Field theory 2From Wikipedia, the free encyclopedia

Contents

1 Abels irreducibility theorem 11.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Abelian extension 22.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 AbelRuni theorem 33.1 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Lower-degree polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.3 Quintics and higher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.4 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.5 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.9 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.10 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Abhyankars conjecture 74.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5 Abhyankars inequality 95.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6 Absolute Galois group 106.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.3 Some general results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

7 Additive polynomial 147.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

i

ii CONTENTS

7.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.3 The ring of additive polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.4 The fundamental theorem of additive polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

8 Adjunction (eld theory) 168.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168.2 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

9 AKS primality test 189.1 Importance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189.2 Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189.3 History and running time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199.4 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

9.4.1 Example 1: n = 31 is Prime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

10 AlbertBrauerHasseNoether theorem 2310.1 Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2310.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2310.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2310.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2310.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

11 Algebraic closure 2511.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2511.2 Existence of an algebraic closure and splitting elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2511.3 Separable closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2611.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2611.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

12 Algebraic extension 2712.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2712.2 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2812.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2812.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

CONTENTS iii

12.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

13 Algebraic function eld 2913.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2913.2 Category structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2913.3 Function elds arising from varieties, curves and Riemann surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2913.4 Number elds and nite elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3013.5 Field of constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3013.6 Valuations and places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3013.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3013.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

14 Algebraic number eld 3114.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

14.1.1 Prerequisites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3114.1.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

14.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3214.3 Algebraicity and ring of integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

14.3.1 Unique factorization and class number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3314.3.2 -functions, L-functions and class number formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

14.4 Bases for number elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3414.4.1 Integral basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3414.4.2 Power basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

14.5 Regular representation, trace and determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3514.5.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

14.6 Places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3614.6.1 Archimedean places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3614.6.2 Nonarchimedean or ultrametric places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3614.6.3 Prime ideals in OF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

14.7 Ramication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3714.7.1 An example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3814.7.2 Dedekind discriminant theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

14.8 Galois groups and Galois cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3814.9 Local-global principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

14.9.1 Local and global elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3914.9.2 Hasse principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3914.9.3 Adeles and ideles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

14.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4014.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4014.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

15 Algebraically closed eld 42

iv CONTENTS

15.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4215.2 Equivalent properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

15.2.1 The only irreducible polynomials are those of degree one . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4215.2.2 Every polynomial is a product of rst degree polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4215.2.3 Polynomials of prime degree have roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4315.2.4 The eld has no proper algebraic extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4315.2.5 The eld has no proper nite extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4315.2.6 Every endomorphism of Fn has some eigenvector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4315.2.7 Decomposition of rational expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4315.2.8 Relatively prime polynomials and roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

15.3 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4415.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4415.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

16 All one polynomial 4516.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4616.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

17 Alternant code 4717.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4717.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4717.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

18 AnkenyArtinChowla congruence 4818.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

19 Archimedean property 4919.1 History and origin of the name of the Archimedean property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5019.2 Denition for linearly ordered groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

19.2.1 Ordered elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5019.3 Denition for normed elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5119.4 Examples and non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

19.4.1 Archimedean property of the real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5119.4.2 Non-Archimedean ordered eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5119.4.3 Non-Archimedean valued elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5219.4.4 Equivalent denitions of Archimedean ordered eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

19.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5219.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

20 Artin L-function 5420.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

CONTENTS v

20.2 Functional equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5420.3 The Artin conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5520.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5520.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5520.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5520.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

21 Artin reciprocity law 5721.1 Signicance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5721.2 Finite extensions of global elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

21.2.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5821.2.2 Relation to quadratic reciprocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

21.3 Cohomological interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5821.4 Alternative statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5921.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5921.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

22 Artin transfer (group theory) 6122.1 Transversals of a subgroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6122.2 Permutation representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6122.3 Artin transfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

22.3.1 Independence of the transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6222.3.2 Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6222.3.3 Wreath product of H and S(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6322.3.4 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6322.3.5 Wreath product of S(m) and S(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6322.3.6 Cycle decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6422.3.7 Normal subgroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

22.4 Computational implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6422.4.1 Abelianization of type (p,p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6522.4.2 Abelianization of type (p2,p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

22.5 Transfer kernels and targets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6522.6 Abelianization of type (p,p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6622.7 Abelianization of type (p2,p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

22.7.1 First layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6722.7.2 Second layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6722.7.3 Transfer kernel type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6722.7.4 Connections between layers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

22.8 Inheritance from quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6822.8.1 Passing through the abelianization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6822.8.2 TTT singulets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6922.8.3 TKT singulets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

vi CONTENTS

22.8.4 TTT and TKT multiplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7122.8.5 Inherited automorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

22.9 Stabilization criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7322.10Structured descendant trees (SDTs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7522.11Pattern recognition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

22.11.1 Historical example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7622.12Commutator calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7722.13Systematic library of SDTs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

22.13.1 Coclass 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7822.13.2 Coclass 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8122.13.3 Coclass 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

22.14Arithmetical applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8522.14.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8522.14.2 Comparison of various primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

22.15References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

23 ArtinSchreier theory 9123.1 ArtinSchreierWitt extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9123.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

24 Bauerian extension 9324.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9324.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

25 BCH code 9425.1 Denition and illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

25.1.1 Primitive narrow-sense BCH codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9425.1.2 General BCH codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9525.1.3 Special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

25.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9525.3 Encoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9625.4 Decoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

25.4.1 Calculate the syndromes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9725.4.2 Calculate the error location polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9725.4.3 Factor error locator polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9925.4.4 Calculate error values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9925.4.5 Decoding based on extended Euclidean algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10025.4.6 Correct the errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10125.4.7 Decoding examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

25.5 Citations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10325.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

25.6.1 Primary sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

CONTENTS vii

25.6.2 Secondary sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10425.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

26 Berlekamps algorithm 10526.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10526.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10626.3 Implementation in Computer Algebra Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10626.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10626.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

27 BerlekampWelch algorithm 10727.1 History on decoding ReedSolomon codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10727.2 Error locator polynomial of ReedSolomon codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10727.3 The BerlekampWelch decoder and algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10827.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10927.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11027.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11127.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

28 Biquadratic eld 11228.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

29 BrauerSiegel theorem 11329.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

30 BrauerWall group 11430.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11430.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11430.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11430.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

31 BrumerStark conjecture 11631.1 Statement of the conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11631.2 Progress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11631.3 Function eld analogue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11731.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

32 CantorZassenhaus algorithm 11832.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

32.1.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11832.1.2 Core result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11832.1.3 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

32.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11932.3 Implementation in computer algebra systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

viii CONTENTS

32.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12032.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

33 Carlitz exponential 12133.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12133.2 Relation to the Carlitz module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12133.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

34 Characteristic (algebra) 12334.1 Other equivalent characterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12334.2 Case of rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12434.3 Case of elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12434.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

35 Chebotarevs density theorem 12635.1 History and motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12635.2 Relation with Dirichlets theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12735.3 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12735.4 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

35.4.1 Eective Version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12835.4.2 Innite extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

35.5 Important consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12835.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12835.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

36 Chebotaryov theorem on roots of unity 13036.1 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13036.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13036.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13036.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

37 ChevalleyWarning theorem 13237.1 Statement of the theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13237.2 Proof of Warnings theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13237.3 Artins conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13337.4 The AxKatz theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13337.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13337.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

38 Chien search 13438.1 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13438.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

39 ChowlaMordell theorem 136

CONTENTS ix

39.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

40 Class eld theory 13740.1 Formulation in contemporary language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13840.2 Prime ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13940.3 Generalizations of class eld theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13940.4 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13940.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

41 Class formation 14141.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14141.2 Examples of class formations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14141.3 The rst inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14241.4 The second inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14241.5 The Brauer group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14341.6 Tates theorem and the Artin map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14441.7 The Takagi existence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14441.8 Weil group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14541.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14541.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

42 CM-eld 14742.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14742.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14742.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14742.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

43 CMAC 14943.1 Implementations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15043.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15043.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

44 Complete eld 15244.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

45 Complex multiplication 15345.1 Example of the imaginary quadratic eld extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15345.2 Abstract theory of endomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15545.3 Kronecker and abelian extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15545.4 Sample consequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15545.5 Singular moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15645.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15645.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15745.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

x CONTENTS

45.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

46 Composite eld (mathematics) 15846.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

47 Computation of cyclic redundancy checks 15947.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15947.2 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16047.3 Bit ordering (Endianness) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16147.4 Parallel computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

47.4.1 Parallel computation without table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16347.5 Two-step computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16347.6 One-pass checking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16347.7 CRC variants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

47.7.1 Preset to 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16347.7.2 Post-invert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

47.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16447.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16447.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

48 Concatenated error correction code 16548.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16548.2 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16548.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16748.4 Decoding concatenated codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

48.4.1 Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16748.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16848.6 Turbo codes: A parallel concatenation approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16848.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16848.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16848.9 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16948.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

49 Conductor (class eld theory) 17049.1 Local conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

49.1.1 More general elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17049.1.2 Archimedean elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

49.2 Global conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17149.2.1 Algebraic number elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

49.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17149.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

50 Conjugate element (eld theory) 173

CONTENTS xi

50.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17350.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17350.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17450.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

51 Conway polynomial (nite elds) 17551.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17551.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17551.3 Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17651.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17651.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

52 Cubic eld 17752.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17752.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17752.3 Galois closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17852.4 Associated quadratic eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17852.5 Discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17852.6 Unit group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17952.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17952.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

53 Cyclic code 18253.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18353.2 Algebraic structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18353.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

53.3.1 Trivial examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18353.4 Quasi-cyclic codes and shortened codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

53.4.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18453.4.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

53.5 Cyclic codes for correcting errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18453.5.1 For correcting two errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

53.6 Hamming code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18553.6.1 Hamming code for correcting single errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

53.7 Cyclic codes for correcting burst errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18553.7.1 Fire codes as cyclic bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

53.8 Cyclic codes on Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18653.8.1 Fourier transform over nite elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18653.8.2 Spectral description of cyclic codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18753.8.3 Quadratic residue codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

53.9 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18753.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

xii CONTENTS

53.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18853.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18853.13Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18853.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

54 Cyclic redundancy check 19054.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19054.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19154.3 Data integrity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19154.4 Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19154.5 Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

54.5.1 Designing polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19254.6 Specication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19354.7 Standards and common use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19454.8 Implementations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19454.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19454.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19554.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

55 Cyclotomic eld 19755.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19755.2 Relation with regular polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19755.3 Relation with Fermats Last Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

55.3.1 List of Class Numbers to Cyclotomic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19855.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19855.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19855.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

56 Cyclotomic unit 20056.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20056.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

57 Degree of a eld extension 20257.1 Denition and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20257.2 The multiplicativity formula for degrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

57.2.1 Proof of the multiplicativity formula in the nite case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20357.2.2 Proof of the formula in the innite case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

57.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20457.4 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20457.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

58 Dierential Galois theory 20558.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

CONTENTS xiii

58.2 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20558.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20558.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

59 DieHellman problem 20759.1 Problem description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20759.2 Computational complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20759.3 Other variants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20759.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

60 Dirichlets unit theorem 20960.1 The regulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

60.1.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21060.2 Higher regulators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21160.3 Stark regulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21160.4 p-adic regulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21160.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21160.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21160.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

61 Discrete logarithm 21361.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21361.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21361.3 Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21461.4 Comparison with integer factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21461.5 Cryptography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21561.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

62 Discrete valuation 21662.1 Discrete valuation rings and valuations on elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21662.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21662.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

63 Dowling geometry 21863.1 The original denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21863.2 Graphical denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21863.3 Characteristic polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21963.4 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21963.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

64 Drinfeld module 22064.1 Drinfeld modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

64.1.1 The ring of additive polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22064.1.2 Denition of Drinfeld modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

xiv CONTENTS

64.1.3 Examples of Drinfeld modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22164.2 Shtukas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22164.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22164.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

64.4.1 Drinfeld modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22264.4.2 Shtukas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

65 Dual basis in a eld extension 223

66 Eisenstein integer 22466.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22566.2 Eisenstein primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22566.3 Euclidean domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22666.4 Quotient of C by the Eisenstein integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22666.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22666.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22666.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

67 Eisenstein prime 22767.1 Characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22867.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22867.3 Large primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22867.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22867.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

68 Eisensteins criterion 22968.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

68.1.1 Cyclotomic polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23068.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23068.3 Basic proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23168.4 Advanced explanation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23168.5 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

68.5.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23368.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23368.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

69 Elkies trinomial curves 23469.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

70 Elliptic curve cryptography 23670.1 Rationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23670.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23670.3 Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23670.4 Cryptographic schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

CONTENTS xv

70.5 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23770.5.1 Domain parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23770.5.2 Key sizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23870.5.3 Projective coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23970.5.4 Fast reduction (NIST curves) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

70.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23970.7 Security . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

70.7.1 Side-channel attacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24070.7.2 Quantum computing attacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

70.8 Patents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24070.9 Alternative representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24070.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24170.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24170.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24270.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

71 Embedding problem 24471.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24471.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24471.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

72 Equally spaced polynomial 24672.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24672.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

73 Equivariant L-function 24773.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

74 Euclidean eld 24874.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24874.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24874.3 Counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24874.4 Euclidean closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24874.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24974.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

75 Exponential eld 25075.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25075.2 Trivial exponential function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25075.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25175.4 Exponential rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25175.5 Open problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25175.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

xvi CONTENTS

75.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

76 Exponentially closed eld 25376.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25376.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25376.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25376.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

77 FerreroWashington theorem 25577.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25577.2 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25577.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

78 Field (mathematics) 25778.1 Denition and illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

78.1.1 First example: rational numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25878.1.2 Second example: a eld with four elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25978.1.3 Alternative axiomatizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

78.2 Related algebraic structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25978.2.1 Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

78.3 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26078.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

78.4.1 Rationals and algebraic numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26078.4.2 Reals, complex numbers, and p-adic numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26078.4.3 Constructible numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26178.4.4 Finite elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26178.4.5 Archimedean elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26278.4.6 Field of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26278.4.7 Local and global elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

78.5 Some rst theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26278.6 Constructing elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

78.6.1 Closure operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26378.6.2 Subelds and eld extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26378.6.3 Rings vs elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26478.6.4 Ultraproducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

78.7 Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26478.8 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

78.8.1 Exponentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26578.9 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26578.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26578.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26678.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

CONTENTS xvii

78.13Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26678.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

79 Field arithmetic 26879.1 Fields with nite absolute Galois groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26879.2 Fields that are dened by their absolute Galois groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26879.3 Pseudo algebraically closed elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26979.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

80 Field extension 27080.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27080.2 Caveats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27080.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27180.4 Elementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27180.5 Algebraic and transcendental elements and extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27180.6 Normal, separable and Galois extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27280.7 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27380.8 Extension of scalars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27380.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27380.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27380.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27380.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

81 Field norm 27481.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27481.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27481.3 Properties of the norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27581.4 Finite elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27581.5 Further properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27681.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27681.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27681.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

82 Field of fractions 27782.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27782.2 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27782.3 Generalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27882.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27882.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

83 Field trace 27983.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27983.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

xviii CONTENTS

83.3 Properties of the trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28083.4 Finite elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

83.4.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28083.5 Trace form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28183.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28183.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28183.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28183.9 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

84 Field with one element 28384.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28384.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28484.3 Computations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

84.3.1 Sets are projective spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28584.3.2 Permutations are ags . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28584.3.3 Subsets are subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

84.4 Field extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28584.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28684.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28684.7 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28784.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

85 Finite eld 28885.1 Denitions, rst examples, and basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28885.2 Existence and uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28985.3 Polynomial factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

85.3.1 Irreducible polynomials of a given degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29085.3.2 Number of monic irreducible polynomials of a given degree over a nite eld . . . . . . . . 290

85.4 Explicit construction of nite elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29085.4.1 Non-prime elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29085.4.2 Field with four elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29185.4.3 GF(p2) for an odd prime p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29185.4.4 GF(8) and GF(27) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29285.4.5 GF(16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

85.5 Multiplicative structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29385.5.1 Discrete logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29385.5.2 Roots of unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29385.5.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

85.6 Frobenius automorphism and Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29585.7 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29585.8 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

85.8.1 Algebraic closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

CONTENTS xix

85.8.2 Wedderburns little theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29685.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29685.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29685.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29785.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

86 Finite eld arithmetic 29886.1 Eective polynomial representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29886.2 Addition and subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29886.3 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

86.3.1 Rijndaels nite eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29986.4 Multiplicative inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30086.5 Implementation tricks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30086.6 Program examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

86.6.1 C programming example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30186.6.2 D programming example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

86.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

87 FontaineMazur conjecture 30287.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30287.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

88 Formally real eld 30388.1 Alternative Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30388.2 Real Closed Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30388.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30388.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

89 Frobenius endomorphism 30589.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30589.2 Fixed points of the Frobenius endomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30689.3 As a generator of Galois groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30689.4 Frobenius for schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

89.4.1 The absolute Frobenius morphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30789.4.2 Restriction and extension of scalars by Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30789.4.3 Relative Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30989.4.4 Arithmetic Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30989.4.5 Geometric Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31089.4.6 Arithmetic and geometric Frobenius as Galois actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

89.5 Frobenius for local elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31189.6 Frobenius for global elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31289.7 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31289.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

xx CONTENTS

89.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

90 Function eld sieve 31490.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

91 Fundamental theorem of algebra 31591.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31591.2 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

91.2.1 Complex-analytic proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31691.2.2 Topological proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31891.2.3 Algebraic proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31891.2.4 Geometric proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

91.3 Corollaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32091.4 Bounds on the zeros of a polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32191.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32191.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

91.6.1 Historic sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32291.6.2 Recent literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

91.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

92 Fundamental theorem of Galois theory 32592.1 Explicit description of the correspondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32592.2 Properties of the correspondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32592.3 Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32692.4 Example 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32792.5 Example 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32892.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32892.7 Innite case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32892.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

93 Galois cohomology 32993.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32993.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

94 Galois connection 33194.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

94.1.1 (Monotone) Galois connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33194.1.2 Antitone Galois connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

94.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33294.2.1 Monotone Galois connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33294.2.2 Antitone galois connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

94.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33494.4 Closure operators and Galois connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

CONTENTS xxi

94.5 Existence and uniqueness of Galois connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33594.6 Galois connections as morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33594.7 Connection to category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33694.8 Applications in the theory of programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33694.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33694.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

95 Galois extension 33895.1 Characterization of Galois extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33895.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33895.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33995.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

96 Galois geometry 34096.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34196.2 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34196.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34196.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

97 Galois group 34297.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34297.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34297.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34397.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34397.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34397.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34397.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

98 Galois module 34498.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

98.1.1 Ramication theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34498.2 Galois module structure of algebraic integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34498.3 Galois representations in number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

98.3.1 Artin representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34598.3.2 -adic representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34598.3.3 Mod representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34598.3.4 Local conditions on representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

98.4 Representations of the Weil group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34698.4.1 WeilDeligne representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

98.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34798.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34798.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34798.8 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

xxii CONTENTS

99 Galois theory 34899.1 Application to classical problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34899.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

99.2.1 Pre-history . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34899.2.2 Galois writings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35099.2.3 Aftermath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

99.3 Permutation group approach to Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35199.3.1 First example: a quadratic equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35199.3.2 Second example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

99.4 Modern approach by eld theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35299.5 Solvable groups and solution by radicals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

99.5.1 A non-solvable quintic example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35399.6 Inverse Galois problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35399.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35599.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35599.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35599.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

100Galois/Counter Mode 357100.1Encryption and authentication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357100.2Use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358100.3Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359100.4Patents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359100.5Security . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359100.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360100.7Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360100.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360100.9External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

101Gauss sum 362101.1Properties of Gauss sums of Dirichlet characters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362101.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363101.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

102Gaussian integer 364102.1Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364102.2Norm of a Gaussian integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365102.3As a principal ideal domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

102.3.1 As an integral closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365102.3.2 As a Euclidean domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

102.4Historical background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366102.5Unsolved problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

CONTENTS xxiii

102.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366102.7Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367102.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368102.9External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

103Gaussian period 369103.1History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369103.2General denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369103.3Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370103.4Gauss sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370103.5Relationship of Gaussian periods and Gauss sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371103.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

104Gaussian rational 372104.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

105Generalized minimum-distance decoding 373105.1Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373105.2Randomized algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373105.3Modied randomized algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375105.4Deterministic algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375105.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376105.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

106Generic polynomial 377106.1Groups with generic polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377106.2Examples of generic polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378106.3Generic Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378106.4Publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

107Genus eld 379107.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379107.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

108GF(2) 380108.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380108.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380108.3Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380108.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381108.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

109Global eld 382109.1Formal denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382109.2Analogies between the two classes of elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

xxiv CONTENTS

109.3Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383109.3.1 Hasse-Minkowski theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383109.3.2 Artin reciprocity law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

109.4Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383109.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

110Glossary of eld theory 385110.1Denition of a eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385110.2Basic denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .