Física 3-05

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1

Prof. A.F.Guimares Fsica 3 Questes 5

Questo 1

Seja V o potencial de uma esfera condutora de

raio R = 0,20 m. A esfera possui uma carga q =

500pC. (a) Use a relao para obter uma expresso da capacitncia da esfera condutora. (b)

Calcule V e C para esta esfera.

Resoluo:

a) O potencial da esfera dado por: (1.1)

Assim, teremos: (1.2)

b) Substituindo os valores em (1.1) e (1.2), temos: (1.3)

Questo 2

Um capacitor est ligado em srie com outro de capacitncia , e por meio de uma chave, eles so ligados em srie com uma bateria que fornece

uma tenso V. (a) Explique por que, embora seja diferente de , a carga acumulada em cada capacitor (ligado em srie) a mesma em todos os

capacitores (ligados em srie). (b) Determine o

valor da carga acumulada em cada capacitor em

funo de , de e de V. Resoluo:

a) Na ligao em srie, uma das placas de fica ligada com a placa de . Conforme a figura abaixo.

Da figura podemos concluir que se a placa

vermelha de adquirir carga positiva, ento pelo princpio da conservao da carga eltrica,

necessariamente, a placa azul de ter uma carga de mesmo mdulo da carga da placa

vermelha de , porm de sinal contrrio. Logo, os dois capacitores tero a mesma carga acumulada

em suas placas.

b) Da associao em srie, temos para o capacitor

equivalente:

(2.1)

A carga acumulada no capacitor equivalente, vale:

(2.2)

Como as cargas em e em so iguais e tambm iguais a carga acumulada no capacitor

equivalente, teremos, de (2.2):

(2.3)

Questo 3

A figura 3.1 mostra um capacitor varivel que

usa o ar como dieltrico, do tipo empregado na

sintonia dos aparelhos de rdio. As placas so

ligadas alternadamente, um grupo de placas

estando fixo e o outro podendo girar em torno de

um eixo. Considere um conjunto de n placas de

polaridade alternada, cada uma delas de rea A e

separadas pela distncia d. Mostre que o valor

mximo da capacitncia :

V


2

A

A

d

Figura 3.1

Resoluo:

Observando a figura acima podemos concluir que

para cada grupo de trs placas, temos dois

capacitores idnticos ligados em paralelo. Ento,

para n placas, temos n1 capacitores idnticos

ligados em paralelo. A capacitncia equivalente

ser ento: (3.1)

Em que C ser a mxima capacitncia, dada por: (3.2)

Assim, utilizando (3.1) e (3.2), teremos: (3.3)

Obs.: A mxima capacitncia se d quando as

reas dos capacitores coincidirem. Ou seja, os

capacitores estaro alinhados.

Questo 4

Uma diferena de potencial de 300 V aplicada

ao sistema constitudo pela ligao em srie de

dois capacitores de, respectivamente, e . (a) Qual a carga e a diferena de potencial de cada capacitor? (b) Os dois capacitores

carregados tem suas placas de mesma polaridade

ligadas entre si, na ausncia de qualquer diferena

de potencial externa. Quais os novos valores das

cargas e diferenas de potencial em cada um

deles? (c) Os dois capacitores carregados so

agoras montados com as placas de polaridade

opostas ligadas entre si. Calcule novamente as

cargas e a diferena de potencial em cada um

deles.

Resoluo:

a) Para a ligao em srie, temos para a

capacitncia equivalente:

(4.1)

A carga acumulada nessa associao ser:

(4.2)

Para uma associao em srie, a carga acumulada

em cada capacitor dada por (4.2). Assim,

teremos:

(4.3)

A diferena de potencial para cada capacitor ser:

(4.4)

b) Nessa ligao, a carga total ser:

(4.5)

De tal forma que ocorrer uma redistribuio de

cargas at o equilbrio eletrosttico, em que:

(4.6)

De (4.6) temos:


3

(4.7)

Utilizando os resultados de (4.2) e (4.7) em (4.5),

teremos: (4.8)

Utilizando os resultados de (4.8) em (4.6), temos: (4.9)

c) Utilizando o mesmo procedimento do item (b),

temos: (4.10)

E (4.11)


Questo 5

Uma chapa de cobre de espessura b

introduzida exatamente no meio das placas de um

capacitor plano, que esto separadas pela

distncia d (veja figura 5.1). Qual o valor da

capacitncia antes e depois da introduo da

placa?

Figura 5.1

Resoluo:

Antes:

(5.1)

Depois:

Nesse caso existem dois capacitores em srie, cada

um com uma capacitncia dada por:

(5.2)

Para a associao em srie, teremos:

(5.3)

Questo 6

Quando giramos a chave S da figura 6.1 para a

esquerda, as placas do capacitor de capacitncia adquirem uma diferena de potencial . Inicialmente e esto descarregados. A chave S agora girada para a direita. Quais os valores

das cargas finais , e sobre os capacitores correspondentes?

Figura 6.1

Resoluo:

Com a chave S ligada no ponto da esquerda, o

capacitor adquire uma carga dada por:

(6.1)

Quando a chave S ligada no ponto da direita, a

carga do capacitor redistribuda para todo o sistema de trs capacitores. Assim, pelo princpio

Cobre d b


4

da conservao da carga eltrica, temos: (6.2)

Em que e so respectivamente a nova carga de e a carga da associao em srie de e . Tal distribuio ocorrer at que seja atingido o equilbrio eletrosttico, ou seja:

(6.3)

Ou seja: (6.4)

Em que a capacitncia equivalente da associao em srie dos capacitores 2 e 3, dada

por: (6.5)

Utilizando (6.4) em (6.2), teremos: (6.6)

Agora, utilizando (6.5) no resultado de (6.6),

teremos: (6.7)

Como os capacitores 2 e 3 esto ligados em srie,

eles possuem a mesma carga que dada por (6.7),

portanto: (6.8)

Agora, utilizando (6.4) e (6.7), teremos:

(6.9)

Questo 7

Um capacitor de placas planas e paralelas est

ligado a uma diferena de potencial V. Sem

desconectar o capacitor da bateria, afasta-se uma

das placas de modo que a nova distncia entre

elas seja igual ao triplo da distncia origina.

Determine: (a) a nova capacitncia em funo da

capacitncia inicial . (b) a carga acumulada em funo de e de V. Resoluo:

a) A capacitncia de um capacitor de placas

paralelas dada por:

(7.1)

Assim a carga eltrica ser:

(7.2)

Aumentando a distncia entre as placas teremos:

(7.3)

b) A carga acumulada agora dada por:

(7.4)

Questo 8

Inicialmente, a chave S da figura 8.1 est

desligada; colocam-se, ento, cargas em , em e em . Determine as cargas finais , e quando o sistema atingir o equilbrio eletrosttico, supondo que no haja perda de

carga no processo.


5

Figura 8.1

Resoluo:

Seja q a carga total antes da ligao da chave S: (8.1)

Ligando a chave S, haver uma redistribuio de

carga de tal forma que a carga total deve ser

conservada. Assim, teremos: (8.2)

Em que, , e so as novas cargas dos capacitores. E q dado por (8.1). No equilbrio,

temos: (8.3)

Utilizando (8.3) em (8.2), temos: (8.4)

Logo, de (8.3), teremos: (8.5)

Questo 9

Os capacitores e so ambos carregados a um potencial V (100 V), mas

com polaridades opostas, de tal modo que os

pontos a e c correspondam s respectivas placas

positivas de e , e os pontos b e d correspondem s placas negativas (veja a figura

9.1). As chaves e so, ento, ligadas. (a) Qual a diferena de potencial entre os pontos e e f?

Qual a carga (b) em ? (c) em ?

Figura 9.1

Resoluo:

a) Ligando as chaves, teremos, para a carga total:

(9.1)

Em que (9.2)

E

(9.3)

Utilizando (9.1), e observando que as placas esto

invertidas, teremos:

(9.4)

Teremos remanejamento de cargas entre os

capacitores at que seja atingido o equilbrio

eletrosttico. Assim:

(9.5)

e

f

a

b

d

c

++++

++++ - - - -

- - - - +++ ++

- -


6

Pelo princpio da conservao da carga eltrica,

temos: (9.6)

Utilizando (9.5) em (9.6), teremos: (9.7) (9.8)

E de (9.5), teremos: (9.9)

Questo 10

Um capacitor de placas planas, mas no

paralelas, constitudo por duas placas quadradas

que formam entre si um ngulo , conforme mostra a figura 10.1. O lado do quadrado igual a

a. Determine a capacitncia deste capacitor para

valores de muito pequenos.

Figura 10.1

Resoluo:

Vamos dividir em elementos infinitesimais, de tal

forma que a capacitncia equivalente ser dada

pela integrao.

(10.1)

Em que

(10.2)

Substituindo (10.2) em (10.1), teremos:

(10.3)

Tomando a derivada, temos:

(10.4)

O elemento infinitesimal de capacitncia ser:

(10.5)

Integrando, temos:

(10.6)

Obs.: A integrao se justifica, pois teremos

capacitores infinitesimais em paralelo.

A expanso logartmica em (10.6), para pequeno, dada por:

(10.7)

Substituindo (10.7) em (10.6), teremos:

(10.8)

d

a

a

d

h

a

x

y dx


7

Questo 11

Um capacitor esfrico consiste de duas

camadas esfricas condutoras concntricas, de

raios respectivamente iguais a a e b . Mostre que sua capacitncia igual a

Resoluo:

A diferena de potencial entre as duas esferas

dada por:

(11.1)

Em que q a carga do capacitor. Agora

substituindo o resultado de (11.1) na definio de

capacitncia, teremos: (11.2)

Questo 12

Mostre que as placas de um capacitor plano se

atraem mutuamente com uma fora igual a

Obtenha esse resultado calculando o trabalho

necessrio para aumentar a separao das placas

de x para x + dx.

Resoluo:

O campo eltrico entre as placas tem intensidade

dada por: (12.1)

Em que a densidade superficial de carga, dada por:

(12.2)

O elemento infinitesimal da diferena de potencial

dado por:

(12.3)

O trabalho ser:

(12.4)

Utilizando as expresses de (12.1) at (12.4),

teremos:

(12.5)

Como o trabalho tambm dado por:

(12.6)

Podemos concluir:

(12.7)

Obs.: O sinal negativo indica fora de atrao.

Questo 13

Considere a questo 5. Seja a capacitncia inicial, antes da introduo da chapa de cobre de

espessura b. Determine, em termos de , o trabalho necessrio para introduzir esta chapa de

cobre, supondo que se mantenha constante: (a) a

carga, (b) a diferena de potencial entre as placas.

Resoluo:

Seja dada por (5.1), ou seja:


8

(13.1)

E seja C, a capacitncia aps a introduo da chapa

de cobre, dada por (5.3), ou seja: (13.2)

a) Mantendo a carga constante, temos, para as

energias potenciais acumuladas: (13.3)

Em que e U so respectivamente as energias potenciais antes e depois da introduo da chapa

de cobre. O trabalho ser ento, dado por: (13.4)

b) Agora, mantendo a diferena de potencial

constante, teremos: (13.5)


Questo 14

Uma esfera metlica isolada de 10 cm de

dimetro tem um potencial de 8000 V. Qual a

densidade de energia eltrica na superfcie da

esfera?

Resoluo:

A expresso do potencial gerado na superfcie da

esfera dada por:

(14.1)

E para o campo eltrico:

(14.2)

Assim, nas proximidades da superfcie, o campo

eltrico ser:

(14.3)

Assim, a densidade de energia nas proximidades

da superfcie ser:

(14.4)

Questo 15

(a) Determine a densidade de energia u entre as

placas de um capacitor cilndrico. (b) Determine a

energia U armazenada neste capacitor, usando a

relao , onde dV um elemento de volume.

Resoluo:

Seja o capacitor representado na figura abaixo.

Figura 15.1

Seja a placa interna carregada com carga negativa,

de tal forma que a placa externa tenha a mesma

carga, em mdulo, porm positiva.

a b

l


9

Assim, o campo eltrico estar orientado de fora

para dentro. Aplicando a lei de Gauss, obtemos

para o campo eltrico a seguinte expresso: (15.1)

Em que r a distncia do centro comum at um

ponto entre as placas e q a carga armazenada. A

densidade de energia dada por: (15.2)

Utilizando a expresso de (15.1) em (15.2),

teremos: (15.3)

A energia armazenada ser:

(15.4)

Em que . Assim, utilizando a expresso (15.3), teremos para (15.4):

(15.5)

Questo 16

Seja um capacitor cilndrico de raios a e b, como

ilustrado na figura 15.1. Mostre que metade da

energia potencial eltrica est acumulada no

interior de um cilindro de raio igual a . Resoluo:

Da expresso (15.5), temos: (16.1)

Em que , U a energia total. Assim, teremos:

(16.2)

Questo 17

Uma bolha de sabo esfrica de raio R0 se

encontra em equilbrio no ar. Imagine que voc

introduza uma carga q na superfcie da bolha. Por

causa da repulso coulombiana, o raio da bolha

dever crescer at atingir um valor R no

equilbrio. Determine: (a) o trabalho realizado

durante a expanso da bolha contra a presso

atmosfrica p, (b) a variao da energia eltrica do

sistema, (c) a expresso da carga q em termos de

R0, R, de p e de . Resoluo:

a) O trabalho realizado contra a presso

atmosfrica ser:

(17.1)

b) A capacitncia de uma esfera, utilizado a Terra

como referncia, dada por:

(17.2)

Em que r o raio da esfera. Assim, utilizando

(17.2) teremos para as capacitncias inicial e final:

(17.3)

A energia armazenada em um capacitor dada

por:

(17.4)


10

Assim, utilizando (17.4), teremos para as energias

inicial e final: (17.5)

Logo, a variao de energia ser: (17.6)

c) Sendo o trabalho mecnico igual a diferena de

potencial, teremos: (17.7)

Ento, utilizando (17.1) e (17.6) em (17.7),

teremos: (17.8)

Questo 18

Considere uma esfera dieltrica com uma carga

total Q distribuda uniformemente ao longo do seu

volume. Seja R o raio desta esfera. Determine a

energia potencial eltrica desta esfera atravs: (a)

do clculo da energia total desde r = 0 at o

infinito, (b) atravs da integrao da expresso desde q = 0 at q = Q. Resoluo:

a) Para a densidade volumtrica de carga temos: (18.1)

Utilizando a lei de Gauss para o campo eltrico,

juntamente com (18.1), teremos:

(18.2)

Sabemos que a densidade de energia dada por:

(18.3)

Logo, utilizando o resultado de (18.2) em (18.3),

teremos:

(18.4)

Agora, podemos efetuar a integrao da seguinte

expresso:

(18.5)

Utilizando a equao (18.4) em (18.5) e efetuando

a integrao, teremos:

(18.6)

Agora, tomando o limite da expresso (18.6)

quando b tende ao infinito, teremos:

(18.7)

b) Para tomar o outro caminho sugerido pela

questo, vamos utilizar o resultado (2.3) da

questo 2 do tpico Fsica 3 04 dado por:


11

(18.8)

Para uma distribuio esfrica uniforme de carga

segundo um raio R = r, temos para (18.8): (18.9)

Logo, (18.10)

Desta forma teremos que efetuar:

(18.11)

Porm, medida que acrescentado carga a

esfera aumenta seu volume, porm a densidade

volumtrica de carga deve se manter constante.

Logo, mais conveniente escrever: (18.12)

Agora, subsituindo (18.12) em (18.12) e

integrando, teremos:

(18.13)

Utilizando (18.1), teremos o mesmo resultado de

(18.7).

Questo 19

Uma placa dieltrica de espessura b

introduzida entre as placas de um capacitor plano,

as quais esto separadas pela distncia d. Mostre

que a capacitncia dada por:

Resoluo:

Considere a representao da figura 19.1.

Figura 19.1

Inicialmente, antes da introduo do dieltrico, a

capacitncia era dada por:

(19.1)

Logo, a carga acumulada no capacitor pode ser

escrita por:

(19.2)

Em que a tenso antes da introduo do dieltrico. Agora, considerando que o dieltrico foi

colocado entre as placas, temos que encontrar um

novo valor de tenso, uma vez que a carga

permanece constante. Podemos encontrar a

tenso utilizando a seguinte expresso:

(19.3)

Em que a integrao de caminho deve ser

efetuado da placa 1 para a placa 2. Assim, teremos

para (19.3):

(19.4)

1

2 +

-

b d


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Em que o mdulo do campo eltrico entre as placas antes da introduo do dieltrico. J E o

mdulo do campo eltrico no interior do

dieltrico. A relao dos mdulos dos campos

eltricos dada por: (19.5)

Em que a constante dieltrica do referido dieltrico. Assim, utilizando (19.3), (19.4) e (19.5),

teremos para a nova tenso: (19.6)

Lembrando que a relao entre a tenso inicial e o

mdulo do campo inicial dada por: (19.7)

Da definio de capacitncia, teremos: (19.8)

Com a expresso (19.1), teremos: (19.9)

Questo 20

Circuitos que envolvem capacitores nem

sempre podem ser agrupados em sries e em

ligaes em paralelo. Como exemplo, a figura

20.1a, mostra trs capacitores formando uma ligao delta, assim, chamada em

viturde de sua forma triangular. Essa ligao

possui trs terminais (a, b e c) e, portanto no

pode ser convertida em uma capacitncia

equivalente simples. Podemos mostrar que,

desprezando qualquer efeito sobre circuitos

externos, uma ligao delta equivalente a um

circuito chamado de ligao Y. Por exemplo, a

ligao delta indicada na figura 20.1a pode ser

substituda pela ligao Y indicada na figura 20.1b.

(O nome ligao Y tambm se refere forma

geomtrica da ligao.). Mostre que as equaes

de transformao que fornecem em funo de so dadas por:

(Dica: As diferenas de potencial e devem ser as mesmas nos dois tipos de ligaes. As

cargas e que fluem nos sentidos indicados na figura 20.1a devem ser as mesmas que as cargas e indicadas na figura 20.1b. Obtenha uma relao para em funo de e de e as capacitncias envolvidas em cada circuito e

obtenha uma relao para em funo das cargas para cada circuito. Os coeficientes das

cargas correspondentes nas equaes

correspondentes devem ser iguais para os dois

circuitos.).

(a)

(b)

Figura 20.1

a b

c c

a

c c

b


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Resoluo:

Observando o circuito da figura 20.1a, podemos

escrever:

(20.1)

Observando o circuito da figura 20.1b, escrevemos

tambm:

(20.2)

Assim, mantendo as diferenas de potenciais,

temos:

(20.3)

Utilizando as relaes (20.1), (20.2) em (20.3),

teremos: (20.4)

Para a igualdade em (20.4) ser vlida, devemos

impor: (20.5)

E (20.6)

Procedendo de forma semelhante, temos:

(20.7)

Utilizando as relaes (20.1), (20.2) em (20.7),

teremos:

(20.8)

Agora, utilizando (20.5) e (20.8), teremos:

(20.9)

Agora, substituindo o resultado de (20.9) em

(20.8), e posteriormente, utilizando (20.6),

encontramos as relaes para e . Talvez, o circuito da figura 20.1b tenha inspirado o Doc

Brown a construir a sua mquina de viagem no

tempo.

Questo 21

O capacitor com placas paralelas imerso no ar

indicado na figura 21.1 possui duas placas

condutoras de rea A. A placa inferior repousa

sobre um suporte fixo e a placa superior est

suspensa por quatro molas com constante k,

colocadas nos quatro vrtices da placa, como

mostra a figura. Quando descarregadas, as placas

so separadas por uma distncia . Uma bateria ligada produzindo uma diferena de potencial V

entre as placas. Isso faz a distncia entre as placas

diminuir para z. Despreze os efeitos nas bordas

das placas. A) Mostre que a fora eletrosttica

entre as placas carregadas possui mdulo . B) Obtenha uma expresso que relacione a distncia z com a diferena de

potencial V. A equao resultante ser uma

equao cbica em z. C) Dados os valores , calcule os dois valores de z para os quais a placa do topo permanece em equilbrio.

(Dica: Voc poder resolver a equao cbica

substituindo um valor de z que satisfaa a equao

e a seguir ajustando por tentativa o valor de z que

satisfaa a equao com trs algarismos


14

significativos. Se voc fizer um grfico, poder

localizar os valores iniciais de z para obter o

resultado mais preciso usando o mtodo das

tentativas. Uma das razes da equao cbica

possui um valor negativo que no faz sentido

fsico).

Figura 21.1

Resoluo:

A) Inicialmente, com as placas descarregadas, a

energia armazenada no capacitor nula. No

entanto, com a tenso V aplicada, teremos para a

capacitncia: (21.1)

A energia armazenada no capacitor ser: (21.2)

Utilizando (21.1), teremos: (21.3)

Logo, a variao da energia potencial armazenada

ser: (21.4)

Porm, a energia potencial pode ser encontrada

por: (21.5)

O que implica em:

(21.6)

B) Da expresso da fora elstica podemos

escrever:

(21.7)

C) Utilizando os dados fornecidos pela questo,

teremos:

(21.8)

Com o auxlio de uma planilha, encontrei um valor

aproximado para , dado por:

(21.9)

Questo 22

Duas placas condutoras quadradas, cada qual

com lado igual a L, so separadas por uma

distncia D. Uma placa dieltrica com constante

dieltrica K e com dimenses L x L x D inseria at

uma distncia x no espao entre as placas, como

indica a figura 22.1. A) Calcule a capacitncia C do

sistema. B) Suponha que o capacitor seja

conectado a uma bateria que mantm uma

diferena de potencial constante V entre as placas.

Se a placa dieltrica for inserida at uma distncia

adicional dx no espao entre as placas, mostre que

a variao de energia acumulada dada por:

C) Suponha que, antes de a placa se mover uma

distncia dx, as placas sejam desconectadas da

bateria, de modo que as cargas das placas

permanecem constantes. Determine o mdulo da

carga em cada placa e a seguir mostre que, quando

a placa penetra mais uma distncia dx no interior

A

A k

k k

k + - z ++

--V


15

do espao entre as placas, a energia acumulada

varia de uma quantidade igual em mdulo mas de

sinal contrrio ao valor dU encontrado no item

(B). D) Se F for o mdulo da fora exercida sobre o

dieltrico pelas cargas das placas ento dU deve

ser igual ao trabalho realizado contra essa fora

para deslocar o dieltrico at uma distncia dx.

Portanto, dU = - F dx. Mostre que a aplicao desse

resultado na parte (B) sugere que a fora eltrica

empurra o dieltrico para fora do capacitor,

enquanto o resultado da parte (C) sugere que a

fora empurra o dieltrico para dentro do

capacitor. E) A figura 22.1 mostra que a fora

empurra efetivamente o dieltrico para dentro do

capacitor. Explique a razo pela qual o resultado

da parte (B) fornece uma resposta incorreta para

o sentido dessa fora. (Esse mtodo no exige o

conhecimento do campo nas bordas do capacitor.)

Figura 22.1

Resoluo:

A) Vamos imaginar que o dispositivo da figura

22.1 seja uma associao de dois capacitores em

paralelo. Sendo que um deles possui um dieltrico

entre suas placas. Assim, teremos para os

capacitores sem dieltrico e com o dieltrico

respectivamente: (22.1) (22.2)

Efetuando a associao em paralelo, teremos:

(22.3)

B) Utilizando o resultado (22.3), teremos para a

energia:

(22.4)

Agora tomando a taxa de variao, considerando V

constante, teremos:

(22.5)

Que resulta na expresso solicitada.

C) A carga acumulada dada por:

(22.6)

A energia acumulada, por sua vez, dada por:

(22.7)

Assim, tomando a taxa de variao, teremos:

(22.8)

Em que a carga permanece constante. Agora,

utilizando (22.3) na expresso (22.8), teremos:

(22.9)

x

L

L

D

Placa dieltrica, constante K.


16

Em que .

D) A fora, utilizando o resultado (22.5) ser: (22.10)

Agora, utilizando o resultado (22.9): (22.11)

E) Na expresso (22.5), temos a taxa de variao

de energia que deve ser acumulada nas placas do

capacitor. O que ocorre, nesse caso, com carga

varivel. No entanto o dieltrico puxado para a

regio entre as placas.

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