準モンテカルロ法を用いた

多段階ワイブル劣化ハザードモデルの

ベイズ推定

大阪大学大学院博士後期課程

水谷大二郎

大阪大学大学院准教授

貝戸清之

大阪大学大学院博士前期課程

坂口創

京都大学経営管理大学院教授

小林潔司

○

発表の流れ

1. はじめに- 研究背景，動機，目的

2. 方法論- 多段階ワイブル劣化ハザードモデル

- ベイズ推定（マルコフ連鎖モンテカルロ（MCMC）法）

- 準モンテカルロ法

3. 適用事例

- 実在する高速道路伸縮継手装置の劣化予測

4. おわりに

キーワード

❏ アセットマネジメント

❏ モデル推定時間

❏ 統計的劣化予測モデル

❏ 時間依存型劣化過程

2

研究背景

3

❏ 社会基盤施設のアセットマネジメント

劣化過程の定量化 統計的劣化予測モデル

ワイブル劣化ハザードモデル（青木等，2005）

マルコフ劣化ハザードモデル（津田等，2005）

多段階ワイブル劣化ハザードモデル（青木等，2005）

混合マルコフ劣化ハザードモデル（小濱等，2008）

隠れマルコフ劣化ハザードモデル（小林等，2008）

多元的劣化過程モデル（水谷等，2014）

最尤推定

ベイズ推定（マルコフ連鎖モンテカルロ（MCMC）法）

動機

4

アセットマネジメントのシステム化，実践

劣化予測モデル推定時の計算負荷が問題となる

❏ 社会基盤施設のアセットマネジメント

劣化過程の定量化 統計的劣化予測モデル

❏ 目標のひとつとして

マネジメントアプリケーション- 橋梁マネジメントシステム（BMS）- 舗装マネジメントシステム（PMS）

アセットマネジメント国際規格化- ISO 5500X

劣化予測結果の逐次更新

目的

5

社会基盤施設の劣化予測モデルにおける

数値計算負荷低減のための方法論の開発

準モンテカルロ法を用いて

多段階ワイブル劣化ハザードモデルを

MCMC法によるベイズ推定

ワイブル劣化ハザードモデル

6

1)exp()( yy βx

❏ ハザード関数（劣化速度）

劣化状態が使用可能か否かの2値状態で評価

β：未知パラメータベクトルx：説明変数ベクトル（交通量など）

α：加速度パラメータy：経過時間

❏ 生存関数

yyF )exp(exp)(~

βx

❏ 寿命の確率密度関数

yyyf )exp(exp)exp()( 1βxβx

多段階ワイブル劣化ハザードモデル

7

劣化状態が離散的な多段階の健全度 i (i=1,…, I)で評価

1)exp()(

i

iiiii yy βx

❏ 健全度 i ，i+1間のハザード関数（劣化速度）

110 0 0

1

1

1

1

1

1

2

1 ~)(

i

s s s i

m

mi

i

m

mmi ddsFfs

i

m m

❏ 健全度推移確率

積分の解を解析的に求めることが不可能

乱数を用いた数値計算（反復計算）

MCMC法によるベイズ推定

8

❏ ベイズの定理

（パラメータの事後確率密度関数）

∝（尤度関数）×（パラメータの事前確率密度関数）

❏ パラメータの事後確率密度関数

I

i

N

n ni

niniI

i i

ib

i

I

i

K

k

i

s s s i

m

mi

i

m

mm

l

ddsFff

i

kii

m m

1 12

,

2

,,

1

1

1 1

110 0 0

1

1

1

1

)(2

)(expexp)(

~)|(

1

2

1

γ

メトロポリス・ヘイスティングス（MH）法による反復計算

モデル推定時の計算フロー

9

MCMC法（MH法）のc回目のループ

m個目のサンプルの尤度の計算（積分計算）

z個目のパラメータのサンプリング

初期設定

アルゴリズムの終了

m=M？

z=Z？

c=C？

Yes

No

Yes

m=m+1

No

z=z+1

No

c=c+1Yes

M×Z×C回の

積分計算

例えば，

M=2,000

Z=7

C=10,000

さらに，

モンテカルロ法での

乱数発生

準モンテカルロ法

10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

乱数

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

準乱数

モンテカルロ法で用いる乱数の代わりに準乱数を使用

乱数発生個数低減により，計算時間を短縮

適用事例

11

❏ 高速道路ゴム製伸縮継手装置への適用

健全度 損傷状態

1損傷および劣化はない．

非常に軽微で記録する必要がない．

2 漏水跡がある．

3 漏水がある．

4たたき音がある．

著しい漏水，止水材の損傷・欠損がある．

【データ諸元】

供用開始年：1977～2003年

点検実施年：1993～2010年

サンプル総数：701サンプル

推定結果

12

多段階ワイブル劣化ハザードモデルをベイズ推定

健全度加速度

パラメータ定数項 車線種別

1 2.26 -5.05 -0.47

2 1.29 -1.94 -

3 7.80 -18.3 -

❏ 上記の値（推定値）は事後分布の期待値

❏ 個々のパラメータのベイズ信用域の算出が可能

❏ パラメータの収束はGeweke検定統計量を用いて確認済み

伸縮装置の期待劣化パスとベイズ信用域

13

1

2

3

4

0 5 10 15 20 25 30 35 40

健全度

経過年数

推定精度と計算回数

14

0

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0.0005

0.0006

0 200 400 600 800 1000

状態推移確率の誤差の絶対値

乱数の発生個数

準モンテカルロ法

モンテカルロ法

真値は，20,000個の乱数を

用いたモンテカルロ法の値

個々の状態推移確率に対して，

計算精度と乱数発生個数の

関係を考察

❏ 準乱数と乱数を200個ずつ10,000回発生

計算値の90%信頼区間

準モンテカルロ法：(4.974E-4, 5.297E-4)

モンテカルロ法：(4.536E-4, 5.761E-4)

計算時間

15

約 36 時間

一度の積分計算での準乱数の発生個数：200個

MCMC法のループ数：13,000回

パラメータ数：7個

準モンテカルロ法と同等の推定精度を目指す場合，

モンテカルロ法では

数十倍～数百倍の計算時間が必要

マルコフ性と時間依存性

16

加速度パラメータの事後分布を用いて時間依存性の有無（パラメータが1か否か）の仮説検定も可能

1

2

3

4

0 20 40 60 80

健全度

経過年数

多段階ワイブル劣化ハザードモデル期待寿命95%信用域

マルコフ劣化ハザードモデル期待寿命95%信用域

時間依存型劣化予測モデルの発展可能性

17

マルコフ劣化ハザードモデル（積分に数値計算不要）

ベイズ推定（MCMC法）

混合マルコフ劣化モデル

隠れマルコフ劣化モデル

多元的劣化過程モデル

多段階ワイブル劣化ハザードモデル（積分に数値計算必要）

本研究

混合多段階ワイブルモデル

隠れ非斉次マルコフ劣化モデル

時間依存型多元的劣化過程モデル

おわりに

18

❏ 社会基盤施設の統計的劣化予測モデルの計算負荷軽減のため，

準モンテカルロ法を用いた方法論を開発

❏ 多段階ワイブル劣化ハザードモデルをベイズ推定

❏ 数十倍から数百倍の計算時間低減

【今後の課題】

❏ 適用事例の拡大

❏ 準MCMC法の開発（独立MH法では適用可能だと考えられる）