Fernandez El ProblemadeProblemas Alg

8/17/2019 Fernandez El ProblemadeProblemas Alg

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En Gómez, P., y Rico, L. (Eds.). Iniciación a la investigación en didáctica de la matemática. Homenaje al profesor Mauricio Castro

. Granada: Editorial Universidad de Granada.

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APÍTULO

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[email protected] de Granada

En la realización de mi tesis, como en la mayoría de los trabajos de investigación,

fue necesario ir solventando una serie de cuestiones que nacieron con el progreso

del estudio. Uno de ellos, y no el de menor importancia, fue precisar los términos

a los que se estaba aludiendo. Esto ha servido para delimitar el significado de

vocablos y conceptos que se han a utilizado a lo largo de toda la tesis. En este

caso voy a describir, a grandes rasgos, los elementos que se han tenido que definir

(variables de control de tareas, contextos, etc.) para conseguir un conjunto de

problemas verbales algebraicos, que han determinado un instrumento fiable de

evaluación de las competencias del álgebra para los estudiantes de la Enseñanza

Secundaria Obligatoria (12-16 años).

T

ÉRMINOS

CLAVE

Una cuestión que todavía genera polémica se refiere a lo que se viene a considerarcomo “un problema algebraico”. No obstante, como mi trabajo de investigación giraen torno a la evaluación de competencias algebraicas a través de problemas verba-les

, se hace imprescindible hacer explícito el significado que se adopta para cada unode los términos que se emplean en el estudio. Voy a señalar los más relevantes y quese pueden destacar por su utilización frecuente en muchos otros estudios, por lo quepuede ser conveniente para otras referencias.

Instrumento de evaluación

Partimos de la definición que el Diccionario de Vocabulario Científico y Técnico

(Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, 1990) nos ofrece de instru-mento

: “dispositivo diseñado para llevar a cabo cualquier tipo de observación u ope-ración” (p. 396).

La evaluación, en general, se puede considerar como el proceso de identificar,obtener y proporcionar información útil acerca del valor o mérito de un objeto deter-


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minado, con el fin de servir de guía para la toma de decisiones y promover la com-prensión de los fenómenos implicados (Stufflebeam y Shinkfield, 1987).

Para el caso de la evaluación en matemáticas consideramos que es un proceso sis-temático y continuo, encaminado a clarificar complejos mecanismos que se dan enlos procesos de aprendizaje de las matemáticas, mediante la utilización de técnicas yprocedimientos científicos, con la intención de facilitar la toma de decisiones (Tor-tosa y col., 1995).

Las técnicas y procedimientos han de utilizar dispositivos que proporcionen lainformación necesaria que posibilite la emisión de juicios y decisiones. Estos disposi-tivos son los que hemos llamado instrumentos de evaluación

.Los instrumentos de evaluación pueden ser muy variados. Una clasificación muy

genérica podría ser:• Instrumentos establecidos sobre tareas escritas

• Instrumentos establecidos sobre tareas orales

• Instrumentos establecidos sobre observaciones.

Nuestro interés estriba en instrumentos del primer tipo. Algunos ejemplos de los másfrecuentes para la evaluación en matemáticas escolares son:

los exámenes o controlesclásicos formados por cuestiones teóricas y prácticas, las pruebas de papel y lápiz cuyocontenido son problemas (ya sean verbales o no), cuadernos de trabajo, informes, por-tafolios, investigaciones por parte de los alumnos y otros menos aceptados, comopruebas objetivas o tests de distinta índole.

En nuestro caso se decidió construir un instrumento cuyas tareas consisten en laresolución, mediante papel y lápiz, de diversos problemas verbales algebraicos.Mediante estas tareas nos propusimos observar los sistemas de representación utiliza-dos y las competencias mostradas por los estudiantes durante la resolución de losproblemas propuestos.

Problema verbal

Para una revisión general de la noción de problema, de los tipos de problemas y delas variables principales que se consideran en las investigaciones sobre resolución deproblemas, nos remitimos a los trabajos de Castro (1991, 1995).

Por lo que a nuestro trabajo se refiere, seguimos la propuesta de Gerofski (1996)en el sentido de que la mayoría de los problemas verbales se caracterizan por tres

componentes:Una componente de “puesta en escena”, los caracteres y la localización de la his-toria que tiene lugar aunque esta componente, a menudo, no sea esencial para la solu-ción misma del problema.

• Una componente de “información”, que da los datos que se necesitan pararesolver el problema. A veces se da información irrelevante como señuelopara producir recelo en un resolutor inseguro.

• Una cuestión o pregunta para la que hay que encontrar respuesta.


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Sobre esta estructura hay variaciones; por ejemplo, las componentes puesta en escena

e información

, a veces, se unifican en una sentencia por la utilización de cláusulas su-bordinadas, o la componente información

se funde con la pregunta

en una sentenciasimple usando una estructura de subjuntivo “si..., entonces”.

De acuerdo con Pimm (1995), la naturaleza de las historias contenidas en los pro-blemas algebraicos es relevante para los estudiantes en términos de interés y en tér-minos de disposición de los estudiantes para resolver el problema completo. Nesher(1980) ha criticado seriamente la naturaleza estereotipada de los problemas escolares,por sus implicaciones para el significado que los escolares atribuyen al enunciado delproblema. La mayoría de los especialistas sostienen que la cercanía al entorno escolaren la elección de los contextos donde se desarrollan las historias, puede favorecer la

compresión de la situación descrita en el problema y, con ello, las relaciones entre losdatos e incógnitas. Igualmente, el texto del problema no debe de crear dificultadesañadidas de legibilidad para los escolares a los que va dirigido.

Los problemas verbales que vamos a proponer son problemas algebraicos que seajustan al modelo básico descrito por Gerofski (1996); es decir, estarán estructuradosen las tres componentes citadas y en el orden indicado: una puesta en escena, unainformación y una pregunta. Los datos se darán en el texto mediante frases concisas,sin excesivo verbalismo, separadas por un signo ortográfico (coma o punto) y no con-tendrán datos superfluos.

Ejemplo de un problema verbal propuesto:

David y Reme deciden ir a un concierto. David compra una entrada, pero Remeva a un sitio mejor donde la entrada cuesta 2,7 veces la de David. En total han

pagado 5.550 ptas. por las dos entradas. ¿Cuánto cuesta cada una de las entra-das?

Problema algebraico

Se trata de establecer cuándo un problema se considera que tiene contenido alge-braico, a diferencia de uno aritmético. La línea divisoria no está claramente determi-nada, según juicio de expertos.

Wagner y Kieran (1989) se hacen algunas preguntas acerca de la naturalezaaritmética o algebraica de los problemas verbales. Entre ellas recogemos las siguien-tes:

• ¿Qué es un problema verbal algebraico? ¿Hay problemas que son intrínse-camente más algebraicos que aritméticos?

• ¿Qué hace a un método de resolución ser más algebraico que aritmético?¿Hay jerarquías cognitivas con respecto a los modos de representación(lenguaje natural, gráfico, numérico, simbólico, etc.) que justifiquen unanálisis en resolución de problemas algebraicos?

Estas preguntas también nos las hemos hecho y no parece que haya una opinión admi-tida o compartida por la generalidad de la comunidad de investigadores en educaciónocupada por estos temas.


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Hemos encontrado algunos autores, como Palarea y Socas (1995), que hacen dependerla distinción entre un problema aritmético y uno algebraico del sistema de representa-ción elegido para su resolución. Sin embargo, Lesh, Post y Behr (1987) hacen esta dis-tinción puntualizando en que el problema algebraico requiere “primero describir ydespués calcular” (p. 657).

Otros autores, como Kieran (1992) y Stacey (1995), utilizan en sus estudios einvestigaciones como problemas algebraicos aquellos que implican relaciones mate-máticas en las que el signo “=” no es sinónimo de efectuar una operación aritmética,sino un signo de equilibrio entre el miembro que está a su izquierda y el que está a suderecha. Ambos miembros contienen cantidades que se operan aritméticamente.

Un ejemplo tomado de Palarea y Socas (1995), que se propone como problemaalgebraico, es el que sigue:

“Un automóvil parte del punto A con velocidad uniforme de 40 km/h hacia otropunto B. Dos horas después sale de A hacia B otro automóvil con velocidad uni-forme de 60 km/h. ¿Cuánto tiempo tardarán en encontrarse?

Nuestro criterio se basa en la interpretación de Kieran y Filloy (1989), Kieran (1992)y Stacey (1995), pues la elección de un sistema de representación más cercano al cam-po de la Aritmética o del Álgebra para su resolución depende, en gran medida, del re-solutor y no del problema en sí.

Teniendo en cuenta el criterio indicado, hemos considerado los problemas usualesdel currículo del Álgebra Escolar en Secundaria e, igualmente, indagado sobre pro-blemas ya contrastados en otros estudios algebraicos, por lo que los problemas que

hemos elegido como algebraicos han sido tomados y adaptados, en la mayoría de loscasos, de materiales curriculares y otros trabajos de investigación sobre cuestionesalgebraicas realizados por distintos autores. No obstante, en todos los casos loshemos contrastado mediante juicio de expertos que los han considerado como alge-braicos.

Por estas razones hemos seleccionado un conjunto de problemas verbales alge-braicos que responden a problemas que se pueden resolver mediante el planteamientode ecuaciones lineales. En unos casos la resolución se puede hacer a través de unaecuación lineal con una incógnita, y en otros es necesario plantear y resolver un sis-tema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

V

ARIABLES

DE

CONTROL

EN

LA

TAREA

Una vez decidido lo que se va a considerar como “un problema algebraico”, es nece-sario estructurar los problemas a fin de obtener un instrumento de evaluación cohe-rente por el tipo de tareas y fiable en cuanto a su aplicación. Esto lleva establecer unaserie de variables mediante las cuales controlar la construcción de los ítems y su cla-sificación.

Para controlar mejor el proceso acordamos reducir la variabilidad de contextos delos problemas y combinarlos según las variables elegidas.

Consideramos, pues, variables controladas:


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• los contextos de los problemas,

• el número de incógnitas,

• el tipo de números en los datos y

• la presencia de gráficos o dibujos en el texto.

Variables de tarea

Según los sondeos previos efectuados en una de las prueba piloto previa, se ha detec-tado la influencia de tres variables de tarea, que vamos a controlar mediante equipre-sencia del modo que se indica:

1) V

1

= nº de incógnitas necesarias

. En la propia instrucción algebraica hay distin-

ción, tanto en los textos como la temporalización, de problemas algebraicos deecuaciones

y problemas algebraicos de sistemas

. Tomamos, pues, dos alternativas:

a. Problemas de una incógnita: cuando en el texto del problema subyace una rela-ción lineal algebraica independiente, fácilmente deducible. Es decir, cuandopara su resolución no es necesario utilizar más de una relación (ecuaciónlineal), aunque sean dos las cantidades a determinar en la tarea propuesta. Estaposibilidad la designaremos como valor “1".

b. Problemas de dos incógnitas: cuando en el texto del problema subyacen dosrelaciones lineales algebraicas independientes y, necesariamente, será precisoestablecer estas dos relaciones para su resolución (un sistema de dos ecuacio-nes lineales). Esta posibilidad la designaremos como valor “2".

2) V

2

= tipo de números en los datos del problema

. Al tratarse de problemas verbalespróximos al entorno de estudiante de Secundaria, se utilizarán números positivos,naturales o decimales. También los resultados de los problemas serán númerossimilares a los datos, que no obstaculicen la utilización de los diversos sistemas derepresentación. Los valores posibles serán duales:

a. Que sean números naturales sencillos, es decir, números fáciles de manejarmentalmente por los estudiantes de Secundaria: números menores de 100,decenas o números fácilmente reducibles y simplificables. En este caso leasignaremos el valor “1".

b. Que sean números naturales menos sencillos, en el sentido de números mayo-res de 100, que no sean decenas y no se puedan reducir a otro más sencillos, obien números decimales con parte entera de una cifra y parte decimal tambiénde una cifra. El valor asignado para esta posibilidad es “2".

3) V

3 = presencia en el enunciado de un dibujo o gráfico de apoyo al texto

. Se tratade incluir, o no, un dibujo-gráfico alusivo al contexto del problema. El dibujo-grá-fico no deberá ser necesario para resolver el problema y evitará reproducir fiel-mente o a escala los objetos representados, así como las posibles relaciones deproporcionalidad entre ellos. La presencia de este dibujo tendría como objeto el deacercar al estudiante al contexto del problema (núcleo algebraico), y/o ofrecerle laposibilidad, implícita, de utilizarlo (tal cual o por medio de alguna otra esquemati-


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zación) en el sistema de representación en el que se aborde la resolución del pro-blema, pero no debe suponer una imposición de un determinado sistema derepresentación para la resolución. Esto supone dos valores, duales:

a. Problemas con dibujo en el enunciado, valorados con “1”.

b. Problemas sin dibujo en el enunciado, valorados con “2”.

De acuerdo con estas tres variables y sus combinaciones aparecen

8 tipos de proble-

mas distintos

. Cada problema viene identificado por tres coordenadas, que pueden to-mar los valores 1 o 2, correspondiendo cada una de ellas a una de las tres variables de

tarea enunciadas.

C

ONTEXTOS

Creemos que utilizar en los enunciados de los problemas ocho contextos distintospara cubrir todas las combinaciones de las variables de tarea supone una dispersióninnecesaria. Hemos decidido utilizar sólo cuatro contextos diferentes, lo cual corres-ponde a dos problemas para cada contexto. Dichos contextos son:

• listones de madera,

• discos, cassettes,

• material escolar y

• entradas.

Además, proponemos otros dos problemas que sean réplicas de otros anteriores, a finde verificar si se resuelven de igual forma, y que sirvan, por lo tanto, para contrastarla validez de la prueba. Estos dos problemas serán de contextos distintos a los anterio-res y entre sí, y de variables distintas entre sí.

Queremos resaltar que la elección de los contextos obedece, además, a que con-tienen elementos que se pueden manipular, ya sea de forma manual o mentalmente.

Estos elementos se pueden unir o pegar, añadir, juntar, separar, cortar, superponer,partir, y otras actividades de esta naturaleza que permiten una representación físico-visual más o menos inmediata en el papel y que, a su vez, pueden representar las rela-ciones indicadas en el texto del problema. Consideramos esta cuestión de sumaimportancia, ya que nos permite asegurar que todos y cada uno de los problemas sepueden abordar de forma asequible desde cualquiera de los cinco sistemas de repre-sentación que hemos categorizado en la tesis (ensayo-error, parte-todo, gráfico, grá-fico-simbólico, simbólico), lo que no se podría asegurar de otro tipo de contextos (porejemplo, problemas de mezclas o resolver directamente un sistema de ecuaciones).


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ELACIÓN

DE

PROBLEMAS

ALGEBRAICOS

ESCOLARES

Los diez problemas seleccionados para el instrumento de evaluación, de acuerdo contodas las características descritas en los apartados anteriores, ordenados respecto a lasvariables de tarea, son:

1) Variables de tarea (1,1,1). Contexto: listones (tiras) de madera

2) Variables de tarea (1,1,2). Contexto: discos-cassettes

3) Variables de tarea (1,2,1). Contexto: material escolar

4) Variables de tarea (1,2,2). Contexto: entradas (tickets)

“En una carpintería hay dostipos de listones de madera:unos largos y otros cortos.Si ponemos en línea un lis-

tón largo junto con dos cor-tos, miden 210 cm. Ellistón largo mide 30 cm.más que el corto. ¿Cuántomide cada listón demadera?”

“Marta y Sandra van a comprar a una tienda de discos. Marta lleva7.400 ptas. y Sandra 11.000 ptas. Marta se compra 3 CD y Sandracompra 5 CD, todos al mismo precio. A la salida, después de pagar,

resulta que a las dos les sobra la misma cantidad de dinero. ¿Cuántocuesta cada CD?”

“Juan sabe que el tablero de su mesa de clase es unrectángulo cuyo lado largo es 1,7 veces mayor que sulado ancho. En el lado largo Juan coloca, en hilera, suregla de 30 cm. y 16 clips, y en el lado menor puedeponer la regla de 30 cm. y 6 clips. ¿Cuánto mide cadaclip?”

“David y Reme deciden ir a un concierto. David se compra unaentrada, y Reme quiere ir a un sitio mejor donde la entrada es 2,7 vecesmás cara que la de David. En total han pagado por las dos entradas5.550 ptas. ¿Cuánto vale cada tipo de entrada?”


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5) Variables de tarea (2,1,1). Contexto: material escolar

6) Variables de tarea (2,1,2). Contexto: entradas (tickets)

7) Variables de tarea (2,2,1). Contexto: listones (tiras de madera)

8) Variables de tarea (2,2,2). Contexto: discos-cassettes

“A Teresa le han regalado un muñeco de Epi quemide 21 cm, y a su hermano pequeño uno de Blas quemide 30 cm. La altura de Epi se puede medir tambiéncon 4 clips y 2 sacapuntas, como se puede ver en lafigura. En el caso de Blas se necesitan 5 clips y 4 saca-puntas.¿Cuánto mide cada clip y cada sacapuntas?”

“David y Reme deciden ir a un concierto, cada uno con sus herma-nos. David tiene que sacar 2 entradas y Reme 3 entradas. Hay dos tiposde entradas, según estén en un sitio más caro o en otro más barato, y nohay entradas para todos en el mismo sitio. Si la familia de David va alsitio de las baratas y Reme al de las caras en total les cuestan 14.500ptas. y si es al revés (Reme al sitio de las baratas y David al de lascaras), entonces les cuestan 13.000 ptas. ¿Cuál es el precio de cadaentrada?”

“Para un trabajo manual, Rocío ha comprado 2 lis-tones cortos y 2 listones largos que si se ponen uno

detrás de otro miden en total 242cm.Daniel necesita algunos más y compra 3 cortos y 4 lar-gos que unidos miden 446cm. ¿Cuánto mide cada lis-tón?”

“Raquel y Sara van a comprar discos. Les gustaría comprarse 2 CD y 5Cassettes que suman en total 6.740 ptas. Pero no pueden gastarse tantodinero y al final escogen 1 CD y 3 Cassettes, por los que pagan 3.745ptas. ¿Cuánto cuesta cada CD y cada Cassette?”


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9) Réplica.Variables de tarea (1,1,1). Contexto: depósitos (tanques)de agua

10) Réplica. Variables de tarea (1,2,2). Contexto: distancias

Estos dos problemas de réplica se han escogido de aquellos que contienen una relaciónlineal algebraica, V

1

= 1, pues son más comunes en la práctica escolar, tanto a nivel deaula como de libros de texto de Secundaria, y hemos combinado las otras dos variables(tipo de números y dibujo).

Se proponen contextos diferentes de los iniciales para que, al incluirlos en una

misma sesión de la prueba, los estudiantes no interpreten que tiene dos problemasidénticos, y puedan sentirse desmotivados por la repetición de tareas.

También se ve conveniente añadir una coletilla en cada problema que incite alsujeto a su resolución de la forma que mejor sepa. Después de algunos intentos, llega-mos a la siguiente redacción:

Resuélvelo como mejor sepas. Inténtalo de cualquier forma, sigue tus propias

ideas y no dejes de hacer ningún paso que creas necesario. Explica cómo haces

el problema

.

El esquema siguiente resume el conjunto de ítems/problemas que constituyen el ins-trumento de evaluación, de acuerdo a la combinación de variables de tarea

“Tenemos dos depósitos de agua con la mismacapacidad. El depósito A tiene 20 litros y hemos deecharle 9 cubos más para que se llene. El depósito Btiene 52 litros y hay que echarle 5 cubos para llenarlo.¿Qué cantidad de agua cabe en cada depósito?”

“La familia García realiza un viaje. El Sr. García tiene que condu-cir 434 kilómetros para ir de Madrid a Granada. En un punto del tra-yecto deciden parar a tomar un refresco. Después de la parada aún lequedan por recorrer 1’8 veces más de kilómetros que los que ya llevanrecorridos. ¿Cuántos kilómetros le quedan después de la parada? ¿Ycuántos kilómetros llevan ya recorridos?”

Problema Relaciones Datos Dibujo

Una Dos Fáciles Difíciles Con Sin

[1] [2] [1] [2] [1] [2]

1 (1,1,1)

• • •

2 (1,1,2)

• • •

3 (1,2,1)

• • •


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6 (2,1,2) • • •

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9 (1,1,1)Réplica

• • •

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Documents

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