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Filtro fir

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filtros digitales

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  • 1. Pgina1 de20 FCEFyN UniversidadNacionaldeCordobaINTRODUCCINALOSFILTROSDIGITSALES FILTROSFIRCAPTULOVIII INTRODUCCION Unfiltroesunsistema,quedependiendodealgunosparmetros,realizaunprocesodediscriminacin deunasealdeentrada obteniendovariacionesensusalida. Losfiltrosdigitalestienencomoentrada unasealdigitalyasusalidatienenotrasealdigital,pudiendohabercambiadoenamplitud,frecuencia ofasedependiendodelascaractersticasdelfiltro. Elfiltradodigitalespartedelprocesadodesealdigital.Seledaladenominacindedigitalmsporsu funcionamiento interno que por su dependencia del tipo de seal a filtrar, as podramos llamar filtro digitaltantoaunfiltroquerealizaelprocesadodesealesdigitalescomoaotroquelohagadeseales analgicas. Elfiltradodigitalconsisteenlarealizacininternadeunprocesadodedatosdeentrada.Elvalordela muestradelaentradaactualyalgunasmuestrasanteriores(quepreviamentehabansidoalmacenadas) son multiplicadas, por unos coeficientes definidos. Tambin podra tomar valores de la salida en instantespasadosymultiplicarlosporotroscoeficientes.Finalmentetodoslosresultadosdetodasestas multiplicacionessonsumados,dandounasalidaparaelinstanteactual.Estoimplicaqueinternamente tantolasalidacomolaentradadelfiltroserndigitales,porloquepuedesernecesariounaconversin analgicodigitalodigitalanalgicoparausodefiltrosdigitalesensealesanalgicas. Losfiltrosdigitalesseusanfrecuentementeparatratamientodigitaldelaimagenoparatratamientodel sonidodigital. TIPOSDEFILTROS Hayvariostiposdefiltrosascomodistintasclasificacionesparaestosfiltros: Deacuerdoconlapartedelespectroquedejanpasaryqueatenanhay: Filtrospasaalto.Filtrospasabajo.Filtrospasabanda. o oBandaeliminada. Multibanda.ProcesamientoDigitaldeSealesFCEFyNUNCINTRODUCCINALOSFILTROSDIGITSALESFILTROSFIR

2. Pgina2 de20 FCEFyN UniversidadNacionaldeCordobaINTRODUCCINALOSFILTROSDIGITSALES FILTROSFIR oPasatodo.oResonador.oOscilador.oFiltropeine(Combfilter).oFiltroranuraofiltrorechazabanda(Notchfilter),etc.Deacuerdoconsuorden: primerordensegundoorden,etc.Deacuerdoconeltipoderespuestaanteentradaunitaria: FIR(FiniteImpulseResponse)IIR(InfiniteImpulseResponse)TIIR(TruncatedInfiniteImpulseResponse)Deacuerdoconlaestructuraconqueseimplementa: DirectaTranspuestaCascadaFaseLinealLaticce EXPRESINGENERALDEUNFILTRODIGITAL En muchas aplicaciones del procesado de seales es necesario disear dispositivos o algoritmos que realicen operaciones sobre las seales y que los englobaremos bajo la denominacin genrica de sistemas. Unsistemaoperasobreunasealdeentradaoexcitacinsegnunareglapreestablecida,paragenerar otrasealllamadasalidaorespuestadelsistemaalaexcitacinpropuestayquepuedesimbolizarse:ProcesamientoDigitaldeSealesFCEFyNUNCINTRODUCCINALOSFILTROSDIGITSALESFILTROSFIR 3. Pgina3 de20 FCEFyN UniversidadNacionaldeCordoba INTRODUCCINALOSFILTROSDIGITSALES FILTROSFIRy[n] = T ( x[n]) (1) dondeTsimbolizalatransformacin,operadoroprocesadorealizadoporelsistemasobrelaseal"x" para producir la seal " y ", ver Figura 1. Una de las motivaciones ms fuertes para el desarrollo de herramientas generales para el anlisis y diseo de sistemas es que proviniendo a menudo de aplicacionesmuydiferentestienendescripcionesmatemticassimilares. Existen varias maneras de representar un sistema, ya que muchos sistemas reales estn construidos comointerconexionesdevariossubsistemas,talcomosegraficaenlaFigura2.Seal de entrada o ExcitacinSeal de salida o RespuestaSISTEMA Figura1:Esquemadesistema,sealdeentradayrespuestaosalidadelsistema. SISTEMA 1SISTEMA 2 a)serieocascadaSISTEMA 1SISTEMA 1+ -SISTEMA 2SISTEMA 2 b)paralelo c)retroalimentacinFigura2:InterconexindeSistemas Existendosmtodosbsicosparaelanlisisdelcomportamientoorespuestadeunsistemalinealauna determinadaentrada.Unprimercaminosebasaenobtenerlasolucindelaecuacinentradasalidadel sistemaqueengeneraltienelaformadelasecuacionesendiferenciaslinealesacoeficientesconstantesam , bk : ProcesamientoDigitaldeSealesFCEFyNUNCINTRODUCCINALOSFILTROSDIGITSALESFILTROSFIR 4. Pgina4 de20 FCEFyN UniversidadNacionaldeCordobaINTRODUCCINALOSFILTROSDIGITSALES FILTROSFIR N a 1am=0mNb 1y[n m] = bk x[n k ] (2) k =0siendo N a y N b losordenesmximosdelasdiferenciasenlaecuacincorrespondientesalasaliday entradadelsistema. Elsegundomtodoparaelanlisisdelcomportamientodelsistemaresideenlaaplicacindelprincipio de superposicin y consiste en descomponer la seal de entrada en una suma pesada de seales elementaleslascualesseescogendemaneraqueseaconocidalarespuestadelsistemaalasmismas. Siguiendo esta lnea, una seal a tiempo discreto puede visualizarse como una secuencia pesada de impulsosunitarios:x[n] = x[k ].[n k ] (3)k =Aplicando la propiedad de superposicin de los SLIT (Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo) (Oppenheim y Willsky, 1983), se puede determinar la salida del sistema ante una cierta entrada de la siguientemanera:y[n] = x[k ].h[n k ] (4)k =siendo h[n] larespuestaosalidadelsistemaanteunaentradaequivalenteaunimpulsounitario [n] , denominada respuesta al impulso del sistema. El segundo miembro de la expresin representa el productodeconvolucindelasealdeentrada x[n] ylarespuestaalimpulsodelsistema h[n] ,estoes:y[n] = x[n] h[n] = h[n] x[n] (5) Tantoenelcasocontinuocomoenelcasodiscreto,larespuestaalimpulsodelsistemaLTIpresentalas siguientespropiedades: a)sinmemoria:h[n] = 0para n 0 b)causal:h[n] = 0para n < 0 c)invertible:dado h[n] existe h '[n] talque h[n]* h '[n] = [n] d)estable:h[n] < k =ProcesamientoDigitaldeSealesFCEFyNUNCINTRODUCCINALOSFILTROSDIGITSALESFILTROSFIR 5. Pgina5 de20 FCEFyN UniversidadNacionaldeCordobaINTRODUCCINALOSFILTROSDIGITSALES FILTROSFIR Existenotrasformasderepresentarunfiltro,todasestasequivalentesalarespuestaalimpulsounitario desistemaSLIT,sinembargomuchasvecesconvienemsunauotrarepresentacin.Enelcasoaplicarla transformada Z, a la ecuacin en diferencias de (2) se obtiene la funcin de transferencia del sistema (OppenheimyWillsky,1983;ProakisyManolakis;1996;OppenheimySchafer,1999): Nb 1H ( z) =b zkamk =o N a 1 m=0k(6)mzjen donde z = Ae es la variable compleja en forma polar. Particularmente si el modulo A = 1 , la expresin(6)sereducealarespuestaenfrecuenciadelsistemaatravsdelatransformadadeFouriera tiempodiscreto(OppenheimyWillsky,1983;ProakisyManolakis;1996;OppenheimySchafer,1999): Nb 1H () =b e j ka j kk =o N a 1 m=0km(7)eendonde eslafrecuenciaangularrelacionadaadichatransformada.Porotrolado,paraelcasode realizar la representacin en el domino temporal discreto o de la variable n, se obtiene la salida del sistema: N b 1N a 1k =0y[n] =m =1 bk x[n k ] am y[n m] (8)dondeloscoeficientes am y bk sonloscoeficientesquedefinenelfiltro,porlotantoeldiseoconsiste encalcularlos.Comoreglageneralsesueledejareltrmino a0 = 1 . FILTROSDIGITALESFIR Los filtros digitales de Respuesta Finita Impulsiva o filtros FIR por sus siglas en ingles Finite Impulse Response,setratadeuntipodefiltrosdigitalesenelque,comosunombreindica,silaentradaesuna sealimpulsolasalidatendrunnmerofinitodetrminosnonulos.Laestructuradesealalasalida delfiltrosebasasolamenteenlacombinacinlinealdelasentradasactualesyanteriores,estoes: ProcesamientoDigitaldeSealesFCEFyNUNCINTRODUCCINALOSFILTROSDIGITSALESFILTROSFIR 6. Pgina6 de20 FCEFyN UniversidadNacionaldeCordobaINTRODUCCINALOSFILTROSDIGITSALES FILTROSFIR N 1N 1k =0k =0y[n] = bk x[n k ] = h[k ] x[n k ] con h[k ] = {h0 h1 K hN 1 } (9) en donde Nes el orden del filtro, quetambin coincide con el nmero de trminos no nulos y con el nmero de coeficientes bk del filtro. Observe que la expresin de la ecuacin (9) corresponde a la convolucindelasealdeentradax[n]conlarespuestaimpulsionaldelfiltroFIRh[n]. AplicandolatransformadaZalarespuestaimpulsionaldelfiltroFIRh[n],setiene: N 1H ( z ) = hk z k = h0 + h1 z 1 + L + hN 1 z ( N 1) (10) k =0EnlaFigura3,semuestraeldiagramaenbloquesdelaestructurabsicadelfiltroFIR,paraunacantidad de12coeficientes. Figura3:RepresentacinendiagramadebloquesdelfiltroFIR,parauntotalde12coeficientes. RESPUESTAALAFRECUENCIAIDEAL YaqueunfiltroFIRidealesaquelsistemadiscretocuyasalidaesunaversinescalada,atravsdeun factor A0 ,ydesfasadadelaentrada,porDmuestras,esdecir:y[n] = A0 x[n D](11)eIfiltronodistorsionalaexcitaci6nx[n]alpermitirelpasodesuscomponentesfrecuencialesenelrango deinters.Rescribiendolafuncindetransferenciadelaecuacin(6)apartirdelconceptoplanteado enlaecuacin(10),tenemos:H ( z) =Y ( z) = A0 z D (12) X ( z)ProcesamientoDigitaldeSealesFCEFyNUNCINTRODUCCINALOSFILTROSDIGITSALESFILTROSFIR 7. Pgina7 de20 FCEFyN UniversidadNacionaldeCordobaINTRODUCCINALOSFILTROSDIGITSALES FILTROSFIR siendolarespuestaenfrecuenciaolatransformadadeFourieratiempodiscretodelfiltroFIRiguala:H (e j ) = H () = A0 e jD (13) Delaecuacin(13)seobservaquelamagnituddeH(ej)esconstanteenelrangodefrecuenciasparael cualfuediseadoelfiltro,ylafasevarialinealmenteconlafrecuencia.Delanlisisanterior,lamagnitud delarespuestaalafrecuenciadediferentestiposdefiltrosdigitalessemuestraenlaFigura4.Recordar queH()esperidicaconperiodo2ysimtricaalrededorde.Obsrvesequeelrangodefrecuencias del filtro es: , lo equivale a decir que (fm/2) f (fm/2) para una seal continua. La gananciadelfiltroesTconelfindecompensarelfactordeatenuacin(1/T)generadoenelprocesode muestreo. En la prctica, las respuestas a la frecuencia mostradas en la Figura 4, no se obtienen. Un filtro implementadofsicamentetienebandasdepaso,transicinyrechazoynosolofrecuenciasdecorte.Un filtropasabajoscuyarespuestaalafrecuenciatieneestascaractersticas,semuestranenlaFigura5. EI siguiente paso es obtener los coeficientes del filtro FIR cuya respuesta a la frecuencia cumpla las especificaciones. Asimismo, se observa que el filtro FIR es estable ya que su funcin de transferencia discretanotienepolosfueradelcrculounitario,(verecuacin9). CARACTERISTICASDELOSFILTROSFIRYALGUNASCONSIDERACIONESDEDISEO ParadisearunfiltroFIResnecesariotenerencuentaquelacantidaddecoeficientesoduracindela respuestaalimpulsodelfiltroessiemprefinita,adiferenciadelarepuestaalimpulsodesurespectivo filtro ideal. Por lo que la respuesta

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