Fizikalni eksperimetni 3 { Zimski semester 2009/10jazbinsek/Fizikalni.eksperimenti.3/... · 2009. 10. 9. · Pedagosk a fakulteta: Fizikalni eksperimenti III Zimski semester Imena

Fizikalni eksperimetni 3 – Zimski semester 2009/10

Vojko Jazbinsek

V tem pdf-dokumentu so zbrana navodila za vse vaje v zimskem semestru v nvadnem A4 formatuNavodila za posamezne vaje so na volju na internetu:

http://www.fmf.uni-lj.si/~jazbinsek/Fizikalni.eksperimenti.3/Vsa navodila v ”pomanjsanem” formatu (po dve strani v A4 formatu pomanjsani v A5 format in prikazani naeni strani A4 lista v ”landscape” pogledu) so v:

http://www.fmf.uni-lj.si/~jazbinsek/Fizikalni.eksperimenti.3/Fiz eksp 3 zimski 2009-10 A4.pdfVsa navodila v ”pomanjsanem” formatu namenjene za dvostransko tiskanje (”duplex”) so v:

http://www.fmf.uni-lj.si/~jazbinsek/Fizikalni.eksperimenti.3/Fiz eksp 3 zimski 2009-10 A4 duplex.pdf

Pedagoska fakulteta: Fizikalni eksperimenti III

Zimski semester

Imena vaj:

1. Michelsonov interferometer (II)

2. Radiometer (II)

3. Piezoelektricnost (II)

4. Feromagnetizem (II)

5. Spektrometrija zarkov γ (III)

6. Difuzija tekocin (III)

7. Holografija (III)

8. Osnove mikrovalovne tehnike (III)

9. Hallov pojav (III)

10. Sunkovna jedrska magnetna resonanca (III)

Poletni semester

Imena vaj:

1. Uklon svetlobe (II)

2. Karakteristika I(U) elektronskih elementov (II)

3. Dolocanje Boltzmannove konstante k (II)

4. Absorbcija zarkov gama in beta (II)

5. Sklopljena nihajna kroga (II)

6. Franck–Hertzov poskus (II)

7. Uporaba ultrazvoka (II)

8. Braggov uklon (III)

9. Opticni eksp. v mikrovalovnem obmocju (III)

10. Prehod v superprevodno stanje (III)

Pogoji

Fizikalne eksperimente III opravljajo studentje smeri (MA-FI-TE-KE) Pedagoske fakultete v zimskem inletnem semestru. V celoti morajo v vsakem semestru opraviti po 10 vaj.Meritve v laboratoriju morajo biti ustrezno dokumentirane v laboratorijskem dnevniku. Uspesnost mer-itve v okviru posamezne vaje potrdi vodja vaj z datumom in podpisom v laboratorijski dnevnik. Meritveobdelajo studenti doma v skladu z navodili praviloma do naslednjih vaj v laboratoriju. Dokoncanevaje studentje predstavijo vodji vaj, ki oceni celotno izvedbo vaje: pripravljenost na vajo, organizacijomeritev, izvedbo meritev, obvladovanje eksperimentalne opreme ter predstavitev rezultatov.Vaje se opravljajo v parih, ki se dolocijo na zacetku semestra. Pri tem je pomembno, da pri vaji obasodelujeta enakopravno, oziroma kot da bi vajo opravljala samostojno. V primeru, ko eden izmed clanovpara manjka, preostali clan vajo opravi sam ali pa se izjemoma (ob dogovoru z vodjo vaj) prikljucikaksnemu drugemu paru, medtem ko mora tisti, ki je manjkal, opraviti vajo v kaksnem drugem terminu,ko je vaja, ki jo je izpustil prosta.Pri opravljanju vaj se moras drzati vrstnega reda, ki je dolocen v razporedu vaj. Praviloma lahko naredisle eno vajo v enem terminu. Izjemoma (ob dogovoru z vodjo vaj) lahko naredis se eno vajo, ce je le-taprosta in je na voljo dovolj casa. Prednost pri opravljanju dolocene vaje ima tisti, ki ima to vajo ta danna razporedu.Rezultate opravljenih vaj moras predstaviti vodji vaj praviloma sproti - v enem do treh tednih poopravljeni vaji. Pri predstavitvi (zagovoru) vaje moras poznati tudi fizikalno ozadje.Navodila vaj in pogoji so dostopni nahttp://www.fmf.uni-lj.si/~jazbinsek/Fizikalni.eksperimenti.3/Splosna navodila in navodila vaj iz praktikuma II so dostopna nahttp://predmeti.fmf.uni-lj.si/fizprak2Pomembno:Vaje je potrebno zagovarjati sproti! Naslednjo vajo v laboratoriju lahko izvedes le, ce nimas veckot 4 nezagovorjene vaje. Vaje zimskega semestra moras zagovoriti do zacetka poletnega semestra,oziroma do konca februarja 2010, vaje poletnega semestra pa do srede septembra 2010. Izpitni roki zavpis ocene bodo razpisani konec maja, konec junija ter sredi septembra 2009. Po tem roku ze opravljenihvaj ne bo vec mogoce zagovarjati in bo potrebno ponovno vse vaje opraviti v naslednjem solskemletu!

(II) vaje iz praktikuma II (soba 202)(III) vaje iz praktikuma III (soba 203)

Vojko Jazbinseksoba: 309tel: 4766580e-mail:[email protected]

Michint Praktikum II

Michelsonov interferometer

UvodMichelsonov interferometer [1] je sestavljen iz treh osnovnih elementov: dveh ravnih zrcalter polprepustnega zrcala. Shema interferometra je prikazana na sliki 1. Interferenčnosliko opazujemo lahko na opazovalnem zaslonu, če imamo dovolj svetlobe, pri manjšihsvetlobnih intenzitetah pa gledamo naravnost v interferometer.

Slika 1: Michelsonov interferometer je sestavljen iz poplpropustnega zrcala in in dveh ravnihogledal. Vpadni svetlobni snop se na polprepustnem zrcalu P razdeli na dva delna snopa, kipadata pravokotno na ravni zrcali Z1 in Z2. Po odboju na Z1 in Z2 se delna snopa vrneta nazajna polprepustno zrcalo P, kjer se vsak od njĳu spet razdeli na dva dela. S tem dobimo dva paravzporednih končnih snopov, ki sta na sliki označena kot izhod 1 in izhod 2. Snopa iz izhoda 2gresta proti opazovalcu O in med seboj interferirata.

Polprepustno zrcalo P opišemo z amplitudno odbojnostjo r in prepustnostjo t, ki sta vsplošnem kompleksni količini; če pa ni izgub mora veljati |r|2 + |t|2 = 1 . Končna delnasnopa, ki prideta na izhod 2, imata enaki amplitudi, saj se vsak izmed njĳu enkrat odbĳena polprepustnem zrcalu P, enkrat pa je čezenj prepuščen.

Interferenčna slika je najenostavnejša, če na interferometer pošljemo ravno monokro-matsko svetlobno valovanje s krožno frekvenco ω, katerega električno polje zapišemo kot~E = ~E0 cos(kl − ωt) , pri čemer ~E0 označuje amplitudo, k = ω

c0= 2π

λvalovni vektor

valovanja, l =∫

n(s)ds pa optično pot (n = lomni količnik). V praksi se takemu valova-nju zelo dobro približamo s kolimiranim laserskim snopom. Električno polje svetlobe naopazovalnem zaslonu ~Ez je vsota električnih polj končnih delnih snopov

~Ez = ~E1 + ~E2 =1

2~E0(cos(kl1 − ωt) + cos(kl2 − ωt)) ,

michint.tex 1 13. marec 2008


pri čemer l1 in l2 označujeta optično pot prvega oz. drugega delnega snopa, predfak-tor 1

2pa izvira iz privzetka, da nimamo izgub in je maksimalna amplituda na izhodu

interferometra enaka vstopni amplitudi ~E0 .

∆Φ = k(l1 − l2)

sta odvisna od razdalj d1 in d2 med polpreprepustnim zrcalom P in ravnima zrcalomaZ1 oz. Z2 ter od debeline in lomnega količnika materialov, ki jih oba snopa svetlobeprečkata na poti od polpropustnega zrcala do obeh zrcal. (Za polpropustno zrcalo želimosimetrično strukturo, ki je v našem primeru v kocko staknjen par tako imenovanih 45stopinjskih prizem, v stičišču pa je dielektrični sloj naparjen na eno izmed obeh prizem.)Intenziteta svetlobe na opazovalnem zaslonu je sorazmerna

Iz ∝ ‖ ~Ez‖2 = ‖ ~E1‖2 + ‖ ~E2‖2 + 2|〈 ~E1 · ~E2〉|

in tako dobimo končni rezultat, da je

Iz =1

2I0(1 + cos ∆Φ) ,

pri čemer I0 označuje intenziteto vpadnega snopa. Kadar je fazni zaostanek enak celemuvečkratniku periode ∆Φ = N2π , dobimo interferenčne maksimume (zaslon je najboljsvetel), kadar pa velja ∆Φ = (2N + 1)π , dobimo interferenčne minimume (zaslonje najbolj temen). Iz gornjega izraza zopet vidimo, da brez izgub v interferometru vprimeru fazne razlike N2π vsa svetloba pride na en izhod interferometra. Fazna razlikamed delnima snopoma na drugem izhodu je takrat taka, da tam pride do destruktivneinterference.

Razliko optičnih poti delnih snopov ∆l in s tem tudi fazni zaostanek ∆Φ lahko zve-zno spreminjamo s pomikanjem ravnega zrcala Z1. Na zaslonu se pri tem izmenomapojavljajo interferenčni maksimumi in minimumi. Vsakokrat, ko zrcalo Z1 premaknemoza razdaljo ∆d1 = π

k= λ

2se optična pot prvega delnega snopa v zraku spremeni za

∆l1 = 2d1 = λ in ∆Φ se poveča za 2π ; interferenčna slika se torej ponovi.Michelsonov interferometer ima posebno nastavitev, ki ji pravimo ekvidistančna lega

ogledal. Takrat je interferometer nastavljen popolnoma simetrično in sta optični potisnopov od polpropustnega ogledala do obeh zrcal in nazaj enaki in je fazna razlika enaka0 za vse valovne dolžine. To pomeni, da dobimo v bližini ekvidistančne lege interferenčneminimume in maksimume hkrati za vse barvne komponente svetlobe. Zato vidimo blizuekvidistančne lege interferenco tudi z belo svetlobo, kar je soroden pojav kot interferencana tanki plasti, npr. na oljnem madežu.

Michelsonov interferometer je od svoje prvotne konstrukcĳe (A. A. Michelson, 1881)do današnjih dni doživel številne variacĳe in nadgradnje. Z njim je bilo pokazanih ne-kaj za fizikalno znanost zgodovinsko pomembnih eksperimentov, med katerimi je naj-bolj znan Michelson-Morleyev eksperiment, s katerim so ovrgli hipotezo o obstoju vse-obdajajočega etra [2]. Danes se Michelsonovi interferometri uporabljajo za precizno mer-jenje dolžin in lomnih količnikov, z njimi kontroliramo majhne napake na različnih optič-nih komponentah, uporabljamo ga v visoko ločljivi infra-rdeči spektroskopĳi (Fourierovaspektroskopĳa), itd.



Opis instrumentaNa kovinski nosilni plošči so pritrjeni deli interferometra: polprepustno zrcalo P (beam-splitter qube) ter ravni zrcali Z1 in Z2 (slika 1). Lastnosti Michelsonovega interferometraso simetrične glede na ravnino ogledala in ima zato dva enakovredna vhoda in izhoda.Izberemo en vhod, ki ga osvetljujemo s svetilom L. Lastnosti svetila lahko dodatno spre-minjamo z lečami ali pa na vstopni strani med svetilo in polprepustno zrcalo namestimoše difuzno mlečno steklo D. Zrcalo Z1 je nameščeno na pomičnem nosilcu. Premikamoga z mikrometrskim vĳakom M preko prenosnega mehanizma, ki premik zreducira pri-bližno v razmerju 1:5 (če mikrometerski vĳak premaknemo za 100 µm se torej zrcaloZ1 premakne le za okoli 20 µm). Nastavitev zrcala Z2 spreminjamo z dvema justirnimavĳakoma.

Potrebščine• Michelsonov interferometer,

• He-Ne laser (633 nm),

• zračna komora z manometrom in zračna tlačilka,

• Hg svetilka in volframska žarnica v istem ohišju,

• Na svetilka,

• mlečno steklo, difuzor iz belega papirja.

Naloga1. Z laserjem (λ = 633nm) naravnaj interferometer ter umeri pomik zrcala Z1 v

odvisnosti od nastavitve mikrometerskega vĳaka.

2. Izmeri lomni količnik zraka v odvisnosti od zračnega tlaka.

3. Poišči ekvidistančno lego interferometra.

4. Izmeri koherenčno dolžino bele svetlobe iz žarnice na volframsko žarilno nitko

5. Izmeri valovni dolžini Na dubleta.

NavodiloNikoli ne glej direktno v laserski žarek, ker si s tem lahko poškoduješ oči!



1 Naravnaj He-Ne laser da sveti v sredino polpropustnega ogledala in v sredino obehzrcal. Pot snopov v interferometru lahko opazujemo z robom belega papirčka, ki gazaporedoma postavljamo na različna mesta v interferometru.). Pri poljubni naravnanostizrcal Z1 in Z2 dobimo na izhodu v splošnem dva snopa, ki ju lahko opazujemo nasteni laboratorĳa. Tam dobimo dve med seboj razmaknjeni svetli ”lisi”, ki ju nato znagibanjem zrcala Z2 med seboj prekrĳemo. Najprej vrtimo prvi justirni vĳak, doklerlisi nista poravnani npr. vodoravno, nato pa še drugega. Ko se lisi začneta prekrivati, sepojavĳo interferenčne proge.

Zrcali Z1 in Z2 sta medsebojno poravnani takrat, ko je celotno interferenčno polječimbolj homogeno osvetljeno. S premikanjem mikrometrskega vĳaka, ki spreminja od-daljenost zrcala Z1 od polprepustnega zrcala P, se svetlost interferenčne slike izmeničnospreminja. Če poznamo valovno dolžino vpadne svetlobe λ, lahko s štetjem zaporednihinterferenčnih minimumov zelo precizno merimo premike zrcala Z1.

Štetje interferenčnih prog je lažje, če vidimo večji del slike in več interferenčnih prog.Ena od možnosti je, da postavimo med laser in interferometer mlečno steklo. ki delsvetlobe razprši. Interferenčno sliko opazujemo na steni v zatemnjenem laboratorĳu. Vprimeru dobro nastavljenega interferometra vidimo interferenčne proge v obliki korogov.Pri pomikanju zrcala Z1 proge izginjajo ali se pojavljajo, odvisno od smeri premika.Vsaka izginula proga pomeni, da se je zrcalo Z1 premaknilo za λ

2.

Mikrometrski vĳak, ki pomika zrcalo, postavi približno na sredino pomičnega obmo-čja in odčitaj njegovo lego. Nato ga vrti in štej proge toliko časa, da izgine najmanj 100interferenčnih prog. Spet odčitaj lego na mikrometerski skali. Meritev ponovi vsaj pet-krat. Zaradi možne mehanske histereze vĳaka izvedi premike vedno v isti smeri in medštetjem ne vrti vĳaka nazaj. Iz meritev natančneje določi delilno razmerje pomičnegamehanizma.

2 Med polprepustno zrcalo P in pomično zrcalo Z1 pritrdi zračno komoro dolžine 50mm. Komoro na obeh straneh zapirata stekleni okni, ki sta med seboj vzporedni. Pre-veri nastavitev interferometra in ga po potrebi ponovno justiraj, tako da na steni vidišinterferenčne proge. Razliko med zračnim pritiskom v komori in v okolici merimo z ma-nometrom. S tlačilko lahko povečamo tlak v komori do približno 2 bara. Z ventilom palahko tlak kontrolirano nižamo.

Povišaj tlak v komori za okoli 2 bara. Z zniževanjem pritiska se spreminja lomni količ-nik zraka v komori in s tem tudi optična pot l1 prvega delnega snopa. Na zaslonu se zatoizmenjujejo interferenčni maksimumi in minimumi oz. se pomikajo interferenčne proge.Štej izginevanje interferenčnih prog v čim širšem intervalu spremembe tlaka. Meritevštevila prog v odvisnosti od tlačne razlike ponovi vsaj petkrat. Vsaka izginula proga po-meni, da se je optična pot l1 spremenila za λ. Pazi, svetloba potuje dvakrat skozi komoro.Iz znane dolžine celice lahko izračunamo ustrezno spremembo lomnega količnika zraka∆n kot funkcĳo tlaka. Glede na to, da je lomni količnik vakuuma 1, lahko na osnovimeritev za zrak narišemo diagram n − 1 kot funkcĳo absolutnega tlaka p. Vprašanje:kolikšen bi bil lomni količnik zraka pri 1000 bar? Ali je primerljiv z lomnim količnikomvode?

3 Metoda iskanja ekvidistančne lege je naslednja. Za osvetljevanje uporabimo Hg sve-tilko in mlečno steklo. Osvetlitev interferometra je sedaj tako šibka, da lahko z očesomgledamo naravnost v interferometer. V splošnem vidimo barvne ukrivljene interferenčne



proge. Z nastavitvĳo ogledala Z2 dosežemo, da vidimo sliko, ki jo sestavljajo barvniinterferenčni koncentrični krogi. Premaknemo ogledalo Z1 v eno skrajno lego, kjer smodaleč od ekvidistančne lege in potem med počasnim pomikanjem zrcala Z1 proti srediniopazujemo, kaj se dogaja z interferenčnimi progami (krogi). Krogi lahko izginevajo vsredini ali pa rastejo iz sredine. Če smo postavili ogledalo Z1 najbližje polpropustnemuogledalu, potem bodo krogi izginevali, ko bomo odmikali Z1. Zapomnimo si, kaj se do-gaja in potem z vrtenjem premaknemo vĳak za nekaj mm. Ponovno počasi in v istismeri premikamo ogledalo Z1 in opazujemo, če proge še vedno izginjajo. Premik za ne-kaj mm in opazovanje izginevanja krogov ponavljamo toliko časa, da premaknemo Z1preko ekvidistančne lege, kar se pokaže v tem, da takrat krogi nastajajo. Sedaj začnemovrteti vĳak nazaj in opazujemo kroge, ki izginjajo. Krogi so vse manj pravilni, ker sev bližini ekvidistančne lege neravnost ogledal in polpropustnega zrcala bolj pozna. Čenapak ogledal ne bi bilo, bi morali v ekvidistantni legi videti celo polje temno ali svetlo.

Ko smo prepričani, da smo v bližini ekvidistančne lege, spremenimo način opazovanja.Najprej nagnemo ogledalo Z2 toliko, da v vidnem polju nimamo več krogov (popačenihv lise) ampak približno deset prog. Sedaj ugasnemo Hg svetilko in prižgemo volframsko,ki je v istem ohišju. Običajno bo interferenčni vzorec izginil, ker s prejšnjim postopkomnismo natančno zadeli ekvidistančne lege. Zapišemo si položja mikrometerskega vĳaka.Sedaj previdno vrtimo vĳak in premikamo zrcalo Z1 v okolici začetne lege, dokler nezagledamo belo-črnih interferenčnih prog. Takrat smo našli ekvidistančno lego. Zapišitesi lego vĳaka.

Nastanek interferenčnih kolobarjev najlaže razumemo v primeru, da interferometerna vhodu osvetljujemo s točkastim svetilom. Valovne fronte točkastega svetila so krogle,njihova ukrivljenost pa pada z oddaljenostjo od svetila. Poti svetlobe od izvora do ogledalZ1 in Z2 ter do izhoda interferometra se v splošnem razlikujeta in zato sta različni tudiukrivljenosti valovnih front. Presečišča valovnih front različne ukrivljenosti so krogi, zatoimajo interferenčne proge obliko krogov. Krogi so tem bolj gosti, čim bolj sta ukrivljenostirazlični, izginejo pa v ekvidistančni legi, ko se ukrivljenosti valovnih front izenačita.Pri opazovanju interference z očesom in difuzorjem na vhodu interferometra je slikaekvivalentna zgornji razlagi, če je oko izostreno na gledanje v neskončnost. Preizkusitesami, kako se slika spreminja v odvisnosti od akomodacĳe očesa. Razlaga pa presegazahteve te vaje.

4 Vidnost interferenčne slike je odvisna od koherenčnih lastnosti svetlobnega izvora. Vgrobem ločimo časovno in prostorsko koherenco in Michelsonov interferometer je prime-ren za določanje časovne koherence, čeprav kot rezultat pogosto navajamo koherenčnodolžino, ki je produkt koherenčnega časa in svetlobne hitrosti v vakuumu. Koherenčničas τk = 1/∆ν je enak obratni vrednosti spektralne širine svetlila. Pri HeNe laserjih jekoherenčna dolžina velika in interferenčne kolobarje dobimo tudi če sta zrcali relativnorazmaknjeni za več deset centimetrov. Pri kvazi-monokromatskih izvorih svetlobe, kot jedenimo Hg svetilka, je zgornja meja za d reda velikosti nekaj cm. Pri termičnih svetilih,med katere spada običajna žarnica na volframsko nitko, pa je koherenčna dolžina le šenekaj valovnih dolžin in interferenčno sliko dobimo le, če je razdalja d manjša od nekajµ m. Zato je s svetlobo iz žarnice zelo težko "najti"ekvidistančno lego interferometra inopazovati interferenčno sliko.

Koherenčni čas ocenimo z Michelsonovem interferometru tako, da iz ekvidistančnelege, kjer je kontrast interferenčnih prog maksimalen, premaknemo ogledalo Z1 do tja,



Slika 2: Točkast izvor vidimo na izhodu Michelsonovega interferometra dvojno. Na sliki so she-matično prikazane valovne fronte teh dveh koherentnih točkastih svetil, od celotnih krogelnihfront pa opazujemo le desno stran, tam kjer se narisane valovne fronte sekajo. Prvo svetilonaj miruje (svetloba se odbĳe od fiksnega ogledala), ena njegova valovna fronta pa je narisanas polno črto. Drugo svetilo je v primeru a bližje opazovalcu, zato je njegova valovna fronta,narisane pikčasto, bolj ukrivljena. V primeru b je drugo svetlo bolj oddaljeno od opazovalca kotprvo svetilo. Drugo svetilo premikamo proti desni v smeri puščice (premično ogledalo bližamoizhodu), kar je na sliki predstavljeno z dvema valovnima frontama, ki ustrezata dvema legamadrugega svetila. Vidimo, da bodo v primeru a nastajale interferenčne proge v sredini in se širilenavzven, v primeru b pa bodo izginevale v centru interferenčnega vzorca.

kjer ocenimo, da se je kontrast zmanjšal na polovico. Pri volframski žarnici je spektertako širok, da namesto premikanja zrcala Z1 to zrcalo le nagnemo, da vidimo v polju večkot 10 svetlo temnih prog in preštejemo proge od najbolj kontrastne do proge, kjer sekontrast zmanjša na polovico. Štejemo na obe strani. Iz števila preštetih prog m ocenimokoherenčno dolžino kot mλ, kjer je λ = 550nm povprečna valovna dolžina bele svetlobeiz žarnice.

5 V svetlobnem spektru Na svetilke sta dve črti v oranžnem barvnem področju, ki starelativno blizu druga zraven druge (dublet). V ekvidistančni legi, kot vedno, vidimo velikkontrast interferenčnih prog. Pri premikanju zrcala Z1 opazimo v kontrastu interferenčneslike "utripanje", glej sliko 3

Slika 3: Interferenčni vzorec dveh ozkih črt. Ko seštejemo intenziteti obeh črt, dobimo maksi-malen kontrast tam, kjer se interferenčne proge pokrivajo, kontrast pa izgine, ko so proge medseboj zamaknjene za pol periode. Merimo tako razdaljo med progami d1 kot tudi razdaljo medpobleditvami d2.

To utripanje je lahko razumeti, saj vsaki ozki črti pripadajo enakomerno razmaknjeneinterferenčne proge, vendar je perioda vzorca različna za prvo in drugo črto. Svetlobo vteh dveh črtah lahko obravnavamo kot dva nekoherentna izvora. Ko seštejemo intenzi-teti obeh črt, dobimo maksimalen kontrast tam, kjer se interferenčne proge pokrivajo,



kontrast pa izgine, ko so proge med seboj zamaknjene za pol periode. Intenziteto naizhodu interferometra opisuje naslednja enačba:

I =I0

4[2 + cos(2k1d) + cos(2k2d)] =

I0

2[1 + cos((k1 + k2)d) cos((k1 − k2)d)], (1)

kjer sta k1 in k2 valovni števili obeh črt in je d odmik ogledala iz ekvidistančne lege.Produkt obeh cos v drugem delu enačbe nam da dobro znano utripanje. Prvi člen zvsoto k1 + k2 opisuje hitro izmenjavo temnih in svetlih prog, drugi člen z razliko k1 − k2

pa počasno spreminjanje kontrasta.Vključi Na svetilko in jo postavi pred interferometer. Počakaj nekaj minut, da se

svetilka segreje in začne oddajati močno oranžno svetlobo. Med svetilko in interferometerpostavi še nosilec z listom belega papirja ali kakšno drugo difuzno snov. Zrcalo Z1 postaviv ekvidistantno lego in štej proge pri odmikanju od te lege. Večkrat preštej po 100 progin zapiši premik zrcala. S to meritvĳo iz (k1 + k2)d100 = 100 × 2π določiš povprečnovalovno dolžino obeh črt λ = 2d100/100, kjer smo upoštevali, da je razlika valovnihdolžin majhna.

Nato opazuj spreminjanje kontrasta interferenčne slike, ko zrcalo odmikaš za večje od-mike. Zapiši položaje mikrometerskega vĳaka, ki ustrezajo 1, 2 . . . 5 zabrisanjem (poble-ditvam) kontrasta. (Pobleditve lahko natančneje določimo kot pa maksimalen kontrast.)Pri meritvah zrcalo Z1 pomikaj vedno v isto smer. Razdalja med dvema pobleditvama d2

je določena z (k1−k2)d2 = π. Od tod izračunamo razliko valovnih dolžin ∆λ = λ2/(2d2).

Literatura[1] Strnad J Fizika, drugi del: Elektrika in Optika (DMFA, 1995)

[2] Strnad J Fizika, tretji del: Posebna teorĳa relativnosti, Kvantna fizika, Atomi(DMFA, 1992)


Radiom Praktikum II

Radiometer

UvodSegreta telesa sevajo elektromagnetno valovanje. Večino teles v naravi, ki poseduje nekokompaktnost, rečemo, da sevajo kot črna telesa. Črno telo je teoretični objekt, ki jepopoln sevalec kot prejemnik radiacĳe. Spekter sevanja takšnega telesa močno zavisi odtemperature. Noben objekt ni popolno črno telo, ker ne absorbira vse energĳe in ne vseprejete energĳe ne izseva.

Sevanju črnega telesa rečemo večkrat tudi sevanje votline s popolno–odbojnimi ste-nami, saj ima elektromagnetno polje, z minimalno interakcĳo, iz te votline enak spekter.

Spekter sevanja, to je porazdelitev gostote svetlobnega toka po valovni dolžini dj/dλali frekvenci dj/dν, za črno telo je podan s Planckovim zakonom [1]

dj

dλ=

2πhc2

λ5

1

exp(hc/kλT )− 1,

dj

dν=

2π

c2

hν3

exp(hν/kT )− 1. (1)

Krivulje dj/dλ si lahko ogledamo na sliki 4. Če želimo zvedeti celoten svetlobni tokizsevan pri neki temperaturi j moramo porazdelitev dj/dλ integrirati in dobimo Štefanovzakon

j =

∫(dj/dλ) dj = σT 4

pri čemer je σ = 56.7 nW/m2K4. Vrh spektra pri poljubni temperaturi T pa dobimo spomočjo Wienovega zakona

λ0T = C1, ν0 = C2T

kjer je C1 = 0.002898 mK in C2 = 103.448 MHz/m. Pri temperaturi 300 K je vrh spektraizsevanega valovanja pri valovni dolžini λ0 = 9.7 µm in večina energĳskega toka padev dolgovalovno infrardeče področje. Vrednostim λ0 v področju vidne svetlobe ustrezajotelesom s temperaturo okoli 5000 K.

Tabela 1: Nomenklatura območĳ valovnih dolžin elektromagnetnega valovanja.

interval valovnih dolžin oznaka področja okrajšava25-200 nm vakuumska ultravĳolična svetloba VUV200-400 nm ultravĳolična svetloba UV400-700 nm vidna svetloba VIS700-1000 nm bličnje infrardeče področje NIR

1-3 µm kratkovalovno infrardeče področje SWIR3-5 µm srednje-valovno infrardeče področje MWIR5-14 µm dolgovalovno infrardeče področje LWIR

14 -30 µm zelo dolgovalovno infrardeče področje VLWIR30-100 µm daljne infrardeče področje FIR

100-1000 µm submilimetersko področje SubMM

radiom.tex 1 13. marec 2008

Radiom Praktikum II

Za detekcĳo sevanja v področju valovnih dolčin od 4 do 10 µm uporabljamo predvsemtermične detektorje, pri katerih zaznavamo spremembo temperature detektorja pod vpli-vom sevanja. Najbolj znani termični detektorji so termočleni, bolometri (termistorji) inpiroelektrični senzorji.

Termočlen je sestavljen iz dveh žičk iz različnih kovin, ki sta na konceh spojeni medseboj. Na spoju pride do prelivanja elektronov iz ene kovine v drugo, zato se med njimapojavi napetost. Ta napetost je odvisna od temperature spoja. Če enega od spojev držimopri standardni temperaturi, drugega pa na merilnem mestu z neznano temperaturo jerazlika napetosti med stikoma v grobem sorazmerna z razliko njunih temperatur. Na tanačin dobimo zelo priročen termometer. Če nato enega od stikov če primerno oblikujemoin počrnimo, lahko termočlen neposredno uporabimo za detekcĳo termičnega sevanja.V principu termočlen dobimo skoraj vedno ko staknemo dve raznorodni prevodni snovi.Zato poznamo veliko tipov, ki se razlikujejo po natančnostih, območjih delovanja inobčjutljivosti na zunanje vplive (kemĳske, mehanične itd.). V fizikalnih praktikumih sepogosto uporablja termočlen s spojem bakra-constantan znan pod imenom tip T.

Termočlene odlikujeta zelo enakomerna spektralna občutljivost in stabilnost. Njihovašibka stran pa je relativno počasen odziv (odzivni čas τ ≈ 50 ms), zato so uporabnipredvsem za statične meritve, pri katerih se osvetlitev s časom ne spreminja. Če večtermočlenov zaporedno zvežemo v verigo, dobimo zelo občutljiv termični detektor (ther-mopile), ki dosega odzivne napetosti do 1 kV/W.

j

j

j

T T

jj

j j

d

21

p

1 2

2s1s 1s 2s

Slika 1: Shema radiometra.

Radiometer, ki ga uporabljamo pri vaji, de-luje na primerjalni način in shema le-tega jeprikazana na sliki 1. Z njim zaznavamo raz-liko med gostoto svetlobnega toka j1, ki padana sprednjo stran in med gostoto svetlobnegatoka j2, ki pada na zadnjo stran radiometra.Sestavljen je iz dveh vertikalnih črnih plošč,med katerima je zrak. če gostoti svetlobnihtokov nista enaki, imata črni plošči v ravno-vesju različni temperaturi T1 in T2. Razlikotemperatur ∆T = T1 − T2, ki je v prvem pri-bližku sorazmerna razliki gostote svetlobnih to-kov ∆j = j1 − j2, merimo s termočlenom.

Energĳa med ploščama se izmenjuje s seva-njem (na sliki j1s in j2s) in s toplotnim tokom zaradi toplotne prevodnosti zraka medploščama (na sliki jp). Prevajanje in konvekcĳo na zunanji strani plošč zanemarimo. Čeprivzamemo, da sta obe plošči idealni črni telesi, dobimo za ∆T v stacionarnem stanjuizraz (izpelji doma):

∆T.=

∆j

12σT3+ 2λ

d

kjer je T povprečna temperatura plošč, λ toplotna prevodnost zraka in d razdalja medploščama. Pri računanju privzamemo, da je ∆T T .

Naš radiometer je sestavljen iz dveh črnih ploščic izdelanih iz počrnjenega papirjain pritrjeni v aluminĳast obroč. Preko obroča je poveznjena polietilenska folĳa, ki pre-prečuje konvekcĳo. Na črn papir sta pritrjena spoja termoelementa: baker-konstantan.Termonapetost ∆U , ki je proporcionalna temperaturne razlike na spojih ∆T , merimo z


Radiom Praktikum II

mikrovoltmetrom. Občutljivost termoelementa je enaka ∆U/∆T = 41 µV/K.

Potrebščine• Radiometer z merilnim termočlenom preko ojačevalca (glej dodatek) vezanim na

voltmeter

• žarnica, grelna plošča z merilcem temperature, variak,

• ravnilo, multimeter

• okna iz različnih snovi (silicĳ, teflon, navadno steklo, pleksi steklo in kremenovosteklo)

NalogaA Preveri, da gostota svetlobnega toka točkastega svetila pada s kvadratom razdalje

od svetila.

B Preveri temperaturno odvisnost gostote izsevanega svetlobnega toka, da le-ta ustrezaStefanovem zakonu j∗ = σT 4.

C Določi prepustnost nekaterih snovi za termično sevanje žarnice in kuhalnika pridveh različnih temperaturah.

NavodiloA Voltmeter kaže za nek faktor (predvidoma 20.000) ojačano napetost ∆U , ki jeproporcionalna razliki gostote svetlobnega toka z desne in z leve strani radiometra:∆U = C∆j. Sorazmernostna konstanta C je podana z občutljivostjo termoelementa inlastnosti ojačevalca ter s prej navedeno zvezo med ∆T in ∆j. Odvisna je od povprečnetemperature T , ki pa je vedno zelo blizu sobne, zato lahko C smatramo za nespremenljivopri celi meritvi. Ker so naše meritve primerjalne, nam konstante C ni treba kvantitativnodoločiti.

Prižgi žarnico postavljeno na razdalji d = 1 m od radiometra, počakaj približno 1minuto, da se vzpostavi ravnovesje in ponovno odčitaj vrednost, ki jo kače mikrovolt-meter. Ponovi meritev pri razdaljah d = 0.2, 0.23, 0.27, 0.32, 0.38, 0.44, 0.52, 0.61, 0.72,0.85 in 1 m. Nariši diagram gostote svetlobnega toka v odvisnosti od obratne vrednostikvadrata razdalje.

B Počrnjeno grelno ploščo postavi približno 30 cm od radiometra in jo segrej do največ250 C. Temperaturo grelne plošče razbereš z dodatnega merilca temperature – multi-meter s termoelementom in pretvornikom napetosti iz termoelementa v temperaturo.Termoelement pripadajoč multimetru je tipa K, ki predstavlja spoj zlitin cromel-a (90/10Ni/Cr) in alumel-e (95/5 Ni/Al) z občutljivostjo 41 µV/K in je splošno uporaben terzelo razširjen. Merjenje temperature poteka z natačnostjo podano v spodnji tabeli:


Radiom Praktikum II

temperaturni intervali [C] natančnost resolucĳa [C]-50 do 400 ± 0.75 %, ± 3 C 1

400 do 1000 ± 1.5 %, ± 15 C 10 do 40 ± 2 C 1

Pri segrevanju nastavi variabilni transformator (variak) na največ 140 V. Pri ohlajanjunaj bo variac nekaj časa na 70 V, nato pa na nič. Med ohlajanjem si zapisuj vrednostiobeh termonapetosti. Nariši diagram gostote svetlobnega toka j(T ), ki ga seva grelnaplošča, v odvisnosti od T 4−T 4

0 , pri čemer je T0 je sobna temperatura, T pa temperaturaplošče (v K).

C Med grelno ploščo in radiometer postavi plošče iz različnih materialov (steklo, pleksisteklo, papir, ...) in določi njihovo prepustnost. Gostota svetlobnega toka j pri danivalovni dolžini λ se od prehodu skozi snov debeline L spremeni iz začetne vrednosti j0

v j1 po formulij1(λ) = j0(λ) T (λ, L), T (λ, x) = t(λ) e−µ(λ)x

kjer je t(λ) koeficienti transmitivnosti - količnik koliko svetlobnega toka se ne odbĳe, in zµ absorpcĳski koeficient. Tukaj je smiselno uvesti izraza zunanje prepustnosti in internoprepustnost. Prvi je rezultat refleksĳe kot absorpcĳe in definiran s T (λ, L), drugi pa jeodvisen le s od absorpcĳe in dan z e−µ(λ)L. Območja večje prepustnosti za različne snovije prikazana na sliki 3.

Slika 2: Za različne snovi območja valovnih dolžin, kjer je zunanja prepustnost 2 mm debeleplošče večja od 10 %. Znotraj meja je snov ”prozorna”, zunaj pa ”neprozorna”


Radiom Praktikum II

V območju ultravĳolične svetlobe ima večina izolatorjev in polprevodnikov velik ab-sorpcĳski koeficient (µ > 105 m−1), zato tam ne prepuščajo elektromagnetnega valova-nja. Do absorpcĳe pride zaradi vzbujanja elektronskih prehodov zunanjih elektronov vatomih oz. zaradi prehoda elektronov iz valenčnega v prevodni pas. Svetloba nekolikodaljših valovnih dolžin teh prehodov ne more več povzročiti, zato snovi postanejo pro-zorne. Okno prozornosti se konča v infrardečem področju, ko postane frekvenca svetlobeprimerljiva s frekvenco molekularnih in atomskih nihanj, se pravi z vibracĳskimi nivoji vsnovi. Takrat se absorpcĳski koeficient znova močno poveča. Opisano se tudi lepo vidi sslike 2. Odvisnost prepustnosti je v grobem obratno-sorazmerna z odvisnostjo in je zatopribližno škatlaste oblike, kar si lahko za nekaj stekel in prevlek na sliki 3.

Slika 3: Zunanja prepustnost T (λ) za različna stekla verjetno enakih debelin. [2]

Interval valovnih dolžin, na katerem je material prozoren, se od snovi do snovi močnorazlikuje, glej sliko 2. Okensko steklo denimo ima prepustnost približno 92% v spektral-nem pasu od okoli 350 nm do 4.5 µm glej sliko 4. Zato prepušča večino energĳskega tokatermičnega sevanja pri 5000 K, odbĳa pa skoraj ves energĳski tok sevanja pri 300 K. Tolastnost izkoriščamo pri rastlinjakih (toplih gredah). Silicĳ, po drugi strani, pa odbĳavso vidno svetlobo in prepušča v infrardečem področju na intervalu od 1.2 µm do 15µm. Najširše območje prozornosti ima diamant, ki prepušča elektromagnetno valovanjeod valovne dolžine 250 nm pa vse do 100 µm.

1

10

100

1000

10000

100000

1e+06

1e+07

1e+08

0.1 1 10 100 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

dj/d

λ [M

W/m

3 ]

prep

ustn

ost

λ [µm]

T=300°KT=550°K

T=1000°KT=2500°KT=5000°K

prep. stekla

Slika 4: Spekter termičnega sevanja pri različnih temperaturah podan s Planckovo formulo (1)in prepustnost tipičnega optičnega stekla (BK7 steklo).


Radiom Praktikum II

Ob upoštevanju zapisanega vemo, da z našim radiometrom merimo gostoto svetlob-nega toka podano kot

j =

∫ λmax

λmin

dj

dλdλ,

pri čemer sta λmin in λmax določeni s prepustnostjo folĳe, ki obdaja radiometer oz. zbarvo, s katero so počrnjene njegove plošče. Izmeri razmerje med gostoto vpadnega inprepuščenega svetlobnega toka skozi različne snovi. Pri isti snovi primerjaj med sebojrezultate, dobljene z različnimi izvori sevanja, denimo z žarnico (T ≈ 2500 K) in z grelnoploščo (T ≈ 550 K).

Literatura[1] Kuščer I. in Kodre A., Matematika v fiziki in tehniki (DMFA, Ljubljana 1994)

[2] Gray D.E. , American Institute of Physics handbook (McGraw-Hill, New York, 1972)


Radiom Praktikum II

Dodatek: Vezje ojačevalca v uporabi


Piezo Praktikum II

Piezo-elektricnost

UvodKristali v feroelektričnem stanju so tudi piezoelektrični: mehanska obremenitev spremenielektrično polarizacĳo, in obratno, zunanje električno polje, v katerem je kristal, pov-zroči deformacĳo kristala. Vzrok za to je sklopitev med mehansko in električno energĳokristala. Navedimo nekaj primerov piezoelektričnih kristalov, ki so feroelektriki: barĳevtitanat (BaTiO3), rošelska sol (natrĳev kalĳev tartrat) in triglicinsulfat. Piezoelektričnipa so tudi neferoelektrični kristali, npr. kremen (SiO2). Piezoelektrični efekt dobimo prikristalih, ki nimajo centra simetrĳe in imajo tako imenovano polarno os.Piezo-elektriki se odzovejo na deformacĳo s polarizacĳo snovi. Lokalno deformacĳo

povzročeno v neki točki s silo d~F = (dFi) i = 1, 2, 3 podamo z deformacĳskim tenzorjemTij i, j = 1, 2, 3 definiran kot

Tij = 12

(dFidSj

+ dFjdSi

),

kjer so dSi i = 1, 2, 3 tri med seboj pravokotno–orientirane površine delovanja sile d~F .Elemente tenzorja Tij, ki so v splošnem odvisni od pozicĳe v kristalu, dobimo tako:

izberemo majhno ravno ploskvico velikosti dS, tako da je njena normala orientirana vdoločeno smer. Na tej ploskvici deluje en del kristala na drugega z majhno silo dF , kateresmer se v splošnem ne ujema s smerjo normale na ploskvico. V izbranem koordinatnemsistemu postavimo na izbranem mestu v kristalu tri ploskvice, tako da so njihove normalevzporedne s koordinatnimi osmi. Te ploskvice označimo z dSx, dSy in dSz: npr. ploskvicadSx je pravokotna na os x. Na vsaki od treh ploskvic deluje en del kristala na drugegas silo, ki ima komponente v smeri vseh treh osi. Pri oznaki komponente tenzorja Tijpomenita indeksa po eno od treh koordinat, npr. Txy. Odvod sile po ploskvi v izrazuza Tij , npr. dFx/dSy, pomeni količnik med komponento x sile, ki deluje ploskvico znormalo v smeri osi y, ter velikostjo te ploskvice.Pri piezoelektrikih je zveza med polarizacĳo kristala ~P in mehansko napetostjo Tij

linearna in v splošnem določena s tenzorjem 3. reda :

Pi = dijkTjk .

Pri tem upoštevamo Einsteinovo konvencĳo, da na desni strani enačbe seštevamo poponavljajočih indeksih j in k.Elemente tenzorja dijk imenujemo ”piezoelektrični moduli”. Praktično jih merimo v

izbranih smereh kristala. Električni naboj merimo na izbrani ploskvi, mehanska obreme-nitev pa je lahko tlak na ploskev, upogib ali torzĳa. Kot piezoelektrik največkrat upora-bljamo kvarc v obliki ploščic ali piezoelektrično keramiko, navadno v obliki ploščic, po-larizirano pravokotno na ploskev (svinčev cirkonĳev titanat PbZrTiO3). Piezoelektričnemateriale uporabljamo za merjenje sprememb tlaka in sil, kot mikrofone in generatorjeultrazvoka. Piezoelektriki so pomembni tudi pri delovanju sodobnega tunelskega elek-tronskega mikroskopa. S takim mikroskopom lahko ”otipamo” relief in atomsko zgradbopovršin raznih materialov. Bistveni del mikroskopa je tanka kovinska igla, ki jo lahkopremikamo v vseh treh pravokotnih smereh s kvarčnimi vodili. Z dodatno napetostjo nateh vodilih nekoliko spreminjamo njihovo dolžino in tako določamo položaj igle.

piezo.tex 1 29. december 2008

Piezo Praktikum II

V praktikumski vaji bomo izmerili piezoelektrični odziv ploščice iz piezoelektričnekeramike. Shema meritve je prikazana na sliki 1. V primeru piezoelektrične keramike ima

e

e

+

F

UU

−

R

i b

p

k

Slika 1: Shema meritve. V valjasti posodi iz izolacĳskega materiala (i) je okrogla plošča izpiezokeramike (p) s premerom = 38 mm in debelino = 6,5 mm med dvema elektrodama (e), odkaterih je spodnja ozemljena. Sila F se prenaša preko bata (b) in kroglice (k) na piezoelektrik.Napetost merimo preko operacĳskega ojačevalca.

tenzor dijk tri neodvisne elemente. To so d131, d311 in d333, če je os z izbrana vzporednoz začetno polarizacĳo keramike. V našem primeru s silo ~F , pravokotno na ploskev S,ustvarjamo tlačno napetost T33 = F/S in povzročimo nastanek polarizacĳe P3. Takodobimo d333 = d kot sorazmernostni koeficient med električnim nabojem e in silo F :

e = dF . (1)

Polarizacĳa je namreč enaka ploskovni gostoti naboja. Ojačevalnik na sliki 1 meri nape-tost U , ki je določena s kapaciteto plošče C po formuli U = e/C. Pri tem je kapacitetaploščatega kondenzatorja z vmesnim dielektrikom debeline b enaka

C = εε0S

b. (2)

Z ε smo označili dielektričnost piezoelektrika, ε0 je električna konstanta. Napetost sepojavi v trenutku, ko postavimo na ploščo utež, nato pa s časom eksponentno pada; kerse kondenzator prazni preko upora R, je napetost enaka

U = U0e−t/τ , (3)

kjer je U0 začetna napetost, τ pa časovna konstanta: τ = RC. Upor R je v našem primeruenak 5 GΩ.Za opazovanje počasnih pojavov je smiselno uporabiti osciloskop s pomnilnikom. Taki

osciloskopi (Digital Oscilloscopes) v zadnjih desetih letih vedno bolj izpodrivajo klasične


Piezo Praktikum II

analogne. Njihova velika prednost je tudi v tem, da lahko rezultate meritve preko ustre-znega vmesnika prenesemo na računalnik za kasnejšo obdelavo ali rezultate shranimo.V praktikumu imamo zaenkrat preko vmesnika priključen tiskalnik, na katerega lahkoprenesemo sliko z zaslona.

Potrebščine• merilna valjasta posoda s piezoelektrično keramiko

• elektrometrski ojačevalnik z baterĳskim napajanjem

• osciloskop s pomnilnikom

• tiskalnik

• uteži za 200 g, 500 g in 1 kg.

Naloga1. Izmerite dielektrično konstanto vzorca iz piezoelektrične keramike.

2. Izračunajte pizoelektrični koeficient keramike.

NavodiloPreberite navodila za ravnanje z osciloskopom. Preizkusite delovanje osciloskopa v raz-ličnih načinih, analognem in digitalnem! Pazite tudi, da je vhod osciloskopa nastavljenna DC sklopitev. Osciloskop nastavite na način časovnega merjenja napetosti. Na osci-loskopu opazujte najprej signal, ki ga daje direktno piezoelektrična ploščica. Opaziliboste, da lahko piezoelektična ploščica deluje kot mikrofon ali merilnik tresljajev klopi.Opazujte značilne odzivne čase. Poskušajte tudi izmeriti odziv po tem, ko piezoelektrikobremenite z utežjo.Povežite izhod elektrometrskega ojačevalnika z osciloskopom. Eno od treh uteži po-

stavite na ploščo merilnika in opazujte časovni signal na osciloskopu. Nastavite ustreznočasovno (os osciloskopa) in napetostno skalo (os). Sliko posnemite potem, ko najprejpočakate, da dosežete stacionarno stanje. Nato zelo previdno obremenite keramiko, dakar se da zmanjšate začetno nihanje napetosti. S pritiskom na gumb ”hold” (HOLD I zaprvi kanal, HOLD II za drugega) ustavite sliko na zaslonu osciloskopa. Povežite izhodojačevalnika z drugim vhodnim kanalom osciloskopa in posnemite signal pri razbreme-nitvi keramike. Natisnite sliko obeh signalov hkrati na tiskalniku (pritisnite na gumbSTART za tiskanje na zadnji strani osciloskopa). Ponovite meritev za drugi dve uteži.

1. Iz grafov za časovno odvisnost napetosti izračunajte časovno konstanto (ta bi moralabiti enaka za vse signale). To lahko naredite na dva načina. Po prvem načinu pri časut1 potegnite tangento na krivuljo in odčitajte, kje seka vodoravno os (čas t2). časovnakonstanta je τ = t2− t1. Prepričajte se o tem z odvajanjem enačbe (3) po času. Ta način


Piezo Praktikum II

določitve časovne konstante ni najbolj natančen, saj je precej subjektivno, kako bomopotegnili tangento na krivuljo.Pri drugem načinu izberite poljubni točki na krivulji, odčitajte časovni razmik med

točkama ∆t = t2 − t1 in količnik napetosti U(t2)/U(t1), ki pa se z uporabo enačbe (3)dan s formulo

U(t2)U(t1)

= e−t/τ .

Od tod lahko izračunamo τ . Primerjajte rezultat za oba načina. Z uporabo relacĳeτ = RC in enačbe (2) izračunajte s pomočjo pridobljene časovne konstante τ izračunajtekapaciteto kondenzatorja in dielektrično konstanto piezoelektrika ε.

2. Narišite graf začetnega skoka napetosti U(t = 0) v odvisnosti od obremenitve ke-ramike F , tako da razbremenitev upoštevate kot negativno tlačno napetost. Nazadnjeizračunajte še piezoelektrični koeficient po enačbe (1).

Premislite delovanje ojačevalca, ki ima v našem primeru vlogo sledilca napetosti (ang.voltage follower). Po končani vaji izklopite napajanje ojačevalnika, da se bate-rĳe ne izpraznĳo!


FerMag Praktikum II

Feromagnetizem

UvodŽelezo, nikelj, kobalt in nekatere spojine in zlitine, med katerimi so pomembni materialiAlNiCo, SaCo, in NdB oksidi, so feromagnetne. Magnetna permeabilnost µ teh snovi jemnogo večja od 1, vendar ni konstantna in se spreminja z jakostjo magnetnega polja H.Zveza med gostoto magnetnega polja v snovi B in med jakostjo polja H je v splošnemnelinearna, zato magnetno permeabilnost µ definiramo kot diferencialni kvocient

µ(H) = 1µ0

dBdH ,

kjer je µ0 indukcĳska konstanta. Pomembne podatke, ki jih hočemo poznati za feromag-netne snovi, lahko preberemo iz magnetilne in histerezne krivulje, t.j. odvisnosti B(H),ki je prikazana na sliki 1. Magnetilna krivulja opiše potek B(H), če izhajamo iz popol-noma razmagnetenega stanja, nasičena histerezna zanka pa predstavlja odvisnost B(H)pri ponavljajočem se magnetenju izmenoma v eno in drugo smer, pri čemer mora bitijakost polja dovolj velika, da dosežemo največjo možno namagnetenje snovi.

Slika 1: Feromagnetna magnetilna krivulja (1-2-3) in nasičena histerezna krivulja. Narisanaje odvisnost B(H), označene pa so vrednosti jakosti koercitivnega polja HC in remanentnegostote magnetnega polja v snovi BR.

Feromagnetna snov je magnetizirana tudi tedaj, ko ni v zunanjem magnetnem polju.Magnetizacĳa je posledica urejenih magnetnih momentov ionov v kristalu feromagnetnesnovi. Med temi magnetnimi momenti deluje tako imenovana "izmenjalna interakcĳa",ki je kvantne narave. Le redko so vsi magnetni momenti v makroskopskem kosu fero-magnetnega materiala vzporedni med seboj, ker se takrat zunaj snovi pojavi magnetnopolje, kar zahteva določeno energĳo. V snovi zato nastanejo področja - domene, ki imajorazlične smeri magnetizacĳe. to je tudi lepo prikazano na sliki 2. Energĳa magnetnega

fermag.tex 1 7. oktober 2008

FerMag Praktikum II

polja je najmanjša, če imajo domene tako obliko, da se magnetni pretok sklene znotrajsnovi. V feromagnetu, ki še ni bil namagneten, je tako magnetni pretok sklenjen znotrajferomagneta. Ko damo tak material v magnetno polje, se tiste domene, katerih mag-netizacĳa kaže približno v smeri zunanjega polja, povečajo na račun ostalih. Pri dovoljvelikih jakostih magnetnega polja se magnetizacĳa v vseh domenah uredi v smeri zu-nanjega polja. Zmanjša se tudi število domen, ker se posamezne domene združujejo indomenske stene med njimi izginjajo, ta proces pa je odvisen predvsem od vrste materiala.

Slika 2: Posnetek feromagnetnih domen na ploščici kristala nikla Ni. S puščicami so narisaneusmeritve magnetizacĳe v domenah. (vir [1])

Ko manjšamo jakost magnetnega polja je v splošnem odvisnost B(H) drugačna kotpri povečevanju. Temu pojavu pravimo histereza. Pri H = 0 gostota polja B ne pade nanič, ker lahko domene še vedno ostanejo delno urejene. Vrednost BR pri H = 0 rečemoremanentna gostota magnetnega polja. Gostoto B spravimo na nič šele, če delujemo nasnov z magnetnim poljem v obratni smeri. Jakost polja, ki je za to potrebna, se imenujekoercitivna jakost magnetnega polja HC in jo odčitamo iz histerezne krivulje. Vendar jepotrebno opozoriti, da na ta način (z uporabo polja v obratni smeri) me moremo dobrorazmagnetiti snovi. Če bi v točki B = 0, H = −HC izklopili zunanje polje, bi se gostotaB vrnila na vrednost različno od 0. Za razmagnetenje navadno uporabimo pojemajočeizmenično magnetno polje. Celotno histerezno krivuljo izmerimo tako, da posnamemoeno krožno spremembo B(H), pri čemer moramo tako v pozitivni, kakor tudi v negativnismeri doseči jakosti magnetnega polja precej večje od HC . Feromagnetne snovi imajozelo različna parametra BR in HC, ki karakterizirata histerezno zanko. Snovi s širokohisterezno zanko (velike vrednosti BR in HC) uporabljamo za trajne magnete, snovi zozko in strmo zanko (majhna BR in HC) pa za jedra transformatorjev.

Sklenjeni magnetni krog Magnetni krogi so navadno sestavljeni iz različnih feromag-netnih materialov, npr. permanentnih magnetov z enostavno geometrĳo, mehkih mag-netnih materialov, ki vodĳo magnetne silnice in tankih zračnih rež. Primerov uporabetakih krogov je mnogo, omenimo naj le električne generatorje, motorje in zvočnike. Ide-alen sklenjeni krog je toroid. Zapletenejši, a še vedno dovolj enostaven je magnetni krogiz ene vrste feromagnetnega materiala, ki ima tanko režo. Poglejmo si opis magnetnegapretoka po takem krogu iz feromagneta s konstantnim presekom in z majhno režo zenakim presekom S.Na feromagnetno jedro naj bo navita tuljava z n ovoji, po kateri teče tok I. Za mag-

netno napetost Um =∫ ~Hd~s velja, da je v sklenjenem krogu enaka vsoti objetih elek-


FerMag Praktikum II

tričnih tokov, tako da velja

Um =∮~Hd~s =

∑I = nI.

V našem primeru integriramo po zanki, ki poteka večinoma v feromagnetnem jedru malopa v reži,

Um = Ufero + Ureza = LHfero + xHreza = nI, (1)kjer je L dolžina feromagnetnega jarma in x širina reže. Magnetni pretok Φm je v v režiin v jedru enak, kar zapišemo kot

Φm = SBfero = SBreza, (2)

in nam pove, da sta enaki tudi gostoti magnetnega polja v feromagnetu in v reži. Enačbi(1) in (2) sta enolično rešljivi le v primeru, da nimamo histereze, da je torej zveza B(H) vferomagnetu enolična. Zvezo B(H) lahko v splošnem preberemo iz histerezne krivulje, česeveda poznamo zgodovino materiala. V reži pa zvezo Breza = µ0Hreza seveda poznamo.Oglejmo si enostavnejši primer.Ko v tuljavi nimamo električnega toka (I = 0), sta jakosti polj v feromagnetu in v

reži lahko še vedno različni od 0 in ob upoštevanju enačbe (1) dobimo zvezo

Hreza = −LxHfero, (3)

ki pove, da ima jakost polja v reži nasproten predznak in je precej večja od jakosti poljav feromagnetu. Za gostoti polja pa vemo že od prej, da morata biti v feromagnetu inv reži enaki. Zato lahko enačbo (3) zapišemo le s količinama B(H) v feromagnetu indobimo

Bfero = −µ0L

xHfero, (4)

kar nam pove, da ležĳo možna stanja našega sistema na premici, katere strmina jeodvisna od razmerja med širino reže in dolžino feromagnetnega jarma, predznaka gos-tote in jakosti polja v feromagnetu sta nasprotna, zato jakost polja v namagnetenemferomagnetu navadno imenujemo demagnetizacĳsko polje. Največje možno polje v režipreberemo iz histerezne krivulje kot presečišče med njo in med premico podano z enačbo(4). Za tanke reže je vrednost Breza = Bfero = BR približno enaka remanentni gostotimagnetnega polja v feromagnetu.

Potrebščine• transformatorski krog (jarem), zaključek magnetnega kroga iz transformatorskega

jekla in iz železa,

• distančniki,

• primarna tuljava (N1 = 1000) in sekundarna tuljava (N2 = 46),

• elektronsko procesno vezje v škatli povezano preko USB povezave z računalnikom


FerMag Praktikum II

Naloga1. Izmeri histerezno zanko transformatorskega jekla.

2. Določi vrednosti gostote magnetnega polja v reži magnetnega kroga sestavljenegaiz transformatorskega jekla kot funkcĳo debeline reže in toka napajanja. Primerjajizmerjeni rezultat Breza pri I = 0 z vrednostjo, ki jo določiš iz prej izmerjenehisterezne krivulje.

3. Izmeri histerezno krivuljo za magnetni krog sestavljen iz dveh delov. Prvi del jetransformatorsko jeklo, drugi del je masivni kos železa. Dodatno: Izračunaj his-terezno krivuljo kosa masivnega železa.

NavodiloOsnova magnetnega kroga je transformatorski jarem oblike U. Na njem sta dve tuljavi,od katerih eno napajamo preko izvora konstantnega toka, v drugi pa merimo induciranonapetost, kadar spreminjamo razmere v krogu. Magnetni krog zaklučimo s priloženimikosi transformatorskega jekla ali masivnega železa, z distančniki pa lahko izbiramo širinozračne reže (oziroma reže iz nemagnetnega materiala s permeabilnostjo 1).Osrednji del merilne naprave je procesno vezje, vgrajeno v škatlico in preko USB

povezave prikjučeno na računalnik. V grobem je procesno vezje sestavljeno iz dveh de-lov: regulatorja toka skozi primarno tuljavo in sledilnika napetosti na sekundarni tul-javi. Računalnik lahko prejema in posreduje podatke le v digitalni obliki, zato regulatortoka vsebuje še DA (digitalno-analogni) pretvornik, sledilec napetosti pa AD (analogno-digitalni) pretvornik. S programom na računalniku krmilimo tok I1 skozi primarno tul-javo in obenem zajemamo inducirano napetost U2. Pred začetkom meritev procesno vezjevklopimo in ob zaključku meritev izklopimo.Inducirana napetost v merilni/sekundarni tuljavi meri spremembe magnetnega pre-

toka v magnetnem krogu in zato velja

U2 = dΦm

dt .

Celotno gostoto magnetnega poljaB(t) torej lahko dobimo iz integrala inducirane napetostipo času in iz znanega preseka magnetnega kroga S tako:

B(t) = 1SN2

∫ t

0U2(t′)dt′ +B0,

kjer je B0 začetna vrednost. Gornji integral je izveden popolnoma digitalno s programomFermag na računalniku, ki nam vrne vrednost

F (t) =∫ t

0U2(t′)dt′ + F0

pri čemer je F0 začetna vrednost na integratorju. Vrednost iz integratorja F (t), ki namjo poda program, umerimo z relacĳo B(t) = 1

SN2F (t)+B0. Konstanto B0 določimo tako,

da je nasičena histerezna krivulja simetrična glede na inverzĳo ( B → −B in H → −H).


FerMag Praktikum II

procesno

vezje

USB

tuljavaprimarna sekundarna

tuljava

I 1U2

Osebniracunalnik

Slika 3: Shema vezave obeh tuljav nameščenih na feromagnetnem obroču s procesnim vezjemin le-tega z osebnim računalnikom. Na primarni tuljavi vsiljujemo tok I1 in na sekundarnimerimo inducirano napetost U2.

Računalniški program za kontrolo procesnega vezja obratuje na operacĳskem sistemutipa Linux. Študentje imajo na voljo en uporabniški račun (username:student, pass-word:praktikum2). Program najdemo pod bližnjico na namizju X Windows-ov z lo-gotipom . Meritev histerezne krivulje opravimo s programom po naslednjem postopku:

1. V glavnem oknu programa 5.a s klikom na gumb Naloži profil toka se odpre di-alog za izbiro datoteke s shranjenim časovnim profilom. V pod-direktorĳu ./signal_current_dataso shranjeni različni profili, ki so prikazani na sliki 4.

-1

-0.5

0

0.5

1

0 50000 100000 150000 200000 250000

I

n

sine.datsaw_begin_with_zero.dat

square_begin_with_zero.datdemagnetisation.dat

Slika 4: Časovni potek signalov toka I1(t) na primarni tuljavi zapisanih v brezdimenskih ličinahza tok I in čas n.

2. S pritiskom na Snemaj v glavnem oknu 5.a izvedemo celo meritev: generiramo tok


FerMag Praktikum II

I2(t), beremo inducirano napetost U2(t) in slednjo integriramo v F (t)

F (t) .= ∆tN−1∑

n=0U2(n∆t) + F0, N =

⌊t

∆t

⌋,

kjer je časovni korak ∆t = 10−4 s in oznaka b•c pomeni celi del števila. Signaltoka se pri eni meritvi ponovi tolikokrat kot je vrednost števila v okencu Številoponovitev profila toka. Priporočano je, da je število ponovitev za vse meritveenako 2, da se bolje opazi kvaliteta integriranja. Upoštevajte, da je meritev lahkonekoliko zamudna.

3. V primeru, da je težko odstraniti zamenljiv del v tranformatorskem jedru se lahkoposlužimo pripravljenega signala v datoteki demagnetisation.dat nastavimo Steviloponovitev profila toka na 1 in poženemo meritev. V tem signalu tok I(t) oscila-torno zmanjšujemo na nič in tako magnetizacĳo transformatorskega jedra gladkopopeljemo priblžno v nič.

4. Po opravljeni meritvi si lahko rezultate grafično prikažemo s pritiskom na gumbGrafi, pri čemer se pokaže okno 5.b, ali pa jih shranimo v datoteko s stiskom nagumb Shrani meritve.

Meritve v datoteki so organizirane v štiri kolone: prva predstavlja čas t [s], druga tokI2(t) [A], tretja inducirano napetost U2(t) [V] in četrta integrirano inducirano napetostF (t) [Vs]. V zapisu podatkov se kot decimalni separator uporablja pika – „.“. Za grafičniprikaz histerezne krivulje iz podatkov v datoteki (npr. meritev.dat) lahko uporabimotudi zunanji program – recimo gnuplot – z naslednjim zapisom:

gnuplot> plot ’meritev.dat u 2:4 w l

kjer navajamo podatke iz tretje kolone na abcisi in iz četrte kolone na ordinati.

Opomba: V oknu Nastavitve, prikazanem tudi na sliki 5.c, so vse bistvene nas-tavitve poteka meritve z danim signalom toka. Tam navedene vrednosti spreminjajtele po konzultacĳi z asistentom. S klikom gumba Kalibriraj lahko prepustimo računal-niku umeritev integratorja s spremembno Zamika napetosti. Pri tem je pomembno,da je jarem zaključen in z neko dovolj veliko tokovno obremenitvĳo primernega krogadosežemo nasičenje.Opomba: Programa Fermag in v zunanji napravi sta v eksperimentalni fazi. Zato ob-staja možnost motenj pri komunikacĳi in posledicčno nepričakovanega zastoja programaFermag. V tem primeru program Fermag zapremo in ugasnemo zunanjo napravo terpo krajšem času oboje ponovno prižgemo. Le v redkih primerih je potrebno resetiratiračunalnk.

Obdelava meritev1. Nariši histerezno krivuljo transformatorskega jekla z umerjenimi osmi. Os Y umerikot je opisano v gornjem besedilu in os X s pomočjo naslednje enačbe

H = N1I1L

,


FerMag Praktikum II

(a) (b) (c)

Slika 5: Glavno okno programa (a), grafični prikaz podatkov meritve (b) in nastavitve programakako se izvaja meritev z nekim naloženim signalom toka (c).

kjer je L efektivna (srednja) dolžina magnetnega kroga (jarma), ki jo je tudi potrebnoizmeriti.

2. Sestavi magnetni krog iz transformatorskega jekla in pusti tanko (npr. 0, 1 mm) režomed dvema deloma. Koščki papirja dobro služĳo temu namenu. Nariši histerezno krivuljotakega kroga. Os Y umeri enako kot prej. Os X pa umeri v enotah magnetne napetostiUm = N1I1. Iz krivulje odčitaj vrednost gostote magnetnega polja pri Um = 0 (torej tudiI1 = 0), ki je enaka gostoti magnetnega polja v reži, ki ga povzroča namagneteno jeklo.Primerjaj to vrednost s tisto, ki jo določiš iz enačbe (4) in izmerjene histerezne krivuljetransformatorskega jekla.

3. Izriši histerezno krivuljo za magnetni krog sestavljen iz dveh delov, fiksnega dela iztransformatorskega jekla in dodatnega kosa iz masivnega železa. Os Y umeri enako kotprej. Z osjo X je problem bolj zapleten in vrednosti na njej ne moremo direktno povezatiz jakostjo polja v enem ali drugem feromagnetnem materialu, pač pa velja

Um = H1L1 +H2L2 = N1I1 ,

zato to os umeri v enotah magnetne napetost Um.

Kako bi iz vseh meritev, ki si jih opravil doslej, določil histerezno krivuljo kosa železa?

Literatura[1] Kittel, Charles Introduction to solid state physics (New York [etc.] : John Wiley,

1986)


Spektrometrija zarkov γScintilacijski spektrometer

Kazalo

1 Delovanje spektrometra 1

2 Izvor signala 2

2.1 Umeritvena krivulja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Nastanek fotonov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.1 Fotoefekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.2 Comptonovo sipanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.3 Tvorba parov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Naloga: 6

3.0.4 Potrebscine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.0.5 Navodilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Vprasanja 8

1 Delovanje spektrometra

Energije zarkov ne merimo neposredno, ampak le posredno tako, da izmerimo en-

ergijo fotonov, ki jo le ti prejmejo od zarkov γ pri fotoefektu ali Comptonovem

sipanju, ali pa energijo parov pozitron-elektron iz procesa tvorbe parov. Pri scin-

tilacijskem detektorju uporabljamo v ta namen (zaradi visokega vrstnega stevila)

monokristale NaJ z dodatkom okrog 1% talija kot necistoce.

Pri potovanju hitrih nabitih delcev skozi kristal ostane za njimi razdejanje v

obliki sledi elektron-vrzel. Ta sled je za elektrone z energijo 1 MeV v NaJ dolga

priblizno 1,5 mm. Ponovno zdruzevanje med elektroni in vrzelmi poteka energi-

jsko ugodneje v blizini atoma necistoce. Tu vrzeli vzamejo elektron atomom

necistoce in jih ionizirajo. Elektroni se nato rekombinirajo s temi ioniziranimi

atomi necistoc. Odvecno energijo oddajo bodisi sosednjim atomom v kristalni

mrezi in tako povecajo termicno gibanje ali pa z izsevanjem fotonov vidne svet-

lobe. Scintilator NaJ(Tl) seva fotone v casu priblizno 10−6 s po tem, ko so nastali

pari elektron-vrzel. Ta cas je v glavnem dolocen s casom, ki ga porabijo vrzeli,

da pridejo do atomov necistoc. Stevilo scintilacijskih fotonov je odvisno od vrste

1

scintilatorja, je pa tem vecje, cim vecje je stevilo parov elektron vrzel v sledi

hitrega elektrona, oziroma cim visja je bila njegova kineticna energija. To stevilo

dolocamo s pomocjo fotopomnozevalke, naprave, ki je v bistvu fotocelica, le da

elektricni signal se sama ojaci. Visina signala iz fotopomnozevalke je sorazmerna

stevilu fotonov, torej tudi energiji, ki jo hitri nabiti delec izgubi v scintilatorju.

!!!!!!!!!!!!!!

"#"#"#"#""#"#"#"#""#"#"#"#"

$#$#$#$#$$#$#$#$#$$#$#$#$#$

%%%%%%%%%%%%%%

&&&&&&&&&&&&&&

ohisje

reflektor

NaJ

fotokatoda

anoda

dinode

fotopomnozevalka

izvor

Slika 1: Scintilacijski spektrometer za zarke γ

Energija nastalih fotonov je le nekaj odstotkov kineticne energije nabitega

delca. Ce je njihova povprecna energija okrog 3 eV, nastane pri upocasnitvi elek-

trona energije na primer 0,3 MeV okrog 103 fotonov. Vecino te svetlobe z re-

flektorjem (obicajno je to MgO, glej sliko 1), ki obdaja scintilator, usmerimo na

fotokatodo fotopomnozevalke. Iz fotokatode priblizno vsak deseti foton izbije fo-

toelektron. V signalu, ki ustreza kineticni energiji elektrona 0.3MeV dobimo torej

2

scintilacijski

detektorpredojacevalnik

analizator

veckanalniojacevalnik

Slika 2: Shema vezave elektronskih komponent

okrog 300 fotoelektronov. To stevilo fotopomnozevlka okrog 106-krat pojaca in

tako dobimo na izhodu okrog 108 elektronov, kar ustreza priblizno 10−11 As. Ker

se vse to zgodi v casu 10−6 s, dobimo tokovni sunek visine okrog 10 µA. Suneknato ojacimo s predojacevalnikom in ojacevalnikom ter mu izmerimo napetostno

visino z amplitudnim analizatorjem. Visina sunka je enolicno merilo za energijo

elektrona v scintilatorju.

2 Izvor signala

2.1 Umeritvena krivulja

Visina sunka na izhodu iz ojacevalnika (U) v odvisnosti od kineticne energije elek-

trone (We) U = konstanta ×We je odvisna od vrste in kvalitete scintilatorja, vrste

fotopomnozevalke, napetosti na njenjih dinodah , ojacenja predojacevalnika in

ojacevalnika. Umeritveno krivuljo moramo vsakokrat, ko spektrometer uporabl-

jamo znova umeriti, izbranih delovnih pogojev pa medmeritvijo ne smemo sprem-

injati.

2.2 Nastanek fotonov

Relativni delez fotoefekta, Comptonovega sipanja in tvorbe parov v scintilatorju

je odvisen od vrste scintilatorja in od energije zarkov gamma. Za scintilator NaJ(Slika 3) pri energijah Eγ < 100 keV prevladuje fotoefekt, pri Eγ ≈ 1 MeV

prevladuje Comptonovo sipanje. Tvorba parov je mogoca pri Eγ > 1, 02 MeV in

prevlada pri energijah Eγ > 10 MeV.

2.2.1 Fotoefekt

Pri fotoefektu zarek gama izbije elektron iz enega od vezanih stanj. Najverjetneje

je to elektron iz lupine K. Njegova energija jeEγ−EK , kjer jeEK vezalna energija

elektrona. Ker se absorbcijski koeficient, ki je posledica fotoefekta, spreminja

priblizno kot Z5E−7/2γ , kjer je Z vrstno stevilo atoma, prevladuje v NaJ fotoefekt

3

Skupen

Fotoefekt

Comptonovo sipanej

Nastanek parov

energija fotona E(MeV)

abso

rbci

jski

koef

icie

nt

µ(1

/cm

)

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

1

10

102

103

104

10-3

10-2

10-1

1 10 102

103

Slika 3: Absorbcijski koeficient µ za zarke γ razlicnih energij v NaJ.

v glavnem na atomih J, za katere je EK = 33, 2 keV. Atom, ki je po emeisiji

elektrona K v vzbujenem stanju, se vrne v osnovno stanje tako da zapolni vrzel

z elektronom iz visjih manj vezanih stanj (obicajno so to stanja L) in pri tem

izseva karakteristicen zarek X. Tudi ta lahko v scintilatorju dozivi fotoefekt na

manj vezanih elektronih in tako dobimo namesto prvotnega zarka gamma dva

elektrona, katerih skupna energija je priblizno (v mejah keV) enaka Eγ (zakaj ?).

Elektrona se v scintilatorju upocasnita in mu oddasta svojo kineticno energijo. V

porazdelitvi sunkov iz spektrometra dobimo tako vrh (fotovrh), katerega lega je

enolicno merilo za energijo zarkov γ. Ker nekateri karakteristicni zarki uidejo izscintilatorja, dobimo poleg vrha E≈Eγ tudi vrh pri E=Eγ-EK . Ker pa je locljivost

scintilacijskega spektrometra za elektrone z energijo priblizno 0,5 MeV nekaj pod

10%, se oba vrha zlijeta v enega. Dva vrha dobimo pri meritvi spektra zarkov γenergije okrog 60 keV. Vrh pri nizji energiji imenujemo vrh pobega fotona (photon

escape peak).

4

Slika 4: Porazdelitev sunkov iz scintilacijskega spektrometra za zarke gama en-

ergije priblizno 60 keV.

2.2.2 Comptonovo sipanje

γ

γ

e−

θ

Slika 5: Comptonovo sipanje

Comptonovo sipanje je neelasticno sipanje fotona na (skoraj) prostem (ne-

vezanem) elektronu. Ohranita se energija in gibalna kolicina. Potek sipanja je

prikazan na sliki 5. Zarek γ spremeni smer za kot ϑ; pri tem se mu kineticna

energija zmanjsa na:

E,γ =

Eγ

m0c2 + Eγ(1 + cos ϑ)=

m0c2Eγ

1 + Eγ

m0c2(1− cos ϑ)

, (1)

kjer je m0c2 mirovna energija elektrona (0,51 MeV). Razliko energij E =

Eγ − Eγ, odnese elektron. Ta razlika je najvecja, kadar odleti elektron v smeri

vpadlega fotona (energija Comptonovega roba):

Emax = Eγ

2 Eγ

m0c2

1 + 2 Eγ

m0c2

(2)

Energija ustreznega nazaj sipanega fotona je:

E,min =

Eγ

1 + 2 Eγ

m0c2

(3)

Ce je 0, 5 MeV < Eγ < 2 MeV , je 0, 17 MeV < E,min < 0, 22 MeV . Presek za

Comptonovo sipanje se spreminja kot ZE−1/2 in je dominanten na podrocju od

0, 4 MeV < Eγ < 4 MeV .

5

Tipicno energijsko porazdelitev comptonsko sipanih elektronov kaze slika ??.

Iz nje razberemo, da je spekter njihovih energij zvezen in da se leketroni sipajo

pretezno naprej oz. fotoni pretezno onazaj. V NaJ(Tl) scintilacijskih stevcih je po-

razdelitev v podrocju Comptonovih elektronov nekoliko spremenjena (slika ??).Prej

izrazita konica izgine. To je posledica dejstva, da se nekateri od nazaj sipanih

zarkov γ preko fotoefekta absorbirajo v scintilatorju. Tako se vsa energija zarkov

γ porabi v aktivnem volumnu in dogodek registriramo v fotovrhu (imenujemo ga

tudi vrh popolne absorbcije) namesto pri energiji Comptonovega roba. Rob se

zaradi tega zaobli.

Poleg tega se pri energiji, ki priblizno ustreza E,γmin

pojavi majhen vrh (vrh

povratnega sipanja - back scattering peak). Ta pripada fotonom, ki so se sipali

nazaj v stekli, ki prekriva scintilator ali pa v steklu fotopomnozevalke in se nato

absorbirali v scintilatorju.

Razmerje med visino zveznega Comptonovskega spektra in visino fotovrha je

odvisno od energije zarkov γ, predvsem pa od velikosti kristala. V vrhu popolne

absorbcije se registrira temvec dogodkov, cim vecji je scintilator.

2.2.3 Tvorba parov

Kadar ima zarek γ dovolj energije (Eγ ≥ 1,02 MeV ), se lahko v blizini je-

dra spremeni v par pozitron-elektron s skupno kineticno energijo Eγ − 2m0c2 ,

odvecno gibalno kolicino pa prevzame jedro. Absorbcijski koeficient za proces

tvorbe parov se spreminja kot (Eγ−2m0c2)2Z2. Nastala dela se gibljeta pretezno

v smeri naprej. V scintilatorju se zaustavita in mu predasta svojo kineticno en-

ergijo. Ko se pozitron upocasni, se anihilira z enim od elektronov, ki jih sreca na

svoji poti. Nastaneta dva zarka γ, ki pod kotom 180o odletita vsak v svojo smer.

Ce bi oba zarka neovirano usla iz scintilatorja, bi dobili v spektru vrh, ki ustreza

kineticni energiji para E = Eγ − 2m0c2. Govorimo o vrhu dvojnega pobega.

Ce se absorbira v scintilatorju eden od anihilacijskih zarkov γ, je v scintilatorjuabsorbirana energija E = Eγ − m0c

2, ce pa se absorbirata oba, je absorbirana

energija E = Eγ (vrh popolne absorbcije).

Ker je mozno, da poteka absorbcija zarkov γ po katerikoli od nastetih poti,

dobimo v spektruzarkov γ z energijo E¿1,02 MeV vse tri vrhove, ki so med seboj

razmaknjeni za 0,51 MeV. Razmerje njihovih visin je mocno odvisno od velikosti

scintilatorja. Pri majhnem prevladuje vrh dvojnega pobega, pri velikem pa vrh

popolne absorbcije.

6

3 Naloga:

Na-22

Visina signala(kanali MCA)

Ste

vilo

za

det

kov

N

102

103

104

105

100 200 300 400 500 600 700 800 900

Cs-137

Visina signala(kanali MCA)

Ste

vilo

za

det

kov

N10

2

103

104

105

100 200 300 400 500 600 700 800 900

Slika 6: Spekter γ zarkov iz 22Na (levo) in 137Cs (desno) v NaJ

1. S pomocjo dveh crt γ iz 22Na z energijo E1 =0,51 MeV in E2 =1,277 MeV

umeri energijsko skalo scintilacijskega spektrometra in izmeri energijo crte

γ iz 137Cs.

2. Izracunaj izkoristek kristala za vrh popolne absorbcije.

3. Oceni energijo vrha povratnega sipanja.

3.0.4 Potrebscine

• Scintilacijski detektor: fotopomnozevalka s kristalom NaJ(Tl) in katodnim

predojacevalnikom.

• Izvor visoke napetosti za napajanje fotopomnozevalke CAEN N471

• ojacevalnik z enokanalnim analizatorjem Ortec 590A [1]

• radioaktiovni izvor 22Na

• radioaktivni izvor 137Cs

7

3.0.5 Navodilo

Poglej si navodilo za enokanalni analizator. Prikljuci vse elemente na omrezje ,

postavi izvor 22Na na kristal in pocakaj cca. 20 min., da se aparatura stabilizira.

Nato pri napetosti na fotopomnozevalki cca. 1000 V nastavi ojacenje ojacevalca

tako, da bodo najvisji pulzi segali do cca. 6 V. Z enokanalnim analizatorjem izmeri

porazdelitev po visini sunkov. Sirina kanala naj bo 0,2 V. Zatem zamenjaj izvor22Na z izvorom 137Cs in ponovi meritev. Spektrometer umeri z dvema znanima

crtama γ 22Na - energijo neznane crte pa poisci z linearno interpolacijo.

Izkoristek kristala pri dani geometriji izracunaj s pomocjo izvora 137Cs z ak-

tivnostjo 4,04×(1± 0, 03)µC merjeno 1.10.1964.

Izkoristek η je odvisen od stevilo sunkov v fotovrhu Nfoto in stevilom vseh

fotonov γ v prostorskem kotu 2π Nvsi

η =Nfoto

Nvsi

(4)

Locljivost spektrometra R je definirana kot razmerje med energijsko sirina na

polovicni visini ∆E in energijo vrha E :

R =∆E

E(5)

Dolocena je s stevilom elektronov N, ki jih scintilacijski fotoni izbijejo iz

fotokatode fotopomnozevalke, saj je statisticna napaka ±√

N (relativna napaka

±√

N ). Za primer, ki smo ga obravnavali na strani 2 je relativna napaka ±6%in se priblizno ujema z locljivostjo, ki jo ugotovis pri meritvi. Ker je N ∝ Eγ se

locljivost spektrometra z energijo boljsa kot 1√Eγ.

4 Vprasanja

1. Razlozi energijsko lego vrha fotonskega pobega, ce ti je znan podatek, da

so vezavne energije elektronov v atomu joda za K lupino 33,2 keV, za LIII

in LII pa 4,54 keV oziroma 4,85 keV.

2. kako bi se kvalitativno spremenil spekter, ce bi bil izvor γ 2 MeV v sredi

zelo velikega kristala NaJ?

3. Ce bi hotel dobiti iz fotopomnozevalke pozitiven signal, bi ga odvzel namesto

iz anodnega upora iz zadnje dinode. Razlozi zakaj! Ali bi bil signal manjsi?

8

4. Ali lahko ozemljis pri fotopomnozevalki anodo namesto katode? Kaksne

prednosti oziroma slabosti bi to povzrocilo (pomni napetosti pri fotopomnozevlki

gredo tud do 2500 V!).

Literatura

[1] ORTEC 590a http://www.ortec-online.com/electronics/amp/590a.htm

[2] CAEN N471 http://www.caen.it/nuclear/product.asp?id=239

9

Holografija

2

Uvod Holografija je posebna vrsta fotografije, ki omogoča tridimenzionalno

ponazoritev predmeta. Pri navadni fotografiji zabeležimo na fotografski film ali

ploščo projekcijo porazdelitve gostote svetlobnega toka, ki ga seva predmet.

Projekcijo dosežemo s pomočjo optične leče. Slika je dvodimenzionalna, ker ob

gledanju slike manjšega predmeta pred večjim ne moremo videti zastrte dele, četudi

bi usmerili pogled na fotografijo pod različnimi koti.

Svetlobno valovanje (električna poljska jakost) nosi podatek o globinski

porazdelitvi posameznih točk na površini predmeta v fazi valovanja. Pri običajni

fotografiji je ta podatek izgubljen, saj je počrnitev filma sorazmerna povprečni

vrednosti kvadrata električne poljske jakosti, ki je neodvisna od fazne razlike. Pri

holografskem zapisu ohranimo podatke o fazah tako, da s fotografsko ploščo

registriramo interferenčno sliko, ki nastane pri interferenci med svetlobo, ki jo siplje

predmet in svetlobo, ki na poti do fotografske plošče predmet obide. Slika 1 kaže

postavitev za snemanje holograma.

Slika 1. Postavitev za snemanje holograma.

3

Laserski snop s pomočjo delilnika žarka razcepimo na dva enako močna snopa.

Prepuščeni snop, ki se odbije na ravnem zrcalu s pomočjo mikroskopskega objektiva

razpršimo in z njim osvetlimo predmet (predmetni žarek). Odbiti žarek prav tako

razpršimo z mikrosopskim objektivom in ga nato s pomočjo drugega zrcala usmerimo

direktno na fotografsko ploščo (referenčni žarek). Oba snopa interferirata in

fotografska plošča registrira njuno interferenčno sliko. Kot izvor svetlobe uporabimo

laser, saj je za dosego interference potrebno, da je koherentna dolžina svetlobe dalša

od razlike poti, ki jo opravita predmetni in referenčni snop.

Koordinatni sistem za opis valovanja na fotografski plošči postavimo tako, da

se njegova (x,y) ravnina ujema s fotografsko ploščo. Svetlobno polje opišemo s

poljem električne poljske jakost E. Zaradi enostavnejše obravnave računamo, kot da

ima električna poljska jakost po odboju na predmetu isto smer kot pred odbojem.

Vzeli bomo, kot da ima E ves čas eno samo komponento E, ki jo bomo obravnavali

kot skalar. Zapišimo v točki (x,y) na fotografski plošči električno poljsko jakost

predmetnega snopa Ep(x,y) in referenčnega snopa Er(x,y) kot

( ) ( ) ( )( ) ( )tiyxiyxEyxE pp ωexp,exp,,0

Φ−= (1)

( ) ( ) ( )( ) ( )tiyxiyxEyxE rr ωexp,exp,,0

Ψ−= (2)

kjer sta ( )yx,Φ in ( )yx,Ψ fazi valovanj. Ker sta valovanji koherentni, je

rezultirajoča električna poljska jakost

( ) ( ) ( )yxEyxEyxE rp ,,, += (3)

Ustrezna gostota svetlobnega toka je sorazmerna kvadratu električne poljske jakosti,

ki ga označimo z I.

( )( )rprprprprp EEEEEEEEEEI **22*

+++=++= (4)

Iz enačbe (4) vidimo, da se na fotografsko emulzijo poleg intenzitete predmetnega in

referenčnega snopa (prvi in drugi člen) zapišeta tudi interferenčna člena (tretji in četrti

člen), ki vsebujeta informacijo o relativnih fazah med predmetnim in referenčnim

snopom. Počrnitev fotografskega filma na določenem mestu je odvisna od ploskovne

gostote energije, ki pade na emulzijo. Ploskovna gostota energije je enaka produktu

gostote svetlobnega toka in časa osvetljevanja in jo bomo označili z Wex (ekspozicija).

4

Po osvetljevanju je transmitivnosti emulzije T v odvisnosti od ekspozicije We podana

z

γγIWT ex ∝∝ . (5)

Parameter γ je odvisen od lastnosti emulzije in načina razvijanja. Pri naši nadaljnji

obravnavi bomo rabili amplitudno prepustnost, ki je definirana kot

TTampl = (6)

Če vstavimo enačbo (4) v izraz za amplitudno transmitivnost holograma (6) in

upoštevamo, da je pri snemanju holograma običajno Ep << Er dobimo

( )rprprprp

r

rampl EBEEBEAEEEEE

ECT****

22

1 ++=

++=

γγ , (7)

kjer sta A in B konstanti.

Poglejmo kaj dobimo, če po razvijanju hologram postavimo na prejšnje mesto,

ga osvetlimo z referenčnim žarkom, predmet pa odstranimo. V tem primeru je

električna poljska jakost na izstopni strani fotografske plošče Eholo enaka produktu

*22

prprrramplholo EBEEEBAEETE ++== . (8)

Prvi člen v enačbi (8) predstavlja prepuščeni referenčni snop, ki je delno oslabljen.

Drugi člen opisuje divergenten snop žarkov, ki je tak kot bi izhajal od predmeta. Pri

prehodu skozi očesno lečo se zbere na mrežnici, kjer nam da realno sliko. Ker so

valovne fronte, ki izhajajo iz holograma enake tistim, ki so izhajale od predmeta,

zaznamo sliko, ki jo vidimo pri gledanju holograma, kot tridimenzionalno.

Do pomena tretjega člena v enačbi (8) pridemo s sledečim razmislekom. Če

enačbo za amplitudno prepustnost holograma (en. 7) pomnožimo s kompleksno

konjugiranim referenčnim valom (kar v realnost pomeni snop, ki se širi v obratni

smeri), dobimo

*22***

prprrramplholo EEBEBEAEETE ++== (9)

Tretji člen v enačbi (9) je enak kompleksno konjugiranemu drugemu členu v enačbi

(8) in torej predstavlja predmetni snop, ki se širi v obratni smeri tako, kot da bi izhajal

iz predmeta, ki bi bil postavljen zrcalno glede na ravnino holograma. Ker so žarki v

5

snopu, ki ga predstavlja tretji člen v enačbi (9) konvergentni nam dajo realno sliko, ki

bi jo lahko videli, če bi bilo v zraku veliko drobnih delcev (npr. od cigaretnega dima).

Ko torej z referenčnim žarkom osvetljujem hologram, dobimo na izhodni

strani tri snope: oslabljeni referenčni snop, divergentni snop, ki je tak, kot bi izhajal

od predmeta (torej v podaljšku nazaj daje virtualno sliko predmeta), ter konvergentni

žarek, ki daje realno sliko predmeta (opazimo ga lahko na drobnih delcih cigaretnega

dima). Pri dovolj veliki razdalji so vsi trije snopi med seboj prostorsko ločeni.

Hologram ravnih valov

Poglejmo si hologram, ko sta predmetni in referenčni žarek ravna valova

oblike ( )tkrie

ω− , od katerih prvi pada na fotografsko ploščo pod kotom α glede na

normalo, drugi pa v smeri normale. Izberimo koordinatni sistem, v katerem se

valovna vektorja prvega in drugega žarka zapišeta kot ( )αα cos,0,sin kkk p =v

in

( )kkr ,0,0=v

. Vzemimo, da se fotografska plošča nahaja v ravnini z=0. Potem je

intenziteta interferenčnega vzorca na njej enaka

( )( )xkCeCI xik αα sincos112

sin

int +′=+= . (10)

Hologram je kosinusna uklonska mrežica s periodo

α

π

sin

2

kd = . (11)

Natančnejši račun s Fraunhoferjevim uklonskim integralom pokaže, da dobimo pri

osvetlitvi kosinusne uklonske mrežice z ravnim valom poleg prepuščenega vala še

dva uklonjena žarka prvega reda, ki sta razporejena simetrično levo in desno glede na

prepuščeni val. Ustrezata drugemu in tretjemu členu v enačbi (8). Splošen

tankoplastni hologram lahko torej razumemo kot superpozicijo kosinusnih uklonskih

mrežic, ki nastanejo pri interferenci referenčnega žarka in žarkov, ki izvirajo iz

posameznih točk objekta.

6

Naloga

Sestavi postavitev za snemanje holograma in ga posnemi!

Posnemi interferogram dveh ravnih valov!

Potek dela

Sistem za snemanje hologramov sestavi po vzoru, kot kaže slika 1. Poskrbi, da bo

povprečni kot med predmetnim in referenčnim snopom čim manjši. Na ta način

dosežeš, da razdalje med maksimumi osvetlitve na fotografski plošči niso premajhne

in se ni treba bati, da zaradi tresenja holografske mize in zaradi končne ločilne

sposobnosti fotografske emulzije (okrog tisoč črt na mm) hologram ne bi uspel. Oceni

velikost te razdalje!

V tri banjice si pripravi kemikalije za razvijanje: v prvo nalij razvijalec, v drugo vodo

in v tretjo fiksir.

V temi namesti fotografsko ploščo v nosilec z emulzijo obrnjeno proti predmetu.

Fotografske ploščo osvetli za nekaj sekund!

Ploščo razvijaj približno eno minuto v razvijalcu, nato jo speri z vodo in daj še za eno

minuto v fiksir.

Ko se posuši , jo namesti nazaj v nosilec, odstrani predmet in poišči sliko predmeta!

Interferogram dveh ravnih valovanj posnemi tako, da usmeriš razpršeni predmetni in

referenčni žarek naravnost na fotografsko ploščo. Ker valovanji nista popolnoma

ravni, bo mrežica nekoliko popačena. Tudi v tem primeru ne pozabi na opozorilo o

kotu med žarkoma!

Ker nimaš merilca, pri snemanju holograma ne moreš določiti ekspozicije. Dobljeni

hologram ne bo idealen. Ob rekonstrukciji poskusi za oba holograma ugotoviti

prisotnost uklonov višjih redov. Ali je slika odvisna od velikosti holograma?

Literatura

E. Hecht, Optics, ISBN 0-201-30425-2

1

OSNOVE MIKROVALOVNE TEHNIKE NALOGA

1. Prilagodite valovod na generator mikrovalov 2. Izmerite frekvenco valovanja z merilnikom frekvence 3. Posnemite rodove klistronovega delovanja v odvisnosti od odbojne napetosti s

pisalnim instrumentom 4. Izmerite moi, ki jih porablja termistor v vrhovih najmonejših rodov 5. S pisalnim instrumentom posnemite krivulji ubranosti za valovod, ki je zakljuen

z bremenom, in za kratko sklenjeni valovod UVOD Izvor mikrovalov Mikrovalovi so elektromagnetno valovanje z valovno dolžino nekaj cm in frekvenco nekaj GHz. Kot izvor mikrovalov služijo klistroni: to so elektronke, ki imajo za pospeševalno mrezico še dve mrežici, povezani s poloma resonanne votline. Lastno nihanje elektromagnetnega polja v resonanni votlini (ki je tudi prikljuena na pospeševalno napetost; slednja ob vklopu zaradi nakljunih oscilacij napetosti vzbudi zaetno nihanje v votlini) ustvarja med mrežicama izmenino napetost, ki enakomerni curek elektronov hitrostno modulira. Hitrost elektronov med mrežicama se namre bodisi povea, e kaže elektrino polje med mrežicama v nasprotni smeri curka, bodisi zmanjša, e kaže polje v smeri curka. Zaradi hitrostne modulacije nastanejo po preletu mrežic v elektronskem curku zgošine in razredine. V refleksnem klistronu je za mrežicama resonanne votline odbojna elektroda, ki neenakomerni elektronski curek usmeri nazaj proti mrežicama in katodi. e je odbojna napetost izbrana pravilno, se hitrostno modulirani curek vrne med mrežici s tako fazo, da elektrino polje gru elektronov ojai lastno nihanje elektromagnetnega polja v resonanni votlini in klistron deluje kot oscilator. Pogoj za pozitivno povratno zvezo, s katero lastno nihanje v resonanni votlini vzdržuje samo sebe, je izpolnjen pri ve diskretnih vrednostih napetosti: pravimo, da klistron deluje v razlinih rodovih. Mikrovalovno elektromagnetno polje iz resonanne votline speljemo v valovod.

2

resonatorskipotencial

izhod

pospe evalnamre ica

šž

odbojnaanoda

mre iciž

resonator

+

_

katoda

Slika 1: Refleksni klistron Širjenje mikrovalov Mikrovalove lahko v splošnem le delno usmerjamo po prostoru. Za strogo usmerjeno prenašanje pa uporabljamo mikrovalovne vodnike v obliki dveh vzporednih žic, kable ali cevi – valovode. Pri frekvencah nihanj mikrovalov (GHz) so v takih vodnikih upornost, prevodnost, kapacitivnost in induktivnost zvezno porazdeljene (slika 2). Vrednosti teh koliin, preraunane na enoto dolžine, oznaimo z , ,R G L in C . Padec napetosti na dolžinskem elementu x∆ takega vodnika je vsota padca napetosti na ohmskem uporniku in padca napetosti na induktivnem uporniku (slika 2):

G∆xC∆x

R∆xL∆x

u

∆x

∆u

Slika 2: Shematska ponazoritev majhnega dela mikrovalovnega vodnika

d

d

iu Ri x L x

t∆ = ∆ + ∆ (1)

3

oziroma

d d

.d d

u iRi L

x t= + (2)

Podobno lahko napišemo za tok, ki tee po prevodniku G x∆ in kondenzatorju C x∆ :

d

d

ui Gu x C x

t∆ = ∆ + ∆ (3)

oziroma

d d

.d d

i uGu C

x t= + (4)

e sta R in G zanemarljiva (vod brez izgub), dobimo odtod diferencialni enabi

2 2

2 2

u uLC

x t

∂ ∂=∂ ∂

(5)

in

2 2

2 2.

i iLC

x t

∂ ∂=∂ ∂

(6)

e vodnik napajamo z izmenino sinusno napetostjo ( )expu U j tω= oziroma s sinusnim

tokom ( )expi I j tω= , dobimo, da za amplitudo napetosti U in amplitudo toka I velja

( )UR j L I ZI

xω∂ = + =

∂ (7)

in

( ) ,I

G j C U YUx

ω∂ = + =∂

(8)

kjer sta Z in Y impedanca in admitanca dolžinske enote mikrovalovnega voda. Upornost mikrovalovnega voda na dolžinsko enoto R imenujemo rezistanca, prevodnost G konduktanca, susceptibilnost Cω susceptanca in reaktivnost Lω reaktanca. Z odvajanjem zadnjih dveh zvez dobimo valovni enabi za U in I

2

22

UZYU U

xγ∂ = =

∂ (9)

in

2

22

,I

ZYI Ix

γ∂ = =∂

(10)

kjer je ZY jγ α β= = + konstanta širjenja z realnim delom 2 2R L G Cα ω ω= +

(atenuacijska konstanta) in imaginarnim delom LCβ ω= (fazna konstanta).

4

Rešitvi diferencialnih enab za amplitudo napetosti U in toka I sta

( ) exp( ) exp( ),U x A x B xγ γ= + − (11)

in

0 0

1( ) exp( ) exp( ),

U A BI x x x

Z x Z Zγ γ∂= = − −

∂ (12)

kjer je 0Z Z Y= karakteristina impedanca voda. Trenutna napetost u in tok i sta

( )( , ) exp( ) exp( ) exp( )i ru x t A x j t B x j t U U j tγ ω γ ω ω= + + − + = + (13)

in

( )0 0

( , ) exp( ) exp( ) exp( ),i r

A Bi x t x j t x j t I I j t

Z Zγ ω γ ω ω= + − − + = + (14)

kjer sta iU in rU ter iI in rI amplitude vpadnega oziroma odbitega valovanja. V

splošnem imamo v vodniku torej stojno valovanje. Zanimivo je, da je razmerje U I za

prihajajoe valovanje ali odbito valovanje enako karakteristini impedanci 0Z in je isto

na vseh mestih voda. Pri vodih brez izgub ( 0R G= = ) je karakteristina impedanca realna. Konstanti A in B doloimo iz napetosti in toka na porabniku, ki ga napaja mikrovalovni vod (slika 3).

UUG

UR ZR

ZG

x

US

IS I

Slika 3: Napetosti in tokovi v vodniku: GU je amplituda notranje napetosti generatorja

napetosti, GZ je impedanca generatorja napetosti, SI je amplituda tok iz generatorja

napetosti, SU je amplituda zunanje napetosti generatorja napetosti, I in U sta tok in

napetost na mestu x , RZ je impedanca porabnika in RU napetost na porabniku Koordinatno izhodise 0x = postavimo ob porabniku, kjer velja ,RU U= RI I= in

,R R RZ U I= iz esar sledi

,RU A B= + (15)

5

0

,R

A BI

Z

−= (16)

01 ,2

R

R

ZUA

Z

= +

(17)

012

R

R

ZUB

Z

= −

(18)

oziroma

0 0( ) 1 exp( ) 1 exp( ),2 2

R R

R R

Z ZU UU x x x

Z Zγ γ

= + + − −

(19)

in

0 0( ) 1 exp( ) 1 exp( )2 2R R

R R

Z ZI II x x x

Z Zγ γ

= + + − −

(20)

ter impedanca Z na mestu x , kar nas pravzaprav zanima:

00

0

tanh.

tanhR

R

Z Z xUZ Z

I Z Z x

γγ

+= = + (21)

e vodnik nima izgub ( 0R G= = ) in je kratko sklenjen ( 0RZ = ) velja 0 sinRU jI Z xβ=

in cosRI I xβ= . e tak vodnik ni zakljuen, se vlogi napetosti in toka zamenjata.

Razdalja med maksimi amplitud je 2λ π β= . Iz zadnje enabe vidimo, da je impedanca mikrovalovnega voda na razlinih mestih razlina. Za izraun moramo poznati karakteristino impedanco 0Z , impedanco bremena RZ ter konstanto širjenja γ .

Enabo 21 lahko uporabimo tudi za doloanje impedance bremena RZ iz poznane

vrednosti Z . Kot pogosto uporabljano metodo si oglejmo doloanje RZ iz izmerjene

vrednosti minimalne impedance vodnika min min minZ U I= , ki nastopi v oddaljenosti minx

od porabnika. Poglejmo si, kako z meritvijo doloimo minZ in minx . Najpreprosteje

pridemo do rezultata, e vpeljemo refleksijski koeficient Rr , ki je definiran kot razmerje

amplitud odbitega in vpadnega vala pri 0x , torej na bremenu:

0

0 0

.RR

x R

Z ZU Br

I A Z Z=

−= = =+

(22)

V splošnem je refleksijski koeficient kompleksno število. e je vod na koncu zakljuen tako, da je 0RZ Z= , odboja ni in je 0Rr = . e pa je vod kratko sklenjen, se vse valovanje

odbije in je 1Rr = .

6

Ob okrajšavi 012

RR

R

ZUU

Z

′ = +

velja

[ ]( ) exp( ) 1 exp( ) ,R RU x U x r xγ γ′= + − (23)

[ ]0

( ) exp( ) 1 exp( ) ,RR

UI x x r x

Zγ γ

′= − − (24)

0

1 exp( )( ) .

1 exp( )R

R

U r xZ x Z

I r x

γγ

+ −= =− −

(25)

Nas bo odslej zanimal približek, ko smemo izgubo v vodu zanemariti, torej 0R G α= = = , kar pomeni, da ima konstanta širjenja γ od 0 razlino samo imaginarno

komponento: jγ β= . Znailna in lahko merljiva koliina za stojno valovanje v vodniku je razmerje med minimalno in maksimalno amplitudo napetosti ali toka, ki ga imenujemo ubranost:

min

max

.U

sU

= (26)

e refleksijski koeficient, ki je kompleksno število, zapišemo v obliki

( ) ( )0 0 0exp 2 2 exp 2R Rr t ju r ju= + = , sledi iz enab 23 in 24 za ubranost

min

max

1.

1B

B

r Is

r I

−= =

+ (27)

Posebni primeri: e je vod zakljuen z naravnim bremenom in je 0RZ Z= , ni refleksije

( 0Rr = ) in je ubranost 1s = . e pa je vod kratko sklenjen in je refleksija popolna

( 1Rr = ), je ubranost 0s = . Iz enabe 25 sledi, da je

max 0max 0

min

1

1R

R

rU ZZ Z

I r s

+= = =

− (28)

in

minmin 0 0

max

1.

1R

R

rUZ Z Z s

I r

−= = =

+ (29)

Po drugi strani lahko minZ izrazimo z zvezo 21 in je

0 minmin 0 0

0 min

tan.

tanR

R

Z jZ xZ Z Z s

Z jZ x

ββ

+= =+

(30)

7

minx doloimo z dvojno meritvijo: najprej izmerimo krivuljo ubranosti za vodnik, ki je zakljuen z bremenom, nato pa še za vodnik, ki je kratko sklenjen. Ker je v slednjem primeru min 0U = pri 0x = , pri vodniku, ki je zakljuen z bremenom pa je min 0x ≠ , se

opazovani minimum ubranosti premakne proti bremenu ravno za vrednost minx . e je

premik veja od 4λ , izgleda, kot da se je minimum premaknil proti generatorju. e RZ izpišemo v komponentah, R R RZ jξ η= + , iz enabe 30 sledi, da je

( ) ( )0 min 0 mintan tan .R R R Rj Z x Z j x sξ η β η ξ β+ + = − + (31)

Po izenaenju realne in imaginarne komponente dobimo reaktanco bremena, normirano na karakteristino upornost:

( )2

min

20 min

1 tan,

1 tanR

s x

Z s x

βηβ

−=

+ (32)

enako normirana rezistanca pa je

0 0

1 .R R sZ Z

ξ η = −

(33)

Iz teh zvez izraunamo rezistanco ξ in reaktanco η neznanega bremena. Za grafino reševanje enabe 30 uporabljajo tudi Smithov diagram, ki je opisan v dodatku A. FREKVENCA MIKROVALOV Eden od nainov za doloitev frekvence mikrovalov je, da izmerimo valovno dolžino valovanja, nato pa odtod doloimo frekvenco. Pri širjenju valovanja v vakuumu (in približno tudi v zraku) je hitrost valovanja enaka hitrosti svetlobe:

,cνλ = (34)

kjer je λ valovna dolžina valovanja s frekvenco ν . Pri vstopu v valovod se valovna dolžina valovanja spremeni in je enaka

( )2

,1 2a

λλλ

′ =−

(35)

kjer je a daljša stranica preseka valovoda. Valovno dolžino valovanja v valovodu lahko izmerimo (ve pri opisu merjenja slike valovanja v valovodu), iskano frekvenco pa dobimo iz izraza:

2 24

.2

c a

a

λνλ+=

′ (36)

Frekvenco mikrovalov lahko merimo tudi z resonatorjem, ki ga vgradimo v valovod. Resonator uglasimo na merjeno frekvenco npr. s premikanjem dna. Ko je resonator

8

uglašen, se tudi v njem pojavi valovanje, toda za to se porabi del moi valovanja v valovodu. Na merilniku moi se odklon instrumenta zmanjša za kakih 60 %. e je vijak za premikanje dna resonatorja umerjen v frekvenni skali, lahko tako neposredno doloimo frekvenco valovanja v valovodu. MERJENJE MOI MIKROVALOV Mo valovanja v valovodu najpogosteje merimo s termoelektrinimi elementi, ki se zaradi obsevanja z mikrovalovi segrejejo valovanja, zato se jim spremeni upornost; takim elementom pravimo bolometri. Z bolometrom izmerimo mo mP , ki jo ta absorbira na

raun vpadne moi P . mP in Ppovezuje enaba

2 ,

1m

R

PP

r=

− (37)

kjer je Rr refleksijski koeficient

2

2 1.

1R

sr

s

− = + (38)

Bolometri so navadno dveh vrst:

1. Bareterji so sestavljeni iz tanke platinaste žike. Zveza med sprejeto mojo in spremembo upornosti je linearna. Slabost bareterjev je, da so zelo obutljivi na preobremenitve. Obutljivost: 3 12 mW.− Ω

2. Termistorji so izdelani iz polprevodnikov (nikljevi ali magnezijevi oksidi), ki so

zaradi boljše prevodnosti pomešani z bakrenim prahom. Zveza med absorbirano mikrovalovno mojo in spremembo upornosti ni popolnoma linearna, temperaturni koeficient je negativen. Niso obutljivi na preobremenitve, zato jih pogosto uporabljajo. Obutljivost: 50 100 mW.− Ω

Spremembo upornosti merimo z bolj ali manj izpopolnjenim Wheatstonovim mostikom bodisi tako, da merimo spremembo toka skozi detektor, ki je potrebna, da se porušeno ravnotežje spet vzpostavi, bodisi tako, da pri porušenem ravnotežju merimo tok skozi galvanometer ali kak podoben merilnik, ki jo vgrajen v mostiek. DOLOANJE IMPEDANCE BREMENA IZ MERITVE UBRANOSTI Sliko valovanja v valovodu merimo s posebnim vodom. To je valovod, ki ima po sredini ene izmed širših ploskev zarezo, skozi katero sega merilna sonda v notranjost. Na sondo je prikljuena mikrovalovna dioda, ki sprejete signale usmeri. Usmerjeni signal vodimo preko ojaevalnika na merilni instrument. Kadar je valovanje v valovodu stojno, se ob premikanju sonde vzdolž valovoda odklon instrumenta spreminja: merimo namre hrbte in vozle stojnega valovanja.

9

Da je meritev kvantitativna, ima merilni vod skalo za doloitev lege sonde. Merilna linija pa je opremljena tudi z enostavno elektrino napravo, s katero lahko posnamemo sliko valovanja s pisalnim instrumentom. Z merilnim vodom bi želeli dobiti resnino sliko porazdelitve amplitude napetosti v valovodu. V resnici je slika popaena zaradi kvadratine karakteristike diode. Da doloimo ubranost, moramo razmerje minimalnega in maksimalnega oditka, minh in maxh ,

koreniti

min min

max max

.U h

sU h

= = (39)

Za doloitev minx in s, ki po enabah 32 in 33 služita za izraun impedance bremena RZ , z merilnim vodom najprej posnamemo sliko valovanja pri bremenu z neznano impedanco (slika 4). Nato breme odstranimo, valovod zakljuimo s kratkostino steno ter ponovno posnamemo sliko valovanja. Iz obeh krivulj doloimo ubranost s. Da je meritev im natannejša, oditamo razdaljo med dvema minimoma na krivulji, ki opisuje kratko sklenjen valovod. Ta razdalja je enaka polovici valovne dolžine valovanja v valovodu. Razlika med lego izbranega minima krivulje, ki opisuje valovod z bremenom, in

ustreznega minima krivulje, ki opisuje kratko sklenjen valovod, je iskani minx ′ . Ker sta λ′

in minx ′ merjena v istih enotah, velja

min min min ,2

x x xβλ λ π

′= =

′ (40)

odkoder sledi, da je minmin 2 .

xxβ π

λ′

=′

lega sonde

xmin

hmin

hmax

odklonpisalnika

'

Slika 4: Krivulji ubranosti za valovod, zakljuen z bremenom, in za kratko sklenjen valovod.

10

POTEK MERITVE V zaetku vaje sestavljajo mikrovalovni elementi zaporedje, ki je shematsko prikazano na sliki 5.

Slika 5: Elementi mikrovalovnega sistema: a) izvor, b) ubiralka, c) dusilka, d) resonator, e) merilni vod, f) kratkostina stena, g) antena, h) bolometer. V ozadju je viden voltmeter, s katerim merimo odbojno napetost na klistronu, in pisalnik.

1. Prižgite napajalnik refleksnega klistrona. Ko se ta ogreva, povežite vhod Y pisalnega instrumenta (obutljivost: 20 mV cm) z izhodom iz merilne sonde. e sedaj poasi spreminjate odbojno napetost klistrona, se bo pisalo instrumenta odklonilo v smeri osi Y, spet padlo v prvotno lego itd. Prepriajte se, da resonator ni v resonanci z valovanjem v valovodu.

2. Izberite si enega od najmonejših rodov in naravnajte odbojno napetost tako, da bo odklon pisala za ta rod najveji. S premikanjem vozika na ubiralki lahko ta odklon mono spremenite. Pomaknite voziek v lego, kjer je odklon pisala najveji. Izmenino vrtite vijak na ubiralki in premikajte voziek, dokler ni odklon pisala kar najveji. Sedaj lahko uvrstite vijak ubiralke z matico, še nekoliko popravite lego vozika in bolj natanno naravnate odbojno napetost; voziek naj ostane v tem položaju do konca vaje. S tem ste prilagodili valovod na klistron. (O vlogi ubiralke govori Dodatek.)

3. Vrtite mikrometrski vijak na resonatorju in obenem opazujte pisalo pisalnega instrumenta. Ko pride do resonance, se odklon pisala obutno zmanjša.

4. Vrtite gumb za nastavitev odbojne napetosti klistron iz ene skrajne lege v drugo in opazujte jakost mikrovalovnega valovanja v valovodu. Z univerzalnim instrumentom izmerite odbojne napetosti, kjer se pojavijo maksimumi jakosti valovanja (rodovi delovanja klistrona).

a b c d e f g h

11

5. Izkljuite napajanje klistrona, odstranite naravno breme in pritrdite na valovod prehodnik. Na prehodnik privijte termistor in ga povežite z vhodom merilnika mikrovalovne moi. Merilnik moi naravnajte na obmoje 10 mW in ga vkljuite. Ko se ogreje, ga naravnajte z gumboma za grobo in fino regulacijo, da bo kazalec instrumenta pokril nilo. Vkljuite še klistron in izmerite moi mP v vrhovih

najmonejših rodov. 6. Vhod X pisalnega instrumenta prikljuite sedaj na eno od skrajnih sponk merilne

linije in na drsnik, pola baterije pa na obe skrajni sponki. Poveajte obutljivost vhoda X na 5 mV cm. Poasi premikajte voziek merilne linije od desne proti levi. Pisalni instrument nariše pri tem krivuljo ubranosti. Izklopite merilnik moi in odstranite predhodnik s termistorjem. Valovod zakljuite s kratkostino steno in še enkrat posnemite krivuljo ubranosti. Absciso narišete tako, da izkljuite napajanje klistrona in nato zapeljete voziek vzdolž merilne linije. Iz prve krivulje doloite ubranost. Iz ubranosti in razdalje 0x izraunajte impedanco bremena, ki

ga predstavlja prehodnik s termistorjem. Iz merjenih moi mP in iz ubranosti s

doloite še prave moi P v vrhovih posameznih rodov ter opremite ordinato na sliki iz meritve 3 z merilom v milivatih.

DODATEK: IMPEDANNO PRILAGAJANJE VALOVODA NA GENERATOR Z UBIRALKO Maksimalni prenos moi od generatorja do bremena dobimo, e je impedanca bremena enaka konjugirano kompleksni vrednosti impedance generatorja. Takrat pravimo, da sta impedanci generatorja in bremena prilagojeni. Theveninov teorem: e je generator povezan z bremenom preko enega ali ve reaktannih vezij (vod brez izgub) in je na enem paru prikljukov izpolnjen pogoj o konjugirano impedanni prilagoditvi, je pogoj o taki prilagoditvi izpolnjen na vseh parih vezij in maksimalna mo bo prenešena od generatorja do bremena.

UG

ZR

Zz

ca

db

ZG

ZG'

Slika 7: K izpeljavi Theveninovega teorema

Levo stran preseka a-b lahko nadomestimo z impedanco generatorja gZ ′ , desno stran pa z

vezju ekvivalentno impedanco zZ . Napetost nadomestnega generatorja gU ′ je napetost

kroga, ki je odprt v preseku a-b.

12

Naj bo v preseku a-b izpolnjen pogoj o kompleksni impedanni prilagoditvi. Prenos moi skozi presek a-b je tedaj maksimalen tako v ekvivalentnem kot v originalnem krogu. Ker med potjo ni izgube moi ( 0R = ), se maksimalna mo prenese prav do bremena. To pomeni, da so kompleksno prilagojena vsa stiiša. e ne bi bilo tako, ne bi dobili maksimalnega prenosa moi. Impedanco torej lahko prilagodimo v kateri koli toki voda med generatorjem in bremenom. e vod ni zakljuen s karakteristino impedanco, lahko na njem najdemo mesto, kjer je realni del impedance voda enak karakteristini impedanci voda. Pri ubiralki najdemo to mesto s pomikanjem sonde vzdolž vodnika, vse dokler ne dosežemo najvejega prenosa moi. Popolno kompenzacijo dosežemo tako, da sondo bolj ali manj potopimo v valovod. Tako namre spreminjamo kapacitivnost voda. S tem prilagajamo susceptanco na vrednost reaktance in dosežemo zahtevano kompleksno impedanno prilagoditev generatorja na breme.

Hallov pojav

1 Uvod

E. H. Hall si je leta 1879 zamislil eksperiment pri katerem je kovinski trak snovi, po katerem

je tekel tok, postavil v prečno magnetno polje, pravokotno na trak. Domneval je, da

magnetna sila pritegne tok elektronov ob enega izmed robov kovinskega traku, kar bi se

poznalo na povečanju upora skozi kovinski trak (zaradi zmanjšanja efektivnega preseka

traku). Ker pa le-tega ni zaznal, je sklepal, da se med robovoma traku pojavi električna

napetost (danes poznana kot Hallova napetost), kjer nastalo električno polje preko električne

sile uravnovesi magnetno silo na gibajoče se elektrone.

1.1 Hallova napetost

Hallov eksperiment je prikazan na sliki 1. Pravokotno izrezan kovinski trak s stranicami a, b in

c po katerem teče električni tok I v smeri osi x, postavimo v prečno magnetno polje B v smeri

osi z. Predpostavimo, da so nosilci naboja elektroni z nabojem -e0. Gostota toka j = I/(bc) je

za elektrone podana tudi z izrazom j = -ne0v, kjer sta n in v gostota in hitrost nosilcev naboja.

Elektroni se zaradi magnetne sile Fm = -e0vB, ki deluje v smeri osi -y, začnejo kopičiti ob robu

kovinskega traku. Tam se nabere plast negativnega naboja, na drugi strani, kjer je

primanjkljaj elektronov, pa plast pozitivnega naboja. Ti dve plasti ustvarita prečno električno

polje Ey v smeri osi -y in s tem električno silo Fe = -e0(-Ey) = e0Ey, ki ravno uravnovesi

magnetno silo. V stacionarnem stanju (to se vzpostavi v zelo kratkem času, ki je reda

velikosti 10-12

s) velja Fm + Fe = 0, torej

vBeEe y 00 = . (1)

Iz tega sledi izraz za velikost prečnega električnega polja Ey:

0ne

jBvBE y −== . (2)

Hallova napetost UH, to je napetost, ki nastane zaradi prerazporeditve naboja med robovoma

kovinskega traku, je definirana kot

cne

IB

ne

jBbbEU yH

00

−=−== . (3)

Kvocient Ey/jB imenujemo Hallova konstanta in ga označimo z RH. Sledi

IB

cU

neR H

H =−=0

1. (4)

Pri tem velja omeniti, da dobimo s pomočjo natančnejših izračunov (transportna teorija) še

dodaten predfaktor v izrazu za Hallovo napetost UH in Hallovo konstanto RH, ki znaša 3π/8.

Vendar so tudi v tem primeru upoštevane določene predpostavke, kot so neodvisnost proste

poti od energije nosilcev naboja, ter številni termoelektrični efekti, do katerih pride, če vzorec

ni izotermen. Meritve pokažejo, da so slednji efekti nekaj redov velikosti manjši od Hallovega

pojava.

Iz enačbe (3) sledi, da lahko uporabimo Hallov pojav za merjenje gostote magnetnega

polja B. V t.i. Hallovi sondi imamo prevoden trak, ki ga postavimo v neznano magnetno polje,

skozi katerega napeljemo vedno isti tok in z občutljivim voltmetrom merimo Hallovo napetost.

Ker je le-ta sorazmerna z magnetnim poljem, je potrebno Hallovo sondo le enkrat umeriti v

znanem magnetnem polju. Iz enačbe (4) pa sledi, da lahko z merjenjem Hallove konstante,

določimo predznak in gostoto nosilcev naboja v raznih materialih. Pri tej vaji bomo določili

vrsto nosilcev v germanijevem vzorcu polprevodnika. V polprevodniku namreč nečistoče

odločilno vplivajo na gostoto nosilcev naboja.

1.2 Polprevodniki

V kristalu z N atomi se zaradi Paulijevega izključitvenega načela vsaka izmed prvotnih

diskretnih energij v izoliranih atomih razcepi v N energijskih nivojev. Energijski nivoji, ki ležijo

skupaj in izvirajo iz iste energije v izoliranem atomu, tvorijo energijski pas. V vsakem pasu je

lahko 2N elektronov (faktor 2 zaradi spina). Energijski pasovi se lahko prekrivajo ali pa med

njimi nastanejo prepovedani pasovi. To so energije, ki jih ne more imeti noben elektron v

kristalu.

Kristal je izolator (glej sliko 2), če ima vse energijske pasove do neke energije povsem

polne, višje ležeči pasovi pa so prazni in ločeni s širokim prepovedanim pasom z energijsko

režo večjo od tipično 2 eV. To pomeni, da pri sobni energiji termična energija, ki je reda

velikosti kBT = 0,025 eV, ne omogoči skoka elektrona v višje ležeče nezasedene pasove.

Sledi, da takšen kristal ne prevaja električnega toka, saj tedaj elektroni ne morejo prejeti

sicer majhne kinetične energije, ko steče električni tok. Elektroni namreč nimajo prostih stanj

z nekoliko višjo energijo, kamor bi lahko skočili. Z drugimi besedami, povsem zapolnjeni

pasovi v kristalih ne prevajajo električnega toka.

V prevodniku je najvišje ležeči neprazni energijski pas le delno zaseden. Tako lahko

elektroni prejmejo kinetično energijo, ko se gibljejo v električnem polju. V prevodniku torej

električno polje požene električni tok.

Če je energijska reža med najnižjim nezasedenim (prevodnim) pasom in najvišjim polnim

(valenčnim) pasom okoli 1 eV, lahko pri dovolj visoki temperaturi termična energija zadošča,

da del elektronov preide v prevodni pas in s tem prevaja električni tok. V tem primeru k

prevodnosti prispevajo tako elektroni kot tudi vrzeli, ki nastanejo v valenčnem pasu. Za čisti

polprevodnik velja (glej literaturo), da je gostota elektronov np, ki so dvignjeni iz valenčnega

pasu enaka

( )

−

=

Tk

ETkmTn

B

gBep

2exp

2

4

123

2hπ

, (5)

I

+ + + + + + + +

_ _ _ _ _ _ _ _

Ey

B

x

yz

v Fe

Fm

c

b

a

Slika 1. Shema Hallovega eksperimenta.

kjer je me efektivna masa elektrona in Eg velikost energijske reže med prevodnim in

valenčnim pasom.

1.3 Hallov pojav v polprevodniku tipa n

Gostota nosilcev naboja (in s tem prevodnost) se v polprevodniku drastično poveča v

prisotnosti primesi, ki se vgradijo v polprevodniški kristal. Kristal čistega polprevodnika

običajno sestavljajo štirivalentni atomi kot sta germanij in silicij. Če dodamo primes

petvalentnih atomov, kot je arzen, se ta vgradi v strukturo štirivalentnih atomov in ima tako

en odvečni elektron. Ta elektron potrebuje zelo majhno energijo (nekaj stotink eV), da se od

njega odtrga in skoči v prevodni pas. Dodatni donorski nivo tako leži tik pod prevodnim

pasom. Energijsko režo označimo z Ed (glej sliko 3). Izkaže se (glej literaturo), da so v

primeru dopiranja polprevodnika s petvalentnimi atomi večinski nosilci naboja elektroni, zato

pravimo takšnemu polprevodniku, da je tipa n. Podobno so večinski nosilci naboja vrzeli

(pozitivni naboji), če polprevodnik dopiramo s trivalentnimi atomi, kot je galij. Tedaj govorimo

o polprevodniku tipa p.

H gostoti elektronov v prevodnem pasu v primeru polprevodnika tipa n prispevajo tudi

elektroni, ki so bili termično dvignjeni iz donorskega nivoja. Iz velekanonične porazdelitve

(glej literaturo) dobimo naslednji izraz v limiti nizkih temperatur (kBT << Ed)

( )

−

=

Tk

ETkmNTn

B

dBedp

2exp

2

43

2

21

hπ, (6)

kjer je Nd gostota donorskih primesi. Ko pa je termična energija dovolj velika (kBT > Ed), so v

prevodni pas vzbujeni vsi donorski elektroni

( ) dp NTn = . (7)

Ker je gostota valenčnih elektronov v polprevodniku približno 1022

cm-3 in gostota nečistoč

tipično med 1013

cm-3 in 10

19 cm

-3, prevladuje pri nižjih temperaturah prevodnost zaradi

Slika 2. Shema energijskih pasov za izolator, prevodnik in polprevodnik. Temni pasovi so

zasedeni, svetli so prazni. Eg predstavlja energijsko režo, ki je v izolatorju večja od nekaj eV, v

polprevodniku pa dovolj ozka, da termično gibanje omogoči skok elektronov iz valenčnega

pasu v prevodni pas.

en

erg

ijaprevodni pas

valenčni pas

izolator prevodnik polprevodnik

Eg

Eg

zaseden pas

prazen pas

vzbujenih donorskih elektronov, pri višjih temperaturah pa zaradi valenčnih elektronov,

vzbujenih v prevodni pas.

Iz zgornjega je razvidno, da lahko z merjenjem Hallove napetosti (enačba (4)) izmerimo

temperaturno odvisnost gostote nosilcev naboja v polprevodniku tipa n in preverimo

ustreznosti izrazov (5-7).

2 Opis eksperimenta

Shema vaje je prikazana na sliki 4. Vzorec je pravokotno izrezan kos germanijevega

polprevodnika, ki je tipa n. To pomeni, da so v njem donorske primesi in so večinski nosilci

naboja elektroni. Z merjenjem Hallove napetosti UH lahko pri znani vrednosti polja B, debelini

vzorca c in znanem toku I skozi vzorec, iz enačbe (4) določimo vrednost Hallove konstante

RH. Le-ta je neposredno povezana z gostoto nosilcev naboja. Ker lahko pri vaji spreminjamo

temperaturo vzorca, tako pomerimo temperaturno odvisnost gostote nosilcev naboja. Izkaže

se, da se za dani vzorec na merjenem temperaturnem območju med 20°C in 80°C zelo

občutno spremeni razmerje v deležu donorskih in valenčnih elektronov, ki so se vzbudili v

prevodni pas.

en

erg

ija

prevodni pas

valenčni pas

EdEgdonorski nivo

Slika 3. Valenčni in prevodni pas v polprevodniku tipa n. Donorski nivo leži tik pod dnom

prevodnega pasu. Zato je dovolj že majhna energija Ed, da elektron iz donorskega nivoja

preide v prevodni pas.

mA

B

_ _ _ _ _

+ + + + +

mV

+ -

UB

_ _ _ _ _

+ + + + +

Slika 4. Električna shema eksperimenta. Če obrnemo vzorec, kar je ekvivalentno temu, da

obrnemo smer magnetnega polja, dobimo Hallovo napetost z nasprotnim predznakom. Pri

tem se napetost zaradi nesimetrije kontaktov ne spremeni (glej enačbo (8)).

Če narišemo graf ln np v odvisnosti od 1/kBT, pričakujemo odvisnost, ki je prikazana na sliki 5.

Pri nižjih temperaturah ima odvisnost naklon dE21− , vmes je konstantna, pri višjih

temperaturah pa ima naklon gE21− . To ustreza enačbam (5-7) in razmisleku, da pri nižjih

temperaturah sprva prevajajo vzbujeni donorski elektroni, pri višjih pa prevladujejo vzbujeni

valenčni elektroni, saj jih je bistveno več od števila donorskih elektronov. Ker znašata v

danem vzorcu germanija, ki je dopiran s petvalentnimi atomi, Eg = 0.66 eV ter Ed ≈ 0.01 eV,

lahko sklepamo, da so že pri sobni temperaturi vzbujeni skoraj vsi donorski elektroni, tako da

nizkotemperaturne limite, ki jo popiše enačba (6) pri danem eksperimentu niti ne izmerimo.

3 Naloge

• Izmeri temperaturno odvisnost Hallove napetosti vzorca polprevodnika tipa n na

temperaturnem območju med 20°C in 80°C.

• Nariši graf temperaturne odvisnosti Hallove konstante RH v odvisnosti od temperature T.

• S pomočjo enačbe (4) nariši graf ln np v odvisnosti od 1/kBT.

• Določi vrsto nosilcev naboja v germanijevem vzorcu na tem temperaturnem območju.

Preveri ustreznost enačb (5-7)!

4 Navodila za izvedbo

Germanijev vzorec z debelino c = 0,95 mm vtaknemo z nosilnim okvirjem v režo magneta z

gostoto magnetnega polja B = 0,173 T. Z vzorcem je potrebno ravnati previdno, saj je krhek.

Električna vezava vzorca je prikazana na sliki 4. Ker kontakti na vzorcu niso povsem

simetrični, je izmerjena napetost U1 vsota Hallove napetosti UH in potencialne razlike, ki

nastane zaradi nesimetrije kontaktov Up, torej je U1 = UH + Up. Običajno je napetost Up po

absolutni vrednosti večja od UH. Če vzorec v magnetnem polju obrnemo (glej sliko 4), se

spremeni le predznak Hallove napetosti, torej je U2 = –UH + Up. Iz obeh izmerjenih napetosti

tako lahko določimo iskano Hallovo napetost

( )2121 UUU H −= . (8)

Temperaturo vzorca povečujemo postopoma po približno 5°C. To dosežemo z grelcem. Pred

vsako meritvijo počakamo vsaj 5 minut, da se z mešanjem temperatura vzorca čim bolj ustali

Slika 5. Pričakovana odvisnost ln np od 1/kBT za polprevodnik tipa n, ki ustreza enačbi (7).

1/kBT

ln np

gE21−

dE21−

valenčni elektroni

z naklonom

donorski elektroni

z naklonom

popolnoma vzbujeni

donorski elektroni

in izenači s temperaturo olja. Merimo v čim večjem temperaturnem območju (tipično med

20°C in 80°C).

5 Vprašanja

• Ali se spremeni predznak Hallove konstante, če so nosilci naboja vrzeli?

• Ali so za Hallovo sondo, ki je namenjena merjenju gostote magnetnega polja, primernejši

prevodniki ali polprevodniki?

• S pomočjo ionizacijske energije atoma petvalentne primesi oceni velikost donorske reže

Ed za polprevodnike tipa n (glej literaturo).

6 Literatura

[1] N. W. Ashcroft in N. D. Mermin. Solid State Physics. Saunders College Publishing.

[2] C. Kittel. Introduction to Solid State Physics. John Wiley & Sons, Inc.

[3] J. Strnad. Fizika, četrti del. DMFA, Ljubljana.

Poglavje 13

Sunkovna jedrska magnetnaresonanca

NALOGA:

1. Za vzorec vode s primesanimi paramagnetnimi ioni poisci signal prosteprecesije po sunku π/2 ter signal spinskega odmeva po zaporedjusunkov π/2 in π. Z opazovanjem sirine signala proste precesije in sig-nala spinskega odmeva poisci taksno lego sonde, da bo magnetno poljev podrocju vzorca cimbolj homogeno. Iz obeh sirin izracunaj T ∗

2 inoceni nehomogenost magnetnega polja v vzorcu.

2. Z opazovanjem odvisnosti signala proste precesije med dvema sunkomaπ/2 doloci relaksacijski cas T1 za vzorec vode s primesanimi paramag-netnimi ioni in za vzorec vodovodne vode.

3. Za vodo s primesanimi paramagnetnimi ioni poisci odvisnost visinesignala spinskega odmeva od presledka τ med sunkoma π/2 in π indoloci spinsko-spinski relaksacijski cas, T2.

13.1 Jedro v homogenem magnetnem polju

Jedro ima poleg vrtilne kolicine (spin) ~Γ tudi magnetni moment ~µ. Vrtilnakolicina in magnetni moment imata isto smer in sta povezana z enacbo,

~µ = γ~Γ, (13.1)

1

2 13. Sunkovna jedrska magnetna resonanca

kjer je γ giromagnetno razmerje, ki je odvisno od vrste jedra (za proton veljaγ = 267.5 MHz/T).

V magnetnem bolju ~B0, ki naj kaze vzdolz osi z, deluje na magnetnimoment navor,

~N = ~µ× ~B0 = γ~Γ× ~B0. (13.2)

Sprememba vrtilne kolicine je sorazmerna sunku navora kar da enacbo,

d~Γ

dt= ~N = γ~Γ× ~B0. (13.3)

Vidimo, da je sprememba vrtilne kolicine vedno pravokotna na le to.Poleg tega je pravokotna tudi na magnetno polje, iz cesar sledi, da vrtilnakolicina (magnetni moment) precesira okrog smeri magnetnega polja. Kroznafrekvenca precesije je neodvisna od kota med magnetnim poljem in magnet-nim momentom in jo imenujemo Larmorjeva frekvenca,

ωL = γB0, (13.4)

kjer je B0 velikost magnetnega polja.Postavimo snov, v kateri so jedra s spinom in magnetnim momentom

razlicnim od nic, v idealno homogeno magnetno polje ~B0 = (0, 0, B0z), kije usmerjeno vzdolz osi z. Magnetni moment na enoto volumna imenujemomagnetizacija,

~M =1

V

∑~µi. (13.5)

Ob upostevanju gibalne enacbe za posamezni magnentni moment 13.3, zveze13.1 in definicije magnetizacije s sestevanjem po vseh jedrih dobimo gibalnoenacbo za magnetizacijo,

d ~M

dt= γ ~M × ~B0. (13.6)

Tudi magnetizacija precesira okrog smeri magnetnega polja z Larmorjevofrekvenco, kadar ni vzporedna z njim. V ravnovesnem stanju je magneti-zacija ~M , ki je posledica orientacije magnetnih momentov atomskih jederv vzorcu obrnjena vzdolz smeri magnetnega polja ~B0. Komponenta mag-netizacije pravokotno na smer magnetnega polja je namrec enaka nic, ker

2

13.1 Jedro v homogenem magnetnem polju 3

posamezni magnetni momenti precesirajo okoli smeri magnetnega polja z ra-zlicnimi faznimi zamiki in njihove projekcije na ravnino, ki je pravokotna namagnetno polje, kazejo v razlicne smeri.

Slika 13.1: Orientacija magnetnih polj.

3


13.2 Vpliv kratkotrajne visokofrekvencne

magnetne motnje na magnetizacijo v

staticnem magnetnem polju

Ko za kratek cas T vkljucimo dodatno magnetno polje ~B1, ki oscilira z Lar-morjevo frekvenco ωL = γB0 in kaze v smeri osi x (pravokotno na smerstaticnega magnetnega polja), se kot Θ med magnetizacijo in staticnim mag-

netnim poljem ~B0 poveca. Magnetizacija zato zacne precedirati okoli smerimagnetnega polja s frekvenco ωL, kar sledi iz enacbe 13.6.

Velikost kota Θ med magnetizacijo ~M in staticnim magnetnim poljem~B0 je dolocena z amplitudo in casom trajanja dodatnega magnetnega polja.Eksperimentalno so posebej zanimivi taksni casi T in amplitude polja ~B1,da se kot Θ spremeni za π ali π/2. Ker dodatno magnetno polje navadnopovzrocimo s tuljavico, ki jo napajamo s sunkovnim radiofrekvencnim (RF)izvorom elektricnega toka, govorimo o sunkih π in π/2 .

Da si olajsamo racun in predstavo, se iz laboratorijskega sistema raje pre-selimo v vrteci se sistem, ki se vrti okoli smeri magnetnega polja z Larmorjevofrekvenco ωL,

z′ = z, (13.7)

x′ = x cos ωLt + y sin ωLt, (13.8)

y′ = y cos ωLt− x sin ωLt. (13.9)

V laboratorijskem sistemu lahko linearno polarizirano RF magnetno poljezapisemo kot vsoto dveh krozno polariziranih komponent,

~B1 = B10(cos ωLt, 0, 0) = (13.10)

=B10

2(cos ωLt, sin ωLt, 0) +

B10

2(cos ωLt,− sin ωLt, 0). (13.11)

Prva komponenta polja se vrti skupaj z vrtecim se sistemom, zato jo vidimov njem kot staticno magnetno polje vzdolz osi x′, druga komponenta pa sevrti z dvakratno Larmorjevo frekvenco okoli osi z′ (Slika 13.2).

Zaradi hitrega vrtenja druga komponenta magnetnega polja ne vplivaznatno na smer magnetizacije ~M . Ostane samo prva staticna komponenta,ki povzroci precesijo magnetizacije ~M okoli osi x′. Staticno magnetno polje v

4

13.2 Vpliv kratkotrajne visokofrekvencne magnetne motnje namagnetizacijo v staticnem magnetnem polju 5

Slika 13.2: Vrteci se sistem, ki je oznacen s crtkano crto, se vrti okoli osi z zLarmorjevo frekvenco ωL.

smeri z smo namrec ze upostevali z vpeljavo vrtecega se sistema, zato lahkonanj v vrtecem se sistemu odslej naprej kar pozabimo. Vidimo, da je zelopomembno, da ima motnja Larmorjevo frekvenco saj se zato enacbe gibanjav vrtecem se sistemu precej poenostavijo.

V novem sistemu torej magnetizacija ne precesira vec okrog osi z′, ampakse kvecjemu odkloni za kot Θ glede na os z′ pod vplivom RF magnetnegapolja.

Sunek π/2 obrne magnetizacijo, ki v ravnovesnem stanju kaze vzdolz osiz′, v smer osi y′. Po sunku π/2 v vrtecem se koordinatnem sistemu magnetni

5


moment ne cuti nobenega zunanjega magnetnega polja. Pricakovali bi, dabo magnetizacija ~M ostala obrnjena vzdolz osi y′. To se v realnih vzorcihne zgodi. Magnetizacija je namrec vsota magnetnih momentov posameznihjeder. Na precesijo posameznega magnetnega momenta vplivajo poleg zu-nanjih magnetnih polj tudi nakljucno spreminjajoca se polja magnetnih mo-mentov drugih jeder in elektronov. Smer, v katero kaze posamezen magnetnimoment, se zato s casom statisticno odmika od prvotne smeri in se vraca vtermodinamsko ravnovesno vrednost.

Slika 13.3: V polarnem kordinatnem sistemu oznacimo smer magnetnegamomenta s polarnim kotom φi in azimutom Θi

V polarnem kordinatnem sistemu oznacimo smer magnetnega momenta s

6

13.2 Vpliv kratkotrajne visokofrekvencne magnetne motnje namagnetizacijo v staticnem magnetnem polju 7

polarnim kotom φi, ki je kot med projekcijo magnetnega momenta na ravninox′y′ in osjo y′ in azimutom Θi, ki je kot med smerjo magnetnega momentain osjo z′ (slika 13.3).

Izkaze se, da se smeri magnetnih momentov raztresejo po polarnem kotuφ (izgubijo fazno povezavo v ravnini x′y′) hitreje kot se njihova komponentavzdolz osi z′ vrne v ravnovesno vrednost (manjsanje azimuta Θ). Projekcija

magnetizacije ~M na ravnino x′y′ zato eksponentno pada z razpadno konstantoT2, ki jo imenujemo transverzalni oziroma spinsko-spinski relaksacijski cas.Ker se pri izgubljanju fazne povezave magnetnih mometov v ravnini x′y′

projekcija celotnega magnetnega momenta na os z′ ne spreminja, se tudicelotna energija magnetnih momentov jeder v magnetnem polju ne spremeni.Od tod sledi, da na T2 lahko vpliva le interakcija med magnetnimi momentijeder, iz cesar izhaja tudi ime spinsko-spinski relaksacijski cas.

S termodinamskega stalisca lahko govorimo o termalizaciji jedrskegaspinskega sistema. Sinhrono precediranje je pri dani celotni energiji sistemale eno od mnozice moznih stanj z enako energijo. Scasoma gre sistem skozivsa mozna stanja (ergodijski teorem) in verjetnost da ga najdemo ravno vsinhronem stanju je zanemarljiva, ker je moznih nesinhronih stanj mnogo veckot sinhronih.

Zaradi izgubljanja fazne povezave v ravnini x′y′ moramo paziti, da sodolzine sunkov π in π/2 dovolj kratke. Magnetizacijo moramo namrec obr-niti v ravnino x′y′, preden znaten del magnetnih momentov izgubi faznopovezavo, to je v casu mnogo krajsem kot T2.

Poleg izgube fazne povezave se zmanjsuje tud azimut posameznega mag-netnega momenta, Θi. Projekcija magnetizacije na os z′ se zato povecuje skarakteristicnim casom T1, ki ga imenujemo longitudinalni oziroma spinsko-mrezni relaksacijski cas,

Mz′ = M(1− exp(− t

T1

)). (13.12)

S podobnimi argumenti kot prej ugotovimo, da se v tem primeru celotnaenergija magnetnih momentov jeder v staticnem magnetnem polju spremeni,torej je posredi interakcija magnetnih momentov jeder z magnetnimi momentielektronov v atomih (molekulah, kristalu) in od tod ime spinsko-mrezni re-laksacijski cas.

Termodinamsko gledano gre v tem primeru za ohlajanje jedrskegaspinskega sistema, saj se povprecna energija na spin (temperatura) manjsa.

7


13.3 Spinski sistem v nehomogenem magnet-

nem polju

Do sedaj smo predpostavljali, da je staticno magnetno polje ~B0 idealno ho-mogeno. V realnem zivljenju seveda taksnih magnetnih polj ne srecamo, alipa celo sami povzrocimo nehomogenosti, ker nam to pomaga izlusciti dodatnepodatke (npr.: slikanje s pomocjo jedrske magnetne resonance, merjenje pre-tokov tekocin in seveda merjenje konstante lastne difuzije).

Imejmo mocno staticno magnetno polje ~B0(~r) = (0, 0, Bz(~r)) v smeri osi z.Postavimo se zopet v vrteci se koordinatni sistem, ki naj se vrti s povprecnoLarmorjevo frekvenco ωL = γ < Bz >, kjer povprecimo magnetno polje pomestih vseh jeder. V vrtecem se sistemu posamezen magnetni moment ”cuti”poleg notranjih magnetnih polj se razliko med poljem na mestu magnetnegamomenta in povprecnim magnetnim poljem (Povprecno magnetno polje smonamrec ze upostevali z vpeljavo vrtecega se kordinatnega sistema.)

∆Bz(~ri) = Bz(~ri)− < Bz >, (13.13)

kjer je ~ri krajevni vektor za i-to jedro. Razlika povzroci precesijo posameznihmagnetnih momentov v vrtecem se sistemu okoli osi z′ z razlicnimi frekven-cami v razlicnih smereh. Fazna povezava med magnetnimi momenti v ravninix′y′ (raztresenost po kotu φ) se zato se dodatno pokvari. Projekcija mag-netizacije v ravnino x′y′, v nehomogenem magnetnem polju ne pada veceksponentno s karakteristicnim casom T2, ampak kot neka druga krivulja,katere oblika je odvisna od T2, od nehomogenosti magnetnega polja in od ob-like vzorca. Navadno karakteristicni cas padanja te krivulje oznacimo s T ∗

2 .Posledica tega je, da v praksi navadno ne moremo izmeriti T2 neposrednoiz casovne odvisnosti amplitude signala proste precesije, ki je sorazmernaprojekciji magnetizacije na ravnino x′y′.

Ocenimo cas T ∗2 . Naj bo ∆Bz povprecno odstopanje magnetnega polja od

povprecnega magnetnega polja po vzorcu. Vzemimo, da je pravi T2 zelo velikv primerjavi s T ∗

2 , to pomeni, da se magnetni momenti v glavnem raztresejozaradi nehomogenosti magnetnega polja. Magnetizacija v ravnini x′y′ boizginila, ko bo povprecni magnetni moment kazal pravokotno na smer y′

(smer magnetizacije takoj po sunku π/2) torej, ko se bo zavrtel za kot ∼ π/2okoli osi z′. Sledi:

γ∆BzT∗2 ≈ π/2, (13.14)

8

13.3 Spinski sistem v nehomogenem magnetnem polju 9

in

T ∗2 ≈

1

γ∆Bz

. (13.15)

Ker je racun samo priblizen, smo upostevali π/2 ≈ 1.

Slika 13.4: Med delovanjem sunka π se magnetni momenti (crtkano) obrnejoza kot π okoli osi x′. Po casu 2τ se magnetni momenti zopet zberejo v smeriosi −y′.

Pri meritvi pravega relaksacijskega casa T2 se zelimo znebiti razprsenostismeri magnetnih momentov po kotu φ, ki je posledica nehomogenosti magnet-nega polja. Poglejemo najprej posamezni magnetni moment. Takoj po sunkuπ/2 je magnetni moment obrnjen v smer osi y′, nato pa precesira okoli osi z′

9


s frekvenco ωi = γ∆Bz(~ri). V casu τ se i-ti magnetni moment zavrti za kotφi(τ) = ωiτ glede na os y′. Ce bi po casu τ obrnili magnetno polje ∆Bz(~ri) vnasprotno smer, bi magnetni moment precesiral z enako frekvenco vendar vnasprotni smeri. Zato bi po casu 2τ zopet kazal v isto smer kot na zacetku,to je v smer osi y′. Ker magnetnega polja ∆Bz(~ri) ne moremo zelo hitroobrniti, raje obrnemo magnetne momente, kar zlahka dosezemo s sunkom π,ki obrne magnetne momente za kot π okoli osi x′ (13.4). Rotacija za kot πokoli osi x′ preslika φi(τ) v π − φi(τ). Ker bo magnetni moment se naprejprecesiral v isti smeri, bo po casu 2τ polarni kot φi(2τ) = π−ωiτ +ωiτ = π.Ce torej v casu τ po sunku π/2 delujemo na sistem s sunkom π, se v casu 2τpo π/2 sunku magnetni momenti zopet zberejo v smeri osi −y′. V merilnituljavici se zato pojavi signal, ki ga imenujemo spinski odmev. Seveda smo sez gornjim postopkom znebili samo razprsenosti smeri magnetnih momentovzaradi nehomogenosti magnetnega polja, razprsenost zaradi notranjih poljpa je ostala. Zato amplituda spinskega odmeva z vecanjem razmaka medsunkoma pada kot exp(− 2τ

T2).

Sirina spinskega odmeva je odvisna od tega, kako hitro se magnetni mo-menti zopet zberejo v smer osi −y′, na kar vpliva nehomogenosti magnet-nega polja. Ker sunek π deluje podobno, kot ce bi obrnili smer precesije,takoj vidimo, da je zbiranje pravzaprav v casu obrnjeno razpadanje. Oblikospinskega odmeva tako dobimo, ce sestavimo dva signala proste precesije pricemer prvega ”prezrcalimo” v casu (t → −t). Sirina spinskega odmeva jetorej 2T ∗

2 , upostevati pa moramo, da to velja le, kadar je pravi T2 velikodaljsi od T ∗

2 .

13.4 NMR spektrometer

Signal, ki pove, da magnetizacija precesira okrog smeri magnetnega polja ~Bdobimo v tuljavici, ki je navita okrog vzorca tako, da ima os pravokotno nasmer staticnega magnetnega polja . Tuljavica je sestavni del nihajnega kroga,ki je uglasen na precesijsko frekvenco magnetizacije ωL pri dolocenem mag-netnem polju. Celotna naprava za opazovanje NMR (angl. nuclear magneticresonance) vsebuje poleg magneta se (slika 13.5):

• visokofrekvencni oscilator 9 MHz,

• programator trajanja sunkov, ki doloca cas trajanja motnje ~B1,

10

13.4 NMR spektrometer 11

Slika 13.5: Shema NMR spektrometra.

• vrata, ki prepuscajo visokofrekvencno nihanje v casu, ki ga doloci pro-gramator,

• mocnostni visokofrekvencni ojacevalnik, ki napaja tuljavico s kateropovzrocimo motnjo,

• detektor inducirane napetosti, ki je vezan na isto tuljavico kotmocnostni ojacevalnik,

11


• osciloskop na katerem opazujemo precesijske signale. Prozimo ga ssignali iz programatorja.

Programator generira zaporedje sunkov z ustrezno sirino in ustreznimirazmaki. Ti sunki krmilijo vrata, ki spuscajo RF signal iz oscilatorja vmocnostni ojacevalnik, od koder gre na vzbujevalno-detekcijsko tuljavico. Poprenehanju sunka signal, ki se inducira v tuljavici, detektiramo z detektorjemin ojacimo z ojacevalnikom ter ga opazujemo na zaslonu osciloskopa. Sig-nal, ki ga opazujemo na osciloskopu, je ovojnica visokofrekvencnega nihanjaprecesijske frekvence ωL.

13.5 Meritev

Signal proste precesije pada s konstanto T ∗2 . Na osnovi zveze 13.15 lahko

z opazovanjem signala proste precesije ocenimo nehomogenost magnetnegapolja v vzorcu. Pri izbiranju delovnih pogojev premikamo sondo v magnet-nem polju toliko casa, da dobimo cim bolj polozen signal proste precesije,torej cim vecji T ∗

2 oziroma cim manjsi ∆B.

Sedaj, ko znamo dolociti T ∗2 , poglejmo se, kako dolocimo prave vrednosti

T1 in T2.

Dolocanje T1 sloni na enacbi Mz = M0[1 − exp (−t/T1)]. Ustvariti simoramo take eksperimentalne pogoje, da bomo opazovali Mz kot funkcijocasa (v razlicnih casovnih presledkih) po prenehanju sunka π/2. To namomogoca zaporedje dveh sunkov π/2 med katerima lahko presledek τ po zeljispreminjamo. V tem primeru visina signala proste precesije, ki sledi drugemusunku narasca z vecanjem presledka τ tako kot Mz. To sledi iz dejstva, dadrugi sunek privede nazaj v smer π/2 glede na os z′ tisti del magnetizacije, kise je v casu τ ze relaksirala, tisti del, ki je ze precesiral pod kotom θ = π/2,pa zavrti naprej za π/2 t.j. v celoti za π (v smer −z′) in mu tako onemogoci,da bi prispeval k signalu proste precesije.

Ker se zaporedje sunkov ponavlja z neko periodo, je potrebno paziti, dase vzorec med posameznimi zaporedji sunkov lahko relaksira v ravnovesnostanje, kar pomeni, da mora biti perioda znatno vecja od pricakovanega casaT1.

Pravo vrednost T2 dolocimo s pomocjo spinskega odmeva. Pri tem gre zato, da za sunkom π/2 po nekem casu τ uporabimo se sunek π, kateremu pocasu 2τ sledi spinski odmev.

12

13.6 Potek dela 13

Slika 13.6: Signal spinskega odmeva.

Sliko, ki jo dobimo na zaslonu osciloskopa, kaze slika 13.6. Sirina signalaspinskega odmeva je prav tako kot sirina signala proste precesije merilo zacas T ∗

2 . V odvisnosti amplitude spinskega odmeva od casa 2τ je skrit pravispinsko-spinski relaksacijski cas T2. Vendar je treba takoj povedati, da izmeritve visine spinskega odmeva pri razlicnih zakasnitvah τ v tekocinah nimogoce vedno dolociti casa T2. Vzrok je v tem, da se molekule v tekocinigibljejo (lastna difuzija) in pri tem iz enega podrocja magnetnega polja preha-jajo v drugo. Zaradi nehomogenosti polja se pri tem prehajanju stohasticnospreminja precesijska frekvenca spinov, kar ima za posledico izgubo faznepovezave, ki je s sunkom π/2 ni mogoce popraviti. Vpliv lastne difuzije jeprevladujoc pri dolgih casih τ , zato lahko v primeru, ko je cas T2 dovoljmajhen, vpliv difuzije zanemarimo.

13.6 Potek dela

Natancnejsa navodila o delovanju NMR spektrometra si oglej v knjizici, kije prilozena spektrometru.

Najprej odpri vodo za hlajenje magneta. Prizgi spektrometer in os-ciloskop. Gumb 1 (slika 13.7) postavi v polozaj FID. S tem si izbral program,ki vsebuje en sam sunek π/2. Zmanjsaj periodo ponavljanja zaporedja sunkovna minimum (gumb 4). Nastavi dolzino sunka (gumb 7) na polovico maksi-malne dolzine. S stikalom 14 izberi fazno detekcijo1. Na ta nacin bos lazje

1Vec o fazni detekciji si preberi v dodatku.

13


nastavil velikost staticnega magnetnega polja in s tem precesijsko frekvencoprotonskih magnetnih momentov v vodi na frekvenco RF motnje. V principubi lahko spreminjal frekvenco motnje, vendar je to prakticno tezje izvedljivo,ker je potrebno sprejemno-oddajno tuljavico vedno ponovno uglasiti.

V merilno glavo spektrometra vstavi epruveto, ki vsebuje vodo z dodan-imi paramagnetnimi ioni. Potenciometer za regulacijo toka na napajalnikumagneta zavrti na minimum. Prizgi napajalnik. Polagoma zvisuj tok mag-neta in opazuj osciloskop. Ko doseze velikost magnetnega polja toliksnovrednost, da se Larmorjeva frekvenca jeder ujema s frekvenco RF oscilatorjav spektrometru, opazis na osciloskopu takoj za sunkom π/2 signal prosteprecesije. Daljsa perioda signala pomeni boljse ujemanje frekvenc. Z gum-bom za regulacijo toka nastavi najdaljso mozno periodo. Preklopi stikalo14 na diodno detekcijo in s spreminjanjem dolzine sunka π/2 maksimizirajamplitudo signala proste precesije.

Poskrbi, da je gradient magnetnega polja izklopljen (gumb 13). S pre-mikanjem glave z vzorcem poisci obmocje v magnetu, kjer je polje najboljhomogeno (signal proste precesije najpocasneje pada). Nato izmeri T ∗

2 in naosnovi tega oceni nehomogenost magnetnega polja v vzorcu.

Izberi program spinski odmev (SE) z gumbom 1. Z gumboma 9 in 8nastavi razmik med sunkoma na ∼500 ms. S stikalom na zadnji stranispektrometra nastavi prozenje osciloskopa na drugi sunek. Nastavi dolzinodrugega sunka na π/2 (Amplituda signala proste precesije po drugem sunkutakrat doseze najvecjo vrednost.). Izmeri odvisnost amplitude signala prosteprecesije za drugim sunkom kot funkcijo zakasnitve med sunkoma in izmeritev doloci T1.

Vstavi v merilno glavo spektrometra epruveto z navadno vodovodno vodo.Povecaj periodo ponavljanja zaporedja sunkov na maksimum (gumb 4). Takokot za prejsnji vzorec izmeri T1.

V merilno glavo spektrometra zopet vstavi epruveto, ki vsebuje vodoz dodanimi paramagnetnimi ioni. Zmanjsaj periodo ponavljanja zaporedjasunkov na minimum (gumb 4). Z gumboma 9 in 8 nastavi razmik medsunkoma na ∼ T ∗

2 . Nastavi dolzino drugega sunka na π (amplituda signalaspinskega odmeva takrat doseze maksimalno vrednost). Izmeri odvisnostamplitude signala spinskega odmeva kot funkcijo zakasnitve med sunkomain iz meritev doloci pravi T2 za vodo s primesjo paramagnetnih ionov. Vplivdifuzije zanemari.

Pravega T2 za vodovodno vodo ne moremo dolociti, ker vpliv difuzije nivec zanemarljiv.

14

13.7 Dodatek: diodna in fazna detekcija. 15

13.7 Dodatek: diodna in fazna detekcija.

V sprejemni tuljavici se inducira izmenicna napetost, ki oscilira z Larmor-jevo frekvenco ωL. Ker nas zanima samo amplituda, to napetost ustreznoojacimo in nato usmerimo z diodo. Z ustreznim filtrom, ki prepusca samonizke frekvence se znebimo RF oscilacij in na zaslonu osciloskopa vidimosignal, ki je sorazmeren amplitudi napetosti na tuljavici. Taksnemu nacinudetektiranja signala pravimo diodna detekcija.

Poglejmo kaj se zgodi, ce signal na tuljavici zmnozimo s kosinusnim sig-nalom s konstantno amplitudo, ki oscilira s frekvenco RF oscilatorja. Celotnanapetost na izhodu iz mnozilnika je sorazmerna produktu obeh,

U(t) = A(t) cos(ωLt)A0 cos(ωRF t + δ). (13.16)

Produkt razbijemo na vsoto,

U(t) =A(t)A0

2[cos((ωL − ωRF )t− δ) + cos((ωL + ωRF t) + δ)], (13.17)

pri cemer dobimo dva clena. Prvi oscilira z razliko frekvenc ωL − ωRF indrugi z vsoto frekvenc. Ker sta obe frekvenci priblizno enaki, bo njunarazlika zelo majhna, vsota pa zelo velika. Z ustreznim filtrom odfiltriramovisokofrekvencni del in na osciloskopu opazujemo samo prvi clen, ki osciliraz razliko frekvenc. V primeru, da sta obe frekvenci natancno enaki, sledi,

U(t) =A(t)A0

2cos δ. (13.18)

Signal na osciloskopu je sorazmeren amplitudi napetosti na tuljavici. Polegimamo se faktor cos δ, ki lahko povzroca tezave, saj lahko spremeni predznakali pa je celo 0. V ta namen je v nasem spektrometru vezje, s katerimlahko spreminjamo fazni zamik δ in s tem predznak in amplitudo signala naosciloskopu.

Pri dejanski meritvi se frekvenci ωL in ωRF nikoli ne ujemata tocno. Signalna osciloskopu zato oscilira z razliko frekvenc. To s pridom izkoristimo priiskanju resonance. Staticno magnetno polje spreminjamo tako, da je periodaoscilacij na zaslonu osciloskopa cimdaljsa, kar pomeni, da sta si frekvenci karse da blizu.

15


13.8 Literatura

1. C. P. Slichter (Principles of Magnetic Resonance, Springer-Verlag,Berlin Heidelberg 1990).

2. M. H. Leviyy (Spin Dynamics, Basics of Nuclear Magnetic Resonance,John Willey & Sons Ltd., 2002).

16

13.8 Literatura 17

1 - Izbira programa

2 - Izbira rocnega ali avtomatskega prozenja programa

3 - Tipka za rocno prozenje

4 - Izbira casa ponavljanja programa

5 - LED indikator prozenja

6 - Nastavitev dolzine sunka π

7 - Nastavitev dolzine sunka π/2

8 - , 9 - Nastavitev razmika med sunkom π/2 in π

10 - LED indikator zakasnitve sunka π

11 - LED indikator zakasnitve sunka π/2

12 - Fina regulacija frekvence RF oscilatorja

13 - Regulacija gradienta magnetnega polja

14 - Izbira nacina detekcije RF signala

15 - Nastavitev ojacanja vhodnega ojacevalnika

16 - Nastavitev pasovne sirine izhodnega ojacevalnika

17 - Nastavitev faze referencnega signala pri fazni detekciji

Slika 13.7: Kontrolna plosca NMR spektrometra.

17

Documents

Fizikalni eksperimetni 3 { Zimski semester 2009/10jazbinsek/Fizikalni.eksperimenti.3/... · 2009. 10. 9. · Pedagosk a fakulteta: Fizikalni eksperimenti III Zimski semester Imena