TURINYS - Vilniaus universitetasklevas.mif.vu.lt/~ash/MFL/MFL1.pdf · TURINYS Lentelių sąrašasi Iliustracijų sąrašasiii Pratarmėvi 1SKYRIUS. Diferencialinės lygtys dalinėmis

TURINYS

Lentelių sąrašas iIliustracijų sąrašas iiiPratarmė vi

1 SKYRIUS. Diferencialinės lygtys dalinėmis išvestinėmis,matematiniai modeliai, uždaviniai 11. Pagrindiniai apibrėžimai ir sąvokos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1. Klasifikacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Lygties dalinėmis išvestinėmis sprendiniai . . . . . . . . . 31.3. Diferencialiniai operatoriai ir superpozicijos principas . . 4

2. Matematiniai modeliai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1. Tolydumo lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Difuzijos lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Hidrodinamikos lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4. Svyravimų (stygos) lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5. Stacionariosios lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6. Maksvelo lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.7. Minimalaus paviršiaus lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . 182.8. Biharmoninė lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.9. Šriodingerio lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.10. Atsitiktinis judėjimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.11. Kitos lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 SKYRIUS. Pirmosios eilės lygtys dalinėmis išvestinėmis 211. TIESINĖ LYGTIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.1. Tiesinė homogeninė lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2. Koši uždavinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3. Tiesinė nehomogeninė lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2. KVAZITIESINĖS LYGTYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1. Koši uždavinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Dalykinė rodyklė 33Vardų rodyklė 33Literatūra 34

Matematines fizikos lygtys ii

Lentelių sąrašas

Matematines fizikos lygtys iv

Iliustracijų sąrašas

1.1 Stygos svyravimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Kraštinės salygos stygos lygčiai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Pratarmė

Paskaitų konspektas, parengtas pagal vadovėlį: Y. Pinchover and J. Rubins-tein. An Introduction to Partial Differential Equations. Cambridge UniversityPress, 2005.

1 skyrius

Diferencialinės lygtys dalinėmis išvestinėmis,matematiniai modeliai, uždaviniai

1. Pagrindiniai apibrėžimai ir sąvokos

Diferencialinės lygtys dalinėmis išvestinėmis (arba matematinės fizikos lyg-tys) apibūdina sąryšį tarp nežinomos funkcijos ir jos dalinių išvestinių. DLdalinėmis išvestinėmis dažnai taikomos fizikoje ir technikoje. Pastaraisiais me-tais labai padidėjo DL dalinėmis išvestinėmis taikymas biologijoje, chemijoje,kompiuterių moksluose (ypač vaizdo apdorojime ir grafikoje) ir ekonomikoje.Visose šiose srityse yra sąveika tarp kelių nepriklausomų kintamųjų, bandomaapibrėžti šių kintamųjų funkcijas ir modeliuoti įvairius procesus užrašant ati-tinkamas diferencialines lygtis. Jei nežinomos funkcijos (-jų) reikšmė tam tikrumomentu priklauso tik nuo to, kas vyksta lokaliai, taško aplinkoje, gaunamadiferencialinė lygtis dalinėmis išvestinėmis. Bendrasis diferencialinės lygties da-linėmis išvestinėmis pavidalas funkcijai u(x1, x2, . . . , xm) yra

F (x1, x2, . . . , xn, u, ux1 , ux2 , . . . , uxm , . . . ) = 0, (1.1)

čia x1, x2, . . . , xn yra nepriklausomieji kintamieji, u – nežinoma funkcija ir uxižymi dalinę išvestinę ∂u/∂xi. Trimačiu (vienmačiu arba dvimačiu) atveju erd-viniai nepriklausomi kintamieji bus žymimi (x, y, z) (x arba (x, y)), o laikast. Bendruoju atveju, sprendžiant lygtį, reikalaujama papildomų sąlygų, pavyz-džiui, pradinių sąlygų (kaip dažnai daroma paprastųjų diferencialinių lygčiųteorijoje) arba kraštinių sąlygų. Diferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmissprendimo analizė turi daug aspektų. Klasikinio požiūrio, kuris dominavo XIXa., esmė buvo sukurti metodus, leidžiančius surasti išreikštinį sprendinį. Kadan-gi matematinės fizikos lygčių sprendimas labai svarbus įvairiose fizikos šakose,kiekvieną svarbų matematinį pasiekimą, kuris leido išspręsti naują DL dalinėmisišvestinėmis uždavinių klasę, lydėjo didelė pažanga fizikoje. Pavyzdžiui, Hamil-tono1 pasiūlytas charakteristikų metodas leido padaryti didelę pažangą optikojeir mechanikoje. Furjė2 metodas leido išspręsti šilumos laidumo ir bangų skli-dimo uždavinius, o Gryno3 funkcijų taikymas leido plėtoti elektromagnetizmo

1William Rowan Hamilton (1805-1865) – airiu matematikas ir astronomas.2Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) – prancuzu matematikas ir fizikas.3George Green (1793-1841) – anglu matematikas.

1. Pagrindiniai apibrėžimai ir sąvokos 2

teoriją. Sprendžiant DL dalinėmis išvestinėmis ryškiausia pažanga buvo pasiek-ta per pastaruosius 50 metų plėtojant skaitinius metodus, kurie leidžia naudotikompiuterius (bent jau teoriškai, praktikoje vis dar yra daug neįveiktų kliūčių).Po techninės pažangos sekė teorinė pažanga leidžianti geriau suprasti sprendi-nio struktūrą ir rasti tam tikras sprendinio savybes prieš atliekant skaičiavimuskompiuteriu, o kartais net ir be pilno sprendimo. DL dalinėmis išvestinėmisteorinė ryti tokiais atvejais – bandyti gauti kokybinę informaciją apie spren-dinį. Labai svarbus klausimas yra susijęs su uždavinio formulavimu (lygties irpapildomų sąlygų užrašymas). Bendru atveju, lygtis yra kilusi iš fizikinio arinžinerinio uždavinio modelio. Taigi nėra savaime akivaizdu, kad modelis yrageras, t.y. kad jis veda prie išsprendžiamos DL dalinėmis išvestinėmis. Be to,yra pageidautina, kad daugeliu atvejų sprendinys būtu vienintelis, ir kad jisbūtu stabilus esant mažam duomenų (sąlygų) pokyčiui. Diferencialinių lygčiųteorinis supratimas leidžia mums patikrinti, ar šios sąlygos yra įvykdytos. Kaipmatysime, yra daug būdų, kaip išspręsti DL dalinėmis išvestinėmis, kiekvienastaikomas tam tikros klasės lygtims. Todėl yra svarbu turėti išsamią lygtiesanalizę prieš ją sprendžiant. Pagrindinis teorinis klausimas yra nustatyti, kadauždavinys, kurį sudaro lygtis ir papildomos sąlygos, yra teisingai suformuluotas.

Pradinės, kraštinės ir suderinamumo sąlygos leidžia iš bendrojo sprendinioišskirti mums reikiamą vienintelį sprendinį. Tačiau „gerais“ galime laikyti tiktuos sprendinius, kurie tolydžiai priklauso pradinių ir kraštinių sąlygų. Prancū-zų matematikas Hadamaras4 įvedė korektiškumo sąvoką.

1.1 apibrėžimas. Sakysime, kad uždavinys suformuluotas korektiškai (korek-tiškas), jeigu jis tenkina visas tris sąlygas:

i) egzistavimas (egzistuoja uždavinio sprendinys);

ii) vienatis (yra ne daugiau kaip vienas sprendinys);

iii) stabilumas, kai sprendinys tolydžiai priklauso nuo pradinių ir kraštiniųsąlygų, lygties dešinės pusės, bei lygties koeficientų (maži pokyčiai lygtyjearba papildomose sąlygose duoda mažus sprendinio pokyčius).

Jei nors viena iš šių sąlygų neišpildyta, sakoma, kad uždavinys yra nekorektiškas.Daugelis klasikinių matematinės fizikos uždavinių yra korektiški.

1.1. Klasifikacija

Aprašysime diferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmis kai kurias klasifika-cijas.

• Lygties eilė (klasifikacija pagal lygties eilę). Lygties eilė apibrėžiamakaip aukščiausios išvestinės eilė. Jei aukščiausios išvestinės eilė yra k, taidiferencialinės lygties eilė yra k. Pavyzdžiui, utt−uxx = f(x, t) – antrosioseilės lygtis, o ut + uxxxx = 0 – ketvirtosios eilės lygtis.

4Jacques Salomon Hadamard (1865-1963) – prancuzu matematikas.

3 1 SKYRIUS. DL dalinėmis išvestinėmis, matematiniai modeliai [2014 02 16 (22:15)]

• Tiesinės ir netiesinės lygtys. Lygtis yra vadinama tiesine, jei diferen-cialinėje lygtyje (1.1) F yra tiesinė funkcija ir nežinomos funkcijos u, irjos išvestinių atžvilgiu. Pavyzdžiui, x7ux+ exyuy + sin(x2 +y2)u = x3 yratiesinė lygtis, o u2

x + u2y = 1 yra netiesinė lygtis.

Netiesinės lygtys dažnai dar skirstomos pagal netiesiškumo tipą. Pavyz-džiui, šios dvi lygtys yra netiesinės:

uxx + uyy = u3, (1.2)

uxx + uyy = (u2x + u2

y)u. (1.3)

Nors (1.3) lygtis yra netiesinė u atžvilgiu, ji yra tiesinė funkcija auksčiau-sios eilės išvestinių atžvilgiu. Toks netiesiškumas vadinamas kvazitiesiniu(quasilinear). Netiesiškumas (1.2) lygtyje yra tik pagal nežinomą funkciją,tokios lygtys dažnai vadinamos pusiau tiesinėmis (semilinear).

• Skaliarinės lygtys ir lygčių sistemos. DL su viena nežinoma funkcijavadinama skaliarine lygtimi. l lygčių su l nežinomų funkcijų vadinamos mlygčių sistema.

1.2. Lygties dalinėmis išvestinėmis sprendiniai

Akivaizdu laukti, kad lygtis dalinėmis išvestinėmis gali turėti be galo daugsprendinių. Jau paprastosios diferencialinės lygties (formaliai ši lygtis irgi yradalinėmis išvestinėmis su n = 1) sprendiniai priklauso nuo laisvųjų konstantų.

Nagrinėkime pirmos eilės diferencialinę lygtį su dviem kintamaisiais, kuriosišraiškoje nėra dalinės išvestinės pagal y :

F (x, y, u, ux) = 0. (1.4)

Jeigu fiksuosime kintamojo y reikšmę (laikysime parametru), tuomet ši lygtistampa paprastąja diferencialine lygtimi. Tarkime, šios lygties bendrąjį sprendinįgalime užrašyti pavidalu

u = z(x, y, C), (1.5)

čia C = ψ(y) yra bet kokia funkcija.Vadinasi, bendrasis lygties dalinėmis išvestinėmis sprendinys gali priklausyti

ir nuo laisvai pasirinktos funkcijos.

1.1 pavyzdys. Nagrinėkime lygtį dalinėmis išvestinėmis u−xux−x2y2 = 0 Perrašykimeją pavidalu ux = u/x − xy2, o kintamąjį y laikykime parametru. Taipirmos eilės tiesinė diferencialinė lygtis, kurios bendrasis sprendinys yrau = Cx− x2y2. Bendrasis lygties dalinėmis išvestinėmis sprendinys busu = ψ(y)x− x2y2, čia ψ bet (laisvoji) kokia funkcija.

1.2 pavyzdys. Nagrinėkime antros eilės lygtį uxy = 0. Perrašykime ją pavidalu (uy)x =0. Matome, kad funkcija uy = α(y) nepriklauso nuo x. Integruo-dami šią lygybę pagal y, gausime duotosios lygties bendrąjį sprendinįu =

∫α(y)dy + ψ(x) = ϕ(y) + ψ(x), čia ϕ ir ψ – laisvosios funkcijos

(diferencijuojamos, nes kitaip nebūtų prasmės įstatinėti jas į lygtį).

1. Pagrindiniai apibrėžimai ir sąvokos 4

1.3 pavyzdys. Duota lygtis uxx = 0. Bendrasis sprendinys yra u = ϕ(y)x+ ψ(y), ϕ irψ – laisvosios funkcijos.

1.3. Diferencialiniai operatoriai ir superpozicijos principas

Tegu Ck(D) žymi visų k kartus tolydžiai diferencijuojamų srityje D ⊂ Rm

funkcijų aibę, kurios yra tiesinės erdvės. Atskiru atveju, C(D) (arba C0(D))tolydžiųjų funkcijų srityje D aibė. Klasikinėje diferencialinių lygčių teorijojek-osios eilės diferencialinės lygties sprendinys u ∈ Ck(D). Toks sprendinys va-dinamas klasikiniu arba stipriuoju diferencialinės lygties sprendiniu. Reikėtųpabrėžti, kad kartais taip pat nagrinėsime ir neklasikinius sprendinius. Tokiesprendiniai vadinami silpnaisiais arba apibendrintaisiais sprendiniais. Bendruo-ju atveju sprendžiami uždaviniai yra sudaryti iš diferencialinės lygties ir papil-domų sąlygų, todėl tam tikri reikalavimai keliami ir papildomoms sąlygoms, kadgalėtume tvarkingai apibrėžti stiprųjį arba silpnąjį sprendinį.

Atvaizdis L : L1 → L2 iš vienos tiesinės erdvės į kitą tiesinę erdvę vadinamasoperatoriumi. Operatoriaus reikšmes žymėsime L[u], u ∈ L1. Operatoriai, kurieaprašomi panaudojant išvestines, vadinami diferencialiniais operatoriais. Šiuoatveju, tiesines erdves L1 ir L2 galima parinkti iš Ck(D) tipo erdvių.

Operatorius L, kuris tenkina sąryšį

L[αu1 + βu2] = αL[u1] + βL[u2],

čia α ir β yra skaliarai (iš R arba C), o u1, u2 ∈ L1, vadinamas tiesiniu ope-ratoriumi. Tiesinė diferencialinė lygtis ir tiesinės papildomos sąlygos apibrėžiatiesinį operatorių: uždavinys gali būti užrašyta kaip operatorinė lygtis L[u] = f ,čia L – tiesinis operatorius, o f ∈ L2. Tiesinė diferencialinė lygtis L[u] = 0 va-dinama homogenine lygtimi. Bendruoju atveju turime nehomogeninę lygtį.

1.4 pavyzdys. Duotas diferencialinis operatorius L = ∂2/∂x2 − ∂2/∂y2. Tiesinė lygtisuxx − uyy = 0 yra homogeninė, o tiesinė lygtis uxx − uyy = x2 yranehomogeninė.

1.1 teorema. Bet kuris tiesinis uždavinys turi vienintelį sprendinį tada ir tiktada, kai atitinkamas homogeninis uždavinys turi tik nulinį sprendinį.

Įrodymas. Tegul u1 ir u2 yra du nehomogeninio uždavinio sprendiniai: L[u1] =L[u2] = f . Tada L[u2 − u1] = 0, t.y. u = u2 − u1 yra homogeninio uždaviniosprendinys. Tada akivaizdu, kad jei homogeninis uždavinys turi tik nulinį spren-dinį u = 0, tai u1 = u2, t.y. nehomogeninis uždavinys turi vienintelį sprendinį.Atvirkščiai, jei uždavinys turi vienintelį sprendinį, tai homogeninis uždavinysturi tik nulinį sprendinį. ut

Tiesiniai operatoriai atlieka svarbų vaidmenį matematikoje, ypač matemati-nės fizikos lygčių teorijoje. Svarbi jų savybė yra superpozicijos principas: jei betkuriems i, 1 ≤ i ≤ n funkcija ui tenkina tiesinę diferencialinę lygtį L[ui] = fi, taitiesinė kombinacija v :=

∑ni=1 αiui tenkina diferencialinį lygtį L[v] =

∑ni=1 αifi.


Atskiru atveju, jei kiekviena funkcija u1, u2, . . . , un tenkina homogeninę lygtįL[u] = 0, tai bet kuri šių funkcijų tiesinė kombinacija irgi tenkina šią lygtį.Superpozicijos principas leidžia konstruoti sprendinį iš atskirų sprendinių. Taippat superpozicijos principas gali būti taikomas tiesinės diferencialinės lygtiessprendinio vienaties įrodyme.

Toliau erdvinius kintamuosius žymėsime raidėmis x = (x1, . . . , xm) ⊂ Rm,o laiko kintamąjį žymėsime t ∈ R1. Tegul Ω ⊂ Rm yra sritis erdvėje, jos kraštąpažymėkime ∂Ω. Laikysime, kad srities kraštas yra glodus ir visuose taškuoseturime išorinę normalę n = (n1, . . . , nm). Reikalavimą srities kraštui galimasusilpninti reikalaujant, kad jis būtų dalimis glodus.

Apibrėšime tiesinį diferencialinį operatorių ∇ („nabla“):

∇ :=( ∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xm

)= (∇1, . . . ,∇m). (1.6)

Naudojant šį operatorių, galima apibrėžti pagrindinius tiesinius diferencialiniusoperatorius naudojamus matematinės fizikos lygtyse:

∇u := gradu = (ux1 , . . . , uxm) = (∇1u, . . . ,∇mu) (gradientas);

∇·v := div v =

m∑i=1

vixi = ∇ivi (divergencija);

∇×w := curlw =(∂w3

∂y− ∂w2

∂z,∂w1

∂z− ∂w3

∂x,∂w2

∂x− ∂w1

∂y

)(rotorius);

v ·∇ :=∂

∂v= vi∇i (kryptinė išvestinė); n·∇ :=

∂

∂n= ni∇i;

∇2 := ∇·∇ = ∇i∇i = ∇i∇i =

m∑i=1

∂2

∂(xi)2,

čia u : Rm → R, v = (v1, . . . , vm) : Rm → Rm, w = (w1, w2, w3) : R3 → R3.Operatorius ∆ = ∇2 vadinamas Laplaso5 operatoriumi, ∇i = δij∇j = ∇i, ni =δijnj = ni (sumuojame pagal pasikartojantčių viršutinių ir apatinių indeksųporą).

Toliau bus reikalinga Gauso6 formulė (kartais ji dar vadinama Gauso ir Ost-rogradskio7, Gryno formule, divergencijos teorema)∫

∂Ω

n·u dσ =

∫Ω

∇·u dx, (1.7)

čia dσ – krašto elementas, dx = dx1 . . . dxm tūrio elementas. Kiti jos pavidalai:∫∂Ω

nu dσ =

∫Ω

∇u dx,∫∂Ω

niu dσ =

∫Ω

∇iu dx. (1.8)

5Pierre Simon Laplace (1749-1827) – prancuzu astronomas, matematikas ir fizikas.6Carl Friedrich Gauss (1777-1855) – vokieciu matematikas.7Михайло Васильович Остроградський (1801-1862) – ukrainiečiu/rusu matematikas, me-

chanikas ir fizikas.

2. Diferencialinės lygtys, matematiniai modeliai 6

Fizikoje ir mechanikoje tenka nagrinėti funkcijas, priklausančias nuo laiko t.Teisinga integralo, kurio integravimo sritis priklauso nuo laiko, formulė:

d

dt

∫Ω(t)

f(x, t) dx =

∫Ω(t)

∂

∂tf(x, t) dx+

∫∂Ω(t)

f(x, t)vn dσ, vn = v · n, v =dx

dt.

Panaudoję Gauso formulę ir lygybę ∇i(fvi) = f∇ivi + vi∇if , turime

d

dt

∫Ω(t)

f(x, t) dx =

∫Ω(t)

( DDt

f + f ∇·v)dx, (1.9)

čia f gali būti tiek skaliarinė, tiek vektorinė funkcija, o DDt := ∂

∂t + v ·∇ yraLagranžo8 išvestinė.

2. Matematiniai modeliai

Diferencialinės lygtys dalinėmis išvestinėmis plačiai naudojamos moksle irtechnologijose. Pagrindiniai fizikos dėsniai matematiškai aprašo įvairius gamtosreiškinius laike ir erdvėje. Pavyzdžiui, labai didelio mastelio reiškiniai (astro-nominis mastas) valdomi gravitacijos dėsnių. Elektromagnetizmo teorija kont-roliuoja daugelį kasdienės veiklos reiškinių, o kvantinė mechanika naudojamaatomo masto reiškinių apibūdinimui. Tačiau pasirodo, kad daug įvairių uždavi-nių yra susiję su daugelio objektų sąveika, ir todėl sunku naudoti pagrindiniusfizikos dėsnius jų apibūdinimui. Pavyzdžiui, kodėl mes nenukrentame ant grin-dų sėdėdami ant kėdės. Pagrindinė priežastis yra elektros jėgos tarp sudarančiųkėdę atomų. Šios jėgos padaro kėdę tvirtą. Akivaizdu, kad neįmanoma išspręstielektromagnetizmo lygčių (Maksvelo9 lygtys) apibūdinančių sąveiką tarp tokiosdaugybės objektų. Kitas pavyzdys yra dujų srautas. Kiekviena molekulė pa-klūsta Niutono dėsniams, bet mes negalime praktiškai spręsti uždavinio tokiamskaičiui molekulių. Todėl daugelyje taikymų svarbu nagrinėti paprastesnius mo-delius.

Formuluojant tokius modelius pagrindinis tikslas yra apibrėžti naujus dy-džius (temperatūra, slėgis, įtempiai,...), kurie apibūdina pagrindinių mikros-kopinių dydžių suvidurkintas (apibendrintas) makroskopines reikšmes, prisilai-kant keleto pagrindinių principų, tokių kaip masės tvermės dėsnis, judesio kie-kio tvermės dėsnis, energijos tvermės dėsnis, ir t.t., ir taikyti šiuos principusmakroskopiniams dydžiams. Dažnai reikia tam tikrų papildomų prielaidų tam,kad susietume skirtingus makroskopinius dydžius. Optimaliu atveju norėtumepradėti nuo fundamentalių dėsnių ir apskaičiuoti (suvidurkinti) juos tam, kadgautume paprastesnį modelį. Tačiau dažnai tai padaryti yra labai sunku ir,vietoj to, kartais pagrindiniai principai papildomi eksperimentų rezultatais.

Bendruoju atveju diferencialinė lygtis dalinėmis išvestinėmis turi be galodaug sprendinių. Siekiant gauti vienintelį diferencialinės lygties sprendinį reikia

8Joseph Louis Lagrange (1736-1813) – prancuzu matematikas ir mechanikas.9James Clerk Maxwell (1831-1879) – skotu fizikas.


pridėti papildomas sąlygas. Kokio tipo sąlygos gali būti? Atsakymas priklausonuo nagrinėjamos diferencialinės lygties tipo. Nagrinėdami pavyzdžius apžvelg-sime pagrindines papildomas sąlygas ir paaiškinsime jų fizikinę reikšmę.

2.1. Tolydumo lygtis

Fizikoje tolydumo lygtis aprašo išsilaikančio dydžio pernašą. Tokiais dy-džiais gali būti masė, energija, elektros krūvis ir net tikimybė. Pažymėkimetą dydį q. Apibrėžkime šio dydžio tankį ρ = lim∆V→0

∆q∆V . Jeigu šis dydis q

tolydžiai užima tam tikrą sritį Ω(t), tuomet jo pasiskirstymą apibrėžia funkcijaρ(x, t), o viso q kiekis šioje srityje yra

q =

∫Ω(t)

ρ(x, t) dx. (2.1)

Kadangi dydis q yra išsikaikantis (masės, energijos, krūvio tvermės dėsniai), taiq(t) ≡ const. Taikome (1.9) formulę ir gauname integralinę lygybę

0 =d

dt

∫Ω(t)

ρ(x, t) dx =

∫Ω(t)

( DDt

ρ+ ρ∇·v)dx. (2.2)

1.1 lema. Tegul h(x) yra tolydi funkcija, tokia, kad∫

Ωh(x)dx = 0 bet kurioje

srityje Ω. Tada h ≡ 0.

Įrodymas. Įrodinėkime prieštaros būdu. Tegul egzistuoja taškas x0 toks, kadh(x0) 6= 0. Neprarandant bendrumo, laikysime, kad h(x0) > 0. Kadangi htolydi, tai egzistuoja sritis Ω0 (ji gali būti ir labai maža), kuriai priklauso x0,ir ε > 0, toks, kad h > ε > 0 kiekviename srities Ω0 taške. Todėl

∫Ω0hdx >

εVol(Ω0) > 0, o tai prieštarauja lemos prielaidai. ut

Kadangi Ω yra bet kokia sritis, pritaikę 1.1 lemą, gauname tolydumo lygtįLangranžo pavidalu

Dρ

Dt+ ρ∇·v = 0, (2.3)

kurią galima perrašyti Eulerio10 pavidalu (panaudojant Lagranžo išvestinės api-brėžimą ir lygybę ∇·(ρv) = (v ·∇)ρ+ ρ∇·v):

ρt +∇·(ρv) = 0. (2.4)

1.1 pastaba. Daugelis chemijos, biologijos ir ekologijos uždavinių nagrinėja kokionors substrato pernešimą pastoviu greičiu. Tegul ρ(x, t) žymi substrato kon-centraciją. Tarkime, kad srauto greitis v yra pastovus, tada substrato plitimasaprašomas lygtimi

ρt + v ·∇ρ = 0. (2.5)

10Leonhard Euler (1707-1783) – sveicaru matematikas, mechanikas ir fizikas.


Ši lygtis vadinama konvekcijos lygtimi arba pernešimo lygtimi. Tai pirmosioseilės lygtis dalinėmis išvestinėmis.

Pradinė sąlyga. Nagrinėkime (2.5) konvekcijos lygtį su vienu erdviniu kin-tamuoju kaip pirmosios eilės diferencialinės lygties pavyzdį. Nežinoma funkcijaρ(x, t) aprašo paviršių. Galima suformuluoti tokį uždavinį: duota koncentra-cija tam tikru laiko momentu t0, o reikia surasti koncentraciją vėlesniais laikomomentais. Papildomą sąlygą užrašome kaip

ρ(x, t0) = ρ0(x). (2.6)

Toks uždavinys (lygtis ir papildoma (2.6) pavidalo sąlyga) vadinamas pradiniu.Geometriškai, sąlyga (2.6) nurodo kreivę, per kurią turi eiti sprendinys ρ(x, t).Sąlygą (2.6) galima apibendrinti įvedant kreivę Γ, kuri turi priklausyti spren-dinio paviršiui taip, kad kreivės Γ projekcija plokštumoje (x, t) nebūtinai yra xašis. 2 skyriuje parodoma, kad esant tinkamoms prielaidoms lygčiai ir kreiveiΓ, egzistuoja vienintelis šios diferencialinės lygties sprendinys.

Rasime dar vieno integralo išvestinę

d

dt

∫Ω(t)

f(x, t)ρ(x, t) dx =

∫Ω(t)

( DDt

(fρ) + fρ∇·v)dx

=

∫Ω(t)

(DfDt

ρ+ f(DρDt

+ ρ∇·v))dx.

Jeigu ρ tenkina tolydumo lygtį, tuomet gauname formulę

d

dt

∫Ω(t)

fρ dx =

∫Ω(t)

Df

Dtρ dx. (2.7)

2.2. Difuzijos lygtis

Difuzijos lygtimi vadinsime lygtį dalinėmis išvestinėmis

ρut = ∇·(p(x)∇u)− q(x)u+ f(x, t), x ∈ Ω, t ≥ 0, (2.8)

kuri dar vadinama šilumos laidumo lygtimi ir aprašo šilumos sklidimą arba da-lelių difuziją. Koeficientai ρ(x, t), p(x, t), q(x, t) apibrėžiami aplinkos (terpės),kurioje vyksta difuzija ar šilumos sklidimas savybėmis, o laisvasis narys f(x, t)išreiškia išorinių šaltinių intensyvumą.

1811 m. Prancūzijos akademija pasirinko šilumos laidumo uždavinį savometiniam apdovanojimui. Prizas buvo įteiktas prancūzų matematikui Furjė uždu svarbius rezultatus. Jis užrašė tinkamą diferencialinę lygtį ir sukūrė jossprendimo metodą. Pagrindinė Furjė pasiūlyta idėja buvo energijos tvermėsdėsnis.


Išvesime šilumos laidumo lygtį. Sakykime, izotropinis kūnas sutampa susritimi Ω, kurios kraštas ∂Ω yra glodusis paviršius su (išorine) normale n. Kūnotemperatūrą taške x ∈ Ω laiko momentu t pažymėkime u(x, t), o ρ(x), c(x),k(x) – šio kūno tankį, santykinę šilumos talpą ir šilumos laidumo koeficientątaške x, o f(x, t) – šilumos šaltinių intensyvumą taške x laiko momentu t.

Galima užrašyti sukauptos srityje Ω energijos (šilumos) pokytį tarp laikomomentų t ir t+∆t

Q =

∫Ω

cρ[u(x, t+∆t)− u(x, t)] dx =

t+∆t∫t

∫Ω

cρut(x, t) dxdt. (2.9)

Vidiniai šilumos šaltiniai išskiria QΩ =∫ t+∆tt

∫Ωf(x, t) dxdt šilumos. Likusi

šiluma patenka per srities kraštą ∂Ω kaip šilumos srautas B:

Q∂Ω = −t+∆t∫t

∫∂Ω

B · n dσdt,

nes į srities vidų patenka tik šilumos srauto dalis nukreipta normalei priešingakryptimi. Užrašykime šilumos balanso lygybę Q = QΩ + Q∂Ω, padalinkime iš∆t ir pereikime prie ribos, kai ∆t→ 0:∫

Ω

(cρut − f) dx = −∫∂Ω

B · n dσ = −∫Ω

∇·B dx.

Pakutinėje lygybėje pritaikėme Gauso formulę. Remiantis 1.1 lema, išvedamelygtį

cρut = −∇·B + f. (2.10)

Norėdamas užrašyti šilumos srautą Furjė panaudojo eksperimentinį paste-bėjimą, kad šiluma „teka iš karštesnės vietos į šaltesnę vietą“ ir šilumos srautaspriklauso nuo temperatūrų skirtumo (kuo didesnis temperatūrų skirtumas, tuotuo didesnis šilumos srautas). Iš matematinės analizės žinoma, kad greičiausiaifunkcija auga gradiento kryptimi. Todėl Furjė suformulavo dėsnį

B(x, u) = −p(x)∇u, (2.11)

kuris vadinamas Furjė šilumos laidumo dėsniu. Teigiama funkcija p vadinamašilumos laidumo (arba Furjė) koeficientu. Koeficiento p reikšmė priklauso nuoterpės, kurioje sklinda šiluma. Vienalytėje srityje p yra konstanta.

Įstatydami srauto išraišką į (2.10) lygtį, išvedame šilumos laidumo lygtį (2.8)(galima imti c(x) = 1).

1.2 pastaba. Papildomas narys −q(x)u lygtyje įvedamas aprašyti šilumos pra-radimą dėl spilduliuotės (nedidelėms temperatūroms jis tiesiškai priklauso nuou).


Jeigu koeficientai c, ρ ir p yra konstantos, tai (2.8) lygtis tampa

ut = a2∇2u+ g, a2 =p

cρ, g =

f

cρ. (2.12)

1.3 pastaba. Jeigu vietoje Furjė dėsnio imsime Nernsto11 dėsnį ir nagrinėsimedalelių difuziją, tuomet analogiškai išvedama difuzijos lygtis.

Pradinė sąlyga. Laiko momentu t = t0 duota pradinė kūno temperatūra:

u(x, t0) = ϕ(x), x ∈ Ω. (2.13)

Kitas papildomų sąlygų tipas DL dalinėmis išvestinėmis, turintis daug tai-kymų, yra kraštinės sąlygos. Tai yra sąlygos, nustatančios sprendinio (arba joišvestinės) būseną ant srities krašto. Išskyrus retą išimtį, nagrinėjamos trijųtipų kraštinės sąlygos:

1) Dirichlė12 sąlyga: kūno paviršiuje palaikoma temperatūra

u∣∣∂Ω

= µ(x, t), x ∈ ∂Ω; (2.14)

2) Noimano13 sąlyga: kūno paviršiuje duotas šilumos srauto normalinė kom-ponentė

−p(x)∂u

∂n

∣∣∣∂Ω

= ν(x, t), x ∈ ∂Ω; (2.15)

3) Robino14 sąlyga: kūno paviršiuje vyksta šilumos mainai pagal Niutono15

dėsnį

(p(x)

∂u

∂n+ h(x)u

)∣∣∂Ω

= χ(x, t), x ∈ ∂Ω, |p|+ |h| 6= 0. (2.16)

Čia ν, h, µ, χ – tolydžiosios funkcijos.Nors aprašytos trijų tipų sąlygos yra dažniausiai naudojamos taikymuose,

yra išimčių. Pavyzdžiui, gali būti užduota u ant krašto dalies ir jos išvestinėpagal normalę likusioje krašto dalyje. Tai yra mišrioji kraštinė sąlyga. Kita gali-mybė yra apibendrinti trečiojo tipo sąlygą ir vietoj normalios išvestinės naudotikryptinę išvestinę u bet kuria kryptimi, kuri nėra krašto liestinė. Tai vadi-nama pasvirusia kraštine sąlyga (angl. oblique boundary condition). Dar yranelokaliosios kraštinės sąlygos. Pavyzdžiui, galima pateikti kraštinę sąlyga, kaišilumos srautas kiekviename krašto taške proporcingas temperatūros integraluipagal visą sritį.

11Walther Nernst (1864-1941) – vokieciu fizikas ir chemikas.12Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) – vokieciu matematikas.13Carl Gottfried Neumann (1832-1925) – vokieciu matematikas.14Victor Gustave Robin (1855-1897) – prancuzu matematikas.15Isaac Newton (1643-1727) – anglu fizikas ir matematikas.


2.3. Hidrodinamikos lygtys

Skysčius ir dujas sudaro didelis molekulių skaičius, todėl neįmanoma apra-šyti elektromagnetizmo arba kvantinės mechanikos teorijomis. Nuo XVIII a.mokslininkai kūrė modelius ir lygtis makroskopiniams dydžiams, tokiems kaiptemperatūra, slėgis, greitis ir t.t. Kaip jau buvo paaiškinta, šios lygtys grindžia-mos tvermės dėsniais.

Paprasčiausias skysčio (ar dujų) aprašymas naudoja tris funkcijas apibūdi-nančias skysčio būseną bet kuriame laiko ir erdvės taške:

• tankis ρ(x, t);

• greitis u(x, t);

• slėgis p(x, t).

Paprastumo dėlei, tarkime, kad temperatūra yra konstanta. Masės tvermėsdėsnį atitinka tolydumo lygtis (žiūrėk (2.4)):

ρt +∇·(ρu) = 0. (2.17)

Toliau reikalaujame, kad skystis tenkintų judesio kiekio tvermės dėsnį: sis-temos judesio kiekio kitimo greitis lygus sistemą veikiančiai išorinei jėgai. Vienotaško atveju šis dėsnis užrašomas formule d

dtQ = F , čia Q = mv judesio kie-kis. Skysčio (dujų) tekėjimuose be įprastų jėgų, veikiančių kūną (gravitacija irpan.) ir aprašomų jėgos tankiu f = lim∆m→0

∆F∆m , dar papildomai atsižvelgia-

ma į paviršines jėgas P , kurios pasireiškia kaip slėgis ir trinties jėgos, aprašomospaviršinės jėgos tankiu p = lim∆S→0

∆P∆S :

F =

∫Ω(t)

fρ dx, P =

∫∂Ω(t)

p dσ.

Paprastumo dėlei, nenagrinėsime trinties jėgų tarp gretimų skysčio molekulių,t.y. laikysime, kad p = −pn (idealus skystis), čia p – slėgis. Judesio kiekisapibrėžiamas kaip integralas Q =

∫Ω(t)

vρ dx. Tada judesio kiekio tvermėsdėsnis užrašomas lygybe

d

dt

∫Ω(t)

vρ dx =

∫Ω(t)

fρ dx+

∫∂Ω(t)

pn dσ.

Diferencijuojame kairėje lygybės pusėje integralą (žiūrėk (2.7)), o paviršiniamintegralui taikome Gauso formulę (žiūrėk (1.8)):∫

Ω(t)

Dv

Dtρ dx =

∫Ω(t)

fρ dx−∫

Ω(t)

∇p dx.

Iš čia gauname (žiūrėk 1.1 lemą) diferencialinę lygtį dalinėmis išvestinėmis

ρ(vt + (v ·∇)v) = −∇p+ ρf . (2.18)


Gavome dvi diferencialines lygtis (viena iš jų vektorinė) trims nežinomomsfunkcijoms (ρ, ~u, p). Tam kad sudarytume sistemą, reikalinga dar viena lygtis.Energijos tvermės dėsnis jau buvo įtrauktas darant prielaidą, kad temperatūrayra pastovi. Galima užrašyti (nediferencialinę) būsenos lygtį, kuri susieja slėgįir tankį (barotropinis atvejis)

p = p(ρ). (2.19)

Pilna sistema, kurią sudaro (2.17)–(2.19) lygtys, yra vadinamos Eulerio lygtimis.Jei atsižvelgti į trintį tarp skysčio molekulių, atsiranda papildomas dėmuo

(2.18) lygtyje. Ši trintis yra vadinama klampiu. Labai svarbus atvejis yrakai klampus skystis yra nespūdus Dρ

Dt = 0 arba net konstanta (tas būdingaskysčiams). Tokias lygtis pirmasis nagrinėjo 1822 m. C. Navjė16, o vėliau G.Stoksas17:

ρ(vt + (v ·∇)v

)= µ∇2v −∇p+ ρf , (2.20)

∇·v = 0. (2.21)

Šios lygtys vadinamos Navjė ir Stokso sistema, ir ji yra pagrindinės hidrodina-mikos lygtys. Parametras µ vadinamas skysčio klampiu. Atkreipkite dėmesį,kad (2.20)–(2.21) yra kvazitiesinių lygčių sistema. Ši lygčių sistema yra aktyviaityrinėjama ir naudojama daugybėje taikymų (lėktuvų ir laivų dizainas, kraujotekėjimas arterijose, rašalo tekėjimas spausdintuve, paukščių ir žuvų judėjimasir pan.). Tačiau vis dar neįrodytas Navjė ir Stokso lygčių korektiškumas, t.y.sprendinio globalus egzistavimas (Millenium Mathematics Prize Problem).

2.4. Svyravimų (stygos) lygtis

Daugelis mechanikos (stygos svyravimai, plonos membranos svyravimai, gar-sas) ir fizikos reiškinių (elektromagnetiniai virpesiai) aprašomi svyravimų lygtimi

ρutt = ∇·(p∇u)− qu+ ρf, x ∈ Ω, t ≥ 0, (2.22)

Koeficientai ρ(x), p(x), q(x) apibrėžiami aplinkos (terpės), kurioje vyksta svyra-vimai savybėmis, o laisvasis narys f(x, t) išreiškia išorinių procesų intensyvumą.Mes laikysime, kad funkcijos ρ(x) ir p(x) apibrėžtos ir tolydžios srityje Ω ⊂ Rn,o funkcija p(x), be to, tolydžiai diferencijuojama, ir p(x) > 0.

Išvesime (2.22) lygtį be galo mažų skersinių stygos svyravimų atveju. Stygavadinsime be galo ploną siūlą, kuris nesipriešina išlenkimui. Sakykime, plokš-tumoje (x, u) styga svyruoja apie savo pusiausvyros padėtį, sutampančią sux-ašimi. Stygos taškus sunumeruokime x koordinatėmis pusiausvyros padėtyje.Jeigu styga atlieka skersinius svyravimus, tuomet stygos taškas x laiko momentut irgi turės koordinatę x, o kitą šio taško koordinatę pažymėsime u(x, t), nes jipriklauso koks ir kuriuo laiko momentu yra pasirinktas taškas. Stygos (tiesinį)tankį taške x pažymėkime ρ(x), o išorinių jėgų tankį t laiko momentu – f(x, t).

16Claude Louis Marie Henri Navier (1785-1836) – prancuzu inžinierius ir fizikas.17George Gabriel Stokes (1819-1903) – anglu matematikas ir fizikas.


u

f

T( )

T( )a( )

0 L

T( )L

u(0) |T|=TTsina

a

a( )

1.1 pav. Stygos svyravimai

Laikysime, kad išorinės jėgos kryptis plokštumoje (x, u) statmena x-ašiai, irvertikaliąją šios jėgos (tiesinio) tankio komponentę žymėkime f(x, t).

Kadangi styga nesipriešina išlenkimui, tai jos įtempimo jėga T (x, t) taške xmomentu t nukreipta liestinės taške (x, u(x, t)) kryptimi. Pažymėkime T (x, t)šios jėgos modulį. Jeigu stygos liestinės taške x kampas su x-ašimi yra α(x),tuomet

sinα(x) =tgα(x)√

1 + tg 2α(x)=

ux(x)√1 + u2

x(x). (2.23)

Nagrinėkime stygos dalį, atitinkančią [x;x+∆x] (žiūrėk 1.1 pav.). Be galomažo stygos elemento [x, x+∆x] masė bus lygi ρ = ρ(x)∆x+ o(∆x). Šį stygoselementą taškuose x ir x + ∆x veikia įtempimo jėgos T (x, t), T (x + ∆x, t) irišorinė jėga F (x, t) = f(x, t)ρ(x)∆x+o(∆x), kurių suma, pagal antrąjį Niutonodėsnį, lygi masės ir pagreičio sandaugai:

ρ∆xa = T (x+∆x, t) + T (x, t) + F (x, t).

Imkime lygties projekciją į u-ašį

ρutt =T (x+∆x, t) sinα(x+∆x, t)− T (x, t) sinα(x, t)

∆x+ ρf.

Pereidami prie ribos, kai ∆x→ 0, gauname

ρ(x)utt =(T (x, t) sinα(x, t)

)x

+ ρ(x)f(x, t).

Pasinaudodami (2.23) lygybe išvedame stygos svyravimų lygtį

utt =1

ρ(x)

(T (x, t)

ux√1 + u2

x

)x

+ f(x, t). (2.24)


Apsiribokime tik be galo mažais svyravimais, t.y. |ux| 1. Tada bet kuristygos dalis [a, b], atsilenkusi nuo pusiausvyros padėties, turės tokį pat ilgį, nes

l = l(a, b) =

∫ b

a

√1 + u2

xdx ≈∫ b

a

1dx = b− a,

ir, pagal Huko18 dėsnį, įtempimo jėgos absoliutinis didumas bus pastovus T (x, t) =T0. Šiuo atveju (2.24) kvazitiesinė lygtis tampa tiesine

utt = a2(x)uxx + f(x, t), a(x) =√T0/ρ(x). (2.25)

Ši lygtis vadinama mažų stygos skersinių svyravimų lygtimi. Jeigu f ≡ 0, taistygos svyravimai vadinami laisvaisiais svyravimais, o lygtis – homogenine lyg-timi. Tuo atveju, kai ρ(x) ≡ ρ – konstanta, stygos svyravimŲ lygtis užrašoma

utt = a2uxx + f, a ≡ const. (2.26)

Lygtis (2.22) taip pat aprašo tampraus strypo mažus išilginius svyravimus:

ρS(x)utt =(E(x)S(x)ux

)x

+ f(x, t), (2.27)

čia S(x) strypo skerspjūvio plotas, o E(x) – Jungo19 modulis taške x.Mažų membranos skersinių svyravimų lygtis yra

utt =T0

ρ(x)

(uxx + uyy

)+ f(x, y, t), (2.28)

o tuo atveju, kai ρ ≡ const, turime lygtį

utt = a2(uxx + uyy

)+ f(x, y, t), (2.29)

kuri dar vadinama dvimate bangine lygtimi.Trimatė banginė lygtis

utt = a2(uxx + uyy + uzz

)+ f(x, y, z, t), (2.30)

aprašo garso ir elektromagnetinių bangų sklidimą vienalytėje aplinkoje. Forma-liai (2.26), (2.29) ir (2.30) lygtis galima užrašyti viena formule

2au = g(x, t), (2.31)

kurioje 2a := ∂2

∂t2 − a2∇2.

Norint nustatyti materialaus taško (turinčio inertiškumo savybę ir kurio ju-dėjimas tenkina Niutono dėsnius) padėtį bet kuriuo momentu pakanka žinotipradinę taško padėtį ir pradinį greitį. Norint surasti stygos, membranos arstrypo padėtį irgi reikalingos pradinės sąlygos:

18Robert Hooke (1635-1703) – anglu mokslininkas.19Thomas Young (1773-1829) – anglu mokslininkas.


u u

1.2 pav. Krastines salygos stygos lygčiai.

a) žinoma pradinė stygos padėtis laiko momentu t = t0 (paprastai t0 = 0):

u(x, t0) = ϕ(x), x ∈ Ω; (2.32)

b) žinomas pradinis greitis:

ut(x, t0) = ψ(x), x ∈ Ω. (2.33)

Jeigu Ω = Rn, tuomet formuluojamas Koši uždavinys: rasti (2.22) lygtiessprendinį, tenkinantį (2.32) ir (2.33) pradines sąlygas.

Tačiau ne visada sprendiniui surasti užtenka pradinių sąlygų. Imkime, pa-vyzdžiui, baigtinio ilgio stygą su pritvirtintais galais taškuose x0 ir x1. Kadangisprendinio u(x, t) reikšmė apibrėžia stygos atsilenkimo nuo x-ašies dydį taškex laiko momentu t, tai visą virpėjimo laiką stygos galuose, taškuose x = x0 irx = x1, atsilenkimas bus lygus nuliui. Vadinasi, u(x0, t) = u(x1, t) = 0. Šiuoatveju, be pradinės (laiko momentu t0) stygos padėties u = ϕ(x) ir pradiniostygos judėjimo greičio ut = ψ(x), reikia iš anksto fiksuoti ir stygos galų padėtįvisą judėjimo laiką. Pastarosios sąlygos vadinamos kraštinėmis sąlygomis.

Kraštinių sąlygų pavyzdžiai stygai:

a) jeigu stygos galas x1 juda pagal dėsnį µ(t), tuomet kraštinė sąlyga užra-šoma:

u(x1, t) = µ(t); (2.34)

b) jeigu stygos dešinįjį galą veikia duota jėga ν(t), tuomet

ux(x1, t) =ν(t)

T0, (2.35)

nes T0ux(x1, t) = T0tgα(x1, t) ≈ T0 sinα(x1, t) = ν(t);

c) jeigu dešinysis stygos (strypo) galas tampriai pritvirtintas, ir α yra stan-dumo koeficientas, tuomet iš Huko dėsnio išplaukia, kad

(Eux + αu)(x1, t) = 0. (2.36)


Analogiškai apibrėžiamos kraštinės sąlygos taške x = x0.Jeigu membranos kraštai pritvirtinti, ir jos kontūras yra kreivė S, tai kraštinė

sąlyga busu∣∣S

= µ(x, y, t), (x, y) ∈ S. (2.37)

Bendruoju atveju, svyravimų lygtį nagrinėjame srityje Ω ⊂ Rn. Tada for-muluojame pirmąjį kraštinį uždavinį: rasti (2.22) lygties sprendinį, tenkinantį(2.32) ir (2.33) pradines, bei kraštinę sąlygą

u∣∣S

= µ(x, t), x ∈ S. (2.38)

Čia µ(x, t) yra glodžioji funkcija, apibrėžta, kai t ≥ 0 ir x ∈ S. Tai Dirichlė(pirmojo) tipo kraštinė sąlyga.

Dabar imkime membraną, kuri nėra pritvirtinta ir gali judėti cilindre (ver-tikaliai). Tada, membranai virpant, jos krašte atsiranda įtempimo jėga, kurilygi membranos kraštą veikiančiai išorinei jėgai. Šiuo atveju formuluojame ant-rąjį kraštinį uždavinį: rasti (2.22) lygties sprendinį, tenkinantį (2.32) ir (2.33)pradines, bei Noimano (antrojo) tipo kraštinę sąlygą

∂u

∂n

∣∣∣S

= ν(x, t), x ∈ S. (2.39)

Čia ν(x, t) ∈ C(S × [0,∞)

).

Dar gali būti formuluojamas kraštinis uždavinys: rasti (2.22) lygties sprendi-nį, tenkinantį (2.32) ir (2.33) pradines bei Robino (trečiojo) tipo kraštinę sąlygą

(αu+ β

∂u

∂n

)∣∣∣S

= χ(x, t), x ∈ S. (2.40)

Čia α, β ∈ C(S) ir χ ∈ C(S × [0,∞)

), α2 + β2 6= 0.

Jei kuri nors funkcija µ(x, t), ν(x, t) arba χ(x, t) lygi nuliui, tai atitinkamakraštinė sąlyga vadinama homogenine. Mes suformulavome tris pagrindiniuskraštinius uždavinius.

Funkcijos, apibrėžiančios pradines ir kraštines sąlygas, turi būti suderintos.Pavyzdžiui, pirmojo kraštinio uždavinio atveju privalo būti išpildytos lygybės

ϕ(x)∣∣S

= µ(x, 0), ψ(x)∣∣S

= µt(x, 0), x ∈ S. (2.41)

Antrojo kraštinio uždavinio atveju

∂ϕ

∂n

∣∣∣S

= ν(x, 0), x ∈ S. (2.42)

Pradinės, kraštinės ir suderinamumo sąlygos leidžia iš bendrojo sprendinio iš-skirti mums reikiamą vienintelį sprendinį. Tačiau „gerais“ galime laikyti tiktuos sprendinius, kurie tolydžiai priklauso pradinių ir kraštinių sąlygų.


2.5. Stacionariosios lygtys

Jeigu (2.8) arba (2.22) lygtyje visos žinomos funkcijos nepriklauso nuo lai-ko, ir mes nagrinėjame nusistovėjusius procesus (stacionariuosius), tuomet šioslygtys tampa lygtimi

−∇· (p∇u) + qu = f(x), x ∈ Ω. (2.43)

Jei p ≡ const, q = 0, tai (2.43) lygtis vadinama Puasono20 lygtimi

−∇2u = g, g =f

p, (2.44)

kuri, kai g = 0, dar vadinama Laplaso lygtimi. Ją savo darbe apie gravita-ciją užrašė P.S. Laplasas. Laplaso lygties sprendiniai vadinami harmoninėmisfunkcijomis. Laplaso lygtis turi labai daug taikymu, pavyzdžiui, šilumos laidu-mo uždavinyje temperatūros laukas yra harmoninis, kai pasiekta pusiausvyra.Lygtis yra labai svarbi mechanikoje, elektromagnetizme, tikimybių teorijoje,kvantinėje mechanikoje, gravitacijos teorijoje, biologijoje ir kt. Laplaso lygtieskraštinės sąlygos paprastai yra (2.37), (2.38), (2.39), su funkcijomis µ, ν, χ, k,h, nepriklausančiomis nuo laiko t.

Stacionarioji lygtis∇2u+ k2u = −f

vadinama Helmholco21 lygtimi.

2.6. Maksvelo lygtys

Be išvedimo užrašykime Maksvelo lygtis, kurios aprašo elektromagnetiniusvirpesius:

∇· (εE) = 4πρ, ∇· (µH) = 0,

∇×E = − 1c (µH)t, ∇×H = − 1

c (εE)t + 4πc I, (2.45)

(2.46)

čiaE – elektrinio lauko stiprumas,H – magnetinio lauko stiprumas, I – elektrossrovės stiprumas. Jei ρ = 0, ε ≡ const, µ ≡ const, I = λE, λ ≡ const, taipritaikę operatorių ∇× paskutinėm dviem (2.45) sistemos lygtims ir pasinaudojęformule ∇× (∇× v) = ∇(∇· v) − ∇2v, komponentėms E ir H gausime, taipvadinamą, telegrafo lygtį

2au+ 4πλε ut = 0, a =

c√εµ, u = (E, H). (2.47)

20Simeon Denis Poisson (1781-1840) – prancuzu matematikas ir fizikas.21Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821-1894) – vokieciu fizikas.


Jei procesas yra stacionarus, tai iš Maksvelo lygčių išplaukia elektrostatikoslygtys:

∇· (εE) = 4πρ, ∇×E = 0;

ir magnetostatikos lygtys:

∇· (µH) = 0, ∇×H = 4πc I.

2.7. Minimalaus paviršiaus lygtis

Minimalių paviršių tyrimas prasidėjo nuo Puasono ir Plato22 darbų. PagalPuasono teoremą, paviršiaus, skiriančio dvi fizines aplinkas, kurios yra pusiau-svyroje, vidutinis kreivumas yra proporcingas slėgio skirtumui šiose aplinkose.Tokių paviršių pavyzdžiai: muilo burbulai ir muilo plėvelė ant vielos kontūro.Reikalinga rasti paviršių, einantį per erdvinį uždarą kontūrą tokį, kad paviršiausplotas būtų minimalus. Lagranžas parodė, kad minimalaus paviršiaus grafikastenkina antros eilės netiesinę DL dalinėmis išvestinėmis:

(1 + u2y)uxx − 2uxuyuxy + (1 + u2

x)uyy = 0. (2.48)

Kai minimalaus paviršiaus kreiviai yra maži, t.y. |ux|, |uy| 1, (2.48) netiesinėlygtis gali būti aproksimuota Laplaso lygtimi.

2.8. Biharmoninė lygtis

Tamprumo teorijoje plonos tamprios plokštelės pusiausvyros būseną aprašoamplitudės funkcija u(x, y) (plokštelės nuokrypis nuo horizontalios padėties).Galima įrodyti, kad funkcija u tenkina ketvirtosios eilės diferencialinę lygtį

∇4u = ∆2u = uxxxx + 2uxxyy + uyyyy = 0. (2.49)

Ši lygtis vadinama biharmonine.

2.9. Šriodingerio lygtis

Kvantinės dalelės banginė funkcija ψ tenkina Šriodingerio23 lygtį

ı~ψt =(− ~2

2m0∇2 + V (x, t)

)ψ. (2.50)

Šią lygtį 1926 metais pasiūlė E. Šriodingeris. Kompleksinės banginės funkcijosψ modulio kvadratas |ψ|2 nusako tikimybės, kad dalelė yra tam tikrame taške,tankį, o V yra žinoma funkcija (potencialas), m - dalelės masė ir ~ yra Plankokonstanta h padalinta iš 2π.

22Joseph Antoine Ferdinand Plateau (1801-1883) – belgu fizikas.23Erwin Rudolf Josef Alexander Schrodinger (1887-1961) – austru fizikas.


2.10. Atsitiktinis judėjimas

Atsitiktinį smulkių dalelių judėjimą pirmą kartą aprašė R. Braunas24. Todėljis vadinamas Brauno judėjimu. Pirmąjį Brauno judėjimo matematinį modelįsukurė Einšteinas25 1905 metais. Jis pasiūlė modelį, kuriame dalelė esanti plokš-tumos taške (x, y) per mažą laiko intervalą ∆t peršoka į vieną iš gretimų taškų(x±∆x, y±∆x). Einšteinas parodė, kad prie tam tikrų prielaidų dydžiams ∆xir ∆t, tikimybė, kad dalelė bus taške (x, y) laiko momentu t aprašoma šilumoslaidumo lygtimi. Jo modelis turi daug taikymų fizikoje, biologijoje, chemijoje,ekonomikoje ir kt. Parodysime, kaip gauti diferencialinę lygtį Brauno judėjimoteorijos tipiniame uždavinyje.

Nagrinėkime dalelę dvimatėje srityje Ω. Kad būtų paprasčiau, apsiribokimeatveju, kai Ω yra vienetinis kvadratas. Įveskime tinklą, dalijantį Ω įN2 identiškųmažų kvadratų su viršūnėmis (xi, yj). Kiekvienos kraštinės ilgis ∆x. Dalelė išvidinio taško (xi, yj) per laiko intervalą ∆t patenka į vieną iš gretimų taškų suta pačia tikimybe. Kai dalelė pasiekia srities kraštą, ji išnyksta (miršta).

Kokia yra vidutinė gyvenimo trukmė u(x, y) dalelės, kuri pradeda savo gy-venimą taške (x, y), kai

∆x→ 0, ∆t→ 0,4∆t

(∆x)2→ k?

Akivaizdu, kad dalelė, pradedanti savo gyvenimą viename iš kraštiniu tašku,miršta iš karto:

u(x, y) = 0, (x, y) ∈ ∂Ω.

Kai (x, y) yra vidinis taškas, per laiko intervalą ∆t su ta pačia tikimybe dalelėgali patekti į vieną iš keturių jos artimiausių kaimynų. Tai aprašo skirtumųlygtis

u(x, y) = ∆t+1

4

(u(x−∆x, y)+u(x+∆x, y)+u(x, y−∆x)+u(x, y+∆x)

). (2.51)

Tarkime, kad u ∈ C4. Tada lygties dešinėje pusėje visas funkcijas galima iš-skleisti Teiloro eilutėmis. Dalijant abi lygties (2.51) puses iš (∆x)2 ir pereinantprie ribos, gauname Puasono lygtį

∇2u = −k, (x, y) ∈ Ω. (2.52)

Ištirtas modelis turi daugybę taikymų. Vienas iš jų susijęs su akcijų kainųkitimo analize. Daugelis akcijų rinkos modelių yra pagrįsti prielaida, kad kainoskeičiasi atsitiktinai. Tarkime, brokeris perka akcijas už tam tikrą kainą. Jis išanksto nusprendžia parduoti, jei jų kaina siekia viršutinę ribą m2 (norėdamasgauti pelno) ar apatinę ribą m1 (norėdamas sumažinti nuostolius, kai kursaskrenta). Kiek laiko vidutiniškai tarpininkas turi akcijų, darant prielaidą, kad

24Robert Brown (1773-1858) – skotu botanikas.25Albert Einstein (1879-1955) – vokieciu (žydu tautybės) fizikas.


akcijų kainos kitimas atitinka Brauno judėjimą? Tai yra vienmatė modelioversija. Lygtis ir atitinkamos kraštinės sąlygos:

ku′′ = −1, u(m1) = u(m2) = 0. (2.53)

2.11. Kitos lygtys

Dar yra daug kitų diferencialinių lygčių, kurios yra svarbios įvairių moks-lo ir technikos uždavinių tyrime:reakcijos ir difuzijos lygtis, aprašanti cheminiųreakcijų modelį; tamprumo lygtis; Kortevego26 ir de Vryso27 lygtis (KdV), nau-dojama kaip matematinis modelis, apibūdinantis bangas, sklindančias seklausvandens paviršiumi; netiesinė Šriodingerio lygtis (netiesinėje) optikoje ir super-takiuosiuose skysčiuose; Ginzburgo28 ir Landau29 superlaidumo lygtis; Einšteinolygtys bendrojoje reliatyvumo teorijoje, aprašančios gravitaciją, ir kitos.

26Diederik Korteweg (1848-1941) – olandu matematikas.27Gustav de Vries (1866-1934) – olandu matematikas.28Виталий Лазаревич Гинзбург (1916-2009) – rusu fizikas.29Лев Давидович Ландау (1908-1968) – rusu (žydu tautybės) fizikas.

2 skyrius

Pirmosios eilės lygtys dalinėmis išvestinėmis

Paprasčiausios lygtys dalinėmis išvestinėmis yra tiesinės lygtys. Šių lygčių sprendinioradimas glaudžiai susijęs su pirmųjų integralų radimu sprendžiant charakteristikų lygtį.Įrodoma tiesinės homogeninės ir kvazitiesinės pirmos eilės lygties dalinėmis išvestinėmissprendinio egzistavimo ir vienaties teoremos.

1. TIESINĖ LYGTIS

Tegul M yra sritis (aprėžta arba begalinė) kintamųjų x = (x1, . . . , xm) erdvė-je Rm. Šioje srityje M apibrėžtas nenulinis glodusis vektorinis laukas ~P (x) ∈C1(M), ir ~P (x) 6= ~0.

1.1. Tiesinė homogeninė lygtis

2.1 apibrėžimas. Tiesine homogenine pirmosios eilės lygtimi (TH) vadinsimelygtį

L~Pu = 0, (1.1)

čia ~P (x) – duotasis vektorinis laukas.

Sakykime, (P 1, . . . , Pm) yra vektorinio lauko ~P (x) komponentės koordina-tėse (x1, . . . , xm). Tada lygtis šiose koordinatėse yra

P 1 ∂u

∂x1+ · · ·+ Pm

∂u

∂xm= 0. (1.2)

Vektorinis laukas ~P (x) vadinamas (1.1) lygties charakteringuoju vektoriniu lau-ku. Autonominę

dx

dt= ~P (x) (1.3)

lygtį, užrašytą simetrišku pavidalu

dx1

P 1= · · · = dxm

Pm, (1.4)

vadinsime (1.1) lygties charakteristikų lygtimi. Autonominės lygties sprendinysx = x(t) vadinamas integraline kreive, o sprendinio vaizdas erdvėje Rm, t.y.taškų x(t) visuma, vadinamas fazine kreive. Charakteristikomis vadinsime (1.3)lygties fazines kreives arba (1.4) lygčių sistemos integralines kreives.

1. 1.. Tiesinė lygtis 22

Pastebėsime, kad (1.3) lygčių sistemos fazinės kreivės užpildo visą sritį M,nes iš PDL teorijos, žinome: bet kokiai pradinei sąlygai x(0) = x0 ∈M egzistuo-ja vienintelis (1.3) lygties sprendinys, einantis per tašką (0,x0). Tą integralinękreivę atitinkanti fazinė kreivė eis per tašką x0.

2.1 pavyzdys [[Dvimatis atvejis]]. Nagrinėkime diferencialinę lygtį

P∂u

∂x+Q

∂u

∂y= Pp+Qq = 0, (x, y) ∈M ⊂ R2. (1.5)

Tai pirmosios eilės tiesinė homogeninė lygtis, kurią atitinka neišsigimęs charakterin-gasis vektorinis laukas (P,Q) 6= ~0, t.y. nėra nei vieno taško (x0, y0), kuriame abifunkcijos būtų lygios nuliui: P (x0, y0) = 0, Q(x0, y0) = 0. Šis vektorinis laukas srityjeM generuoja autonominę (lygčių dešiniosios pusės nepriklauso nuo t) lygčių sistemą:

dxdt

= P (x, y),dydt

= Q(x, y).(1.6)

Jos charakteristikų lygtis yra

dx

P (x, y)=

dy

Q(x, y). (1.7)

Srities M ⊂ R2 taškuose, kuriuose P 6= 0, (1.7) lygtį galime perrašyti pavidaludydx

= QP. Šios lygties integralinės kreivės y = f(x) sutaps su (1.6) lygčių sistemosfazinėmis kreivėmis. Analogiškai, taškuose, kuriuose Q 6= 0, (1.7) lygtį galime per-rašyti pavidalu dx

dy= PQ, ir šios lygties integralinės kreivės x = g(y) sutaps su (1.6)

lygčių sistemos fazinėmis kreivėmis.

Teisingos dvi pirmojo integralo Ψ autonominei (1.3) lygčiai savybės (ekvi-valenčios pirmojo integralo apibrėžimui):

1 savybė. Pirmasis integralas Ψ yra pastovus ant lygties (1.3) integralinio sprendiniox(t).

2 savybė. Kiekviena vektorinio lauko fazinė kreivė x(t) priklauso vienam ir tikvienam funkcijos Ψ lygiui, t.y. aibei x|Ψ(x) = C.

2.1 teorema. Kiekviena šių savybių ekvivalenti pirmojo integralo apibrėžimui.

Įrodymas. Sakykime, funkcija Ψ(x) yra (1.3) lygties pirmasis integralas, o x(t)– tos lygties fazinė kreivė. Tada

dΨ(x(t))

dt=

m∑i=1

∂Ψ

∂xidxi

dt=

m∑i=1

P i∂Ψ

∂xi= L~P (x)Ψ = 0,

irΨ(x(t)) ≡ const. (1.8)

Įrodėme 1 savybę. Iš (1.8) formulės turime, kad fazinė kreivė priklauso tampačiam funkcijos Ψ lygiui, t.y. 2 savybė irgi išpildyta, ir atvirkščiai, jeigu fa-zinė kreivė priklauso vienam ir tik vienam funkcijos Ψ lygiui, tuomet funkcija

23 2 SKYRIUS. Pirmosios eilės lygtys [2014 02 16 (22:15)]

Ψ bus pastovi ant (1.3) lygties integralinės kreivės. Todėl 1 ir 2 savybės yraekvivalentiškos.

Per tašką x ∈ M išveskime (1.3) lygties fazinę kreivę. Ši kreivė, pagal 2savybę, priklauso vienam ir tik vienam funkcijos Ψ lygiui, t.y. x|Ψ(x(t)) ≡ C.Tada funkcijos Ψ išvestinė palei šią kreivę lygi nuliui ir

0 =dΨ(x(t))

dt=

m∑i=1

∂Ψ

∂xidxi(t)

dt=

m∑i=1

P i∂Ψ

∂xi= L~P (x)Ψ,

t.y. (1.1) lygybė taške x ∈ M yra išpildyta. Taškas x yra bet kuris srities Mtaškas, todėl teorema pilnai įrodyta. ut

2.2 teorema. Funkcija u yra pirmos eilės tiesinės homogeninės lygties spren-dinys tada ir tik tada, kai ji yra charakteristikų lygties pirmasis integralas.

Įrodymas. išplaukia iš pirmojo integralo apibrėžimo. ut

2.3 teorema. Bet kuris pirmos eilės tiesinės homogeninės lygties sprendinysyra charakteristikų lygties nepriklausomų pirmųjų integralų funkcija.

Įrodymas. išplaukia iš funkcijų nepriklausomumo apibrėžimo ir 2.2 teoremos.ut

2.1 išvada. Funkcija u = Ψ(x) kintamųjų (x, u) erdvėje Rm+1 apibrėžia in-tegralinį paviršių. Iš 2 savybės turime, kad integralinis paviršius sudarytas iškreivių, lygiagrečių erdvei Rm, ir kurių projekcijos šioje plokštumoje sutampa sucharakteristikomis.

2.2 pavyzdys. Surasime tiesinės homogeninės lygties

y∂u

∂x− x∂u

∂y= 0

bendrąjį sprendinį. Užrašykime charakteristikų lygtį

dx

y=

dy

−x ,

kurios vienintelis (nepriklausomas) pirmasis integralas yra Ψ = Ψ(x, y) = x2 + y2.Šios lygties fazinės kreivės yra koncentriški apskritimai x2 + y2 = c2. Tada bendrasissprendinys yra u = ϕ(x2 + y2).

2.3 pavyzdys. Rasime lygties

x1 ∂u

∂x1+ · · ·+ xn

∂u

∂xn= 0


dx1

x1= · · · = dxn

xn,

1. 1.. Tiesinė lygtis 24

kurios (n− 1)-as nepriklausomas pirmasis integralas yra

Ψ1 =x1

xn, . . . ,Ψn−1 =

xn−1

xn.

Iš tikro, suintegravę lygybes

dxi

x1=dxn

xn, i = 1, . . . , n− 1,

turime xi

xn= Ci. Bendrasis sprendinys turės pavidalą

u = ϕ( x1

xn, . . . ,

xn−1

xn)

= 0, ϕ ∈ C1.

1.2. Koši uždavinys

Srityje M ⊂ Rm rasime pirmos eilės tiesinės homogeninės (1.1) lygties spren-dinį, tenkinantį sąlygą u|γ = ϕ, čia γ – glodusis hiperpaviršius srityje M, o ϕ– duotoji funkcija ant šio paviršiaus. Hiperpaviršius γ dar vadinamas pradi-niu hiperpaviršiumi, funkcija ϕ pradine (Koši) sąlyga, o toks uždavinys – Košiuždaviniu.

Pastebėsime, kad Koši uždavinys ne visada turi sprendinį. Iš tikro, ant cha-rakteristikų sprendinys yra pastovus (pirmojo integralo savybė), o charakteris-tika gali kirsti pradinį hiperpaviršių keliuose taškuose, kuriuose pradinė funkcijabendruoju atveju įgyja skirtingas reikšmes.

2.2 apibrėžimas. Hiperpaviršiaus γ taškas vadinamas necharakteringuoju, jei-gu per jį einanti charakteristika transversali šiam pradiniam paviršiui.

2.4 teorema. Sakykime, x – necharakteringasis pradinio hiperpaviršiaus taš-kas. Tada egzistuoja tokia taško x aplinka U(x), kurioje Koši uždavinys turivienintelį sprendinį.

Įrodymas. Pagal vektorinio lauko ištiesinimo teoremą galima parinkti (taško xaplinkoje) tokias koordinates (y1, y2, . . . , ym), kad vektorinio lauko ~P kompo-nentės bus (1, 0, . . . , 0), o paviršiaus γ lygtis – y1 = g(y2, . . . ym), g ∈ C1. Pa-keiskime koordinatę y1 = y1 + g(y2, . . . ym). Naujose koordinatėse (y1, . . . , ym)Koši uždavinys užrašomas

∂u

∂y1= 0, u

∣∣∣y1=0

= ϕ(y), y = (y2, . . . , ym). (1.9)

Vienintelis (iškiloje aplinkoje) sprendinys yra u(y1, y) = ϕ(y). ut

Parametrinio hiperpaviršiaus atvejis.Sakykime, kad hiperpaviršius γ apibrėžtas parametrinėmis lygtimis

x = g(t), t = (t1, . . . , tm−1) ∈ T, rang g′ = m− 1.


Koordinatinė išraiška, kad paviršius γ yra hiperpaviršius be charakteringųjųtaškų, užrašoma ∣∣∣∣∣∣∣∣

P 1γ . . . Pmγ

∂g1

∂t1 . . . ∂gm

∂t1

. . . . . . . . .∂g1

∂tm−1 . . . ∂gm

∂tm−1

∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0, t ∈ T ⊂ Rm−1. (1.10)

Čia fγ := f g. Šiuo atveju pradinę (Koši) sąlygą patogu apibrėžti funkcijaϕγ = ϕ g : T → R. Nagrinėkime atvaizdį Ψ : M → V = ImΨ ⊂ Rm−1,Ψ = (Ψ1, . . . ,Ψm−1), čia Ψ1, . . . ,Ψm−1 – nepriklausomi (1.3) lygties pirmiejiintegralai, t.y rang Ψ′ = m − 1. Nagrinėkime šį atvaizdį tik hiperpaviršiuje γ,t.y. Ψγ : T → V ⊂ Rm−1. Šio atvaizdžio išvestinė (Ψγ)′ = (Ψg)′ = (Ψ′ g)g′,o tiesinių operatorių

g′ : TtRm−1 → Txγ, Ψ′ g : Txγ → TΨ(x)V

rangai lygūsm−1. Kadangi visų šių liečiamųjų erdvių dimensija lygim−1, todėlrang Ψ′γ = m− 1, ir Ψγ yra lokalusis difeomorfizmas iš T į V. Tada egzistuojalokalusis atvirkštinis difeomorfizmas Ψ−1

γ : V → T. Apibrėžkime šių atvaizdžiųkompoziciją u := ϕγ Ψ−1

γ Ψ : M → R :

Rm−1 ⊃

Rm+1 ⊃

VΨ−1

γ−−−−→ T

Ψx yϕγM −−−−→

uR

⊂ Rm−1

.

Funkcija u yra (1.1) tiesinės homogeninės lygties sprendinys, nes u = ϕγ Ψ−1γ (Ψ1, . . . ,Ψm−1) yra (m− 1)-o nepriklausomo pirmojo integralo funkcija, ir

u∣∣γ

= ϕγ Ψ−1γ Ψ g = ϕγ Ψ−1

γ Ψγ = ϕγ , t.y. tenkinama pradinė sąlyga.

2.4 pavyzdys. Surasime tiesinės homogeninės lygties

y∂u

∂x− x∂u

∂y= 0

Koši uždavinio u(x, 0) = sinx sprendinį.Šios lygties bendrasis sprendinys ( 2.2 pavyzdys) yra u = ϕ(Ψ), Ψ = x2 + y2. Jei

y = 0, turime sinx = ϕ(x2). Pastebėsime, kad kairėje pusėje sinx – nelyginė funkcija, odešinėje – ϕ(x2) lyginė funkcija. Todėl sprendinio reikia ieškoti atskirai srityse (−∞; 0)ir (0,∞). Akivaizdu, kad ϕ(x) = sin

√x, x > 0 ir ϕ(x) = − sin

√|x|, x < 0. Taškas

(0, 0) yra šią lygtį atitinkančio vektorinio lauko ~v = (y,−x) ypatingasis taškas, irtodėl duotąją lygtį reikia nagrinėti srityje R2 r (0, 0). Patikrinkime išsprendžiamumosąlygą: pradinę kreivę (x-ašį) užrašykime parametriškai γ = y = 0 = (t, 0). Turimeϕγ = ϕg = sin t. Tuomet P 1

γ = 0, P 2γ = −t, g1 = t, g2 = 0, ir (1.10) sąlyga šiuo atveju

yra ∣∣∣∣∣ P 1γ P 2

γ∂g1

∂t∂g2

∂t

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 0 −t1 0

∣∣∣∣ = t 6= 0.

2. 2.. Kvazitiesinės lygtys 26

Vadinasi, visi x-ašies taškai, išskyrus x = 0, yra necharakteringieji. Koši uždaviniosprendiniais yra u = ± sin

√x2 + y2, čia ženklas teigiamas, jei pradinė sąlyga duota,

kai x > 0, ir neigiamas, jei x < 0. Funkcija ϕ galima buvo surasti ir į pirmąjį integraląįstatant parametrinę x-ašies išraišką: Ψγ = Ψ g = t2. Iš čia t = ±

√Ψγ . Vadinasi,

u|γ = ± sin√

Ψγ , o tada u = ± sin√Ψ = ± sin

√x2 + y2.

1.3. Tiesinė nehomogeninė lygtis

Sakykime, ~P (x) : M → TxM – vektorinis laukas, o f : M → R – funkcija.

2.3 apibrėžimas. Tiesine nehomogenine pirmos eilės (TNH) lygtimi srityjeM ∈ Rm vadinsime lygtį

L~Pu = f. (1.11)

Koši uždavinys formuluojamas kaip ir TH lygties atveju.

2.5 teorema. Sakykime, x0 – necharakteringasis pradinio hiperpaviršiaus γtaškas. Tada egzistuoja tokia taško x0 aplinka U(x0), kurioje (1.11) lygtis turivienintelį sprendinį

u(g(x, t)

)= ϕ(x) +

t∫0

f(g(x, τ)

)dτ,

čia g(x, t) yra charakteristikų lygties sprendinys, tenkinantis pradinę sąlygąg(x, 0) = x ant pradinio paviršiaus γ.

Įrodymas. Ištiesinę vektorinį lauką ~P , turime uždavinį: rasti pradinio uždavi-nio

∂u

∂y1= f(y), u

∣∣y1=0

= ϕ(y)

sprendinį. Šio uždavinio sprendinys yra

u(y1, y) = ϕ(y) +

y1∫0

f(ξ, y)dξ.

ut

2.2 išvada. Koši uždavinio sprendinio pokytis pagal charakteristiką lygus funk-cijos f integralui pagal šią charakteristiką.

2. KVAZITIESINĖS LYGTYS

Sakykime, ~P (x, y) – duotasis vektorinis laukas, o R(x, y) – duotoji funkcija,y ∈ R, x ∈M ⊂ Rm.


2.4 apibrėžimas. Kvazitiesine pirmos eilės lygtimi (KL) vadinsime lygtį

L~au = f. (2.1)

čia u : M → R nežinomoji funkcija, ~a(x) = ~P(x, u(x)

), f(x) = R

(x, u(x)

).

Vadinasi, (2.1) lygtis skiriasi nuo tiesinės (1.11) lygties tik tuo, kad jos koeficien-tai priklauso nuo ieškomosios funkcijos. Koordinatinis (2.1) lygties pavidalas yra

P 1(x, u)∂u

∂x1+ · · ·+ Pm(x, u)

∂u

∂xm= R(x, u). (2.2)

Ieškokime (2.2) lygties sprendinio pavidalu

v(x, u) = 0,∂v

∂u6= 0. (2.3)

Apibrėžkime funkciją Ψ = v(x, u(x)

). Tada integralinio paviršiaus taškuose

Ψ = v(x, u(x)

)= 0. Imkime pilnąsias funkcijos Ψ išvestines pagal xi:

∂Ψ

∂xi≡ ∂v

∂xi+∂v

∂u

∂u

∂xi= 0, i = 1, 2, . . . ,m,

nes integralinio paviršiaus taškuose pilnosios išvestinės irgi lygios nuliui. Tada

∂u

∂xi= − ∂v

∂xi/∂v

∂u, i = 1, 2, . . . ,m.

Šias išvestinių išraiškas įrašę į (2.1), gauname tiesinę homogeninę v atžvilgiulygtį

P 1 ∂v

∂x1+ P 2 ∂v

∂x2+ · · ·+ Pm

∂v

∂xm+R

∂v

∂u= 0, (2.4)

kurios charakteristinę lygtį, užrašytą simetriniu pavidalu

dx1

P 1=dx2

P 2= · · · = dxm

Pm=du

R, (2.5)

vadinsime kvazitiesinės lygties charakteristikų lygtimi.Nagrinėkime (2.1) lygtį (m + 1)-matės erdvės srityje (x, u) ∈ N = M ×

R ⊂ Rm+1. Joje apibrėšime vektorinį lauką ~A(x, u) =(~P (x, u), R(x, u)

). Šio

vektorinio lauko projekcija į sritį M, kaip tik ir apibrėžia nuo parametro upriklausantį vektorinį lauką ~P (x, u).

Vektorinis laukas ~A(x, u) vadinamas kvazitiesinės lygties (2.1) charakterin-guoju vektoriniu lauku. Šio vektorinio lauko fazinės kreivės vadinamos (2.1)lygties charakteristikomis, o diferencialinė lygtis, generuojama šio vektoriniolauko – charakteristine lygtimi, kuri sutampa su (2.5) lygtimi.

2.1 pastaba. Tiesinė lygtis yra atskiras kvazitiesinės lygties atvejis, tačiau tiesi-nės lygties ir tiesinės lygties, suprantamos kaip kvazitiesinės lygties, charakte-ristikos nesutampa. Pirmuoju atveju jos priklauso sričiai M, o antruoju – sričiaiN = M × R.


Sakykime, kad ~A – kvazitiesinės lygties charakteringasis vektorinis laukasyra be ypatingų taškų, t.y. ~A 6= ~0.

Iš (2.5) lygties matome, kad vektoriai (dx1, . . . , dxm, du) ir (P 1, . . . , Pm, R),fiksuotame taške (x0, u0), yra kolinearūs. Pirmasis yra charakteristikos liečia-masis vektorius, o antrasis yra charakteristinis kvazitiesinės lygties vektorius,kurį atitinka šios lygties charakteristinis krypčių laukas.

2.6 teorema. Funkcija tada ir tik tada yra kvazitiesinės lygties sprendinys, kadajos grafikas yra charakteristinio krypčių lauko integralinis paviršius.

Įrodymas. Sakykime, funkcija u yra (2.1) lygties sprendinys. Fiksuokime taškąx0, ir sprendinio reikšmę u0 = u(x0). Tada lygtis L~P (x,u(x))u = R(x, u(x))

reiškia, kad, jei taškas x juda taške x0 greičiu ~P (x0, u(x0)), tuomet sprendinioreikšmė u = u0 keičiasi greičiu R(x0, u(x0)). Kitais žodžiais, vektorius ~A ∈T(x0,u0)M×R, turintis komponentes ~P (x0, u0) paleiM irR(x0, u0) palei R, liečiasprendinio u = u(x) grafiką taške (x0, u0). Vadinasi, (2.1) lygties sprendiniografikas kiekviename taške liečia vektorių ~A ir yra šį vektorinį lauką atitinkančiokrypčių lauko integralinis paviršius. ut

2.3 išvada. Funkcija yra kvazitiesinės lygties sprendinys tada ir tik tada, kai josgrafikui kartu su kiekvienu jo tašku priklauso ir dalis charakteristikos, einančiosper šį tašką.

Tokiu būdu, norint surasti (2.1) lygties sprendinį, reikia surasti šios lygtiescharakteristikas. Jei jos žinomos, tai iš jų sudaromas integralinis paviršius.

Trumpai (2.4) lygtį galima užrašyti L ~Av = 0, o jos sprendiniai, kaip ži-nome, yra (2.5) lygčių sistemos pirmieji integralai. Ši sistema turi m nepri-klausomų pirmųjų integralų Ψ1, . . . ,Ψm, ir bet kuris kitas pirmasis integra-las yra šių pirmųjų integralų funkcija. Prilyginę šį integralą nuliui, gausimebendrąjį kvazitiesinės lygties sprendinį 0 = Φ(Ψ1, . . . ,Ψm),Φ ∈ C1. Jeigu0 = Φ(Ψ1, . . . ,Ψm1) = F (x, u) ir ∂F

∂u (x0, u0) 6= 0, tai šio taško aplinkoje spren-dinį galima išreikšti

u = ϕ(x), ϕ ∈ C1(M). (2.6)

2.5 pavyzdys. Raskime lygties

x1 ∂u

∂x1+ · · ·+ xm

∂u

∂xm= au, a = const


dx1

x1= · · · = dxm

xm=du

au,

kurios (m− 1)-as nepriklausomas pirmasis integralas yra (žr. 2.3 pavyzdį):

Ψ1 =x1

xm, . . . ,Ψm−1 =

xm−1

xm.


Integruodami lygybędu

au=dxm

xm,

gausime dar vieną pirmąjį integralą

Ψm = u(xm)a.

Tada bendrasis sprendinys turės pavidalą

Φ( x1

xm, . . . ,

xm−1

xm,

u

(xm)a)

= 0, Φ ∈ C1.

Išsprendę šią lygybę u atžvilgiu, turėsime

u = (xm)aϕ( x1

xm, . . . ,

xm−1

xm), ϕ ∈ C1.

2.1. Koši uždavinys

Sakykime, γ ⊂ M – hiperpaviršius srityje M ∈ Rm ir ϕ : γ → R glodžiojifunkcija. Surasime kvazitiesinės lygties sprendinį u : M → R, kuris paviršiuje γsutampa su duotąja funkcija ϕ. Funkcijos ϕ : γ → R grafikas yra hiperpaviršiuserdvėje γ × R. Kadangi γ ⊂ M, tai srityje M × R funkcijos ϕ grafikas Γ irgibus (m− 1)-matis paviršius (bet ne hiperpaviršius, o kodimensijos 2). PaviršiusΓ vadinamas pradiniu paviršiumi. Jis iš karto apibrėžia paviršių γ ir pradinęsąlygą ϕ.

Įveskime paviršiuje γ lokaliąsias koordinates x = g(t), t ∈ T ∈ Rm−1. Tadapradiniame paviršiuje Γ lokaliosios koordinatės (x, u) = G(t) =

(g(t), ϕγ(t)

),

t ∈ T ⊂ Rm−1. Atvaizdžio g : T → γ ⊂ Rm išvestinės g′ : TtRm−1 → Txγrangas yra m − 1, t.y. turime liečiamųjų erdvių taškuose t ∈ T ir x ∈ γizomorfizmą. Matricos, kuri aprašo atvaizdį

G′ =

∂g1

∂t1 . . . ∂g1

∂tm−1

. . . . . . . . .∂gm

∂t1 . . . ∂gm

∂tm−1

∂ϕ∂t1 . . . ∂ϕ

∂tm−1

,

rangas bus lygusm−1, nes tarpm pirmųjų eilučiųm−1 eilutė yra nepriklausoma(γ yra (m − 1)-matis paviršius). Vadinasi, atvaizdis G′ : TtRm−1 → T(x,ϕ(x))Γirgi yra tiesinis izomorfizmas, kurio rangas lygus m− 1.

2.5 apibrėžimas. Pradinio paviršiaus Γ taškas(x0, ϕ(x0)

)vadinamas necha-

rakteringuoju, jeigu vektorius ~P(x0, ϕ(x0)

)neliečia paviršiaus γ taške x0.

Sąlyga, kad taškas(x0, ϕ(x0)

)nėra charakteringasis paviršiaus Γ taškas

koordinatinė išraiška užrašoma:∣∣∣∣∣∣∣∣P 1

Γ . . . PmΓ∂g1

∂t1 . . . ∂gm

∂t1

. . . . . . . . .∂g1

∂tm . . . ∂gm

∂tm

∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0, t ∈ T ⊂ Rm−1. (2.7)


2.7 teorema. Kvazitiesinės lygties sprendinys necharakteringo taško (x0, ϕ(x0)) ∈Γ aplinkoje egzistuoja ir yra vienintelis.

Įrodymas. Jeigu (x0, ϕ(x0)) ∈ Γ yra necharakteringasis taškas, tuomet gauna-me keletą išvadų.

1) Charakteringasis vektorinis laukas ~A 6= ~0 šio taško aplinkoje, ir todėl šisvektorinis laukas apibrėžia charakteringųjų krypčių lauką.

2) Charakteringasis krypčių laukas šiame taške, o kartu ir jo aplinkoje,neliečia paviršiaus Γ. Tada egzistuoja vienintelis (lokaliai) integralinis pa-viršius šiam krypčių laukui, o pradinis paviršius Γ priklauso jam. Šį teiginįpakanka įrodyti lygiagrečiųjų krypčių laukui, nes teiginys yra invariantiš-kas difeomorfizmų atžvilgiu. Tokiam krypčių laukui teiginys akivaizdus.

3) Liečiamoji plokštuma integraliniam paviršiui šiame taške yra nevertika-li. Priešingu atveju, vektoriaus ~A, esančio šioje plokštumoje, projekcija~P (x0, u(x0)) liestų paviršių γ. Vadinasi, integralinis paviršius yra funkci-jos grafikas. Ši funkcija ir yra ieškomasis sprendinys.

ut

Sakykime (Ψ1, . . . ,Ψm) yra nepriklausomi charakteringosios lygčių sistemospirmieji integralai. Apibrėžkime atvaizdį Ψ = (Ψ1, . . . ,Ψm) : M × R → V =ImΨ ⊂ Rm. Jeigu nagrinėsime šį atvaizdį tik pradinio paviršiaus Γ taškuose,tuomet atvaizdžio ΨΓ ≡ Ψ|Γ : Γ→ V ⊂ Rm išvestinės rangas bus lygus m− 1,nes Γ liečiamojoje erdvėje yra tik (m−1)-as nepriklausomas vektorius. Vadina-si, iš šių funkcijų Ψ1, . . . ,Ψm visada galima pasirinkti (m− 1)-ą nepriklausomąpirmąjį integralą, o likęs integralas bus šių integralų funkcija, arba bendriau, pa-viršiuje Γ teisinga priklausomybė Φ(Ψ1

Γ, . . . ,ΨmΓ ) = 0 su Φ : Rm → R,Φ ∈ C1.

Tada kvazitiesinės lygties Koši uždavinio sprendinys yra neišreikštinė funkcijaF (x, u) ≡ Φ(Ψ1, . . . ,Ψm) = 0. Toks sprendinys yra bendrojo sprendinio atve-jis, be to, ant paviršiaus Γ teisinga F (x, u)|Γ ≡ Φ(Ψ1

Γ, . . . ,ΨmΓ ) = 0, o būtent

taip ir apibrėžėme funkciją Φ.Parametrinis atvejis.Jeigu pradinis paviršius Γ apibrėžtas lokaliosiomis koordinatėmis Γ(t) =

(x, u) =(g(t), g0(t)

), t ∈ T ∈ Rm−1, tuomet atvaizdžio Γ′ : TtRm−1 → Rm+1

rangas lygus m − 1. Atvaizdžio ΨΓ : Γ → Rm išvestinės rangas taip pat lygusm− 1, todėl tarp lygčių

ΨiΓ = ΨiΓ = ψi(t), i = 1, . . . ,m,

visada atsiras (m − 1)-a lygtis (sakykime, i 6= i0),ir šių lygčių sistemą galimeišspręsti t atžvilgiu. Įrašę t išraiškas į likusią funkciją ψi0(t), gausime funkcijosΦ išraišką:

Φ ≡ ψi0 (ψi0)−1,

čia ψi0(t) =(ψ1(t), . . . , ψi0−1(t), ψi0+1(t), . . . , ψm(t)

).


2.6 pavyzdys. Raskime lygties∂u

∂x+ a

∂u

∂y+ b

∂u

∂z= u,

a ir b – konstantos, sprendinį, einantį per pradinį paviršių

x = t+ s, y = at, z = 2bs, u = t2 + s2.

Užrašykime charakteristikų lygtis:dx

1=dy

a=dz

b=du

u.

Surasime šios lygčių sistemos pirmuosius integralus. Iš lygybių dx1

= dya, dx

1= dz

b

ir dx1

= duu

randame Ψ1 = y − ax, Ψ2 = z − bx ir Ψ3 = ue−x. Į pirmųjų integralųišraiškas įrašome paviršiaus koordinates:

Ψ1Γ = at− a(t+ s) = −as,

Ψ2Γ = 2bs− b(t+ s) = −bt+ bs,

Ψ3Γ =

(t2 + s2

)e−(t+s).

Iš pirmųjų dviejų lygčių turime (išreiškiame t ir s)

s = −Ψ1Γa, t = −Ψ1

Γa−Ψ2Γb.

Įrašome šias išraiškas į trečiąją lygybę

Ψ3Γ =

[(Ψ1

Γa+Ψ2

Γ

b

)2

+ (Ψ1Γ)2a2

]exp(2Ψ1

Γ

a+

Ψ2Γ

b

).

Tada Koši uždavinio sprendinys bus

Ψ3 =[(

Ψ1a+ Ψ2b)2

+ (Ψ1)2a2]exp(2Ψ1

a+

Ψ2

b

).

Įstatę pirmųjų integralų išraiškas, gauname

ue−x =[(y − axa+ z − bxb

)2

+(y − ax)2

a2

]exp(2(y − ax)

a+z − bxb

).

Išreiškiame u ir randame Koši uždavinio sprendinį

u =[(ya+ zb− 2x

)2+(ya− x

)2]exp(2y

a+z

b− 2x

).

2.7 pavyzdys. Duota kvazitiesinė lygtis∂u

∂t+ u

∂u

∂x= 0, u(0, x) = ϕ(x).

Jos charakteristikų lygtis užrašomadt

1=dx

u=du

0.

Šios sistemos pirmieji integralai yra

Ψ1 = u, Ψ2 = x− tu.

Iš tikro, lygtis du0

= dt ekvivalenti du = 0. Iš dt1 = dxC1 turime x = tC1 +C2. ĮstatęC1 = u, turėsime x − tu = C2. Kai t = 0, Ψ1

Γ = ϕ(x), Ψ2Γ = x. Vadinasi, pradinio

paviršiaus taškuose Ψ1Γ = ϕ(Ψ2

Γ), ir kvazitiesinės lygties sprendinys užrašomas formuleu = ϕ(x − tu). Pastebėsime, kad u galima išreikšti, jei 1 + tϕ′ 6= 0. Toks atvejis bus,kai pradinė sąlyga tokia, kad ϕ′ ≥ 0. Jeigu ϕ′ < 0, tuomet, kai t ≥ t0 neegzistuojaglodusis sprendinys.


Užduotys:Išspręsti (surasti bendrąjį sprendinį arba Koši uždavinio sprendinį) pirmos

eilės tiesinę (kvazitiesinę) lygtį dalinėmis išvestinėmis:

1. x ∂z∂x + y ∂z∂y = z, y = x2, z = 1;

2. x ∂z∂x + y ∂z∂y = z, z = 1, y = x3;

3. x ∂z∂x + y ∂z∂y = 3z, x = 1, z = 1;

4. x ∂z∂x + y ∂z∂y = 3z, y = 1, z = x2;

5. x ∂z∂x + y ∂z∂y + t∂z∂t = 0, z(x, y, 1) = x2y;

6. x ∂z∂x + y ∂z∂y + t∂z∂t = 0, z(x, y, 1) = xy;

7. x ∂z∂x + y ∂z∂y = z, z = x2, y = 3√x;

8. x ∂z∂x + y ∂z∂y =√x2 + y2;

9. z(x+ z) ∂z∂x − y(y + z) ∂z∂y = 0, z =√y, x = 1;

10. (y + z + u)∂u∂x + (z + u+ x)∂u∂y + (u+ x+ y)∂u∂z = x+ y + z;

11.√x∂f∂x +

√y ∂f∂y +

√z ∂f∂z = 0, f = y − z, x = 1;

12. x ∂z∂x + y ∂z∂y = 0, z = x, y = 1;

13. x ∂z∂x + y ∂z∂y = z;

14. (x2 + y2) ∂z∂x + 2xy ∂z∂y = 0;

15. yz ∂z∂x + xz ∂z∂y = −2xy, x2 + y2 = 16, z = 3;

16. sinx ∂z∂x + sin y ∂z∂y = sin z;

17. yz ∂z∂x + xz ∂z∂y = xy;

18. (1 +√z − x− y) ∂z∂x + ∂z

∂y = 2, z = 2x, y = 0;

19. 1x∂z∂x + 1

y∂z∂y = 4, y2 = z, x = 0;

20. (x2 + y2) ∂z∂x + 2xy ∂z∂y = xz, y2 + z2 = a2, x = a 6= 0.

Vardų rodyklė

BBraunas R., 19

DDe Vrysas G., 20Dirichlė J.P.G.L., 10

EEinšteinas A., 19Euleris L., 7

FFurjė J.B.J., 1

GGausas C.F., 5Ginzburgas V.L., 20Grynas G., 1

HHadamaras J.S., 2Hamiltonas W.R., 1Helmholcas H.L.F., 17Hukas R., 14

JJungas T., 14

KKortevegas D., 20

LLagranžas J.L., 6Landau L.D., 20Laplasas P.S., 5

MMaxwell J.C., 6

NNavjė C.L., 12Nernst W., 10Niutonas I., 10Noimanas C.G., 10

OOstrogradskis M.V., 5

PPlato J., 18Puasonas S.D., 17

RRobinas V.G., 10

SStoksas G.G., 12

ŠŠriodingeris E.R.J.A., 18

Literatūra

[1] R. Čiegis. Diferencialinių lygčių skaitiniai sprendimo metodai. Vilnius: Tech-nika, 2003.

[2] R. Čiegis, V. Būda. Skaičiuojamoji matematika. Vilnius: TEV, 1997.

Documents

TURINYS - Vilniaus universitetasklevas.mif.vu.lt/~ash/MFL/MFL1.pdf · TURINYS Lentelių sąrašasi Iliustracijų sąrašasiii Pratarmėvi 1SKYRIUS. Diferencialinės lygtys dalinėmis