28. 3. 2007 1

FI-07 Mechanika – pružnost a pevnost

28. 3. 2007 2

Hlavní body• Úvod do nauky o pružnosti a pevnosti• Charakter meziatomových sil.• Napětí a deformace. Hookův zákon.

• Namáhání normálové• Příčná deformace• Namáhání ve smyku

• Tenzory napětí a deformace.

28. 3. 2007 3

Úvod do pružnosti a pevnosti• Další přiblížení se realitě spočívá v tom, že

nebudeme pokládat tělesa za dokonale tuhá: V souladu s realitou ale připustíme jejich deformace, naučíme se je popisovat a pochopíme, jakými se řídí zákony a jak je lze vysvětlit na mikroskopické úrovni.

• Budeme se zabývat pevnými látkami, ale naše úvahy později rozšíříme i na kapaliny.

28. 3. 2007 4

Charakter meziatomových sil I• Makroskopické chování reálných látek je

určeno silami, kterými na sebe působí jejich mikroskopické součásti.

• U pevných látek to jsou zpravidla přímo atomy, které tvoří krystaly nebo amorfní látky.

• U kapalin plynů se jedná spíše o molekuly • Existují ale molekulární i kapalné krystaly

28. 3. 2007 5

Charakter meziatomových sil II• Nejsilnější (a nejdůležitější v anorg. ch.)

druhy vazeb kovalentní a iontová, jsou založeny na sdílení valenčních elektronů vázanými atomy.• U kovalentních vazeb je sdílení téměř

rovnoměrné. Vazby jsou směrové a saturují se.• U iontových strhává elektronegativnější atom

elektrony k sobě a přitažlivost lze popsat jako elektrostatické působení.

28. 3. 2007 6

Charakter meziatomových sil III• Krystaly mají uspořádání na dlouhou

(makroskopickou-srůsty dvojčat) vzdálenost a motiv elementární buňky se pravidelně opakuje. Valenční elektrony jsou sdíleny celým krystalem a za určitých podmínek mohou být nosiči elektrického náboje.

• Amorfní látky jsou uspořádané jen lokálně.

28. 3. 2007 7

Charakter meziatomových sil IV• Aby se látky nezhroutily do sebe, musí

existovat krátkodosahové odpudivé síly.• Interakce je výhodné popisovat pomocí

potenciálu, například Lennard-Jonesova:(r)={(r0/r)12-2(r0/r)6}

• V závislosti energie na vzdálenosti atomů existuje jedno nebo několik minim. To jsou pravděpodobné rovnovážné vzdálenosti.

28. 3. 2007 8

Pružnost I• Z předchozího je patrné, že tělesa nemohou

být dokonale tuhá, ale jejich tvar odpovídá jisté rovnováze vnějších a vnitřních sil.

• Změnou působení vnějších sil vznikají uvnitř síly, které se snaží vyrovnat účinek této změny. Výsledkem je nová rovnováha odpovídající stavu napjatosti.

• Pro malé deformace se při návratu vnějších sil, vrátí i těleso do původní rovnováhy.

28. 3. 2007 9

Napětí I• Ukazuje se, že pro deformační účinek je

rozhodující veličinou působící síla, vztažená na jednotku plochy, na kterou působí: napětí

• Jednotkou napětí je 1 Pascal [Pa]=Nm-2

SF

dSFd

28. 3. 2007 10

Napětí II• Odezva látek může být komplikovaná, ale i

ta nejjednodušší u látek izotropních a homogenních je rozdílná alespoň v tečném a normálovém směru. Proto má význam rozkládat napětí na normálové a tečné:

dSdFn

n dSdFt

t

28. 3. 2007 11

*Hookův zákon I• Mějme tyčku délky l a průřezu S o

zanedbatelné vlastní hmotnosti, zatíženou silou Fn. Potom v každém průřezu tyčky bude stejné napětí n = Fn/S.

• Přesný Hookův zákon: Nekonečně malá deformace je úměrná nekonečně malému napětí a původní délce:

dl = k.l dn

28. 3. 2007 12

*Hookův zákon II• Pro konečné napětí Hookův zákon bohužel

obecně neplatí. Konečné prodloužení musíme získat integrací:

tedy :

llk

ldl

n

l

l

,

ln,

...]2

)(1[2

, nn

k kkllel n

28. 3. 2007 13

Hookův zákon III• U mnoha látek je k velmi malé (např. ocel

k=5.10-12 m2N2). Potom můžeme v rozvoji zanedbat členy od kvadratického výše a Hookův zákon platí i pro konečná napětí:

l = l,-l = k.l n

• Pro deformaci, vyjádřenou jako relativní prodloužení , platí :

nn Ek

ll 1

28. 3. 2007 14

Hookův zákon IV• Napětí je tedy úměrné deformaci.• E se nazývá Youngův modul pružnosti

(v podélném prodloužení) :

a popisuje schopnost látky vzdorovat deformaci.

• Naopak reciproké k znamená “poddajnost”, přesně: prodloužení na jednotku napětí.

Ekn 1

28. 3. 2007 15

Příčné zkrácení I• Podélné prodloužení je vždy doprovázeno

příčným zkrácením (a naopak). Popisujeme jej relativním příčným zkrácením , které je (za podobných podmínek jako výše, tj. malá k1) též úměrné podélnému napětí:

nka

aaa

a 1

,

28. 3. 2007 16

Příčné zkrácení II• Míra změny v příčném směru musí být

charakterizována dalším materiálovým parametrem nebo m :

• Poissonova konstanta: m = /• Poissonovo číslo (poměr): = 1/m = /

nn mEmEkk 11

11

28. 3. 2007 17

Příčné zkrácení III• Podélný a příčný rozměr po deformaci lze

vyjádřit :

• V případě tlaku by bylo možné a správnější uvažovat záporné parametry nebo změnit znaménka ve vztazích, což je bohužel historicky zděděný postup.

)1()1(,

Elll n

)1()1(,

mEaaa n

28. 3. 2007 18

Tlaková deformace objemu I• Mějme krychli V=aaa, na kterou působí stejné

napětí n ze všech směrů – hydrostatický tlak p. U změny rozměrů každé strany se uvažují podélné i příčné změny např.:

a, = a(1-+2). Tedy V, = V(1-+2)3.Po zanedbání kvadratických a vyšších členů:

nmEm

VVV

VV

)2(3)2(3

))2(31(,

,

28. 3. 2007 19

Tlaková deformace objemu II• Protože vlastně n = p, platí pro součinitel

objemové stlačitelnosti :

je to podíl relativního úbytku objemu dělený tlakem, který ji způsobil, tedy relativní úbytek objemu na jednotku tlaku.

EmEm

pVV )21(3)2(31

28. 3. 2007 20

Tlaková deformace objemu III• Předchozí definice naznačuje, že objemová

stlačitelnost se řídí Hookovým zákonem a lze tedy opět definovat příslušný modul objemové pružnosti K :

• Z této definice lze ukázat, meze v nichž musí ležet Poissonovo číslo .

)21(3)2(31

EmmEK

28. 3. 2007 21

*Tlaková deformace objemu IV• Z experimentu plyne, že K a E jsou kladné,

protože délka se napětím prodlužuje a objem tlakem zmenšuje. Současně > 0, protože protažení vyvolává zúžení a naopak. Potom tedy musí být jmenovatel větší než nula a platí :

0 < < 1/2.• Ve skutečnosti je obvykle 1/4 < < 1/2 . • Pro = ½ by se jednalo o nestlačitelné, tedy dokonale

tuhé těleso.

28. 3. 2007 22

Deformace ve smyku I• Způsobí-li tečné napětí t = odchylku u ve

výšce b od pevné podložky, lze definovat relativní deformaci ve smyku jako :

• Pro malé deformace lze opět pozorovat platnost Hookova zákona :

G

kbu 1

3

bu

28. 3. 2007 23

Deformace ve smyku II• V souladu s předchozími definicemi je

• k3 ... součinitelem smykového posunutí a má význam poddajnosti materiálu a

• G ... modul pružnosti ve smyku s významem odporu materiálu vůči deformaci ve smyku.

28. 3. 2007 24

Deformace izotropních látek• Celkově je tedy možné charakterizovat

elastické chování izotropních látek pomocí tří parametrů: například modulů G a E a Poissonovy konstanty m.

• Ukazuje se, že z těchto parametrů jsou ale jen dva nezávislé. Platí totiž vztahy :

)1(2)1(2

EmmEG

28. 3. 2007 25

*Deformace neizotropních látek I• V obecném případě neizotropních těles je

nutné napětí i deformaci vyjádřit pomocí symetrických tenzorů druhého řádu a .ij je j-tá složka napětí působící na plošku

kolmou k ose i.pq je výchylka plošky kolmé k ose p ve směru

osy q.

28. 3. 2007 26

*Deformace neizotropních látek II

• Zobecněný Hookův zákon je možné vyjádřit jako:ij = Cijpq pq

• Cijpq je obecně 36 nezávislých elastických parametrů.• Každá symetrie znamená i symetrií v C, tedy nějakou

vzájemnou relaci, čili i snížení počtu nezávislých materiálových parametrů.

• Nejtriviálnější je symetrie vůči záměně dvojic ij a pq. Ta snižuje počet nezávislých parametrů na 21. Tento počet odpovídá monokrystalům v triklinické soustavě.

• Amorfní nebo polykrystalické látky se chovají jako izotropní a zůstávají u nich dva parametry E a G.

28. 3. 2007 27

Platnost Hookova zákona• Průběh namáhání látek se obvykle

zobrazuje jako závislost napětí na deformaci. Má následující oblasti a meze:• úměrnosti ... zde platí Hookův zákon• elasticity ... návrat do původního tvaru• plasticity ... zůstává trvalá deformace• kluzu ... velká změna chování• pevnosti ... porušení materiálu

28. 3. 2007 28

Tekutiny I• Důležitá část fyziky se zabývá mechanikou

kapalin a plynů, které mají společné označení tekutiny. Z hlediska elastických vlastností je lze definovat následovně:• kapaliny ... E velké, G malé• plyny ... E malé, G malé

28. 3. 2007 29

Tekutiny II• Pro odhalení základních mechanických vlastností

kapalin a plynů je vhodné začít od ideální kapaliny a později zavádět korekce, popisující jemnější chování například viskozitu a stlačitelnost.

• Ideální kapalina má E nekonečné a G nulové. Čili ideální kapalina je nestlačitelná, ale neexistují v ní smyková napětí ani deformace.