y

diferencialo išraišką.

Pavyzdys 8. Išspręskite Košy uždavinį

.0)0(),ln(2 yyyxy (8.1)

Sprendimas. Įvedame parametrą

py . (8.2)

33

Įrašę sąryšį (8.2) į lygtį gauname

)ln(2 pxpy . (8.3)

Gavome, kad y yra argumento x ir parametro p funkcija. x kaip parametro p funkciją

surandame iš (8.2) lygties, užrašę ją kaip diferencialinę formą

yp

x d1

d . (8.4)

Įrašę čia y išraišką iš (8.3) gauname

p

pxppx

px d

1d2d2

1d . (8.5)

Padaliję (8.5) lygtį iš pd gauname tiesinę nehomogeninę lygtį

2

12

d

d

pp

x

p

x . (8.6)

Šios lygties bendrasis sprendinys

pp

Cx

12 . (8.7)

Sąryšiai (8.3) ir (8.7) yra lygties (8.1) sprendinys parametriniu pavidalu. Į sąryšį (8.3) įrašę

užduoties pradines sąlygas turime

)ln(00 00 pp . (8.8)

Lygties (8.8) sprendinys

10 p . (8.9)

Į sąryšį (8.7) įrašę 0pp ir pradinę x vertę surandame integravimo konstantą

1C . (8.10)

Košy uždavinio sprendinys

.1),ln(2

112

ppxpy

ppx

. (8.11)

Matome, kad sprendinys parametriniu pavidalu natūraliai užduoda ir sprendinio skaičiavimo

tvarką: iš pradžių surandame x vertę, o paskui y . Sprendinio verčių skaičiavimo tvarka,

bendru atveju, priklauso nuo uždavinio.


.1

yyxy

(9.1)

34

Sprendimas. Įvedame parametrą

py . (9.2)

Įrašę sąryšį (9.20 į lygtį (9.1) gauname

.1

pxpy (9.3)

Iš (9.2) lygties

yp

x d1

d . (9.4)

Įrašę čia y išraišką iš (9.3) gauname

p

pxppx

px d

1dd

1d

2. (9.5)

Sutraukę panašius narius gauname diferencialinę lygtį

0d13

p

pp

x. (9.6)

Lygtis (8.6) patenkinta, kai

0d p . (9.7)

013

pp

x. (9.8)

Gavome diferencialinę lygtį (8.7) ir algebrinę lygtį (8.8). Diferencialinės lygties (8.7)

sprendinys

1Cp . (9.9)

Kartu (9.3) ir (9.9) sąryšiai nusako lygties (9.1) bendrąjį sprendinį. Šiuo atveju patogu

sprendinį užrašyti eliminavus parametrą p

.1

11

CxCy (9.10)

Sprendimo eigoje pasirodžiusi algebrinė lygtis (9.8) nusako ypatingąjį sprendinį. Išsprendę

lygtį (9.8) parametro atžvilgiu ir gautą išraišką įstatę į lygtį (9.2) turime

x

y1

. (9.11)

Atskyrę kintamuosius ir suintegravę gauname

Cxy 2 . (9.12)

35

Įstatę ypatingą sprendinį į lygtį (9.1) gauname, kad lygtis patenkinta, kai 0C . Lygties (9.1)

sprendinys

.2

,1

11

xy

CxCy

(9.13)

Gavome, kad lygtis turi du sprendinius - bendrąjį ir ypatingąjį.

36

Uždaviniai

1) xyy 2 2) 0d)(ctgd)(tg yxxy 3) )exp(yy

4) )sin(yy 5)

0d)(d)( 22 yyxyxxxy

6) xyy )1(

7) )sin(xyy 8) yxy 9) )exp(xyy

10) xxyy 3 11) 22 xyyx 12) )exp(2 2xxxyy

13) 34)1( 2 xyyx 14) )(sin)cos()sin( 3 xyyxx 15) 0)cos(2)1( 2 xxyyx

16) 0)2(

),exp())(1(

y

xyyx 17)

)2ln()1(

,exp

y

xyxyy 18)

11

),exp(22

y

xxyyx

19)

d

)()(

1

2

xy

xxy 20)

)1(

,sec

y

xyxyxy 21) )cos(

d

dyx

x

y

22) yyxyxxy ddd 2 23) 1)(2 yyxxy 24) yyxyx ))ln((

25) 3d

d

yx

y

x

y

26) 22 xyyyx ,

0)1( y

27) 01)1( 22 xyyyx

28) 3xyxyy 29) )ln(2 xxyyyx 30) 0)1( 2 yxyy

31) yxyyyx 2)sin(3 32) yxyy 33)

)0(

,d)(sec2d2d 2

y

yyxyyxxy

34)

342d

d)12( yx

x

yyx

35) 4

2

d

d

xy

yx

x

y 36)

52

42

d

d

yx

xy

x

y

37) yyxyxy 4 38) 0d)d2( yyxyx- 39) 0)d2(d yxxyxy

40) 0d)(sin

d1))2sin((

22

2

yxyx

xyxy

41)

)cos(

)cos()sin(

yxx

yxxyxy

42) 2)1(

,0d2d)3( 22

y

xxyyxy

43) 0d1)(

d)(1

22

22

yyyxx

xyxyx 44)

0)(

)(

22

22

xaxy

yyaxy 45)

1)0(,0d))exp(

1())dexp(2(

yyxyx

xxyyx

46) 0d))ln(

)(ln(d

yy

xxxy

47) 0d

d)1(2

2

2

yyx

xyxx

48) yxyx

xxyy

d))exp()exp(2(

3)d)exp()(exp(

49) yyyx

xy

d)sin())cos(2(

d)cos(

50)

0d

)d))cos(sin(-cos(y)3( 2

yx

xyyx 51)

0d

)d))cos(sin(-cos(y)3( 2

xx

yyyx

37

52) 02 yyxyx 53) 0)(2 yyaxy 54) 0)sin(2 yyy

55) 022 yyxyx 56) 0543 yyxyy 57) 0449 232 yxyxyy

Sprendiniai

1) 2exp xCy 2) Cxy )cos()sin( 3) 0)exp( Cxy

4) )exp(arctg2 xCy 5) 1)1( 22 xCy 6) 2exp1 2xCy

7) )cos()sin()21(

)exp(

xx

xCy

8) xxCy 1)exp( 9) )exp()exp( xxxCy

10) 23 xCxy 11) 2

2 4

1x

x

Cy 12)

)exp()2(

)exp(

22

2

xx

xCy

13)

222 )1())3(( xxxCy

14) )sin()(tg xxCy 15) )1())sin(( 2 xxCy

16) )1ln()exp( xxy 17)

)ln(

2

1ln xxy 18) )exp(

1122

xxx

ey

19) xxy 22 20) 1sinexp

x

yx 21) C

yxx

2ctg

22) Cxxyy )2( 23) Cxxy 23)( 23 24) Cyyyx )ln(exp

25) 3)21( yCyx 26)

1,1)2( CCxCxxy

27) 0)21( 22 Cyxyx

28) )exp(1

12

2

xCy

29)

)(ln)21(

112 xCx

y

30) )2(2

)1(2

xxC

xy

31) )cos(

2

yC

yx

32)

2

22

exp

x

xCy

33)

2

|))cos(ln(|1

)(tg

y

yyx

34)

)25exp()7105(

)105exp(2

xCyx

yx

35)

Cyxxyyx 422

1

2

1 22

36) 3)1()3( yxxyC

37) Cxyxy )2()2( 3 38)

xy

xCxy exp 39)

x

yCy exp

38

40) 0)2cos()21(

)21(

Cxy

yxxy

41) Cyxx )sin( 42)

3

822

3

xy

y

43) Cyx

xy

y

x

ln

44)

Cxyayx )(2)( 22222

45) 2)exp(2 xyxy

46) yCyx )1exp(

47) 3

2

22 )(2

3

xCxy 48)

Cyx

xyyx

23

)exp()exp(

49) Cyyx )2cos(2

1)cos( 50) 0)(tg3 Cyxx 51)

))cos()sin((3exp(

,0d)()cos(

)sin()cos(2

3

2

)(

2

2

yyy

Cyyy

yyx

yx

52) pCpx

ppxy

1exp

),(

2

2

53)

2

11

))(41(

),(

axy

CaxCy

54)

)cos(

,)sin()cos(

2 ppy

Cpppx

55) )2exp()(

,2

ppCx

ppy

56)

pCy

pyypx

,)( 453

57) )94(4

,)4(9

223

2222

pxpxy

pCpx

39

II skyrius. Aukštesnės eilės diferencialinės lygtys

5. Aukštesnės eilės diferencialinės lygties eilės žeminimas

Kaip jau buvo minėta, diferencialinės lygties sudėtingumo itin svarbi charakteristika yra

lygties eilė. Kuo žemesnė lygties eilė, tuo daugiau būdų žinome, kaip surasti sprendinį

algebriniu pavidalu. Jeigu pavyksta diferencialinės lygties eilę pažeminti, tai dažniausiai

reiškia, kad uždavinys supaprastėjo. Žemos eilės lygties atveju tai gali būti didelis

pasiekimas. Kita vertus, jau žinome, kad tiesinę antros eilės diferencialinę lygtį galima

transformuoti į netiesinę pirmos eilės Rikati diferencialinę lygtį. Šiuo atveju eilės

pažeminimas nepalengvina sprendinio radimo, kadangi gauname nežinia kaip bendru atveju

sprendžiamą netiesinę lygtį. Matome, kad labai svarbus dalykas sprendžiant apie

diferencialinio skaičiavimo uždavinio sudėtingumą yra ir tai, kokiu pavidalu ieškomoji

funkcija įeina į diferencialinę lygtį. Bendru atveju n -osios eilės paprastoji diferencialinė

lygtis turi pavidalą

.0),...,,,( )( nyyyxF (1)

Pirmas svarbus klausimas yra ar galima lygtį (1) išspręsti aukščiausios eilės išvestinės

)()( xy n atžvilgiu. Jeigu lygtį pavyksta užrašyti pavidalu

),,...,,,( )1()( nn yyyxfy (2)

tai sakome, kad diferencialinė lygtis yra užrašyta normaliniu pavidalu. Bendri metodai, kaip

išspręsti (1) arba net (2) lygtį nėra žinomi. Todėl yra labai svarbūs daliniai atvejai, kada

uždavinį (1) pavyksta supaprastinti. Čia pastebėsime, kad skaitiniai metodai n -osios eilės

diferencialinei lygčiai spręsti paprastai kuriami lygtims, užrašytoms normaliniu pavidalu (2).

Kai tenka naudoti skaitinio sprendimo metodus, lygties (1) užrašymas pavidalu (2) jau yra

reikšmingas pasiekimas ieškant diferencialinės lygties (1) sprendinio.

5.1. Paprasta diferencialinės lygties eilę pažeminti, kai lygtis turi pavidalą

0),...,,,( )()1()( nkk yyyxF . (3)

Keitiniu

wy k )( (4)

lygties eilę pažeminame per k vienetų.


40

21 yy (1.1)

Sprendimas. Žeminame eilę keitiniu

wy . (1.2)

Įrašę keitinį (1.2) į diferencialinę lygtį (1.1) gauname paprastesnę lygtį

21 ww , (1.3)

kur kintamieji atsiskiria

xw

wd

1

d

2

. (1.4)

Suintegravę ir išsprendę funkcijos w atžvilgiu gauname

)(sh 1Cxw . (1.5)

Šį reiškinį įstatę į lygtį (1.2) integruodami gauname bendrąjį lygties (1.1) sprendinį

321)(sh CxCCxy . (1.6)

5.2. Kai diferencialinė lygtis tiesiogiai nepriklauso nuo argumento x ir turi pavidalą

0),...,,( )()1( nyyyF , (5)

eilę vienetu pažeminame padarę keitinį

)()()1( ywxy . (6)

Taip lygtimi (5) nusakytą funkciją atvaizduojame kaip kintamo dydžio y funkciją.

Skaičiuojame kitas išvestines ir keičiame diferencijavimo argumentą į y . Antroji išvestinė

y

ww

x

y

y

w

y

y

x

wxy

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d)()2( . (7)

Gavome formulę

y

ww

x

w

d

d

d

d . (8)

Trečioji išvestinė

2

22(2)(2))3(

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d)(

y

ww

y

ww

y

y

x

y

y

y

x

yxy

(9)

ir taip toliau. Šia procedūra )()( xy k užrašome reiškiniu, į kurį įeina funkcija )(yw ir jos

išvestinės iki )1( k eilės. Surašę viską į lygtį (5) gauname diferencialinę lygtį pavidalo

0),...,,,( )1()1( nwwwyG , (10)

kurios eilė yra per vienetą žemesnė už pradinės lygties (5) eilę.

41


02 yy . (2.1)

Sprendimas. Žeminame lygties eilę keitiniu

wy . (2.2)

Surandame antrą išvestinę

y

ww

y

w

x

y

y

y

x

wy

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d . (2.3)

Įrašę į lygtį (2.1) keitinius (2.2) ir (2.3) gauname pirmos eilės lygtį su atsiskiriančiais

kintamaisiais

0)d

d( w

y

ww . (2.4)

Gauname dvi lygtis:

0

d

d

0

wy

w

w

(2.5)

Pagal formulę (2.2) pirmosios lygties integralas

31 Cy , (2.6)

o antrosios lygties bendrasis integralas

)exp(1 yCw . (2.7)

Sąryšį (2.7) įstatę į lygtį (2.2) vėl gauname lygtį su atsiskiriančiais kintamaisiais, kurios

bendrasis integralas

21)exp( CxCy . (2.8)

Išsprendę )(xy atžvilgiu gauname bendrąjį lygties (2.1) integralą išreikštu pavidalu

21ln CxCy . (2.9)

Sprendiniai (2.6) įeina į bendrąjį sprendinį, kai 01 C .


32 yyyy . (3.1)

Sprendimas. Keitiniu (6) žeminame lygties eilę. Gauname lygtį

32

d

dww

y

wyw . (3.2)

Faktorizavę lygtį (3.2) gauname dvi paprastesnes lygtis

42

.

d

d

,0

2wwy

wy

w

(3.3)

Pirmosios lygties integralas

31 Cy . (3.4)

Antrojoje lygtyje, atskyrę kintamuosius, turime

.dd

2 y

y

ww

w

(3.5)

Lygties (3.5) bendrasis integralas

).ln(ln)1ln()ln( 1Cyww (3.6)

Išsprendę lygtį (3.6) funkcijos w atžvilgiu gauname

.11

1

yC

yCw (3.7)

Reiškinį (3.7) įstatę į formulę (6) ir, dar kartą suintegravę, gauname

xCCyCy 121 expexp . (3.8)

Kai 01 C gauname ir sprendinius (3.4), todėl sprendiniai (3.4) savarankiškos reikšmės čia

neturi. Tai yra trivialus lygties (3.1) sprendinys.

5.3. Kai diferencialinė lygtis pavidalo (1) yra argumentų )()2()1( ...,,,, nyyyy atžvilgiu

vienalytė sveiko laipsnio m funkcija, tai yra, kai

),...,,,(),...,,,( )()( nmn yyyxFyyyxF , (11)

lygties eilę pažeminti per vienetą galima keitiniu

xxwy d)(exp . (12)

Skaičiuodami funkcijos (12) išvestines gauname

.......................

),(d)(exp)(d)(exp

),(d)(exp

)1(2)2(

)1(

xwxxwxwxxwy

xwxxwy

. (13)

Išvestinių (13) dešinėje pusėje turime eksponentę, padaugintą iš reiškinio, į kurį įeina

funkcijos )(xw išvestinė vienetu žemesnės eilės. Įstatę lygybes (13) į lygtį (1) ir, traktuodami

eksponentę kaip daugiklį , gauname

0),...,,,1,(d)(exp )1()1(

nwwwxGxxwm . (14)

Keitinį (12) jau naudojome suvesdami antros eilės tiesinę homogeninę lygtį į Rikati tipo lygtį.

43


0)( 22 yxyyyx . (4.1)

Sprendimas. Lygtis (4.1) funkcijos y atžvilgiu yra vienalytė laipsnio m 2 funkcija. Eilę

žeminame keitiniu (12). Įstatę išvestinių išraiškas iš (13) ir suprastinę eksponentę gauname

lygtį

0)1()( 222 xwwwx . (4.2)

Atskliaudę ir suprastinę gauname tiesinę nehomogeninę lygtį

122 xwwx . (4.3)

Konstantų varijavimo metodu surandame bendrąjį sprendinį

211

x

C

xw . (4.4)

Apskaičiuojame integralą

)ln()ln(d1

d 21

21 C

x

Cxx

x

C

xxw

. (4.5)

Integralo vertę (4.5) įstatę į keitinį (12) gauname bendrąjį lygties (4.1) sprendinį

x

CxCy 1

2 exp . (4.6)

5.4. Integruojamos kombinacijos metodas. Šis diferencialinės lygties eilės pažeminimo

metodas labai svarbus. Jeigu tapatingai pertvarkant lygtį (1) pavyksta ją užrašyti pavidalu

),...,,,(d

d),...,,,( )1()( nn yyyxQ

xyyyxF , (15)

tai galime bendru pavidalu užrašyti pirmąjį integralą

1)1( ),...,,,( CyyyxQ n (16)

ir taip pažeminti vienetu lygties eilę. Šio metodo taikymo sudėtingumas tame, kad nėra

apibrėžto algoritmo, kaip atlikti operaciją (15). Čia padėti gali tik lygčių sprendimo įgūdžiai

ir bendros matematikos žinios.

Fizikos uždaviniuose, kai lygties (1) argumentas yra laikas t , tai reiškinys

0),...,,,(d

d )1( nyyytQt

,

nusako tvarų dydį

1)1( ),...,,,( CyyytQ n

44

ir kokio tai tvermės dėsnio matematinę išraišką. Jeigu galima, fizikos uždaviniuose

aukštesnės eilės diferencialines lygtis dažnai stengiamasi pakeisti tvermės dėsniais, nes tai

paprastina diferencialinio skaičiavimo uždavinį.


02 yyy (5.1)

Sprendimas. Nesunku pastebėti, kad lygtį galima perrašyti pavidalu

0d

dyy

x. (5.2)

Pirmasis integralas

1Cyy . (5.3)

Lygtį (5.3) vėl galima užrašyti kaip pilnutinę išvestinę

02d

d1

2

xC

y

x. (5.4)

Matome, kad lygties (5.1) bendrasis integralas

21

2

2CxC

y . (5.5)


06 22 xyyyy . (6.1)

Sprendimas. Lygtį (6.1) padalijame iš 2y ir užrašome kaip pilnutinę išvestinę

03d

d 2

xy

y

x. (6.2)

Pirmas bendrasis integralas

123 Cx

y

y

. (6.3)

Lygtį (6.3) vėl galima užrašyti kaip pilnutinę išvestinę

0)ln(d

d1

3 xCxyx

. (6.4)

Lygties (6.1) bendrasis integralas

)ln()ln( 213 CxCxy . (6.5)

Išsprendę funkcijos )(xy atžvilgiu gauname

xCxCy 13

2 exp . (6.6)


45

02 yyyy . (7.1)

Sprendimas. Ši lygtis turi akivaizdų sprendinį 3Cy . Ieškosime netrivialių sprendinių, kai

)(xy nėra lygi konstantai. Padaliję lygtį (7.1) iš 2y ją galime užrašyti kaip pilnutinę išvestinę

01

d

d

yy

y

x. (7.2)

Gauname pirmąjį integralą

1

1C

yy

y

, (7.3)

kurį padauginę iš y gauname tiesinę nehomogeninę lygtį

11 yCy . (7.4)

Varijuodami konstantą surandame lygties (7.1) bendrąjį integralą

1

12

1)exp(

CxCCy . (7.5)

Kai 02 C gauname trivialųjį sprendinį.


)(d

d2

2

xft

xm , (8.1)

kai pradinės sąlygos 0)0( xx , 00d

dv

t

x

t

.

Sprendimas. Duotoji lygtis aprašo vienmatį masės m materialiojo taško judėjimą, veikiant

jėgai )(xf . Padauginę lygtį (8.1) iš t

x

d

d galime užrašyti integruojamą kombinaciją

0)(d

d

2d

d2

xU

t

xm

t, (8.2)

čia pažymėta x

x

dfxU

0

)()( - materialiojo taško potencinė energija. Už integravimo

apatinį rėžį imame taško pradinę padėtį patogumo dėlei. Tuo pačiu materialiojo taško

potencinę energiją skaičiuojame nuo pradinio taško, nes 0)( 0 xU . Lygties (8.2) integralas

0

2

)(d

d

2ExU

t

xm

. (8.3)

46

Integravimo konstanta 0E pagal fizikinę prasmę yra energija. Jos vertę apskaičiuojame iš

pradinių sąlygų

200

2

00

2)(

d

d

2v

mxU

t

xmE

t

. (8.4)

Lygtį (8.3) išsprendę išvestinės atžvilgiu gauname

)(2

d

d0 xUE

mt

x . (8.5)

Čia ženklas prie radikalo gali būti bet koks, bet antroji pradinė sąlyga paprastai nusako ir

ženklą, nes sprendimo eigoje gauti sąryšiai ir sprendinys negali prieštarauti pradinėms

sąlygoms. Šiuo atveju ženklą formulėje (8.5) turime imti tokį, kokį ženklą turi konstanta 0v .

Atskyrę kintamuosius lygtyje (8.5) ir, atsižvelgę į pirmą pradinę sąlygą, gauname sprendinį

)(2

d

00

UEm

t

x

x

. (8.6)

Tai yra materialiojo taško judėjimo dėsnis neišreikštiniu pavidalu.

6. Tiesinė n -osios eilės diferencialinė lygtis

6.1. Sprendinio sandara. n - osios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties

pavidalas yra

],[),(... 1)1(

1)(

0 baxxyayayaya nnnn (1)

čia njxaa jj ...,,1,0),( - žinomos funkcijos. Visame intervale ],[ bax lygties (1)

eilė ta pati, tad priimsime, kad ],[0)(0 baxxa . Lygtį (1) dalijame iš 0a :

],[),(... 1)1(

1)( baxxfypypypy nn

nn

(2)

čia ,,...,2,1,0

nja

ap

j

j

0

)()(

a

xxf

. Lygtys (1) ir (2) yra tiesinės nežinomos

funkcijos y atžvilgiu. Paprastesnis pavidalas yra lygties (2), todėl tolimesniam tyrimui jį

naudosime.

47

Lygtis (2) vadinama homogenine, jeigu ].,[,0)( baxxf Lygties (2) sprendinys,

kaip ir pirmos eilės tiesinės diferencialinės lygties atveju, yra užrašomas dviem etapais: iš

pradžių surandamas homogeninės lygties

],[,0... 1)1(

1)( baxypypypy nn

nn

(3)

sprendinys, o po to, naudojant šį sprendinį, konstantų varijavimo metodu surandamas

atskirasis sprendinys.

Jeigu funkcijos jp yra tolydžios intervale ],[ bax , tai Košy uždavinio (3) lygčiai

taško ],[0 bax aplinkoje

],[,)(...,,)(,)( 0)1(

00)1(

0000 baxyxyyxyyxy nn (4)

sprendinys egzistuoja ir yra vienintelis. Pertvarkant lygtis tenka daryti argumento ir funkcijos

keitinius. Tiesinė homogeninė lygtis (3) išlieka tiesine homogenine tiek pakeitus argumentą

kitu )(txx , tiek padarius funkcijos keitinį )()( xwxy , kai daugiklis )(x yra bet

kokia pasirinkta funkcija.

Diferencialinę lygtį dažnai patogu užrašyti operatoriniu pavidalu

],[,0][ˆ baxyL (5)

Lygties (3) atveju operatorius L yra

nnn

n

n

n

px

px

px

L

d

d...

d

d

d

dˆ11

1

1 . (6)

Čia L yra tiesinis diferencialinis operatorius. Jis nusako, kokias operacijas reikia atlikti su

funkcija )(xyy (5) lygtyje.

A.: Operatorius vadinamas tiesiniu, jeigu

,ˆ)(ˆ)

,ˆˆ)(ˆ) 2121

yLCCyLb

yLyLyyLa

(7)

čia C - konstanta.

Matome, kad

n

j

jj

n

j

jj yLCyCL11

ˆˆ . (8)

Iš operatoriaus L tiesiškumo seka: jeigu funkcija 0y tenkina lygtį (5), tai ir funkcija 0Cy

tenkina lygtį (5), kai C yra konstanta. Remdamiesi šiuo teiginiu galime tvirtinti, kad

diferencialinės lygties (5) sprendinių tiesinė kombinacija taip pat yra lygties (5) sprendinys.

48

Tiesinė homogeninė diferencialinė lygtis (5) visada turi trivialų sprendinį 0y , kuris nėra

svarbus sprendžiant netrivialaus sprendinio radimo uždavinį. Jeigu reiškinys aprašomas

diferencialine lygtimi, tai reikalingas yra netrivialus sprendinys. Trivialus sprendinys svarbus

tiriant diferencialinių lygčių sprendinių stabilumo problemą. Kol kas to klausimo neliesime.

Pateikiame n -osios eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygties (3) sprendinio

sandarą nusakančios teoremos formuluotę.

Teorema 1. Tiesinė n -osios eilės diferencialinė lygtis (3) su tolydžiais intervale ],[ bax

koeficientais njxp j ,...,1),( turi n tiesiškai nepriklausomų dalinių sprendinių

nyyy ...,,, 21 . Lygties (3) bendrasis sprendinys yra n tiesiškai nepriklausomų dalinių

sprendinių jy tiesinė kombinacija

n

j

jj yCy1

, (8)

jeigu bet kokiam ),( bax egzistuoja funkcijos y išvestinės || )(ky , 1...,,1,0 nk ,

kai jC - konstantos.

Apibrėžimas. Funkcijos nyyy ...,,, 21 yra tiesiškai nepriklausomos intervale ],[ bax ,

jeigu ],[ bax

01

n

j

jj yC (9)

tada ir tik tada, kai visos konstantos njC j ,...,1,0 .

Matome, kad tiesinio funkcijų nepriklausomumo apibrėžimas nedraudžia funkcijų tiesinei

kombinacijai kokiuose nors intervalo ],[ bax taškuose įgyti nulinę vertę. Turint funkcijų

rinkinį nyy ,...,1 tirti, ar funkcijos yra tiesiškai nepriklausomos naudojantis apibrėžimu (9),

nėra patogu. Matematinis kriterijus, nusakantis ar funkcijos nyy ,...,1 yra tiesiškai

nepriklausomos, formuluojamas naudojant Vronskio determinanto sąvoką.

Apibrėžimas. Funkcijų rinkinio nyy ,...,1 Vronskio determinantu vadinamas reiškinys

)1()1(2

)1(1

)1()1(2

)1(1

21

1

...

............

...

...

),...,(

nn

nn

n

n

n

yyy

yyy

yyy

yyW . (10)

Teorema 2. Funkcijos nyy ,...,1 yra tiesiškai nepriklausomos intervale ],[ bax , jeigu

49

].,[0),...,( 1 baxyyW n (11)

Pavyzdys 1. Ištirkite, ar funkcijos )exp( 11 xy , )exp( 22 xy , )exp( 33 xy yra

tiesiškai nepriklausomos.

Sprendimas. Pagal (10) formulę

).)exp(())()((),,( 321132312321 xyyyW (1.1)

Funkcijos 321 ,, yyy tiesiškai nepriklausomos srityje ),( x , jeigu verčių rinkinyje

},,{ 321 nėra poromis lygių.

n -osios eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygties tiesiškai nepriklausomų

sprendinių sistema vadinama fundamentaliąja sistema. Žinodami fundamentaliąją

sprendinių sistemą visada galime užrašyti diferencialinės lygties bendrąjį sprendinį. Iš kitos

pusės, fundamentalioji sprendinių sistema vienareikšmiškai nusako tiesinę diferencialinę

lygtį. Iš tikro, diferencijuodami sprendinį (8) n kartų gauname lygčių sistemą

n

j

njj

n

n

jjj

n

jjj

n

j

jj

yCy

yCy

yCy

yCy

1

)()(

1

)2()2(

1

)1()1(

1

.

,

,

,

, (12)

Traktuodami y kaip )1( n -ąją lygtį koeficientų njC j ,...,1, atžvilgiu, pagrindinį

sistemos determinantą galime užrašyti taip:

0

)()()(3

)(2

)(1

)1()1()1(3

)1(2

)1(1

)2()2()2(3

)2(2

)2(1

)1()1()1(3

)1(2

)1(1

321

nnn

nnn

nnn

nnn

n

n

n

yyyyy

yyyyy

yyyyy

yyyyy

yyyyy

. (13)

Determinantas (13) tapatingai lygus nuliui, nes paskutinis stulpelis yra sudarytas iš tiesiškai

priklausomų funkcijų. Skleisdami determinantą pagal paskutinį stulpelį gauname

0...d

d)1()(

x

WyWy nn

. (14)

50

Funkcijos nyy ,...,1 sudaro fundamentaliąją sistemą, todėl jų Vronskio determinantas yra

nelygus nuliui. Lygtį (14) padaliję iš W gauname

0...d

d1)1()(

x

W

Wyy nn . (15)

Gavome n -osios eilė diferencialinę lygtį su užsiduota fundamentaliąja sistema. Kaip

matome, norint užrašyti n -osios eilė tiesinę diferencialinę lygtį su užsiduota fundamentaliąja

sistema, reikia užrašyti bendrąjį sprendinį (8), jį n kartų išdiferencijuoti, n pirmųjų sistemos

(12) lygčių išspręsti konstantų njC j ,...,1, atžvilgiu ir gautas vertes surašyti į paskutinę

sistemos (12) lygtį. Šio uždavinio sprendimas yra algebrinis uždavinys. Sprendžiant

sudėtingą uždavinį, kada fundamentali sistema nėra žinoma, kai kada pravartu pamatyti, kaip

atrodo lygtis, turinti žinomus sprendinius. Iš kitos pusės, jeigu skirtingos diferencialinės

lygtys turi tą pačią fundamentaliąją sprendinių sistemą, tai jos yra ekvivalentiškos.

Lyginant lygtis (3) ir (15) matome, kad

.d

d1)(1

x

W

Wxp (16)

Tai yra diferencialinė lygtis funkcijos W atžvilgiu. Jos sprendinys

xxpWW d)(exp 10 . (17)

Imkime antros eilės diferencialinę lygtį

.0)()( 21 yxpyxpy (18)

Tegul žinome vieną lygties (18) sprendinį )(1 xy . Bendrasis lygties (18) sprendinys

,2211 yCyCy (19)

čia 2y - kol kas nežinoma funkcija, o 1C ir 2C - laisvos konstantos. Įrašę funkcijų 1y ir 2y

Vronskio determinantą į (17) formulę, gauname tiesinę pirmos eilės diferencialinę lygtį

nežinomos funkcijos 2y atžvilgiu

xxpWyyyy d)(exp01221 . (20)

Lygties (20) homogeninės dalies sprendinys

12 Cyy . (21)

Varijuodami konstantą gauname bendrąjį lygties (20) sprendinį

00

d)(exp)(

d)()()(

21

12112

x

x

x

py

xyCxyCxy . (22)

51

Matome, kad, žinodami vieną netrivialų lygties (18) sprendinį, antrąjį sprendinį visada galime

užrašyti kvadratūromis.

Iš (22) formulės matyti, jog antras lygties (18) sprendinys turi pavidalą

xxwxyy d)()(1 . (23)

Skaičiuodami (23) išraiškos išvestines gauname

).()()()(2d)()(

),()(d)()(

111

11

xwxyxwxyxxwxyy

xwxyxxwxyy

(24)

Surašę išraiškas (24) į (18) lygtį gauname pirmos eilės diferencialinę lygtį funkcijos w

atžvilgiu

0)2( 111 wypywy . (25)

Išsprendę šią lygtį ir, rezultatą įstatę į (23) formulę, gautume pavidalo (22) bendrąjį sprendinį.

Matome, kad keitinys (23) pažemina tiesinės diferencialinės lygties eilę per vienetą.

Formulė (23) nusako algoritmą, kaip, žinant k lygties (3) fundamentaliosios sistemos

elementų, lygties eilę pažeminti per k vienetų. Tegul žinome lygties (3) fundamentaliosios

sistemos elementus kyy ,...,1 , nk 1 . Kai 1k lygties eilę pažeminame aukščiau nurodytu

būdu. Kai nk 1 iš žinomo fundamentalios sistemos elementų rinkinio imame pirmą

elementą ir žeminame eilę pagal formulę (23). Likę fundamentalios sistemos elementai,

bendru atveju, netenkina diferencialinės lygties funkcijai w . Bet keitinio (23) formulė turi

galioti likusiems fundamentaliosios sistemos elementams

.d)()(

,d)()(

,d)()(

1

13

12

xxwxyy

xxwxyy

xxwxyy

k

(26)

Padaliję sąryšius (26) iš )(1 xy ir išdiferencijavę gauname

.)(

)(

d

d

,)(

)(

d

d

,)(

)(

d

d

11

1

32

1

21

xy

xy

xw

xy

xy

xw

xy

xy

xw

kk

(27)

52

Tai yra diferencialinės lygties funkcijai w fundamentaliosios sistemos elementai. Procedūrą

tęsiame tol, kol išnaudojame visus žinomus fundamentaliosios sistemos elementus. Žeminant

eilę fundamentaliosios sistemos elementų išraiškos greitai sudėtingėja, dėl to pradėti eilės

žeminimo procedūrą tikslinga nuo paprasčiausio rinkinio elemento konkrečiame etape.


0,022)34()12(2 xyyxyxxyxx . (2.1)

Sprendimas. Ieškosime paprastų lygties sprendinių, kurių pavidalas

axy . (2.2)

Įrašę išraišką (2.2) į lygtį (2.1) ir, surinkę narius prie vienodų kintamojo x laipsnių, gauname

algebrinę lygtį

0)1)(1()1()1(2 12 aaaxaax aa . (2.3)

Ši lygtis patenkinta bet kokiam 0x , kai 1a . Taip suradome du netrivialius

diferencialinės lygties (2.1) sprendinius

,1

1x

y (2.4)

xy 2 . (2.5)

Turėdami du netrivialius sprendinius lygties (2.1) eilę galime pažeminti per du vienetus, o

gautos pirmos eilės diferencialinė lygties sprendinį bent jau užrašyti kvadratūromis.

Žeminame lygties eilę keitiniu (23)

xwx

y d1

(2.6)

Įrašę keitinį (2.6) į lygtį (2.1) funkcijos w atžvilgiu gauname antros eilės diferencialinę lygtį

.022)12( wwxwxx (2.7)

Pagal formulę (27) surandame, kad diferencialinė lygtis (2.7) turi sprendinį

.21 xw (2.8)

Dabar keitiniu

xhxw d2 (2.9)

žeminame lygties (2.7) eilę ir gauname pirmos eilės diferencialinę lygtį su atsiskiriančiais

kintamaisiais

0)1(4)12(2 2 hxxhxx (2.10)

Jos sprendinys turi vieną integravimo konstantą

53

21

12

xxCh (2.11)

Įrašę h išraišką (2.11) į lygtį (2.9) ir suintegravę gauname

.2)1ln2(2 21 xCxxCw (2.12)

Įrašę išraišką (2.12) į sąryšį (2.6) ir suintegravę gauname lygties (2.1) bendrąjį sprendinį

.2ln2123 xxxCxC

x

Cy (2.13)

Pastebėtina, kad, pažeminus lygties eilę, gauta žemesnės eilės diferencialinė lygtis lieka

tiesine, o homogeninė lygtis lieka homogenine.

6.2. Konstantų varijavimo metodas tiesinei diferencialinei lygčiai. Kad būtų

paprastesni reiškinių algebriniai pertvarkymai imkime tiesinę antros eilės diferencialinę lygtį

)()()()( 210 xFyxpyxpyxp , (28)

kurios fundamentalioji sprendinių sistema yra )}(),({ 21 xyxy . Tiesinės diferencialinės lygties

sprendinio sandara visada tokia pat – tai homogeninės lygties bendrojo sprendinio (19) ir

lygties (28) atskirojo sprendinio y~ suma

yyCyCy ~2211 . (29)

Vėl, kaip ir pirmos eilės lygties atveju, priimame hipotezę, kad atskirojo sprendinio pavidalas

toks, kaip ir homogeninės lygties sprendinio (19)

2211 )()(~ yxCyxCy . (30)

Vietoje vienos nežinomos funkcijos dešinėje lygybės pusėje turime dvi - )(1 xC ir )(2 xC .

Perteklinės laisvės atsisakysime, sukurdami sąryšį tarp funkcijų )(1 xC ir )(2 xC tokį, kad

palengvėtų uždavinio sprendimas. Atskirasis sprendinys (30) turi tenkinti lygtį (28). Įstatę

atskirąjį sprendinį (30) į lygtį (28), atlikę veiksmus ir surinkę narius prie )(1 xC ir )(2 xC ,

gauname

.}{}22{

}){(}){(

22111222211110

22212021211101

FyCyCpyCyCyCyCp

ypypypxCypypypxC

. (31)

Reiškiniai riestiniuose skliaustuose prie )(1 xC ir )(2 xC lygūs nuliui, nes funkcijos 1y ir 2y

yra homogeninės lygties sprendiniai. Likusius narius pertvarkome:

.}{d

d22111221122110 FyCyCpyCyCyCyC

xp

(32)

Matome, kad lygtis (32) labai supaprastėja, jeigu funkcijos )(1 xC ir )(2 xC tenkina lygtį

02211 yCyC . (33)

54

Šią lygybę ir panaudojame kaip sąryšį tarp funkcijų )(1 xC ir )(2 xC , atsisakydami perteklinės

laisvės. Tada lygtis (32) įgyja pavidalą

.22110 FyCyCp (34)

Lygtys (33) ir (34) sudaro algebrinių lygčių sistemą funkcijų )(1 xC ir )(2 xC atžvilgiu. Šios

sistemos pagrindinis determinantas yra Vronskio determinantas, dėl to sistema visada turi

vienintelį sprendinį, nes fundamentaliosios sprendinių sistemos Vronskio determinantas

visada nelygus nuliui. Išsprendę algebrinių lygčių sistemą (33)-(34) gauname

),()(

)()(

210

21

yyWxp

xyxFC , (35)

),()(

)()(

210

12

yyWxp

xyxFC . (36)

Suintegravę )(1 xC ir )(2 xC išraiškas (35)-(36) gauname

10

21 d

)()(

)()(

0

CWa

yFC

x

x

, (37)

20

12 d

)()(

)()(

0

CWa

yFC

x

x

. (38)

Čia 1C ir 2C - integravimo konstantos, skaičiai, o ],[0 bax . Pastebėsime, kad sprendžiant

Košy uždavinį dažniausiai patogi 0x vertė yra ta, kur nusakytos Košy uždavinio sąlygos.

Įrašę išraiškas (37) ir (38) į atskirąjį sprendinį (30) gauname

)()(d)()(

)()()(d

)()(

)()()(~

22110

12

0

21

00

xyCxyCWp

yFxy

Wp

yFxyy

x

x

x

x

. (39)

Konstantos 1C ir 2C čia sukuria homogeninės lygties sprendinį, kuris visada įeina į bendrąjį

sprendinį, dėl to klaidos galutinėje formulėje nepadarytume ir praleidę integravimo

konstantas formulėse (37)ir (38). Matome, kad bendrąjį sprendinį galima užrašyti taip:

.d)()(

)()()()()()()(

0

12212211

0

Wp

xyyxyyFxyCxyCy

x

x

(40)

Konstantų varijavimo metodo darbinės formulės (33)-(34) lengvai apibendrinamos bet kurios

eilės tiesinei diferencialinei lygčiai. Lygties (1) atveju turėtume

,2...,,1,0,01

)(

nkyCn

j

kjj (41)

55

.1

)1(0 FyCa

n

j

njj

(42)

Tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties atskirąjį sprendinį visada galima užrašyti

pavidalu

.d),()(~

0

xGFy

x

x

(43)

Funkcija ),( xG vadinama Gryno funkcija. Sprendžiant Košy uždavinį konstantų varijavimo

metodu Gryno funkcija pasirodo kaip skaičiavimų rezultatas. Lygties (28) Košy uždavinio

Gryno funkciją mes jau suradome

.)()(

)()()()(),(

0

1221

Wp

xyyxyyxG

(44)

Gryno funkcija sudaryta iš diferencialinės lygties fundamentaliosios sistemos elementų ir

koeficiento )(0 xp . Nesudėtinga gauti lygtį Gryno funkcijai. Įrašę atskirąjį sprendinį (43) į

lygtį (28) gauname

)(d),()(d

d)(

d

d)()( 212

2

0

0

xFxGxpx

xpx

xpF

x

x

. (45)

Čia panaudosime Dirako -funkciją, kurios svarbiausios savybės

],,[,0

],,[,1d)-(

x

xx (46)

].,[,0

],,[),(d)-()(

x

xxhxh (47)

Čia )(xh - bet kokia taško x aplinkoje diferencijuojama funkcija. Naudodamiesi (47)

formule lygties (45) dešinę pusę galima užrašyti taip:

.d)-()()( xFxF

b

a

(48)

Įrašę (48) išraišką į lygtį (45) gauname

0d)(),()(d

d)(

d

d)()( 212

2

0

0

xxGxp

xxp

xxpF

x

x

. (49)

56

Funkcija )(xF nėra tapatingai lygi nuliui. Integralas bet kokiems ],[,0 baxx lygus nuliui

tada ir tik tada, kai reiškinys riestiniuose skliaustuose yra lygus nuliui, o tai duoda

diferencialinę lygtį

)(),()(d

d)(

d

d)( 212

2

0

xxGxp

xxp

xxp . (50)

Tai ir yra lygtis Gryno funkcijai. Gryno funkcija svarbi tuo, kad leidžia lengvai užrašyti

atskirąjį sprendinį pavidalu (43) esant bet kokiai tiesinės diferencialinės lygties

nehomogeninei daliai )(xF . Bet Gryno funkcijos radimo uždavinys yra tiek pat sudėtingas,

kaip ir išspręsti nehomogeninę lygtį (28).

7. Tiesinės antrosios eilės diferencialinės lygties kanoniniai pavidalai

7.1. Pirmasis kanoninis pavidalas. Bendru atveju antros eilės diferencialinės lygties

)()()()( 210 xFyxayxayxa (1)

sprendinio radimo intervale ],[ 21 xxx metodas, kai )(0 xa , )(1 xa , )(2 xa yra bet kokios

reikalingą skaičių kartų diferencijuojamos funkcijos, nėra žinomas. Lygtis (1) gali būti

užrašyta pavidalu

)()(d

d)(

d

dxQyxq

x

yxp

x

(2)

arba pavidalo (1) lygtimi, į kurią neįeina narys su pirmos eilės išvestine. Pavidalo (2) lygtis

dažnai naudojama analizėje ir taikant skirtuminius metodus. Lygties (1) pavidalas (2)

vadinamas pirmuoju kanoniniu pavidalu. Pašalinus narį su pirma išvestine kai kada

gaunama paprastesnė lygtis. Dėl to abi transformacijos yra svarbios sprendžiant lygtis ar

transformuojant jas į lygtis, kurių sprendimo metodas yra žinomas.

Lygtį (2) išskleidžiame:

)()(d

d

d

d

d

d)(

2

2

xQyxqx

y

x

p

x

yxp . (3)

Lygtį (1) užrašyti pavidalu (2) būtų galima, jeigu galiotų sąryšis

)(d

d)( 01 xa

xxa . (4)

Kad sąryšis (4) galiotų, lygtį (1) dauginame iš daugiklio

57

],[,0)( 21 xxxx . (5)

Tuomet sąryšis (4) atrodo taip

)()(d

d)()( 01 xax

xxax . (6)

Lygtį (6) traktuojame kaip diferencialinę lygtį funkcijos )(x atžvilgiu, nes funkcijos )(0 xa

ir )(1 xa yra žinomos. Lygtyje (6) kintamieji atsiskiria

x

xa

xa

xaCx d

)(

)(exp

)(

1)(

0

1

0

. (7)

Nemažinant bendrumo imame, kad integravimo konstanta 1C . Matome, kad norėdami

užrašyti lygtį (1) pavidalu (2) turime imti

,d)(

)(exp)(

0

1

x

xa

xaxp (8)

,d)(

)(exp

)(

)()(

0

1

0

2

x

xa

xa

xa

xaxq (9)

x

xa

xa

xa

xFxQ d

)(

)(exp

)(

)()(

0

1

0

. (10)

Ieškant lygties (1) sprendinio intervale ],[ 21 xxx pagal nutylėjimą suprantama, kad visame

intervale 0)(0 xa .

7.2 Antrasis kanoninis pavidalas. Pašalinti iš lygties narį su pirmąja išvestine galima

dviem būdais: 1) išskiriant iš ieškomos funkcijos žinomą daugiklį ir 2) keičiant lygties

kintamąjį.

1) Paėmę )()( xwxy daugiklį )(x surasime pareikalaudami, kad daugiklis prie

funkcijos )(xw pirmos išvestinės būtų lygus nuliui. Apskaičiavę išvestines turime

wwwywwyxwxy 2,),()( . (11)

Surašę išraiškas (11) į lygtį (1) ir, surinkę narius prie funkcijos )(xw išvestinių, gauname

)(2 210100 xFwaaawaawa . (12)

Sandas su funkcijos )(xw pirma išvestine dingsta, jeigu

02 10 aa . (13)

Lygties (13) bendrasis sprendinys

x

xa

xaCx d

)(2

)(exp)(

0

1 . (14)

58

Kadangi ieškome daugiklio, nemažindami bendrumo galime imti 1C . Tad keitinys

x

xa

xaxwy d

)(2

)(exp)(

0

1 (15)

transformuoja lygtį (1) į

)(2100 xFwaaawa . (16)

Kaip matome iš lygties (12), panaikinti daugiklį prie )(xw galima tik žinant lygties (1)

homogeninės dalies sprendinį, nes formulės (12) antruose skliaustuose yra pradinės lygties

(1) homogeninė dalis.

2) Tegul funkcija y yra sudėtinė

))(( xyy , (17)

tai yra, pereiname prie naujo kintamojo

)(x . (18)

Funkcijos (17) išvestinės

yyyyy xxxx 2, . (19)

Čia apatinis indeksas nurodo, pagal kokį kintamąjį skaičiuojamą išvestinė, o indekso

pasikartojimų skaičius – kurios eilės išvestinė. Surašę išraiškas (19) į lygtį (1) gauname

)(2102

0 xFyayaaya xxxx . (20)

Lygtyje (20) sandas su pirma išvestine y dingsta, kai

010 xxx aa . (21)

Spręsdami lygtį (21) gauname

d

)(

)(exp

10

11

x

x

xa

aC , (22)

dd)(

)(exp

1 10

112

x

x xa

aCC . (23)

Matome, kad vienas lygties (21) dalinių sprendinių yra konstanta ir kaip keitinys (18) netinka.

Lieka vienintelis variantas

dd)(

)(exp

1 10

11

x

x xa

aC . (24)

Lygtis (20) įgyja pavidalą (16). Kai lygčiai (1) suteikiamas pavidalas

59

FwwA 0 , (25)

tai sakoma, kad lygtis užrašyta antruoju kanoniniu pavidalu. Keitinys (11) ir kintamojo

pakeitimas (18) nėra ekvivalentiški, nors abu diferencialinei lygčiai suteikia kanoninį

pavidalą.


02 xyyyx . (1.1)

Sprendimas. Keisdami kintamąjį pagal formules (18)-(19) gauname lygtį

,02 xyyx x (1.2)

čia

.,2 x

C

x

Cx (1.3)

Imant už koordinatę funkciją gauname lygtį

.04

2

yC

y

(1.4)

Gautai lygčiai paprasto sprendimo metodo nėra. Išskiriant daugiklį keitiniu )()( xwxy

gauname

.0)2()22( xxwxwxw (1.5)

Daugiklis, panaikinantis sandą su pirma išvestine, yra

.1

x (1.6)

Diferencialinė lygtis

.0 ww (1.7)

Lygties (1.1) bendrasis sprendinys

x

xC

x

xCy

cossin21 . (1.8)


022 yyyx . (2.1)

Sprendimas. Keisdami kintamąjį gauname, kad (2.1) lygties sprendinys šiuo atveju yra

xC2 . (2.2)

Padarius tokį kintamojo pakeitimą lygtyje (2.1) gauname diferencialinę lygtį

012

yC

y . (2.3)

Jos bendrasis sprendinys

60

CC

CCy

chsh 21 . (2.4)

Pagal formulę (2.2) grįžę prie koordinatės x turime

xCxCy 2ch2sh 21 . (2.5)

Jeigu lygtį (2.1) į kanoninį pavidalą transformuojame išskirdami daugiklį pagal formules

(11),

gauname, kad daugiklis yra

4

1

x . (2.6)

Lygties kanoninis pavidalas

016

1632

wx

xw . (2.7)

Matome, kad sprendžiant diferencialinę lygtį kartais naudingesnis vienas suvedimo į

kanoninį pavidalą būdas, kartais – kitas.

8. Eilučių metodas

Intervale ],[ 21 xxx ieškosime antros eilės diferencialinės lygties

)()()(2

2

xfyxqdx

dyxp

dx

yd (1)

Košy uždavinio sprendinio, tenkinančio sąlygas

2111 )(,)( CxyCxy . (2)

Tegul begalinė tiesiškai nepriklausomų funkcijų sistema }{,...,, 321 yra pilna ir jomis

galima išskleisti ieškomą sprendinį ir į lygtį įeinančias funkcijas )(xp , )(xq ir )(xf norimu

tikslumu visame intervale ],[ 21 xxx . Priimame, kad tikslumo reikalavimai išpildyti, kai

skleidiniuose įskaitoma N narių, tai yra

N

j

jjay1

, (3)

N

j

jjpxp1

)( , (4)

61

N

j

jjqxq1

)( , (5)

N

j

jjfxf1

)( . (6)

Statant skleidinį (3) į lygtį (1) funkcijas ,...,, 321 reikia diferencijuoti. Iš karto darome

prielaidą, kad funkcijos j yra diferencijuojamos reikiamą skaičių kartų. Bet išvestinės gali

nepriklausyti rinkiniui ,...,, 321 , todėl jas taip pat reikia skleisti funkcijų }{ eilute

NlbN

m

mlml ,...,1,1

. (7)

Tokiu pat būdu užrašome antrąją funkcijos l išvestinę

NlbbN

nm

kmklml ,...,1,1,

. (8)

Be to, lygtyje ateina funkcijų sandaugos Nkjkj ,...,1,, . Jas taip pat reikia skleisti eilute

N

m

mmlklk c1

. (9)

Surašę skleidinius į (1) lygtį gauname

01,1,,1,1

n

N

kj

njkjknlkjlkj

N

lkj

N

kj

knjkj

N

n

n fcaqcbpabba . (10)

Mes ėmėme, kad funkcijos ,...,, 321 yra nepriklausomos. Bet nepriklausomų funkcijų

tiesinė kombinacija (10) lygi nuliui tada ir tik tada, kai daugikliai prie nepriklausomų funkcijų

yra lygūs nuliui

.,...,1,1,1,,1,

Nnfcaqcbpabba n

N

kj

njkjknlkjlkj

N

lkj

N

kj

knjkj

(11)

Gavome tiesinių nehomogeninių algebrinių lygčių sistemą koeficientų ja , Nj ,...,1

atžvilgiu. Vaizdumo dėlei pažymėję

NjncqcbpbbAN

k

njkknlkjlk

N

lk

N

k

knjknj ,...,1,,11,1

, (12)

lygčių sistemą (11) galime užrašyti matriciniu pavidalu

fa A , (13)

62

čia A yra kvadratinė NN matrica su elementais, apibrėžtais (12) formule, o a ir f yra

vektoriai, sudaryti iš skleidinių (3) ir (6) koeficientų. Pagal formulę (13) ieškomas lygties (1)

sprendinys matriciniu pavidalu

fa 1ˆ A , (14)

Bendru atveju sprendinys (14) netenkina Košy sąlygų (2). Įrašę skleidinį (3) į Košy sąlygas

(2) gauname tiesines lygtis koeficientų Nja j ,...,1, atžvilgiu

N

kj

kjkj

N

j

jj

Cxba

Cxa

1,

21

1

11

.)(

,)(

, (15)

Šiomis lygtimis pakeičiame kurias nors dvi sistemos (11) lygtis. Tada gautas sprendinys (14)

tenkins lygtį (1) ir Košy sąlygas (2). Tą patį galima pasakyti ir apie kraštinį uždavinį lygčiai

(1). Skirtumas tik tas, kad antra sąlyga užduodama ieškomajai funkcijai kitame intervalo

],[ 21 xx taške. Paprastai tai būna galinis intervalo taškas.

Matome, kad eilučių metodas gana paprastas. Bet pritaikyti jį konkrečiai lygčiai dažnai

būna sudėtinga, nes, visų pirma, reikia surasti skleidinių (4) – (9) koeficientus. Algebriniu

pavidalu tai padaryti galima retai. Tokie palankūs atvejai yra, kai skleidiniai (7) – (9) turi

nedaug narių, o palankiausiu atveju – po vieną. Tokią savybę turi funkcijos

,...2,1,)( 1 nxx nn . Skaičiavimams supaprastinti labai svarbu rinkinio funkcijų

ortogonalumas. Taikymuose paprastai skleidimui imama ortogonalių normuotų funkcijų

pilna sistema. Šio teiginio prasmė išryškėja sprendžiant konkrečius uždavinius ir naudojant

kompleksinio kintamojo funkcijas. Iš to, kas pasakyta čia, seka, kad sprendžiant

diferencialinę lygtį eilučių metodu iš karto susiduriame su tipinėmis skaitinių metodų

operacijomis: funkcijų bazės parinkimu, funkcijų aproksimavimu, tiesinių lygčių sistemų

sprendimu. Šie ir kiti svarbūs uždaviniai nagrinėjami skaitinių metodų teorijoje.

9. Eilučių metodo taikymas Beselio lygčiai

Diferencialinė lygtis

0)(d

d

d

d 22

2

22 yx

x

yx

x

yx (1)

63

vadinama Beselio lygtimi. Su tokia lygtimi dažniausiai susiduriame spręsdami uždavinius

cilindrinėje koordinačių sistemoje. Ieškosime šios lygties reguliaraus intervale ),0[ x

sprendinio apibendrintosios laipsninės eilutės pavidalo

.0

k

kk xaxy (2)

Įstatę (2) išraišką į (1) lygtį gauname

.0)(0

222

0

k

kk

k

kk xakxa (3)

Koeficientą prie žemiausio x laipsnio prilyginę nuliui gauname lygtį parametro atžvilgiu

.022 (4)

Matome, kad jos sprendiniai yra

. (5)

Lygties (1) pavidalo (2) sprendinys bus reguliarus taško 0x aplinkoje, kai .

Atsižvelgę į tai iš (3) lygties surandame

...,)3)(2)(1(2321

,0

,)2)(1(221

,0

,)1(221

,0

60

6

5

40

4

3

02

1

aa

a

aa

a

aa

a

(6)

Matome, kad

.)1()1(

2)1(

)1(2...)3)(2)(1(321

2

)2)(1(21

2

)1(1

21

)1(

2)1(2

...)3)(2)(1(2321)2)(1(221)1(21

1

0

2

0

6

42

0

6

6

4

4

2

2

0

k

kk

kk

x

a

x

xxxa

xxxxay

64

Funkcija

.)1()1(

2)1(

)(0

2

k

kk

kk

x

xJ

(7)

vadinama indekso cilindrine Beselio funkcija. Antrąjį lygties (1) sprendinį gauname tokio

pat pavidalo, kai sprendiniai (5) yra skirtingi, bet ne sveiki skaičiai. Tuomet bendras

sprendinys

).()( 21 xJCxJCy

Kai yra sveikas skaičius, tai sprendiniai )(xJ ir )(xJ yra tiesiškai priklausomi, nes iš

(7) formulės plaukia , kad

).()1()( xJxJ nn

n

Kai yra sveikas skaičius antrą sprendinį užrašome remdamiesi tuo, kad diferencialinės

lygties eilę galima pažeminti, kai žinomas vienas jos sprendinys. Tokiu būdu rastas bendras

lygties (1) sprendinys turi pavidalą

.)(

d)()(

0

221

x

x n

nnJ

xJCxJCy

Antras Beselio lygties sprendinys yra nereguliarus koordinačių pradžios aplinkoje. Jis

vadinamas Noimano funkcija. Indekso n Noimano funkcija atrodo taip:

.,...2,1,0,651201532860605772156649.0d1

lnln

,2)1(

)!1(

2

111

)1()1(

2)1(

2

1

)(2

ln2

)(

1

0

0

21

0110

2

0

nC

x

k

knx

jjnkk

x

x

xJCx

xN

kn

k

nkn

j

k

jk

nkk

n

nn

Rekurentiniai sąryšiai. Apskaičiuokime reiškinius )(d

dxJx

xn

n ir )(

d

dxJx

xn

n.

).()1)1(()1(

2)1(

)1()1(

2)()1(

2

)1()1(

2)1(

d

d2)(

d

d

1

0

12

0

122

0

22

xJxkk

x

xkk

xk

kk

x

xxJx

x

k

kk

k

kk

k

kk

65

.)1)1()1(()11(

2)1(

)1()1(

2)1(

2

)1()1(

2)1(

d

d2)(

d

d

0

1)1(2

0

12

0

2

k

kk

k

kk

k

kk

kk

x

xkk

xk

kk

x

xxJx

x

Paskutinėje sumoje keičiame sumavimo parametrą 1 km . Matome, kad

),()1)1(()1(

2)1(

)1)1(()0(

2

)1)1(()1(

2)1(

)(d

d

1

0

121

1

121

xJxmm

x

x

x

x

mm

x

xxJxx

m

mm

m

mm

nes |)0(| . Gavome, kad galioja sąryšiai

).()(d

d

),()(d

d

1

1

xJxxJxx

xJxxJxx

(8)

Apskaičiavę sąryšių (8) kairėse pusėse išvestines kaip dviejų funkcijų sandaugos turime

).()(d

d)(

),()(d

d)(

11

11

xJxxJx

xxJx

xJxxJx

xxJx

(9)

Padauginę (9) pirmą sąryšį iš x , o antrą iš x gauname

).()(d

d)(

),()(d

d)(

1

1

xJxJx

xJx

xJxJx

xJx

(10)

Iš formulių (10) matyti, kad

66

.)()(2

1)(

d

d

),()()(d

d

),()()(d

d

),()()(2

11

1

1

11

xJxJxJx

xJx

xJxJx

xJx

xJxJx

xJxJxJx

(11)

Beselio funkcijas generuojanti funkcija. Reiškinį

)(

2exp 1tt

w skleidžiame Teiloro eilute

.)1(

2)1(

)1(

2

2exp

2exp)(

2exp

00

1

m

mm

m

k

kk

m

tw

k

tw

t

wwttt

w

(12)

Keičiame sumavimo kintamąjį nmk . Matome, kad n kitimo sritis yra visi sveikieji

skaičiai iš intervalo ),( . Reiškinį (12) galime užrašyti taip:

.)()1()1(

2)1()(

2exp

2

0

1

n

nn

n

nm

m

mn wJtnmm

w

tttw

Gavome svarbų rezultatą

.)()(2

exp 1

n

nn wJttt

w (13)

Formulės (13) karė pusė ir yra Beselio funkcijas generuojanti funkcija. Formaliai tai yra

generuojančios funkcijos skleidinys Lorano eilute.

Tegul iiet . Tada )cos(i21 tt . Pritaikę (13) formulę turime

.)iexp()()i()cos(iexp

n

nn nwJw (14)

Paėmę iet tokiu pat būdu gauname

.)iexp()()sin(iexp

n

n nwJw (15)

Iš sąryšių (14) ir (15) plaukia, kad Beselio funkcija su sveikomis parametro n vertėmis,

pasinaudojus funkcijų )iexp( n ortogonalumu, gali būti užrašyta kaip integralas

67

.d)sin(cos1

di)sin(iexp2

1

di)cos(iexp2

)i()(

0

2

0

2

0

nw

nw

nwwJn

n

(16)

Formulės (16) yra vienas iš Beselio funkcijos su sveiku indeksu integralinio atvaizdžio

pavidalai. Formulės (14) ir (15) naudingos, kai eksponentinę funkciją reikia išreikšti funkcijų

)iexp()(),( nwJwu nn eilute. Toks uždavinys dažnas ir iš principo svarbus sprendžiant

įvairius fizikos uždavinius cilindrinėje koordinačių sistemoje.

10. Hipergeometrinė lygtis

Antrosios eilės tiesinė diferencialinė lygtis

0])1([)1(2

2

ydx

dyx

dx

ydxx (1)

vadinama hipergeometrine arba Gauso lygtimi. Daugelis antros eilės paprastųjų tiesinių

diferencialinių lygčių yra suvedamos į hipergeometrinę lygtį. Lygties sprendinio ieškosime

apibendrintos laipsninės eilutės pavidalo

0j

jj xaxy . (2)

Funkcijos (2) išvestinės

0

1)(j

jj xjay , (3)

0

2)1)((j

jj xjjay . (4)

Surašius išraiškas (2)-(4) į lygtį (1), pastaroji virsta x laipsnių tiesine kombinacija

.0))(1()1)((

1)(

0

0

1

jjjxa

jjxa

j

jj

j

jj

(5)

68

Charakteringąją lygtį gauname prilyginę nuliui koeficientą prie žemiausio x laipsnio

0)1(0 a . (6)

Priimame, kad 00 a , todėl lygties (6) sprendiniai

1,0 . (7)

Pirmąją šaknį atitinka sprendinys

0j

jj xay . (8)

Įrašę sprendinį 0 į lygtį (5) gauname

0))(()1(00

1

jjxajjxaj

jj

j

jj . (9)

Prilyginę nuliui koeficientus prie argumento x laipsnių gauname begalinę rekurentinių

lygčių sistemą koeficientų ja atžvilgiu:

.............................

,0))(())(1(:

.............................

,0)2)(2()2(3:

,0)1)(1()1(2:

,0:

1

232

121

010

nnannax

aax

aax

aax

nnn

. (10)

Sprendžiame rekurentinių lygčių sistemą (10)

.....................................

,)2)(1(321

)2)(1()2)(1(

)2(3

)2)(2(

,)1(21

)1()1(

)1(2

)1)(1(

,1

023

012

01

aaa

aaa

aa

. (11)

Matome, kad sprendinys

)1()(

)()(

)()(

)(

0

0

j

x

j

jjay

j

j

. (12)

Funkcija

)1()(

)()(

)()(

)();,,(

0

j

x

j

jjxF

j

j

(13)

69

vadinama hipergeometrine funkcija.

Kada antrasis sprendinys 1 nėra sveikas skaičius eilučių metodu surandame ir

antrą nepriklausomą sprendinį

0

1

j

jjxbxy . (14)

Atlikę skaičiavimus gauname

)1()11(

)1()1(

)1()1(

)11(

0

10

j

x

j

jjxby

j

j

(15)

Palyginę su išraiška (13) sprendinį (15) galima užrašyti taip

);2,1,1(10 xjFxby (16)

Sprendinys (13) apibrėžtas, kai ...,2,1,0 , o sprendinys (16) apibrėžtas, kai

...,4,3,2 . Lygties (1) bendrasis sprendinys

);2,1,1();,,( 121 xjFxCxFCy . (17)

Pagal hipergeometrinės funkcijos apibrėžimą (13)

);,,();,,( xFxF . (18)

Paėmus parametrų vertes

...1)1()(

)()1(

)()1(

)();,,1( 32

0

xxxj

x

j

jjxF

j

j

(19)

Gauname geometrinę progresiją, kuri konverguoja, kai .1|| x Pasinaudoję geometrinės

progresijos sumos formule gauname

.1||,1

1);,,1(

x

xxF (20)

Manipuliuodami hipergeometrinės eilutės (13) parametrais galima gauti ir kitokių naudingų

formulių, pavyzdžiui

),;2,1,1()1ln( xxFx (21)

),;,,()()()(

)()()();,,(

d

dxnnnF

n

nnxF

x

n

(22)

).;,,1();1,,()();,1,( xFxxFxF (23)

Galima pastebėti, kad sprendinį (16) galima gauti ir lygtyje (1) padarius keitinį

)(1 xwxy (24)

bei pasinaudojus (13) formule.

70

11. Tiesinė n -osios eilės diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais

n - osios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais

pavidalas yra

)(... 1)1(

1)(

0 xFyayayaya nnnn (1)

čia nja j ...,,1,0, yra realūs skaičiai. Iš pradžių ieškome homogeninės lygties sprendinio.

Netrivialaus homogeninės lygties

0... 1)1(

1)(

0 uauauaua nn

nn (2)

sprendinio ieškome pavidalo

xCeu . (3)

Įrašę išraišką (3) į lygtį (2) gauname

0... 11

10

nnnnx aaaaCe

. (4)

Lygtis (4) patenkinta, kai

0... 11

10

nnnn aaaa . (5)

Gautoji lygtis vadinama diferencialinės lygties (2) charakteristine lygtimi, o daugianaris

nnnn aaaa 11

10 ...)( (6)

vadinamas charakteristiniu daugianariu. Kadangi lygtis (5) yra algebrinė n -ojo laipsnio

lygtis, tai ji turi n sprendinių, tarp kurių gali būti kartotinių ir kompleksinių. Pažymėkime

sprendinių aibę },...,,{ 21 n .

Pradžioje panagrinėkime paprasčiausią atvejį, kai visi sprendinių aibės elementai yra

skirtingi. Tuomet sprendiniai njxu jj ,...,1),exp( sudaro fundamentaliąją sistemą, nes

yra tiesiškai nepriklausomi. Bendrasis lygties (2) sprendinys yra fundamentaliosios

sprendinių sistemos elementų tiesinė kombinacija

n

j

jj xCu1

)exp( . (7)

Tegul sprendinio k kartotinumo eilė yra m . Tuomet charakteristinis daugianaris

(6) gali būti užrašytas pavidalu

.0)(),()( km

k hh (8)

Operatoriniu pavidalu lygtį (2) galime užrašyti taip:

71

0][ˆ uU , (9)

čia

nnn

n

n

n

ax

ax

ax

ax

aU

d

d

d

d...

d

d

d

dˆ12

2

11

1

10 . (10)

Matome, kad

)()][exp(ˆ xU , (11)

)()][exp(ˆkk xU . (12)

Atsižvelgiant į sąryšį (8) ir operatoriaus pavidalą (8) turime

.0)][exp(ˆ

,0)]exp([ˆ)][exp(ˆ

,0)]exp([ˆ)][exp(ˆ

,0)][exp(ˆ

1

1

1

xU

xxUxU

xxUxU

xU

kmk

m

km

kmk

m

kkk

k

. (13)

Gavome, kad charakteristinės lygties kartotinumo m kartotinės šaknies atveju funkcijos

)exp(),...,exp(),exp( 1 xxxxx km

kk (14)

tenkina diferencialinę lygtį (2). Funkcijos (14) yra tiesiškai nepriklausomos ir, jas įjungus į

fundamentalių sprendinių sistemą, vėl fundamentaliojoje sprendinių sistemoje turime n

funkcijų, o bendrajam sprendiniui galioja (7) formulė.

Charakteristin4s lygties (5) kompleksinių sprendinių atveju matematinis uždavinys tas

pats. Kai koeficientai nja j ,...,0, lygtyje (5) yra realūs, tai kompleksiniai sprendiniai

pasirodys poromis kartu su kompleksiškai jungtiniu, tai yra, jeigu i tenkina lygtį

(5), tai i* taip pat tenkina lygtį. Sugrupavę šiuos sprendinio sandus galime juos

abu kartu užrašyti pavidalais

)sin()exp()cos()exp(

)sin()exp()](i[)cos()exp()(

))iexp(())iexp((

21 xxCxxC

xxBAxxBA

xBxA

(15)

Paskutinėje eilutėje užrašytas pavidalas patogesnis, kai norime dirbti su realiomis

funkcijomis. Bendru atveju patogumą apsprendžia tai, kokias operacijas turime atlikinėti su

sprendiniu.

72

Atskirąjį lygties (1) sprendinį visada galima surasti varijuojant konstantas. Kai kuriais

atvejais atskirąjį diferencialinės lygties sprendinį galima surasti išvengiant konstantų

varijavimo procedūros.

Kaip matome, tiesinės lygties su pastoviais koeficientais fundamentalios sistemos

elementai turi pavidalą daugianario arba daugianario, padauginto iš eksponentės.

Lygtis (1) operatoriniu pavidalu

)()]([ˆ xFxyL (16)

čia

nnn

n

n

n

ax

ax

ax

aL

d

d...

d

d

d

dˆ11

1

10 . (17)

Tegul funkciją )(xF galima išskaidyti į du dėmenis

)()()( 21 xFxFxF . (18)

Kadangi operatorius L yra tiesinis, tai iš lygybių

)()]([ˆ),()]([ˆ 2211 xFxyLxFxyL (19)

plaukia

)()]()([ˆ 21 xFxyxyL . (20)

Matome, kad tuo atveju, kai surasti lygties (16) atskirąjį sprendinį yra sudėtinga, uždavinį

galima supaprastinti, jeigu pavyksta funkciją )(xF išskaidyti į paprastesnius dėmenis. Tada

atskirasis sprendinys bus lygčių (19) atskirųjų sprendinių suma. Sprendžiant tiesines

nehomogenines lygtis tokia operacija yra naudinga ir dažnai naudojama.

Tegul

)()( xPxF m . (21)

čia )(xPm - koks nors m -ojo laipsnio daugianaris. Operatorius L daugianarį )(xPm

transformuoja vėl į m -ojo laipsnio daugianarį, kai 0na . Dėl to lygties (16) atskirasis

sprendinys gali būti tik daugianaris. Tuo atveju, kai charakteringoji lygtis turi šaknį 0

kartotinumo ,1k tada koeficientai na , 1na ,..., 1kna operatoriuje L turi būti lygūs nuliui

ir toks operatorius daugianario )(xPm laipsnį pažemintų per k vienetų. Vadinasi, bendru

atveju atskirojo sprendinio reikia ieškoti pavidalo

)(~ xQxy mk , (22)

73

čia mQ - m -ojo laipsnio daugianaris su neapibrėžtais koeficientais. Įrašę atskirąjį sprendinį

į lygtį (16) ir, sulyginę koeficientus prie tų pačių x laipsnių, gauname tiesinių algebrinių

lygčių sistemą daugianario mQ neapibrėžtų koeficientų atžvilgiu.

Kai funkcija )(xF turi pavidalą

)()( xPexF mhx , (23)

galimi atvejai, kai: a) }{h , b) }{h .

a) Paveikus tiesiniu diferencialiniu operatoriumi L funkciją )(xPe mhx

, jos tipas nepakinta,

tai yra

)()]([ˆ xPexPeL mhx

mhx , (24)

čia )(xPm - vėl m -ojo laipsnio daugianaris. Dėl to atskirojo sprendinio reikia ieškoti pavidalo

)()(~ xQexy mhx , (25)

čia )(xQm - m -ojo laipsnio daugianaris su neapibrėžtais koeficientais.

b) Kai }{h keitiniu

)()( xwexy hx (26)

lygtis (16) suvedama į pavidalą

)(... 1)1(

1)(

0 xPwbwbwb mnnn

. (27)

Matome, kad lygties (27) homogeninė dalis turi sprendinį 1Cw ir jos atskirasis sprendinys

turi pavidalą

)()(~ xxQxw m . (28)

Tuo remiantis lygties (16) atskirojo sprendinio reikia ieškoti pavidalo

)()(~ xQexxy mhxk , (29)

čia k yra charakteristinės lygties sprendinio h kartotinumo eilė. Kai į funkciją (23) įeina

sinusas arba kosinusas, tai, užrašę trigonometrines funkcijas pavidalu

xxxx eexeex iiii

i2

1)sin(,

2

1)cos( , (30)

uždavinį suvedame į jau išnagrinėtus atvejus.

Eulerio lygtis. Lygtis, kurios pavidalas

)(... 1)1(1

1)(

0 xFyayxayxayxa nnnnnn

, (31)

74

čia naaa ...,,, ,10 - realios konstantos, o )(xF reali funkcija, vadinama Eulerio lygtimi.

Eulerio lygtis keitiniu

tex (32)

suvedama į lygtį su pastoviais koeficientais. Skaičiuojame išvestines:

,d

d

d

d3

d

d2

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

1

d

d

,d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

1

d

d

d

d

d

d

,d

d

d

d

d

d

1

d

d

d

d

d

d

3

33

2

233

2

222

3

3

2

222

2

2

t

ye

t

ye

t

ye

t

ye

t

ye

te

t

y

t

xx

y

t

ye

t

ye

t

ye

te

t

y

t

xx

t

t

y

x

y

t

ye

t

y

t

xx

t

t

y

x

y

tttttt

tttt

t

, (33)

Surašę keitinį (32) ir išvestines (33) į lygtį (31) gauname lygtį su pastoviais koeficientais

)(... 1)1(

1)(

0t

nnnn eFybybybyb , (34)

tiktai koeficientai prie ieškomos funkcijos išvestinių, bendru atveju, bus kitokie, nei lygtyje

(31). Lygties (34) sprendimo metodas jau aptartas. Jos charakteristinė lygtis

0... 11

10 ybbbb nn

nn , (35)

o fundamentaliosios sistemos elementai yra

ttt neee

,...,, 21 . (36)

Padarius atvirkščią keitiniui (32) keitinį turime

nxxx

,...,, 21 . (37)

Dėl to lygties (31) charakteristinę lygtį (35) užsirašyti ir rasti fundamentaliąją sistemą

paprasčiau iš karto sprendinio ieškant pavidalo

Cxy . (38)

Tegul charakteringosios lygties (35) šaknies m kartotinumas yra k . Tada lygties (34)

homogeninės dalies sprendinyje pasirodys fragmentas

tk

kmetCtCC

)...( 1110

. (39)

Grįžus prie koordinatės x reiškinys (39) turės tipinį pavidalą

xxCxCC kk )(ln...)ln( 1

110

. (40)

75

Tuo remiantis galime lygties (31) sprendimui naudoti tas pačias operacijas, kaip ir

sprendžiant lygtį (1), tik vietoje x pasirodo )ln(x .


02

52 yyxyx . (1.1)

Sprendimas. Sprendinio ieškome pavidalo

0, CCxy . (1.2)

Įrašę (1.2) į lygtį (1.1) gauname charakteristinę lygtį

,012

32 (1.3)

kurios sprendiniai

2,2

1 . Lygties (1.1) bendrasis sprendinys

22

1)(x

CxCxy . (1.4)


02 yyxyx . (2.1)

Sprendimas. Sprendinio ieškodami pavidalo (38) gauname charakteringąją lygtį

,0122 (2.2)

kurios sprendiniai 1,1 . Lygties (1.1) bendrasis sprendinys

)ln()( 21 xCCxxy . (2.3)


02 yyxyx . (3.1)

Sprendimas. Sprendinio ieškodami pavidalo (38) gauname charakteringąją lygtį

,012 (3.2)

kurios sprendiniai i,i . Lygties (3.1) bendrasis sprendinys

i2

i1)( xCxCxy . (3.3)

Pasinaudoję tuo, kad ))ln(exp( xaxa , sprendinį (3.3) galime užrašyti taip:

))sin(ln())cos(ln()( 21 xCxCxy . (3.4)

76

12. Mechaninis osciliatorius

Tegul plonu horizontaliu strypu gali slankioti masės m karoliukas. Su atrama karoliukas

sujungtas stangrumo k spyruokle, kuriai galioja Huko dėsnis. Karoliuką lygiagrečiai strypui

veikia nuo laiko priklausanti jėga )(tF ir terpės pasipriešinimo jėga, proporcinga greičiui

v . Čia v yra karoliuko momentinis greitis, o ženklas minusas todėl, kad pasipriešinimo

jėga yra priešingos greičiui krypties. Mechaninė sistema schematiškai atvaizduota 1 pav.

Koordinatės x atskaitos pradžią pasirenkame taške, kuriame, nesant jėgos )(tF , karoliukas

galėtų būti nejudėdamas neribotą laiką. Imkime, kad pradiniu laiko momentu karoliukas yra

taške 0x , o jo greitis yra 0v . Karoliuko dinamiką aprašo antrasis Niutono dėsnis:

t

xtFkx

t

xm

d

d)(

d

d2

2

. (1)

Tai yra antros eilės diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais. Košy uždavinio pradinės

sąlygos

0)( xtx , (2)

00d

)(dv

t

tx

t

. (3)

1 pav. Mechaninio osciliatoriaus schema

Padaliję lygtį (1) iš m gauname

).(d

d2

d

d 202

2

tfxt

x

t

x (4)

Čia pažymėta:

2m

, 20

m

k, )(

)(tf

m

tF .

Iš pradžių surandame lygties (4) homogeninės dalies sprendinį. Jo ieškome pavidalu

)exp( tCx . (5)

Charakteristinės lygties

F(t)-vmk

O x

77

02 20

2 (6)

sprendiniai

i20

22,1 . (7)

Čia pažymėta

220

2 . (8)

Homogeninės lygties bendrasis sprendinys

)exp()exp( 2211 tCtCxh . (9)

Lygties (4) atskirojo sprendinio ieškome pavidalo

)exp()()exp()(~2211 ttCttCx . (10)

Funkcijas )(1 tC ir )(2 tC surandame išsprendę algebrinių lygčių sistemą jų išvestinių

atžvilgiu

)()exp()()exp()(

,0)exp()()exp()(

222111

2211

tfttCttC

ttCttC

(11)

ir suintegravę. Sistemos (11) sprendinys

)iexp(i2

)()(1 tt

tftC

, (12)

)iexp(i2

)()(2 tt

tftC

. (13)

Funkcijos )(1 tC ir )(2 tC turi pavidalą

1

0

1 d)iexp()(i2

1)( CftC

t

, (14)

2

0

2 d)iexp()(i2

1)( CftC

t

. (15)

Konstantos 1C ir 2C , įstačius išraiškas (14)-(15) į sąryšį (10), sukurs homogeninės lygties

sprendinį. Turėdami tai galvoje, atskirąjį sprendinį galime užrašyti taip:

d)(sin)(1~

0

)( tefx

tt . (16)

Bendrasis lygties (4) sprendinys

d)(sin)(1

)(

0

)()i(2

)i(1

tefeCeCtx

tttt . (17)

78

Panaudoję pradines sąlygas (2)-(3) surandame integravimo konstantas:

i2

)i(,

i2

)i( 002

001

xvC

xvC . (18)

Įrašę integravimo konstantų vertes į (17) sąryšį gauname

d)(sin)(

1)sin()cos()(

0

)(000

teft

xvtxetx

ttt . (19)

Tai yra Košy uždavinio (2)-(4) sprendinys. Pirmasis dėmuo tenkina homogeninę lygtį (4),

kada funkcija 0)( tf . Jis aprašo savuosius svyravimus, kai karoliukas pradiniu laiko

momentu nėra pusiausvyros padėtyje. Jeigu karoliuką veikia terpės pasipriešinimo jėga, šie

svyravimai eksponentiškai gęsta. Atskirasis sprendinys aprašo priverstinius svyravimus, kai

sistema žadinama jėga )(tf ir pereinamąjį vyksmą, kurio metu nusistovi priverstiniai

svyravimai. Pereinamojo vyksmo svyravimai taip pat eksponentiškai gęsta. Atskirojo

sprendinio pavidalą detaliau aptarsime įsisavinę integralinės Laplaso transformacijos

operaciją.

79

Uždaviniai

1 )2exp( xy 2 )sin(xxy

3 1)exp(

yy

y

y 4 0122 yyy

5

1)0(,0)0(

,122

yy

xy

6 21 yy

7 22 yyy 8 0)sin()cos( xyxyy

9 0)1( yyx 10 2

2

1 x

yyyyy

11 2

2

1 x

yyyyy

12 02 yyyxyxy

13 0562)3()4( yyy 14

2)1(,0)1(

,02

yy

yyxyyx

15

0)1(,1)1(

,)( 3

yy

xyyyx

16

1)0(,1)0(

,14

yy

yy

17

0)1(,1)1(

,013

yy

yy

18 yyyy 2

19 yyyy 2 20

1)0()0(

)ln(22

yy

yyyyy

21 0)0()0(,2 yyyy 22 1)0()0(,2 yyyy

23 42 yyyy 24

3)0(,0)0(

,02 3

yy

yyy

25 02)(tg 2 yyy 26 03)1( 22 yyyy

27 ).sin(, 21 xyxy

Užrašykite diferencialinę lygtį su

nurodytais sprendiniais.

28 )(),( 221 xyxy

Užrašykite diferencialinę lygtį su

nurodytais sprendiniais.

29 022 yyyx 30 044)12( yyxyx

31 03 yyxyx 32 02 34 yyxyx

33 024)1( 2 yyxyx 34 022)1( 2 yyxyx

35 0

)1(

1

1

2222

yx

yx

xy 36 045 yyy

37 044 yyyy 38 0)4( yy

39 0454 )3()4( yyyyy 40 0168 )3()5( yyy

41 02 )3()5()7( yyy 42 xyyyy )3()4()5()6( 33

43 )exp(23 xyyy 44 )2exp()6( xyy

45 262 xyyy 46 )(sh2 xyyy

47 .0)0(,1)0(

),4(exp32

yy

xyyy

48 )exp()3( xyy

49 )cos(4)sin(2 xxyy 50 )icos(2 xyyy

51 )2cos()cos(2 xxyy 52 )2cos()cos( xxyy

53 22 xeyy x 54 )cos(22 xxeyyy x

80

55 )cos(22 xxeyyy x 56 )2cos()sin(45)4( xxyyy

57 )3sin(9 xxyy 58 )exp(1

123

xyyy

59 x

xyyy

)exp(2 60 223 xyyx

61

3)2(2)2(3),1()1(

,32

yyyy

xyyx

62 04 3 yxyyx

63

0)0()0(

,122

yy

yyxy

64 02 xyyyx

65 0

2

364 yyxyyx 66 0)1( 22 ynyxyx

67 024)1( 2 yyxyx 68 0)1( 22 ynyxyx

69 02)(2)1( 322 yyxxyxx 70 0222 yyxyxy

71 1642 xyyxyxy 72 Lygtį išspręskite dviem būdais:

tiesiogiai ir eilučių metodu. 0 yyxy

73 0)1()23(2 22 yxyxxyx 74 1,02)1( xyyyx

75 0663 23 yyxyxyx 76 2

23

22xy

xy

xy

77

0000

2

20

)(,)(

,0

yxyyxy

yx

yx

y

78 )ln(128 23 xyxyxyx

79 012 2 yyy

Sprendiniai

1 32

21)2exp(

8

1CxCxCxy 2 21)cos(2)sin( CxCxxxy

3

2

1

)exp()1(

,)exp()ln(

Cpppy

Cppx

4 3

32

1

1

)(12

CxCC

C

xy

5

3

11)2(

6

1)(Arsh

2

1 22 xxxxxy 6 )cos( 12 CxCy

7 221 )(

4

1CxCy 8

x

xC

xCy

0

2

1

d))exp(sin())sin(exp(

))sin(exp(

9 221

4

1)ln( xxCCy 10

x

CCy

0

12 d))(arctgexp(exp

11

x

CCy

0

122 d))(arctgexp(

12

2exp

2

12x

CCy

13 43

81

2 )(56

CxCCxC

y 14

2

1tg2

2xy

81

15 1)1(

3

1)1(

5

14 2

3

2

5

xxy 16

3

4

4

31

xy

17 1)1( 22 yx 18 )ln()ln( 211 CCyCyx

19 ))exp(1(

112

1

1 xCCC

yC

20 ))(shexp( xy

21 3

3

1xy 22

3

2)1(

3

1 3 xy

23 )exp(1 12

12

1 xCCy

C

y

C

24 xyy 3)1( 2

25 21 )(ctg CyxC 26 3

221

1

)(11

CCxCC

y

27

0)sin()sin(

))cos()(sin(

xyyxx

yxxx

28 0

2

2

yyy

29 )2(ch)2(sh 21 xCxCy 30 xCxCy 2exp21

31

xxCxCy

1exp21

32

xC

xCy

1cos

1sin 21

33

1

1

1 2221

x

Cx

xCy

34 )1( 221 xCxCy

35

1

1

1 22

21

x

C

x

xCy 36 )4exp()exp( 21 xCxCy

37

xCxC

xxCy

2

5exp

2

5exp

)5.1exp()exp(

32

1

38

)cos()sin(

)exp()exp(

43

21

xCxC

xCxCy

39

xCxCe

eCeCey

x

xxx

2

3cos

2

3sin 43

2

1

2

5

22

5

12

3

40

)2sin()(

)2cos()(

54

321

xxCC

xxCCCy

41

)sin()cos( 7654

2321

xxCCxxCC

xCxCCy

42

2422

)exp(

432

654

2321

xxxCxCC

xxCxCCy

43 )exp()2exp()exp( 21 xxxCxCy 44

x

x

exCxC

exCxC

xxCxCy

2

1

65

2

1

43

21

2

3cos

2

3sin

2

3cos

2

3sin

)2exp(63

1)exp()exp(

45

2

21

332

9

)2exp()exp(

xx

xCxCy

46

)exp(4

1)exp(

8

1

)exp(

2

21

xxx

xxCCy

82

47 )4exp(

5

1)exp(

5

4xxy 48

2exp

2

3cos

2

3sin

)exp(3

)exp(

32

1

xxC

xC

xx

xCy

49

)cos(2)sin(

)exp()exp( 21

xx

xCxCy

50

)exp(4

1)exp(

8

1

)exp(

2

21

xxx

xxCCy

51

)sin()2cos(3

1

)cos()sin( 21

xxx

xCxCy

52

)sin(2

1)2cos(

3

1

)cos()sin( 21

xxx

xCxCy

53 2

21

2)exp(

)exp()exp(

xxx

xCxCy

54

)sin(25

1014)cos(

25

52

)exp()exp()cos()sin( 21

xx

xx

xxxCxCy

55

)exp()sin()cos(4

1

)exp()cos()sin(

2

21

xxxxx

xxCxCy

56

)3sin(80

1)cos(

12

1)2cos(

)2sin()cos()sin(

4

321

xxxxC

xCxCxCy

57

)3cos(12

)3sin(36

)3cos()3sin(

2

21

xx

xx

xCxCy

58

)2exp())exp(1ln()exp(1

)exp())exp(1ln(

)2exp()exp( 21

xxx

xx

xCxCy

59

)ln()exp()exp(

)exp()exp( 21

xxxxx

xxCxCy

60 x

xCxCy1

)exp()exp( 21

61 211

xx

y 62 )exp()exp( 22

21 xCxCy

63 ))exp(1(

2

1 2xy 64 x

xC

x

xCy

)cos()sin(21

65

d4

exp4

exp

4exp

0

2

3

2

1

x

x

xC

xCy

66

1,0),sin(arc

,0)),cos(arc(cos

))cos(arc(sin

1,0),(Arch

,0)),(Arch(ch

))(Arch(sh

12

2

1

12

2

1

xnxCC

nxnC

xnC

y

xnxCC

nxnC

xnC

y

67 2

22

1

11 x

xC

x

Cy

68

0),(Arsh

0)),(Arshcos(

))(Arshsin(

12

2

1

nxCCy

nxnC

xnCy

69

2

2

22

2

11

2

1

1

1ln

4

1

x

xC

xx

x

x

xCy

70

x

xxC

xCxCy

0

333

221

d)3exp()(

83

71

0

00

00

d3

2)exp1)((

d)2(

3exp

d2

1

d)2(

3exp

d2

1

)1(

33

23

3

3

2

23

3

3

23

32

21

x

x

x

x

x

x

x

x

xC

xCxCy

72

0

12

1

0

2

0

221

22

!)!12(

)1(

!)!2(

)1(

d

0

222

k

kk

k

kk

x

x

xx

k

xa

k

xa

eeAeAy

73

x

xb

k

xxay

k

k )exp(

!)!32(

)2(31 0

1

0

74

...5040

3359

60

41

24

17

4

3

6

5

...336

137

720

301

30

13

24

11

2

1

2

11

765

4321

765

4320

xxx

xxxxc

xxx

xxxcy

75 33

221 xCxCxCy 76 4

2216

11x

xCxCy

77

220

2

0

000

00

0

,21

,lnsin

lncos

pp

x

xpyxy

x

xy

x

xy

p

78 )(ln

12

1)ln(

36

5 2

33

22

1 xxx

C

x

CCy

79

23

12

12

1

4

1

,4

1)ln(

2

1

Cp

py

Cp

px

84

III skyrius. Diferencialinių lygčių sistemos

13. Diferencialinių lygčių sistemos samprata

Kaip žinome iš mechanikos, materialiojo taško judėjimo lygtis vektoriniu pavidalu yra

.d

d,,

d

d2

2

t

rrtF

t

rm

(1)

Čia m - materialiojo taško masė, F

- tašką veikianti jėga, kuri gali priklausyti nuo

koordinačių, greičio ir laiko. Suprojektavę lygtį (1) į koordinačių ašis galime užrašyti

skaliarinių diferencialinių lygčių sistemą

,d

d,

d

d,

d

d,,,,

d

d

,d

d,

d

d,

d

d,,,,

d

d

,d

d,

d

d,

d

d,,,,

d

d

2

2

2

2

2

2

t

z

t

y

t

xzyxtF

t

zm

t

z

t

y

t

xzyxtF

t

ym

t

z

t

y

t

xzyxtF

t

xm

z

y

x

(2)

kuri yra ekvivalentiška vektorinei lygčiai (1). Vektorinis pavidalas (1) dažniausiai yra tik

patogus būdas operuoti su lygčių rinkiniu (2). Ieškomos funkcijos )(tx , )(ty , )(tz gali įeiti

į visas rinkinio (2) lygtis. Susietų diferencialinių lygčių rinkinys vadinamas diferencialinių

lygčių sistema.

Nežinomos funkcijos diferencialinių lygčių sistemoje (2) priklauso tik nuo vieno

parametro t . Tokia sistema vadinama paprastųjų diferencialinių lygčių sistema. Padaliję

lygtis (2) iš parametro m turėtume sistemą, išspręstą aukščiausios eilės išvestinių atžvilgiu.

Diferencialinių lygčių sistemos pavidalas, kai sistemos lygtys yra išspręstos ieškomų funkcijų

aukščiausios eilės išvestinių atžvilgiu, vadinamas normaliniu. Paprastai prieš sprendžiant

paprastųjų diferencialinių lygčių sistemą ją būna naudinga užrašyti kaip pirmos eilės

diferencialinių lygčių sistemą. Pažymėję )()( 1 tutx , )()( 2 tuty , )()( 3 tutz , 1fmFx

, 2fmFy , 3fmFz sistemą (2) galime užrašyti taip:

85

.,,,,,,d

)(d

,,,,,,,d

)(d

,,,,,,,d

)(d

),(d

)(d

),(d

)(d

),(d

)(d

65432136

65432125

65432114

63

52

41

uuuuuutft

tu

uuuuuutft

tu

uuuuuutft

tu

tut

tu

tut

tu

tut

tu

(3)

Sistema (3) yra užrašyta normaliniu pavidalu. Kai turime spręsti paprastųjų diferencialinių

lygčių sistemą, ją pirmiausia tikslinga užrašyti normaliniu pavidalu (3). Apibendrintai n

paprastųjų diferencialinių lygčių sistemą nuo argumento x imsime esant normaline ir turinčia

pavidalą

],[,,...,1),,(d

)(d21 xxxnjyxf

x

xyj

j . (4)

Čia y be indekso reiškia visą funkcijų rinkinį nyy ,...,1 , konkreti rinkinio funkcija nurodoma

pridedant indeksą. Fizikos uždaviniuose diferencialinių lygčių sistemos dažniausiai pasirodo

ne normaliniu pavidalu. Pirmas svarbus sprendimo etapas – suteikti sistemai normalinį

pavidalą. Neretai tada paaiškėja, kokiu būdu galima ieškoti sistemos sprendinio. Iš kitos

pusės tai naudinga ir dėl to, kad diferencialinių lygčių sistemų sprendimo bendri skaitiniai

metodai ir programų kodai kuriami sistemoms, užrašytoms normaliniu pavidalu.

Sistemos (4) bendrasis sprendinys turi n integravimo konstantų

njCCxyy njj ,...,1),,...,,( 1 , (5)

kurios randamos iš papildomų sąlygų. Košy uždavinio atveju tai būtų

njyy jxxj ,...,1,00

, (6)

čia 0jy - konstantos. Lygčių sistemai (4) Košy uždavinio sprendinys pradinių sąlygų taško

),...,,( 0100 nyyx aplinkoje egzistuoja ir yra vienintelis, jeigu sistemos funkcijos pradinių

sąlygų taško aplinkoje yra aprėžtos ir diferencijuojamos pagal visus argumentus. Funkcijos

(5) yra sistemos (4) sprendinys, jeigu į sistemą (4) įrašius sprendinį (5), sistemos (4) lygtys

virsta tapatybėmis.

86

14. Diferencialinių lygčių sistemų sprendimo metodai

Paprastųjų diferencialinių lygčių sistemos sprendimo uždavinys yra sudėtingesnis už

atskiros diferencialinės lygties sprendimo uždavinį. Paprastųjų diferencialinių lygčių

sistemos atveju

],[,,...,1),,(d

)(d21 xxxnjyxf

x

xyj

j (1)

bet kurios funkcijos my atžvilgiu galima užrašyti aukštesnės eilės diferencialinę lygtį.

Paprastai tai būna n -os eilės diferencialinė lygtis ir tik išimtinais atvejais – žemesnės. Taikant

suvedimo į aukštesnės eilės lygtį metodą kaip tarpinį rezultatą gauname išraiškas, iš kurių

be integravimo operacijų galima surasti kitas sprendinio funkcijas, jeigu tik pasiseka prieš tai

išspręsti diferencialinę lygtį funkcijos my atžvilgiu. Kadangi gautoje lygtyje funkcijos my

atžvilgiu kitų funkcijų nėra, tai šis metodas dar vadinamas eliminavimo metodu.

14.1. Eliminavimo metodas. Apibrėžtumo dėlei imkime 1m . Sistemos (1) lygties

dešinėje pusėje nėra funkcijų njy j ,..,1, išvestinių pagal x ir ją galime perrašyti taip:

),(d

)(d1

1 yxFx

xy . (2)

Čia dešinėje lygties pusėje panaudota didžioji raidė norint pabrėžti, kad funkcija neturi

njy j ,..,1, išvestinių pagal x . Išdiferencijavę lygtį (2) pagal x gauname

x

yxF

x

y

y

yxF

x

xy n

j

j

j

),(

d

d),(

d

)(d 1

1

12

12

. (3)

Įstatę čia išvestinių išraiškas iš lygčių sistemos dešinėje pusėje vėl turėsime funkciją tik nuo

x ir njy j ,..,1,

),(),(

),(),(

d

)(d2

1

1

12

12

yxFx

yxFyxf

y

yxF

x

xy n

j

jj

. (4)

Apskaičiavę tokiu būdu ir n -os eilės išvestinę turime n lygčių rinkinį

).,(d

)(d

,

),,(d

)(d

),,(d

)(d

1

221

2

11

yxFx

xy

yxFx

xy

yxFx

xy

nn

n

. (5)

87

Išsprendę pirmas 1n lygčių funkcijų nyyy ,...,, 32 atžvilgiu gauname sąryšius

njyyyyxYy njj ,...,2),,...,,,,( )1(

1111 . (6)

Įstatę sąryšius (6) į rinkinio (5) paskutinę lygtį gauname n -os eilės paprastąją diferencialinę

lygtį, užrašytą normaliniu pavidalu

),...,,,,( )1(1111

)(1

nn yyyyxQy . (7)

Jeigu lygtį (7) pavyksta išspręsti, tada iš sąryšių (6) surandame likusias nežinomas funkcijas,

kas nereikalauja integravimo procedūros.

Kaip jau buvo pateikta aukščiau, gauti bendrąjį sprendinį algebriniu pavidalu nedažnai

pavyksta ir antros eilės diferencialinei lygčiai. Eliminuodami iš n lygčių sistemos 1n

funkciją turime spręsti 1n eilės algebrinių lygčių, bendru atveju netiesinių, sistemą. Tai yra

sudėtingas algebrinis uždavinys ir tikėtis jį išspręsti galima tik tada, kai sistemoje mažai

lygčių. Kita problema yra pačios lygties (7) sprendimas. Tačiau, nepaisant visko, ieškant

bendrojo sprendinio lygties vienai kuriai lygčių sistemos funkcijai užrašymas jau yra

pasiekimas.

Pavyzdys 1. Išspręskite lygčių sistemą

.1

d

d,

11

d

d

txt

y

yt

x

(1.1)

Sprendimas. Sistemos (1.1) pirmą lygtį išsprendžiame y atžvilgiu

x

y

1

1. (1.2)

Įstatę išraišką (1.2) į sistemos (1.1) antrą lygtį gauname lygtį tik nežinomos funkcijos )(tx

atžvilgiu

txx

x

1

)1( 2

. (1.3)

Padauginę šią lygtį iš x1 integruojame. Pirmas integralas

)(1 1 txCx . (1.4)

Lygtyje (1.4) kintamieji atsiskiria ir integruodami gauname

tCCttx 12 exp)( . (1.5)

Įrašę gautą )(tx išraišką į sąryšį (1.2) surandame )(ty be integravimo operacijos

.exp1

)( 121

tCCC

ty (1.6)

88

Sprendžiant sistemą (1.1) funkcijų eliminavimą galima pradėti ir nuo antros lygties,

išsprendus ją )(tx atžvilgiu. Gaunama lygtis funkcijos )(ty atžvilgiu taip pat lengvai

integruojama. Bendru atveju toks rezultatas nėra tipinis. Bendru atveju lygtis funkcijos ky

atžvilgiu skiriasi nuo lygties funkcijos my atžvilgiu ir nėra tas pats, kokios funkcijos atžvilgiu

užrašytą lygtį spręsti.

Pavyzdys 2. Išspręskite lygčių sistemą

.,t

xyty

t

xx (2.1)

Sprendimas. Iš sistemos (2.1) eliminuojame funkciją )(tx . Eliminavimą atliekame pagal

bendrą schemą: antrą sistemos lygtį išdiferencijuojame pagal t

,2t

x

t

xy

(2.2)

o iš gautos antros eilės diferencialinės lygties )(tx ir )(tx pašaliname, suradę šiuos dydžius

iš sistemos (2.1):

).()()(),( ttytytxtytx (2.3)

Įrašę išraiškas (2.3) į lygtį (2.2) gauname paprastąją diferencialinę lygtį

.02

yyt

y (2.4)

Lygtį (2.4) suvedame į kanoninį pavidalą keitiniu

).()()( twtty (2.5)

Įstatę sąryšį (2.5) į lygtį (2.4) gauname

022

2)(

w

tw

twt . (2.6)

Lygtis (2.6) turės kanoninį pavidalą, kai

02

2 t

. (2.7)


t

1 . (2.8)

Lygties (2.6) kanoninis pavidalas yra

0ww . (2.9)

Matome, kad lygties (2.4) sprendinys

t

tC

t

tCty

)cos()sin()( 21 . (2.10)

89

Pagal pirmąjį iš sąryšių (2.3) surandame )(tx :

.)cos(

)sin()sin(

)cos()( 21

t

ttC

t

ttCtx (2.11)

Tokiu pat būdu iš sistemos (2.1) eliminavus funkciją )(ty gauname diferencialinę lygtį

,0)(2

1)(2

tx

ttx (2.12)

kurią išspręsti elementariais metodais neina.

14.2. Integruojamų kombinacijų metodas. Manipuliuojant sistemos (1) lygtimis kai

kada pavyksta užrašyti sąryšius

nmkyxx

k ,...,1,0),(d

d. (8)

Akivaizdu, kad sąryšius (8) galima suintegruoti bendru pavidalu

nmkCyx kk ,...,1,),( . (9)

Sąryšiai (9) vadinami lygčių sistemos pirmaisiais integralais, o sąryšių (8) kairė pusė –

integruojamomis funkcijų kombinacijomis. Matome, kad į pirmuosius integralus neįeina

funkcijų nyy ,...,1 išvestinės. Diferencialinių lygčių teorijoje įrodoma, kad sistema (1) negali

turėti daugiau kaip 1n pirmąjį integralą. Suradus m tiesiškai nepriklausomų pirmųjų

integralų galima jais pakeisti m sistemos (1) lygčių ir diferencialinio skaičiavimo uždavinys

pasidaro paprastesnis. Pritaikę eliminavimo metodą galime nežinomos funkcijos atžvilgiu

užrašyti mn eilės diferencialinę lygtį. Kai sistemos eilė neaukšta, tai gali atverti galimybę

surasti sistemos (1) sprendinį. Primename, kad n kintamųjų nyy ,...,1 funkcijos

mkk ,...,1, yra tiesiškai nepriklausomos, jeigu jakobianas

n

mmm

n

n

yyy

yyy

yyy

yJ

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

(10)

turi rango m minorą, nelygų nuliui, kitaip tariant, tarp funkcijų yra tiek tiesiškai

nepriklausomų funkcijų, kokio aukščiausio rango minorą, nelygų nuliui, jakobianas (10) turi.

Integruojamų kombinacijų ir iš jų gaunamų pirmųjų integralų radimui algoritmo nėra. Čia

padėti gali sprendžiamo uždavinio kontekstas (fizikiniuose – tvarūs dydžiai, simetrija) ir

sprendėjo matematikos žinios bei įgūdžiai jomis naudotis.

90

Diferencialinių lygčių sistemą (1) galima užrašyti simetriniu pavidalu. Tuo tikslu visas

sistemos (1) lygtis išsprendę xd atžvilgiu ir, gautas išraiškas sulyginę, turime

),(

d...

),(

d

),(

d

2

2

1

1

xyf

y

xyf

y

xyf

y

n

n . (11)

Tai yra diferencialinių lygčių sistemos (1) simetrinis pavidalas. Kai norime išspręsti

diferencialinių lygčių sistemą, tikslinga patyrinėti tiek pavidalą (1), tiek pavidalą (11).

Pavyzdys 3. Išspręskite diferencialinių lygčių sistemą

.)(

d

)(

d

)(

d

zyy

z

yzz

y

zyx

x

(3.1)

Sprendimas. Iš sąryšių (3.1) imdami paskutinę lygybę turime

)(

d

)(

d

zyy

z

yzz

y

. (3.2)

Čia atskyrę kintamuosius gauname

zzyy dd . (3.3)

Suintegravę lygybę (3) gauname vieną pirmąjį integralą

21

22 Czy . (3.4)

Sąryšių (3.1) pirmąją lygybę perrašome taip:

)(

d)(d

yzz

yzy

x

x

. (3.5)

Sistemos integralas (3.4) virsta tapatybe, jeigu paimsime

)cos(),sin( 11 CzCy . (3.6)

Įstatę išraiškas (3.6) į lygtį (3.5) gauname lygtį su atsiskyrusiais kintamaisiais

d

)sin()cos(

)cos()sin(d

x

x. (3.7)

Lygties (3.7) integralas

)ln())sin()ln(cos()ln( 2Cx . (3.8)

Atsižvelgę į sąryšius (3.6) gauname

yz

CCx

21 . (3.9)

Patogumo dėlei sistemos pirmąjį integralą (3.9) galime užrašyti taip:

2)( Cyzx . (3.10)

Daugiau pirmųjų integralų ši sistema turėti negali. Funkcijų )(tx , )(ty , )(tz dar neradome.

Sistema (3.1) pavidalu (1) atrodo taip:

91

)(),(),( zyyzyzzyzyxx . (3.11)

Iš sąryšio (3.4), išsprendus jį y atžvilgiu, turime

221 zCy . (3.12)

Išsprendę sąryšį (3.10) x atžvilgiu gauname

yz

Cx

2 . (3.13)

Sąryšyje (3.12) atsiranda galimybė pasirinkti reiškinio ženklą. Taikomuosiuose uždaviniuose

tokios laisvės nėra, nes ženklą apsprendžia pradinės sąlygos. Čia galimybė pasirinkti ženklą

tik rodo, kad egzistuoja sistemos sprendinys tiek su vienu, tiek su kitu ženklu. Pagal sistemos

(3.11) paskutinę lygtį, pasinaudodami sąryšiu (3.12), gauname diferencialinės lygties

funkcijos )(tzz atžvilgiu du variantus

221

221 zCzzCz . (3.14)

Jos sprendinys kvadratūromis

322

122

1

dCt

zCzzC

z

. (3.15)

Iš sprendinio (3.15) surandame )(tzz , o šią išraišką įrašę į (3.12) ir (3.13) surandame

)(tyy ir )(txx .


.)(

d

)(

d

)(

d

yxz

z

xzy

y

zyx

x

(4.1)

Sprendimas. Lygčių sistema (4.1) normaliniu pavidalu

)(),(),( yxzzxzyyzyxx . (4.2)

Sudėję lygtis (4.2) gauname

0 zyx . (4.3)

Iš čia gauname vieną sistemos (4.1) pirmąjį integralą

1Czyx . (4.4)

Nesunku pastebėti, kad

0z

z

y

y

x

x . (4.5)

Iš sąryšio (4.5) gauname dar vieną pirmąjį integralą

2Cxyz . (4.6)

92

Kadangi turime du sistemos (4.1) integralus, sprendiniui rasti pakanka suintegruoti kurią nors

sistemos (4.2) lygtį. Eliminavę z iš integralų (4.4) ir (4.6) gauname

21 )( CyxCxy . (4.7)

Išsprendę lygtį (4.7) y atžvilgiu gauname

x

xCxCxxxCy

2

4)( 22

122

1 . (4.8)

Iš sistemos (42) pirmos lygties, panaudodami integralą (4.4) eliminuojame funkciją z

xCxxyx 122 . (4.9)

Į lygtį (4.9) įrašę išraišką (4.8) gauname diferencialinę lygtį funkcijos )(tx atžvilgiu

xCxCxx 22

12 4)( . (4.10)

Lygties (4.10) sprendinį galima užrašyti tik kvadratūromis

3

22

12 4)(

dCt

xCxCx

x

. (4.11)

Jeigu pavyktų lygtį (4.11) išspręsti funkcijos x atžvilgiu ir gauti sprendinį pavidalu

),,,( 321 CCCtxx , (4.12)

Tada iš integralų (4.4) ir (4.6) rastume funkcijas ),,,( 321 CCCtyy ir ),,,( 321 CCCtzz .

Kaip ir paprastųjų diferencialinių lygčių sprendimo uždavinyje, integravimo konstantų

radimas iš pradinių sąlygų iš karto, kai tik jos pasirodo uždavinyje, dažnai palengvina

integralų skaičiavimą.

15. Eulerio metodas

Taikymuose dažnai tenka spręsti tiek tiesinių homogeninių, tiek tiesinių nehomogeninių

diferencialinių lygčių sistemas su pastoviais koeficientais. Tokio uždavinio sprendimo

metodą, vadinamą Eulerio metodu, čia išdėstysime.

Tegul turime tiesinių diferencialinių lygčių sistemą

njxfxyax

xy n

k

jkjkj

,...,1,)()(d

)(d

1

, (1)

čia jka - konstantos, o )(xf j - žinomos funkcijos. Ieškosime sistemos (1) sprendinio,

tenkinančio pradines sąlygas

93

njyxy jj ,...,1,)( 00 . (2)

Kaip ir tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties atveju uždavinį sprendžiame dviem

etapais:

1) išsprendžiame homogeninių lygčių sistemą

njxuax

xu n

k

kjkj

,...,1,)(d

)(d

1

, (3)

2) varijuodami konstantas, surandame atskirąjį sprendinį. Bendrasis sistemos(1)

sprendinys bus homogeninės sistemos (3) sprendinio ir sistemos (1) atskirojo

sprendinio suma.

1. Homogeninės sistemos sprendimas. Eliminavimo metodu užrašius diferencialinę lygtį

kurios nors nežinomos funkcijos, įeinančios į sistemą (3) atžvilgiu, gautume eilės np

tiesinę diferencialinę lygtį su pastoviais koeficientais. Kaip žinome, tokios diferencialinės

lygties daliniai sprendiniai turi pavidalą )exp( x . Dėl to ir homogeninių diferencialinių

lygčių sistemos su pastoviais koeficientais (3) sprendinio ieškome pavidalo

njxCxu jj ,...,1),exp()( , (4)

čia njC j ,...,1, yra integravimo konstantos, surandamos iš pradinių sąlygų (2). Įrašę

išraiškas (4) į sistemą (3) gauname tiesinių algebrinių lygčių sistemą njC j ,...,1, atžvilgiu

njaCn

k

jkjkk ,...,1,01

. (5)

Čia

kj

kjjk

,0

,1 - Kronekerio simbolis. Lygčių sistema (5) turės netrivialų (ne tapatingai

lygų nuliui) sprendinį, kai sistemos pagrindinis determinantas bus lygus nuliui, tai yra

0det jkjka . (6)

Gavome diferencialinių lygčių sistemos (3) charakteringąją lygtį. Parametro atžvilgiu

tai yra n - ojo laipsnio daugianaris

0... 11

10

nnnn bbbb . (7)

Kaip žinome iš algebros, n - ojo laipsnio daugianaris turi n šaknų. Tegul šaknų rinkinys yra

n ,...,, 21 . (8)

Šiame žingsnyje turime du kokybiškai skirtingus variantus: a) visos šaknys (8) yra skirtingos

(nėra poromis lygių); b) rinkinyje (8) yra kartotinių (poromis lygių) šaknų. Šaknų

94

kompleksiškumas ieškant sprendinio nėra svarbus, nes tokiu atveju skirsis tik tai, kokiomis

funkcijomis sprendinys gali būti nusakytas.

a) Kai visos charakteringosios lygties šaknys skirtingos lygčių sistemos (3)

fundamentalioji sprendinių sistema yra

x

nxx nexexex

)(...,,)(,)( 2121 . (9)

Sistemos (3) sprendinį gauname į išraiškas (4) įrašę bet kurią iš funkcijų (9). Bendrasis

sprendinys bus šių dalinių sprendinių tiesinė kombinacija

)()(1

)( xCxu k

n

k

kjj

, (10)

čia )(kjC - kol kas neapibrėžtos konstantos, indeksas k numeruoja charakteringosios lygties

sprendinius. Į lygčių sistemą (5) įrašę m turime

njaCn

k

jkmjkm

k ,...,1,01

)(

. (11)

Šios sistemos sprendinių (9) amplitudžių nkC mk ,...,1,)( atžvilgiu pagrindinis

determinantas yra lygus nuliui, dėl to amplitudės nkC mk ,...,1,)( yra tiesiškai

priklausomos. Vieną kurį nors lygčių sistemos (11) stulpelį perkeliame į dešinę lygybės pusę

ir pašaliname vieną eilutę. Apibrėžtumo dėlei tegul tai bus n -tasis stulpelis ir n -oji eilutė.

Gautą 1n eilės nehomogeninių lygčių sistemą išsprendžiame amplitudžių

1,...,1,)( nkC mk atžvilgiu. Sprendinius pažymėkime 1,...,1,)( nkm

k . Visi jie turės

daugiklį )(m

nC . Šią procedūrą pakartoję su visais charakteringosios lygties sprendiniais

nmm ,...,1, gauname, kad sistemos (3) bendrasis sprendinys

).()(

,1...,,1),()(

1

)(

1

)()(

xCxu

njxCxu

k

n

k

knn

k

n

k

kj

knj

(12)

o išskleistu pavidalu

95

).(...)()()(

),(...)()()(

),(...)()()(

),(...)()()(

)(2

)2(1

)1(

)(1

)(2

)2(1

)2(1

)1(1

)1(1

)(2

)(2

)2(2

)2(1

)1(2

)1(2

)(1

)(2

)2(1

)2(1

)1(1

)1(1

xCxCxCxu

xCxCxCxu

xCxCxCxu

xCxCxCxu

nn

nnnn

nn

nn

nnnnnn

nnn

nnn

nnn

nnn

, (13)

Daugikliai nkC kn ,...,1,)( čia vaidina integravimo konstantų vaidmenį ir jų yra tiek, kiek yra

pradinių sąlygų (2). Sąryšiai (12) (arba (13)) yra diferencialinių lygčių sistemos (3) bendrasis

sprendinys.

Kaip matome, lygčių sistemos (3) sprendinio radimas yra ekvivalentiškas matricos A

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

ˆ (14)

tikrinių verčių ir tikrinių vektorių radimui, kai visos tikrinės vertės (charakteringosios lygties

sprendiniai) yra skirtingos. Tad sprendinį šiuo atveju galima užrašyti pavidalu

jnnnjjj gxCgxCgxCxu )(...)()()( 222111 , (15)

čia

1

,...,

1

,

1

)(1

)(2

)(1

)2(1

)2(2

)2(1

2

)1(1

)1(2

)1(1

1

nn

n

n

n

nn

ggg

(16)

matricos A tikriniai vektoriai, o indeksas j formulė (15) dešinėje pusėje rodo, kokios eilutės

elementus reikia imti iš tikrinių vektorių (16). Jau iš pateiktų formulių matyti, kad operuojant

matricomis galima užrašyti lygčių sistemos (3) sprendinį glaustu pavidalu. Norint sprendinį

užrašyti charakteringosios lygties kartotinių šaknų atveju prieš tai turėtume išnagrinėti

matricų teorijos elementus, ko dėl laiko stokos tenka atsisakyti ir spręsti uždavinį ne

bendriausiu metodu.


.52d

d

,43d

d

212

211

yyx

y

yyx

y

(1.1)

96

Sprendimas. Sistemos lygtys yra su pastoviais koeficientais ir sprendinio ieškome

pavidalo (4)

xx eCyeCy 2211 , (1.2)

Įrašę išraiškas (1.2) į lygtis (1.1) ir, sutraukę panašius narius, gauname

.0)5(2

,04)3(

21

21

CC

CC

(1.3)

Tiesinių homogeninių lygčių sistema pavidalo (1.3) gali turėti netrivialų sprendinį tada ir tik

tada, kai jos pagrindinis determinantas yra lygus nuliui. Iš šio reikalavimo gauname

charakteringąją lygtį

0782 , (1.4)

kurios sprendiniai

7,1 (1.5)

yra skirtingi. Lygčių sistemos (1.1) sprendinys pavidalu (10)

.

,

21

21

)2(2

)1(22

)2(1

)1(11

xx

xx

eCeCy

eCeCy

(1.6)

Į sistemą (1.3) įrašę 1 ir, pašalinę antrą lygtį, gauname

04)31( )1(2

)1(1 CC , (1.7)

o įrašę 2 gauname

04)37( )2(2

)2(1 CC , (1.8)

Iš lygčių (1.7) ir (1.8) surandame

)2(

2)2(

1)1(

2)1(

1 ,2 CCCC . (1.9)

Įrašę sąryšius (1.9) į lygtis (1.6) gauname sistemos bendrąjį sprendinį

.

,2

7)2(2

)1(22

7)2(2

)1(21

xx

xx

eCeCy

eCeCy

(1.10)

Integravimo konstantos )1(

2C ir )2(

2C surandamos iš pradinių sąlygų. Kaip matome, uždavinio

tikriniai vektoriai sprendimo eigoje pasirodo savaime

1

1,

1

221 gg . (1.11)


2C ir )2(

2C surandamos iš pradinių sąlygų. .


97

.7d

d

,25d

d

212

211

yyx

y

yyx

y

(2.1)


pavidalo

xx eCyeCy 2211 , (2.2)


.0)7(

,02)5(

21

21

CC

CC

(2.3)

Sistema (2.3) gali turėti netrivialų sprendinį tik tada, kai jos pagrindinis determinantas yra

lygus nuliui. Iš šio reikalavimo gauname charakteringąją lygtį

037122 , (2.4)

kurios sprendiniai yra kompleksiniai skaičiai

i6,i6 , (2.5)

bet skirtingi. Lygčių sistemos (2.1) sprendinys pavidalu (10)

.

,

21

21

)2(2

)1(22

)2(1

)1(11

xx

xx

eCeCy

eCeCy

(2.6)

Į sistemą (2.3) įrašę 1 ir, pašalinę antrą lygtį, o paskui tą pat padarę su antra verte

gauname sąryšius

)2(

2)2(

1)1(

2)1(

1 )i1(,)i1( CCCC . (2.7)


.

,)1()1(

)i6()2(2

)i6()1(22

)i6()2(2

)i6()1(21

xx

xx

eCeCy

eCieCiy

(2.8)


2C ir )2(

2C surandamos iš pradinių sąlygų. Situacija homogeninių

lygčių sistemos atveju tipinė, čia uždavinio tikriniai vektoriai sprendimo eigoje pasirodo

savaime ir šiuo atveju yra

1

i1,

1

i121 gg . (2.9)

Uždavinio sprendimas rodo, kad charakteringosios lygties kompleksinių šaknų atveju

užrašant sprendinį matematinių problemų nekyla. Sprendinį (2.8) galima nusakyti realiomis

98

funkcijomis, jeigu tai žada kokius nors patogumus tolesniuose skaičiavimuose, kur

naudojamas lygčių (2.1) sprendinys. Kaip žinome

xxe x sinicosi . (2.10)

Panaudojant šią formulę sprendinį (2.8) galime užrašyti taip:

.sinicos

sinicosi

)2(2

)1(2

)2(2

)1(2

62

)2(2

)1(2

)2(2

)1(2

)2(2

)1(2

)2(2

)1(2

61

xCCxCCey

xCCCCxCCCCey

x

x

(2.11)

Pažymėję integravimo konstantų tiesiškai nepriklausomas kombinacijas

2)2(

2)1(

21)2(

2)1(

2 i, BCCBCC (2.12)

sprendinį užrašome realiomis funkcijomis

.sincos

,sincos

216

2

12216

1

xBxBey

xBBxBBey

x

x

(2.13)

Integravimo konstantas 1B ir 2B surandame iš pradinių sąlygų. Surinkę narius prie

integravimo konstantų 1B ir 2B sprendinį (2.13) galime užrašyti taip:

.sincos

sincossincos

62

612

62

611

xeBxeBy

exxBexxBy

xx

xx

(2.14)

Lygindami (2.8) ir (2.14) matome, kad prie laisvų integravimo konstantų 1B ir 2B ateina

uždavinio fundamentalios sprendinių sistemos elementų tiesinės kombinacijos. .

b) Lygčių sistemos (3) sprendimas šiek tiek sudėtingesnis, kai charakteringosios lygties

šaknys yra kartotinės. Šiuo atveju elgiamės taip pat, kaip ir sprendžiant vieną diferencialinę

lygtį, kai charakteringoji lygtis turi kartotines šaknis. Tegul šaknies m kartotinumas yra

q . Tada fundamentaliosios sprendinių sistemos elementais, atitinkančiais šaknį m , bus

funkcijos

xqxx mmm exxee

1,...,, . (18)

Kaip matome, Fundamentaliojoje sprendinių sistemoje (9) visada turime n tiesiškai

nepriklausomų funkcijų. Pagrindinis sunkumas sprendžiant konkretų uždavinį čia tas, kad,

bendru atveju, nebegalime pasinaudoti tarpinių skaičiavimų formule (11). Kai

charakteringosios lygties visi sprendiniai apskaičiuoti ir yra skirtingi, viena algebrinė lygtis

pašalinama iš lygčių sistemos (11) ir atliekame tikrinių vektorių radimo procedūrą. Kartotinių

šaknų atveju tenka sprendinį (10) statyti į diferencialinių lygčių sistemą (3) ir pašalinti vieną

sistemos lygtį. Iš likusių lygčių, surinkdami koeficientus prie nepriklausomų funkcijų

99

njj ,...,1, sudarome nn 2 tiesinių algebrinių lygčių sistemą, kurią išsprendžiame,

imdami jog njC kj ,...,1,)( su pasirinkta k verte yra žinomi. Išsprendus šį uždavinį ir

rezultatus surašius į sąryšius (10) likusias amplitudes njC kj ,...,1,)( galime surasti iš

pradinių sąlygų.


.2d

d

,23d

d

212

211

yyx

y

yyx

y

(3.1)


pavidalo

xx eCyeCy 2211 , (3.2)


.0)1(2

,02)3(

21

21

CC

CC

(3.3)

Charakteringoji lygtis

0122 (3.4)

turi kartotinę šaknį

1,1 . (3.5)

Lygčių sistemos (3.1) sprendinys pavidalu (10)

.

,

)2(2

)1(22

)2(1

)1(11

xx

xx

xeCeCy

xeCeCy

(3.6)

Kadangi vieną lygtį iš sistemos (3.1) pašaliname, tai į sistemos (3.1) pirmą lygtį įrašę sąryšius

(3.6) gauname

xxxxxxx xeCeCxeCeCxeCeCeC )2(

2)1(

2)2(

1)1(

1)2(

1)2(

1)1(

1 2233 . (3.7)

Sulyginę koeficientus iš skirtingų lygybės (3.7) pusių prie xe gauname lygtį

.23

,23

)2(2

)2(1

)2(1

)1(2

)1(1

)2(1

)1(1

CCC

CCCC

(3.8)

Išsprendę sistemą (3.8) )1(

2C ir )2(

2C atžvilgiu gauname

100

)2(

1)2(

2)2(

1)1(

1)1(

2 ,2

1CCCCC . (3.9)


.

2

1

,

)2(1

)2(1

)1(12

)2(1

)1(11

xx

xx

xeCeCCy

xeCeCy

(3.10)


1C ir )2(

1C surandamos iš pradinių sąlygų. Surinkę narius prie

laisvų konstantų sprendinį (3.10) galime tapatingai perrašyti taip:

.

2

1

,

)2(1

)1(12

)2(1

)1(11

xx

xx

exCeCy

xeCeCy

(3.11)

Kartotinių šaknų atveju sprendinyje prie laisvų konstantų pasirodo fundamentaliosios

funkcijų sistemos tiesinės kombinacijos. .

2. Konstantų varijavimas. Kaip rodo pateiktų pavyzdžių sprendiniai, homogeninės

diferencialinių lygčių sistemos (3) bendrąjį sprendinį, surinkus narius prie laisvų integravimo

konstantų, apibendrintai visada galima užrašyti pavidalu

).(...)()()(

),(...)()()(

),(...)()()(

),(...)()()(

2211

12121111

22221212

12121111

xCxCxCxu

xCxCxCxu

xCxCxCxu

xCxCxCxu

nnnnnn

nnnnnn

nn

nn

, (19)

Čia patogumo dėlei pažymėta: jj

n CC )(, )()()( xx jkk

kj , įskaitant, kad )(xjk gali

būti fundamentaliosios sistemos elementų tiesinė kombinacija kaip formulėse (2.14) ir (3.11).

Determinantas, sudarytas iš lygybių (19) dešinės pusės funkcijų prie amplitudžių

njC j ,...,1, , yra Vronskio determinanto atitikmuo tiesinėms diferencialinių lygčių

sistemoms ir jis visada nelygus nuliui. Lygčių sistemą (1) užrašome pavidalu

njxfxyax

xy n

k

jkjkj

,...,1,)()(d

)(d

1

. (20)

Panašiai kaip tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties atveju nehomogeninių lygčių

sistemos (20) sprendinio ieškome pavidalo (19), tik vietoje konstantų njC j ,...,1, vėl

imame funkcijas )(xC j

101

).()(...)()()()()(

),()(...)()()()()(

),()(...)()()()()(

),()(...)()()()()(

2211

12121111

22221212

12121111

xxCxxCxxCxy

xxCxxCxxCxy

xxCxxCxxCxy

xxCxxCxxCxy

nnnnnn

nnnnnn

nn

nn

, (21)

Įrašę sąryšius (21) į lygtis (20) gauname tiesinių algebrinių lygčių sistemą funkcijų

njxC j ,...,1),( išvestinių atžvilgiu

).()()(...)()()(

),()()(...)()()()(

),()()(...)()()()(

),()()(...)()()()(

'2

'21

'1

11'

21'211

'1

22'

22'212

'1

11'

21'211

'1

xfxxCxxCxC

xfxxCxxCxxC

xfxxCxxCxxC

xfxxCxxCxxC

nnnnnn

nnnnnn

nn

nn

, (22)

Ši algebrinių lygčių sistema visada turi sprendinį, nes jos pagrindinis determinantas yra

sistemos Vronskio determinantas. Išsprendę njxC j ,...,1),( atžvilgiu gauname

njxQxC jj ,...,1),()(' . (23)

Lygtis (23) suintegravę turime

njCQxC jj

x

x

j ,...,1,d)()(

0

. (24)

Čia jC - integravimo konstantos. Įrašę išraiškas (24) į sąryšius (21) surandame diferencialinių

lygčių sistemos (1) bendrąjį sprendinį.


.3d

d

,4d

d

2t

t

eyxt

y

eyxt

x

(4.1)

Sprendimas. Iš pradžių sprendžiame homogeninių lygčių sistemą

.03d

d

,04d

d

yxt

y

yxt

x

(4.2)

Jos charakteringoji lygtis

0122 (4.3)

102

turi kartotinę šaknį

1,1 . (4.4)

Lygčių sistemos (4.2) sprendinys

.

,

)2(2

)1(2

)2(1

)1(1

tt

tt

teCeCy

teCeCx

(4.5)

Į sistemos (4.2) pirmą lygtį įrašę sąryšius (4.5) gauname

044 )2(2

)1(2

)2(1

)1(1

)2(1

)2(1

)1(1 ttttttt teCeCteCeCteCeCeC . (4.6)

Sulyginę koeficientus prie nepriklausomų funkcijų gauname lygčių sistemą

.042

,042

)2(2

)2(1

)1(2

)2(1

)1(1

CC

CCC (4.7)

Išsprendę sistemą (3.8) )1(

1C ir )2(

1C atžvilgiu gauname

)2(

2)2(

1)2(

2)1(

2)1(

1 2,2 CCCCC . (4.8)

Įrašę sąryšius (4.8) į lygtis (4.5) gauname homogeninės sistemos (4.2) bendrąjį sprendinį

.

,22

21

21

tt

ttt

teCeCy

teeCeCx

(4.9)

Čia patogumo dėlei pažymėta 1)1(

2 CC , 2)2(

2 CC . Dabar varijuojame konstantas, tai yra,

sistemos (4.1) sprendinio ieškome pavidalo

.)()(

,2)(2)(

21

21

tt

ttt

tetCetCy

teetCetCx

(4.10)

Įrašę išraiškas (4.10) į lygtis (4.1) ir atlikę veiksmus gauname algebrinių lygčių sistemą

funkcijų )(1 tC ir )(2 tC išvestinių atžvilgiu

.)()(

,2)(2)(

2'2

'1

'2

'1

ttt

tttt

etetCetC

eteetCetC

(4.11)

Ją išsprendę gauname

.21)(

,2)(

'2

'1

t

tt

etC

tetetC

(4.12)

Integruodami randame funkcijas )(1 tC ir )(2 tC :

103

.2)(

,2

123)(

22

12

1

CettC

CtteetC

t

tt

(4.13)

Funkcijas (4.13) įrašę į sąryšius (4.10) gauname sistemos (4.1) bendrąjį sprendinį

.

2

13

,422

2221

2221

tttt

tttttt

eteteCeCy

eetteteeCeCx

(4.14)

Čia ir 2C yra integravimo konstantos, surandamos iš pradinių sąlygų. .

Uždaviniai

1

y

xy

tyx

2

),sin(2

2

x

yy

yx

2

,

3

2

22

,

t

tyxy

t

xx

4 )cos()sin(

),sin()cos(

tytxy

tytxx

5

yt

xy

t

yx

33

,2

6

12

1

,12

yxt

y

xt

x

7

.2)1(,1)1(

,2

,2

yx

xt

yyx

8

yzz

zyyz

,12 22

9

2

2 ,

xyt

yy

yxx

10

x

tyy

yx

2

,

11

22

22

1

,1

yxyxy

yxxyx

12 22

22

1

,1

yxyxy

yxxyx

13

22

22

22

22

sin

,sin

yx

yx

yxy

yx

yx

xyx

14 3

,3

yxyx

yxyx

1C

104

15

)sin(

),cos(

txy

tyx

16

)2exp(3

),exp(5

tyxy

tyxx

17

xz

zy

yx

,

,

18

zxz

yxy

zyx

,

,

19

zxz

yxy

zyx

2

2 ,

,

20

zyxz

zxy

zyxx

2

,2

,22

21

xzz

zy

yzx

,

,

22

xy

z

zx

y

yz

x

ddd

23 xy

z

yz

y

xz

x ddd 24

)(

d

)(

d

)(

d

yxz

z

xzy

y

zyx

x

25

)(

d

)(

d

)(

d

222222 yxz

z

xzy

y

zyx

x

26

212

21

2

),cos(5

yyy

tyy

27

1)2exp(

)3exp(34

,2

122

121

x

xyyy

yyy

28

yxz

zyxy

zyxx

2

,

,

29

zyxz

zyxy

zyxx

2

,2

,2

30

zyxz

zyxy

zyxx

,

,

31

zyxz

zyxy

zyxx

3

,3

,3

32

zz

zyy

zyxx

,2

,2

33 0

,022

yyxx

yyxx

34 yxy

yxx

,43

35 05242

,032

yxxyx

yxyyx

36

)(sh

),(ch

ttt

xyy

ttt

yxx

37

tzxz

tyxy

zyx

,

,0

38

25

,)(2

tyxyt

tyxxt

105

39 )4exp(32

),exp(22

tyxy

tyxx

40

)(ch

),(sh

,0

tzxz

tyxy

zyxx

41

0,

,

tt

xy

t

yx

42

)()(

),()(

tytxy

tytxx

Sprendiniai

1

)sin(2

1

),cos(2

1

212

21

teCeCy

teCeCx

xx

xx

2

)exp(

),exp(

121

12

tCCCy

tCCx

3

t

C

t

Cy

t

Cx

23

21

1 ,

4

)cos(2

)cos(1

)cos(1

)cos(2

2

))exp(sin(

,2

))exp(sin(

tt

tt

eCeCt

y

eCeCt

x

5

24

1

231

3

,

CtCy

t

CtCx

6

.3

)exp(

,3

21

2

21

t

t

CtCy

t

t

Cx

7

.2

,2

ty

tx

8

22

1

1

22

1

12

1

)(4

1

,)(4

1)(

2

CxC

Cz

CxC

CCx

Cy

9

.0,

;0,0,

;0,0

,2

exp,2

exp

2

2

21

2

1212

yCx

xCCty

yC

tC

C

tCyt

CCx

10

.

23

1

2

1

,23

1

213

21

2132

CCt

tC

y

CCtx

11

).sin()exp(1

)exp(

),cos()exp(1

)exp(

12

2

12

2

tCtC

tCy

tCtC

tCx

12

).cos()2exp(

),sin()2exp(

12

2

12

2

CttC

Cy

CttC

Cx

13 ).sin()exp(arctg2

),cos()exp(arctg2

12

12

CttCy

CttCx

14

)cos()sin(

),sin()cos(3

21

21

tCtCy

tCtCx

106

15

)(sh)(ch

),sin()(ch)(sh

21

21

tCtCy

ttCtCx

16

tt

tt

ee

CCy

eeCCx

t

t

2

2211

22211

2

1

6

7

11

1

)154()154(

,6

1

11

2

,)151((exp

),)151((exp

17

.

,

,

.exp

,exp),exp(

).3i1(2

1),3i1(

2

1,1

32332

22211

33322211

332211

33

2211

321

CCCz

CCCy

CCCx

t

tt

18

.)(

,

,

.exp,exp,1

.1,1,0

3222311

233211

2211

23221

321

CCCCz

CCCy

CCx

ttt

1

9

ttt

ttt

t

teCCCeCeCz

CteCCeCeCCy

CeCx

2122

2213

21222

131

21

2

),2()(

,

2

0

)sin()cos()exp(

)sin()()cos()()exp(2

)sin()()cos()(

.i,i,1

321

32321

3232

321

tCtCtCz

tCCtCCtCy

tCCtCCx

21

).sin()cos()exp(

),cos()sin()exp(

)),sin()()cos()(

.i,i,1

321

321

3232

321

tCtCtCz

tCtCtCy

tCCtCCx

22

.3i1

2

3i1

2

,3i1

3i1

3i1

3i1

,

.exp,exp,1

.3i,3i,0

332211

332211

332211

33221

321

CCCz

CCCy

CCCx

tt

23

).(tg

,)cos(

,)cos(

1

322

32

21

321

2

CtCCz

CtC

CCy

CtCC

Cx

24

.

)42(

d

,4

)(2

1

),(

221

21

3

3

2211

1

CxCxCxx

x

Ct

x

CCxxCy

yxCz

25

.

)()(

d

,arcsin2

1

,

23

222

4222

1

222

2

3

222

2

CCC

Ct

C

C

Cz

26

)sin()cos(32

),sin(2)cos(

2212

2211

tteCeCy

tteCeCy

tt

tt

107

27

)).(sh(arctg2

3)1ln(

2

3

)),(sh(arctg)1ln(

.exp),2exp(

.1,2

112

22112

112

22111

21

21

x

CCy

x

CCy

xx

28

332211

3311

332211

3

21

5

3

,

).exp(

),2exp(),exp(

CCCz

CCy

CCCx

t

tt

29

.

,

,

),3exp(

),2exp(),exp(

332211

2211

3322

3

21

CCCz

CCy

CCx

t

tt

30

.2

,

,

,

2321

2321

21

232

1

ttt

ttt

tt

tt

t

eCeCeCz

eCeCeCy

eCeCx

eCyxeCzy

eCzyx

31

).(ch3

)(sh3

)2()ch2()2()sh2(

),(ch3

)(sh3

)2()ch()2()sh(

),2(ch)2(sh

)(ch3

)(sh3

)2(ch)2(sh

)(ch)(sh

21

6453

21

6453

65

21

43

21

tC

tC

tCCtCCz

tC

tC

tCCtCCx

tCtC

tC

tC

y

tCtCyx

tCtCzyx

32

).exp()2exp(

),2exp()(

),exp(

32

21

3

tCtCy

ttCCx

tCz

33

).3exp(2

1)exp(

),3exp()exp(

32

31

tCtCy

tCtCx

34

.)()(2

1

),exp()exp(

443221

4321

tt etCCCetCCCy

ttCCttCCx

35 )exp(3

),exp(

tCx

tCy

36

.8

1

4

1

222

1

,8

1

4

1

222

1

22

1

22

1

ttt

ttt

et

te

te

t

CtCy

et

te

te

t

CtCx

37

.1)(

,1)(

,

321

3321

31

tetCCCz

tetCCCCy

eCCx

t

t

t

38

.15

2

20

1

2

,15

1

10

3

2

42

31

2

42

31

ttt

C

t

Cy

ttt

C

t

Cx

39

.22

1)21(

2

1

,2

1)21(

2

1

4312

4312

ttt

ttt

eeCetCy

eeCetCx

40

.24

11

,24

1)2(

,12

1,1,1

321

321

31

ttttt

ttttt

tt

et

eteCeCeCz

et

eetCeCeCy

eCeCx

108

41

.1

2

1

,1

2

1

21

21

tCt

Cy

tCt

Cx

42

)cos()sin()exp(

,)sin()cos()exp(

,d)(,d)(

21

21

wCwCuy

wCwCux

ttwttu

109

IV skyrius. Vektoriniai laukai

16. Veiksmai su vektoriniais laukais

16.1. Koordinačių sistemos. Taško padėtis erdvėje nusakoma radiusu vektoriumi r

.

Dekarto koordinačių sistemoje radiusas vektorius

znynxnr zyx

, (1)

čia xn

, yn

, zn

Dekarto koordinačių sistemos ašių krypčių vienetiniai vektoriai, kitaip dar

vadinami ortais. Dekarto koordinačių sistemos ortų kryptis yra pastovi. Koordinatiniai

paviršiai šioje sistemoje yra plokštumos 1Cx , 2Cy , 3Cz . Kitos koordinačių sistemos

įvedamos nusakant jų ryšį su Dekarto koordinačių sistema. Žinoma, kitokia koordinačių

sistema gali būti įvesta ir nusakant koordinačių ir ortų sąryšius su kokia kita koordinačių

sistema, kurios savybes žinome. Bet Dekarto koordinačių sistema yra pati paprasčiausia,

todėl už išeities tašką tikslinga imti būtent ją.

Cilindrinė sistema nuo Dekarto koordinačių sistemos skirias tuo, kad Dekarto

koordinačių sistemos plokštumoje xOy įvedama polinė koordinačių sistema. Tada sąryšiai

tarp Dekarto koordinačių ir cilindrinių turi pavidalą

zzyx ,sin,cos . (2)

Cilindrinės sistemos ortai su Dekarto sistemos ortais susieti sąryšiais

zzyxyx nnnnnnnn

,cossin,sincos . (3)

Ortų zn

kryptis abiejose sistemose sutampa. Polinis kampas skaičiuojamas nuo ašies x

krypties. Kintant taško padėčiai erdvėje cilindrinės koordinatės },,{ z kinta, o kartu kinta

ir ortų n

ir n

kryptis. Kaip plaukia iš sąryšių (3), cilindrinės sistemos koordinatiniai

paviršiai yra cilindras 1C , pusplokštumė 2C ir plokštuma 3Cz . Radiusas

vektorius cilindrinėje koordinačių sistemoje

znnr z

. (4)

Kaip plaukia iš formulių (3), Dekarto sistemos ortus galima nusakyti cilindrinės sistemos

ortais, tam pakanka išspręsti lygtis (3) Dekarto sistemos ortų atžvilgiu

zzyx nnnnnnnn

,cossin,sincos . (5)

110

Taško koordinatės Dekarto sistemoje su koordinatėmis sferinėje sistemoje susietos

sąryšiais

cos,sinsin,cossin rzryrx . (6)

Sferinės koordinačių sistemos ortai su Dekarto sistemos ortais susieti sąryšiais

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

yx

zyx

zyxr

nnn

nnnn

nnnn

(7)

Taško padėties sferinėse koordinatėse radiusas vektorius

rnr r

. (8)

Kintant taško padėčiai erdvėje kinta sferinės koordinatės },,{ r ir visų sferinės sistemos

ortų kryptis. Iš sąryšių (7) plaukia, kad Dekarto sistemos ortai gali būti užrašyti per sferinės

sistemos ortus

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

nnn

nnnn

nnnn

rz

ry

rx

(9)

Koordinatiniai paviršiai yra sfera 1Cr , kūgis 2C ir pusplokštumė 3C .

16.2. Kryptinė išvestinė ir skaliarinio lauko gradientas. Jeigu erdvės srityje yra nusakytos

dydžio U vertės, tai sakoma, kad užduotas dydžio U laukas. Laukas vadinamas skaliariniu,

jeigu užduotas dydis yra nusakomas vienu parametru - savo verte. Jeigu užduotam dydžiui

vienareikšmiškai nusakyti neužtenka žinoti jo didumo, bet reikia nurodyti ir kryptį, tai dydis

yra vektorius ir toks laukas vadinamas vektoriniu lauku. Skaliarinių laukų pavyzdžiu gali

būti terpės tankis, temperatūra, dalelės potencinė energija ir kiti dydžiai, vienareikšmiškai

nusakomi savo algebrine verte. Gerai žinomi vektorinių laukų pavyzdžiai yra elektrinio ir

magnetinio lauko stipris, terpės judėjimo greitis, dalelę veikianti jėga ir kiti dydžiai, kuriuos

nusakant reikia nurodyti didumą ir kryptį. Trimatėje erdvėje tam reikia 3 parametrų.

Tegul skaliarinio lauko U vertė Dekarto koordinačių sistemoje nusakoma formule

),,( zyxfU . (10)

Cilindrinėje koordinačių sistemoje tai būtų cilindrinių koordinačių funkcija

),,( zfU . (11)

Dažnai literatūroje sutinkamas užrašas

)(rfU

(12)

111

reiškia, kad laukas priklauso nuo visų vektoriaus r

projekcijų pasirinktoje koordinačių

sistemoje, vektorių r

suprantant kaip jo projekcijų į koordinačių ašis rinkinį, o ne kaip

funkciją, kurios argumentas yra radiusas vektorius. Skaitydami formulę (1) iš dešinės į kairę

galime teigti, kad radiusas vektorius yra tik patogus įrankis algebriniu būdu nurodyti

koordinačių rinkinį },,{ zyx . Tas patogumas dar ryškesnis aukštesnės dimensijos erdvėse.

Pridursime, kad literatūroje dažnai vartojamas patogus žymėjimas )(MfU . Šis žymėjimas

atėjęs iš geometrijos, kur taškus įprasta žymėti didžiosiomis raidėmis. Čia turima omenyje,

kad },,{ MMM zyxM .

Apibrėžimas. Skaliarinio lauko )(rfU

lygio paviršiumi vadinama taškų aibė, kurioje

funkcija )(rf

įgyja vieną ir tą pačią vertę. Lygio paviršiaus lygtis

Crf )(

. (13)

Apskaičiuoti lygio paviršius bendru atveju yra gana sudėtingas algebrinis uždavinys.

Dvimačiu atveju, kai laukas nepriklauso nuo koordinatės z , lauko funkcija turi pavidalą

),( yxfU , (14)

o lygtis

Cyxf ),( , (15)

aprašo kreivę xOy plokštumoje. Pavyzdžiui, kai 2

2

2

2

b

y

a

xU , kreivės CU nusako

elipsių šeimą, o kai 2

2

2

2

b

y

a

xU kreivės CU nusako hiperbolių šeimą, kuri išsigimsta į

tieses xa

by - hiperbolių šeimos asimptotes, kai 0C .

Imkime du taškus r

ir rr

, čia llr 0

, o 0l

pastovios krypties vienetinis

vektorius. Skaičiuojame reiškinį

l

rfrrf

l

U

)()(

, (16)

kai 0l . Šiuo atveju ribą skaičiuojame taip, kad, mažėjat atstumui tarp taškų r

ir rr

, vektoriaus r

kryptis liktų pastovi. Lygybės (16) dešinės pusės skaitiklį skleidžiame

Teiloro eilute, apsiribodami pirmos eilės mažais dydžiais vektoriaus r

dedamųjų atžvilgiu,

ir pereiname prie ribos, kai 0l :

l

z

z

f

l

y

y

f

l

x

x

f

ll

U

l 0

lim

0

lim (17)

112

Kadangi 2222zyxl , tai

coscoscos0

lim

z

f

y

f

x

f

l

U

l

, (18)

čia ,, - kampai, kuriuos sudaro vektorius 0l

su ortais zyx nnn

,, . Vektorius 0l

Dekarto

koordinačių sistemoje turi pavidalą

coscoscos0 zyx nnnl

. (19)

Dabar kryptinę išvestinę ribiniu atveju, kai 0l , galime užrašyti taip:

flz

fn

y

fn

x

fnl

z

f

y

f

x

f

l

U

zyx

,,

coscoscos

00

. (20)

Reiškinys

z

fn

y

fn

x

fnf zyx

(21)

vadinamas skaliarinės funkcijos gradientu. Literatūroje taip pat dažnai naudojamas

žymėjimas

ff grad . (22)

Kaip matome, Dekarto koordinačių sistemoje skaliarinės funkcijos gradientą surandame

paveikdami ją gradiento operatoriumi

z

ny

nx

n zyx

. (23)

Operatorius (nabla) dažnai vadinamas Hamiltono operatoriumi. Iš gradiento apibrėžimo

plaukia:

1) Skaliarinio lauko gradientas yra vektorius statmenas lygio paviršiui. Tuo galime

įsitikinti skaičiuodami gradientą kryptimi liestinės kreivei, gulinčiai ant lygio paviršiaus.

Tegul vienetinis liestinės vektorius kreivės taške r

yra 0

. Skaičiuodami gradientą taške

r

turime 0

l

U , kadangi ant lygio paviršiaus 0U . Bet skaliarinė sandauga

0,0 U

reiškia, kad vektoriai 0

ir U yra statmeni vienas kitam.

2) Gradiento vektorius nukreiptas lauko funkcijos didėjimo kryptimi.

3) Gradiento modulis yra lygus didžiausiai kryptinei išvestinei

113

222

||

z

f

y

f

x

ff . (24)

Gradiento savybių pagrindu galime suformuluoti gradiento apibrėžimą, nesusiedami jo su

kokia nors konkrečia koordinačių sistema.

Apibrėžimas. Skaliarinio lauko gradientas taške r

yra vektorius, statmenas lygio paviršiui

ir nukreiptas lauko funkcijos didėjimo kryptimi, o jo didumas yra lygus maksimaliai kryptinei

išvestinei tame taške.

Pavyzdys 1. Apskaičiuokite skaliarinio lauko )(arctg xyU kryptinę išvestinę funkcijos

)sin(xy liestinės taške 3

x kryptimi.

Sprendimas. Lauko funkcijos gradientas

2222 11 yx

xn

yx

ynU yx

. (1.1)

Kadangi funkcijos )(xyy liestinės kampo, kurį ji sudaro su ašimi x , tangentas lygus

išvestinei, tai

2

1

3costg

. (1.2)

Liestinės ortas taške 3

x bus

5

1

5

20 yx nn

. (1.3)

Koordinatės y vertė taške 3

x yra

2

3

3sin

y . Kryptinės išvestinės vertė

)12(5

)33(4

4

3

91

3

5

1

4

3

91

2

3

5

2,

2220

U

. (1.4)

16.3. Operatorius cilindrinėje ir sferinėje koordinačių sistemose. Užrašysime

operatoriaus išraiškas cilindrinėje ir sferinėje koordinačių sistemose. Iš sąryšių (3) matyti,

kad

nn

nn

,

(25)

114

Tegul turime funkciją ),,( zyxUU . Pakeitę joje Dekarto koordinates cilindrinėmis pagal

formules (2) gauname funkciją ),,( zUU . Šiuo atveju koordinatė z abiejose

koordinačių sistemose sutampa. Apskaičiuojame išvestines:

.

,

y

y

Ux

x

UU

y

y

Ux

x

UU

(26)

Įrašę į lygčių sistemą (26) sąryšius (2) ir išsprendę x

U

ir

y

U

atžvilgiu gauname

UU

y

U

UU

x

U

cossin

sincos

(27)

Sąryšiai (27) turi galioti keičiant koordinates bet kokioje funkcijoje ),,( zyxUU , todėl turi

galioti sąryšiai operatoriams

cossin

sincos

y

x (28)

Įrašę sąryšius (3) ir (28) į operatoriaus išraišką (23) gauname

z

nnn z

1. (29)

Tokiu pat būdu užrašome ir operatoriaus išraiška sferinėje koordinačių sistemoje. Šiuo

atveju išvestinės pagal Dekarto sistemos koordinates sferinėmis koordinatėmis išreiškiamos

taip:

.sin

cos

,sin

cossincossinsin

,sin

sincoscoscossin

rrz

rrry

rrrx

(30)

Gradiento operatoriaus išraiška sferinėse koordinatėse

sin

11

rn

rn

rnr

. (31)

115

Skaliarinės funkcijos gradientą Dekarto, cilindrinėje ir sferinėje koordinačių sistemose dabar

galime užrašyti panaudodami operatorių reikalingoje koordinačių sistemoje.

Gradiento operacijoje operatorius traktuojamas kaip vektorius. Taip pat šis

operatorius traktuojamas ir tada, kai veikia į vektorinę funkciją. Čia galimi du atvejai: kokia

nors vektorinė funkcija )(rAA

dauginama iš operatoriaus skaliariškai ir kai dauginama

vektoriškai. Skaliarinės sandaugos atveju reiškinys A

, vadinamas vektorinio lauko

divergencija

AA

div, , (32)

o vektorinės sandaugos atveju – rotoriumi

AA

rot, . (33)

Dekarto koordinačių sistemoje ortai yra vektorinės konstantos, todėl

z

An

y

An

x

An

AnAnAnz

ny

nx

nAA

zz

yy

xx

zzyyxxzyx

,),(div

. (34)

Vektorinės funkcijos A

divergenciją cilindrinėje ir sferinėje koordinačių sistemose

užrašysime panaudodami operatorių išraiškas (29) ir (31). Pagal apibrėžimą

zzz AnAnAn

znnnAA

,

1),(div . (35)

Cilindriniai ortai priklauso tik nuo polinės koordinatės , o išvestinių reikšmės jau pateiktos

(25) formulėje. Atlikę veiksmus gauname

z

AAAA z

11div

. (36)

Sferinėje koordinačių sistemoje

AnAnAn

rn

rn

rnAA rrr

,

sin

11),(div . (37)

Pagal formules (7) sferinių ortų išvestinės

116

cossin,0

,cos,

,sin,

nnnn

nn

nn

nn

nn

r

r

rr

(38)

Pasinaudoję formulėmis (38) gauname

Ar

Ar

Arrr

A r

sin

1sin

sin

11div 2

2

. (39)

Apskaičiuojame vektorinę sandaugą ],[ A

Dekarto, cilindrinėje ir sferinėje koordinačių

sistemose. Dekarto koordinačių sistemoje

zzyyxxzyx AnAnAn

zn

yn

xnA

,],[ . (40)

Atlikę veiksmus gauname

y

A

x

An

x

A

z

An

z

A

y

AnA xy

zzx

yyz

x

],[ . (41)

Cilindrinėje koordinačių sistemoje

zzz

zzzz

zzz

AnAnAnz

n

AnAnAnnAnAnAnn

AnAnAnz

nnnA

,

1,,

,1

],[

(42)

Atlikę veiksmus turime

AAn

A

z

An

z

AAnA z

zz 11],[

(43)

Tokiu pat būdu gauname, kad sferinėje koordinačių sistemoje reiškinys ],[ A

turi pavidalą

r

rr

A

rr

A

rn

r

rA

r

A

rn

AA

rnA

11

1

sin

1sin

sin

1],[

(44)

117

Dekarto, cilindrinė ir sferinė koordinačių sistemos yra ortogonalios ir dažniausiai sutinkamos

fizikos uždaviniuose. Apskaičiavę (4) ir (7) išraiškų diferencialus turime

znnnr zdddd

, (45)

dsinddd rnrnrnr r

. (46)

Lygybes (45) ir (46) pakėlę kvadratu gauname

2222 dddd,d zrr

, (47)

222222 dsinddd,d rrrrr

. (48)

Daugiklius prie diferencialų kvadratų lygybių (47) ir (48) dešinėse pusėse pažymime

1,,1 23

222

21 hhh (49)

2223

222

21 sin,,1 rhrhh . (50)

Daugikliai 3,2,1, jhj vadinami Lame koeficientais. Lame koeficientų rinkiniai Dekarto,

cilindrinei ir sferinei koordinačių sistemoms yra

1,1,1 321 hhh (Dekarto sistema) (51)

1,,1 321 hhh (cilindrinė sistema) (52)

sin,,1 321 rhrhh (sferinė sistema) (53)

Bendru atveju, bet kokioje ortogonalioje kreivinėje koordinačių sistemoje, kurios

koordinatės 321 ,, xxx su Dekarto koordinatėmis susietos sąryšiais

),,(),,,(),,,( 321321321 xxxzzxxxyyxxxxx (54)

radiuso vektoriaus diferencialas

znynxnr zyx dddd

(55)

33

22

11

33

22

11

33

22

11

ddd

ddddddd

xx

zx

x

zx

x

zn

xx

yx

x

yx

x

ynx

x

xx

x

xx

x

xnr

z

yx

(56)

Surinkę narius prie kreivinių koordinačių diferencialų turime

3333

2222

1111

d

ddd

xnx

zn

x

yn

x

x

xnx

zn

x

yn

x

xxn

x

zn

x

yn

x

xr

zyx

zyxzyx

(57)

Šioje formulėje vektoriai prie diferencialų nėra vienetiniai. Juos sunormavę turime

118

333222111 dddd xhnxhnxhnr

(58)

čia

3,2,1,

222

2

j

x

z

x

y

x

xh

jjjj (59)

yra Lame koeficientai. Kaip plaukia iš formulės (58)

3,2,1,1

j

x

r

hn

jjj

(60)

Skaliarinės funkcijos diferencialas

rxx

j

j j

ddd

3

1

(61)

Panaudoję čia (58) formulę ir, sulyginę narius prie atitinkamų koordinačių diferencialų,

gauname, kad

jj

jxh

1 (62)

o funkcijos gradiento vektorius

33

322

211

1

111

xhn

xhn

xhn

, (63)

Naudojant Lame koeficientus gautas išraiškas , A

, , ],[ A

galima užrašyti

kompaktiškiau:

33

322

211

1

111

xhn

xhn

xhn

, (64)

213

3132

2321

1321

1, hhA

xhhA

xhhA

xhhhA

, (65)

332211

321

332211

321

1,

AhAhAh

xxx

nhnhnh

hhhA

. (66)

Čia skaičiai nurodo koordinatės, orto ar projekcijos numerį atitinkamoje koordinačių

sistemoje

r

z

zyx

321

(67)

119

17. Vektorinio lauko linijos

Apibrėžimas. Jeigu kiekviename srities D taške r

yra nusakytas vektorius

),,(),,(),,( 321 zyxPnzyxPnzyxPnA zyx

, (1)

tai sakoma, kad srityje D yra užduotas vektorinis laukas A

.

Vektorinio lauko uždavimas yra ekvivalentiškas uždavimui skaliarinių funkcijų

3,2,1),,,( jzyxPj . Kaip jau buvo minėta, plačiai žinomi vektorinių laukų pavyzdžiai yra

elektrinis ir magnetinis laukai, greitis, pagreitis, jėga ir kiti dydžiai, kuriems nusakyti reikia

žinoti jų didumą ir kryptį. Geometriškai vektorinis laukas atvaizduojamas vektorinėmis

linijomis – kreivėmis, kurių liestinės vektorius sutampa su lauko A

vektoriumi erdvės taške,

per kurį eina vektorinė linija. Fizikiniuose tekstuose vietoje vektorinės linijos sąvokos dažnai

vartojama sąvoka „jėgos linija“, jeigu laukas veikia tam tikra jėga tiriamame erdvės taške

patalpintą bandomąjį objektą. Hidrodinamikoje vartojama sąvoka srovės linija – kreivė,

kurios liestinės vektorius lygus terpės judėjimo greičiui.

Tegul erdvės taško padėtis nusakoma naudojant parametrą t ( t gali būti ir ne laikas)

)()()()( tzntyntxntr zyx

. (2)

Kai taškas )(tr

yra ant vektorinės linijos, tai vektorinės linijos liestinės vektorius

t

zn

t

yn

t

xn

t

rzyx

d

d

d

d

d

d

d

d

(3)

pagal vektorinės linijos apibrėžimą tui būti lygus lauko vektoriui, todėl

),,(d

d),,,(

d

d),,,(

d

d321 zyxP

t

zzyxP

t

yzyxP

t

x . (4)

Turime paprastųjų diferencialinių lygčių sistemą funkcjų )(tx , )(ty , )(tz atžvilgiu. Šios

stemos simetrinis pavidalas

),,(

d

),,(

d

),,(

d

321 zyxP

z

zyxP

y

zyxP

x . (5)

leidžia operuoti tiesiog erdvinėmis koordinatėmis. Sistema (4) (arba (5)) yra vektorinių linijų

diferencialinės lygtys. Kaip žinome, sistema (5) gali turėti du pirmuosius integralus. Tarkime,

kad mums pavyko juos surasti

2211 ),,(,),,( CzyxCzyx . (6)

120

Sistemos (6) lygtys pirmuosius integralus nusako kaip trimačius paviršius. Vektorinės linijos

būtų šių paviršių susikirtimo linijos. Jeigu pavyksta kurią nors algebrinių lygčių (6) išspręsti

kurios nors koordinatės atžvilgiu, pvz., pirmą lygtį atžvilgiu koordinatės z , tada šią

koordinatę galima eliminuoti iš antros lygties ir gauti sąryšius

),,( 11 Cyxz , (7)

0),,,( 212 CCyx , (8)

Algebrinė lygtis (8), aprašanti vektorinę liniją, turi du parametrus 1C ir 2C . Kitaip dar

sakoma, kad vektorinių linijų šeima (8) turi du laisvės laipsnius. Jeigu pavyktų lygtį (8)

išspręsti y atžvilgiu, tada

),,( 212 CCxQy , (9)

o įrašius išraišką (9) į lygtį (7)

),,( 213 CCxQz , (10)

Sąryšiai (9) ir (10) nusako vektorinės linijos projekcijas į plokštumas xOy ir xOz.

Pavyzdys 1. Raskite vektorinio lauko

zyx nznynxA

4 (1.1)

vektorines linijas.

Sprendimas. Vektorines linijas nusakanti diferencialinių lygčių sistema simetriniu

pavidalu šiuo atveju tokia

z

z

y

y

x

x

4

ddd (1.2)

Sistemos integralai

xCy 1 , (1.3)

42xCz . (1.4)

Integralas (1.3) aprašo plokštumą, einančią per koordinačių pradžią ir statmeną plokštumai

xOy , o integralas (1.4) – parabolinį cilindrą, kurio sudaromoji liečia y ašį. Šių paviršių

susikirtimo linija ir yra lauko (1.1) vektorinė linija. Šiuo atveju koordinatė x kartu atlieka

parametro vaidmenį. Iš tikrųjų, diferencialinės lygties

xt

x

d

d (1.5)

sprendinys yra

teCtx 3)( . (1.6)

121

Kadangi čia x priklauso tik nuo parametro, patogu pačią funkciją )(tx imti už parametrą.

Vektorinis laukas vadinamas plokščiu, jeigu visuose taškuose lauko vektorius A

yra

lygiagretus vienai plokštumai. Pavyzdžiui, kai lauko vektorius lygiagretus plokštumai xOy ,

jis nepriklauso nuo koordinatės z . Tada lauko vektorius turi pavidalą

yx nyxPnyxPA

),(),( 21 , (11)

o vektorinių linijų lygtys

0

d

),(

d

),(

d

21

z

yxP

y

yxP

x . (12)

Matome, kad vektorinė linija šiuo atveju yra aprašoma paprastąja diferencialine lygtimi

),(

),(

d

d

1

2

yxP

yxP

x

y , (13)

o koordinatė constz . Lygties (13) sprendiniai yra plokščių kreivių šeima, turinti vieną

laisvės laipsnį.

18. Veiksmai su Hamiltono operatoriumi

Operatorius reiškiniuose traktuojamas kaip vektorius. Dauginti iš skaliarinę funkciją

U galima tik vienu būdu

UU grad . (1)

Kaip matematikoje įprasta, operatorius veikia į dauginamuosius, esančius reiškinyje į dešinę

nuo jo iki ženklo , arba reiškinio pabaigos. Vektorių A

dauginti iš galima skaliariškai

ir vektoriškai:

AA

div),( , (2)

AA

rot, . (3)

Reiškiniai ),( A

ir ],[ A

yra operatoriai. Dekarto koordinačių sistemoje tai yra

z

Ay

Ax

AA zyx

),(

, (4)

xA

yAn

zA

xAn

yA

zAnA yxzxzyzyx

, . (5)

122

Tegul ortogonalios koordinačių sistemos koordinatės yra 321 ,, xxx , ašių ortai 321 ,, nnn

, o

Lame koeficientai, galintys priklausyti nuo koordinačių, yra 321 ,, hhh . Tada operacijos (1)-

(3)

gali būti užrašytos taip:

33

322

211

1

111

x

U

hn

x

U

hn

x

U

hnU

, (6)

3

321

2

321

1

321

321

1),(

x

Ahh

x

hAh

x

hhA

hhhA

, (7)

332211

321

332211

321

1,

AhAhAh

xxx

nhnhnh

hhhA

. (8)

Formulė (8) neįprasta tuo, kad joje esantį determinantą galima skleisti tik pagal pirmą eilutę.

Šią formulę traktuojame kaip patogią atsiminti taisyklę rotoriaus skaičiavimui. Tiesiog iš

diferencijavimo operatoriaus savybių plaukia, kad

)( . (9)

Tiesiogiai skaičiuojant nesunku įsitikinti, kad

),(,)( AAA

, (10)

AAA

,,, . (11)

Iš dviejų vektorinių funkcijų A

ir B

galime sudaryti skaliarą ),( BA

ir vektorių ],[ BA

.

Operatoriaus veikimo į skaliarinę sandaugą rezultatą gauname taip:

),(),(),(

BABABA

, (12)

čia rodyklėmis virš vektorių pažymėti daugikliai, į kuriuos operatorius veikia. Kol kas tokių

reiškinių neturime. Juos susirandame skaičiuodami sąryšius ]],[,[ BA

ir ]],[,[ AB

.

Pirmame reiškinyje operatorius veikia vektorių B

, o antrame – vektorių A

. Išskleidžiame

juos pagal dvigubos vektorinės sandaugos skaičiavimo taisyklę

),(),(]],[,[ GFHHFGHGF

, (13)

123

operatorių traktuojant kaip vektorių. Pažymėdami vektorius, į kuriuos reiškinyje veikia

operatorius rodykle, turime

BABABA

),(),(]],[,[ , (14)

ABBAAB

),(),(]],[,[ . (15)

Reiškinių (14)-(15) antrame dėmenyje vektorius, kurio neveikia operatorius , rašomas į

kairę nuo jo. Lygybių (14)-(15) dešinėse pusėse pasirodo mums reikalingi reiškiniai ),(

BA

ir ),( BA

. Įrašę juos į (12) formulę gauname

]],[,[]],[,[),(),(),( ABBABAABBA

(16)

Pagal tokias pat taisykles transformuojamas ir reiškinys ]],[,[ BA

:

.),(),(),(),(

]],[,[]],[,[]],[,[

BABAABAB

BABABA

(17)

Pritaikę vektorių mišrios sandaugos savybę

]),[,(]),[,(]),[,( FHGGFHHGF

(18)

reiškiniui ]),[,( BA

gauname

]),[,(]),[,(

]),[,(]),[,(]),[,(]),[,(]),[,(

BAAB

ABBABABABA

(19)

Iš formulių (16) ir (17) plaukia, kad

),(),(]],[,[]],[,[]],[,[),(2

1),( BAABABBABABAAB

. (20)

Kaip matome, veikdamas skaliarinę funkciją operatorius sukuria vektorinį reiškinį, o

veikdamas vektorinį reiškinį gali sukurti tiek skaliarą, tiek vektorių. Ką gauname reiškinį dar

kartą veikdami operatoriumi ?

Veikti operatoriumi reiškinį U galime dviem būdais: ),( U ir ],[ U . Pirmu

atveju

UUUU ),(graddiv),( . (21)

Operatorius

),( (22)

124

vadinamas Laplaso operatoriumi. Kaip plaukia iš formulių (6)-(7) ortogonalioje

koordinačių sistemoje Laplaso operatorius turi pavidalą

33

21

322

31

211

32

1321

1

xh

hh

xxh

hh

xxh

hh

xhhh. (23)

Laplaso operatorius matematinės fizikos uždaviniuose sutinkamas dažnai ir todėl svarbus. Jo

pavidalas Dekarto (a), cilindrinėje (b) ir sferinėje (c) koordinačių sistemose

2

2

2

2

2

2

zyx

(23a)

2

2

2

2

2

11

z

(23b)

2

2

222

2

2 sin

1sin

sin

11

rrrr

rr (23c)

Antru atveju, kaip nesunkiai galima įsitikinti tiesioginiu skaičiavimu

0],[gradrot],[ UUU . (24)

Iš šios tapatybės plaukia, kad gradientinis laukas visada yra besūkuris.

Vektorinio lauko atveju pakartotinai paveikus operatoriumi galimi atvejai:

1) AA

divgrad),( , 2) AA

rotdiv]),[,( , 3) AA

rotrot]],[,[ . Pirmu atveju

AA

divgrad)( (25)

reiškinio užrašyti kaip nors paprasčiau bendru atveju negalima. Antru atveju, kaip nesunku

įsitikinti tiesiogiai skaičiuojant, gauname tapatybę

0rotdiv],[ AA

. (26)

Trečiu atveju pritaikome dvigubos vektorinės sandaugos formulę gauname

AA

AAA

divgrad

),(),(]],[[ (27)

Ši formulė naudojama, kai reikia apskaičiuoti reiškinį A

:

AAA

rotrotdivgrad . (28)

125

19. Vektorinio lauko srautas

19.1. Vektorinio lauko srauto samprata. Tegul srityje D turime skysčio tekėjimo

greičio lauką v

ir paviršių S , užduotą srityje D . Skysčio srautu per paviršių S yra

vadinamas skysčio kiekis, pratekantis per paviršių S per laiko vienetą. Paprasčiausiu atveju,

kai v

yra pastovus, o paviršius S yra plokščias, skysčio srautas

Snv ),( 0

, (1)

čia 0n

- paviršiaus normalės vektorius. Jeigu paviršius nėra plokščias, o skysčio greitis v

priklauso nuo koordinačių, tai atliekame standartinę procedūrą: suskaidome paviršių į mažus

segmentus tokius, kad kiekviename jų greitį galima laikyti pastoviu, o paviršių – plokščiu ir

užrašome sumą

j

N

j

jj nv 1

0 ),(

. (2)

Čia j - mažų plokščių segmentų plotai, jn0

- j - ojo segmento normalės ortas. Perėję

prie ribos, kai paviršiaus visų segmentų j didžiausi linijiniai matmenys artėja į nulį,

gauname integralą

d),( 0

S

nv

. (3)

Apibrėžimas. Vektorinio lauko A

srautu per paviršių S vadiname vektoriaus A

projekcijos į paviršiaus normalę integralą paviršiumi S

d),( 0

S

nA

. (4)

Integralas (4) egzistuoja, jeigu vektorius A

yra tolydus, o paviršius S yra glodus, tai yra, turi

normalę, kurios kryptis, einant paviršiumi, kinta tolygiai. Iš vektorinio lauko srauto

apibrėžimo plaukia, kad:

1 srautas yra tiesinis lauko funkcijos atžvilgiu

d),(d),(d),( 02201102211

SSS

nAcnAcnAcAc

(5)

2 srautas yra adityvus

d),(d),(d),(

2121

000

SSSS

nAnAnA

(6)

3 pakeitus paviršiaus normalės kryptį į priešingą srautas pakeičia ženklą

126

d),(d),( 00

SS

nAnA

. (7)

Tegul orientuojamasis paviršius S yra neuždaras ir jį galima vienareikšmiškai

projektuoti į plokštumą xOy . Tokiu atveju paviršių galima nusakyti lygtimi pavidalo

),( yxfz . (8)

Bendru atveju paviršiaus normalė yra nukreipta paviršių aprašančios lygties 0),,( zyxF

greičiausio kitimo kryptimi. Tokią kryptį nurodo gradiento vektorius ir normalės ortas turi

pavidalą

FF

F

z

F

y

F

x

F

z

Fn

y

Fn

x

Fn

nzyx

,222

0

. (9)

Paviršiaus (8) atveju zyxfF ),( normalės ortas

1

220

y

f

x

f

ny

fn

x

fn

nzyx

. (10)

Ženklą formulėje (9) imame tokį, kad normalė būtų nukreipta į reikiamą paviršiaus pusę.

Pažymėkime paviršiaus taškų projekcijų į plokštumą xOy padengiamą sritį xyD . Paviršiaus

elemento plotas d bendru atveju nesutampa su projekcijos į plokštumą xOy plotu yxdd

|cos|

ddd

yx , (11)

čia - kampas tarp ortų 0n

ir zn

. Šiuo atveju formulę (4) galima užrašyti taip:

|cos|

dd),(d),( 00

yxnAnA

xyDS

, (12)

pointegralinėje funkcijoje z keičiant pagal formulę (8). Toks skaičiavimo būdas leidžia

paprasčiau gauti rezultatą. Jeigu paviršius vienareikšmiškai projektuojamas į kitą

koordinatinę plokštumą, visi samprotavimai lieka galioti. Kuomet paviršius vienareikšmiškai

projektuojamas į visas tris koordinatines plokštumas į sritis xyD , xzD , yzD ir paviršių galima

aprašyti bet kuriuo iš sąryšių

),(),,(),,( 321 yxzzxyzyx , (13)

integralą (4) galima užrašyti skaičiavimui patogesniu pavidalu:

127

yxyxyxP

zxzzxxPzyzyzyP

xy

xzyz

D

DD

dd)),(,,()sgn(cos

dd)),,(,()sgn(cosdd),),,(()sgn(cos

33

2211

(14)

Čia panaudotos išraiškos:

coscoscos0 zyx nnnn

(15)

),,(),,(),,( 321 zyxPnzyxPnzyxPnA zyx

, (16)

o , , pažymėti kampai, kuriuos normalė vektorius sudaro su Dekarto koordinačių

ašimis atitinkamai x , y , z .

19.2. Vektorinio lauko srautas per uždarą paviršių. Tegul tūrį V riboja uždaras paviršius

S . Paprastumo dėlei priimkime, kad paviršius S yra iškilas. Tai reiškia, kad visas paviršius

yra liestinės plokštumos toje pat pusėje. Suprojektavę uždarą paviršių į plokštumą xOy

turime dvi dalis: viršutinę ),(22 yxzz , kur normalė su z ašimi sudaro smailų kampą, ir

apatinę ),(11 yxzz , kur normalė su z ašimi sudaro buką kampą, kaip tai parodyta

paveikslėlyje. Kad būtų paprasčiau, paimkime

1 pav. Uždaro paviršiaus S projekcija į plokštumą xOy

),,(3 zyxPnA z

. (17)

n0

n0

V

S

z1=z

1(x,y)

z2=z

2(x,y)

Dxy

x

y

z

128

Pažymėję viršutinę paviršaus dalį 2S , o apatinę 1S integralą (4) galime užrašyti taip:

d),))(,(,,(d),))(,(,,(

d),(

013023

0

12

nnyxzyxPnnyxzyxP

nA

z

S

z

S

S

(18)

Uždaro paviršiaus viršutinės dalies 2S taškuose skaliarinė sandauga 0cos),( 0 nnz

, o

apatinės dalies taškuose 0cos),( 0 nnz

. Pagal (12) formulę srautą per uždarą paviršių

galima užrašyti taip:

zyxzyxPz

zzyxPz

yxyxyxzyxPyxzyxP

yxyxzyxPyxyxzyxPnA

V

D

yxzz

yxzzD

DDS

xyxy

xyxy

ddd),,(

d),,(dddd)),(,,()),(,,(

dd)),(,,(dd)),(,,(d),(

3

3

),(

),(

1323

13230

2

1

(19)

Paėmę už lauko vektorių (16) formulės sandą ),,(2 zyxPnA y

ir projektuodami paviršių S

į plokštumą xOz gauname rezultatą

zyxzyxPy

nA

VS

ddd),,(d),( 20

(20)

Paėmę už lauko vektorių (16) formulės sandą ),,(1 zyxPnA x

ir projektuodami paviršių S

į plokštumą yOz gauname rezultatą

zyxzyxPx

nA

VS

ddd),,(d),( 10

(21)

Visiems lauko vektoriaus (16) sandams galime užrašyti bendrą formulę

zyxzyxPz

zyxPy

zyxPx

nA

VS

ddd),,(),,(),,(d),( 3210

(22)

Reiškinys riestiniuose skliaustuose vadinamas vektorinio lauko (16) divergencija

),,(),,(),,(div 321 zyxPz

zyxPy

zyxPx

A

(23)

Koordinačių sistema nebūtinai turi būti Dekarto. Bendresniu atveju sąryšį (23) rašome taip:

AA

div (24)

Čia operatorius rašomas skaičiavimams patogiausioje koordinačių sistemoje. Formulė

(22) nusako, kaip paviršinį integralą galima pakeisti tūriniu:

129

zyxAnA

VS

ddddivd),( 0

(25)

Formulė (25) vadinama Gauso formule. Kai tūris V mažas skaičiuojame ribą VV ir

formulę (25) galima perrašyti taip:

S

nAVV

A

d),(1

0

limdiv 0

(26)

Sąryšis (26) yra bendras vektorinio lauko divergencijos apibrėžimas, tinkantis bet kokiai

koordinačių sistemai. Naudoti paprasčiau yra diferencialinį pavidalą, nusakytą (24) formule,

nes čia neįeina integralas. Formulė (26) rodo, kad vektorinio lauko divergencija gali būti

traktuojama kaip vektorinio lauko srauto tankis. Elektrodinamikoje Gauso dėsnis sako, kad

elektrinės indukcijos D

srautas per uždarą paviršių yra lygus elektros krūviui q , esančiam

paviršiu apribotoje srityje, tai yra

qnD

S

d),( 0

(27)

Iš kitos pusės

V

zyxzyxq ddd),,( (28)

čia ),,( zyx - erdvinis krūvio tankis. Kaip Gauso formulės išdavą gauname vieną iš

Maksvelo lygčių

D

div (29)

Apskaičiuokime integralą S

An d],[ 0

. Panaudoję išraiškas (15) ir (16) apskaičiuojame

vektorinę sandaugą:

coscoscoscoscoscos

coscoscos],[

123123

321

0

PPnPPnPPn

PPP

nnn

An

yyx

zyx

(30)

Matome, kad reikia apskaičiuoti tik vieno tipo paviršinį integralą

,,,3,2,1,dcos p

S

pqqp qPI (31)

Kai p projektuojame uždarą paviršių S į plokštumą yOz , kai p projektuojame

į plokštumą xOz, o kai p projektuojame į plokštumą xOy ir atliekame pertvarkymus

130

kaip ir gaunant formulę (19). Atlikę tokias operacijas su visais pointegralinės funkcijos (31)

sandais gauname

zyxy

P

x

Pnzyx

x

P

z

Pn

zyxz

P

y

PnAn

V

z

V

y

V

x

S

dddddd

dddd],[

1231

230

(32)

Palyginę reiškinį A

, ir formulę (32) matome, kad

zyxAAn

VS

ddd,d],[ 0

(33)

Reiškinys A

, vadinamas vektorinio lauko rotoriumi ir žymimas

AA

rot, (34)

Kai tūris V mažas ir VV , pagal (33) formulę rotorių galima apibrėžti taip:

S

AnVV

A

d],[1

0

lim, 0

(35)

Toks rotoriaus apibrėžimas nėra susietas su kokia nors koordinačių sistema ir yra universalus.

Bet, kaip ir divergencijos skaičiavimo atveju, diferencialinis pavidalas (34) paprastai yra

patogesnis.

Tokiu pat būdu galima gauti ir formulę gradientui. Apskaičiuokime integralą

S

zyx

S

nnnx,y,znx,y,z dcoscoscos)Φ(d)Φ( 0

(36)

Paėmę sandą S

z x,y,zn dcos)Φ(

čia esantį integralą galime pertvarkyti kaip ir gaunant

(19) formulę. Rezultatas

zyxz

ny

nx

nnx,y,z

V

zyx

S

dddd)Φ( 0

(37)

Reiškinys z

ny

nx

n zyx

vadinamas skaliarinės funkcijos gradientu

zn

yn

xn zyx

grad (38)

Kaip ir aukščiau aprašytais atvejais skaliarinės funkcijos gradientą patogiau skaičiuoti pagal

formulę (38), užsirašius operatorių reikalingoje koordinačių sistemoje. Iš formulės(37)

plaukia gradiento apibrėžimas, nesusietas su jokia konkrečia koordinačių sistema

131

S

nx,y,zVV

d)Φ(1

0

lim0

(39)

Formulės (25), (33) ir (37) yra labai svarbios pertvarkant vektorinių laukų integralus ir yra

elektrodinamikoje ir tolydžiųjų terpių mechanikoje plačiai naudojamų integralinių lygčių

metodų matematinis pagrindas.

Uždaviniai

1 Apskaičiuokite reiškinį }){(div bra

, kai a

, b

pastovūs vektoriai, o r

- radiusas vektorius.

2 Apskaičiuokite reiškinį }){(div rba

, kai a

, b

pastovūs vektoriai, o r


3 Apskaičiuokite reiškinį }){(rot rra

, kai a

pastovus vektorius, o r


4 Apskaičiuokite reiškinį ]]},[{[rot rar

, kai a



5 Apskaičiuokite reiškinį

3

],[rot

r

ra

, kai a



6 Apskaičiuokite reiškinį

3

),(grad

r

ra

, kai a



Sprendiniai

1 ),( ba

2 ),(3 ba

3 ],[ ra

4 ],[3 ra

5

35

),(3

r

a

r

rar

6

53

),(3

r

rar

r

a

132

V skyrius. Variacinio skaičiavimo pradmenys

20. Variacinio skaičiavimo samprata

Tegul plokštumoje xOy lygiagrečias ašiai y tieses 1xx ir 2xx jungia kreivė, kurios

lygtis )(xyy . Kreivės ilgis tarp tiesių 1xx ir 2xx bus

.dd

)(d1)]([

2

1

x

x

xx

xyxyl (1)

Kreivės ilgis tarp tiesių 1xx ir 2xx priklauso nuo to, kokia kreive )(xyy tas tieses

sujungiame. Į dydį )]([ xyl galima žiūrėti kaip į funkcijos )(xy funkciją, kurio vertė priklauso

nuo to, kokia argumento, tai yra, funkcijos )(xy , vertė. Matematikoje kintamas dydis, kurio

argumentai yra funkcijos, vadinamas funkcionalu. Funkcionalai nėra retas matematikos

objektas, sutinkamas uždaviniuose. Fizikoje itin dažnai sutinkami funkcionalai, kurių

pavidalas

,d))(),(,())((2

1

x

x

xxyxyxFxyJ (2)

,d))(),...,(),(),(),...,(),(,())(),...,((2

1

21211

x

x

nnn xxyxyxyxyxyxyxFxyxyJ (3)

2

1

d))(),...,(),(),(,())(( )(x

x

n xxyxyxyxyxFxyJ , (4)

.dd)),(

,),(

),,(,,()),(( yxy

yxu

x

yxuyxuyxFyxuJ

D

(5)

Taikymuose itin svarbus yra funkcionalo ekstremumo radimo uždavinys, kai reikia surasti

funkciją, kuriai funkcionalas įgyja ekstremalią reikšmę. Tokia funkcija vadinama

funkcionalo ekstremale.

Funkcionalo argumentas yra funkcija. Savybių funkcijų, tarp kurių ieškosime tokios,

kuriai tam tikras funkcionalas įgyja ekstremalią vertę, kol kas griežčiau nenusakome, tarę tik,

kad su jomis galima atlikti visas operacijas, reikalaujamas funkcionalo apibrėžimo. Kai

argumentas yra funkcija, tai argumentas gali pakisti dėl to, kad paimame kitą rinkinio funkciją

ir kad pakinta argumento vertė, tai yra

133

.)( xxyyy (6)

Čia y pažymėtas funkcijos pokytis dėl to, kad pakito funkcijos forma (paimta kita rinkinio

funkcija). Šis dėmuo vadinamas formos variacija. Dydis y vadinamas pilnutine variacija.

Uždavinį siauriname: ekstremalių galus įtvirtiname, tad 0x ir

021

xxjxxj yy (7)

Kadangi šiame ir toliau nagrinėjamuose fizikiniuose uždaviniuose ekstremalių galai įtvirtinti,

tai formos variacija sutampa su pilnutine variacija. Tik žymėjimo paprastumo dėlei toliau

formos variacijai naudosime pilnutinės variacijos žymėjimą. Dėl to, kad formos variacija

skaičiuojama esant pastoviai argumento x vertei, funkcijos formos variacijos operacija ir

išvestinės skaičiavimo operacija gali būti perstatinėjamos (operacijos komutuoja). Tuo

naudosimės skaičiuodami funkcionalo variaciją.

Nustatysime būtinas sąlygas, kada funkcionalas (2) įgyja ekstremalią vertę. Tegul

funkcija )(xy yra funkcionalo ekstremalė. Jeigu prie ekstremalės pridėsime funkciją )(xy ,

tai funkcionalo vertė funkcijai

)()()( xyxyxy (8)

nebebus ekstremali. Funkcija )(xy yra kita funkcija, kuri intervale ],[ 21 xxx įgis kitokias

vertes, negu funkcija )(xy , o jų vertės sutaps tik tada, kai funkcija 0)( xy . Kol kas

priimsime, kad funkcijos variacija )(xy yra mažas nuokrypis nuo ekstremalės )(xy . Šio

teiginio prasmę patikslinsime vėliau. Kadangi )(xy yra funkcija, tai

)()()( xyxyxy (9)

Tegul dabar funkcionalas turi pavidalą (2). Funkcionalo variacija

))(())(( xyJxyJJ (10)

Pareikalausime, kad intervalo galuose 1xx ir 2xx funkcija )(xy būtų lygi nuliui

0)()( 21 xyxy (11)

tai yra, funkcionalo ekstremalės galai yra įtvirtinti. Įrašę į formulę (10) funkcionalo išraišką

(2) ir, išskleidę )(xy laipsnine eilute, gauname, kad pirmos eilės dydžių )(xy tikslumu

2

1

2

1

2

1

dd),,(d),,(

x

x

x

x

x

x

xyy

Fy

y

FxyyxFxyyxFJ (12)

Paskutinį narį (12) formulėje vieną kartą integruojame dalimis:

134

2

1

2

1

2

1

dd

d

dd

d

d

d

x

x

xx

xx

x

x

xy

F

xy

Fyy

y

F

xy

F

xyy

y

F

xy

y

FJ

(13)

Kadangi galioja sąlyga (11), turime

2

1

dd

dx

x

xy

F

xy

FyJ (14)

Pagrindinė variacinio skaičiavimo lema. Jeigu bet kokiai tolydžiai funkcijai )(x

2

1

,0d)()(

x

x

xxx (15)

o funkcija )(x yra tolydi intervale ],[ 21 xxx , tai tame intervale

.0)( x (16)

Mūsų atveju funkcija )(xy yra kokia nors tapatingai nelygi nuliui funkcija, nedaug

besiskirianti nuo funkcijos )(xy . Lemos (15) sąlyga teigia, kad sąryšis (14) galioja, jeigu

funkcija )(xy tenkina diferencialinę lygtį

0d

d

y

F

xy

F (17)

Ši lygtis vadinama Eulerio lygtimi. Tai yra matematinė išraiška būtinos sąlygos, kad

funkcija )(xy būtų funkcionalo (2) ekstremale. Kitaip sakant, funkcija )(xy gali būti

funkcionalo (2) ekstremale tik tada, jeigu ji tenkina Eulerio lygtį (17).

Lygtis (17) yra dalinių išvestinių lygtis. Taikomuosiuose uždaviniuose svarbus ir kitoks

šios lygties pavidalas. Padauginę lygtį (17) iš y gauname:

0d

d

d

d

y

y

F

y

Fy

xy

y

F

y

F

xyy

y

F (18)

Kadangi

yy

Fy

y

F

x

F

x

F

d

d, (19)

tai lygtį (18) galime užrašyti taip:

0d

d

y

FyF

xx

F (20)

Formulė rodo, kad tuo atveju, kai funkcionalas ),,( yyxF tiesiogiai nuo kintamojo x

135

nepriklauso ir turi pavidalą ),( yyF , tai ekstremalių lygtis (17) turi pirmąjį integralą

1),(),(

CyyFy

yyFy

. (21)

Pavyzdys 1. Masės m materialusis taškas, veikiamas sunkio jėgos, slysta vertikalioje

plokštumoje esančia kreive )(xyy . Kokia turi būti kreivės )(xyy forma, kad

materialusis taškas iš taško 11)( yxy pasiektų tašką 22)( yxy per trumpiausią laiką, kai

21 yy , o materialiojo taško pradinis greitis nepaisytinai mažas?

Sprendimas. Pagal energijos tvermės dėsnį

122 )(

2mgymgyyx

m , (1.1)

čia g - laisvo kitimo pagreitis. Kadangi )(xyy yra sudėtinė funkcija laiko atžvilgiu, tai

xyy , (1.2)

o y yra funkcijos y išvestinė pagal argumentą x . Įrašę sąryšį (1.2) į lygtį (1.1) ir, išsprendę

x atžvilgiu, gauname

2

1

1

)(2

y

yygx

(1.3)

Tai yra paprastoji diferencialinė lygtis. Atskyrę kintamuosius turime

tyyg

xyd

)(2

d1

1

2

(1.4)

Kelyje nuo taško su koordinate 1xx iki taško su koordinate 2xx materialusis taškas

užtruks

2

1)(2

d1

1

2x

xyyg

xy (1.5)

ir laiko tarpas priklausys nuo to, kokia yra kreivės )(xyy forma. Uždavinį suvedėme į

funkcionalo

)(2

1),(

1

2

yyg

yyyF

(1.6)

ekstremumo radimo uždavinį. Pritaikę (20) formulę gauname

12

1 1)(2

1C

yyyg

(1.7)

Iš čia

136

)(2

)(21

121

121

yygC

yygCy

(1.8)

Šioje diferencialinėje lygtyje atskyrę kintamuosius turime

2

121

121 d

)(21

)(2Cxy

yygC

yygC

(1.9)

Fomulėje (1.9) esančiame integrale padarome keitinį

21

21 sin)(2 yygC (1.10)

ir gauname

)2sin(

2

1

2

121

2 gC

Cx (1.11)

Išsprendę sąryšį (1.10) y atžvilgiu gauname

)2cos(14

121

1 gC

yy (1.12)

Formulės (1.11) ir (1.12) yra parametrinės cikloidės lygtys. Pradinę parametro vertę

surandame iš sąlygų

1111 )(,)( yyxx (1.13)

Už pradinę parametro vertę tinka bet kokia vertė, tenkinanti sąlygas (1.13). iš (1.12)

plaukia, kad 01 , 12 xC . Pradinę sąlygą tenkinantis sprendinys

)2cos(14

1

)2sin(2

1

2

1

21

1

21

1

gCyy

gCxx

(1.14)

Konstantą 21C ir parametro vertę, kada materialusis taškas atsiduria taške ),( 22 yx galima

surasti išsprendus algebrinių lygčių sistemą

)2cos(14

1

)2sin(2

1

2

1

221

12

2221

12

gCyy

gCxx

(1.15)

Tokiu pat būdu kaip ir funkcionalui (2) užrašomos ir lygtys, kurias turi tenkinti

funkcionalo (3) ekstremalės. Šiuo atveju visos funkcijos njxy j ,...,1),( yra tarpusavyje

137

nepriklausomos. Akivaizdu, kaip dalinį atvejį, kai 1n , turime funkcionalą (2). Ekstremalių

galų įtvirtinimo sąlyga dabar atrodo taip:

njyyxxjxxj ,...,1,0

21

(22)

Užrašome funkcionalo variaciją:

.d))(,...,),(),(),...,(,(

d))()(,...,),()(),()(),...,()(,(

2

1

2

1

11

1111

x

x

nn

x

x

nnnn

xxyxyxyxyxF

xxyxyxyxyxyxyxyxyxFI

(23)

(23) formulės dešinės pusės pirmąjį integralą skleidžiame Teiloro eilute dydžių jy ir jy

atžvilgiu, apsiribodami tiesiniais nariais, o narius su jy dar ir suintegravę vieną kartą

dalimis, gauname

.dd

d

11

2

1

2

1

n

j

j

x

x jj

xx

xx

n

j

jj

xyy

F

xy

Fy

y

FI (24)

Kadangi ekstremalių galai įtvirtinti, tai galioja (22) formulė ir (24) lygties dešinės pusės

pirmo nario visi dėmenys lygūs nuliui. Funkcijos jy bet kokios reikalingą skaičių kartų

diferencijuojamos pagal savo argumentą bet kokiame intervalo ],[ 21 xxx taške. Aišku,

užrašydami (24) formulę turėjome galvoje, kad funkciją ),...,,,,...,,,( 2121 nn yyyyyyxF

galima diferencijuoti pagal visus argumentus. Visos funkcijos )(xy j , ],[ 21 xxx yra

nepriklausomos, kaip ir jų variacijos jy . Dėl to iš pagrindinės variacinio skaičiavimo lemos

(15) plaukia, kad funkcionalas (5) turi ekstremumą tada ir tik tada, jeigu

.,...,1,d

dnj

y

F

xy

F

jj

(25)

Tai yra diferencialinių lygčių sistema funkcionalo (3) ekstremalių atžvilgiu. Lygtys (25)

vadinamos Eulerio lygtimis. Gavome, kad funkcionalas (3) yra ekstremalus, jeigu funkcijos

njxy j ,...,1),( tenkina Eulerio diferencialinių lygčių sistemą (25).

Panašiai užrašoma lygtis ir pavidalo (4) funkcionalo ekstremalei. Šiuo atveju, žinoma,

funkcijos, kurioms funkcionalas (4) įgyja ekstremalią vertę, turi būti n kartų

diferencijuojamos. Paprasčiausiu atveju, kai ekstremalės galai įtvirtinti ir galioja sąlygos

(11), funkcionalo (4) variacija

138

2

1

2

1

2

1

d....

d),...,,,(d),...,,,(

)(

)(

)()(

x

x

n

n

x

x

nx

x

n

xyy

Fy

y

Fy

y

Fy

y

F

xyyyxFxyyyxFJ

(26)

Integruodami dalimis antrąjį sandą iš riestinių skliaustų vieną kartą, trečiąjį – du kartus ir t.

t., o paskutinį sandą - n kartų gauname

2

1

2

1

2

1

dd

dd

x

x

x

x

x

x

xy

F

xyy

y

Fxy

y

F (27)

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

dd

d

d

d

dd

dd

2

2x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xy

F

xy

y

F

xyy

y

F

xy

F

xyy

y

Fxy

y

F

(28)

Tęsdami šią procedūrą paskutiniam formulės (26) pointegralinės funkcijos sandui gauname

2

1

2

1

2

1

dd

d)1(

d

d)1(d

)(

)1(

)(1

)(

)(

x

xnn

nn

x

x

k

nkn

n-kn

k

knx

x

n

nx

y

F

xyy

y

F

xxy

y

F

(29)

Matome, kad funkcionalo (4) ekstremumo sąlyga įgyja įprastą pavidalą pareikalavus, kad

nekinta ne tik ekstremalės galų padėtys, bet tuose taškuose yra lygios nuliui ir išvestinės ,

kurių eilės yra 1,...,2,1 n , tai yra, galioja sąlygos

0)(...)()()( 1)1(

111 xyxyxyxy n (30)

0)(...)()()( 2)1(

222 xyxyxyxy n (31)

Tuomet iš (26) ir (27)-(29) formulių plaukia, kad funkcionalo ekstremalė turi tenkinti lygtį

0d

d)1(...

d

d

d

d

d

d)()3(3

3

2

2

nn

nn

y

F

xy

F

xy

F

xy

F

xy

F (32)

Tai yra n2 eilės paprastoji diferencialinė lygtis.

Užrašyti lygtį, kurią turi tenkinti ekstremalės funkcionalui pavidalo (5) sudėtingiau, nes

reikia atsižvelgti į tai, kad ekstremalė yra dvimatis paviršius. Ekstremalės įtvirtinimo sąlygą

užduosime ant kontūro C plokštumoje xOy . Šiuo atveju ekstremalė būtų paviršius ),( yxu ,

kuriam funkcionalas (5) įgyja ekstremalią vertę. Funkcionalo (5) variacija

139

.dd),,,,(),,,,()],([ yxy

u

x

uuyxF

y

u

x

uuyxFyxuJ

D

(33)

Čia uuu , x

u

x

u

x

u

,

y

u

y

u

y

u

. Išskleidę funkcionalą ),,,,(

y

u

x

uuyxF

Teiloro eilute turime

.dd)],([ yxuu

Fu

u

Fu

u

FyxuJ

D

yy

xx

(34)

Čia patogumo dėlei panaudoti žymėjimai x

uux

,

y

uuy

. Kadangi

yyyy

xxxx

uu

F

u

F

yuu

u

F

y

uu

F

u

F

xuu

u

F

x

(35)

(34) formulę galima užrašyti taip:

.dd

dd)],([

yxuu

F

yu

u

F

x

yxuu

F

yu

F

xu

FyxuJ

D yx

D yx

(36)

Iš matematinės analizės kurso žinome, kad dvimatis integralas sritimi D gali būti pakeistas

kontūriniu integralu, kur integruojama sritį D ribojančiu kontūru C pagal Gryno formulę

.dddd

CD

xMyNyxy

M

x

N (37)

Pagal šią formulę

C yxD yx

xu

Fuy

u

Fuyxu

u

F

yu

u

F

xdddd . (38)

Pareikalavę, kad ekstremalės paviršius eitų per kontūrą, įtvirtinimo sąlygą galime nusakyti

taip:

0C

u . (39)

Dėl to kontūrinis integralas

0dd

C yx

xu

Fuy

u

Fu (40)

140

ir iš (36) formulės plaukia, kad ekstremalė turi tenkinti lygtį

0

yx u

F

yu

F

xu

F (41)

Pavyzdys 2. Elektrostatikoje elektrinio lauko stipris ),( yxEE

su potencialu susieti

sąryšiu E

. Kokią lygtį turi tenkinti funkcija , kad elektrostatinio lauko energijos

tankis būtų minimalus?

Sprendimas. Elektrostatinio lauko energijos tankis yra ),( 0 EEw

. Cilindrinė srities

ilgio vienete lauko energija

yxyx

W

D

dd

22

0

(2.1)

čia - terpės elektrinė skvarba, 0 - elektrinė konstanta. Lauko energija bus minimali, jeigu

energijos tankis bus minimalus, tai yra, reikia užrašyti lygtį funkcionalo (2.1) ekstremalei.

Pagal (41) formulę ekstremalės lygtis

02

2

2

2

yx

(2.2)

yra Laplaso lygtis.

Uždaviniai

1 Raskite funkcionalo xy

yxyJ d

1)]([

1

1

2

ekstremalę, tenkinančią kraštines sąlygas

1)1( y , 1)1( y .

2 Raskite funkcionalo xyyxyJ d)]([

1

0

22 ekstremalę, tenkinančią kraštines sąlygas

0)0( y , 1)1( y .

3 Raskite funkcionalo xyyxyJ d)]([2

0

22

ekstremalę, tenkinančią kraštines sąlygas

1)0( y , 0)2( y .

141

4 Raskite funkcionalo xyeyyxyJ x d2)]([

1

0

22 ekstremalę, tenkinančią kraštines

sąlygas 0)0( y , 0)1( y .

5 Užrašykite Eulerio lygtį funkcionalo yxyxufuuyxuJ

D

yx dd),(2)],([ 22

ekstremalėms.

6 Raskite ekstremales funkcionalo xyxyyJ

x

x

d)1(][2

1

2 .

7 Raskite ekstremales funkcionalo xyyyyyJ

x

x

d162][2

1

22 .

8 Raskite ekstremales funkcionalo xxyyyyJ

x

x

d)sin(2][2

1

22 .

9 Raskite ekstremales funkcionalo xxyyyJ

x

x

d16][2

1

222 .

10 Raskite ekstremales funkcionalo xzyyyzzyJ

x

x

d22],[2

1

222 .

11 Raskite ekstremales funkcionalo xyxyyyJ

x

x

d2][2

1

322 .

12 Raskite ekstremales funkcionalo xxyyyyyJ

x

x

d)sin(22][2

1

222 .

13 Raskite ekstremales funkcionalo xxyyyxyJ

x

x

d22][2

1

222 .

14 Raskite ekstremales funkcionalo xx

yyyyJ

x

x

d)(ch

2][

2

1

22

.

142

Sprendiniai

1 222 yx 2

sh(1)

)(sh xy

3 )cos(xy 4 xxexe

y2

1)(sh

2sh(1)

5 ),(

2

2

2

2

yxfy

u

x

u

6 2

1

2

1C

x

Cy

7

1

21 44sin4 C

Cx

Cy

8 xeCeCy xx sin

2

121

9

xCxC

eCeCy xx

2cos2sin 23

22

21

10

xxCxxC

xCCxCCy

xxCxxC

xCxCz

sincos

sin)2(cos)2(

,sincos

sincos

43

3241

43

21

11

xj

j

j

jeCxy

jj

6

1

3

6,...,1,6

)1(2iexp

12

)sin(8

1

)()(

2

i43

i21

xx

exCCexCCy xx

13 )ln(

3

122

1 xxx

CxCy

14

))(chln()(ch)(sh

)(ch)(sh 21

xxxx

xCxCy

143

VI skyrius. Kompleksinio kintamojo funkcijų teorijos

pagrindai

21. Kompleksiniai skaičiai

Apibrėžimas. Tegul turime dvi realių skaičių poras ),( 11 yx ir ),( 22 yx tokias, kurioms

galioja lygybės, sumos ir sandaugos operacijos, apibrėžiamos sąryšiais:

),(),(.1 2211 yxyx tada ir tik tada, kai 21 xx , 21 yy (1)

),(),(),(.2 21212211 yyxxyxyx (2)

),(),(),(.3 122121212211 yxyxyyxxyxyx (3)

Realių skaičių poros, tenkinančios sąryšius (1)-(3) vadinamos kompleksiniais skaičiais.

Kaip matyti iš apibrėžimo

)0,()0,()0,( 2121 xxxx (2a)

)0,()0,()0,( 2121 xxxx (3a)

Sumos ir sandaugos operacijos skaičių porų tokios pat, kaip ir realių skaičių. Todėl skaičių

poras pavidalo )0,(x tapatinsime su realiais skaičiais, tai yra

xx )0,( (4)

Pagal (2) formulę

),0()0,(),( yxyx (5)

Pagal formulę (3)

),0()1,0)(0,( yy (6)

Dabar (5) išraišką galima perrašyti taip:

)1,0)(0,()0,(),( yxyx (7)

Pagal (3) formulę

)0,1()1,0)(1,0( (8)

Kompleksinis skaičius )1,0( vadinamas menamu vienetu ir paprastai žymimas i , tai yra

i)1,0( (9)

Iš sąryšio (8) turime

1i (10)

144

Toliau trumpai kompleksinį skaičių žymėsime viena raide, pavyzdžiui zyx ),( . Sąryšį (7)

dabar galime užrašyti taip:

yxz i (11)

Tai yra kompleksinio skaičiaus algebrinis pavidalas. Kai kompleksiniai skaičiai užrašyti

algebriniu pavidalu, su jais, atlikdami sudėties, atimties, daugybos ir dalybos operacijas

elgiamės kaip su paprastais dvinariais. Daugiklis prie menamo vieneto vadinamas

kompleksinio skaičiaus menama dalimi ir tai priimta žymėti

yz )Im( (12)

Kompleksinio skaičiaus reali dalis

xz )Re( (13)

Kaip matyti iš algebrinio pavidalo, kompleksinį skaičių z galima atvaizduoti tašku

Dekarto koordinačių sistemoje plokštumoje xOy

1 pav. Kompleksinio skaičiaus geometrinė prasmė

Atkreipiame dėmesį, kad kompleksinis skaičius yra skaliaras, kaip ir paprastas realus

skaičius.

Į vektorių jis darosi panašus tik todėl, kad taško padėtį plokštumoje galima nusakyti

vektoriumi. Su kompleksiniais skaičiais galima atlikti kompleksinio jungtinumo operaciją,

kuri žymima simboliu * ir apibrėžiama sąryšiu

yxz i* (14)

Kaip matyti iš 1 pav. kompleksinį skaičių z vaizduojančio vektoriaus ilgis

-

z*

z

x Re(z)

-y

y

Im(z)

145

22|| yxz (15)

ir jis vadinamas kompleksinio skaičiaus moduliu. Iš formulių (11) ir (14) gauname

22* yxzz (16)

Tuo remiantis kompleksinio skaičiaus modulį galime nusakyti ir nesinaudodami jo

geometrine prasme, o naudodami (15)-(16) formules

zzz *|| (17)

Šioje formulėje naudojame tik teigiamą šaknies vertę, kad galiotų ir geometrinė

interpretacija, kuri dažnai būna naudinga. Kaip matyti iš 1 pav., kampas, kurį sudaro

kompleksinį skaičių z atvaizduojantis vektorius su ašimi )Re( z , gali būti nusakytas sąryšiais

2222

sin,cosyx

y

yx

x

(18)

Patogumo dėlei pažymėję

zzr * (19)

sąryšį (11) galime užrašyti taip:

)sini(cos rz (20)

Išskleidus Teiloro eilute reiškinį )iexp( galime įsitikinti, kad galioja sąryšis

sinicosi e (21)

ir (20) formulę galima užrašyti taip:

irez (22)

Tai dar vienas kompleksinio skaičiaus algebrinių pavidalų. Dydis vadinamas

kompleksinio skaičiaus z argumentu ir žymimas

)arg(z (23)

Kaip matyti iš sąryšių (18), kompleksinio skaičiaus argumentas nėra vienareikšmis dydis.

Visą kampų rinkinį galima nusakyti formule

...,2,1,0,2)(Arg kkz (24)

Tad )arg(z yra mažiausia pagal absoliutinį didumą )(Arg z vertė. Paprastai be komentarų

naudojama argumento vertė (23), o jeigu reikalinga kokia nors kita, tai turi būti nurodoma,

su kokia k verte formulėje (24) dirbame.

Tiesiog skaičiuodami galime įsitikinti, kad

*

2*

1*

21 )( zzzz (25)

146

*

2

*1

*

2

1

z

z

z

z

(26)

Dviejų kompleksinių skaičių santykį galima apskaičiuoti, kai vardiklis nelygus nuliui. Realią

ir menamą dalį surasti paprasta turint galvoje

*

22

*21

2

1

zz

zz

z

z ,

nes sąryšio dešinės pusės vardiklyje yra realus skaičius. Kompleksinių skaičių lygybės

operacijos apibrėžimas (1) galioja ir kompleksiškai jungtiniams skaičiams, tai yra, jeigu

21 zz , tai ir *

2*

1 zz . Tuo remiantis galime teigti: jeigu lygtis su realiais koeficientais

0... 11

10

nnnn azazaza turi sprendinį 1zz , tai lygtį tenkina ir sprendinys

*1zz

. Toks rezultatas akivaizdus, įrašius į lygtį sprendinį 1zz ir padarius kompleksinio

jungtinumo operaciją.

Pavyzdys 1. Apskaičiuokite sumą

)cos(...)2cos()cos( nxxxSc (1.1)

Sprendimas. Užrašome kitą sumą

)sin(...)2sin()sin( nxxxSs (1.2)

Iš (1.1) ir (1.2) sąryšių sudarome kompleksinį reiškinį

)(i)2(i)(i ...i nxxx

cc eeeSSS (1.3)

Reiškinį (1.3) pertvarkome į pavidalą, kuriame figūruotų geometrinė progresija:

1...1 i2iii nx eeeeS (1.4)

Pagal geometrinės progresijos sumos formulę

q

qqqq

nn

1

1...1

12

(1.5)

Pritaikę (1.5) formulę išraiškai (1.4) gauname

2

)1(i

i

iii

2sin

2sin

1

1

nxn

x e

n

e

eeeS (1.6)

Atskyrę realią ir menamą dalis galime užrašyti

2

)1(cos

2sin

2sin

n

x

n

Sc (1.7)

147

2

)1(sin

2sin

2sin

n

x

n

Ss . (1.8)

Šaknies traukimas iš kompleksinio skaičiaus. n -ojo laipsnio šaknies traukimo

operacija yra ekvivalentiška sprendimui lygties

wzn (27)

Kompleksinį skaičių w užrašome pavidalu (22):

)2(i|| kn ewz (28)

Lygties (28) skirtingi sprendiniai

nkewz n

k

nnk ...,,2,1,||

)1(2i1

(29)

Kompleksinėje plokštumoje lygties (27) sprendiniai randasi ant spindulio nw

1

|| apskritimo,

o sujungę tiesių atkarpomis gretimus taškus gauname įbrėžtą į apskritimą taisyklingą n -

kampį. Iš formulės (29) matyti, kad 11 zzn , ,...22 zzn ir šaknys kartojasi, todėl skirtingų

šaknų daugiau nėra.

Kompleksinio skaičiaus logaritmą apskaičiuojame užrašę jį pavidalu (22):

)2)(arg(i|| kzezz (30)

Tada

)2)(arg(i|)ln(|)(Ln kzzz (31)

Paprastai dirbama su 0k verte ir rašoma taip:

)arg(i|)ln(|)(ln zzz (32)

Matome, kad pagal formulę (32)

i)1ln()1(ln i e

2

i)ln()i(ln 2

i

e .

148

22. Kompleksinio kintamojo funkcijos samprata

Tegul 0z yra koks nors kompleksinis skaičius, o - realus teigiamas skaičius. Pagal

kompleksinio skaičiaus geometrinę prasmę kompleksinės plokštumos z taškų, tenkinančių

sąlygą

|| 0zz , (1)

aibės elementai yra spindulio skritulyje, kurio centras randasi taške 0z . Taškų aibė (1) yra

atvira, nes kraštiniai taškai, tenkinantys sąlygą

|| 0zz , (2)

nepriklauso tai aibei. Toliau aibę (1) vadinsime taško 0z aplinka. Taškas 0z vadinamas

aibės vidiniu tašku, jeigu egzistuoja jo aplinka, kurios visi taškai priklauso aibei (1).

Apibrėžimas 1. Kompleksinės plokštumos taškų aibė D vadinama sritimi, jeigu aibės

elementai tenkina reikalavimus:

1 kiekvienas aibės D taškas yra jos vidinis taškas (aibės atvirumo požymis);

2 bet kokius du aibės D taškus galima sujungti laužte, kurių visi taškai priklauso aibei

D (srities jungumo požymis).

Taškas z vadinamas kraštiniu srities D tašku, jeigu bet kokioje taško z 0 aplinkoje

yra taškų, priklausančių sričiai D ir jai nepriklausančių. Srities kraštinių taškų aibė vadinama

srities kraštu ir dažnai žymima D . Srities D taškų aibė su prijungta srities kraštinių taškų

aibe sudaro uždarą aibę, kurią žymėsime D . Uždarą ir be savikirtos taškų kreivę vadinsime

kontūru. Bet koks kontūras plokštumą dalija į dvi skirtingas sritis, o pats kontūras yra

kiekvienos sričių kraštas. Vidinė sritis yra apribota, o išorinė neapribota. Sritį D vadiname

vienajunge sritimi, jeigu bet kokio kontūro, nubrėžto srityje D , visi vidiniai taškai taip pat

priklauso sričiai D . Sritys, kurios netenkina šio apibrėžimo, vadinamos daugiajungėmis.

Tegul turime begalinę seką kompleksinių skaičių }{ nz ,...,...,, 21 nzzz . Jeigu bet kokiam

kiek norima dideliam skaičiui M egzistuoja natūrinis skaičius N toks, kad visiems Nn

galioja nelygybė Mzn || , tai sakoma, kad seka }{ nz konverguoja į be galo nutolusį tašką

nzn

lim. (3)

Kompleksinio kintamojo plokštuma, papildyta be galo nutolusiu tašku z vadinama

išplėstąja kompleksinio kintamojo z plokštuma. Be galo nutolusio taško aplinka

149

išplėstojoje kompleksinio kintamojo z plokštumoje vadinama aibė taškų, tenkinančių

nelygybę Rz || . Geometrine prasme tai yra taškai, gulintys spindulio R apskritimo išorėje.

Toliau tarsime, kad kiekvienas kompleksinis kintamasis yra nusakytas savo išplėstojoje

kompleksinėje plokštumoje ir bet kokią išplėstąją kompleksinę plokštumą patogumo dėlei

vadinsime tiesiog kompleksine plokštuma.

Apibrėžimas 2. Sakysime, kad kompleksinės plokštumos taškų aibėje D užduota

kompleksinio kintamojo z funkcija

)(zfw , (4)

jeigu nurodyta taisyklė, pagal kurią kiekvienam aibės D elementui priskiriamas

kompleksinės plokštumos w elementas.

Kadangi yxz i , pažymėję vuw i , sąryšį (4) galime parašyti taip:

)i(i yxfvu . (5)

Skaitant iš dešinės į kairę (5) sąryšis sako, kad visada galima surasti kompleksinės funkcijos

)(zf realią ir menamą dalis:

))(Im(),()),(Re(),( zfyxvzfyxu . (6)

Pavyzdys 1. Raskite funkcijos 3zw realią ir menamą dalis.

Sprendimas. Įrašę vietoje z kompleksinio skaičiaus algebrinį pavidalą gauname:

)3(i3)i( 322333 yyxxyxyxz . (1.1)

Dabar akivaizdu, kad

.3),()Im(

,3),()Re(

323

233

yyxyxvz

xyxyxuz

(1.2)

Funkcija )(zfw vadinama vienalape funkcija aibėje D , jeigu bet kokie skirtingi aibės D

elementai 1z ir 2z ( 21 zz ) atvaizduojami į skirtingus taškus plokštumoje w , tai yra,

vienalapės funkcijos atveju )( 11 zfw , )( 22 zfw sąryšis 21 ww galioja tik tada, kai

21 zz . Funkcijos, kurios nėra vienalapės, vadinamos daugialapėmis funkcijomis. Dažnai

sutinkamos ir daugiareikšmės funkcijos, kurios vieną kompleksinės plokštumos tašką z

atvaizduoja į du ar daugiau kompleksinės plokštumos w tašus. Pavyzdžiui, funkcija 3

1

zw

kiekvieną baigtinį nelygų nuliui plokštumos z tašką atvaizduoja į 3 plokštumos w taškus.

150

Kompleksinės funkcijos riba. Tegul funkcija )(zfw apibrėžta kokioje nors taško 0z

aplinkoje, išskyrus, gal būt, tik patį tašką 0z . Kompleksinis skaičius a vadinamas funkcijos

)(zf riba, kai z artėja prie 0z , jeigu bet kokiam teigiamam skaičiui galima nurodyti taško

0z aplinką tokią, kad visi z iš taško 0z aplinkos, išskyrus, gal būt, tik patį tašką 0z ,

plokštumoje w atvaizduojami taškais, esančiais taško a aplinkoje

)(lim

0

zfzz

a

. (7)

Kitais žodžiais: jeigu 0 )( toks, kad visiems ||0 0zz galioja

nelygybė |)(| azf , tai )(lim

0

zfzz

a

. Pastebėsime, kad ribos apibrėžime rezultatas

turi nepriklausyti nuo to, kokiu keliu artėjame prie taško 0z .

Ribos (7) egzistavimas yra ekvivalentiškas egzistavimui realių funkcijų ribų

cyxv

yy

xxbyxu

yy

xx

),(

lim

,),(

lim

0

0

0

0 , (8)

čia cba i . Kaip matome, kompleksinės funkcijos ribos skaičiavimas gali būti suvestas į

skaičiavimą realių funkcijų ribų. Dėl to išlieka galioti pagrindiniai sąryšiai, nustatyti realioms

funkcijoms:

)(lim

)(lim

)()(lim

000

zgzz

zfzz

zgzfzz

, (9)

)(

lim)(

lim)()(

lim

000

zgzz

zfzz

zgzfzz

, (10)

0)(lim

jeigu,

)(lim

)(lim

)(

)(lim

0

0

0

0

zg

zzzg

zz

zfzz

zg

zf

zz. (11)

Funkcija )(zfw , užduota srityje D , vadinama tolydine taške Dz 0 , jeigu

)()(lim

00

zfzfzz

. Funkcija )(zfw vadinama tolydine srityje D , jeigu ji yra tolydinė

kiekviename srities taške. Kitais žodžiais funkcija )(zfw yra tolydi taške 0z , jeigu

0 0)( toks, kad visiems Dz , tenkinantiems sąlygą || 0zz galioja

nelygybė |)()(| 0zfzf . Kad kompleksinio kintamojo funkcija ),(i),()( yxvyxuzf

151

būtų tolydi taške 000 iyxz būtina ir pakankama, kad realių kintamųjų funkcijos ),( yxu

ir ),( yxv būtų tolydinės taške ),( 00 yx pagal abu argumentus. Tai leidžia naudoti realaus

kintamojo funkcijų sumos, sandaugos, santykio ir sudėtinės funkcijos tolydumo savybes

kompleksinio kintamojo funkcijos atveju.

Tegul funkcija )(zf apibrėžta kokioje nors taško z aplinkoje. Sakysime, kad funkcija

)(zf diferencijuojama taške z , jeigu egzistuoja riba

z

zfzzf

z

)()(

0

lim. (12)

Čia pažymėta yxz i . Riba (12) vadinama funkcijos )(zf išvestine taške z , o ją

žymėsime taip pat, kaip ir realios funkcijos išvestinę, tai yra

z

zfzf

z

zfzzf

z d

)(d)(

)()(

0

lim

. (13)

Iš išvestinės apibrėžimo ir sąryšių (9)-(11) plaukia, kad kompleksinės funkcijos išvestinėms

lieka galioti pagrindinės realaus kintamojo funkcijų išvestinių skaičiavimo taisyklės:

z

zg

z

zfzgzf

z d

)(d

d

)(d)()(

d

d , (14)

z

zgzf

z

zfzgzgzf

z d

)(d)(

d

)(d)()()(

d

d , (15)

0)(kai,)(

)()()()(

)(

)(

d

d2

zg

zg

zgzfzfzg

zg

zf

z, (16)

z

zg

g

gfzgf

z d

)(d

d

)(d))((

d

d . (17)

Tegul funkcijos )(zfw atvirkštinė funkcija yra )(wz . Tada

w

wzf

z

d

)(d

1)(

d

d

. (18)

Pagal išvestinės apibrėžimą rezultatas turėtų nepriklausyti nuo to, kokiu keliu artėjame prie

taško z .Ne visos kompleksinės funkcijos pasižymi tokia savybe.

Pavyzdys 2. Patikrinkite, ar funkcija *zw yra diferencijuojama pagal z .

Pagal išvestinės apibrėžimą z

ww

d

d . Kadangi yxz i , o yxz i* , tai yxz iddd ,

yxw iddd . Kai prie taško z artėjame lygiagrečia ašiai x kryptimi xz dd , 0d y . Tada

.1w Kai artėjame kryptimi, lygiagrečia ašiai y , yz idd , 0d x ir gauname 1w .

152

Matome, kad rezultatas priklauso nuo krypties, kuria artėjame prie taško, kur norime

apskaičiuoti išvestinę. Kad rezultatas nepriklausytų nuo krypties, kuria artėjame prie

išvestinės skaičiavimo taško, siauriname funkcijų klasę, kurių išvestines skaičiuosime. Tai

reiškia, kad reikia nusakyti reikalavimus, kuriuos turi tenkinti kompleksinės funkcijos

),(i),()( yxvyxuzf reali ir menama dalis.

Pagal išvestinės apibrėžimą (13), paėmę 0, yxz turime

x

yxv

x

yxu

x

yxvyxxv

xx

yxuyxxu

x

x

yxvyxuyxxvyxxu

xzf

),(i

),(),(),(i

0

lim),(),(

0

lim

)),(i),((),(i),(

0

lim)(

.

(19)

Gavome išvestinės išraišką, kai prie kompleksinės plokštumos taško z artėjame, eidami

lygiagrečiai x ašiai. Jeigu tai darysime eidami lygiagrečiai ašiai, y tada 0,i xyz ir

tokiu pat būdu gauname

y

yxu

y

yxv

y

yxvyyxv

yy

yxuyyxu

y

y

yxvyxuyyxvyyxu

yzf

),(i

),(

i

),(),(i

0

lim

i

),(),(

0

lim

i

)),(i),((),(i),(

0

lim)(

(20)

Rezultatas bus tas pats, jeigu

x

v

y

u

y

v

x

u

, (21)

Gavome sąryšius, kuriuos turi tenkinti kompleksinės funkcijos ),(i),()( yxvyxuzf reali

ir menama dalis, kad išvestinės (13) vertė nepriklausytų nuo to, kokiu keliu artėjame prie

taško z . Kompleksinio kintamojo funkcijos, kurių išvestinės taškuose Dz nepriklauso nuo

to, kaip arėjame prie taško z , vadinamos analizinėmis. Sąryšiai (21) vadinami Košy –

Rymano sąlygomis. Dabar galime suformuluoti samprotavimų rezultatą.

Teorema. Jeigu realių kintamųjų funkcijos ),( yxu ir ),( yxv yra diferencijuojamos pagal

abu argumentus taško ),( yx aplinkoje, tai kompleksinio kintamojo funkcija

),(i),()( yxvyxuzf yra diferencijuojama kompleksinės plokštumos taško yxz i

aplinkoje.

Košy-Rymano sąlygos yra stiprus reikalavimas. Tegul turime vieną iš funkcijų ),( yxu

arba ),( yxv . Tada į Košy-Rymano sąlygas galime žiūrėti kaip į lygtis trūkstamai funkcijai

153

rasti. Dar daugiau: iš sąryšių (21) galima eliminuoti vieną iš funkcijų. Abiem atvejais

gauname, kad funkcijos ),( yxu ir ),( yxv tenkina tokią pat lygtį

0,02

2

2

2

2

2

2

2

y

v

x

v

y

u

x

u (22)

Lygtys (22) yra Laplaso lygtys. Iš to plaukia, kad analizinės funkcijos reali ir menama dalis

gali būti tik funkcijos, tenkinančios Laplaso lygtį.

Pavyzdys 2. Žinoma, kad analizinės funkcijos )(zf reali dalis yra

4224 6),( yyxxyxu . Užrašykite funkciją )(zf .

Sprendimas. Patikriname, ar funkcija ),( yxu tenkina Laplaso lygtį (22). Įstatę ),( yxu

išraišką į Laplaso lygtį gauname tapatybę, tad lygtis patenkinta. Košy-Rymano sąlygą

y

v

x

u

integruodami pagal kintamąjį y gauname

)(44)(d124),( 3323 xCxyyxxCyxyxyxv (2.1)

Gautąją ),( yxv išraišką ir ),( yxu įrašę į antrąją Košy-Rymano sąlygą x

v

y

u

gauname

diferencialinę lygtį funkcijos )(xC atžvilgiu:

)(412412 3232 xCyyxyyx . (2.2)

Iš čia surandame funkciją )(xC :

0)( CxC , (2.3)

o integravimo konstanta 0C yra skaičius. Analizinė funkcija bus

04

04

0334224 ii)i(44i6)( CzCyxCxyyxyyxxzf . (2.4)

Tokiu pat būdu, žinant analizinės funkcijos menamą dalį, galima surasti jos realią dalį.

Skaliarinės funkcijos ),( yx didžiausio kitimo greičio kryptis nusakoma jos gradientu

y

nx

n yx

grad , (23)

Apskaičiuojame funkcijų ),( yxu ir ),( yxv , kai ),(i),()( yxvyxuzf yra analizinė

funkcija, gradientų skaliarinę sandaugą, atsižvelgdami į Košy-Rymano sąlygas:

0

x

u

y

u

y

u

x

u

y

v

y

u

x

v

x

uvu . (24)

Išraiškos (24) rezultatas rodo, kad vektoriai u ir v yra statmeni vienas kitam, todėl

kreivės const),( yxu ir const),( yxv kertasi taip, kad jų liestinės kirtimosi taškuose yra

154

statmenos viena kitai. Atsižvelgiant į Košy-Rymano sąryšius turime, kad analizinėms

funkcijoms ),(i),()( yxvyxuzf galioja sąryšis

22 |||| vu , (25)

iš kur plaukia akivaizdus rezultatas

|||| vu . (26)

Toliau nagrinėsime tik analizines tam tikroje argumento z kitimo srityje apibrėžtas

kompleksinio kintamojo funkcijas ir terminus „kompleksinė funkcija“ ir „analizinė funkcija“

traktuosime kaip turinčius tą pačią prasmę visur, išskyrus, gal būt, suskaičiuojamą aibę taškų.

Kaip žinome, kompleksinis skaičius polinėse koordinatėse turi pavidalą irez . Šiuo

atveju

),(i),()( rvruzf . (27)

Kyla klausimas, kaip atrodo Košy-Rymano sąlygos polinėse koordinatėse. Paprasčiausias

būdas būtų samprotauti kaip ir Dekarto koordinačių atveju:

ii irerez . (28)

Kompleksinėje plokštumoje irez einant spindulio kryptimi polinis kampas nekinta, todėl

0,i rez . Apskaičiuojame išvestinę pagal išvestinės apibrėžimą (13):

r

v

r

ue

re

rvrurrvrru

rf i

),(i),(),(i),(

0

lim i

i

. (29)

Einant spindulio r apskritimo lanku 0,i i rrez . Vėl apskaičiuojame išvestinę

pagal išvestinės apibrėžimą ir gauname

v

r

u

rie

re

rvrurvruf

11

i

),(i),(),(i),(

0

lim i

i.

(30)

Sulyginę sąryšių (29) ir (30) dešines puses turime

r

vu

r

v

rr

u

1,

1. (31)

Tai yra Košy-Rymano sąlygos, užrašytos polinėse koordinatėse.

Analizinės funkcijos išvestinės geometrinė prasmė. Kaip jau žinome kompleksinio

kintamojo funkcija (4) nusako taisyklę pagal kurią kompleksinės plokštumos z taškai

atvaizduojami į kompleksinę plokštumą w . Baigtiniais skirtumais užrašome sąryšio (4)

išvestinę

155

)(zfz

w

. (32)

Kadangi funkcija )(zf yra analizinė, tai jos išvestinė egzistuoja ir ją galima užrašyti taip:

iez

w

. (33)

Pažymėję kompleksinio skaičiaus z argumentą , o w argumentą , galime užrašyti

sąryšio (33) argumentams lygybę

. (34)

Analizinės funkcijos išvestinės vertė nepriklauso nuo z argumento vertės, tai galime teigti,

kad kompleksinėje plokštumoje artėdami prie taško z kreive 1 , kurios liestinės ortas su

realia ašimi sudaro kampą 1 , plokštumoje w judėsime kreive, kurios liestinės ortas su

plokštumos w realia ašimi sudaro kampą 1 . Artėdami kita kreive turėsime kampus

atitinkamai 2 ir 2 . Pagal (34) sąryšį

1212 . (35)

Tai reiškia, kad kampai tarp taške z besikertančių kreivių liestinių yra tokie pat, kaip ir tarp

jų atvaizdžio kompleksinėje plokštumoje w liestinių. Sąryšį (34) galime interpretuoti ir taip:

atvaizdis (4) visas kreives, einančias per tašką z , pasuka tuo pačiu kampu , o kampai tarp

kreivių, kaip rodo išvada (35), išlieka nepakitę. Atvaizdžiai, kurie išsaugo kampus tarp

kreivių, vadinami konforminiais. Tad bet kokia analizinė funkcija savo analiziškumo srityje

atvaizduoja plokštumos z taškus į plokštumos w taškus konformiškai. Perrašę sąryšį (33)

pavidalu

zew i (36)

galime jį interpretuoti taip: išvestinės operacija vektorių z atvaizduoja į vektorių w ,

kartų ištempdama vektorių z ir pasukdama jį kampu . Paėmę (36) lygybės abiejų pusių

modulius turime

|||| zw . (37)

Kai z yra mažo spindulio apskritimo su centru taške z taškai, jie plokštumoje w taip pat

atvaizduojami į apskritimą ir visų taškų z ištempimas yra tas pats. Tad konforminis

atvaizdavimas taško z aplinkoje išsaugo kampus tarp vektorių z ir visus vektorius ištempia

vienodai.

156

23. Elementarios kompleksinio kintamojo funkcijos

Tiesinė kompleksinio kintamojo funkcija turi pavidalą

bazw , (1)

čia a ir b yra užduoti kompleksiniai skaičiai ir 0a . Funkcija apibrėžta visoms kintamojo

z vertėms ir yra vienareikšmė. Atvirkštinė funkcija

a

bw

az

1 (2)

apibrėžta visoms kintamojo w vertėms.

Tiesiškai trupmeninė funkcija turi pavidalą

dcz

bazw

, (3)

čia a ,b , c , d - kompleksiniai skaičiai, tenkinantys sąryšį

0dc

ba, (4)

Patikriname funkcijos (3) vienareikšmiškumą. Jeigu funkcija (3) vienareikšmė, tai ji turi

skirtingus plokštumos z taškus atvaizduoti į skirtingus plokštumos w taškus. Tad

dcz

bazw

dcz

bazw

2

22

1

11 , . (5)

Apskaičiuojame skirtumą 12 ww :

))((

))((

21

1212

dczdcz

bcadzzww

. (6)

Matome, kad skirtingi taškai 21 zz atvaizduojami į skirtingus taškus plokštumoje w , kai

išpildyta sąlyga (4). Tiesiškai trupmeninė funkcija (3) apibrėžta visoje kompleksinėje z

plokštumoje, išskyrus tašką c

dz , o kitais žodžiais – vienareikšmė plokštumoje z su

pašalintu tašku c

dz 1 . Šioje srityje tiesiškai trupmeninė funkcija yra analizinė. Jos

atvirkštinė funkcija

acw

dwbz

, (7)

apibrėžta ir yra analizinė plokštumoje w su pašalintu tašku c

aw 1 .

Laipsninė funkcija turi pavidalą

157

nzw , (8)

čia n - natūrinis skaičius. Lygybę (8) užrašome polinėse koordinatėse: pažymėję

ii , rezew , (9)

turime

nrn , . (10)

Akivaizdu, kad du skirtingi plokštumos z taškai 1z ir 2z atvaizduojami į skirtingus

plokštumos taškus 1w ir 2w , jeigu |||| 21 zz . Kai |||| 21 zz taškai 1w ir 2w sutaps, jeigu

kn

zz2

)arg()arg( 12 , (11)

čia k - koks nors sveikas skaičius. Matome, kai 1n atvaizdis (8) nėra vienareikšmis ir

plokštumoje z egzistuoja n taškų, kurie atvaizduojami į tą patį plokštumos w tašką. Kaip

plaukia iš formulės (11), funkcija (8) vienareikšmė sektoriuje

n

z

2

)arg( . (12)

Čia - bet koks realus skaičius. Apibrėžtumo dėlei paėmę 0 turime, kad funkcija (8)

atvaizduoja sektorių didumo n

z2

)arg(0 į visą plokštumą w . (12) formulė rodo, kad

sektoriaus pradinis kampas gali būti bet koks.

Atvirkštinė funkcija

nwz

1

(13)

Polinėse koordinatėse

1...,,1,0,

2i1

nkez n

k

nnk

(14)

geometriškai tai atitinka n taškų plokštumoje z , kurie atvaizduojami į vieną tašką

plokštumoje w . Čia išskirtinis yra taškas 0w , nes šis taškas yra atvaizduojamas į vieną

tašką 0z . Taškas 0w yra funkcijos (13) )1( n -os eilės šakojimosi taškas.

Bendresnis (8) formulės atvejis būtų n -ojo laipsnio kompleksinio kintamojo z

daugianaris

nnnn bzbzbzbw

11

10 ... , (15)

čia nbbb ...,,, 10 - bet kokie kompleksiniai skaičiai ir 00 b . Bet koks pavidalo (15)

daugianaris yra analizinė kintamojo z funkcija.

158

Racionalioji trupmeninė funkcija turi pavidalą

)(

)(

zQ

zPw , (16)

čia )(zP ir )(zQ yra kompleksinio kintamojo z daugianariai. Daliniu atveju, kai abu

daugianariai yra pirmo laipsnio, racionalioji trupmeninė funkcija yra tiesiškai trupmeninė

funkcija. Racionaliųjų trupmeninių funkcijų įvairovė didelė, o analizė paprasta tik

išskirtiniais atvejais. Vienas tokių yra analizėje dažnai sutinkama Žukovskio funkcija

zzw

1

2

1. (17)

Taškų 21 zz atvaizdžiai sutampa, kai

01

12

11

2

11

2

1

2112

11

2212

zzzz

zz

zzww . (18)

Iš sąryšio (18) plaukia, kad atvaizdis (17) vienareikšmis, jei tik 121 zz . Kadangi

2

11

2

1

d

d

zz

w, (19)

Žukovskio funkcijos išvestinė taškuose 1z yra lygi nuliui, tai atvaizdis (17) bus

konforminis visur, išskyrus taškus 1z . Kaip matyti iš formulės (18), Žukovskio funkcija

vienareikšmiškai atvaizduoja plokštumos z vienetinio apskritimo vidinius taškus arba šio

apskritimo išorinius taškus, o taip pat pusplokštumę 0)Im( z arba pusplokštumę 0)Im( z

, kadangi 121 zz gali būti tik tada, kai sričiai priklauso taškas z ir *z . Funkcijos (17)

atvirkštinė funkcija

12 wwz (20)

taškuose 1w turi pirmos eilės šakojimosi taškus.

Rodiklinė funkcija apibrėžiama kaip ir realaus kintamojo atveju

)sin(i)cos(i yyeeew xyxz . (21)

Matome, kad rodiklinė funkcija yra periodinė funkcija su periodu i2T . Du skirtingi

plokštumos z taškai 1z ir 2z bus atvaizduojami į tą patį plokštumos w tašką, jeigu juos sieja

sąryšis

nzz 2i12 . (22)

Kaip matyti iš (21) formulės, vienareikšmiškumo reikalavimą tenkina bet kokia plokštumos

z juosta

159

2, ayax , (23)

čia a - bet koks realus skaičius. Juosta (23) yra atvaizduojama į visą plokštumą w . Galima

nesudėtingai nustatyti kai kurias atvaizdžio (21) savybes. Sąryšį

iii eevu yx (24)

galima interpretuoti taip:

yex , . (25)

Matome, kad tiesė 0yy yra atvaizduojama plokštumoje w į spindulį 0y , o atkarpa

20,0 yxx atvaizduojama į apskritimą 0xe . Tiesės 0y ir 2y

atvaizduojamos į skirtingus spindulius. Tokiu būdu atvaizdis (21), kai 0a , atvaizduoja

juostą (23) į plokštumą w su pjūviu išilgai pusašės 0)Im(,0)Re( ww . Toliau didinant

y vertę plokštumos z juostos 42, yx taškai bus atvaizduojami į kitą

plokštumos w lapą. Tokie kompleksinės plokštumos lapai vadinami Rymano lapais. Pjūvis

reikalingas tam, kad būtų galima nurodyti ties kokia argumento verte pereiname į kitą

Rymano lapą.

Logaritminė funkcija yra atvirkštinė rodiklinei funkcijai

wez (26)

Kadangi kompleksinis skaičius polinėse koordinatėse turi pavidalą

...,2,1,0,|| )2)(arg(i kezz kz , (27)

logaritmuodami sąryšį (27) gauname

kzzzw 2)arg(i||ln)(Ln (28)

Dydis )arg(i||ln zz vadinamas pagrindine logaritmo reikšme ir žymimas

)arg(i||ln)ln( zzz . (29)

Kiekvieną kartą apeinant koordinačių pradžią funkcijos )ln( zw argumentas pasikeičia per

2 , o pradiniame taške skaičiaus k vertę galima pasirinkti laisvai. Dėl to taškas 0z yra

funkcijos (29) begalinės eilės šakojimosi taškas, kitaip dar vadinamas transcendentiniu

šakojimosi tašku. Funkcija

)ln( zw . (30)

atvaizduoja plokštumą z į juostą

2, avau , (31)

plokštumoje w .

160

24. Analizinės funkcijos integralas

Matematinės analizės kurse buvo nagrinėjamas kreivinis integralas plokštumoje

.d),(d),(

yyxQxyxPI (1)

Tokį integralą galima apskaičiuoti, kai integravimo kelias yra nusakytas. Tegul integravimo

kelias užduotas parametriniu pavidalu

].,[),(),(: 10 ttttytx (2)

Kreivė (2) vadinama glodžia, jeigu ],[ 10 ttt egzistuoja tolydžios funkcijų ir

išvestinės tokios, kad

,)()(022

Att (3)

čia A koks nors baigtinis teigiamas skaičius. Kreivė vadinama dalimis glodžia, jeigu

intervale ],[ 10 ttt tik baigtiniame skaičiuje taškų neegzistuoja abiejų arba kurios nors vienos

iš funkcijų ir išvestinė arba jos abi kartu lygios nuliui. Kreivė, užduota plokštumoje ir

nekertanti pati savęs, vadinama kontūru. Toks apibrėžimas sako, kad kontūras neturi

kartotinių taškų. Paprastumo dėlei kontūru vadinsime bet kokią savęs nekertančią kreivę. Kai

kontūro galai sutampa, tai kontūrą vadinsime uždaru, o jeigu nesutampa – tiesiog kontūru.

Reikalausime, kad bet kokia kreivės, nusakančios kontūrą, atkarpa turėtų baigtinį ilgį, tai

yra, kreivė būtų ištiesinama. Tokios kreivės vadinamos Žordano kreivėmis.

Apibendrindami galime sakyti, kad kontūru vadinama savęs nekertanti Žordano kreivė.

Kompleksinėje plokštumoje uždaras kontūras plokštumą dalija į dvi sritis, o kontūras yra

kiekvienos jų kraštas. Kontūru apribotą baigtinę sritį vadinsime vidine, o sritį, kuriai

priklauso be galo nutolęs taškas, išorine. Jeigu plokštumoje turime kontūrą, kuriame nusakyta

teigiama kryptis, tai sakoma, kad turime orientuotą kontūrą. Paprastai teigiama kryptimi

laikoma ta kryptis, kuria apeinant kontūru ribojamą sritį D tiriamoji sritis yra kairėje pusėje.

Kompleksinėje plokštumoje kreivinio integralo

zzf d)( (4)

skaičiavimas suvedamas į realių integralų pavidalo (1) skaičiavimą. Iš tikro, užrašę

daugiklius po integralo ženklu reiškinyje (4) išreikštai, nurodant realią ir menamą dalį, turime

yxyxvx,yuzzf idd),(i)(d)(

161

.)d(d),(id),()d( yx,yuxyxvyyxvxx,yu

(5)

Tegul yra uždaras kontūras, ribojantis sritį D , kurioje kompleksinio kintamojo z funkcija

),(i),()( yxvyxuzf yra analizinė. Paprastumo dėlei priimkime, kad kreivė yra iškila,

o tai reiškia, kad sritis D yra vienoje liestinės kreivei pusėje nepriklausomai nuo to,

kokiame taške brėžiame liestinę. Dabar užrašysime vienmačius integralus, pasirodžiusius (5)

formulėje, dvimačiais sritimi D . Kaip matome, čia turime integralus tik dviejų tipų

1 pav. Kontūrinių integralų (5) skaičiavimo schema

yyxuIxyxuI d),(,d),( 21

(6)

Integralą 1I skaičiuojame, pradėdami nuo taško A, kaip parodyta 1 pav.

.dd),(

-d),(

d

d))(,())(,(

d))(,(d))(,(

d))(,(d))(,(d),(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

2

1

)(

)(

21

21

211

yxy

yxuy

y

yxux

xxyxuxyxu

xxyxuxxyxu

xxyxuxxyxuxyxuI

a

a D

xy

xy

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

(7)

Tokiu pat būdu perdirbame ir integralą 2I , sritį D apėjimą pradėdami taške E

zb2

b1

a2

a1

y

x

x2(y)

x1(y)

y2(x)

y1(x)E

C

B

AD

162

.dd),(

d),(

d

d)),(()),((

d)),((d)),((

d)),((d)),((d),(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

2

1

)(

)(

12

12

122

yxx

yxux

x

yxuy

yyyxuyyxu

yyyxuyyyxu

yyyxuyyyxuyyxuI

D

b

b

yx

yx

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

(8)

Pasinaudodami formulėmis (7) ir (8) kontūrinius integralus formulėje (5) užrašome kaip

dvimačius ir turime

yxx

u

y

vyx

x

v

y

uzzf

DD

ddiddd)(

. (9)

Kai ),(i),()( yxvyxuzf yra analizinė funkcija, jos realią ir menamą dalis sieja Košy-

Rymano sąlygos, todėl pointegralinės funkcijos (9) formulėje yra tapatingai lygios nuliui.

Reikalavimas, kad kontūro kreivė būtų iškila bendrumo nemažina, nes sritį D visada

galima suskaidyti į dalis, kurias ribotų iškilas kontūras. (9) formulė įrodo Košy teoremą.

Košy teorema. Jeigu funkcija )(zf yra analizinė vienajungėje srityje D , o bet kokia

uždara Žordano kreivė srityje D , tai

0d)(

zzf . (10)

Košy teorema galioja ir tuo atveju, kai kontūras yra funkcijos vienajungės analiziškumo

srities kraštas, jei tik funkcija )(zf yra analizinė srityje D ir tolydi ant kontūro . Šis

apibendrinimas įgyja principinę reikšmę skaičiuojant ribines integralų vertes.

Neapibrėžtinis integralas. Tegul turime analizinę vienajungėje srityje D funkciją )(zf

ir Žordano kreivę , jungiančią srities D taškus 0z ir z . Tada integralas

zzf d)( (11)

nepriklauso nuo integravimo kelio. Iš tikrųjų, kokia kita Žordano kreive, esančia srityje D ,

besujungtume taškus 0z ir z , gautas integralas pagal Košy teoremą yra lygus nuliui, nes

gauto uždaro kontūro viduje funkcija )(zf visur yra analizinė. Todėl galime manyti, kad

egzistuoja funkcijai )(zf pirmykštė funkcija tokia, kad

163

)(d)(d)(

0

zFCzzfzzf

z

z

. (12)

Dar daugiau: jeigu funkcija )(zf yra tolydi srityje D ir integralas

DzzzFCzzf

z

z

,),(d)( 0

0

(13)

nepriklauso nuo integravimo kelio, tai pirmykštė funkcija )(zF yra vienareikšmė ir analizinė

srityje D ir

DzzfzF ),()( (14)

Iš formulės (13) plaukia, kad integralui kompleksinėje plokštumoje galioja Niutono –

Leibnico formulė

DzzzFzFzzf

z

z

,),()(d)( 00

0

. (15)

Galioja ir atvirkštinė teorema Košy teoremai, kuri vadinama Moreros (Morera Giacinto)

teorema: jeigu funkcija )(zf yra tolydi vienajungėje srityje D ir jos integralas bet kokia

uždara Žordano kreive, priklausančia sričiai D , yra lygus nuliui, tai funkcija )(zf yra

analizinė srityje D .

Nagrinėdami funkcijų eilutes buvome gavę formulę, pagal kurią analizinės funkcijos

)(zf reikšmė bet kokiame skritulio Rz || taške gali būti išreikšta funkcijos )(zf

reikšmėmis ant kontūro R||

d)(

i2

1)(

||z

fzf

R

. (16)

Ši formulė yra bendresnė, negu galima tikėtis, atsižvelgiant į jos gavimo prielaidas. Pagal

Košy teoremą, jeigu pointegralinė funkcija visur skritulyje Rz || būtų analizinė, turėtume

gauti nulį. Šiuo atveju skritulio Rz || taške z pointegralinė funkcija nėra analizinė.

Integralo vertės nepakeičiame, jeigu integravimo kontūrą funkcijos )(zf analiziškumo

srityje ištempiame iki srities D krašto ir kontūrą pažymime . Bet jeigu taškas z yra šalia

kontūro, tai tada integralas lygus nuliui, nes kontūro viduje pointegralinė funkcija visur būtų

analizinė. Apibendrindami galime (16) formulę užrašyti taip:

Dz

Dzzf

z

f

,0

),(d

)(

i2

1

. (17)

164

Formulė (17) vadinama Košy integraline formule. Atvejis, kai z reikalauja atskiro

nagrinėjimo. Funkcijos reikšmė taške z yra nusakoma aibe funkcijos verčių ant kontūro.

Tokio tipo reiškiniai vadinami integraliniais atvaizdžiais, o formulė (17) – funkcijos )(zf

Košy integraliniu atvaizdžiu.

Košy integralinio atvaizdžio formulę galima apibendrinti: jeigu )(z yra tolydi funkcija

Žordano kreivės taškuose, tai funkcijos )(z Košy integralinis atvaizdis )(z

vienajungėje srityje taškuose z yra vienareikšmė analizinė kintamojo z funkcija

d)(

i2

1)(

zz

. (18)

Integralas (18) vadinamas Košy tipo integralu. Kai kreivė yra uždara, formulė (18) virsta

Košy integraline formule (17).

25. Teiloro eilutė

Funkcijų eilute vadinama funkcijų suma

0

)(j

j z , (1)

čia kiekviena funkcija )(zj yra analizinė kompleksinės plokštumos srityje D . Bet kokiai

kintamojo vertei Dzz 0 eilutė (1) virsta skaitine eilute. Jos n pirmųjų narių dalinė suma

1

0

0)(n

j

jn zs . (2)

Sakoma, kad eilutė (1) taške 0z konverguoja į s , jeigu egzistuoja toks natūrinis skaičius N

, kad || nss , kai Nn , o 0 kiek norima mažas skaičius. Eilutė (1) konverguoja

srityje D , jeigu ji konverguoja kiekviename taške Dz . Jos suma yra argumento z funkcija

ir yra apibrėžta kiekviename taške Dz . Skaičius N , figūruojantis konvergavimo

apibrėžime, gali priklausyti nuo kintamojo z vertės ir nuo skaičiaus 0 didumo. Eilutė

(1) vadinama tolygiai konverguojančia srityje D , jeigu N nepriklauso nuo kintamojo z

vertės.

165

Vejerštraso tolygaus konvergavimo kriterijus. Jeigu visiems Dz kiekvienas eilutės (1)

narys, pradedant numeriu 0Nj , pagal modulį yra ne didesnis už atitinkamą

konverguojančios skaitinės eilutės

0j

ja , (3)

kurios nariai yra ne neigiami, narį, tai eilutė (1) konverguoja tolygiai (ir absoliučiai) srityje

D .

Iš eilutės (3) konvergavimo plaukia: bet kokiam 0 egzistuoja natūrinis skaičius

0)( NN toks, kad

m

k

kNa1

bet kokiam natūriniam skaičiui m . Tuo naudojamasi

mažoruojant ir kompleksinių skaičių eilutes.

Funkcijų teorijoje labai svarbų vaidmenį vaidina funkcijos skleidinys tokių funkcijų

eilute, kurių savybes reikalingoje srityje žinome. Tarp tokių skleidinių vienas svarbiausių yra

skleidimas laipsnine eilute

j

j

j zzczf )()( 0

0

. (4)

Pagal pavidalą tai yra Teiloro eilutė. Daliniu atveju, kai 00 z , turime laipsninę eilutę

j

j

j zczf

0

)( . (5)

Kiekvienas eilutės (5) narys apibrėžtas visoje išplėstinėje kompleksinėje plokštumoje z .

Pavidalo (5) eilutės elgiasi įvairiai: gali konverguoti viename taške 0z kaip eilutė

1

1j

jj zj , (6)

visoje kompleksinėje plokštumoje kaip eilutė

1

1j

j

j

j

z, (7)

arba tik tam tikroje srityje kaip eilutė

0j

jz , (8)

konverguojanti skritulyje 1|| z . Šiuo atveju sakoma, kad eilutės (8) konvergavimo

spindulys 1R . Bendru atveju eilutei (5) egzistuoja skritulys Rz || , kurio viduje eilutė

166

konverguoja, o išorėje – diverguoja. Skritulys Rz || vadinamas laipsninės eilutės (5)

konvergavimo skrituliu. Skritulio spindulį galima surasti, kai žinomi eilutės (5) koeficientai.

Iš jų sudarome realių ne neigiamų skaičių seką

...,||...,,||,|||,|

1

3

1

32

1

21j

jcccc , (9)

ir apskaičiuojame ribą

lcj

jj

1

||lim

. (10)

Konvergavimo spindulį nustatyti įgalina Košy-Adamaro teorema, pagal kurią laipsninės

eilutės (5) konvergavimo spinduliui galioja sąryšis

l

R1

, (11)

čia suprantant, kad 0R , kai l ir R , kai 0l . Labai svarbu yra tai, kad laipsninės

eilutės (5) suma )(zs yra analizinė kintamojo z funkcija visoje eilutės (5) konvergavimo

srityje. Analizinės funkcijos yra be galo daug kartų diferencijuojamos funkcijos. Todėl

analizinių funkcijų eilutės (1) bet kurios eilės išvestinės konverguoja, jei tik tame taške

konverguoja eilutė (5). Palyginimui galime prisiminti, kad realių funkcijų eilutės tokios

stiprios savybės neturi, nes šiuo atveju išvestinių eilutė gali ir nekonverguoti. Pagal Teiloro

teoremą bet kokia srityje D analizinė funkcija bet kokio taško Dz 0 aplinkoje gali būti

užrašyta Teiloro eilute (4) su konvergavimo spinduliu 0R ne mažesniu už taško 0z

atstumą iki srities D krašto. Tiriant pavidalo (5) laipsnines eilutes svarbią informaciją teikia

Abelio teoremos.

1-oji Abelio teorema. Jeigu laipsninė eilutė (5) konverguoja taške 00 z , tai ji absoliučiai

konverguoja visiems z , tenkinantiems nelygybę |||| 0zz .

2-oji Abelio teorema. Jeigu laipsninė eilutė (5), turinti konvergavimo spindulį 0R

konverguoja taške 00

ieRz , esančiame ant apskritimo Rz || , tai eilutės sumai )(zs

galioja sąryšis

)()(||

lim0

0i 0

zszszezz

, (12)

ir funkcija )(zs taške 0z yra tolydi išilgai spindulio 00z .

Tegul analizinių kompleksinės plokštumos srityje D funkcijų eilutė konverguoja

167

0

)()(j

j zzf , (13)

o skritulys Rz || priklauso sričiai D . Kokiame nors skritulį ribojančio kontūro R||

taške

0

)()(j

jf . (14)

Imkime, kad z - koks nors vidinis skritulio taškas Rz || . Eilutę (14) padauginame iš z

d

ir, integruodami kontūru R|| gauname

d)(

d)(

0||||

j

j

RRzz

f. (15)

Kadangi funkcijos )(zj yra analizinės skritulyje Rz || , apskaičiavę integralus (15)

lygybės dešinėje pusėje gauname

0||

)(i2d)(

j

j

R

zz

f

. (16)

Kadangi gauta suma pagal formulę (13) konverguoja, tai

d)(

i2

1)(

||z

fzf

R

. (17)

Gavome, kad funkcijos )(zf reikšmė bet kokiame skritulio Rz || taške gali būti išreikšta

funkcijos )(zf reikšmėmis ant kontūro R|| . Paėmę tašką 0z skritulio viduje Rz || 0

(17) formulės dešinę pusę galime užrašyti eilutės pavidalu:

0

010||0

0

0 0

0

0||

0

00

||

00||00||

)(

d)(

i2

1

)(

d)(

i2

1

1)(

d)(

i2

1

)(

d)(

i2

1d)(

i2

1

k

kkk

Rk

k

k

kRR

RR

zzcz

fzz

z

zz

z

f

z

zzz

f

zzz

f

zzz

f

. (18)

Gavome, kad analizinė skritulyje Rz || funkcija )(zf gali būti užrašyta eilutės pavidalu

...,1,0,)(

d)(

i2

1,)(

10||0

0

k

z

fczzczf

kR

k

k

kk

. (19)

168

Sąryšiai (19) nusako analizinės skritulyje Rz || Teiloro eilutę, o eilutės koeficientai yra

nusakomi funkcijos )(zf reikšmėmis ant kontūro Rz || . Kadangi analizinės funkcijos yra

kiek norima kartų diferencijuojamos analiziškumo srityje, tai galioja ir realių funkcijų

teorijoje gaunama formulė koeficientams

...,1,0),(!

10

)( kzfk

c kk . (20)

Jeigu analiziškumo srityje 0)( 0 zf , tai sakoma, kad funkcija taške 0z turi nulį. Kaip

plaukia iš formulės (19), nulio aplinkoje Teiloro eilutė turi pavidalą

mk

kk zzczf 0)( , (21)

čia 1m . Skaičius m vadinamas nulio eile. Pirmos eilės nulis vadinamas paprastuoju, o

eilės 1m - kartotiniu. Kaip plaukia iš formulės (21), m kartotinumo nulio taške

0)(,1,...,1,0)( 0)(

0)( zfmkzf mk . (22)

Kadangi Teiloro eilutėje (19) sumavimo parametras gali įgyti tik sveikas reikšmes, tai

skritulyje Rz || analizinė funkcija negali turėti trupmeninės eilės nulio.

26. Lorano eilutė

Laipsninė eilutė, kurios pavidalas yra

nn

n

zzc )( 0

, (1)

vadinama Lorano eilute. Čia 0z - fiksuotas kompleksinės plokštumos taškas. Eilutė (1)

vadinama konverguojančia taške z , jeigu šiame taške konverguoja eilutės

nn

n

zzc )( 0

0

, (2)

nn

n

zzc )( 0

1

. (3)

Eilutės (2) konvergavimo spindulį žymėsime raide 0R , o eilutės (3) – raide 0r . Kai Eilutės

(2) ir (3) konverguoja, tada eilutė (1) konverguoja žiedo formos srityje 000 || Rzzr . Už

šio žiedo kuri nors iš eilučių (2) arba (3) gali diverguoti, dėl to diverguoja ir eilutė (1). Ant

169

bent vieno konvergavimo spindulių 00 || rzz arba 00 || Rzz egzistuoja bent vienas

taškas, kuriame atitinkama eilutė diverguoja.

Lorano teorema. Jeigu funkcija )(zf yra analizinė žiede 000 || Rzzr , tai ši funkcija

gali būti užrašyta Lorano eilute

,...,2,1,0,,)(

d)(

i2

1

,)()(

00

||1

0

0

0

nRRrz

fc

zzczf

Rzznn

nn

n

(4)

tolygiai konverguojančia bet kokioje srityje, priklausančioje žiedui 000 || Rzzr .

Paimkime žiedą Rzzr || 0 , esantį žiede 000 || Rzzr , tai yra,

000 || RRzzrr (žr. 1 pav.). Kadangi taškas z priklauso funkcijos )(zf

analiziškumo sričiai, tai funkcija )(zf gali būti užrašyta kontūriniu Košy integralu

rzzRzzz

f

z

fzf

|||| 00

d)(

i2

1d)(

i2

1)(

, (5)

o kontūras pavaizduotas 1 pav. punktyrine linija. Kaip matyti iš 1 pav. kontūru rzz || 0

tašką 0zz apeiname neigiama kryptimi. Rašymo patogumui apskritimo Rzz || 0

kontūrą toliu žymėsime RC , o kontūrą rzz || 0 atitinkamai rC , kai kontūrai apeinami

teigiama kryptimi, tai yra taip, kad apeinama sritis būtų kairėje pusėje. Pakeitę apėjimo kryptį

formulės

1 pav. Košy integralo kontūras analizinei žiede 000 || Rzzr funkcijai.

x

iy

D

CR

Cr

z

R

R0

r r0

z0

170

(5) antrame integrale gauname

rR CCz

f

z

fzf

d)(

i2

1d)(

i2

1)( . (6)

Pertvarkysime integralus: pirmąjį integralą perrašome taip:

R

RRR

C

CCC

z

zzz

f

zzz

f

zzz

f

z

f

0

00

0000

1)(

d)(

i2

1

)(

d)(

i2

1d)(

i2

1d)(

i2

1

(7)

Ant kontūro RC santykio modulis 10

0

z

zz

, todėl galime pritaikyti mažėjančios

geometrinės progresijos sumos formulę

1||,1

1...1 32

q

qqqq (8)

reiškiniui

0

01

1

z

zz

:

R

RR

Cn

n

n

n

C nC

z

fzz

z

zz

z

f

z

zzz

f

100

0

0 0

0

0

0

00

)(

d)(

i2

1)(

)(

d)(

i2

1

1)(

d)(

i2

1

(9)

Ant kontūro rC galioja sąryšis 10

0

zz

z. Antrą integralą formulėje (6) pertvarkome taip:

rr

rrr

Cm

m

m

m

mC

CCC

z

fzz

zz

z

zz

f

zz

zzz

f

zzz

f

z

f

)(

d)(

i2

1)(

)(

d)(

i2

1

1)(

d)(

i2

1d)(

i2

1d)(

i2

1

00

10

0 0

0

0

0

00

00

(10)

Pakeičiame sumavimo parametrą lm 1 . Matome, kad sumavimo parametras l prabėga

vertes ,...3,2,1 l , kai ,...2,1,0m .

171

rr C

ll

l

Cz

fzz

z

f1

01

0)(

d)(

i2

1)(

d)(

i2

1

. (11)

Surašę į (6) formulę pertvarkytas integralų išraiškas (9) ir (11) gauname

rR Cl

l

l

Cn

n

n

z

fzz

z

fzzzf

101

0100

0)(

d)(

i2

1)(

)(

d)(

i2

1)()(

. (12)

Abu integravimo kontūrai formulėje (12) yra funkcijos )(zf analiziškumo srityje. Bet

analiziškumo srityje kontūrą galima bet kaip deformuoti ir nuo to integralo vertė nepasikeičia.

Todėl abu integralus galime skaičiuoti ant to paties kontūro C : 000 ,|| RRrRzz .

Pažymėję

Cnn

z

fc

10)(

d)(

i2

1

(13)

(12) formulėje sumas apjungiame ir turime

n

nn zzczf )()( 0 . (14)

Funkcija )(zf yra analizinė srityje 000 || Rzzr , todėl dydžio R kitimo sritį galima

išplėsti ir laikyti, kad 00 RRr . Iš (13) formulės tiesiogiai plaukia, kad aprėžtos analizinės

funkcijos Lorano eilutės koeficientams galioja nelygybė

nn

R

Mc || , (15)

čia M funkcijos )(zf modulio maksimali vertė žiede 00 RRr . Ir itin svarbi formulės

(13) savybė yra ta, kad koeficientas 1c yra tiesiogiai susietas su funkcijos )(zf integralo

uždaru kontūru verte

1

||

i2d)(

0

cf

Rzz

(16)

Lorano eilutės (14) koeficientas 1c vadinamas reziduumu ir žymimas

))((res 01 zfc (17)

Lorano eilutės koeficiento 1c ryšį su analizinės funkcijos integralo uždaru kontūru verte

matematinę idėją išplėtosime truputį vėliau.

Lorano eilutė (14) yra laipsninė eilutė. Kaip žinome iš realių funkcijų teorijos,

diferencijuojamos funkcijos skleidinys Teiloro eilute yra vienintelis. Analizinių žiede

funkcijų atveju galioja panaši teorema.

172

Teorema. Analizinės žiede Rzzr || 0 funkcijos skleidinys Lorano eilute yra

vienintelis.

Tarkime, kad egzistuoja du skirtingi analizinės žiede Rzzr || 0 funkcijos )(zf

skleidiniai

n

nn

n

nn

zzczf

zzczf

)()(

,)()(

0

0

(18)

Padauginame sąryšius (18) iš 10)( mzz ir integruojame apskritimu 00 || Rzz . Abiem

atvejais ateina integralas

nm

C

mn zzz i2d)( 10

, (19)

čia nm - Kronekerio simbolis. Sulyginę reiškinių dešines puses gauname, kad nn cc , o tai

reiškia, kad analizinės žiede Rzzr || 0 funkcijos dviejų skirtingų skleidinių Lorano

eilute būti negali.

Lorano eilutės nariai

0

0)()(n

nnt zzczS (20)

vadinami taisyklingąja Lorano eilutės dalimi, o nariai

1

0)()(n

nnp zzczS (21)

vadinami Lorano eilutės pagrindine dalimi. Diferencijuojamos skritulyje Rzz || 0

funkcijos )(zf Teiloro eilutė taško 0zz aplinkoje

0

0)()(n

nn zzazf , (22)

čia )( 00 zfa , )( 01 zfa , )(!2

102 zfa ,..... Funkciją )(zf užrašę kaip Košy integralą

turime

Rzzz

fzf

|| 0

d)(

i2

1)(

(23)

Funkcijos (23) išvestinės pagal z taške 0zz yra

173

Rzzz

fzf

||11

0

0

0)(

d)(

i2

1)('

, (24)

Rzzz

fzf

||12

0

0

0)(

d)(

i2

1!2)(

, (25)

,

Rzzn

n

z

fnzf

||1

0

0)(

0)(

d)(

i2

1!)(

(26)

ir Lorano eilutės koeficientai sutampa su Teiloro eilutės koeficientais. Matome, kad norint

surasti diferencijuojamos skritulyje Rzz || 0 funkcijos Lorano eilutę užtenka ją išskleisti

Teiloro eilute.

Pavyzdys 1. Išskleiskite funkciją )1(

1)(

zzzf

Lorano eilute aplinkoje taškų: a) 00 z ,

b) 10 z , c) 0z .

Sprendimas. Tiriamą funkciją užrašome pavidalu

zz

zf

1

11)( . (1.1)

a) Taško 00 z aplinkoje 1|| z . Kad gautume skleidinį z laipsniais pritaikome formulės

(1.1) sandui z1

1 mažėjančios geometrinės progresijos sumos formulę (8) ir gauname

0

1)(

k

kzz

zf . (1.2)

b) Šiuo atveju reikia skleisti reiškinio 1z laipsnine eilute, o 1|1| z yra mažas.

Pertvarkome formulės (1.1) pirmą sandą taip, kad galėtume pritaikyti (8) formulę, nes antras

sandas jau turi reikalingą pavidalą.

0

)1()1()1(1

1

11

11

k

kk zzzz

. (1.3)

Skleidinys Lorano eilute

0

)1()1(1

1)(

k

kk zz

zf . (1.4)

c) Funkcijos elgesys begalybėje tiriamas padarius keitinį

w

z1

(1.5)

174

ir nagrinėjamas funkcijos elgesys taško 00 w aplinkoje tokiu pat būdu, kaip atvejyje a).

Padarę keitinį gauname

1

)(

w

wwwf . (1.6)

Kadangi čia 1|| w , pritaikę (8) formulę gauname

1

1)(k

kwwf . (1.7)

Grįžę prie kintamojo z turime Lorano eilutę taško 0z aplinkoje

1

1

1)(

kkz

zf . (1.8)

Pavyzdys 2. Išskleiskite funkciją z

zzf

sin)( Lorano eilute aplinkoje taškų: a) 00 z , b)

0z .

Sprendimas. Naudosimės tuo, kad funkcija )sin(z yra visur diferencijuojama ir

išskleidžiama konverguojančia Teiloro eilute.

a) Taško 00 z aplinkoje išskleidę funkciją )sin(z Teiloro eilute gauname

0

12

)!12(

)1(1)(

k

kk

k

z

zzf . (2.1)

Lorano eilutė

0

2

)!12(

)1()sin(

k

kk

k

z

z

z. (2.2)

b) Taško 0z aplinkoje Lorano eilutę užrašome prieš tai padarę keitinį w

z1

:

ww

wf

1sin

1. (2.3)

Šios funkcijos eilutė taško 00 w aplinkoje

02)!12(

)1(1

kk

k

wkwf . (2.4)

Sugrįžę prie kintamojo z vėl gauname formulę (2.2), tai yra, Lorano eilutės pavidalas toks

pat abiem atvejais. Taip yra todėl, kad tiriamoji funkcija yra analizinė visoje kompleksinėje

plokštumoje z .

Konkrečios funkcijos )(zf Lorano eilutė

175

...)(...)(...)(

...)( 00100

1

0

mmm

m zzczzcczz

c

zz

czf . (27)

gali neturėti dalies narių. Jeigu funkcijos )(zf Lorano eilutė turi pavidalą

...)(...)(.)( 0010 mm zzczzcczf ., (28)

tai sakoma, kad funkcija )(zf taške 0zz turi pašalinamą ypatumą. Jeigu funkcijos )(zf

Lorano eilutė turi pavidalą

...)(...)(...)(

)( 00100

1

0

mmm

m zzczzcczz

c

zz

czf . (29)

tai sakoma, kad funkcija )(zf taške 0zz turi polinę ypatumą. O kai funkcijos Lorano

eilutė (27) turi be galo daug narių ...,2,1,)( 0

mzz

cm

m , tai sakoma, kad funkcija )(zf

taške 0zz turi esminę ypatumą. Pašalinamos ypatumos taške reziduumas 01 c , nes

skleidinyje (28) nėra narių su neigiamomis skleidinio koeficiento indekso vertėmis. Tad

integruojant analizinę funkciją uždaru kontūru, kurio viduje yra tik pašalinamos ypatumos

taškas visada gauname nulį. Polinės ypatumos kontūro viduje atveju integralo vertę nusako

(16) formulė. Dėl to reikalingas būdas surasti reziduumą, neskleidžiant pointegralinės

funkcijos Lorano eilute. Tegul funkcija )(zf turi m -os eilės polinę ypatumą taške 0zz , o

jos Lorano eilutė turi pavidalą (29). Sąryšį (29) dauginame iš mzz )( 0 ir, išdiferencijavę

gautą reiškinį )1( m kartą pagal z , surandame ribą, kai 0zz :

101

1

0

)!1()()(d

dlim

cmzfzzzzz

m

m

m

.

Matome, kad polinės ypatumos atveju reziduumas

)()(d

dlim

)!1(

101

1

01 zfzz

zzzmc m

m

m

. (30)

Formulė (30) leidžia surasti reziduumą, neskleidžiant funkcijos )(zf Lorano eilute. Esminės

ypatumos atveju riba sąryšio (30) dešinėje pusėje neegzistuoja. Šiuo atveju reziduumą surasti

galime tik skleisdami pointegralinę funkciją Lorano eilute.

Tegul tiriamoji funkcija turi pavidalą

)(

)()(

zg

zhzf , (31)

176

o funkcija )(zg taške 0z turi m -os eilės nulį. Kaip plaukia iš skleidinio Lorano elute

formulės (27), nulio aplinkoje funkcija )(zg gali būti užrašyta pavidalu

0)(),()()( 0110 zgzgzzzg m . (32)

Jeigu funkcija )(zh taške 0z nulio neturi, tai funkcija )(zf šiame taške turi m -os eilės polinę

ypatumą. Jeigu taške 0z funkcija )(zh turi k -os eilės nulį ir km , tada funkcija )(zf taške

0z turės nkm eilės polinę ypatumą, kai km - pašalinamą ypatumą, o kai km -

mk eilės nulį. Matome, kad racionalios funkcijos (31) ypatumų eilei nustatyti reikalingi

lygčių 0)( zg ir 0)( zh sprendiniai.

27. Reziduumų metodo taikymas skaičiavimuose

Apibrėžtinių integralų skaičiavimui labai svarbi yra pagrindinė reziduumų teorema, nes

kai kurių tipų realių funkcijų integralus galima apskaičiuoti kaip kompleksinės funkcijos

kontūrinio integralo sandus, jeigu pavyksta tinkamu būdu parinkti kompleksinę funkciją ir

integravimo kontūrą.

Pagrindinė reziduumų teorema. Tegul funkcija )(zf yra analizinė vienajungėje srityje

D , išskyrus baigtinį skaičių ypatumų taškuose mnDzn ,...,1, . Tada integralas uždaru

kontūru D0

m

n

nzfzzf1

)(resi2d)(

0

. (1)

Kaip jau žinome kompleksinės funkcijos integralas uždaru kontūru lygus nuliui, jeigu

funkcija yra analizinė kontūro ribojamoje srityje. Kai uždaru kontūru 0 ribojamoje srityje

D taškuose mnzn ,...,1, yra ypatumos, kontūrą parenkame, kaip parodyta 1 pav. Ypatumas

paliekame už kontūro ribojamos srities, jas apeidami kontūrais mnn ,...,1, . Nuo kontūro

0 iki kontūro mnn ,...,1, einame ir grįžtame tuo pačiu keliu. Kaip matyti iš 1 pav.,

ypatumų taškus nz kontūrais n apeiname neigiama kryptimi. Pakeitus apėjimo kryptį į

priešingą keičiasi rezultato ženklas. Dėl to integralo kontūro segmentais nuo kontūro 0 iki

kontūro mnn ,...,1, ir atgal tuo pačiu keliu duos nulį. Pagal Košy integralinę teoremą

177

.0d)(d)(1

0

m

nn

zzfzzf

(2)

1 pav. Integravimo kontūras, kai kontūro 0 ribojamoje srityje integruojamoji

funkcija turi ypatumas taškuose mnzn ,...,1, .

Pakeitę kontūrų mnn ,...,1, apėjimo kryptį turime

.d)(d)(1

0

m

nn

zzfzzf

(3)

Kadangi

)(resi2d)( nzfzzf

n

, (4)

tai (3) formulę galima užrašyti taip:

m

n

nzfzzf1

)(resi2d)(

0

. (5)

Gavome, kad integralas uždaru sritį ribojančiu kontūru 0 gali būti išreikštas per srityje

esančių ypatumų reziduumus.

Uždaras kontūras išplėstąją kompleksinę plokštumą dalija į dvi dalis – vidinę ir išorinę.

Apibrėžtumo dėlei priimkime, kad visos ypatumos yra kontūro viduje. Apeinat kontūru

zD

0

m

2

1

z2

zmz

1

178

teigiama kryptimi išorinę sritį gauname nulį, nes čia ypatumų nėra. Bet tada, jeigu visos

ypatumos yra vienoje iš dalių, integralas

0d)(

0

zzf . (6)

Iš (5) formulės plaukia, kad

0)(res n

nzf . (7)

Tai reiškia, kad funkcijos )(zf , analizinės visur išskyrus, gal būt, suskaičiuojamą aibę

izoliuotų ypatumų taškų, visų reziduumų suma lygi nuliui. Ypatumų aibė suskaičiuojama ta

prasme, kad baigtinėje srityje gali būti tik baigtinis skaičius ypatumų.

27.1. Racionalios funkcijos integralas

...,1,0,2,d)(

)(

nnmxxQ

xPI

m

n . (8)

čia )(xPn ir )(xQm atitinkamai n -ojo ir m -ojo laipsnio nesuprastinami daugianariai. Tai,

kad daugianariai nesuprastinami, reiškia, kad lygtys 0)( xPn ir 0)( xQm sutampančių

šaknų neturi. Kad galėtume pritaikyti reziduumų teoremą vietoje integralo (8) skaičiuojame

kompleksinį integralą

...,1,0,2,d)(

)( nnmz

zQ

zPI

C m

n . (9)

uždaru kontūru, pavaizduotu 2 pav. Ypatumų taškus surandame išsprendę algebrinę lygtį

0)( zQm . (10)

Tegul lygties (10) sprendiniai yra lzz ,...,1 , o jų kartotinumas atitinkamai lkk ,...,1 . Tada

lkl

km zzzzzQ )(...)()( 1

1 (11)

ir mkk l ...1 . Apibrėžtumo dėlei kol kas priimkime, kad lygties (10) sprendinių

menamos dalys nėra lygios nuliui. Tada ant realios ašies, esančios integravimo kontūro

segmentu, polių nėra, kaip tai parodyta 2 pav. , o kontūro viduje yra ypatumos qzz ,...,1 .

Kontūrinį integralą (8) dabar galime užrašyti taip:

q

j

j

m

n

m

n

m

n zfieReRQ

eRP

Rr

rQ

rPre

reQ

reP

1

i

0i

i

0

i0

i

i

)(res2id)(

)(limd

)(

)()(d

)(

)(

,(12)

179

kadangi 2 nm , tai 0id)(

)(lim i

0i

i

eReRQ

eRP

Rm

n . Lygybės (12) pirmame sande padarę

keitinį rr gauname

q

j

jm

n zfirrQ

rP

1

)(res2d)(

)( . (13)

2 pav. Kontūras racionalios funkcijos integravimui

Formulė (13) rodo, kad integralo (8) vertę apsprendžia pointegralinės funkcijos integrale (9)

elgesys kontūro viduje esančių ypatumų aplinkoje. Šiuo atveju reziduumus patogu skaičiuoti

pagal anksčiau gautą formulę m -os eilės polinei ypatumai

msm

m

ss zzzf

zzzmzc ))((

d

dlim

)!1(

1)(

1

1

1

. (14)

Pavyzdys 1. Apskaičiuokime integralą

42 )4(

d

x

xI .

Sprendimas. Užrašome pagalbinį integralą

Cz

zI

42 )4(

d, (1.1)

čia integravimo kontūras kaip ir 2 pav. Integravimo kontūro viduje yra antros eilės polinė

ypatuma taške i2z . Kadangi pointegralinė funkcija, tolstant nuo koordinačių pradžios,

iy

xz

lzq+2

zq+1

zq z

2

z1

z=rz=rei

z=Rei

z

180

mažėja kaip 41 z , integralo didelio spindulio apskritimo lanku indėlis lygus nuliui.

Reziduumą skaičiuojame pagal (14) formulę. Integralo vertė pagal (13) formulę

16)4(

)i2(

d

d

i2

limi2

42

2

z

z

zzI (1.2)

Pavyzdys 2. Apskaičiuokime integralą nn

zbzaz

zI

)()(

d

1||

, kai ||1|| ba .

Sprendimas. Pointegralinė funkcija apkritimo 1|| z viduje turi n -os eilės polinę ypatumą

taške az . Pritaikę (1) formulę surandame reziduumą:

12

1

12

1

1

1

1

1

1

)()!1(

)!22()1(

)!1(

1

)(

)22(...)2)(1()1(lim

)!1(

1

)(

1

d

dlim

)!1(

1

)()(

1)(

d

d

)!1(

1lim)(

n

n

n

n

nn

n

nn

n

n

n

ban

n

n

bz

nnnn

aznbzzazn

bzazaz

znazazc

(2.1)

Integralo vertė

12

1

)()!1(

)!22()1(

)!1(

i2

n

n

ban

n

nI

(2.2)

Pavyzdys 3. Apskaičiuokime integralą zez

zI

z

z

d1

13

2||

.

Sprendimas. Integravimo kontūro viduje pointegralinė funkcija turi pirmos eilės polinę

ypatumą taške 1z ir esminę ypatumą taške 0z . Reziduumą taške 1z surandame

pagal (14) formulę

1

1

1)1(

1

lim)1(

3

1

eez

zz

zzc

z (3.1)

Esminės ypatumos atveju formulė (14) negalioja, o reziduumo ieškome skleisdami

pointegralinę funkciją kintamojo z laipsnine eilute.

0 0

33

!

1)1(

1

1

k nn

kk

znzze

z

z z (3.2)

Eilučių sandaugoje (3.2) nariai su vien nuo z priklausančiu daugikliu z

1 pasirodo, kai

nk 13 (3.3)

181

Tokių narių suma ir duoda reziduumą

0

1)!4(

1)1()0(

k

k

kzc (3.4)

Palyginę skleidinį (3.4) su eilute

00

1

)!4(

1)1(

3

1

)!4(

1)1(

!3

1

!2

1...

!4

1

!3

1

!2

111

k

k

k

k

kke (3.5)

Iš formulės (3.5) plaukia, kad

3

1

)!4(

1)1( 1

0

ek

k

k (3.6)

Integralo vertė

3

i2)0()1(i2 11

zczcI (3.7)

27.2. Integralai pavidalo

2

0

d)sin,(cosQI , kai ),( vuQ yra racionali dviejų

kintamųjų funkcija. Integralas suvedama į kontūrinį integralą kompleksinėje plokštumoje

z atlikus keitinius

ii

ii

2

isin

2

1cos

ee

ee

(15)

Paėmę

iez (16)

formulės (15) atrodys taip:

zz

zz

1

2

isin

1

2

1cos

(17)

Iš formulės (16) plaukia, kad kintamajam prabėgant reikšmes nuo 0 iki 2 kintamasis z

kompleksinėje plokštumoje apeis vienetinio spindulio apskritimą. Surandame d išraišką

z

zez

i

ddidd i

(18)

Į integralą įrašę išraiškas (17)-(18) turime

1||

d)(

z

zzWI (19)

182

Čia )(zW yra racionali kintamojo z funkcija. Toliau integravimo procedūrą atliekame kaip

ir pirmame punkte, apskaičiavę reziduumus, esančius vienetinio spindulio skritulyje.


2

0)cos(2

d))2cos((1

x

xxI .

Sprendimas. Kaip žinome )(2

1)cos( ii xx eex . Keičiame integravimo kintamąjį

z

zxxzxezez xx

i

dd,diidd, ii (4.1)

Kai kintamasis x prabėga reikšmes nuo 0 iki 2 , kintamasis z kompleksinėje plokštumoje

apeina vienetinio spindulio apskritimą. Tokiu būdu atlikę keitinį (4.1) ir subendravardiklinę

gauname

zzzz

zz

z

z

zz

zz

I

zz

d)14(

12i

i

d

)1

(2

12

)1

(2

11

1||22

24

1||

2

2

(4.2)

Kvadratinio trinario šaknys 321 z , 322 z . Integralą galima užrašyti taip:

zzzzzz

zzI

z

d))((

12i

1|| 212

24

(4.3)

Integravimo kontūro viduje turime pirmos eilės polinę ypatumą taške 1zz ir antro eilės

polinę ypatumą taške 0z . Apskaičiavę reziduumus pagal (14) formulę gauname

24314

34884)23(

4)0(

1

1

zc

zc

(4.4)

Integralo vertė

2

318I (4.5)


2

0

d)cos())cos(21( tnttI n .

Sprendimas. Keičiame integravimo kintamąjį pagal (4.1) formules ir gauname

183

zz

zz

z

zz

zzzzz

z

z

zz

zzI

zn

nn

z

nn

n

zn

nn

d)1()1(

i2

1

d)1()1(1

i2

1

i

d)

1(

2

1)

11(

1||12

22

1||

22

12

1||

(5.1)

Pointegralinės funkcijos ypatumos yra tik poliai taške .0z Pagal Niutono binomo formulę

...)( 22211100 n

nn

nn

nn CbaCbaCbaba (5.2)

čia )!(!

!

mnm

nCm

n

(nepamirškime, kad )1!0 .Formulę (5.2) pritaikome pointegralinės

funkcijos sandams:

...)1(2

)1()1(1

1))1(1(

1)1( 222

zznn

znzz

zzzz

zz nn

(5.3)

...)1(2

)1()1(

1

))1((1)1(

2)2(2)1(22

12

2

1212

2

zznn

znzzz

zzzz

zz

nnn

n

n

nn

n

(5.4)

Iš formulių (5.3) ir (5.4) matyti, kad abiejų sandų indėlis į reziduumo vertę lygus vienetui,

todėl

2I . (5.5)


0

1 )d( xxQxI p , čia )(xQ yra racionali funkcija, o 0p - ne

sveikas skaičius. Šio tipo integralai konverguoja, kai

0)(||lim

,0)(||0

lim

zQz

zzQz

z

pp (20)

Sąlygos (20) išpildytos, kai racionali funkcija )(zQ neturi poliaus taške 0z ir be galo

nutolusiame taške. Skaičiuojame kontūrinį integralą

dzzQzI

C

p )(1

. (21)

Pointegralinė funkcija integrale (21) turi šakojimosi tašką koordinačių pradžioje 0z , todėl

kompleksinėje plokštumoje z padarome pjūvį nuo koordinačių pradžios išilgai ašies x , kaip

tai schematiškai pavaizduota 3 pav. Kontūrinį integralą (21) perrašome:

184

)(res2

id)()(0

limd)()(

id)()(lim

d)(

1

ii

0

1i2i2i0

12i

ii

0

1i

0

1

zQzi

eeQereerQer

eReRQeRR

rrQr

p

pp

pp

(22)

3 pav. Kontūras integralui

C

p zzQzI )d(1 skaičiuoti.

Formulėje (21) sumuojame pagal visus reziduumus, kurie patenka į kontūro vidų. Įvertiname

formulėje (22) esančias ribas, pasinaudodami sąlygomis (20):

0d|)(|lim

id)()(lim i

0

ii

0

1i

eRQR

ReReRQeR

R

pp

0d|)(|0

limid)()(

0

lim i

0

ii

0

1i

eQeeQe pp

Kadangi )(zQ yra racionali funkcija, tai )()( i2 rQerQ . Iš (22) formulės (22) surandame

formulę integralui I

)(res

1

2d)( 1

i20

1 zQze

irrQrI p

p

p

(23)


0

1

1

d

x

xxI

, 10 .

z=re2i

z=rz=e

i

z=Rei

185


Cz

zzI

1

d1

, (6.1)

čia integravimo kontūras kaip ir 3 pav. Integravimo kontūro viduje yra pirmos eilės polinė

ypatuma taške i1 ez . Apeidami integravimo kontūrą teigiama kryptimi turime

1i0

2i

i1i0

i2

i21i2

2

0i

i1i

0

1

)(i21

id)(

0

lim

1

d)(

1

id)(lim

1

d

ee

ee

re

rere

eR

eReR

Rr

rr

, (6.2)

Kai 10 abi ribos sąryšyje (6.2) yra lygios nuliui ir, išsprendę lygtį ieškomo integralo

atžvilgiu, gauname

)sin()(

i2

1

)(i2

1

diii

ii

i2

1i

0

1

eee

ee

e

e

r

rr (6.3)

Pastebėsime, kad integralą galima suvesti į beta funkciją. Padarę integravimo kintamojo

pakeitimą

1

11,

)1(

dd,

11 2xxx

x

x (6.4)

gauname

1

0

1)1(11

02

1

0

1

)1()(d)1()1(

d)1(

11

d

r

rr (6.5)

)sin(

)1()(

(6.6)

Formulė (6.6) galioja ir kompleksinėms parametro vertėms ir yra labai svarbi

kompleksinio kintamojo funkcijų teorijoje. .

Pavyzdys 7. Apskaičiuokime integralą 0,)(

d)ln(

0222

aax

xxI .


Caz

zzI

222

2

)(

)d(ln, (7.1)

o integravimo kontūras pavaizduotas 3 pav. Integravimo kontūro viduje yra du antros eilės

polinės ypatumos taškuose 2

i

1 i

aeaz ir 2

3i

2 i

aeaz . Šitaip polinę ypatumą taške

186

2zz turime aprašyti todėl, kad nuo viršutinio pjūvio krašto rz iki poliaus 2zz eiti

turime nekirsdami pjūvio 0Re,0)Im( zz . Kontūrinį integralą dabar užrašome taip:

azazaz

z

dz

d

az

z

dz

d

ae

ee

aer

rere

aeR

eReR

Rar

rr

i

2

2

i

2

20

222i22

ii2

0

22i42

i2i222

022i22

ii2

022

2

)i(

)(ln

)i(

)(lni2

)(

id)(ln

0

lim

)(

d)(ln

)(

id)(lnlimd)(ln

(7.2)

Apskaičiuojame ribas:

0)(

id)(lnlim 2

022i22

ii2

aeR

eReR

R, (7.3)

kadangi )ln(R uga lėčiau negu R , kai R , o riba

0

2

22i

4

0

2

i2i

4

0

222i22

ii2

)ln(i2)(ln0

limid

1

)(ln0

limid

1

)(

id)(ln

0

lim

ea

eeaae

ee

(7.4)

Riboms po integralo ženklu reiškinyje (7.4) pritaikome Lopitalio taisyklę:

01

1

0

lim

1

)ln(

0

lim

1

)ln(

0

lim)ln(

0

lim

2

(7.5)

0)ln(20

lim

1

)ln(2

0

lim

1

)(ln

0

lim

1

)(ln

0

lim)(ln

0

lim

2

222

(7.6)

Atsižvelgę į sąryšius (7.3) –(7.6) formulę (7.2) galime užrašyti taip:

azazaz

z

azz

z

az

z

azz

z

ar

rrr

ar

rr

i

3

2

2

i

3

2

2

0222

22

0222

2

)i(

)(ln2

)i(

)ln(2

)i(

)(ln2

)i(

)ln(2i2

)(

d4)ln(i4)(ln

)(

d)(ln

(7.7)

Įstatę lygybės (7.7) dešinėje pusėje z vertes polių taškuose turime

187

3

22

3

3

22

3

0222

2

0222

8i

2

9)ln(i6)(ln2

4i

i3)2ln(

)8i(

2)ln(i2)(ln2

)4i(

i)2ln(i2

)(

d4

)(

d)ln(i4

a

aa

a

a

a

aa

a

a

ar

r

ar

rr

(7.8)

Sutraukę panašius narius dešinėje lygybės pusėje gauname

2

30

222

2

0222

4)1)(ln(i44)(

d4

)(

d)ln(i4

aaar

r

ar

rr (7.9)

Sulyginę menamas dalis lygtyje (7.9) surandame ieškomo integralo vertę

1)ln(4)(

d)ln(3

0222

aaar

rr (7.10)

Realių dalių lygybė duoda dar vieno integralo vertę

3

0222 4)(

d

aar

r

. (7.11)


xxQeI px )d(i, čia )(xQ yra racionali funkcija, o 0p -

parametras. Šio tipo integralai apskaičiuojami remiantis Žordano lema.

Žordano lema. Tegul integrale

RC

pz zzQeI )d(i , kai 0p integravimo kontūras yra

apskritimo Rz || lankas 0)Im( z ir žinoma, kad ant spindulio R lanko funkcijos )(zQ

didžiausia vertė RCzMzQ

R

|)(| , augant spinduliui, mažėja ir 0RM , kai R . Tada

0)d(lim i

RC

pz zzQeR

(24)

Parodysim, kad Žordano lema galioja. Įvertiname integralą (24). Kai 0p , ant apkritimo

lanko Rz || , 0)Im( z

sin)sini(cosii |||| pRpRpz eee (25)

d|d|,idd, ii RzeRzeRz (26)

188

Atsižvelgdami į sąryšius (25)-(26) galime užrašyti

2

0

sin

0

sinii

d2

d|d||)(|||)d(||

pRR

C

pRR

pz

C

pz

eRM

eRMzzQezzQeI

RR (27)

Kai 20 , tai

2

sin . Ši nelygybė akivaizdi, pasižiūrėjus į funkcijų sin1 f ir

22 f grafikus. Integralo įvertį (27) pertvarkome toliau:

)1(d2d2||

2

0

22

0

sin pRR

pR

RpR

R ep

MeRMeRMI

(28)

Kadangi 0RM , kai R pagal lemos sąlygą, tai iš sąryšio (28) plaukia, kad Žordano

lema galioja.

Grįžkime prie integralo

xxQeI px )d(i. Tokį sandą gauname skaičiuodami kontūrinį

integralą C

pz zzQeI )d(i uždaru kontūru, kurį sudaro apskritimo 0)Im( z lankas ir reali

ašis. Kai funkcijai )(zQ galioja Žordano lemos reikalavimai, tai

)(resi2)d( ii zQexxQe pzpx (29)

Čia sumuojami visi reziduumai, esantys srityje 0)Im( z . Jeigu 0p , tai kontūrą uždarome

apskritimo lanku pusplokštumėje 0)Im( z . Šioje sityje galioja Žordano lema. Vėl gautume

reikalingo integralo išraišką, bet čia reikia atsižvelgti į tai, kad kontūro apėjimo kryptis yra

neigiama.


022

)dcos(

xa

xxI

, 0a .


C

ωz

za

zeI

22

i d, (8.1)

o integravimo kontūras C pavaizduotas 2 pav. Integravimo kontūro viduje yra pirmos eilės

polinė ypatuma taške az i . Apeidami integravimo kontūrą teigiama kryptimi turime

189

a

e

eRa

eRe

Rra

re

rea

ree aωeωRωrωre

2ii2

)(

idlimd

)(

d ii

02i2

ii

022

i0

2i2

ii ii

(8.2)

Galima pastebėti, kad pagalbinis integralas tenkina Žordano lemos reikalavimus. Iš kitos

pusės, sąryšyje (8.2) esančią ribą nesudėtinga įvertinti:

02i2

i)cos(i)sin(

02i2

i))sin(i)cos((i

02i2

ii

)(

idlim

)(

idlim

)(

idlimi

eRa

eRee

R

eRa

eRe

ReRa

eRe

R

ωRωR

RRωeωR

(8.3)

Kadangi integravimo srityje 0 funkcija 0)sin( , tai pointegralinė funkcija, kai

R , artėja į nulį dėl daugiklio )sin(ωRe visiems 0 , o dėl daugiklio

2i2 )( eRa

R

ir kai 0 ar , tai yra, riba lygi nuliui bet kokiai 0 reikšmei.

Atsižvelgę į tai iš sąryšio (8.2) gauname

aeara

rωr

2

d)cos(

022

. (8.4)

27.5. Sumų skaičiavimas. Reziduumų metodas leidžia apskaičiuoti kai kurių tipų sumas.

Sumų skaičiavimo idėja yra ta, kad skaičiuojant kontūrinį integralą uždaru kontūru rezultatas

yra reziduumų suma. Pasirinkę pointegralinėje funkcijoje daugiklį, kurio reziduumai būtų

taškuose nzn , ,...2,1,0 n galima sudaryti įvairias sumas. Tokie patogūs paprasčiausi

daugikliai yra funkcijos )(ctg z ir )sin(

1

z. Funkcijos )(ctg z reziduumai taškuose nzn ,

,...2,1,0 n yra

1, o funkcijos

)sin(

1

z reziduumai tuose taškuose yra

n)1(.

Tegul reikia apskaičiuoti sumą

n

nf )( . Skaičiuojame kontūrinį integralą

Rz

zzzfR

||

d)(ctg)(lim

(30)

Funkcija )(zf gali turėti polius tik baigtiniu atstumu nuo koordinačių pradžios, nes kitaip

eilutė

n

nf )( nekonverguotų. Be to, kad suma būtų baigtinė, funkcija )(nf , augant || n

vertei, turi mažėti greičiau, negu ||1 n . Tegul funkcija )(zf turi polius taškuose mz ,

190

Mm ,...,1 , ir tie poliai nesutampa su funkcijos )(ctg z poliais. Tada kontūrinį integralą

(30), kai R , galima užrašyti taip:

0)(1

)(ctg)(res1

nzz

M

m

nfzzf

m

, (31)

nes funkcijos )(ctg)( zzf visų reziduumų suma lygi nuliui. Šis teiginys nėra visai tikslus,

nes funkcija )(ctg z turi polių sankaupos tašką begalybėje. Bet dėl to, kad eilutė

n

nf )(

konverguoja, formulėje (31) nutraukus sumavimą pagal n pasirinktai didelei n vertei

padarysime kontroliuojamą nedidelę paklaidą.

Kai reikia ieškoti alternuojančios eilutės

n

n nf )()1( sumos, integrale (30) vietoje

)(ctg z imame funkciją )sin(1 z .

Pastebėsime, kad reikalavimas, jog funkcijos )(zf poliai nesutaptų su funkcijų )(ctg z

ar )sin(1 z poliais, nėra principinis. Tokiais atvejais, kai poliai sutampa, tiesiog reikia

skaičiuoti reziduumus aukštesnės eilės polių, o gautos išraiškos griozdiškesnės.

Pavyzdys 9. Apskaičiuokime sumą

n nbaS

2)(

1, kai

b

a nėra lygus sveikam

skaičiui.

Sprendimas. Skaičiuojame integralą

zzbzaR

Rz

d)(ctg)(

1lim

2||

(9.1)

Pointegralinė funkcija turi antros eilės polių taške b

az ir pirmo eilės polius taškuose

nz . Pagal reziduumų teoremą

011

)(ctglim

2

n

b

an

zdz

d

b

az

(9.2)

Iš šio sąryšio surandame ieškomą sumą

b

abanbn

22

2

2

sin)(

1. (9.3)

191


122

)1(

n

n

anS , 0a .


zzazR

Rz

d)(sin

11lim

22||

(10.1)

Pointegralinė funkcija turi pirmos eilės polius taškuose az i ir pirmo eilės polius taškuose

nz . Pagal reziduumų teoremą

0)1(1

)isin()i2(

1

)isin(i2

122

n

n

anaaaa (10.2)

Iš šio sąryšio surandame ieškomą sumą

)(sh22

1)1(2

122 aaaann

n

(10.3)

Pastebėsime, kad iš lygybės (10.3), apskaičiavę dešinėje pusėje ribą, kai 0a , gauname

12

)1( 2

12

n

n

n. (10.4)


22 1

1

n nS .


zzzR

Rz

d)(ctg1

1lim

2||

(11.1)

Pointegralinė funkcija turi antros eilės polius taškuose 1z ir pirmos eilės polius

taškuose ,...3,2,0 z . Pagal reziduumų teoremą

01

121

)(ctg1

)1(

d

d

1

lim)(ctg

1

)1(

d

d

1

lim

22

2

2

2

2

n n

zz

z

zzz

z

z

zz

(11.2)

Apskaičiavę išvestines ir suradę ribas gauname

4

3

1

1

22

n n (11.3)

Pastebėsime, kad iš lygybės (10.3), apskaičiavę dešinėje pusėje ribą, kai 0a , gauname

12

)1( 2

12

n

n

n. (10.4)

192

28. Reziduumų taikymas analizėje

28.1. Argumento principas.

Teorema 1. Tegul funkcija )(zf yra reguliari srityje G , išskyrus, gal būt, polius, o D -

aprėžta vienajungė sritis, priklausanti sričiai G kartu su savo kraštiniais taškais D , esančiais

ant kontūro . Jeigu funkcija )(zf neturi ant kontūro nulių ir polių, tai

PNzzf

zf

d

)(

)(

i2

1

. (1)

Čia N - nulių skaičius, o P - polių skaičius, kuriuos turi funkcija )(zf srityje D .

Kiekvienas nulis įskaitomas tiek kartų, koks yra jo kartotinumas, o kiekvienas polius

įskaitomas tiek kartų, kokia yra poliaus eilė. Pastebėtina, kad čia funkcijos )(zf poliai ir

nuliai yra laikomi izoliuotais, o jų aibės yra suskaičiuojamos.

Nesunku įsitikinti, kad funkcijos )(

)()(

zf

zfzF

ypatingi taškai yra funkcijos )(zf nuliai

ir poliai. Tegul taškas 0zz yra funkcijos )(zf kartotinumo k nulis. Tada taško 0zz

aplinkoje funkcija )(zf gali būti užrašyta pavidalu

0)(),()()( 00 zgzgzzzf k.

Šiuo atveju funkcija )(zF atrodo taip

)(

)(

)(

)()(

0 zg

zg

zz

k

zf

zfzF

Kadangi reikia apskaičiuoti integralą uždaru kontūru (1), tai svarbus yra funkcijos )(zF

reziduumas taške 0zz

kzF )(res 0 (2)

Kai taškas 0zz yra funkcijos )(zf m -os eilės polius, jos Lorano eilutė turi pavidalą

...)()(

...)()(

)( 0100

11

0

1

0

zzcczz

c

zz

c

zz

czf

mm

mm .

Šiuo atveju funkcijos )(zF Lorano eilutė

...)()2()1(

)()( 021

0

m

m

m

m

c

zzcm

c

cm

zz

mzF ,

o reziduumas taške 0zz

mzF )(res 0 (3)

193

Formulės (2) ir (3) įrodo (1) formulę. Formulė (1) galioja ir daugiajungei sričiai.

Išvada. Galiojant teoremos 1 sąlygoms formulę (1) galima užrašyti taip:

PNzf )(arg2

1

. (4)

Čia )(arg zf yra funkcijos )(zf argumento pokytis apeinant uždarą kontūrą .

Įrodymas. Pagal teoremos sąlygą funkcija )(zf ant kontūro neturi polių ir nulių. Todėl

)(lni2

1)(lnd

i2

1d

)(

)(

i2

1zfzfz

zf

zf

. (5)

Bet )(argi|)(|ln)(ln zfzfzf . Funkcija |)(|ln zf yra vienareikšmė, todėl jos pokytis,

apėjus uždarą kontūrą, yra lygus nuliui. Atsižvelgus į tai iš (1) formulės plaukia formulė (4).

Sąryšis (4) vadinamas argumento principu. Jis galioja ir tuo atveju, kai funkcija )(zf yra

reguliari srityje D visur, išskyrus polius, ir tolydi iki pat kontūro .

28.2. Roše (Rouché E.) teorema. Jeigu kompleksinės funkcijos )(zf ir )(zg yra

reguliarios aprėžtoje vienajungėje srityje D ir ant sritį ribojančio kontūro , o visiems z

galioja nelygybė

|)(||)(| zgzf , (6)

tai kompleksinės funkcijos )(zf ir )()()( zgzfzF srityje D turi tiek pat nulių.

Įrodymas. Pagal teoremos sąlygą funkcija )(zf neturi nulių ant kontūro . Pagal

trikampio nelygybę

|)(||)(||)(|||)(||)(|| zgzfzFzgzf . (7)

Tegul FN ir fN yra funkcijų )(zF ir )(zf nulių skaičiai srityje D . Kadangi funkcijos

)(zF ir )(zf srityje D polių neturi, tai

FNzF )(arg2

1

. (8)

Pagal sąlygą (6) 0|)(| zf z , todėl galima užrašyti

)(

)(1)()()()(

zf

zgzfzgzfzF (9)

Įrašę sąryšį (9) į (8) formulę turime

)(

)(1arg)(arg)(arg

zf

zgzfzF (10)

Panagrinėkime lygybės (10) dešinės pusės antrą dėmenį. Funkcija

194

)(

)(1

zf

zgw (11)

atvaizduoja kompleksinės plokštumos yxz i taškus į kompleksinės plokštumos

iw taškus. Atsižvelgiant į nelygybę (6) galima užrašyti

1|1|0 w (12)

Iš to plaukia, kad funkcija (11) plokštumos yxz i kontūrą atvaizduoja į uždarą kreivę

plokštumoje iw ir visi tos kreivės taškai yra skritulyje (12). Bet apeinant uždarą

kreivę plokštumoje iw mes neapeiname koordinačių pradžios taško, todėl

argumento pokytis bus lygus nuliui. Iš to plaukia, kad, galiojant nelygybei (6),

0)(

)(1arg

zf

zg . (13)

Atsižvelgus į tai iš (10) formulės gauname, kad

fF NN . (14)

Pavyzdys 1. Parodykite, kad n -ojo laipsnio daugianaris su kompleksiniais koeficientais turi

lygiai n šaknų.

Sprendimas. Pritaikysime Roše teoremą. Tegul daugianaris turi pavidalą

nnnn

n azazazazP

11

10 ...)( . (1.1)

Pažymėję nzazf 0)( , nn

nn azazazazg

12

21

1 ...)( , daugianarį (1.1) užrašome

taip: )()()( zgzfzF . Kadangi

0)(

)(lim

zf

zg

z, (1.2)

tai egzistuoja toks realus skaičius 0R , kad visiems Rz || galioja sąryšis

Rzzf

zg ||1

)(

)(. (1.3)

Tegul kontūras yra apskritimas Rz || . Lygtis 0)( zf turi n šaknų. Kadangi galioja

sąryšis (1.3), tai pagal Roše teoremą fF NN , o tai sako, kad n -ojo laipsnio daugianaris

turi n šaknų.

195

29. Furje transformacija

29.1. Furje eilutė. Tegul turime realaus kintamojo x periodinę funkciją, kurios periodas

yra T . Periodiškumo matematinė sąlyga

).()( xfTxf (1)

Koordinatės x atskaitos pradžią pasirenkame kurio nors periodo viduryje. Periodo ilgio

intervalo galai bus taškuose lx ir lx , o lT 2 . Periodinę funkciją visada galima

išskleisti Furje eilute

,sincos2

1)(

1

0

xl

jbx

l

jaaxf jj

j

(2)

kurios koeficientai

,dcos)(1

l

jf

la

l

l

j (3)

,...2,1,0,dsin)(1

jl

jf

lb

l

l

j

(4)

Eilutę (2) galima užrašyti ir kitokiais pavidalais. Įstatę į skleidinį (2) koeficientų išraiškas (3)

– (4) gauname

d)(cos)(2

1

d)(cos)(2

1

d)(cos)(2

1d)(

2

1)(

1

1

xl

jf

l

xl

jf

l

xl

jf

lf

lxf

l

lj

l

lj

l

lj

l

l

(5)

Formulė (2) (arba (5)) funkciją )(xf , nusakytą periode ],[ llx , pratęsia į visą ašį

),( x periodiškai. Jeigu funkcija )(xf nėra periodinė, tai, norint pratęsti funkciją į

visą ašį, reikia pareikalauti tam tikrų sąlygų išpildymo. Formulės (2)-(4) galioja, jeigu

išpildytos sąlygos:

1 . funkcija )(xf yra išskleidžiama Furje eilute (2) bet kokioje baigtinėje ašies x

atkarpoje;

2 . funkcija )(xf yra absoliučiai integruojama, t. y.

196

.d|)(|

Kxxf (6)

Jeigu reikalavimas 2 galioja, tai

.02

limd|)(|

2

1lim

d|)(|2

1limd)(

2

1lim

l

K

lxxf

ll

xxfll

xxfll

l

l

l

l (7)

Pažymėkime

l

jj

. (8)

Dydžio j pokytis

jjjl

1 . (9)

Kai l dydis 0 j ir (5) formulėje sumą keičiame integralu

d)(cos)(2

1

d)(cos)(2

1)(

xfd

xfxf j

l

l

j

j (10)

Gavome Furje integralinę formulę. Ją išvedant naudojomės tuo, kad tiek sumos, tiek

integralai tarpiniuose skaičiavimuose konverguoja. Tuo atveju galima keisti integravimo ar

sumavimo tvarką.

Teorema. Jeigu realaus kintamojo funkcija )(xf yra absoliučiai integruojama visoje ašyje

x ir funkcija )(xf bei jos išvestinė turi baigtinį trūkių skaičių bet kokioje

baigtinėje atkarpoje ],[ x , tai galioja lygybė

d)(cos)(2

1)(

xfdxf . (11)

Bet kokiame trūkio taške 0x funkcijos )(xf vertė yra

)0()0(2

1)( 000 xfxfxf . (12)

Apskaičiuokime integralą

197

.0)(sind)(2

1

d)(sin)(2

1)(

xdf

xfdxg

(13)

Prie integralo (11) pridėję funkciją )(i xg gauname:

.d)iexp()(2

1d)iexp(

2

1

d)(iexp)(d2

1)(

xfx

xfxf

(14)

Apibrėžimas. Funkcijos )(xf integraliniu Furje atvaizdžiu vadinama funkcija

xxxff d)iexp()(2

1)(

. (15)

Apibrėžimas. Integralinio Furje atvaizdžio )(f pirmvaizdžiu vadinama funkcija

d)iexp()(2

1)(

xfxf . (16)

Iš (5) formulės nesudėtinga gauti dar vieną Furje eilutės pavidalą:

j

j

l

lj

l

lj

l

lj

l

lj

xl

jc

l

jf

lx

l

j

xl

jf

l

xl

jx

l

jf

l

xl

jf

lxf

iexp

diexp)(2

1iexp

d)(iexp)(2

1

)(iexp)(iexp2

1)(

2

1

d)(cos)(2

1)(

Gavome naudingą formulę

j

j xl

jcxf

iexp)( . (17)

Čia

198

.diexp)(2

1

l

jf

lc

l

l

j (18)

Palyginę formulę (2) su formule (17) gauname, kad koeficientai ja , jb su koeficientais jc

susieti sąryšiais

).(, jjjjjj ccibcca (19)

Formulės (17) ir (18) yra greitosios Furje transformacijos matematinis pagrindas.

29.2. Integralinės Furje transformacijos savybės. Kaip žinome Dirako funkcijos

svarbi savybė išreiškiama sąryšiu

),(d)()( afxxfax

(20)

čia )(xf bet kokia glodi funkcija, aprėžta taško ax aplinkoje. Pagal apibrėžimą (15)

Dirako funkcijos Furje integralinis atvaizdis

)iexp(2

1d)iexp()(

2

1)( akxxkaxk

. (21)

Atvirkščia transformacija (16) turi atstatyti funkciją :)( ax

.d))(iexp(2

1

d)iexp()iexp(2

1

2

1d)iexp()(

2

1)(

kaxk

kxkakkxkkax

(22)

Gavome labai svarbią ir naudingą formulę

)(d))(iexp(2

1axkaxk

. (23)

Formulė (23) vadinama Dirako - funkcijos integraliniu atvaizdžiu.

Tegul funkcija )(xf yra tolydi ir aprėžta. Tada Mxf |)(| , ],[ llx , čia M baigtinis

teigiamas skaičius. Iš sąryšio (7) ir apibrėžimo (15) plaukia, kad tolydžios funkcijos )(xf

Furje atvaizdis egzistuoja, jeigu funkcija 0,1

~)(

1

xx

xf, tai yra, funkcija )(xf artėja

į nulį ne lėčiau, negu funkcija 1

1

x, kai x . Šia pastaba naudosimės skaičiuodami

funkcijos išvestinių Furje atvaizdžius.

Patogumo dėlei pažymėkime integralinę Furje transformaciją kaip operatorių

199

).(d)iexp()(2

1)(ˆ

)(d)iexp()(2

1)(ˆ

1 xfkxkkfkfF

kfxkfxfF

. (24)

Ieškosime dviejų funkcijų sandaugos Furje atvaizdžio )()(ˆ xgxfF , kai daugiklių Furje

atvaizdžiai egzistuoja )()(ˆ kfxfF , )()(ˆ kgxgF . Pagal apibrėžimą

.d)()(2

1

d))i(exp()(2

1d)(

2

1

d)iexp(d)iexp()(2

1)(

2

1

d)iexp()()(2

1)()(ˆ

kkkgkf

xxkkxgkkf

xxkkxkkfxg

xxkxgxfxgxfF

Gavome formulę

kkkgkfxgxfF

d)()(2

1)()(ˆ

, (24)

kuri sako, kad dviejų funkcijų sandaugos Furje atvaizdis yra lygus atvaizdžių sąsukai.

Išspręskime atvirkščią uždavinį: kai žinome )()(ˆ 1 xfkfF , )()(ˆ 1 xgkgF

iškosime funkcijos )()()( kgkfkh Furje pirmvaizdžio. Pagal apibrėžimą (16)

.d))(iexp()(2

1d)(

2

1

d)iexp(d)exp()(2

1)(

2

1

d)iexp()()(2

1)(ˆ 1

kxxkkfxxg

kkxxxikxgkf

kkxkgkfkhF

Gavome formulę

xxxfxgkgkfF

d)()(2

1)()(ˆ 1

, (25)

kuri sako, kad atvaizdžių sandaugos pirmvaizdis yra lygus pirmvaizdžių sąsukai.

200

Išvestinės atvaizdis. Tegul )()(ˆ kfxfF . Surasime )(xf atvaizdį:

.d)iexp()(2

1i)iexp()(

2

1

d)iexp()(2

1)(ˆ

kkxxfkkxxf

kkxxfxfF

x

x

Kadangi funkcijos )(xf atvaizdis egzistuoja, tai funkcija )(xf artėja į nulį, kai x ne

lėčiau, negu 0,11

x

. Dėl to galioja formulė

)(i)(ˆ kfkxfF . (26)

Tokiu pat būdu formulę (26) galime apibendrinti funkcijos )(xf n -tos eilės išvestinės

)()( xf n atvaizdžiui rasti:

)(i)(ˆ )( kfkxfFnn . (27)

Suraskime Furje atvaizdį funkcijos )(xfxn , kai )()(ˆ kfxfF , o n - sveikas

teigiamas skaičius. Pagal apibrėžimą

.d)iexp()(d

di

2

1

d)iexp()(2

1)(ˆ

xxkxfk

xxkxfxxfxF

n

nn

Gavome formulę

)(d

di)(ˆ kf

kxfxF

nn

. (28)

Matome, kad funkcijos )(xfxn Furje atvaizdis egzistuoja, jeigu atvaizdis )(kf yra n kartų

diferencijuojama funkcija. Kita vertus, (27) lygties dešinės pusės pirmvaizdis egzistuoja,

jeigu egzistuoja integralas Mkkfkn

d|)(| . Tai reiškia, kad funkcija )(kf artėja į nulį,

kai k greičiau, negu 0,11

nk

. Remiantis šiomis pastabomis galima tvirtinti, kad

absoliučiai integruojamos ir du kartus diferencijuojamos funkcijos Furje atvaizdis artėja į

nulį, kai k greičiau, negu 0,13

k

. Iš kitos pusės, jeigu atvaizdis )(kf yra n

201

kartų diferencijuojama funkcija, tai jos pirmvaizdis, kai x , artėja į nulį greičiau, negu

0,11

nx

.

Tiesiog iš Furje transformacijos apibrėžimo plaukia formulės

)(d))i(exp()(2

1)()iexp(ˆ akfxxakxfxfaxF

, (29)

0,1

d)iexp()(2

1)(ˆ

aa

kf

axxkaxfaxfF

. (30)

Trigonometrinių funkcijų Furje atvaizdžių ieškome pagal apibrėžimą

.d))i(exp())i(exp(2

1

2

1

d)iexp()iexp()iexp(2

1

2

1

2

1

d)iexp()cos(2

1)cos(ˆ

xxkxk

xxkxx

xxkxxF

Pritaikę (23) formulę gauname:

.)()(2

)cos(ˆ

kkxF (31)

Tokiu pat būdu gauname

.)()(2

i)sin(ˆ

kkxF (32)

Pavyzdys 1. Suraskite integralinį Furje atvaizdį funkcijos

)exp()( 22xaxf . (1.0)

Sprendimas. Pagal apibrėžimą

.d)iexp()exp(2

1)( 22 xkxxakf

(1.1)

Išdiferencijavę sąryšį (1.1) pagal k integruojame dalimis

)(2

d)iexp(22

1)iexp(

2

1

2

i

d)iexp()exp()i(2

1)(

2

22

2

22

2

22

kfa

kxkxxak

akxxa

a

xkxxaxkf

x

x

Gavome diferencialinę lygtį

202

)(2

)(2

kfa

kkf . (1.2)

Lygtyje (35) kintamieji atsiskiria. Jos sprendinys

.4

exp)(2

2

a

kCkf (1.3)

Iš sąryšio (1.3) matome, kad 0

)(

k

kfC . Reiškinį 0

)(k

kf apskaičiuojame naudodami

(1.1) sąryšį

.2

1d)exp(

2

1)( 22

0 axxakf

k

(1.4)

Gavome, kad

.4

exp2

1)exp(ˆ

2

222

a

k

axaF (1.5)

Galime pastebėti, kad tuo atveju, kai 2

12 a formulė (38) itin paprasta:

.2

1exp)

2

1exp(ˆ 22

kxF (1.6)

Čia pateiktas funkcijos )exp()( 22xaxf Furje atvaizdžio radimo būdas kiek dirbtinis.

Reikalingą integralą galima surasti ir tiesiogiai. Skaičiuosime kontūrinį integralą

0,d)exp( 2

C

zzI , (1.7)

kurį integruojame kontūru C , pavaizduotu 1 pav.

1 pav. Integravimo kontūras integralui (1.7)

x

iy

z=R+iyz=-R+iy

z=rei

z

z=rei+ik /2

z=r

z=r+ik /2

203

Kai R integralai kontūro segmentais, lygiagrečiais menamai ašiai, duoda nulinį indėlį.

Iš likusių integralų gauname sąryšį

0d2

iexpd2

iexp

dexpdexp

i

0

2i

0 2

0

20

ii22

rek

rerk

r

rrreer

, (1.8)

Sutvarkę šį reiškinį gauname:

rrkrk

rr d)cos()exp(4

expdexp 22

2

. (1.9)

Integralo (1.1) menama dalis lygi nuliui dėl to, kad pointegralinė funkcija yra nelyginė

integravimo kintamojo atžvilgiu. Integralo reali dalis

rrk

rrkr dexp4

exp2

1d)cos()exp( 2

22

. (1.10)

Integralą dešinėje lygybės (1.10) pusėje apskaičiuojame pasinaudodami formule

dexp 2. (1.11)

Dabar (10) formulę galima užrašyti taip:

4expd)cos()exp(

22 k

rrkr . (1.12)

Paėmę 2a ir įrašę daugiklį 21 , kuris turi būti pagal Furje transformacijos

apibrėžimą, vėl gauname (1.5) formulę.

Pavyzdys 2. Suraskite Furje atvaizdį funkcijos

.0,0),exp(

,0,0)(

axax

xxf 2.0

Sprendimas. Pagal atvaizdžio apibrėžimą

.i

1

2

1d)iexp()exp(

2

1)(

0ka

xkxaxkf

(2.1

Gavome, kad

22

i

2

1)(ˆ

ka

kaxfF

. (2.2)

204

Taikomuosiuose fizikos funkcijos )(tf spektrine funkcija arba spektriniu tankiu vadinama

funkcija

.d)iexp()()( tttfS

(33)

Kaip matome, spektrinė funkcija susieta su integraline Furje transformacija

).(2)( fS (34)

Funkcija

|)(|)( SA (35)

vadinama amplitudės spektru, o funkcija

))(arg()( S (36)

vadinama fazės spektru.

Funkcijos )exp()( 22xaxf amplitudės spektras

2

2

4exp)(

aaA

, fazės spektras

0)( . Funkcijos (2.0) amplitudės spektras 22

1)(

aA , fazės spektras

a

arctg)( .

30. Laplaso transformacija

Pirmiausia nusakysime, kokioms funkcijoms galima atlikti Laplaso transformaciją.

Transformacija suponuoja kitą operaciją – pirmvaizdžio radimą. Atliekant integralinę

transformaciją lyg ir savaime aišku, kad, atlikus atvirkščią transformaciją, gauname

pirmykštę funkciją. Iš kitos pusės, jeigu nusakysime, kokias savybes turi turėti pirmvaizdis,

tai kartu iš visų galimų funkcijų išskirsime klasę funkcijų, kurioms galima atlikti integralinę

Laplaso transformaciją.

Apibrėžimas 1. Laplaso pirmvaizdžiu gali būti realaus kintamojo funkcija )(tf , tenkinanti

sąlygas:

1 0)( tf , kai 0t ;

205

2 funkcija )(tf ir jos pakankamai aukštos eilės išvestinės yra tolydinės 0t ,

išskyrus, gal būt, suskaičiuojamą aibę taškų, kur funkcija ar jos išvestinės turi pirmos

rūšies trūkius;

3 funkcija )(tf auga ne greičiau už rodiklinę funkciją, t. y., egzistuoja baigtinės

teigiamos konstantos M ir s tokios, kad stMetf |)(| 0t .

Skaičius s vadinamas funkcijos )(tf augimo rodikliu. Iš apibrėžimo 3 punkto matyti, kad

aprėžtoms funkcijoms 0s . Paprasta, bet labai svarbi, pirmvaizdžio funkcija yra Hevisaido

funkcija, apibrėžiama sąryšiu

.0,1

,0,0)(

t

tt (1)

Jeigu tolydžią funkciją )(tg , turinčią baigtinį augimo rodiklį, padauginame iš Hevisaido

funkcijos, tai gauname funkcją, kuri gali būti Laplaso transformacijos pirmvaizdžiu. Šis

teiginys lieka galioti, jeigu funkcija )(tg ar jos išvestinės turi suskaičiuojamą aibę pirmos

rūšies trūkio taškų. Paprastai fizikiniai vyksmai aprašomi tolydžiomis funkcijomis. Bendru

atveju teigsime, kad bet kuris Laplaso pirmvaizdis turi pavidalą

).()()( tgttf (2)

Rašyti daugiklį )(t formulėse ne visur patogu, todėl jis paprastai yra praleidžiamas, o

prisimenamas tik tada, kai tas daugiklis yra svarbus atliekant matematinius veiksmus. Dėl to

įprasta Laplaso pirmvaizdį tiesiog rašyti )(tf .

Apibrėžimas 2. Funkcijos )(tf Laplaso atvaizdžiu vadinama kompleksinio kintamojo

i sp funkcija, nusakoma sąryšiu

0

d)()( tetfpF pt . (3)

Paprastai funkcijos )(tf Laplaso atvaizdį žymėsime didžiąja raide

)()( pFtf , (4)

nes pirmvaizdis nėra lygus savo atvaizdžiui. Atvaizdžio kintamasis p vadinamas Laplaso

parametru.

Teorema. Bet kokiam pirmvaizdžiui )(tf atvaizdis )(pF yra apibrėžtas pusplokštumėje

sp )Re( (čia s yra funkcijos )(tf augimo rodiklis) ir yra analizinė kompleksinio

kintamojo p funkcija.

206

Apibrėžimas 3. Atvirkščia integralinė Laplaso transformacija apibrėžiama sąryšiu

pepFttf tps

s

d)(i2

1)()(

i

i

. (5)

Teorema. Jeigu funkcija )(pF yra analizinė pusplokštumėje sp )Re( ir 0)(||

lim

pF

p

bet kokioje pusplokštumėje ssp 0)Re( tolygiai )arg( p atžvilgiu, o integralas

i

i

0

0

d)(

s

s

ppF absoliučiai konverguoja, tai funkcijos )(pF Laplaso pirmvaizdis nusakomas (5)

formule.

Integralinės Laplaso transformacijos savybės – tai elementarių funkcijų ir operacijų su

jomis atvaizdžiai. Surasime elementarių funkcijų Laplaso atvaizdžius. Hevisaido funkcijai

pagal formulę (3) turime

pp

etett

t

t

ptpt 1

d)()(

00

.

p

t1

)( (6)

Eksponentei

.1

d

0

)(

0apap

eteee

t

t

tapptatat

ap

eat

1 (7)

Funkcijų )sin( t , )cos( t , )(sh t , )(ch t Laplaso atvaizdis surandamas tuo pačiu būdu.

Surasime )sin( t Laplaso atvaizdį:

.iii2

1d)(

i2

1

d)(i2

1d)sin()sin(

22

0

)(i)(i

0

)(-i)(i

0

i-i

0

pp

e

p

etee

teeetett

t

t

tptptptp

ptttpt

22

)sin(

pt (8)

22

)cos(

p

pt (9)

207

22

)(sh

pt (10)

22

)(ch

p

pt (11)

Išvestinių atvaizdžiai. Tegul )()( pFtf . Surasime )(tf , )(tf , ..., )()( tf n

atvaizdžius. Pagal apibrėžimą

).0()(d)()(d)()(

00

0

fppFtetfpetftetftf ptt

t

ptpt

)0()()( fppFtf (12)

Formulę (12) pritaikome funkcijos )(tf atvaizdžiui rasti. Kadangi ))(()( tftf ,

pritaikome (12) formulę:

).0())0()(()( ffppFptf

)0()0()()( 2 fpfpFptf (13)

)0()()( )1(

1

)(

jn

j

jnnn fppFptf (14)

Atvaizdžio diferencijavimas. Kadangi integralas (3) konverguoja, lygybę

diferencijuojame pagal parametrą p , o dešinėje lygybės pusėje diferencijuojame po integralo

ženklu:

.d)()()(d

d

0

tetf-tpFp

pt

Tegul šią operaciją galima kartoti n kartų. Tada galioja formulė

)(d

d)( pF

ptft

nn

(15)

Atskiru atveju pagal (6) ir (15) formules gauname:

.!1

d

d)(

1

n

nnn

p

n

ppttt

Gautąją formulę nesudėtinga apibendrinti, kai n nėra sveikas skaičius. Pagal atvaizdžio

apibrėžimą

.1)(

ddd

d1

01

11

0

pe

ppt

pt

tett pt

208

1

1)(

pt (16)

Čia panaudotas funkcijos apibrėžimas

0

1 d)( tet t .

Pirmvaizdžio integravimas. Tegul

t

ftg

0

d)()( .

Išdiferencijavę funkciją )(tg turime

)()( tftg .

Gauto sąryšio Laplaso atvaizdį surandame pritaikę (12) formulę

)(1

d)(

0

pFp

f

t

. (17)

Atvaizdžio integravimas. Surasime funkcijos t

tf )( Laplaso atvaizdį, kai funkcijos

)(tf atvaizdis yra žinomas )(pF . Pagal apibrėžimą (3)

).(dd)(ddd)(d)()(

000

pFptetfppettftet

tf

t

tf

p

tp

pp

tppt

)(d)(

pFpt

tf

p

(18)

Vėlavimo formulė. Surasime funkcijos )( tf atvaizdį. Čia turime prisiminti, kad

pirmvaizdžio funkcija yra apibrėžta, kai argumentas neneigiamas, tai yra,

)()()( ttftf . Todėl

(19)

Argumento mastelio keitimas. Jeigu žinome funkcijos )(tf atvaizdį (4), tai funkcijos

)(atf atvaizdis pagal apibrėžimą (3)

.1d

)(dd

d)()(

0

a

pF

aaef

at

at

teatfatf a

p

pt

).(d)(dd

d)()(

0

pFeefet

ttetftf ppppt

)()( pFetf p

209

a

pF

aatf

1)( (20)

Poslinkio formulė. Tegul reikia rasti funkcijos )(tfeat atvaizdį. Pagal apibrėžimą (3)

).(d)(d)()( )(

00

apFtetftetfetfe tapptatat

Matome, kad funkcijos padauginimas iš eksponentės su augimo rodikliu a paslenka

atvaizdžio argumentą.

)()( apFtfeat (21)

Periodinės funkcijos )()( tfTtf Laplaso atvaizdis. Pagal atvaizdžio apibrėžimą

.d)(dd

)1(d)(d)(

01

)1(

)1(10

ptT

n

pTnptnT

Tnn

pt efet

Tnttetftetf

Pritaikę eilutei geometrinės progresijos sumos formulę, turime

)()(kai,d)(1

1d)(

00

tfTtfefe

tetf pT

pT

pt

(22)

Funkcijų sandaugos Laplaso atvaizdis. Tegul funkcijų )(tf ir )(tg Laplaso

atvaizdžiai egzistuoja. Surasime funkcijų )(tf ir )(tg sandaugos Laplaso atvaizdį:

).()(di2

1)(d)(d

i2

1

d)(i2

1)(dd)()()()(

i

i

)(

0

i

i

i

i00

ppFpGpetftpGp

pepGetfttetgtftgtf

s

s

tpps

s

tps

s

ptpt

Gavome, kad dviejų funkcijų sandaugos atvaizdis yra lygus atvaizdžių sąsukai

)()(di2

1)()(

i

i

ppFpGptgtf

s

s

(23)

Atvaizdžių sandaugos pirmvaizdžio radimas. Tegul žinome dauginamųjų funkcijų

Laplaso pirmvaizdžius. Tada

).()()()(dd)(i2

1)()(d

)()(dd)(i2

1d)()(

i2

1)()(

0

)(i

i0

0

i

i

i

i

ttfgpepFg

egpepFpepGpFpGpF

tps

s

ppts

s

pts

s

210

Matome, kad Hevisaido funkcijos apriboja integravimo kintamojo sritį, kur pointegralinė

funkcija gali būti nelygi nuliui ir tas intervalas yra ],0[ t . Atsižvelgę į tai ir, patogumo

dėlei praleidę Hevisaido funkcijas, gauname paprastą formulę

)()(d)()(

0

tfgpGpF

t

. (24)

Atvaizdžių ,...,,1 2pp pirmvaizdžiai taip pat egzistuoja, bet jie nėra tolydinės funkcijos.

Kad juos galėtume užrašyti, reikia naudoti platesnę funkcijų klasę, įjungiant į ją

apibendrintąsias funkcijas, matematikoje paprastai vadinamas pasiskirstymais, o fizikoje –

impulsinėmis funkcijomis. Dažniausiai sutinkama Dirako - funkcija. Dirako - funkcija

apibrėžiama sąryšiu

].,[,0

],,[,1)(d

ba

bab

a

(25)

Ši funkcija svarbi tuo, kad bet kokiai tolydžiai funkcijai )(tf galioja sąryšis

].,[,0

],,[),()()(d

ba

bafttft

b

a

(26)

Dirako funkcijos Laplaso atvaizdis surandamas tiesiog pagal atvaizdžio apibrėžimą (3),

naudojantis Dirako funkcijos savybe (26):

1d)()(

0

tett pt . (27a)

Gautąjį sąryšį apibendriname, panaudodami vėlavimo formulę (19):

)exp()( pt (27)

Iš kitos pusės, galima sudaryti impulsinę funkciją

].,0[,

1

],,0[,0

)(h

h

ht

th

(28)

Nesunku pastebėti, kad pagal funkcijos )(th apibrėžimą

.0,1d)(

htth (29)

Užrašant funkcijos )(tf išvestinę apytiksliai pagal funkcijos išvestinės apibrėžimą turime

,)()(

)(h

htftftf

(30)

211

čia h yra mažas argumento pokytis, o riba, kai 0h duoda tikslią išvestinės vertę taške t .

Funkciją )(th galima užrašyti per Hevisaido funkcijas

.)()(1

)( htth

th (31)

Gautos lygybės Laplaso atvaizdis

.)exp(11

)(

p

ph

phth (32)

Kai 0h gauname tokį pat rezultatą, kaip ir (27a) formulėje. Palyginę (31) formulę su (30)

matome, kad )(th yra Hevisaido funkcijos išvestinė, o pastaroji sutampa tiksliai su Dirako

- funkcija, kai 0h . Dėl to galime tvirtinti, kad Dirako - funkcija gali būti užrašyta

kaip

).()( tt (33)

Pritaikome formulę (30) funkcijos )(th išvestinei apskaičiuoti:

.)2()(2)(1

)2()(1

)()(11

)()(1

)(

2hthtt

h

hthth

htthh

htth

t hhh

(34)

Funkcijos )(th Laplaso atvaizdis

.)2exp()exp(211

0

lim)(

2phph

phhth

(35)

Išskleidę eksponentes eilute surandame ribą kai 0h

.)( pth (36)

Tokiu pat būdu suradę funkcijos )(th aukštesnės eilės išvestinių išraiškas per Hevisaido

funkcijas, o paskui Laplaso atvaizdyje perėję prie ribos 0h gauname, kad

nn pt )()( . (37)

Ribiniai sąryšiai. Tegul tolydi funkcija )(tf ir jos išvestinė )(tf yra Laplaso

pirmvaizdžiai ir tenkina apibrėžimo A.1 sąlygas. Funkcijos )(tf Laplaso atvaizdis )(pF su

išvestinės )(tf atvaizdžiu susietas sąryšiu )0()()( fppFtf . Tolydžios funkcijos

atvaizdis, kai p , turi ribinę vertę lygią nuliui. Tada tiesiog iš išvestinės atvaizdžio

formulės plaukia, kad

).0()(lim

fppFp

(38)

212

Čia ).(0

lim)0( tf

tf

Pagal pirmvaizdžio išvestinės atvaizdžio apibrėžimą

)0()(d)(

0

fppFtetf pt

. (39)

Lygybės (39) kairėje pusėje esantis integralas tolygiai konverguoja, kai 0p , tai pereiti

jame prie ribos 0p galima ir po integralo ženklu. Todėl

)0()(0

limd)(

0

fppFp

ttf

. (40)

Iš (40) lygybės plaukia, kad

)()(0

lim

fppF

p. (41)

Sąryšiai (38) ir (41) vadinami Laplaso atvaizdžio ribiniais sąryšiais. Jie svarbūs analizėje

tikrinant formules.

Pavyzdys 1. Įvertinkime ribą )(lim

tft

, kai 0,)sin()( tettf . Pasinaudoję (45)

formule turime:

0)(0

lim)sin(

lim

22

p

p

pet

t

t. (1.1)

Pavyzdys 2. Raskite diferencialinės lygties

)sin(2

2

tAcxdt

dx

dt

xdm (2.1)

sprendinį, kai pradinė sąlygos

00

0d

d,)0( v

t

xxx

t

. (2.2)

Čia m , , , c - realios teigiamos konstantos, o 0x , 0v , A - realios konstantos.

Sprendimas. Lygtis (2.1) aprašo slopinamo mechaninio osciliatoriaus, žadinamo

priverčiančiąja jėga )sin( tA , judėjimą. Patogumo dėlei lygtį (2.1) dalijame iš m ir,

patogumo dėlei, įvedame žymėjimus:

2m

, 20

m

c, a

m

A . Dabar lygties pavidalas

)sin(2 202

2

taxdt

dx

dt

xd (2.3)

Atlikę lygties (2.3) Laplaso transformaciją gauname

213

22

20000

2 )())((2)(

p

apXxppXvpxpXp (2.4)

Išsprendę lygtį )( pX atžvilgiu turime

)2)((2

)2()(

20

22220

200

ppp

a

pp

vxppX (2.5)

1 pav. Integravimo kontūras integralui (2.6).

Pagal pirmvaizdžio formulę

peppp

a

pp

vxptx pt

C

d)2)((2

)2(

i2

1)(

20

22220

200

(2.6)

Integravimo kontūras atvaizduotas 1 pav.

Pirmas sandas formulėj (2.5) aprašo savuosius osciliatoriaus svyravimus ir turi polines

ypatumas taškuose

i2,1 p , (2.7)

čia pažymėtas osciliatoriaus svyravimų ciklinis dažnis

22

02 . (2.8)

Formulės (2.6) dešinės pusės sandų integralus apskaičiuojame pritaikę reziduumų metodą.

Im( p )

Re p )

p = p 2

p = p 1

p =-i

p =i

p

214

)sin()cos(

)i(i2

1)i(

i2

1

d))((

)2(

i2

1d

2

)2(

i2

1)(

000

)i(00

)i(00

21

0020

200

txv

txe

evxevx

pepppp

vxppe

pp

vxptx

t

tt

pt

C

pt

C

h

(2.9)

)i2)i2i2

)i()i(i2

d)i)(i)()((i2

1

d)2)((i2

1)(~

20

2

i

20

2

i

22

)i(

22

)i(

21

20

222

p

e

p

ea

eea

pepppppp

a

peppp

atx

tt

tt

pt

C

pt

C

(2.10)

Gautoje formulėje skliaustuose esančius riškinius bendravardikliname ir sutraukiame

panašius narus:

222220

220

222222

222

4)(

)cos(2)sin()(

4)(

)cos(2)sin()()(~

tta

etta

tx t

(2.11)


222220

220

222222

222

000

4)(

)cos(2)sin()(

4)(

)cos(2)sin()(

)sin()cos()(

tta

etta

txv

txetx

t

th

(2.12)

Formulėje (2.12) pirmas sandas aprašo svyruoklės savuosius svyravimus, kai pradinė

mechaninė būsena yra užduota pradinėmis sąlygomis. Šie svyravimai nepriklauso nuo

priverčiančiosios jėgos charakteristikų. Antras sandas aprašo pereinamojo vyksmo

svyravimus, kurie atsiranda pradėjus veikti priverčiančiajai jėgai. Šis sandas atsako už staigų

savųjų svyravimų amplitudės pasikeitimą pradėjus veikti priverčiančiajai jėgai. Reiškinio

charakteringa savybė ta, kad į jį įeina ir sistemos charakteristikos (savųjų svyravimų dažnis

215

ir slopimo koeficientas ) i priverčiančiosios jėgos charakteristikos (amplitudė a ir jėgos

ciklinis dažnis ). Kaip matyti š formulės, savieji ir pereinamojo vyksmo svyravimai

eksponentiškai slopsta ir, laikui bėgant, nusistovi svyravimai priverčiančiosios jėgos dažniu,

aprašomi trečiu sandu.

31. Pirmvaizdžio radimas

Laplaso pirmvaizdžio ieškoma, visų pirma, remiantis tuo, kad tolydinės funkcijos

atvaizdis yra vienintelis ir atvirkščiai: atvaizdis turi vienintelį pirmvaizdį. Paprastais atvejais

tam užtenka pritaikyti gautąsias formules, skaitant jas iš dešinės į kairę. Bendru atveju

norėdami surasti pirmvaizdį naudojamės pirmvaizdžio apibrėžimu

pepFttf tps

s

d)(i2

1)()(

i

i

. (1)

Kad galėtume integralo (1) skaičiavimui pritaikyti reziduumų metodą integravimo kontūrą

kompleksinio kintamojo p plokštumoje reikia uždaryti. Kai funkcija )(pF yra sveikoji

argumento p funkcija, integravimo kontūrą uždarome didelio spindulio R apskritimo lanku.

Tolydžių funkcijų atvaizdžiams bendru atveju galioja ribinis sąryšis (38), todėl atvaizdžiai,

kai p , artėja prie nulio ne lėčiau, negu funkcija p

1 - Hevisaido funkcijos atvaizdis.

Kada pirmvaizdžio radimui galima taikyti reziduumų teoriją arba anksčiau gautas formules

nusako žemiau pateikiamos teoremos.

Teorema 1. Tegul atvaizdžio funkcija )(pF turi savybes:

1 ) yra sveikoji ir taisyklinga pusplokštumėje 0)Re( sp ;

2 ) egzistuoja kontūrų seka iš didelio spindulio apskritimų lankų nn RpC ||: ,

...21 RR , nR , kur funkcija )(pF tolygiai artėja prie nulio )arg( p atžvilgiu;

3 ) bet kokiam 0sa integralas

i

i

)d(

a

a

ppF absoliučiai konverguoja.

Tada atvaizdžio )(pF pirmvaizdis yra

n

npp

pt

p

epFttf

)(res)()( . (2)

216

Teorema 2. Jeigu atvaizdžio funkcija )(pF taisyklinga be galo nutolusio taško aplinkoje

ir šioje aplinkoje jos Lorano eilutė turi pavidalą

1

)(n

nn

p

cpF , (3)

tai pirmvaizdis turi pavidalą

1

11 )!1()(

n

n

n

nnn t

n

ct

p

c . (4)

Pavyzdys 1. Suraskite atvaizdžio

pppF

n

1exp

1)(

1 pirmvaizdį.

Sprendimas. Išskleidę eksponentę Teiloro eilute turime

01!

)1()(

kkn

k

pkpF .

01!

)1()(

kkn

k

pkpF . (1.1)

Pagal teoremą 2 pirmvaizdis

)()!(!

)1()(

1exp

1

01

tfknk

tt

pp k

knk

n

(1.2)

Paskutinėje sumoje padarę keitinį

2

2

tt ir prisiminę Beselio funkcijos išraišką gauname

patogesnę formulę

)2()(1

exp1

21

tJttpp

n

n

n

. (1.3)

Teorema 3. Tegul 0)(lim

pFp

, kai ap )Re( , čia a - realus teigiamas skaičius, ir

funkcija )(pF neturi baigtinėje srityje ap )Re( kitų ypatingų taškų, išskyrus

koordinačių pradžios tašką 0p , kur funkcija )(pF turi baigtinės eilės (algebrinį)

šakojimosi tašką. Tuomet, jeigu )(pF gali būti užrašyta apibendrintos laipsninės

eilutės pavidalu

0

)(k

kk pcppF , (7)

tai funkcijos )(pF pirmvaizdis yra eilutė

217

k

k

k

tk

c

ttpF

1

)(

1)()(

01

, (8)

iš kurios pašalinti nariai nk , čia n sveikas teigiamas skaičius.

Taikant Laplaso integralinę transformaciją neretai susiduriame su atvaizdžių

)()( pGppF , )()(2 pGpFp , ... pirmvaizdžio radimo uždaviniu. Atsižvelgiant į (12)

ankstesnio paragrafo formulę

)0()0()()()()0()0()()()( ggpGppFpGffpFppGpFp . (9)

Panaudojant vieną arba kitą reiškinio (9) pavidalą, pirmvaizdį galime užrašyti formule

t

t

tfgtfgpGpFp

tgftgfpGpFp

0

0

d)()()()0()()(

,d)()()()0()()(

(10)

Tokiu pat būdu

).0()0()()0()0()()0()()0()0()(

)()0()0()0()()0()()0()0()(

)()0()0()0()0()(

)0()0()()0()0()()()(

2

2

2

2

gfpGfgpGpfpGfpfpFp

pGfggpGpfpGfpfpFp

pGfpffpfpFp

ggpGpffpFppGpFp

(11)

Matome, kad reiškinio )()(2 pGpFp pirmvaizdis gali būti užrašytas įvairiais pavidalais

).()0()0()()0()()0(d)()()()(

),()0()0()()0()()0(d)()()()(

0

2

0

2

tgftgftgftgfpGpFp

tgftfgtgftgfpGpFp

t

t

(12)

Akivaizdu, kad formulėse (10) ir (12) pirmvaizdžiuose galima sukeisti funkcijas g ir f

vietomis. Formulės (10) ir (12) vadinamos Diuamelio formulėmis. Jos svarbios tuo, jog

parodo, kaip tikslinga pertvarkyti atvaizdžio išraiškas, kad būtų galima lengviau surasti

pirmvaizdžius.

218

32. Apibendrintoji daugybos teorema

Tegul žinomas funkcijos )(tf Laplaso atvaizdis )()( pFtf ir analizinės Laplaso

parametro p funkcijos )(pG ir )( pq tokios, kad

).;())(exp()( tgpqpG (1)

Tada Laplaso atvaizdžio )())(( pGpqF pirmavaizdis yra

.d);()()())((

0

tgfpGpqF (2)

Kad įsitikintume (2) formulės teisingumu padarome pirmavaizdžio funkcijai iš (2) sąryšio

Laplaso transformaciją

).())((d)(exp()()())(exp()(d)(

d)exp();(d)(d);()(d)exp(d);()(

00

00000

pGpqFpqfpGpqpGf

tpttgftgftpttgf

(2) formulė labai praverčia, kai reikia surasti sudėtingos funkcijos pirmavaizdį, nes leidžia

sudėtingą uždavinį suskaidyti į du paprastesnius: 1) surasti pirmavaizdį funkcijos )(pF ,

neieškant pirmavaizdžio funkcijos ))(( pqF , kas dažniausiai būna itin sudėtinga; 2) surasti

pirmavaizdį funkcijos ))(exp()( pqpG .

Daliniu atveju, kai )()( tgpG ir ppq )( , sąryšis (1) atrodo taip:

).()exp()( tgppG

Atsižvelgę į tai ir, turėdami galvoje, kad visi Laplaso pirmavaizdžiai visada turi daugiklį

Hevisaido funkciją, (2) sąryšis virsta įprasta formule, pagal kurią apskaičiuojamas Laplaso

atvaizdžių sandaugos pirmvaizdis

.d)()()()(

0

t

tgfpGpF

Taikant Laplaso transformacijas dažnai tenka ieškoti atvaizdžių, kurių pavidalas yra )( pW

, pirmvaizdžių. Tokio uždavinio sprendimą dažnai palengvina Efroso formulė

,d4

exp)(1)(

0

2

tf

tp

pF (3)

219

čia )()( pFtf . Šiuo atveju p

pG1

)( , ppq )( . Kad galėtume pritaikyti (2) formulę

reikia surasti pirmavaizdį Laplaso atvaizdžio )exp(1

pp

. Pagal apibrėžimą

).exp(1

i2

1);(

i

i

ptpp

tg

(4)

Integravimo kontūrą integralui (4) uždarome kompleksinio kintamojo plokštumoje p , kurią

perpjauname išilgai išilgai p realios dalies neigiamos pusašės, kaip tai parodyta 1 pav.

1 pav. Integravimo kontūras integralui (4)

Integralai didelio spindulio apskritimo lanku RC duoda nulį viršutine ir apatine dalimi, kai

R , nes pointegralinėje funkcijoje pasirodo daugiklis )cosexp( tR . Integralas kontūro

dalimi C yra proporcingas ir kai 0 riboje duoda nulį. Kontūriniame integrale (4)

lieka tik ieškomasis integralas ir integralai pjūvio krantais. Kadangi kontūro viduje ypatingų

taškų pointegralinė funkcija neturi

.0d)exp(1

i2

1

d)exp(1

i2

1);(

iii

0i

iii0

i

retrerere

retrerere

tg

(5)

p

p=+iy

p=re-i

p=rei

CR

C

220

Atlikę veiksmus turime

0

d)cos(

)exp(1

);( rr

rrttg

. (6)

Integralas (6) realus. Pakeitę integravimo kintamąjį 2r gauname

0

2 d)cos()exp(2

);(

ttg . (7)

Integralui (7) apskaičiuoti panaudojame kompleksinį integralą

C

ztzI d)exp( 2 , (8)

kurį integruojame kontūru C , pavaizduotu 2 pav.

2 pav. Integravimo kontūras integralui (8)

Kai R integralai kontūro segmentais, lygiagrečiais menamai ašiai, duoda nulinį indėlį.

Iš likusių integralų gauname sąryšį

0d2

iexpd2

iexp

dexpdexp

i

0

2i

0 2

0

20

ii22

ret

retrt

rt

rtrreetr

, (9)

Sutvarkę šį reiškinį gauname:

rrtrt

rtr d)cos()exp(4

exp2dexp

0

22

2

.

Išsprendę integralo (7) atžvilgiu turime

x

iy

z=R+iyz=-R+iy

z=rei

z

z=rei+i /2t

z=r

z=r+i /2t

221

rtrt

rrtr dexp4

exp2

1d)cos()exp( 2

2

0

2

. (10)

Integralą dešinėje lygybės (10) pusėje apskaičiuojame pasinaudodami formule

dexp 2 . (11)

Dabar (10) formulę galima užrašyti taip:

ttrrtr

4exp

2

1d)cos()exp(

2

0

2 . (12)

Ieškomas pirmvaizdis

tttg

4exp

1);(

2

. (13)

Matome, kad Efroso formulė (3) galioja.

Galima pastebėti, kad naudojantis (12) formule galime surasti funkcijos

0),exp( 2 aax integralinį Furje atvaizdį

.0,4

exp2

1d)exp(

2

1 2i2

aa

k

axeax kx

Pavyzdys 1. Suraskite Laplaso pirmvaizdį funkcijos 0),exp(1

)( apap

pW .

Sprendimas. Funkciją )( pW perrašome pavidalu, tinkamu taikyti Efroso formulę

p

pa

ppW

)exp(1)(

. (1.1)

Pagal Laplaso transformacijos savybes

)()exp(

atp

ap

. (1.2)

Pagal (3) formulę

,d4

exp)(1

)(

0

2

ta

ttw (1.3)

Pakeitę integravimo kintamąjį

t2

gauname

222

,dexp2

)(

2

2

t

a

tw (1.4)

Integralas (1.4) formulėje neišreiškiamas elementariomis funkcijomis. Panaudojant

žymėjimą

)(erfdexp2

0

2 x

x

(1.5)

ir akivaizdų sąryšį

1)(erf (1.6)

rezultatą galima užrašyti taip:

t

atw

2erf1)( (1.7)

Pavyzdys 2. Suraskite Laplaso pirmvaizdį funkcijos pp

pW

1

)( .

Sprendimas. Funkciją )( pW perrašome pavidalu, tinkamu taikyti Efroso formulę

11

)(

pp

pW (2.1)

Kadangi

tep

1

1, (2.2)

pagal (3) formulę surandame pirmvaizdį pavidalu realaus kintamojo integralo

d4

exp)exp(1

)(

0

2

tttw . (2.3)

Išskyrę pointegralinės funkcijos eksponentėje pilną kvadratą, pirmvaizdį (2.3) išreiškiame

žinomomis funkcijomis

)(erf1)( tetw t . (2.4)

33. Beselio funkcijos Laplaso atvaizdis

Beselio funkcijos Laplaso atvaizdžio ieškosime spręsdami operaciniu metodu Beselio

lygtį

223

0)( 222 ytytyt (1)

Tegul funkcijos )(ty Laplaso atvaizdis yra

)()( pYty . (2)

Atvaizdį čia žymime didžiąja raide. Vietose, kur neatsiranda dviprasmybių, argumentus

žymėjimuose, kaip paprastai, praleisime. Panaudodami Laplaso atvaizdžio savybes

)(d

d)( pY

ptyt

nn

, (3)

)0()()( yppYty , (4)

),0()0()()( 2 ypypYpty (5)

padarome Laplaso integralinę transformaciją (1) lygčiai. Atskiriems dėmenims gauname:

)()(d

d)(2 pYpY

ptyt

n

, (6)

)()()0()(d

d)( pYppYyppY

ptyt

, (7)

)(2)(4)()0()0()(d

d)( 22

22 pYpYppYpypypYp

ptyt

. (8)

Sąryšius (2), (6)-(8) įrašę į (1) lygtį gauname lygties (1) Laplaso atvaizdį

0)()1()(3)()1( 22 pYpYppYp . (9)

Kol kas lygtis nesupaprastėjo. Pakeičiame lygties kintamąjį

)(sh qp . (10)

Perskaičiuojame išvestines:

q

Y

qq

Y

q

pq

q

p

Y

p

Y

d

d

)(ch

1

d

d

d

d

1

d

d

d

d

d

d , (11)

).()(ch

1)(

)(ch

)(sh

d

d

)(ch

1

d

d

)(ch

1

d

)(d

d

d

1

d

d

d

)(d

d

d

23

2

2

qYq

qYq

q

q

Y

qqqq

pY

q

pq

q

p

pY

p

Y

(12)

Įrašę išraiškas (11)-(12) į lygtį (9) gauname lygtį

0)()1()()(ch

)(sh2

d

)(d 2

2

2

qYqYq

q

q

qY (13)

224

Jau žinome, kad tiesinėje lygtyje galima panaikinti narį su pirma išvestine. Kaip nesunku

pastebėti toks keitinys yra

0)()(ch

1)( qQ

qqY . (14)

Įstatę išraišką (14) į lygtį (13) ir atlikę veiksmus gauname lygtį su pastoviais koeficientais

0)()( 2 qQqQ . (15)

Šios lygties sprendiniai

)exp()(),exp()( 21 qqQqqQ . (16)

Paėmę pirmąjį sprendinį grįžtame prie kintamojo p .

.

1

1

1

1

)(sh)(ch)(ch

1)exp(

)(ch

1)(

)(ch

1)(

22

11

ppp

qqq

qq

qQq

pY

(17)

Iš antrojo sprendinio )(2 qQ tokiu pat būdu gauname

.

1

1

1

1

1

1

11

1

)(sh)(ch)(ch

1)exp(

)(ch

1)(

)(ch

1)(

22

2

2

2

2

22

ppppp

pp

ppp

qqq

qq

qQq

pY

(18)

Rezultatas skiriasi. Su kuriuo Beselio lygties (1) sprendinio atvaizdžiu dirbti? Skaičiuodami

pirmvaizdį į kairę nuo kontūro ( ))Re( p turime turėti visus atvaizdžio ypatingus taškus.

Kai p auga, reiškinys pp 12 neaprėžtai didėja. Dėl to atvaizdžio (17) pirmvaizdis

koordinačių pradžioje yra reguliari funkcija, o pats atvaizdis, kai p artėja į nulį.

Atvaizdis (18), kai p , turi ypatingą tašką ir tuo pačiu jo pirmvaizdis nėra reguliarus

koordinačių pradžioje. Dėl to Beselio funkcijos atvaizdžiu gali būti tik )(1 pY , tai yra, Beselio

funkcijos Laplaso atvaizdis

.

1

1

1

1)(

22

ppptJ (19)

Pagal pirmvaizdžio radimo formulę

225

.

11

d

i2

1)(

22

i

i

ppp

petJ

pt

(20)

Integrale (20) keičiame kintamąjį

ppw 12 . (21)

Iš čia

wwp

1

2

1. (22)

Reiškinio (21) diferencialas

pp

wp

p

ppp

p

pw d

1d

1

1d1

1d

22

2

2

. (23)

Gavome, kad

1

dd

2

p

p

w

w. (24)

Atvaizdis (21) tiesę 0)Re( p plokštumoje kompleksinio kintamojo w atvaizduoja į

kontūrą C , lygiagretų menamai ašiai su 0)Re( w , kuris tik 0)Im( w aplinkoje virsta į

teigiamą )Re(w pusę išgaubtu apskritimo lanku. Beselio funkcijos integralinį atvaizdį galima

užrašyti taip:

.d

i2

1)(

1

1

2

w

wetJ

ww

t

C

(25)

Kai ,...2,1,0 taškas 0w yra nebe šakojimosi taškas, o parastas polius, todėl patogumo

dėlei integravimo kontūrą galime sutraukti į vienetinio spindulio apskritimą ir apskaičiuoti

integralą:

1

22

1||1

1

2

1||

dd

i2

1d

i2

1n

w

ttw

wn

ww

t

ww

weew

w

weI

j

j

j

jmm

mn

wwj

t

m

wt

w

w

!

1

2)1(

!2

d

i2

1

001

1||

.d

i2

1

2!!

)1(1

1||0,

n

jm

w

jm

jm

j

w

wwt

jm

226

Reziduumą turime, kai

11 njm . (26)

Atsižvelgę į tai gauname integralo vertę

)(2!)!(

)1(2

0

tJt

jnjI n

nj

j

j

. (27)

Taip įsitikinome, kad (19) formule tikrai yra nusakomas Beselio funkcijos Laplaso atvaizdis.

227

Uždaviniai

1 Išskleiskite Lorano eilute funkciją

2

12)(

2

zz

zzf


z

zzzf

1cos)( 2


)cos()( zezf z

4 Nustatykite funkcijos )(zf ypatumas ir

apskaičiuokite reziduumus

)exp()( zzf

5 Nustatykite funkcijos )(zf ypatumas ir

apskaičiuokite reziduumus

z

zzf

1)(

6 Apskaičiuokite funkcijos )(zf reziduumus

)(ctg)( zzf


)sin(

1)(

zzf


)(tg)( zzf

9 Raskite reziduumus funkcijos

n

n

z

zzf

)1()(

2

10 Apskaičiuokite integralą

zz

I

z

d1

sini2

1

1||


zz

I

z

d1

sini2

1 2

1||


....,2,1,0,d2

expi2

1

1||

nzz

zI n

z

n


zz

zI

z

d)1(

)2exp(

i2

13

1|1|


zzz

zI

z

d)9(

)exp(

i2

122

1||


zzz

zI

z

d)2)(1(i2

12

2

1|2|


zz

I

xyx

d1

1

i2

14

222


zz

zI

z

d12i2

14

3

1||


zzz

zI

z

d)sin())cos(1(i2

1

5||


22 )134(

d

xx

xxI


1

d)1(4

2

0

x

xxI


0,0,))((

d2222

0

babxax

xI


2

1

1

11

2

3||

1d zzz

z

eeezzzI

228


d

)cos(

022

a

xI


xx

axI d

)sin(

0


xx

axI d

)(sin2

2

0


0,0,d)sin(

220

axx

axxI


0,0,d)(

)sin(22

0

axxx

axI


0,0,d)cos()cos(

20

baxx

bxaxI


0,d))cos((

12

2

0

baxxba

I


d))sin(cos( )cos(2

0

enI


)2sin()cos(3

d2

0xx

xI


0)Im(,)ditg(

0

axaxI


.10,d)(sh

)sin(

0

axx

axI


axx

axI ,d

)(ch

)(ch

0


,...3,2,1

d

0

p-x

xI

pp


10,d)exp(1

)(exp

axx

axI


10,d1

1

0

axx

xI

a


40,d)1( 22

1

0

axx

xI

a


,...2,1,1

d2

0

nx

xI

nn


0

2 d)cos( xxI


0

2 d)sin( xxI


1,d)cos(

0

pxxI pc


1,d)sin(

0

pxxI ps


0,d)cos()exp( 2

0

axxaxI


10,0,d)cos(1

0

paxaxxI p


10,0,d)sin(1

0

paxaxxI p

47 Apskaičiuokite integralą 48 Apskaičiuokite integralą

229

0)Im(,d)ln(22

0

axax

xI 0)Im(,0)Im(,d

)(

)ln(22

0

baxbax

xI


0)Im(,d)(ln22

2

0

axax

xI


0)Im(,d)(

)ln(222

0

axax

xI


0)Im(,d)(

)(ln222

2

0

axax

xI


x

xI

0

d)cos()exp(


x

xI

0

2 d)3cos()(


0,d)cos()sin(

0

xx

I


d)sin(sin

0

yx

I

56 Funkcijos )(xf integralinis Furje atvaizdis

yra )(kf . Raskite integralinį Furje atvaizdį

funkcijos )( axf .

57 Funkcijos )(xf integralinis Furje atvaizdis

yra )(kf . Raskite integralinį Furje atvaizdį

funkcijos )(axf .

58 Raskite integralinį Furje atvaizdį funkcijos

ax

axxf

||,0

,||,1)(


0|),|exp()( axaxxf


1||,0

,1|||,|1)(

x

xxxf


0,)(22

axa

axf


0),exp()( 2 aaxxf

63 Raskite integralinį Laplaso atvaizdį

funkcijos

0),exp()( aatttf

64 Raskite integralinį Laplaso atvaizdį funkcijos

)3cos()( 2 tttf


funkcijos

ttf

1)(

66 Raskite integralinį Laplaso atvaizdį funkcijos

0,0,)(

)()(0

aTanTt

nTtHtfn


funkcijos

t

t

0

d)sin(

)(si

68 Raskite Laplaso pirmvaizdį funkcijos

.)1(

1)(

22

pppf


.)9)(4(

)(22

2

pp

ppf


.0,0,)(sh

)(sh)( ba

bpp

appf


ppf

1)(


230

22

1)(

ppf

73 Pritaikę Laplaso transformaciją raskite

sprendinį diferencialinių lygčių sistemos

.1)0(,1)0(

,0)(5)(2d

d

,0)()(7d

d

zy

tztyt

z

tztyt

y



.0)0(,0)0(

),exp()()(d

d

),()(3d

d

zy

ttztyt

z

tytzt

y



.0)0(,0)0(

),sin()(2)(d

d

),cos()(4)(2d

d

zy

ttztyt

z

ttztyt

y



.)0(,)0(,)0(

533d

d

,22d

d

,22d

d

000 zzyyxx

zyxt

z

zyxt

y

zyxt

x

77 Išspręskite diferencialinę lygtį

.)0(,)0(

),sin(2

00

20

xxxx

taxxx

78 Išspręskite integralinę lygtį

x

uxx

0

d)()cos()(sh


x

uxx

0

2 d)()sin()(sin


.0,d)()(ch

0

nuxx

xn


.0)0(,d)())(exp()(

0

fuxxf

x


x

uxxx

0

224 d)(76


x

uxxxu

0

d)())(exp()3cos()(


x

uxxxu

0

d)())(3(sh3

8)2sin()(


x

uxxxu

0

d)())(4(sh4

7)5cos()(


)exp(d)(4

exp1

0

2

ttutt


)(shd)(4

exp1

0

2

tutt

88 Išspręskite integrodiferencialinę lygtį

x

yxxxyxy

0

d)()(cos)(4)()(


x

yyx

xxy

0

d)()())exp(4

)exp()(


xxx yee

xyxy

0

)(3 d)(3

)(2)(

231


x

yxxxyxy

0

d)()1()()(


x

yxxy

0

d)())(exp(2)(


x

yxxxyxy

0

d)()(2)sin(1)()(


.0)0(,0)0(

,d)()()sin(

)cos(2)(

0

yy

yyx

xxy

x

95 Išspręskite integralinių lygčių sistemą

).(d)()()(

,d)()(2sin2

1)()(

0

0

xguxxw

wxxfxu

x

x

96 Išspręskite integralinių lygčių sistemą

.d)()cos()()(

,d)()()(

0

0

x

x

uxxgxw

wxfxu

97 Išspręskite integrodiferencialinių lygčių

sistemą

.1)0(,0)0(

,0d)()exp(

)()()(

,0d)()1(

)(2)()(2

0

0

zy

yx

xyxzxy

zx

xzxyxy

x

x

98 Išspręskite integrodiferencialinių lygčių

sistemą

.0)0(,1)0(,1)0(

,d)(2

sin

)(72)(18

,0d)(3

cos5

)(36)(36

0

0

zzy

yx

xzxy

zx

xzxy

x

x


1||,sin1

d2

0

aa

I


.d)sin()sin(

02

yx

I


.1||,d)cos(21

)cos(2

aaa

mI


.0,)cos(i

d2

0

aba

I

103 Apskaičiuokite sumą

mb

a

nbaS

n

,)(

12


122

)1(

n

n

naS


122

1

n naS


12

)1(

n

n

nS

232


1

2

1

n nS

Sprendiniai

1

.2||,)2(11

)(

,2||1

,2

)1(2

111)(

,1||,12

)1()(

0

00

01

zzz

zf

z

z

zzzf

zzzf

kk

k

k

k

k

kk

k

kk

k

2 k

k

k

zkzzf

2

0

2

)!2(

)1()(

3

4cos

!

2)(

0

2 k

k

zzf

k

k

k

4 Esminė ypatuma taške z .

0)(1 c .

5 1)0(1 c , 1)(1 c 6 ,...2,1,0,1)(1 nnzc ,

)(1 zc neegzistuoja.

7 ,...2,1,0,)1()(1 nnzc n ,


8 ...,1,0,1)2

2(1 nnzc

,


9 )(

)!1()!1(

)!2()1()1( 1

1

1

cnn

nc

n

10 1I

11 0I 12

)!1(

2 1

nI

n

n

13

14

9

1I

15 1I 16

4

2I

17

2

1I

18 0I

19

27

I

20

2

I

21

)( baabI

22 i32I

23 |)|exp(

2xa

aI

24

2

I

25

2

aI

26 )exp(

2

aI

3

2eI

233

27

2exp

2sh

2

aaI

28 )( abI

29

2

3

22 )(

2

ba

aI

30

!

2

nI

31 I 32

.0,i-

,0,0

,0,i

a

a

a

I

33

2th

2

aI

34

2cos2

1

aI

35

ppI p

ctg

36

)sin(

aI

37 )(ctg aI 38

2sin4

)2(

a

aI

39

n

nIn

2sin

1

2

40

22

1 I

41

22

1 I

42

ppIc

2cos

11

43

ppI s

2sin

11

44

aaI

4exp

2

1 2

45

2cos

)( p

a

pI

p

46

2sin

)( p

a

pI

p

47 )ln(

2a

aI

48

a

bba

bI arctgln

1 22

49 )(ln

28

23

aaa

I

50

34

)1)(ln(

a

aI

51

3

2

33

3

4

)(ln

2

)ln(

16 a

a

a

a

aI

52 )exp(

2

1)sin(

2

1xxxI

53

)3sin(

3

1

9

2xxI

54

1,

2

1,0

x

x

I

55 )2(

21 xyJ

y

xI

56 )iexp()()( kakfaxf

57

a

kf

aaxf

1)(

58

k

akkf

)sin(2)(

234

59

222 )(

i22)(

ka

akkf

60

2

2

2sin

22)(

k

k

kf

61 |)|exp(

2)( kakf

62

a

k

akf

4exp

2

1)(

2

63 2)(

1)(

appf

64

32

3

)9(

542)(

p

pppf

65

ppf

)(

66

2sh

2sh

2

)(exp

)(Tp

ap

p

aTp

Hpf

67 p

ppppf arcctg

11arctg

1)(

68 tttf )(sh)(

69 )3sin(3)2sin(2

5

1)( tttf

70

b

tn

b

an

n

b

atf

n

n

cossin

)1(2

)(

1

71

)()(

1

ttf

72 )()( 0 tJtf

73

.)cos()sin()6exp()(

),cos()6exp()(

ttttz

ttty

74

.12

1

4

3

3

2)(

,4

1

4

3)(

22

22

ttt

ttt

eeetz

eeety

75

.2)sin(2)(

,44)cos(4)sin(3)(

tttz

tttty

76

)62(

)(3)(3

),(2

)5()(

),(2

)()5(

,4

1,

4

1

210

210210

210

210210

210

210210

321

z

yxz

z

yxy

z

yxx

ee tt

77

.4)(

)cos(2)sin()(

)sin()cos()(

222222

222

000

tt

ea

etxx

txtx

t

t

78 1)(ch2)( xxu

79 )(cos31)( 2 xxu 80 11

1

1)(

nn x

nnxxu

235

81 )()()( xfxfxu 82 4

5

)43(43

4)(

x

Cxxu

83 )3sin(

3

1)3cos()( xxxu

84 )(sh

5

16)2sin(

5

13)( xxxu

85 )5(cos

2

9)23cos(

2

7)( xxxu

86 )(

2)( 0 ttJtu

87 )cos(

2

1)(ch

2

1)( tttu

88

).3sin(34

1)3cos(

4

1

8)(23

8)(237)(

00

0000

0000

xyxy

eyyxyy

eyyxyyxy

x

x

89

xxx eeey

xyxy

xy

220

00

4

1

12

1

3

1)41(

)2(ch)2(sh2

)(

90 xx exeyy )1(43 20

91

)cos()sin()exp(2

1

)exp()(

0

0

xxxy

xyxy

92

.))sin()cos(2(25

))sin(3)(cos(25

)(

0

0

xx

xx

exxey

exxey

xy

93

.)sin(3)cos(10

1

)sin(5)cos(5

1

10

))sin(2)cos(4(5

)( 0

xx

exxe

exxey

xy

xx

xx

94 ).sin()( xxxy

95

.d)cos()()sin(3)(2

1

d)cos()()sin(

)(2

1)()(

,d)cos()()sin()(2

1

d)cos()()sin(

)(2

1)()(

0

0

0

0

xxxf

xxx

gxgxw

xxxg

xxx

fxfxu

x

x

x

x

96

.d)(d)()()()(

,d)()(d)()(2

1

d)()()(

00

00

2

0

xx

xx

x

fgxxgxw

fxgx

gxfxu

236

97

).exp()(

,)(

xxz

xxy

98

.2

1cos)(

,3

1cos)(

xxz

xxy

99

21

2

aI

100

.,2

,,2

xyx

yxyI

101

1||,)1(

2

,1||,1

2

2

2

aaa

aa

a

I

m

m

102

.0,2

,0,2

22

22

aba

aba

I

103

b

ab

S

22

2

sin

104

)(sh22

12 aaa

S

105 )(cth

22

12

aaa

S

106

12

2S

107

6

2S

237

VII skyrius. Fizikinių vyksmų lygtys

34. Stygos svyravimų lygtis

Pagal paprasčiausią fizikinį modelį styga yra nepaisytinai mažo skerspjūvio ploto

tamprus siūlas, turintis pastovų linijinį tankį ir nesipriešinantis lenkimui. Remdamiesi tokiu

stygos modeliu užrašysime lygtį, aprašančią mažai atlenktos iš pusiausvyros padėties stygos

formos kitimą, tai yra, aprašančią stygos elementų padėties kitimą laikui bėgant. Tegul styga

yra ištempta tarp vienoje horizontalėje esančių taškų. Ašį x nukreipiame išilgai stygos, o

stygos įtvirtinimo (nejudamus) taškus fiksuojame. Viename pasirenkame atskaitos sistemos

pradžią 0x , o kitą taške Lx . Nesutrikdytos stygos ilgis yra L . Paprastumo dėlei imame,

kad styga juda vienoje plokštumoje. Stygos linijinį tankį pažymime , o atsilenkimą u . Kai

styga sutrikdyta, atsilenkimas priklausys nuo taško padėties ir laiko, todėl atsilenkimas bus

koordinatės x ir laiko t funkcija ),( txuu . Aišku, į šią išraišką kaip parametrai įeis ir stygos

fizikinės charakteristikos.

Kol kas kiekybiškai su stygos charakteristikomis nesusiejome teiginio, kad styga „mažai

atlenkta iš pusiausvyros padėties“. Tai padarysime matematiškai aprašydami reiškinį. Galima

pastebėti, kad situacija, kai ne visos reiškinio charakteristikos yra griežtai nusakytos, yra

įprasta pradiniame matematinio modelio kūrimo etape. Konkretų, griežtai apibrėžtą turinį

sąvokos įgyja tiktai sukurto modelio kontekste.

Paskaičiuokime, kaip pasikeičia stygos ilgis tarp taškų 1xx ir 2xx ją sutrikdžius

Nesutrikdytos stygos ilgis 12 xxs . Sutrikdytos stygos ilgis

.d...2

11d1

2

1

2

1

22

xx

ux

x

us

x

x

x

x

Matome, kad pirmos eilės mažų dydžių x

u

tikslumu

sxxs 12 . (1)

Patiksliname: styga mažai atlenkta nuo pusiausvyros padėties 0u , kai 1

x

u. Stygos

dalį ],[ 21 xxx , kaip parodyta pav.1, dėl stygos įtempimo veikia x ašiai lygiagreti jėgų

atstojamoji

238

))(cos()())(cos()( 2211 xxTxxTFx

Pareikalaujame, kad pirmos eilės mažų dydžių tikslumu ši jėgos dedamoji būtų lygi nuliui,

tai yra, stygos elementai nejudėtų ašies x atžvilgiu. Tada

)()( 21 xTxT

ir stygos įtempimas turi nepriklausyti nuo koordinatės x , tai yra,

0)( TconstxT (2)

Dėl įtempimo atsirandančių jėgų atstojamosios projekcija į ašį u

))(sin())(sin( 210 xxTFu (3)

1 pav. Stygos modelis

Išreiškę kampo, kurį stygos liestinė sudaro su ašimi x , sinusą per tangentą turime

x

u

x

u

x

u

x

xx

22

1))((tg1

))((tg))(sin(

(4)

Dabar (3) formulę galime užrašyti taip:

2

112

d2

2

00

x

xxxxxu x

x

uT

x

u

x

uTF (5)

Stygos elementui intervale ],[ 21 xxx užrašome antrąjį Niutono dėsnį ir turime

2

1

2

1

d),(d2

2 x

x

uu

x

x

xtxfFxt

u (6)

čia ),( txfu yra stygos elementą veikiančių išorinių jėgų u dedamosios tankis, -stygos

linijinis tankis, mkg][ . Kadangi mes naudojome reikalavimą, kad stygos taškai nejuda

1

+1

2

x=LO

x

u

T(x1)

T(x2)

M2

M1

x2x

1

239

ašies x atžvilgiu, tai išorinės jėgos negali turėti x dedamosios. Įrašę čia išraišką (5) turime

lygtį

2

1

2

1

2

1

d),(dd2

2

02

2 x

x

u

x

x

x

x

xtxfxx

uTx

t

u (7)

Kadangi sąryšis (7) turi galioti bet kokiems 1x ir 2x , tai funkcija ),( txu turi tenkinti lygtį

),(2

2

02

2

txfx

uT

t

uu

(8)

Lygtis (8) vadinama stygos dinamikos lygtimi arba tiesiog stygos lygtimi.

Netgi tokį elementarų stygos modelį galima tikslinti, išreikštu pavidalu išskiriant stygą

veikiančių jėgų tankio konkrečius sandus. Pavyzdžiui, jeigu styga juda terpėje, kurios

pasipriešinimo jėga proporcinga stygos elemento greičiui, tai jėgos tankį galima nusakyti

formule

),( txpt

ukfu

(9)

čia ),( txp - kitų jėgų tankis. Santykis 0T turi greičio kvadrato dimensiją

20 cT

(10)

Greitis c rodo signalo sklidimo išilgai stygos greitį. Stygos lygties sprendinys vienintelis,

jeigu žinome pradines sąlygas

)(

),(

00

00

xvt

u

xuu

t

t

(11)

ir kraštines sąlygas, kurios mūsų atveju yra

0

,00

Lx

x

u

u (12)

Būtina, kad kraštinės ir pradinės sąlygos būtų neprieštaringos, nes bendresniu atveju sąryšių

(12) dešinėje pusėje gali būti užduotos laiko funkcijos.

240

35. Šilumos sklidimo lygtis

Tegul terpės temperatūros laukas ),,,( tzyxTT . Išskiriame tūrio V sritį. Tūrio V

srities paviršių pažymime S , išorinę normalę n

. Pagal Fiko dėsnį šilumos kiekis, praėjęs per

laiko tarpą t per paviršiaus S mažą segmentą S bus

.))(,,( StTnzyxkq

(1)

Čia

Tzyxk ),,(

(2)

yra šilumos srautas. Priimsime, kad šilumos laidumo koeficientas gali tiesiogiai priklausyti

tik nuo koordinačių ir yra jų diferencijuojama funkcija ),,( zyxkk . Laikysime, kad

paviršius S yra glodus. Užrašysime šilumos balanso lygtį išskirtai sričiai.

Imame bet kokius du artimus laiko momentus 1t ir 2t , 21 tt . Dėl šilumos laidumo į tūrį

V pertekės šilumos kiekis

.d)(),,(d2

1

1 nSTzyxktQ

S

t

t

(3)

Jeigu išskirtame terpės tūryje yra šilumos šaltinių, tai jų išskirtas šilumos kiekis

,d),,,(d2

1

2 VtzyxftQ

V

t

t

(4)

čia ),,,( tzyxf šilumos šaltinių tankis. Kadangi mūsų tikslas yra rasti reiškinį aprašančią

diferencialinę lygtį, tai nemažindami bendrumo galime priimti, kad terpės tankis ir savitoji

šiluma c yra pastovūs dydžiai. Tuomet šilumos kiekio tūryje V pokytį galima užrašyti tap:

.d),,,(),,,( 123 VtzyxTtzyxTcQ

V

(5)

Kadangi laiko momentai 1t ir 2t yra artimi, (5) sąryšį galima perrašyti pavidalu

.dddd2

1

2

1

3 Vt

Ttct

t

TVcQ

V

t

tV

t

t

(6)

Reiškinį (3) pertvarkome pasinaudodami formule

.dd,d)(d

VS

SnSVFSF

(7)

Reiškinyje (3) integruojama terpės tūrio V paviršiumi ir tas paviršius, akivaizdu, yra uždaras.

Tad (3) formulę taip pat galima užrašyti naudojant tūrinį integralą

241

.d)grad(divdd))((d2

1

2

1

1 VTktVTktQ

V

t

tV

t

t

(8)

Šilumos balanso lygtis

.213 QQQ (9)

Įrašę čia šilumos kiekių integralines išraiškas gauname

.0)grad(divdd2

1

t

TcfTkVt

V

t

t

(10)

Kad sąryšis (10) galiotų bet kokiems artimiems laiko momentams 1t , 2t ir išskirtam terpės

tūriui V turi būti lygi nuliui pointegralinė funkcija

).,()grad(div trfTkt

Tc

(11)

Gavome šilumos sklidimo lygtį. Pradine sąlyga gali būti tik temperatūros pasiskirstymas

pradiniu laiko momentu

,),(),( 00VrrTtrT

t

(12)

čia 0T - žinoma funkcija, kuri turi būti užduodama formuluojant uždavinį. Kraštinės sąlygos

bendru atveju plaukia iš fizikinio modelio: temperatūros skirtingose paviršiaus S pusėse turi

būti lygios, o šilumos srauto normalinė dedamoji tokia pat abiejose paviršiaus pusėse.

Pažymėję parametrus indeksu, nurodančiu kuriai paviršiaus pusei priklauso parametrai,

galime rašyti

,),(),( 21 SrSrtrTtrT

(13)

.),(),( 2211 SrSrtrTnktrTnk

(14)

Matome, kad bendru atveju nagrinėjant šilumos sklidimo srityje V uždavinį negalima

atsiriboti nuo aplinkos. Tai yra didelis kliuvinys. Kai kada fizikinis modelis leidžia atsiriboti

nuo šilumos sklidimo aplinkoje nagrinėjimo. Taip elgtis galima tada, kai vienos iš terpių, pvz.

2, temperatūra žinoma ir nepriklauso nuo temperatūros terpėje 1. Tada (13) sąlygos dešinėje

pusėje būtų užduota funkcija ),(0,22 trTT

. Dažnai taikomas supaprastinimas yra Niutono

vėsimo dėsnis pagal kurį iš kūno paviršiaus ploto vieneto į aplinką ištekantis šilumos kiekis

yra proporcingas temperatūrų skirtumui

),(),( 0,2111 TThtrTnkSr

(15)

čia h - empirinis koeficientas.

242

Fizikiniu požiūriu taip pat vyksta ir vienos rūšies dalelių difuzija, kai dalelių skaičius

didelis. Tada operuojant dalelių koncentracija n dalelių srautą q

galime aprašyti analogiška

(2) formule

,),,( nzyxq

(12)

čia - difuzijos koeficientas, galintis priklausyti nuo koordinačių. Vadovaudamiesi tokiais

pat samprotavimais galime užrašyti difuzijos lygtį vienos rūšies dalelėms

).,()grad(div trgnt

n

(13)

Čia ),( trg

yra dalelių atsiradimo tankis, parodantis kiek pakinta dalelių skaičius per laiko

vienetą terpės tūrio vienete dėl dalelių šaltinių veiklos.

36. Furje metodo bendroji schema

Tegul turime diferencialinę lygtį

2

2

)()())((t

uxuxq

x

uxp

x

(1)

čia )(xp , )(xq ir )(x funkcijos, tolydžios intervale ],0[ lx ir tokios, kad

].,0[0)(,0)(,0)( lxxxqxp (1a)

Ieškosime lygties (1) sprendinio, tenkinančio kraštines

0),(

),(

,0),(

),(

22

0

11

lx

x

x

txutxu

x

txutxu

(2)

ir pradines

],0[),(

),(

),(),(

0

0

lxxFt

txu

xftxu

t

t

(3)

sąlygas. Priimame, kad kraštinės sąlygos yra prasmingos ir galioja sąryšis 022 jj ,

2,1j . Ieškome diferencialinės lygties (1) sprendinio, kurio pavidalas

).()(),( tTxXtxu (4)

Įstatę išraišką (4) į (1) lygtį gauname, jog kintamieji gali būti atskirti

243

.)(

d

)(d

)()(

)()()](d

d)([

d

d2

2

tTt

tT

xXx

xXxqxXx

xpx

(5)

Lygybė (5) gali galioti tik tuo atveju, kai reiškiniai kairėje ir dešinėje pusėje yra lygūs tai

pačiai konstantai. Tokiu būdu uždavinyje pasirodanti konstanta vadinama atskyrimo

konstanta. Pažymėjus ją , turime

,0)(d

)(d2

2

tTt

tT (6)

.0)()]()([)](d

d)([

d

d xXxqxxX

xxp

x (7)

Šiame etape parametrą traktuojame kaip konstantą, kuri bendru atveju gali būti ir

kompleksinis skaičius. Matematinių sunkumų tai nesukelia. Paprastai siekiama, kad atliekant

atskyrimo procedūrą gautos lygtys turėtų aprėžtus ir realius sprendinius. Tokiais sumetimais

ir priskiriamas ženklas atskyrimo konstantai.

Lygčių (6) ir (7) sprendiniai priklauso nuo atskyrimo konstantos. Jeigu nekreiptume

dėmesio į kraštines sąlygas, tai bendras sprendinys būtų superpozicija sprendinių su visomis

galimomis atskyrimo konstantos vertėmis

.d),(),(),( tTxXtxu (8)

Interpretuojant šią formulę sakoma, kad konkrečiai vertei sprendinių amplitudės (laisvos

konstantos) yra nykstamai mažos, o prasmę turi tik integralas (8).

Iš formulių (2) plaukia, kad tuo atveju, kai lygties (1) sprendinys gali būti užrašytas

pavidalu (4), už kraštinių sąlygų tenkinimą atsako tik funkcija )(xX . Įstatę (4) išraišką į

lygtis (2) gauname

.0),(

),(

,0),(

),(

22

0

11

lx

x

x

xXxX

x

xXxX

(9)

Kadangi (7) lygtis yra antros eilės paprastoji tiesinė diferencialinė lygtis, tai jos sprendinio

sandara

),,(),(),( 21 xCxCxX (10)

čia ir yra lygties (7) nepriklausomi sprendiniai. Iš reikalavimo, kad sistema (9) turėtų

netrivialų sprendinį konstantų 1C ir 2C atžvilgiu seka, kad sistemos (9) pagrindinis

determinantas turi būti lygus nuliui. Tai duoda algebrinę lygtį iš kurios randamos atskyrimo

244

konstantos vertės, kurioms egzistuoja pavidalo (10) netrivialus sprendinys. Parametro

vertės, kurioms egzistuoja sistemos (9) netrivialus sprendinys vadinamos uždavinio

tikrinėmis vertėmis, o uždavinio sprendiniai (10) pavidalo – uždavinio tikrinėmis

funkcijomis. Tikrinės vertės yra diskrečios, ir, kai patenkintos (1a) sąlygos, tikrinių verčių

seka yra begalinė ir aprėžta iš apačios. Tikrines vertes galima sunumeruoti

......321 n (11)

Tokiame kontekste (8) formulę galima rašyti taip

.),(),(),(1

n

nn tTxXtxu (12)

Šioje formulėje sprendinių amplitudės yra baigtinės, prasmę turi ir atskiri sumos sandai.

Patogumo dėlei toliau naudosime tokį tikrinių funkcijų žymėjimą

).(),(

),(),(

tTtT

xXxX

nn

nn

(13)

Čia indeksas rodo su kuria tikrine verte apskaičiuota funkcija.

Imkime dvi skirtingas tikrines vertes k ir n ( nk ). Funkcijos )(xXk ir )(xXn

tenkina lygtis

.0)()]()([)](d

d)([

d

d

,0)()]()([)](d

d)([

d

d

xXxqxxXx

xpx

xXxqxxXx

xpx

nnn

kkk

(14)

Padauginę pirmą (14) lygtį iš )(xXn , o kitą iš )(xXk ir paėmę gautų sąryšių skirtumą

gauname

.0)()()()(

)](d

d)([

d

d)()](

d

d)([

d

d)(

xXxXx

xXx

xpx

xXxXx

xpx

xX

nknk

nkkn

(15)

Šiame sąryšyje įkėlę )(xXn ir )(xXk po išvestinės ženklu turime

.)(d

d)()(

d

d)()(

d

d)()()()(

xX

xxXxX

xxXxp

xxXxXx nkknnkkn (16)

Suintegruojame (16) lygties abi puses x atžvilgiu nuo 0 iki l

.)(d

d)()(

d

d)()(d)()()()(

00

lx

x

nkkn

l

nkkn xXx

xXxXx

xXxpxxXxXx

(17)

Atsižvelgę į kraštines sąlygas (9) gauname

245

.0d)()()()(

0

xxXxXx

l

nkkn (18)

Kadangi nk ir nk , iš (18) sąryšio plaukia tikrinių funkcijų ortogonalumas. Kai nk

sąryšis (18) galioja bet kokiai integralo vertei. Tikrinės funkcijos )(xXk ,...3,2,1k

paprastai normuojamos taip

.1d)()()(

0

xxXxXx

l

kk (19)

Apibendrinant

kn

l

nk xxXxXx d)()()(

0

, (20)

čia kn yra Kronekerio simbolis

.,0

,,1

nk

nkkn

Reikėtų įsidėmėti, kad Kronekerio simbolis yra skaičius, nuo uždavinio parametrų ar

koordinačių jis nepriklauso. Sakome, kad funkcijos )(xXk ,...3,2,1k yra ortogonalios su

svoriu )(x . Padauginę pirmąją iš lygčių (14) iš )(xXk ir, suintegravę pagal x nuo 0 iki l

, išsprendžiame k atžvilgiu

.d)()()()](d

d)([

d

d

0

xxXxXxqxXx

xpx

k

l

kkk

(21)

Pirmą sandą vieną kartą suintegravę dalimis turime

.)(d

d)()(d)()()(

d

d)(

00

22 lx

xkk

l

kkk xXx

xXxpxxXxqxXx

xp

(22)

Kai galioja sąryšis

0)(d

d)()(

0

lx

xkk xX

xxXxp (23)

ir sąryšiai (1a), tada visos tikrinės vertės yra ne neigiamos ir surikiavimas (11) yra galimas.

Kaip tik tokius atvejus turime fizikoje dažniausiai sutinkamuose uždaviniuose. Kitas svarbus

dalykas yra tas, kad kraštinio uždavinio tikrinės funkcijos )(xXk ,...3,2,1k sudaro pilną

funkcijų sistemą, tai yra, neegzistuoja tapatingai nelygi nuliui funkcija tokia, kad jos

246

kvadratas būtų integruojamas ir kad ji būtų ortogonali visoms funkcijoms )(xXk

,...3,2,1k .

Lygties (6) sprendinys

).sin()cos()( tBtAtT kkkkk (24)

Čia kA ir kB yra laisvos konstantos. Tad suma (12) gali būti užrašyta taip

.)()sin()cos(),(1

k

kkkkk xXtBtAtxu (25)

Iš pradinių sąlygų (3) pirmo sąryšio gauname

.)()(1

k

kk xXAxf (26)

Pasinaudoję funkcijų )(xXk ,...3,2,1k ortogonalumo sąryšiu (20) gauname

.d)()()(

0

xxXxxfA k

l

k (27)

Tokiu pat būdu iš pradinių sąlygų (3) antro sąryšio surandame

.d)()()(1

0

xxXxxfB k

l

kk

(28)

Kadangi sistema (9) yra homogeninė ir jos pagrindinis determinantas lygus nuliui, tai reiškia,

kad sistemos (9) lygtys yra priklausomos. Tad pavidalo (10) sprendinį mes galim rašyti taip

),(),(),(1

21 x

C

CxCxX (29)

Iš konstantos 1C dauginamas visas sprendinio sandas. Skaičiavimo patogumui priimame, kad

11 C , o santykį SCC 12 apskaičiuojame kad ir iš pirmos sistemos (9) lygties

011

11

),(),(

),(),(

xx

xx

x

xx

S

(30)

Matome, kad koeficientas S priklauso nuo parametro vertės. Detalizuojant galima

apsiriboti tokiu tikrinių funkcijų )(xXk pavidalu

).,(),()( kkkk xSxxX (31)

O kas, jeigu lygties (1) negalima užrašyti pavidalu (5)? Tai reikštų, kad koordinačių

sistemoje, kurioje užrašyta lygtis (1), negalima atskirti kintamųjų ir pavidalo (4) sprendinys

247

neegzistuoja. Tektų arba ieškoti patogios sprendimui koordinačių sistemos arba taikyti

kitokius sprendimo metodus.

37. Begalinė styga

Tegul turime begalinę stygą. Jos įtempimas 0T ir linijinis tankis 0 nepriklauso nuo

koordinačių ir laiko ir yra žinomi. Patogumo dėlei pažymime 0

02

Tc . Spręsime stygos lygtį

2

2

2

2

2

),(),(1

x

txu

t

txu

c

(1)

esant pradinėms sąlygoms

)(),( 00xutxu

t

, (2)

)(),(

0

0

xvt

txu

t

. (3)

Padarome sąryšiams (1)-(3) integralinę Furje transformaciją koordinatės x atžvilgiu:

),,(d

),(d1 2

2

2

2tkuk

t

tku

c (4)

)(),( 00kutku

t

, (5)

)(d

),(d0

0

kvt

tku

t

. (6)

Čia k -Furje parametras, )(0 ku ir )(0 kv yra funkcijų )(0 xu ir )(0 xv Furje atvaizdžiai:

xkxxuku d)iexp()(2

1)( 00

, (7)

xkxxvkv d)iexp()(2

1)( 00

. (8)

Pradinį uždavinį transformavome į Košy uždavinį paprastajai diferencialinei lygčiai. Lygties

(4) sprendinys

)(cos)(sin),( kctBkctAtku (9)

čia A ir B yra integravimo konstantos, surandamos iš pradinių sąlygų (5)-(6). Iš sąlygos (5)

gauname

248

Bku )(0 , (10)

o iš sąlygos (6) gauname

kcAkv )(0 . (11)

Iš sąryšių (10) ir (11) integravimo konstantas surašę į sprendinį (9) turime

)(sin)(

)(cos)(),( 00 kct

ck

kvkctkutku (12)

Gavome uždavinio (1)-(3) sprendinio Furje atvaizdį. Ieškome Furje pirmvaizdžio (12)

lygybės dešinės pusės dėmenims atskirai. Pirmam dėmeniui

keeekukctkuF kxkctkct d2

1)(

2

1)(cos)(ˆ iii

001

.

Čia įstatę (7) formulę ir, naudodami Dirako -funkcijos integralinį atvaizdį, gauname

.)()(2

1d)()()(

2

1

dd)(4

1

d2

1d)iexp()(

2

1

2

1)(cos)(ˆ

000

)()(0

iii00

1

ctxuctxuctxctxu

keeu

keeekukctkuF

ctxikctxik

kxkctkct

(13)

Antram dėmeniui tokiu pat būdu gauname

.d)(2

1)dd)(d

4

1

ddd)(4

1

di

d)(4

1

dd)iexp()(2

11

2i2

1

di2

1)(

2

1)(sin

)(ˆ

0(i

0

ii0

)(i)(ii

0

iii0

iii001

vc

kevc

ekevc

kk

eeev

c

keeekvkc

keeek

kv

ckct

ck

kvF

ctx

ctx

kctx

ctx

kctx

ctx

k

ctxkctxkk

kxkctkct

kxkctkct

(14)

Uždavinio (1)-(3) sprendinys

.d)(2

1)()(

2

1),( 000 v

cctxuctxutxu

ctx

ctx

(15)

249

Gavome sprendinį, išreikštą per pradines sąlygas. Pradinės sąlygos negali prieštarauti

sąlygoms, kurias naudojant gauta reiškinio diferencialinė lygtis (1). Todėl funkcijos )(0 xu ir

)(0 xv turi būti absoliučiai integruojamos ir mažos. Mažumo reikalavimas kiekybiškai

apibrėžiamas tik konkretaus uždavinio kontekste.

38. Ideali baigtinė styga

Spręsime baigtinės stygos dinamikos uždavinį, kai stygos forma kinta vienoje

plokštumoje. Ašį x nukreipiame išilgai nesutrikdytos stygos. Stygos galai yra taškuose 0x

ir lx . Dinamikos lygtis

],0[,1

2

2

2

2

2lx

x

u

t

u

c

, (1)

čia 0

02

Tc . Pradinės sąlygos:

)(),( 00xutxu

t

, (2)

)(),(

00

xvt

txu

t

. (3)

Tirsime atvejį, kai stygos galai įtvirtinti ir nejuda

0),(0

xtxu , (4)

0),( lx

txu . (5)

Uždavinį išspręsime dviem būdais – taikydami kintamųjų atskyrimo metodą ir integralinę

Laplaso transformaciją.

1 būdas. Kintamųjų atskyrimą pradedame tuo, kad lygties (1) sprendinio ieškome

pavidalo

)()(),( 21 tuxutxu . (6)

Įrašę (6) sąryšį į (1) lygtį atskiriame kintamuosius

2

21

2

122

2

2

)(

)(

1)(

)(

12

x

xu

xut

tu

tuc. (7)

Lygčių funkcijoms )(1 xu ir )(2 tu sprendiniai

)cos()sin()( 111 xBxAxu , (8)

250

)cos()sin()( 222 ctBctAtu . (9)


d)cos()sin()cos()sin(),( 2211 ctBctAxBxAtxu

. (10)

Pagal kraštines sąlygas (4) ir(5)

0d)cos()sin( 221

ctBctAB . (11)

Lygybė (11) galioja bet kokiai t vertei, kai

01 B . (12)

Atsižvelgdami į tai iš sąlygos (6) gauname sąryšį

0d)cos()sin()sin( 221

ctBctAlA . (13)

Sprendinys (10) bus netrivialus ( 0),( txu ), jeigu 01 A . Kad bet kokiai t vertei galiotų

lygybė (13) turi būti

0)sin( l . (14)

Lygties (14) sprendiniai

,...2,1,0, nl

n . (15)

Kadangi atskyrimo konstantos gali įgyti tik diskrečias vertes, integralas (10) virsta suma

)cos()sin()sin(),(l

ctnB

l

ctnA

l

xntxu nn

n

. (16)

Sprendinį (16) pertvarkome:

)cos()sin()sin(),(1 l

ctnBB

l

ctnAA

l

xntxu nnnn

n

. (17)

Patogumo dėlei pažymėję nnn aAA , nnn bBB turime

)cos()sin()sin(),(1 l

ctnb

l

ctna

l

xntxu nn

n

. (18)

Taip surinkome to paties tipo funkcijas. Dėl to sumažėjo reikalingų apskaičiuoti koeficientų

rinkinys. Operacijos prasmė yra tame, kad surinkome tiesiškai priklausomas funkcijas ir prie

jų parašėme vieną amplitudę. Dabar iš pradinių sąlygų surandame koeficientus na ir nb .

Pagal pradinę sąlygą (2)

251

1

0 )sin()(n

nl

xnbxu

. (19)

Padauginę lygybę (19) iš

l

xmsin ir suintegravę pagal x nuo 0 iki l surandame

koeficientus nb

xl

xnxu

lb

l

n dsin)(2

0

0

. (20)

Pagal pradinę sąlygą (3)

1

0 )sin()(n

nl

xn

l

cnaxv

. (21)

Tokiu pat būdu surandame koeficientus na

.d)sin()(2

0

0 xl

xnxv

cna

l

n

(22)

Sąryšiai (18), (20) ir (22) leidžia apskaičiuoti bet kurio stygos taško padėtį bet kuriuo laiko

momentu ir yra dinamikos uždavinio (1)-(5) sprendinys.

2 būdas. Uždavinio sprendimui supaprastinti padarome sąryšių (1), (4)-(5) Laplaso

transformaciją laiko koordinatės t atžvilgiu.

],0[,d

d)()(),(

12

2

002

2lx

x

uxvxpupxup

c , (23)

0),(0

xpxu , (24)

0),( lx

pxu . (25)

Pradinės sąlygos (2)-(3) įskaitomos darant lygties (1) Laplaso transformaciją. Lygtį (23)

užrašome patogesniu pavidalu

],0[),,(),(d

),(d2

2

2

2

lxpxfpxuc

p

x

pxu , (26)

čia pažymėta

)()(1

),( 002xvxpu

cpxf , (27)


),(~chsh),( pxuxc

pBx

c

pApxu

. (28)

252

Atskirąjį sprendinį u~ surandame varijuodami konstantas:

x

c

pxBx

c

pxApxu ch)(sh)(),(~ . (29)

Funkcijas )(xA ir )(xB surandame išsprendę diferencialinių lygčių sistemą

).,(sh)(ch)(

,0ch)(sh)(

pxfp

cx

c

pxBx

c

pxA

xc

pxBx

c

pxA

. (30)

Sistemos (30) sprendiniai

.dsh),()(

,dch),()(

0

c

ppf

p

cxB

c

ppf

p

cxA

x

x

l. (31)

Įrašę išraiškas (31) į lygybę (29) gauname

.,chsh

,0,shch

d),(),(~

0 lxc

px

c

p

xc

px

c

p

pfp

cpxu

l

(32)

Bendrasis (26) bendrasis sprendinys

.,chsh

,0,shch

)(1

)(d1

chsh),(

0

00

lxc

px

c

p

xc

px

c

p

vp

uc

xc

pBx

c

pApxu

l

(33)

Iš kraštinės sąlygos (24) gauname sąryšį

0B . (34)

Iš kraštinės sąlygos (25), atsižvelgus į lygybę (34), gauname sąryšį

0shch)(1

)(d1

sh

0

00

c

pl

c

pv

pu

cl

c

pA

l

. (35)

Iš čia surandame integravimo konstantą A :

253

0shch)(1

)(d

sh

11

0

00

c

pl

c

pv

pu

lc

pcA

l

. (36)

Integravimo konstantų išraiškas (34) ir (36) surašę į sprendinį (33) gauname

.,

sh

)(chsh

,0,

sh

)(shsh

)(1

)(d1

),(

0

00

lx

lc

p

lc

px

c

p

x

lc

p

xlc

p

c

p

vp

uc

pxu

l

(37)

Reikalingus Laplaso pirmvaizdžius surandame tiesiog pagal pirmvaizdžio apibrėžimą,

pritaikydami reziduumų teoriją.

p

lc

p

xlc

p

c

p

e

lc

p

xlc

p

c

pσ

σ

pt d

sh

)(shsh

i2

1

sh

)(shsh i

i

Pointegralinė funkcija yra sveikoji parametro p funkcija ir turi pirmos eilės polius taškuose

l

cnp

i .

Dėl to

l

n

l

xn

l

ctn

l

c

lc

p

xlc

p

c

p

n

cossincos2

sh

)(shsh

1

. (38)

Tokiu pat būdu surandame kitus reikalingus pirmvaizdžius:

l

n

l

xn

l

ctn

l

c

lc

p

lc

px

c

p

n

cossincos2

sh

)(shsh

1

, (39)

l

n

l

xn

l

ctn

nl

c

pp

xlc

p

c

p

n

sinsinsin2

sh

)(shsh

1

, (40)

254

l

n

l

xn

l

ctn

nl

c

pp

lc

px

c

p

n

sinsinsin2

sh

)(shsh

1

, (41)

Gavome, kad atvejais kai x 0 ir kai lx pirmvaizdžių funkcijos tokios pat. Surašę

pirmvaizdžius į sprendinio išraišką (37) gauname

.dsin)(2

sinsin

dsin)(2

sincos),(

0

0

1

0

0

1

l

nv

ll

xn

l

ctn

cn

l

l

nu

ll

xn

l

ctnpxu

l

n

l

n (42)

Abiem būdais gavome tokį pat sprendinį.

39. Baigtinė styga su disipacija

Kai styga virpa terpėje, pasipriešinimo jėgos tankis yra proporcingas t

u

. Tada stygos

dinamikos lygtis

2

2

2

2 2

2x

uc

t

u

t

u

. (1)

Pradinės sąlygos:

)(),( 00xutxu

t

, (2)

)(),(

00

xvt

txu

t

. (3)

Tirsime atvejį, kai stygos galai įtvirtinti ir nejuda

0),(0

xtxu , (4)

0),( lx

txu . (5)

Lygties (1) sprendimui taikome Furje metodą ir sprendinio ieškome pavidalo

)()(),( 21 tUxUtxu . (6)

Įstatę sąryšį (6) į(1) lygtį ir, atskyrę kintamuosius, gauname

2

21

2

1

222

2

2

)(

)(

)(2

)(

)(

12

x

xU

xU

c

t

tU

t

tU

tU. (7)

255

Matome, kad lygtys funkcijoms )(1 xU ir )(2 tU yra

0)(d

)(d1

2

21

2

2 xU

cx

xU , (8)

0)(d

)(d2

d

)(d2

2222

2

tUt

tU

t

tU . (9)

Lygčių (8) ir (9) bendrieji sprendiniai parinktai atskyrimo parametro vertei

x

cBx

cAxU

iexpiexp),( 111 , (10)

.,i,i

,expexp),(

22221

22122

pp

tpBtpAtU (11)

Bendrasis lygties (1) sprendinys turės pavidalą (6), sumuojant pagal visas įmanomas

atskyrimo parametro vertes

d),(),(),( 21 tUxUtxu

. (12)

Įrašę į sąryšį (12) sprendinius (10) ir (11) gauname

dexpexpiexpiexp),( 221211 tpBtpAx

cBx

cAtxu . (13)

Iš kraštinių sąlygų (4) – (5) surandame atskyrimo parametro verčių rinkinį. Įrašę

sprendinį (13) į kraštinę sąlygą (4) gauname

0dexpexp 221211

tpBtpABA , (14)

o įrašę į kraštinę sąlygą (5) gauname

0dexpexpiexpiexp 221211

tpBtpAlc

Blc

A . (15)

Sąlygos (14) –(15) turi galioti bet kokiai t vertei 0t . Tokias sąlygas galima išpildyti tik

tada, kai

.0iexpiexp

,0

11

11

lc

Blc

A

BA

(16)

Sistema (16) gali turėti netrivialų sprendinį tik tada, kai

....,3,2,1,0, nnlc

(17)

256

Iš čia

....,3,2,1,0, nl

cnn

(18)

Gavome, kad sprendinio (15) dalinių sprendinių amplitudės 2121 ,,, BBAA gali turėti

nelygias nuliui vertes tik esant diskrečioms atskyrimo parametro vertėms (18). Dėl to

integralas (13) virsta suma

tBtAl

xnttxu nnnn

n

iexpiexpsin)exp(),(

, (19)

2

2

l

cnn . (20)

Matome, kad nn , o narys su 0n į rezultatą indėlio neduoda. Suskaidę sumą į dvi -

sumą pagal teigiamas n vertes ir sumą pagal neigiamas n vertes ir sugrupavę gauname

tBBtAAl

xnttxu nnnnnn

n

iexp)(iexp)(sin)exp(),(1

. (21)

Patogumo dėlei pažymėję nnn aAA , nnn bBB turime

tbtal

xnttxu nnnn

n

iexpiexpsin)exp(),(1

. (22)

Dabar iš pradinių sąlygų (2) – (3) surandame amplitudes na ir nb . Į (2) – (3) įrašę sprendinį

(22) gauname:

),(sin 0

1

xubal

xnnn

n

(23)

)()i()i(sin 0

1

xvbal

xnnnnn

n

. (24)

Lygtis (23) ir (24) dauginame iš

l

xmsin ir integruojame pagal x nuo 0 iki l . Gauname

algebrinių lygčių sistemą

.)i()i(

,

0

0

nnnnn

nnn

vba

uba

(25)

Čia pažymėta:

dsin)(2

0

00

l

nu

lu

l

n , (26)

257

dsin)(2

0

00

l

nv

lv

l

n . (27)

Lygčių sistemos (25) sprendinys

.i2

1

i2

i

,i2

1

i2

i

00

00

nn

nn

nn

nn

nn

nn

vub

vua

(28)

Įrašę amplitudes (28) į sprendinį (22) gauname

.cossinsin)exp(),( 000

1

tutvu

l

xnttxu nnn

n

nn

n

(29)

Formulės (29), (26)-(27) nusako stygos taškų padėtis ir greitį bet kuriuo laiko momentu

0t .

40. Plokštės aušimo uždavinys

Plokštės aušinimo uždavinys. Tegul didelio ploto plokštė, kurios storis l , patalpintą į

termostatą su pastovia temperatūra. Pradinis temperatūros pasiskirstymas plokštėje

).(),( 00xTtxT

t

(1.1)

Išveskite temperatūros pasiskirstymo plokštėje formulę ),( txTT sričiai, esančiai toli nuo

plokštės krašto, kur kraštinių efektų galima nepaisyti.

Sprendimas. Dekarto koordinačių sistemos ašį x nukreipiame statmenai plokštei.

Termostato temperatūrą imame už temperatūros atskaitos tašką. Šiuo atveju reikia išspręsti

kraštinį uždavinį

],,0[,2

2

lxx

Tk

t

Tc

(1.2)

,0),(0

xtxT (1.3)

0),( lx

txT (1.4)

su pradine sąlyga (1.1).

1 būdas. Pritaikome kintamųjų atskyrimo (Furje) metodą. Šiuo atveju sprendinio ieškome

pavidalo

)()(),( 21 tuxutxT (1.5)

258

Įrašę išraišką (1.5) į lygtį (1.2) ir atskyrę kintamuosius gauname

2

21

2

1

2

22

)(

)(

1)(

)(

1

x

xu

xut

tu

tua, (1.6)

čia c

ka 2 . Dalinių išvestinių lygties (1.2) sprendimo uždavinį suvedėme į dviejų

nesukabintų paprastųjų diferencialinių lygčių sprendimo uždavinį:

.0)()(

,0)()(

12

21

2

2222

xux

xu

tuat

tu

. (1.7)

Matome, kad bendrąjį sprendinį (1.5) galime užrašyti pavidalu

dexp)cos()sin(),( 22

taxBxAtxT . (1.8)

Iš kraštinės sąlygos (1.3) gauname

0dexp 22

taB . (1.9)

Sąryšis (1.9) patenkintas bet kokiam t , kai

0B . (1.10)

Dabar iš sąlygos (1.4) turime

0dexp)sin( 22

talA . (1.11)

Mus domina netrivialus lygties (1.2) sprendinys, kai 0T , todėl turi būti 0A . Kad sąryšis

(1.11) galiotų bet kokiam t turi galioti lygybė

0)sin( l . (1.12)

Iš čia

,...2,1,0, nl

n . (1.13)

Taip integralas (1.8) formulėje virsta suma

n

n tl

an

l

xnAtxT

2

222

expsin),(

. (1.14)

Išraišką (1.14) pertvarkome

259

12

222

12

222

12

222

12

222

expsinexpsin)(

expsinexpsin),(

n

n

n

nn

n

n

n

n

tl

an

l

xnAt

l

an

l

xnAA

tl

an

l

xnAt

l

an

l

xnAtxT

.

(1.15)

Pagal pradinę sąlygą (1.1) turime

1

0 )(sinn

n xTl

xnA

. (1.16)

Lygtį (1.16) padauginę iš

l

xmsin ir suintegravę pagal x nuo 0 iki l surandame skleidinio

(1.15) koeficientus nA :

dsin)(2

0

0

l

nT

lA

l

n . (1.17)

Kraštinio uždavinio sprendinys, tenkinantis pradinę sąlygą (1.1) ir kraštines sąlygas (1.3)-

(1.4) yra

dsin)(2

expsin),(

0

0

12

222

l

nT

lt

l

an

l

xntxT

l

n

. (1.18)

2 būdas. Lygtims (1.2) – (1.4) padarome Laplaso transformaciją kintamojo t atžvilgiu ir

gauname

],,0[),(1

),(),(

0222

2

lxxTa

pxTa

p

dx

pxTd (1.19)

,0),(0

xpxT (1.20)

0),( lx

pxT . (1.21)

Pradinė sąlyga (1.1) jau įskaityta atliekant Laplaso transformaciją. Lygtis (1.19) yra

paprastoji nehomogeninė tiesinė diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais. Konstantų

varijavimo metodu surandame jos sprendinį. Lygties (1.19) homogeninės dalies sprendinys

x

a

pBx

a

pApxTh chsh),( . (1.22)

Atskiro sprendinio ieškome pavidalo

x

a

pxBx

a

pxApxT ch)(sh)(),(

~. (1.23)

260

Funkcijas )(xA ir )(xB surandame išspręsdami lygčių sistemą jų išvestinių )(xA ir )(xB

atžvilgiu

).(1

sh)(ch)(

,0ch)(sh)(

0 xTpa

xa

pxBx

a

pxA

xa

pxBx

a

pxA

. (1.24)

Algebrinių lygčių sistemos (1.24) sprendinys

.sh)(1

)(

,ch)(1

)(

0

0

xa

pxT

paxB

xa

pxT

paxA

. (1.25)

Iš čia

.dsh)(1

)(

,dch)(1

)(

0

0

0

a

pT

paxB

a

pT

paxA

x

x

l. (1.26)

Įrašę funkcijas (1.26) į formulę (1.23) gauname

.,chsh

,0,shch

)(d1

dsh)(ch1

dch)(sh1

),(~

0

0

0

0

0

lxa

px

a

p

xa

px

a

p

Tpa

a

pTx

a

p

pa

a

pTx

a

p

papxT

l

x

x

l

. (1.27)

Lygties (1.19) bendrasis sprendinys

261

.,chsh

,0,shch

)(d1

chsh),(

0

0lx

a

px

a

p

xa

px

a

p

Tpa

xa

pBx

a

pApxT

l

(1.28)

Iš kraštinės sąlygos (1.20) gauname, kad

0B . (1.29)

Iš kraštinės sąlygos (1.21) gauname sąryšį

0shch)(d1

sh 0

0

a

pl

a

pT

pal

a

pA

l

. (1.30)

Iš jo surandame koeficientą A :

.

sh

shch

)(d1

0

0

l

a

p

a

pl

a

p

Tpa

A

l

(1.31)

Įrašę koeficientų išraiškas (1.29) ir (1.31) į bendrąjį sprendinį gauname

.,chsh

,0,shch

)(d1

sh

shch

)(dsh1

),(

0

0

0

0

lxa

px

a

p

xa

px

a

p

Tpa

la

p

a

pl

a

p

Txa

p

papxT

l

l

(1.32)

Gavome bendrojo sprendinio Laplaso atvaizdį. Prieš ieškant pirmvaizdžio formulę perrašome

patogesniu pavidalu, abu dėmenis užrašydami po vieno integralo ženklu. Tai atlikę gauname

262

.,

sh

)(shsh

,0,

sh

)(shsh

)(d1

),( 0

0

lx

la

pp

la

px

a

p

x

la

pp

xla

p

a

p

Ta

pxT

l

(1.33)

Surandame funkcijų

la

pp

xla

p

a

p

F

sh

)(shsh

1

, (1.34)

la

pp

la

px

a

p

F

sh

)(shsh

2

(1.35)

Laplaso pirmvaizdžius. Pagal Efroso teoremą funkcijai (34)

d4

exp)(1

0

2

11

ttF , (1.36)

čia )(1 t - atvaizdžio

la

p

xla

p

a

p

sh

)(shsh

1

(1.37)

pirmvaizdis. Tiesiog pagal pirmvaizdžio radimo formulę

p

la

p

xla

p

a

p

et pt d

sh

)(shsh

i2

1)(

i

i

1

(1.38)

Pointegralinės funkcijos vardiklis turi paprastus nulius taškuose

l

anp

i . (1.39)

Pagal reziduumų teoremą

263

l

xn

l

n

l

atn

l

at

n

sinsincos

2)(

1

1 . (1.40)

Atlikę tokias pat operacijas su funkcija (1.35), gauname

l

xn

l

n

l

atn

l

at

n

sinsincos

2)(

1

2 . (1.41)

Gavome, kad pirmvaizdis funkcijos (1.37) ir atvaizdžio

la

p

la

px

a

p

sh

)(shsh

2

(1.42)

pirmvaizdžiai sutampa ir (1.33) funkcijos pirmvaizdžiui surasti bereikia pagal (1.36) formulę

apskaičiuoti integralą

l

an

ttl

xn

l

n

l

l

xn

l

n

l

an

l

a

ttatxT

n

l

n

l

cos4

expd1

sinsin2

d

sinsincos2

4expd

1d),(

0

2

10

10

2

0 (1.43)

Išvedant Efroso teoremą kaip tarpinį rezultatą buvome gavę formulę

4exp

2

1d)cos(exp

2

0

2 rrr . (1.44)

Ją pritaikę integralui, esančiam (1.43) išraiškoje, gauname

dsin)(2

sinexp),(

0

0

12

222

l

nT

ll

xnt

l

antxT

l

n

. (1.45)

Matome, kad rezultatai, gauti vienu ir kitu būdu sutampa. Svarbu pastebėti, kad integralinių

transformacijų metodai yra universalesni, nes juos galima taikyti ir tada, kai tiesinėje lygtyje

negalima atskirti kintamųjų.

264

Literatūra

1. Barauskas A., Navickas Z., Tėvelis V. Kompleksinio kintamojo funkcijos ir operacinis

skaičiavimas. Vilnius: Mokslas, 1986.-308 p.

2. Golokvosčius P. Diferencialinės lygtys. Vilnius: TEV, 2000.-511 p.

3. Iljinas V., Pozniakas E. Matematinės analizės pagrindai. I dalis. Vilnius: Mokslas, 1981.-

520 p.

4. Iljinas V., Pozniakas E. Matematinės analizės pagrindai. II dalis. Vilnius: Mokslas, 1981.-

402 p.

5. Matematikos terminų žodynas. Red. J. Kubilius. Vilnius: Mokslo ir enciklopedijų

leidykla, 1994.-726 p.

6. Matuliauskas A. Algebra. Vilnius: Mokslas, 1985.-382 p.

7. Paulauskas V. Matematinės fizikos lygtys. Vilnius: Mintis, 1974.-456 p.

8. Pekarskas V. Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. I dalis. Kaunas: Technologija,

1997.-385 p.

9. Pekarskas V. Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. II dalis. Kaunas: Technologija,

2000.-417 p.

10. Stankus E. Diferencialinės lygtys ir variacinis skaičiavimas. Vilnius: VU leidykla, 1985.-

141 p.

11. Riley K. F., Hobson M. P., Bence S. J. Mathematical Methods for Physics and

Engineering: A Comprehensive Guide. Cambridge: Cambridge University Press, 2002.-

1256 p.

12. Snieder R. A Guided Tour of Mathematical Methods for the Physical Sciences.

Cambridge: Cambridge University Press, 2004.- 522 p.

13. Koshlyakov N. S., Smirnov M. M., Gliner E. B. Differential Equations of Mathematical

Physics. Amsterdam, North Holland Publishing Company, 1964.-701 p.

14. Rahman M. Integral equations and their Applications. Boston, WIT Press Southempton,

2007.-356 p.

15. Pap E. Complex Analysis through Examples and Exercises. Dordrecht;Boston;London,

Cluwer Academic Publishers, 1999.-337 p.

16. Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного.

Москва: Наука, 1972.-264 с.

265

17. Боярчук А. К. Справочное пособие по высшей математике. Т. 4:Функции

комплексного переменного: теория ипрактика. Москва: Эдиториал УРСС, 2001.-352

с.

18. Боярчук А. К., Головач Г. П. Справочное пособие по высшей математике.

Т. 5:Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Москва: Эдиториал УРСС,

2001.-384 с.

19. Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. Сборник задач по теории

функций комплексного переменного. Москва: Наука, 1975.-320 с.

20. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное

исчисление. Москва: Наука, 1974.-543 с.

21. Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу.

Москва: Высшая школа, 1966.-461 с.

22. Евграфов М. А., Сидоров Ю. В., Федорюк М. В. и др. Сборник задач по теории

аналитических функций. Москва: Наука, 1969.-388 с.

23. Карлов Н. В., Кириченко Н. А. Колебания, волны, структуры. Москва:

ФИЗМАТЛИТ, 2003.-496 с.

24. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Интегральные уравнения. Москва:

Наука, 1976.-215 с.

25. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. и др. Вся высшая математика. Т. 2.

Москва: Эдиториал УРСС, 2000.-184 с.





28. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного

переменного. Москва: Государственное издательство физико-математической

литературы, 1958.-678 с.

29. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Основы теории специальных функций. Москва:

Наука, 1974.-304 с.

30. Пантелеев А. В. Вариационное исчисление в примерах и задачах. Москва:

Издательство МАИ, 2000.-228 с.

31. Понтрягин Л. С. Обыновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука,

1970.-332 с.

266

32. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. Москва:

Высшая школа, 1999.-432 с.

33. Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные

уравнения: примеры и задачи. Москва: Высшая школа, 1989.-383 с.

34. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций

комплексного переменного. Москва: Наука, 1982.-488 с.

35. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Санкт-Петербург:

Лань, 2003.- 447 с.

36. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

Москва: Наука, 1969.-424 с.

267

1 priedas

Tikrinių vardų sąrašas

Abelis Abel Niels Henric (1802 08 05 – 1829 04 06), norvegų matematikas.

Adamaras Hadamard Jacques Salomon (1865 12 08 – 1963 10 17), prancūzų

matematikas.

Bernulis Johann Bernoulli (1887 07 27 – 1748 01 01), šveicarų matematikas.

Beselis Bessel Friedrich Wilhelm (1784 07 22 – 1846 03 17), vokiečių

astronomas.

Čebyševas Чебышев Пафнутий Львович (P. L. Chebyshev) (1821 05 04 – 1894

11 26), rusų matematikas.

Dekartas Descartes René (1596 03 31 – 1650 02 11) prancūzų matematikas.

Sukūrė analizinės geometrijos pagrindus.

Dirakas Dirac Paul Adrien Maurice (1902 08 08 – 1984 09 20), anglų fizikas

teoretikas. Už indėlį į kvantinės mechanikos sukūrimą 1933 m.

apdovanotas Nobelio premija.

Diuamelis Jean-Marie Constant Duhamel (1797 02 05 – 1872 04 29), prancūzų

matematikas.

Efrosas Эфрос Александр Михайлович (A. M. Efros ) (1906 – 1941), rusų

matematikas.

Euleris Euler Leonhard (1707 04 04 – 1783 09 07), šveicarų matematikas.

Furje Fourier Jean Baptiste Joseph (1768 03 21 – 1830 05 16), prancūzų

matematikas.

Gausas Gauss Carl Friedrich (1777 04 30 – 1855 02 23), vokiečių

matematikas.

268

Grynas Green George (1793 07 14 – 1841 03 31), anglų matematikas ir fizikas.

Helmholcas Helmholtz Hermann Ludwig Ferdinand (1821 08 31 – 1894 09 08),

vokiečių fizikas, matematikas, fiziologas ir psichologas.

Hevisaidas Heaviside Oliver (1850 05 18 – 1925 02 03), anglų fizikas ir

inžinierius. Įvedė sąvoką „ortas“ vienetiniam krypties vektoriui

nusakyti ir sąvoką „nabla“ gradiento operatoriui .

Jakobi Jacobi Carl Gustav Jacob (1804 12 10 – 1851 0218), vokiečių

matematikas.

Košy Cauchy Augustin Louis (1789 08 21 – 1857 05 23), prancūzų

matematikas.

Kronekeris Kronecker Leopold 1823 12 07 – 1891 12 29), vokiečių matematikas.

Lagranžas Lagrange Joseph Louis (1736 01 25 – 1813 04 10), prancūzų

matematikas.

Lame Gabriel Léon Jean Baptiste Lamé (1795 07 22-1870 05 01), prancūzų

matematikas.

Laplasas Laplace Pierre Simon (1749 03 23 – 1827 03 05), prancūzų

astronomas, matematikas, fizikas.

Leibnicas Leibniz Gottfried Wilhelm (1646 07 01 – 1716 11 14), vokiečių

matematikas, fizikas ir filosofas.

Lopitalis Guillaume François Antoine de L‘Hospital (1661 – 1704), prancūzų

matematikas.

Loranas Laurent Pierre Alfonse (1813 – 1854), prancūzų matematikas.

Mebijus Möbius August Ferdinand (1790 11 17 – 1868 09 26), vokiečių

matematikas.

269

Morera Morera Giacinto (1856 07 18 – 1909 02 08), italų matematikas ir

inžinierius.

Niutonas Newton Isaac (1643 01 04 – 1727 03 31), anglų fizikas ir matematikas.

Puasonas Poisson Siméon Denis (1781 06 21 – 1840 04 25), prancūzų

matematikas ir fizikas.

Rikati Riccati Jacopo Francesco (1676 05 28 – 1754 04 15), italų

matematikas.

Rymanas Riemann Georg Friedrich Bernhard (1826 09 17 – 1866 07 20),

vokiečių matematikas.

Roše Rouché Eugène (1832 08 18 – 1910 08 19), prancūzų matematikas.

Stoksas Stokes George Gabriel (1819 08 13 – 1903 02 01), anglų fizikas ir

matematikas.

Teiloras Taylor Brook (1685 08 18 – 1731 12 29), anglų matematikas.

Vejerštrasas Weierstraβ Karl Theodor Wilhelm (1815 10 31 – 1897 02 19),

vokiečių matematikas.

Vronskis Wroński (tikroji pavardė Hoene) Józef Maria (1776 08 24 – 1853 08

09), lenkų matematikas.

Žordanas Jordan Marie Ennemond Camille (1838 01 05 – 1922 01 21), prancūzų

matematikas.

Documents

Fizikos diferencialinės lygtysStygos svyravimų lygtis 237 35. Šilumos sklidimo lygtis 240 36. Furje metodo bendroji schema 242 37. Begalinė styga 247 38. Ideali baigtinė styga