Practica 3.

Modelo de un circuito RLC con batería

INTRODUCCIÓN

En electrodinámica,  un circuito  RLC  es  un  circuito   lineal  que  contiene una   resistencia  eléctrica, una bobina (inductancia)) y un condensador (capacidad).

Existen dos tipos de circuitos RLC, en serie o en paralelo, según la interconexión de los tres tipos de componentes. El comportamiento de un circuito RLC se describen generalmente por una ecuación diferencial   de   segundo  orden   (en  donde   los   circuitos  RC o RL se   comportan  como  circuitos  de primero orden).

Con ayuda de un generador de señales, es posible inyectar en el circuito oscilaciones y observar en algunos casos el fenómeno de resonancia, caracterizado por un aumento de la corriente.

Los   circuitos   RLC   son   generalmente   utilizados   para   realizar   filtros   de   frecuencias,   o   de transformadores de impedancia. Estos circuitos pueden entonces comportar múltiples inductancias y condensadores: se habla entonces de "red LC".

Suponga que un inductor con una inductancia L y un resistor de resistencia R están conectados en 

serie entre los bornes de un capacitor cargado, formando un circuito RLC en serie. Como lo hemos 

visto, el capacitor se comienza a descargar tan pronto como se completa el circuito. Sin embargo, 

debido a las pérdidas de i2R en el resistor, la energía de campo magnético adquirida por el inductor 

cuando  el   capacitor   se  ha  descargado   totalmente  es  menor  que   la  energía  original  de   campo 

eléctrico del capacitor. Del mismo modo, la energía del capacitor cuando el campo magnético ha 

disminuido a cero es aún más pequeña y así sucesivamente.

MODELO TEÓRICO

Un circuito RLC se compone de los elementos pasivos: resistencia, bobina y condensador. 

La resistencia representa la oposición al paso de corriente, la bobina el retardo en el cambio de intensidad y el condensador la acumulación de carga. 

Veremos el  caso más sencillo,  el  circuito RLC en corriente continua,  es decir,  conectado a una fuente   que   proporciona   al   circuito   una   tensión   constante   en   el   tiempo.  Antes   de   analizar   la corriente que circula por él, veamos algunas características de estos elementos que nos ayudarán en la resolución.

- Resistencia:

 Todos los elementos del circuito que es oponen al paso de corriente y donde se disipa energía por efecto Joule y su valor depende de su geometría  y de la resistividad ρ (ecuación 1).

(1)

Donde l es la longitud, s la sección.

(2)

V representa la caída de potencial en la resistencia debido al paso de corriente. 

 (3)

La ecuación (3) representa la potencia disipada en la resistencia en función de la caída de potencial en la misma. Observamos que su valor nunca podrá ser 0, ya que eso equivaldría a una potencia infinita.

- Bobina: Todos los elementos del circuito en los que se acumula y cede energía en forma de campo magnético. El potencial inducido en la bobina, por la Ley de Lenz, viene dado por la expresión:

(4)

Con  N el  número  de  vueltas  de   la  bobina,  Ф  el  flujo  que   la  atraviesa  y   L   la  autoinductancia. Cualquier cambio en el flujo (o sea, en la intensidad) establecerá un voltaje que podrá retardar (que no evitar) el cambio en la intensidad.

(5)

La ecuación (5) representa la potencia absorbida o cedida por la bobina. Como podemos observar, este elemento no permite un cambio instantáneo (tiempo cero) finito en la intensidad, ya que si esto ocurriese tendríamos un potencial infinito y eso es imposible. 

- Condensador: Todos los elementos del circuito donde se almacena y cede energía en forma de campo eléctrico. Se produce una acumulación de cargas en sus placas dando lugar a una diferencia de potencial entre ellas. Se caracteriza (como los resistores por la resistencia R y la bobina por la autoinductancia L) por la capacidad C, la relación entre la carga acumulada y el potencial entre sus placas:

(6)

De (6) se deriva: (7)

Donde Q es la carga acumulada en las placas y V el potencial entre ellas. La potencia de este elemento viene como:

(8)

Donde I se obtiene de la forma diferencial de C=dQ/dV y sabiendo que I=dQ/dt. De forma análoga a los casos anteriores se extrae que en este elemento no puede haber cambios instantáneos de voltaje, ya que eso llevaría como consecuencia un potencial infinito. 

A estos circuitos también se les llama circuitos de segundo orden, ya que la ecuación que resulta al aplicar las leyes de Kirchoff es una ecuación diferencial de segundo orden. Supongamos un circuito como el de la figura 1 al que conectamos una batería que suministra un voltaje continuo Vb. La segunda Ley de Kirchoff dice lo siguiente:

"La suma de voltajes en una malla cerrada es igual a cero."

Por lo tanto, aplicado a nuestro circuito obtenemos lo siguiente.

(8)

Sustituyendo ahora las ecuaciones (2), (4) y (7) en la (8) obtenemos:

(9)

Que es una ecuación integro-diferencial. Para resolverla derivaremos consiguiendo la ecuación diferencial de segundo orden de la que hablábamos.

(10)

El término dVb/dt ha desaparecido ya que como considerábamos que se trata de una fuente de voltaje constante, la derivada es nula. Para resolver esta ecuación diferencial homogénea de 2º orden procedemos calculando las raíces para obtener una solución del tipo:

(11)

Las raíces correspondientes a la ecuación (10) son:

Si llamamos α=R/2L (constante de amortiguación),    y sustituimos en (11) las soluciones nos quedarán:

(12.1)

(12.2)

Sólo queda saber qué valen las constantes K1 y K2. En el instante t=0, I=0, y eso nos lleva a que 0= K1+K2 es decir, que K2=-K1.

Ahora, dependiendo de las magnitudes de α y ωo la solución será de una manera u otra.

Estuve  leyendo algo  sobre ecuaciones  diferenciales  en el   libro de ecuaciones  diferenciales  con aplicación de modelado de Dennis G. Zill y esta complicado el libro pero bueno poco a poco, en la página 27 hay una breve explicación de este tipo de circuitos en serie. Lo anterior lo saque de unos apuntes de una página web, pero lo estudie y al trascribirlo a esta hoja de Word cerré el link y no logré recuperarlo, me pareció muy interesante y medio fácil de entender. También estudié     un libro de Electrónica Teoría de circuitos de Boylestad 8° edición, muy interesante.

Hay simuladores de circuitos muy interesantes, orcad y proteus que ni pude abrirlos pero vi sus prestaciones.

DESARROLLO

Investiguen el comportamiento de un circuito RLC.  

El comportamiento de un circuito RLC en serie para t>0 viene expresado en función de los valores 

conocidos de la carga y de la corriente en el instante t=0.

Si la resistencia R es relativamente pequeña, el circuito oscila de todos modos, pero con movimiento 

armónico   amortiguado,   y   se   dice   que   el   circuito   está   sub   amortiguado.   Si   se   aumenta   R,   las 

oscilaciones se extinguen con más rapidez, cuando R alcanza cierto valor, el circuito deja de oscilar, 

está críticamente amortiguado. Con valores aún mayores de R, el circuito está sobre amortiguado y 

la carga del capacitor se aproxima a cero con lentitud aún mayor. Utilizamos estos mismos términos 

para describir el comportamiento del sistema mecánico análogo, el oscilador armónico amortiguado.

Corran el modelo y observen lo que ocurre al cambiar el voltaje de la batería.

Aumenten el valor del paso de tiempo entre puntos a Δt=5.0E-3 y observen cómo se visualizan los cambios conforme se modifica el voltaje de la batería. Expliquen cómo se relaciona Δt y n al tiempo de barrido en un osciloscopio.

Cuando por un circuito circula una corriente eléctrica, se crea a su alrededor un campo magnético. Si varía la corriente, dicho campo también variará y, según la ley de inducción electromagnética de Faraday, en el circuito se producirá una fuerza electromotriz o voltaje inducido que se denomina fuerza electromotriz auto Según la ley de Lenz, el sentido del corriente auto inducido será el mismo que el de la corriente inicial si la autoinducción se produce por una disminución de la intensidad, o contrario si la causa es un aumento.

Iniciamos con  t = 4x10-6

Se aprecia la amortiguación de la energía, voltaje en los elementos RCL

El lapso del tiempo es demasiado corto y no se aprecian las oscilaciones del voltaje en los dispositivos.

El aumento del voltaje solo hace de más amplitud las oscilaciones del voltaje, los picos de voltaje son mayores, en el capacitor.

Cambien el valor de la inductancia, la resistencia y la capacitancia.Observen que la gráfica muestra la fuente de voltaje (en gris) así como los voltajes en cada elemento del circuito (los colores se muestran en la parte superior de la pantalla).

Con los valores que se pueden apreciar en el recuadro, el tiempo de saturación del condensador se alcanza en más tiempo porque tiene una mayor capacidad en colombios, el voltaje en la resistencia también cambia menos rápido y por lo tanto su oscilación es diferente, el voltaje en la bobina sucede de igual modo, su amortiguamiento es más lento, hice varios cambios, solo deje este.

Seleccionen un punto específico en el tiempo y mide los voltajes, verifiquen que el voltaje a través del inductor (rojo), el resistor (verde) más el capacitor es igual al valor del voltaje de la fuente (gris).

La suma de voltajes al tiempo t=0.1 es:ΣV=I + R+C= (1.56) + (2.46) + (5.98) = 10V

La suma de voltajes al tiempo t=0.2 es:ΣV=I + R+C= (-5.54) + (1.51) + (14.03) = 10V

En aproximadamente 2.7x10—3 segundos el voltaje de la pila es igual en todos los elementos del circuito RCL, el voltaje es igual al de la fuente en este caso V=50.

Describan lo que ocurre al voltaje a través de cada elemento inmediatamente después de que la fuente de voltaje cambia. Expliquen sus observaciones.

En la gráfica observamos la relación proporcional del voltaje con la resistencia y la inductancia, por otra parte, el capacitor, mantiene la carga inicial, cuando el tiempo trascurre comienza a oscilar hasta llegar al voltaje de la fuente.

La frecuencia de oscilación para oscilaciones no amortiguadas está dada por ω0 = (LC) -1/2. Pongan la resistencia a cero y midan este periodo de oscilación. Seleccionen diferentes valores de L y C y observa la nueva frecuencia. Expliquen si los voltajes del inductor y del capacitor son los mismos.

ω0 =(LC) -1/2= (2*3)  -1/2= 0.40824829En la gráfica observamos que el periodo de oscilación es aproximadamente:ω0 =0.48

ω0 =(LC) -1/2= (5*8)  -1/2= 0.158113883En la gráfica observamos que el periodo de oscilación es aproximadamente:ω0 =(1.85-0.61)=1.24

Como podemos  observar,   los  voltajes  del   inductor  y   capacitor   son   los  mismos.  Para   todas   las combinaciones el voltaje del capacitor oscila hasta un valor máximo de dos veces el voltaje de la fuente, por otra parte el voltaje del inductor oscila hasta un valor mínimo de dos veces menos del voltaje de la fuente.

Debido a la perdida de energía, la frecuencia de las oscilaciones libres ω llega a ser menor ω2 = ω02 –

γ2 donde γ= R/2L. Explica cómo cambian las curvas cuando la resistencia se incrementa y ω0 < γ.

Si se aumenta R, las oscilaciones se extinguen con más rapidez, cuando R alcanza cierto valor, el 

circuito deja de oscilar, está críticamente amortiguado. Con valores aún mayores de R, el circuito 

está sobre amortiguado.

BIBLIOGRAFÍA

http://books.google.com.mx/books?

id=cGTl99kok9UC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f

=false  

Física Tomo II Raymond A. Serway tercera edición.

Johnson, David E.; Hilburn, John L. y Johnson, Johnny R. Analisis básicos de circuitos eléctricos. 

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http://www.fisicapractica.com/rlc.php