Fisica per MedicinaLezione 12 - Princìpi della Termodinamica II

Dr. Cristiano Fontana

Dipartimento di Fisica ed Astronomia “Galileo Galilei”Università degli Studi di Padova

24 novembre 2016

Trasformazioni termodinamiche

Secondo principio della termodinamica

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Indice

Trasformazioni termodinamiche

Secondo principio della termodinamica

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Trasformazioni termodinamiche ITrasformazione isobara

(Vi,p0) (Vf,p0)

Vi Vf

Una trasformazione isobara è una trasformazione a pressionecostante quindi il lavoro compiuto:

W = p0 (Vf − Vi) = p0∆V (1)

oltre al volume anche la temperatura deve variare perché sono legatidalla legge dei gas:

∆Q = ncp∆T (2)4/24

Trasformazioni termodinamiche IITrasformazione isocòra

(V0,pi)

(V0,pf)

pi

pf

Una trasformazione isocòra è una trasformazione a volume costante(∆V = 0) quindi il lavoro compiuto è nullo:

W = p0∆V = 0 ⇒ ∆U = ∆Q −W = ∆Q (3)

la variazione dell’energia interna è

∆U = ncV ∆T (4)

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Trasformazioni termodinamiche IIITrasformazione isoterma

(Vf,pf)

(Vi,pi)

T0 = cost.

Una trasformazione isoterma è una trasformazione a temperaturacostante. Per un gas ideale vale:

W =

∫ Vf

Vi

p(V ) dV = nRT0

∫ Vf

Vi

dVV

= nRT0 (log Vf − log Vi ) (5)

L’energia interna invece non varia perché dipende solo da T :

∆U = U(T0)f − U(T0)i = 0 ⇒ ∆Q = W (6)

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Trasformazioni termodinamiche IVTrasformazione adiabatica I

(Vf,pf)

(Vi,pi)

ΔQ = 0

Una trasformazione adiabatica è una trasformazione senza scambio dicalore:

∆U = ∆Q −W ⇒ ∆U = −W (7)

Per un gas ideale si può dimostrare che

pV γ = cost. ove γ =cp

cV(8)

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Trasformazioni termodinamiche VTrasformazione adiabatica II

(Vf,pf)

(Vi,pi)

ΔQ = 0

Valgono quindi le relazioni:

pV γ = cost. (9)

TV γ−1 = cost. (10)

T γp1−γ = cost. (11)

ma le costanti non sono uguali tra loro.8/24

Relazione di Mayer tra calori specifici I

B = (VB,pB)

A = (VA,pA)

C = (VC,pC)

Prendiamo due trasformazioni una isocora AB ed una isobara BC, taliche A e C siano su un’isoterma. Allora:

∆UAC = U(TC)− U(TA) = U(TA)− U(TA) = 0 (12)∆UAB = U(TB)− U(TA) (13)∆UBC = U(TC)− U(TB) = U(TA)− U(TB) = −∆UAB (14)

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Relazione di Mayer tra calori specifici II

B = (VB,pB)

A = (VA,pA)

C = (VC,pC)

Nella trasformazioneisocora AB si ha

∆UAB = ncV ∆TAB (15)= −ncV ∆TBC (16)

Nella trasformazione isobara BC si ha

∆UBC = ∆Q −W = ncp∆TBC − pB∆V = ncp∆TBC − nR∆TBC (17)

quindi possiamo eguagliare le differenze tra le due energie interne

−ncV ∆TBC = ncp∆TBC − nR∆TBC (18)

ottenendo la relazione di Mayer tra i calori specifici

cp − cV = R (19)

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Relazione di Mayer tra calori specifici III

B = (VB,pB)

A = (VA,pA)

C = (VC,pC)

Ricordandoci i risultatiprecedentemente ottenuti:

U =32

nRT (20)

dU = ncV dT (21)

Possiamo calcolare i calori specifici per un gas ideale (monoatomico):

cV =32

R = 12.5J

mol K(22)

cp = R +32

R =52

R = 20.8J

mol K(23)

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Processi adiabatici IRicaviamo la relazione che caratterizza i processi adiabatici

pV γ = cost., γ =cp

cV(24)

ricordando che in un processo adiabatico dQ = 0

dU = dQ − dW (25)dU = −dW = −p dV (26)dUdT

= −pdVdT

(27)

ricordando che

dU = ncV dT (28)

otteniamo

ncV = −pdVdT

⇒ n dT = − pcV

dV (29)

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Processi adiabatici IIDeriviamo l’equazione dei gas ideali rispetto alla temperatura

ddT

(pV ) =d

dT(nRT ) (30)

dpdT

V + pdVdT

= nR (31)

V dp + p dVR

= n dT (32)

eguagliando con l’espressione precedenete e ricordando checp − cV = R otteniamo

V dp + p dVcp − cV

= − pcV

dV (33)

cV (V dp + p dV ) = −p dV (cp − cV ) (34)cV V dp +���

�XXXXcV p dV = −cpp dV +����XXXXcV p dV (35)

dividendo entrambi i membri per pV

cVdpp

= −cpdVV

(36)

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Processi adiabatici III

Questa è un’equazione differenziale

cV

∫ p1

p0

dpp

= −cp

∫ V1

V0

dVV

(37)

cV [log p]p1p0

= −cp [log V ]V1V0

(38)

log p1 − log p0 = −cp

cV[log V1 − log V0] (39)

fissando p0 e V0 e cambiano di nome p1 = p e V1 = V otteniamo

log p +cp

cVlog V = cost. (40)

ricordando che γ =cpcV

e sfruttando le proprietà dei logaritmi

log (pV γ) = cost. ⇒ pV γ = cost. (41)

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Indice

Trasformazioni termodinamiche

Secondo principio della termodinamica

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Secondo principio della termodinamica

Il secondo principio della termodinamica ha diverse formulazioniequivalenti. Con questo principio si introduce il concetto ditrasformazioni irreversibili.

Secondo principio della termodinamica (Kelvin-Plank)È impossibile per un sistema assorbire il calore di un secondo sistemacon una temperatura omogenea e convertirlo completamente in lavoro,senza che il sistema stesso cambi stato.

Secondo principio della termodinamica (Clausius)È impossibile realizzare un qualunque processo che abbia come unicorisultato il trasporto di calore da un oggetto più freddo ad un oggettopiù caldo, ovvero senza che sia compiuto lavoro esterno.

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Macchine termiche e flussi di calore

TA > TB

TB

ΔQ Flusso dicalorespontaneo

ΔQ

W

Macchinatermica

W

Macchinatermica(refrigeratore)

TA > TB

TB

TA > TB

TB

W + ΔQB=ΔQA

ΔQB ΔQB

ΔQA =W + ΔQB

Le macchine termiche sono macchine in grado di sfruttare delledifferenze di temperatura per compiere lavoro, oppure indurre unflusso di energia termica compiendo lavoro. È possibile schematizzareil funzionamento delle macchine termiche immaginando il flussodell’energia termica e del lavoro attraverso di esse.

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Efficienza di macchine termiche

TA > TB

TB

ΔQ Flusso dicalorespontaneo

ΔQ

W

Macchinatermica

W

Macchinatermica(refrigeratore)

TA > TB

TB

TA > TB

TB

W + ΔQB=ΔQA

ΔQB ΔQB

ΔQA =W + ΔQB

L’efficienza o rendimento di una macchina termica è definita come

η =W|∆Q|

=|QA| − |QB||QA|

(42)

ove W è il lavoro compiuto e |∆Q| è il calore totale assorbito dallamacchina.

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Equivalenza tra formulazioni I

TA > TB

TB

ΔQ

ΔQFlusso dicalore

impossibile(Clausius)

ΔQB

W

Macchinatermica

TA > TB

TB

+

TA > TB

TB

ΔQ

=W

Macchinatermicaimpossibile(Kelvin-Plank)

WW + ΔQB=ΔQA

Se la formulazione di Clausius fosse falsa allora anche quella diKelvin-Plank deve esserlo.

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Equivalenza tra formulazioni II

TA > TB

TB

ΔQ

ΔQ Flusso dicaloreimpossibile(Clausius)

ΔQA=W + ΔQB

W

Macchinatermica

TA > TB

TB

ΔQB

+

TA > TB

TB

ΔQ

=W

Macchinatermica

impossibile(Kelvin-Plank)

W

Se la formulazione di Kelvin-Plank fosse falsa allora anche quella diClausius deve esserlo.

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Ciclo di Carnot I

A

B

C

D

Q1

Q2

T1 = cost.

T2 = cost.

ΔQ = 0

ΔQ = 0

Il secondo principio della termodinamica ci dice che non esistono deiprocessi termodinamici che producono lavoro con un’efficienza del100%. Il ciclo con la migliore efficienza possibile è il ciclo di Carnot,che è costituito da due trasformazioni adiabatiche intervallate da duetrasformazioni isotermiche, tutte reversibili.

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Ciclo di Carnot II

A

B

C

D

Q1

Q2

T1 = cost.

T2 = cost.

ΔQ = 0

ΔQ = 0

I Espansione isoterma (AB): ∆UAB = Q1 −WAB = 0 perché noncambia la temperatura.

I Espansione adiabatica (BC): ∆UBC = WBC 6= 0 perché non c’èscambio di calore.

I Compressione isoterma (CD): ∆UCD = Q2 −WCD = 0.I Compressione adiabatica (DA): ∆UDA = WDA 6= 0.

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Ciclo di Carnot III

A

B

C

D

Q1

Q2

T1 = cost.

T2 = cost.

ΔQ = 0

ΔQ = 0

Ricordando la formula dellavoro in una trasformazioneisoterma:

Q1 = WAB = nRT1 log[

VB

VA

](43)

Q2 = WCD = nRT2 log[

VD

VC

](44)

e le relazioni nelle trasformazioni adiabatiche:

T1V γ−1B = T2V γ−1

C & T1V γ−1A = T2V γ−1

D (45)

quindi, dividendo tra loro le equazioni:

V γ−1B

V γ−1A

=V γ−1

C

V γ−1D

⇒ VB

VA=

VC

VD(46)

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Ciclo di Carnot IV

A

B

C

D

Q1

Q2

T1 = cost.

T2 = cost.

ΔQ = 0

ΔQ = 0

Calcoliamo quindil’efficienza del ciclo diCarnot

η =|Q1| − |Q2|

Q1(47)

ricordando le proprietà dei logaritmi (log[ a

b

]= − log

[ ba

])

|Q1| − |Q2| = nRT1 log[

VB

VA

]− nRT2 log

[VC

VD

]︸ ︷︷ ︸=log

[VBVA

](48)

quindi l’efficienza è

η =(T1 − T2)nR log

[VBVA

]T1nR log

[VBVA

] =T1 − T2

T1(49)

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