Field theory 1From Wikipedia, the free encyclopedia

Contents

1 Abels irreducibility theorem 11.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Abhyankars inequality 22.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Additive polynomial 33.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.3 The ring of additive polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.4 The fundamental theorem of additive polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4 Adjunction (eld theory) 54.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5 Algebraic function eld 75.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.2 Category structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.3 Function elds arising from varieties, curves and Riemann surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.4 Number elds and nite elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.5 Field of constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.6 Valuations and places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

6 Algebraic number eld 9

i

ii CONTENTS

6.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.1.1 Prerequisites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.1.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.3 Algebraicity and ring of integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6.3.1 Unique factorization and class number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.3.2 -functions, L-functions and class number formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6.4 Bases for number elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.4.1 Integral basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.4.2 Power basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.5 Regular representation, trace and determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.5.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.6 Places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.6.1 Archimedean places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.6.2 Nonarchimedean or ultrametric places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.6.3 Prime ideals in OF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6.7 Ramication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.7.1 An example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.7.2 Dedekind discriminant theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6.8 Galois groups and Galois cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.9 Local-global principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6.9.1 Local and global elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.9.2 Hasse principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.9.3 Adeles and ideles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6.10 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.11 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.12 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

7 Algebraically closed eld 207.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.2 Equivalent properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7.2.1 The only irreducible polynomials are those of degree one . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.2.2 Every polynomial is a product of rst degree polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.2.3 Polynomials of prime degree have roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.2.4 The eld has no proper algebraic extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.2.5 The eld has no proper nite extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.2.6 Every endomorphism of Fn has some eigenvector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.2.7 Decomposition of rational expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.2.8 Relatively prime polynomials and roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.3 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

CONTENTS iii

8 All one polynomial 238.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

9 Archimedean property 259.1 History and origin of the name of the Archimedean property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269.2 Denition for linearly ordered groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

9.2.1 Ordered elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269.3 Denition for normed elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279.4 Examples and non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

9.4.1 Archimedean property of the real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279.4.2 Non-Archimedean ordered eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279.4.3 Non-Archimedean valued elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289.4.4 Equivalent denitions of Archimedean ordered eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

9.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

10 BrauerWall group 3010.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3010.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3010.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3010.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

11 BrumerStark conjecture 3211.1 Statement of the conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3211.2 Progress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3211.3 Function eld analogue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

12 Characteristic (algebra) 3412.1 Other equivalent characterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3412.2 Case of rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3512.3 Case of elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3512.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

13 CM-eld 3713.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3713.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3713.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3713.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

14 Complete eld 39

iv CONTENTS

14.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

15 Composite eld (mathematics) 4015.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

16 Conjugate element (eld theory) 4116.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4116.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4116.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4216.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

17 Cubic eld 4317.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4317.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4317.3 Galois closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4417.4 Associated quadratic eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4417.5 Discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4417.6 Unit group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4517.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4517.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

18 Dierential Galois theory 4818.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4818.2 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4818.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4818.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

19 Discrete valuation 5019.1 Discrete valuation rings and valuations on elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5019.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5019.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

20 Eisensteins criterion 5220.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

20.1.1 Cyclotomic polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5320.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5320.3 Basic proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5420.4 Advanced explanation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5420.5 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

20.5.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5620.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5620.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

21 Embedding problem 57

CONTENTS v

21.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5721.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5721.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

22 Equally spaced polynomial 5922.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5922.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

23 Equivariant L-function 6023.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

24 Euclidean eld 6124.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6124.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6124.3 Counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6124.4 Euclidean closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6124.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6224.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

25 Exponential eld 6325.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6325.2 Trivial exponential function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6325.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6425.4 Exponential rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6425.5 Open problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6425.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6425.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

26 Exponentially closed eld 6626.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6626.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6626.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6626.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

27 Field (mathematics) 6827.1 Denition and illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

27.1.1 First example: rational numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6927.1.2 Second example: a eld with four elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7027.1.3 Alternative axiomatizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

27.2 Related algebraic structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7027.2.1 Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

27.3 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7127.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

27.4.1 Rationals and algebraic numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

vi CONTENTS

27.4.2 Reals, complex numbers, and p-adic numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7127.4.3 Constructible numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7227.4.4 Finite elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7227.4.5 Archimedean elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7327.4.6 Field of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7327.4.7 Local and global elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

27.5 Some rst theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7327.6 Constructing elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

27.6.1 Closure operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7427.6.2 Subelds and eld extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7427.6.3 Rings vs elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7527.6.4 Ultraproducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

27.7 Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7527.8 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

27.8.1 Exponentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7627.9 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7627.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7627.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7727.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7727.13Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7727.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

28 Field norm 7928.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7928.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7928.3 Properties of the norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8028.4 Finite elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8028.5 Further properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8128.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8128.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8128.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

29 Field of fractions 8229.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8229.2 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8229.3 Generalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8329.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8329.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

30 Field trace 8430.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8430.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

CONTENTS vii

30.3 Properties of the trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8530.4 Finite elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

30.4.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8530.5 Trace form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8630.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8630.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8630.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8630.9 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

31 Formally real eld 8831.1 Alternative Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8831.2 Real Closed Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8831.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8831.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

32 Function eld sieve 9032.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

33 Fundamental theorem of algebra 9133.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9133.2 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

33.2.1 Complex-analytic proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9233.2.2 Topological proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9433.2.3 Algebraic proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9433.2.4 Geometric proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

33.3 Corollaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9633.4 Bounds on the zeros of a polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9733.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9733.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

33.6.1 Historic sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9833.6.2 Recent literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

33.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

34 Fundamental theorem of Galois theory 10134.1 Explicit description of the correspondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10134.2 Properties of the correspondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10134.3 Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10234.4 Example 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10334.5 Example 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10434.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10434.7 Innite case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10434.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

viii CONTENTS

35 Generic polynomial 10535.1 Groups with generic polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10535.2 Examples of generic polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10635.3 Generic Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10635.4 Publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

36 Global eld 10736.1 Formal denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10736.2 Analogies between the two classes of elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10736.3 Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

36.3.1 Hasse-Minkowski theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10836.3.2 Artin reciprocity law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

36.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10836.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

37 Glossary of eld theory 11037.1 Denition of a eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11037.2 Basic denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11037.3 Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11137.4 Types of elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11137.5 Field extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11237.6 Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11337.7 Extensions of Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11437.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

38 Grothendiecks Galois theory 11638.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

39 Ground eld 11839.1 Use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11839.2 In linear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

39.2.1 In algebraic geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11839.2.2 In Lie theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11839.2.3 In Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11839.2.4 In Diophantine geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

39.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

40 Hardy eld 12040.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12040.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12040.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12040.4 In model theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12140.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

CONTENTS ix

41 Hasse invariant of an algebra 12241.1 Local elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12241.2 Global elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12241.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12341.4 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

42 Higher local eld 12442.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12442.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12442.3 Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12542.4 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12542.5 Measure, integration and harmonic analysis on higher local elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12542.6 Class eld theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12542.7 Higher adeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12642.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12642.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12642.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

43 Hurwitz problem 12743.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12743.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

44 Hyper-nite eld 12944.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

45 Hyperreal number 13045.1 The transfer principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13045.2 Use in analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

45.2.1 Calculus with algebraic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13145.2.2 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

45.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13145.4 Development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

45.4.1 From Leibniz to Robinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13245.4.2 The ultrapower construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13245.4.3 An intuitive approach to the ultrapower construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

45.5 Properties of innitesimal and innite numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13445.6 Hyperreal elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13545.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13545.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13645.9 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13645.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

46 Isomorphism extension theorem 137

x CONTENTS

46.1 Isomorphism extension theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13746.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

47 Iwasawa theory 13847.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13847.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13847.3 Connections with p-adic analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13847.4 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13947.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13947.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13947.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14047.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

48 JacobsonBourbaki theorem 14148.1 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14148.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

49 Krasners lemma 14349.1 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14349.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14349.3 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14349.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14449.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

50 Kummer theory 14550.1 Kummer extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14550.2 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14650.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14650.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

51 Levi-Civita eld 14851.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14851.2 Extensions and applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14851.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14951.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

52 Linked eld 15052.1 Linked quaternion algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15052.2 Linked elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15052.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15052.4 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15152.5 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

53 Liouvilles theorem (dierential algebra) 152

CONTENTS xi

53.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15253.2 Basic theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15253.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15353.4 Relationship with dierential Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15353.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15353.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

54 List of number elds with class number one 15554.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15554.2 Quadratic number elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

54.2.1 Real quadratic elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15554.2.2 Imaginary quadratic elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

54.3 Cubic elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15654.4 Cyclotomic elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15654.5 CM elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15654.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15754.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15754.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

55 Local eld 15855.1 Induced absolute value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15855.2 Non-archimedean local eld theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

55.2.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15955.2.2 Higher unit groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15955.2.3 Structure of the unit group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

55.3 Higher-dimensional local elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16055.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16055.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16055.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16155.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16155.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

56 Lroths theorem 16256.1 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16256.2 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16256.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

57 Minimal polynomial (eld theory) 16357.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

57.1.1 Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16357.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16357.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16457.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

xii CONTENTS

58 Mode of a linear eld 165

59 Multiplicative group 16659.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16659.2 Group scheme of roots of unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16659.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16659.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16659.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

60 Nagatas conjecture 16860.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

61 Norm form 16961.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

62 Normal basis 17062.1 Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17062.2 Primitive normal basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17062.3 Free elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17062.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17162.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

63 p-adic number 17263.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17363.2 p-adic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17563.3 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17663.4 Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

63.4.1 Analytic approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17663.4.2 Algebraic approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

63.5 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17863.5.1 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17863.5.2 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17863.5.3 Metric completions and algebraic closures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17963.5.4 Multiplicative group of Qp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18063.5.5 Analysis on Qp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

63.6 Rational arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18063.7 Generalizations and related concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18063.8 Localglobal principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18163.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18163.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18163.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18263.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

64 p-adically closed eld 183

CONTENTS xiii

64.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18364.2 The Kochen operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18464.3 First-order theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18464.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18464.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

65 Perfect eld 18665.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18665.2 Field extension over a perfect eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18765.3 Perfect closure and perfection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18765.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18765.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18765.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18765.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

66 Polynomial basis 18966.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18966.2 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18966.3 Squaring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19066.4 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19066.5 Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19066.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19066.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

67 Primary extension 19267.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19267.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

68 Primitive element (nite eld) 19368.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

68.1.1 Number of Primitive Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19368.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19368.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19368.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

69 Primitive element theorem 19469.1 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19469.2 Existence statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19469.3 Counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19569.4 Constructive results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19569.5 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19569.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19669.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

xiv CONTENTS

69.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

70 Primitive polynomial (eld theory) 19770.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19770.2 Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

70.2.1 Field element representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19770.2.2 Pseudo-random bit generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19870.2.3 CRC codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

70.3 Primitive trinomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19870.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19870.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

71 Pseudo algebraically closed eld 19971.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19971.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19971.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20071.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

72 Pseudo-nite eld 20172.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

73 Purely inseparable extension 20273.1 Purely inseparable extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

73.1.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20273.2 Galois correspondence for purely inseparable extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20373.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20373.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

74 Pythagoras number 20574.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20574.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20574.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20574.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

75 Pythagorean eld 20775.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

75.1.1 Equivalent conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20775.2 Models of geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20775.3 DillerDress theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20875.4 Superpythagorean elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20875.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20875.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

76 Quadratic eld 210

CONTENTS xv

76.1 Ring of integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21076.2 Discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21076.3 Prime factorization into ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21076.4 Quadratic subelds of cyclotomic elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

76.4.1 The quadratic subeld of the prime cyclotomic eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21176.4.2 Other cyclotomic elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

76.5 Orders of quadratic number elds of small discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21176.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21176.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21176.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21176.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

77 Quadratically closed eld 21377.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21377.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21377.3 Quadratic closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

77.3.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21477.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

78 Quasi-algebraically closed eld 21578.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21578.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21578.3 C elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

78.3.1 C2 elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21678.3.2 Weakly Ck elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

78.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21778.5 Citations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21778.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

79 Quasi-nite eld 21979.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21979.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21979.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22079.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

80 Quaternionic structure 22180.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

81 Ramication theory of valuations 22281.1 Galois case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

81.1.1 Decomposition group and inertia group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22281.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22281.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

xvi CONTENTS

82 Rational number 22382.1 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22382.2 Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

82.2.1 Embedding of integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22482.2.2 Equality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22482.2.3 Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22482.2.4 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22482.2.5 Subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22482.2.6 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22482.2.7 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22482.2.8 Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22582.2.9 Exponentiation to integer power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

82.3 Continued fraction representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22582.4 Formal construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22582.5 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22782.6 Real numbers and topological properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22882.7 p-adic numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22882.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22882.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22882.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

83 Rational variety 23083.1 Rationality and parameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23083.2 Rationality questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23083.3 Lroths theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23183.4 Unirationality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23183.5 Rationally connected variety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23183.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23183.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23283.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

84 Real closed eld 23384.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23384.2 Model theory: decidability and quantier elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23484.3 Order properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23484.4 The generalized continuum hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23584.5 Examples of real closed elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23584.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23684.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23684.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

85 Regular extension 237

CONTENTS xvii

85.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23785.2 Self-regular extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23785.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

86 Resolvent (Galois theory) 23986.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23986.2 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24086.3 Resolvent method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24186.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

87 Rupture eld 24287.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24287.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24287.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

88 Separable polynomial 24388.1 Older denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24388.2 Separable eld extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24388.3 Applications in Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24488.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24488.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

89 Serres conjecture II (algebra) 24589.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24589.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

90 Splitting eld 24690.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24690.2 Facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24690.3 Constructing splitting elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

90.3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24690.3.2 The construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24690.3.3 The eld Ki[X]/(f(X)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

90.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24890.4.1 The complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24890.4.2 Cubic example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24890.4.3 Other examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

90.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24990.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24990.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

91 Square class 25091.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

xviii CONTENTS

92 Stark conjectures 25192.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25192.2 Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25192.3 Progress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25192.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25292.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25292.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

93 Strassmanns theorem 25393.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25393.2 Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25393.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25393.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

94 Stufe (algebra) 25494.1 Powers of 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25494.2 Positive characteristic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25494.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25594.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25594.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25594.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25594.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

95 Superreal number 25695.1 Formal Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25695.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25695.3 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

96 Tensor product of elds 25796.1 Compositum of elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25796.2 The tensor product as ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25896.3 Analysis of the ring structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25896.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25896.5 Classical theory of real and complex embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25996.6 Consequences for Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25996.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25996.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25996.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25996.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

97 Thin set (Serre) 26097.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26097.2 Hilbertian elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

CONTENTS xix

97.3 WWA property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26197.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

98 Totally real number eld 26398.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26498.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

99 Transcendence degree 26599.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26599.2 Analogy with vector space dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26599.3 Facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26699.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26699.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

100Tschirnhaus transformation 267100.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267100.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

101Tsen rank 268101.1Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268101.2Norm form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268101.3Diophantine dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268101.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269101.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

102u-invariant 270102.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270102.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270102.3The general u-invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

102.3.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271102.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

103Universal quadratic form 272103.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272103.2Forms over the rational numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272103.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272103.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

104Valuation (algebra) 274104.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

104.1.1 Associated objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275104.2Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

104.2.1 Equivalence of valuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275104.2.2 Extension of valuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

xx CONTENTS

104.2.3 Complete valued elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276104.3Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

104.3.1 -adic valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276104.3.2 P-adic valuation on a Dedekind domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276104.3.3 Geometric notion of contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

104.4Vector spaces over valuation elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277104.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277104.6Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277104.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278104.8External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

105Valuation ring 279105.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279105.2Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280105.3Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280105.4Dominance and integral closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280105.5Ideals in valuation rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281105.6Places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282105.7Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282105.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283105.9Text and image sources, contributors, and licenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

105.9.1 Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284105.9.2 Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290105.9.3 Content license . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

Chapter 1

Abels irreducibility theorem

In mathematics, Abels irreducibility theorem, a eld theory result described in 1829 by Niels Henrik Abel,[1]asserts that if (x) is a polynomial over a eld F that shares a root with a polynomial g(x) that is irreducible over F,then every root of g(x) is a root of (x). Equivalently, if (x) shares at least one root with g(x) then is divisibleevenly by g(x), meaning that (x) can be factored as g(x)h(x) with h(x) also having coecients in F.[2][3]

Corollaries of the theorem include:[2]

If (x) is irreducible, there is no lower-degree polynomial (other than the zero polynomial) that shares any rootwith it. For example, x2 2 is irreducible over the rational numbers and has

p2 as a root; hence there is no

linear or constant polynomial over the rationals havingp2 as a root. Furthermore, there is no same-degree

polynomial that shares any roots with (x), other than constant multiples of (x).

If (x) g(x) are two dierent irreducible monic polynomials, then they share no roots.

1.1 References[1] Abel, N. H. (1829), Mmoire sur une classe particulire d'quations rsolubles algbriquement [Note on a particular class

of algebraically solvable equations], Journal fr die reine und angewandte Mathematik 4: 131156, doi:10.1515/crll.1829.4.131.

[2] Drrie, Heinrich (1965), 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution, Courier DoverPublications, p. 120, ISBN 9780486613482.

[3] This theorem, for minimal polynomials rather than irreducible polynomials more generally, is Lemma 4.1.3 of Cox (2012).Irreducible polynomials, divided by their leading coecient, are minimal for their roots (Cox Proposition 4.1.5), and allminimal polynomials are irreducible, so Coxs formulation is equivalent to Abels. Cox, David A. (2012), Galois Theory,Pure and Applied Mathematics (2nd ed.), John Wiley & Sons, doi:10.1002/9781118218457, ISBN 978-1-118-07205-9.

1.2 External links Larry Freeman. Fermats Last Theorem blog: Abels Lemmas on Irreducibility. September 4, 2008. Weisstein, Eric W., Abels Irreducibility Theorem, MathWorld.

1

Chapter 2

Abhyankars inequality

Abhyankars inequality is an inequality involving extensions of valued elds in algebra, introduced by Abhyankar(1956).If K/k is an extension of valued elds, then Abhyankars inequality states that the transcendence degree of K/k is atleast the transcendence degree of the residue eld extension plus the Q-rank of the quotient of the valuation groups.

2.1 References Abhyankar, Shreeram (1956), On the valuations centered in a local domain, American Journal of Mathemat-

ics 78: 321348, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372519, MR 0082477

2

Chapter 3

Additive polynomial

In mathematics, the additive polynomials are an important topic in classical algebraic number theory.

3.1 DenitionLet k be a eld of characteristic p, with p a prime number. A polynomial P(x) with coecients in k is called anadditive polynomial, or a Frobenius polynomial, if

P (a+ b) = P (a) + P (b)

as polynomials in a and b. It is equivalent to assume that this equality holds for all a and b in some innite eldcontaining k, such as its algebraic closure.Occasionally absolutely additive is used for the condition above, and additive is used for the weaker condition thatP(a + b) = P(a) + P(b) for all a and b in the eld. For innite elds the conditions are equivalent, but for nite eldsthey are not, and the weaker condition is the wrong one and does not behave well. For example, over a eld oforder q any multiple P of xq x will satisfy P(a + b) = P(a) + P(b) for all a and b in the eld, but will usually not be(absolutely) additive.

3.2 ExamplesThe polynomial xp is additive. Indeed, for any a and b in the algebraic closure of k one has by the binomial theorem

(a+ b)p =

pXn=0

p

n

anbpn:

Since p is prime, for all n = 1, ..., p1 the binomial coecient (pn) is divisible by p, which implies that

(a+ b)p ap + bp mod p

as polynomials in a and b.Similarly all the polynomials of the form

np (x) = xpn

are additive, where n is a non-negative integer.

3

4 CHAPTER 3. ADDITIVE POLYNOMIAL

3.3 The ring of additive polynomialsIt is quite easy to prove that any linear combination of polynomials np (x) with coecients in k is also an additivepolynomial. An interesting question is whether there are other additive polynomials except these linear combinations.The answer is that these are the only ones.One can check that if P(x) and M(x) are additive polynomials, then so are P(x) + M(x) and P(M(x)). These implythat the additive polynomials form a ring under polynomial addition and composition. This ring is denoted

kfpg:

This ring is not commutative unless k equals the eld Fp=Z/pZ (see modular arithmetic). Indeed, consider the additivepolynomials ax and xp for a coecient a in k. For them to commute under composition, we must have

(ax)p = axp;

or ap a = 0. This is false for a not a root of this equation, that is, for a outside Fp:

3.4 The fundamental theorem of additive polynomialsLet P(x) be a polynomial with coecients in k, and fw1;:::;wmgk be the set of its roots. Assuming that the roots ofP(x) are distinct (that is, P(x) is separable), then P(x) is additive if and only if the set fw1;:::;wmg forms a group withthe eld addition.

3.5 See also Drinfeld module Additive map

3.6 References David Goss, Basic Structures of Function Field Arithmetic, 1996, Springer, Berlin. ISBN 3-540-61087-1.

3.7 External links Weisstein, Eric W., Additive Polynomial, MathWorld.

Chapter 4

Adjunction (eld theory)

In abstract algebra, adjunction is a construction in eld theory, where for a given eld extension E/F, subextensionsbetween E and F are constructed.

4.1 DenitionLet E be a eld extension of a eld F. Given a set of elements A in the larger eld E we denote by F(A) the smallestsubextension which contains the elements of A. We say F(A) is constructed by adjunction of the elements A to F orgenerated by A.If A is nite we say F(A) is nitely generated and if A consists of a single element we say F(A) is a simple extension.The primitive element theorem states a nite separable extension is simple.In a sense, a nitely generated extension is a transcendental generalization of a nite extension since, if the generatorsin A are all algebraic, then F(A) is a nite extension of F. Because of this, most examples come from algebraicgeometry.A subextension of a nitely generated eld extension is also a nitely generated extension.[1]

4.2 NotesF(A) consists of all those elements of E that can be constructed using a nite number of eld operations +, -, *, /applied to elements from F and A. For this reason F(A) is sometimes called the eld of rational expressions in Fand A.

4.3 Examples Given a eld extension E/F then F() = F and F(E) = E. The complex numbers are constructed by adjunction of the imaginary unit to the real numbers, that is C=R(i).

4.4 PropertiesGiven a eld extension E/F and a subset A of E, let T be the family of all nite subsets of A. Then

F (A) =[T2T

F (T )

In other words the adjunction of any set can be reduced to a union of adjunctions of nite sets.

5

6 CHAPTER 4. ADJUNCTION (FIELD THEORY)

Given a eld extension E/F and two subsets N, M of E then K(M N) = (K(M))(N) = (K(N))(M). This shows thatany adjunction of a nite set can be reduced to a successive adjunction of single elements.

4.5 References[1] Kolchin, E. R. (1973), Dierential Algebra & Algebraic Groups, Pure and Applied Mathematics 54, Academic Press, p.

112, ISBN 9780080873695.

Chapter 5

Algebraic function eld

In mathematics, an (algebraic) function eld of n variables over the eld k is a nitely generated eld extension K/kwhich has transcendence degree n over k.[1] Equivalently, an algebraic function eld of n variables over k may bedened as a nite eld extension of the eld k(x1,...,xn) of rational functions in n variables over k.

5.1 ExampleAs an example, in the polynomial ring k[X,Y] consider the ideal generated by the irreducible polynomial Y2X3 andform the eld of fractions of the quotient ring k[X,Y]/(Y2X3). This is a function eld of one variable over k; it canalso be written as k(X)(

pX3) (with degree 2 over k(X) ) or as k(Y )( 3

pY 2) (with degree 3 over k(Y ) ). We see

that the degree of an algebraic function eld is not a well-dened notion.

5.2 Category structureThe algebraic function elds over k form a category; the morphisms from function eld K to L are the ring homo-morphisms f : KL with f(a)=a for all ak. All these morphisms are injective. If K is a function eld over k of nvariables, and L is a function eld in m variables, and n>m, then there are no morphisms from K to L.

5.3 Function elds arising from varieties, curves and Riemann surfacesThe function eld of an algebraic variety of dimension n over k is an algebraic function eld of n variables over k. Twovarieties are birationally equivalent if and only if their function elds are isomorphic. (But note that non-isomorphicvarieties may have the same function eld!) Assigning to each variety its function eld yields a duality (contravariantequivalence) between the category of varieties over k (with dominant rational maps as morphisms) and the categoryof algebraic function elds over k. (Note that the varieties considered here are to be taken in the scheme sense; theyneed not have any k-rational points, like the curve X2+Y2+1=0 over R.)The case n=1 (irreducible algebraic curves in the scheme sense) is especially important, since every function eld ofone variable over k arises as the function eld of a uniquely dened regular (i.e. non-singular) projective irreduciblealgebraic curve over k. In fact, the function eld yields a duality between the category of regular projective irreduciblealgebraic curves (with dominant regular maps as morphisms) and the category of function elds of one variable overk.The eldM(X) of meromorphic functions dened on a connected Riemann surfaceX is a function eld of one variableover the complex numbers C. In fact, M yields a duality (contravariant equivalence) between the category of compactconnected Riemann surfaces (with non-constant holomorphic maps as morphisms) and function elds of one variableoverC. A similar correspondence exists between compact connected Klein surfaces and function elds in one variableover R.

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8 CHAPTER 5. ALGEBRAIC FUNCTION FIELD

5.4 Number elds and nite eldsThe function eld analogy states that almost all theorems on number elds have a counterpart on function elds ofone variable over a nite eld, and these counterparts are frequently easier to prove. (For example, see Analogue forirreducible polynomials over a nite eld.) In the context of this analogy, both number elds and function elds overnite elds are usually called "global elds".The study of function elds over a nite eld has applications in cryptography and error correcting codes. For example,the function eld of an elliptic curve over a nite eld (an important mathematical tool for public key cryptography)is an algebraic function eld.Function elds over the eld of rational numbers play also an important role in solving inverse Galois problems.

5.5 Field of constantsGiven any algebraic function eld K over k, we can consider the set of elements of K which are algebraic over k.These elements form a eld, known as the eld of constants of the algebraic function eld.For instance, C(x) is a function eld of one variable over R; its eld of constants is C.

5.6 Valuations and placesKey tools to study algebraic function elds are absolute values, valuations, places and their completions.Given an algebraic function eld K/k of one variable, we dene the notion of a valuation ring of K/k: this is a subringO of K that contains k and is dierent from k and K, and such that for any x in K we have xO or x1O. Each suchvaluation ring is a discrete valuation ring and its maximal ideal is called a place of K/k.A discrete valuation of K/k is a surjective function v : KZu{} such that v(x)= i x=0, v(xy)=v(x)+v(y) andv(x+y)min(v(x),v(y)) for all x,yK, and v(a)=0 for all ak\{0}.There are natural bijective correspondences between the set of valuation rings of K/k, the set of places of K/k, andthe set of discrete valuations of K/k. These sets can be given a natural topological structure: the ZariskiRiemannspace of K/k. In case k is algebraically closed, the Zariski-Riemann space of K/k is a smooth curve over k and K isthe function eld of this curve.

5.7 See also function eld of an algebraic variety function eld (scheme theory) algebraic function

5.8 References[1] Gabriel Daniel and Villa Salvador (2007). Topics in the Theory of Algebraic Function Fields. Springer.

Chapter 6

Algebraic number eld

In mathematics, an algebraic number eld (or simply number eld) F is a nite degree (and hence algebraic) eldextension of the eld of rational numbersQ. Thus F is a eld that containsQ and has nite dimension when consideredas a vector space over Q.The study of algebraic number elds, and, more generally, of algebraic extensions of the eld of rational numbers, isthe central topic of algebraic number theory.

6.1 Denition

6.1.1 Prerequisites

Main articles: Field and Vector space

The notion of algebraic number eld relies on the concept of a eld. A eld consists of a set of elements togetherwith two operations, namely addition, and multiplication, and some distributivity assumptions. A prominent exampleof a eld is the eld of rational numbers, commonly denoted Q, together with its usual operations of addition etc.Another notion needed to dene algebraic number elds is vector spaces. To the extent needed here, vector spacescan be thought of as consisting of sequences (or tuples)

(x1, x2, ...)

whose entries are elements of a xed eld, such as the eld Q. Any two such sequences can be added by adding theentries one per one. Furthermore, any sequence can be multiplied by a single element c of the xed eld. These twooperations known as vector addition and scalar multiplication satisfy a number of properties that serve to dene vectorspaces abstractly. Vector spaces are allowed to be innite-dimensional, that is to say that the sequences constitutingthe vector spaces are of innite length. If, however, the vector space consists of nite sequences

(x1, x2, ..., xn),

the vector space is said to be of nite dimension, n.

6.1.2 Denition

An algebraic number eld (or simply number eld) is a nite degree eld extension of the eld of rational numbers.Here its dimension as a vector space over Q is simply called its degree.

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10 CHAPTER 6. ALGEBRAIC NUMBER FIELD

6.2 Examples The smallest and most basic number eld is the eldQ of rational numbers. Many properties of general numberelds, such as unique factorization, are modelled after the properties of Q.

The Gaussian rationals, denoted Q(i) (read as "Q adjoined i"), form the rst nontrivial example of a numbereld. Its elements are expressions of the form

a+bi

where both a and b are rational numbers and i is the imaginary unit. Such expressions may be added,subtracted, andmultiplied according to the usual rules of arithmetic and then simplied using the identity

i2 = 1.

Explicitly,

(a + bi) + (c + d