Fizička hemija čvrstog stanja · 𝒏 Rotacija za 360°/n stepeni 𝒏 Rotoinverzija - Rotacija za 360°/n stepeni praćenainverzijom kroz centar simetrije m ( ) Ravan refleksije

FIZIČKA HEMIJA ČVRSTOG STANJA

BOJANA VASILJEVIĆ – II ČAS

Podsećanje

Elementi simetrije – Centar inverzije, Ravan refleksije, Osa rotacijeC m 𝐿𝑛

Složeni elementi simetrije – Rotoinverzija i Rotorefleksija𝐿𝑖𝑛 𝑆𝑛

Da se podsetimo zašto je rotoinverzna osa četvrtog reda specifična -

Tetraedar Oktaedar

TEOREME O KOMBINOVANJU ELEMENATA SIMETRIJE

T1. Ukoliko se dve ravni simetrije seku pod uglom , tada u preseku nastajeosa simetrije sa odgovarajućim uglom rotacije od 2 .

Ravni: m1 i m2

Preko m1 preslikava se A u P,preko m2 preslikava se P u A1.

⇓𝑂1 𝑂2∡𝐴𝑂𝑂1 = ∡𝑂1𝑂𝑃∡𝑃𝑂𝑂2 = ∡𝑂2𝑂𝐴1

∡𝐴𝑂𝐴1 = ∡𝐴𝑂𝑂1 + ∡𝑂𝑂1𝑃 + ∡𝑃𝑂𝑂2 + ∡𝑂2𝑂𝐴1 = 2(∡𝑂1𝑂𝑃 + ∡𝑃𝑂𝑂2) = 2∡𝑂1𝑂𝑂2

∡𝐴𝑂𝐴1 = 2∡𝑂1𝑂𝑂2

By Simx2=rotOK.png: Toobazderivative work: McSush (talk) -File:Simx2=rotOK.png, CC BY 2.5, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=8385414

T2. Tačka preseka parne ose simetrije i ravni simetrije koja je normalna na nju je centar simetrije.

javlja se i centar inverzije

T3. Ukoliko postoji osa simetrije n-tog reda i jedna osa simetrije drugog reda normalna na nju, onda postoji n osa simetrije drugog reda normalnih na nju.

Pravilna trostrana bipiramida

Osnova je jednakostranični trougao

Glavna osa je osa trećeg reda

Postoje tri ose drugog reda koje sadrževisine trougla

T4. Ukoliko postoji osa simetrije n-tog reda i jedna ravan simetrije koja sadrži tu ravan, onda postoji n ravni simetrije koji sadrže osu n-tog reda.

Pravilna trostrana bipiramida

Ravan simetrije

Parna osa i ravan koja je sadrži

⇓ ⇓

Još jedna ravan simetrije koja sadrži parnu osu

T5. Rezultanta presecanja dve ose simetrije drugog reda je treća osa simetrije drugogreda koja prolazi kroz tačku preseka prve dve ose.

Kvadar

T6. Ukoliko postoji ravan simetrije koja sadrži parnu inverzionu osu, tada postojei dve ose simetrije drugog reda normalne na inverzionu osu, kao i ravan simetrije koja prolazi po bisektrisi ugla između osa.

Tetraedar

Matematička definicija grupe.

Grupa (G,*) je skup G sa binarnom operacijom * koji zadovoljavaju sledeće uslove:1. Zatvorenost -2. Asocijativnost3. Postojanje jediničnog elementa 4. Postojanje inverznog elementa

Red grupe je broj elemenata skupa G.

Trivijalna grupa je grupa koja ima samo jedan element. Taj element mora biti jedinični.

ŠONFLIS-OVA NOTACIJASchönflies

Oznaka Naziv transformacije

𝑬 Identitet

𝑪𝒏 Rotacija za Τ2𝜋 𝑛 radijana

𝑺𝒏

Neprava rotacija - Rotacija za Τ2𝜋 𝑛 radijanapraćena refleksijom kroz ravan normalnu na

osu

𝒊 Inverzija kroz centar simetrije

𝝈 Ravan refleksije

𝝈𝒉 Horizontalna ravan refleksije

𝝈𝒗 Vertikalna ravan refleksije

𝝈𝒅 Diedarska ravan refleksije

Ovde se koriste rotorefleksione ose.

Ova notacija se najčešće koristi kod simetrija molekula.

HERMAN-MOGENOVA NOTACIJA –INTERNACIONALNA NOTACIJA

Ravan refleksije je definisana tako da je normalna na osu drugog reda.

Oznaka Naziv transformacije

𝒏 Rotacija za 360°/n stepeni

𝒏Rotoinverzija - Rotacija za 360°/n stepenipraćena inverzijom kroz centar simetrije

m (𝟐) Ravan refleksije

𝟏 Inverzija kroz centar simetrije

𝟏 Identitet

Herman-Mogenovi simboli označavaju simetrijski neekvivalentne ose i ravni. Pravac simetrijskog elementa je predstavljen položajem u Herman-Mogenovoj oznaci. Ako je ravan refleksije m normalna na osu rotacije n, one se označavaju kao n/m.Ako dve ili više osa imaju isti pravac, osa više simetrije se predstavlja. Viša simetrija znači da ta osa generiše objekat sa više tačaka.

Rotaciona osa 2,3,4… reda generiše objekat sa 2, 3, 4… tačke. Rotoinverziona osa ത2, ത3, ഥ4, ത6 … reda generiše 2, 6, 4, 6… tačaka. Ako obe ose daju isti broj tačaka, bira se rotaciona osa. 3/m kombinacija je ekvivalentna osi ത6. Kako osa ത6 generiše 6 tačaka, dok osa 3 generiše 3 tačke, umesto oznake 3/m piše se oznaka ത6. Tamo gde imamo 4/m imamo i ത4, ali pišemo oznaku 4/m..

Ovde se koriste rotoinverzione ose.

Ova notacija se koristi kod simetrija kristala (u kristalografiji)

Element simetrijeInternacionalna

oznakaSchönflies-ova

oznaka

Centar simetrije ത1

Osa simetrije 1,2,3,4,6 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4, 𝐶6

Ravan simetrije m 𝜎ℎ , 𝜎𝑣 , 𝜎𝑑

Rotoinverziona osa ത1, ത2, ത3, ത4, ത6

Rotorefleksiona osa 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, 𝑆4, 𝑆6

Za potpuno opisivanje spoljašnje simetrije kristala nisu potrebni svi elementisimetrije. Dovoljno je: m,ത1, 2, 3, 4, 6, ത3, ത4, ത6

32 TAČKASTE KRISTALOGRAFSKE GRUPE SIMETRIJE

Kada operacije simetrije (inverzija, refleksija, rotacija i rotoinverzija)deluju na jediničnu ćeliju kristala, moguće su samo 32 kombinacije, i one čine 32 kristalografske tačkaste grupe simetrije.

Do kristalografskih grupa se dolazi tako što se formiraju kombinacije elemenata simetrije.

Tačkaste grupe se uobičajeno prikazuju korišćenjem stereografskih projekcija.Može se prikazati ili projekcija posmatranog objekta, ili se može prikazati rasporedelemenata simetrije. Projekcija se uglavnom vrši tako što je c-osa normalna na ravan projekcije, b-osa se usmeri na desno a a-osa se usmeri niz papir naniže.

(Izuzetak su romboedarske tačkaste grupe gde je prostorna dijagaonala romboedra normalna na ravan projekcije.)

Kasnije ćemo videti da kristalni poliedri mogu imati jedan ili više simetrijskihpravaca.

Do 32 kristalografske grupe simetrija dolazi se tako što se za glavni simetrijskipravac proglasi onaj duž koga leži osa n-tog reda. Nakon toga, na tu osu dodajuse preostali elementi simetrije i formiraju se kombinacije (imajući u viduteoreme o kombinovanju…)

1. Primitivne grupe simetrija – imamo samo jednu osu simetrije kao element

Formula simetrije

HM oznaka

𝐿1 1

𝐿2 2

𝐿3 3

𝐿4 4

𝐿6 6

5 grupa

2. Centralne grupe simetrija – na postojeću osu simetrije dodaje se centar inverzije

Osa + Centar

Rezultujuća formula

HM oznaka

𝐿1+C C ത1

𝐿2+C 𝐿2PC 2/𝑚

𝐿3+C 𝐿3C ത3



Teorema

Teorema

Teorema

5 grupa

3. Planarne grupe simetrija – na postojeću osu simetrije dodaje se ravan simetrijekoja je sadrži

Osa + Ravan Rezultujuća formula

HM oznaka

𝐿1+P P m

𝐿2+P 𝐿22P 𝑚𝑚2

𝐿3+P 𝐿33P 3m

𝐿4+P 𝐿44P 4𝑚𝑚

𝐿6+P 𝐿66P 6𝑚𝑚

5 grupa

4. Aksijalne grupe simetrija – na postojeću osu simetrije dodaje se osa simetrijedrugog reda koja je normalna

Osa + osa drugog reda


HM oznaka

𝐿1+𝐿2 𝐿2 /

𝐿2+𝐿2 3𝐿2 222

𝐿3+𝐿2 𝐿33𝐿2 32

𝐿4+𝐿2 𝐿44𝐿2 422

𝐿6+𝐿2 𝐿66𝐿2 622

4 grupe

5. Plan-aksijalne grupe simetrija – na postojeću osu simetrije dodaje se ravan simetrije koja je sadrži i centar simetrije

Osa + osa drugog reda


HM oznaka

𝐿1+PC 𝐿2PC /

𝐿2+PC 3𝐿23PC mmm

𝐿3+PC 𝐿33𝐿23PC ത3m

𝐿4+PC 𝐿44𝐿25PC 4/mmm

𝐿6+PC 𝐿66𝐿27PC 6/mmm

Teorema – parna osa i centar generišu ravan normalnu na osuTeorema – u preseku dve ravni dobijamo osu simetrije

4 grupe

Preostale su grupe gde umesto običnih osa simetrije imamo inverzne ose simetrije

Formula simetrije

HM oznaka Nova grupa

𝐿𝑖1 ത1 NE

𝐿𝑖2 m NE

𝐿𝑖3 ത3 NE

𝐿𝑖4 ത4 Da

𝐿𝑖6 ത6 Da 2 grupe

Formula simetrije

Rezultujućaformula

HM oznaka Nova grupa

𝐿𝑖1+P 𝐿2PC / NE

𝐿𝑖2+P 𝐿22P / NE

𝐿𝑖3+P 𝐿𝑖33𝐿23𝑃 / NE

𝐿𝑖4+P 𝐿𝑖42𝐿22P ത4m2 Da

𝐿𝑖6+P 𝐿𝑖63𝐿23P ത6m2 Da

Inverzno primitivne

Inverzno planarne –na inverznu osu simetrijedodata je ravan koja je sadrži

2 grupe

Kada imamo više osa višeg reda, izvođenje i zaključivanje nije jednostavno.

Možemo imati samo ose simetrija kao elemente. To su sledeće dve grupe:𝟑𝑳𝟒𝟒𝑳𝟑𝟔𝑳𝟐 (HM oznaka 432) i 𝟒𝑳𝟑𝟑𝑳𝟐 (HM oznaka 23)

Preostale tri grupe simetrije nastaju kada se dodaju centar i ravni simetrija:

𝟒𝑳𝟑𝟑𝑳𝟐𝟑𝐏𝐂 (HM oznaka m3)𝟑𝑳𝒊𝟒𝟒𝑳𝟑𝟔𝑷 (HM oznaka ഥ𝟒𝟑m)𝟑𝑳𝟒𝟒𝑳𝟑𝟔𝑳𝟐9PC (HM oznaka m3m)

Ukupno 32 tačkaste grupe.

Grafički se elementi simetrije prikazuju korišćenjem stereografske projekcije, odnosnostereogramima.

Na stereogramu se mogu prikazati još i položaji pojedinih ravni u kristalu, kao i položaji tačaka koje su povezavne simetrijskim operacijama.

Tetraedar

Kocka, oktaedar

Jedinična sfera

Primitivna ravan

Osa najvišeg reda se bira za glavnu osu simetrije. Ukoliko ima prisutnih višeosa višeg reda, nasumično se bira jedna i proglašava za glavnu osu.

Oznake elemenata simetrije koje se koriste u stereografskoj projekciji

Stereografska projekcija pravilne trostrane piramide

Osa trećeg reda

Baza piramide je jednakostranični trougaoVisina piramide je H.NIJE tetraedar.

Tri ravni koje sadrže L3 osu

Formula simetrije

Stereografska projekcija trostrane piramide

Prema algoritmu za određivanjetačkaste grupe

3m

Algoritam PDF fajl

Od 32 tačkaste grupe simetrija,one koje imaju centar simetrije nazivaju se Laueove grupe simetrije.

Laueovih grupa ima 11.

1 ത1 23

2 𝑚 2/m mm2 222 mmm mത3

3 ത3 3m 32 ത3m 432

4 ത4 4/m 4mm 422 4/mmm ത42𝑚 ത43m

6 3/𝑚 6/m 6mm 622 6/mmm ത62𝑚 mത3m

𝐿1 𝐶 4𝐿33𝐿2

𝐿2 𝑃 𝐿2PC 𝐿22P 3𝐿2 3𝐿23PC 4𝐿33𝐿23PC

𝐿3 𝐿𝑖3 𝐿33𝑃 𝐿33𝐿2 𝐿33𝐿23PC 3𝐿44𝐿36𝐿2

𝐿4 𝐿𝑖4 𝐿4𝑃𝐶 𝐿44𝑃 𝐿44𝐿2 𝐿44𝐿25PC 𝐿𝑖42𝐿22P 3𝐿𝑖44𝐿36𝑃

𝐿6 𝐿𝑖6 𝐿6𝑃𝐶 𝐿66𝑃 𝐿66𝐿2 𝐿66𝐿27PC 𝐿𝑖63𝐿24P 3𝐿44𝐿36𝐿29𝑃𝐶

Internacionalne oznake i elementi simetrije u 32 tačkaste grupe

Do sada smo posmatrali elemente i operacije simetrije koji su se odnosili najediničnu ćeliju.

Sve operacije ostavljale su bar jednu tačku fiksnu u prostoru.

Za opisivanje periodičnosti, potrebno je uvesti elemente simetrije kojiće uključiti translaciju.

Elementi i operacije simetrije sa translacijom

1. Osa translacije

Paralelno pomeranje motiva duž nekog pravca za rastojanje koje se nazivaperiod translacije (t).

Kombinacijom translacije sa osom simetrije i ravni simetrije nastaju složenielementi simetrije sa translacijom.

2. Ravan klizećeg reflektovanja

Kombinovani element simetrije koji podrazumeva refleksiju u ravni i potomtranslaciju za određeni deo perioda translacije duž pravca koji je paralelan sa ravni.

Ravan refleksije

Ravan klizećerefleksije

Efikasnije se pakuju atomi i molekuli, manje slobodnog prostora ostaje

2. Ravan klizećeg reflektovanja

U kristalima postoje određeni pravci duž kojih se najčešće javljajuravni klizećeg reflektovanja.Na primeru jedinične ćeliije koja je definisana vektorima:

Ravni klizećeg reflektovanja koje prolaze duž jedne od osa, period translacije je

Ravni klizećeg reflektovanja koje prolaze duž jedne od dijagonala ćelije, period translacije je

Imaju oznaku a,b,c

Imaju oznaku n

Ravni klizećeg reflektovanja koje prolaze duž tzv dijamantskih pravaca, period translacije je

Imaju oznaku d

3. Zavrtanjska osa rotacije

Zavrtanjska osa rotacije predstavlja kombinaciju rotacije oko ose simetrije itranslacije koja se vrši paralelno sa osom rotacije.

Rotaciona komponenta opisuje se klasično redom ose rotacije n.Translaciona komponenta opisuje se periodom translacije 𝑡 = Τ𝑝 𝑛 , 𝑝 < 𝑛.

Oznaka za zavrtanjsku osu rotacije je u najopštijem obliku: 𝑛𝑝

p ima celobrojnu vrednost.

Efikasnije se pakuju atomi i molekuli, manje slobodnog prostora ostaje

2𝟐𝟏

Uzmimo najjednostavniji slučaj:

n np

2 21 Rotacija za 180 + translacija za 1/2 perioda




𝑝 = 1

21

31 32

41 42 43

61 62 63 64 65

Imamo leve, desne i neutralne ose.

Neutralne, smer obrtanja nije važan21, 42 i 63.

Enantiomorfni parovi:31 i 32,41 i 43,61 i 65,62 i 64.

𝑝 > 1

Rotacija se vrši za određeniugao (180, 90, 60) ali setranslacija uvek vrši za polovinu perioda.

1

2

3

2

▪ Osa 32 nastaje rotacijom na desno za

120 i translacijom za 2/3 perioda.

▪ Položaji tačaka koje nastaju su:

• (0,0)

• (120,2/3)

• (240,4/31/3)

• (360,6/32)…

m▪ Ekvivalentno je levoj zavrtanjskoj

osi sa periodom 1/3

Jedinična ćelija – periodičnost, invarijantnost natranslaciju za period translacije.

m

Osa 43 je desna zavrtanjskaosa sa translacijom za ¾ perioda.Imamo sledeće tačke: • (0,0) • (90,3/4t) • (180,6/4t2/4t1/2t) • (270,9/4t1/4t)…

Efekat je isti kao što ima i leva zavrtanjska osa 41


▪ Osa 42 proizvodi sledeće tačke:

• (0,0)

• (90,1/2)

• (180,2/21)

• (270,3/21/2)

• (360,4/22)

▪ Siva strelica u pozadini povezuje sledeće dve tačke:

(270,3/2) i (270,1/2)

→ da bi se tačke zadržale u jediničnoj ćeliji

▪ Osa 42 u sebi sadrži i osu drugog reda.


Do sada su definisane 32 tačkaste grupe simetrije i translacione operacije simetrije.

Jasno je da kristale možemo na neki način sortirati.

U zavisnosti od geometrijske simetrije, forme rasta i simetrije različitih fizičkih svojstava kristale možemo podeliti na

1. kategorije

2. sisteme

3. familije (singonije)

32 tačkaste grupe simetrija možemo podeliti u nekoliko kristalnih klasa i sistema.

Prema elementima simetrije i broju jedinstvenih pravaca u kristalu, sve kristalnesupstance možemo podeliti u tri kristalne kategorije: nižu, srednju i višu.

▪ Nema jedinstvenog pravca u kristalu.▪ Ima nekoliko osa višeg reda.▪ Četiri ose trećeg reda.▪ Karakteristični su oblici: tetraedar, oktaedar, kocka.▪ Svojstva su izotropna ili blago anizotropna.

▪ Bar jednu osu simetrije višeg reda od 2.▪ Imaju jedan jedinstveni pravac duž koje je osa višeg reda.▪ Karakteristični oblici su prizma i piramida.▪ Izražena anizotropija duž jedinstvenog pravca.

Viša kategorija

Srednja kategorija

▪ Nema jedinstvenog pravca u kristalu.▪ Ima nekoliko osa reda ne većeg od 2.▪ Izražena anizotropija.

Niža kategorija

Prema dužini kristalografskih osa i veličini uglova među njima napravljena je klasifikacija kristala u šest kristalografskih familija i sedam kristalografskih sistema.

Kristalne kategorije Kristalne familije Kristalni sistemi

Niža

Triklinična Triklinični

Monoklinična Monoklinični

Rombična Rombični

Srednja

Tetragonalna Tetragonalni

HeksagonalnaTrigonalni

Heksagonalni

Viša Kubna Kubni

Određenom sistemu pripadaju kristali koji imaju istu simetriju jedinične ćelije i iste koordinate.

Kristalni sistemi

OznakaOdnosi kristalografskih osa i

uglovaOznaka odnosa

Triklinični(anortični)

aTri ose različitih dužina koje nisu

međusobno normalne𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐

𝛼 ≠ 𝛽 ≠ 𝛾 ≠ 90°

Monoklinični mTri ose različitih dužina, jedan par

osa nije normalan međusobno𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐

𝛼 = 𝛾 = 90° 𝛽 ≠ 90°

Rombični(ortorombični)

oTri ose različitih dužina,

međusobno normalne𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐

𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 90°

Tetragonalni tTri međusobno normalne ose od

kojih su dve iste dužine𝑎 = 𝑏 ≠ 𝑐

𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 90°

Trigonalni(romboedarski)

rTri ose jednake dužine, sa

jednakim uglovima različitim od 90°

𝑎 = 𝑏 = 𝑐𝛼 = 𝛽 = 𝛾 ≠ 90°

Heksagonalni hDve jednake koplanarne ose pod

uglom od 120° i treća osa normalna na njih različite dužine

𝑎 = 𝑏 ≠ 𝑐𝛼 = 𝛾 = 90° 𝛽 = 120°

Kubni (teseralni,

izometrijski)c

Tri međusobno normalne ose jednake dužine

𝑎 = 𝑏 = 𝑐𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 90°

SEDAM KRISTALNIH SISTEMA

Prisustvo pojedinih osa rotacije vezano je za kristalni sistem.

• Osa šestog reda javlja se samo u heksagonalnom sistemu.

• Osa četvrtog reda u tetragonalnom i teseralnom sistemu.

• Osa trećeg reda u romboedarskom i teseralnom.

• Osa rotacije drugog reda javlja se u svim sistemima osim trikliničnom.

• U trikliničnom sistemu od može se javiti samo centar simetrije.

Kristalni sistemiMinimalni broj

elemenata simetrijeBroj tačkastih

grupa

Triklinični(anortični)

Osa prvog reda 2

MonokliničniOsa drugog reda ili

ravan simetrije3

Rombični(ortorombični)

Tri ose drugog reda ili dve ravni simetrije

3

TetragonalniOsa rotacije četvrtog

reda7

Trigonalni(romboedarski)

Osa rotacije trećeg reda

5

HeksagonalniOsa rotacije šestog

reda7

Kubni (teseralni, izometrijski)

Četiri ose trećeg reda 5

UKUPNO 32 GRUPE

SEM mikrografija 13X zeolita – kubna struktura

https://doi.org/10.1016/j.dib.2018.07.040

https://doi.org/10.1016/j.dib.2018.07.040

http://www.uab.cat/web/la-divulgacio/grups-puntuals-de-simetria-1345664584325.html

http://www.smorf.nl

Program VESTA

Documents

Fizička hemija čvrstog stanja · 𝒏 Rotacija za 360°/n stepeni 𝒏 Rotoinverzija - Rotacija za 360°/n stepeni praćenainverzijom kroz centar simetrije m ( ) Ravan refleksije