T.C.

SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

SİNGÜLER ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN SINIR

DEĞER PROBLEMLERİ

Pakize Neval ZEYNELGİL

Danışman: Prof. Dr. Bilender PAŞAOĞLU

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ISPARTA – 2008

  i

İÇİNDEKİLER

Sayfa

İÇİNDEKİLER………………………………………………………………………i

ÖZET………………………………………………………………………………..iii

ABSTRACT………………………………………………………………………....iv

TEŞEKKÜR………………………………………………………………………….v

SİMGELER DİZİNİ………………………………………………………………....vi

1. GİRİŞ………………………………………………………………………………1

2. TEMEL KAVRAMLAR…...……...………………………………………………3

3.BESSEL DİFERANSİYEL DENKLEMİ VE BESSEL DİFERANSİYEL DENKLEMİN ÇÖZÜMÜ…………………….……………………………………...6

3.1. Bessel Diferansiyel Denklemi……………………………………………………6

3.2. Bessel Diferansiyel Denkleminin Çözümü………………………………………8

3.3. Bessel Fonksiyonlarının İndirgeme Formülleri………………………………...14

3.4. Hankel Fonksiyonları…………………………………………………………...15

3.5. ν Tek Tam Sayının Yarısı İken )(xJν Bessel fonksiyonu……………………..16

3.6. )(xJν ile )(xJ ν− in Lineer Bağımsızlığı……………………………………….17

3.7. Değiştirilmiş ( Modifiye ) Bessel Denklemi……………………………………20

3.8. Jacobi Açılımı ve Bessel İntegrali………...……………………………………21

3.9. Bessel Denklemine Dönüşebilen Denklemler………………………………….24

3.10. Bessel-Fourier Açılımı………………………………………………………...27

4. BESSEL KARESİ DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ VE BU DENKLEM İÇİN LİM-4 DURUMU…………………………………………………………………...28

4.1. Hamilton Sistem Formülü ve Regüler Sınır Koşulları………………………….29

4.2. ‘S’ Dönüşümü ve Plücker Özdeşliği……………………………………………38

4.3. Lim-4 Durumu Genel Teori…………………………………………………….40

  ii

4.4. Bessel Karesi Denkleminin Çözümleri…………………………………………44

4.5. Lim-4 Durumunun Bessel Karesi Denklemine Uygulanması………………….52

5. KAYNAKLAR…………………………………………………………………...57

ÖZGEÇMİŞ…………………………………………………………………………59

  iii

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

SİNGÜLER ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN SINIR DEĞER PROBLEMLERİ

 

Pakize Neval ZEYNELGİL

Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Jüri : Prof. Dr. Bilender PAŞAOĞLU (Danışman)

Prof. Dr. Sadulla JAFAROV

Prof. Dr. A. Ceylan ÇÖKEN

Bu tez dört bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde konunun tarihsel gelişimi verilmiştir.

İkinci bölümde bazı temel kavramlar verilmiştir.

Üçüncü bölümde Laplace denkleminin silindirik koordinatlardaki ifadesinden

yararlanarak Bessel denklemi elde edilmiştir. Bessel denkleminin çözümleri olan

Bessel fonksiyonları ve onların özellikleri üzerinde durulmuştur. Daha sonra Bessel

denklemine dönüşebilen denklemler incelenmiş ve son olarak da Bessel fourier

açılımı verilmiştir.

Dördüncü bölümde Bessel karesi denklemi incelenmiştir. Dördüncü mertebeden

diferansiyel denklem için Hamilton sistem formülü ve regüler sınır koşulları

incelenmiştir. Son olarak da lim-4 durumunun genel teorisi verilerek, Bessel karesi

denklemi çözülmüş ve Bessel karesi denklemi için lim-4 durumu incelenmiştir.

Anahtar Kelimeler: Laplace Denklemi, Bessel Denklemi, Dördüncü Mertebeden

Diferansiyel Denklem, Bessel Karesi Denklemi

2008, 59 sayfa

  iv

ABSTRACT

M. Sc. Thesis

BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR SINGULAR ORDINARY

DIFFERENTİAL EQUATİONS

Pakize Neval ZEYNELGİL

Süleyman Demirel University Graduate School of Applied and Natural Sciences Mathematics Department

Thesis Committee: Prof. Dr. Bilender PAŞAOĞLU (Supervisor)

Prof. Dr. Sadulla JAFAROV

Prof. Dr. A. Ceylan ÇÖKEN

This thesis consists of four chapters.

In the first chapter, the historical progress of the subject is considered.

In the second chapter, some essential definitios is given.

In the third chapters, Bessel equation is obtained through the cylindrical coordinates

of Laplace equation. In addition, Bessel functions which are the solutions of Bessel

equation and their proporties are studied. At the end Fourier-Bessel expansions are

obtained.

In the fourth chapter, Bessel-squared equation is obtained. Hamiltonian system

formulation and regular boundary condiations are studied for fourth order differential

equation. At the end we obtain independent solutions of the Bessel-squared equation

and wish to apply the teory to the Bessel-sqared operator that lim-4 case

Key Words: Laplace Equation, Bessel Equation, Fourth Order Symmetric

Differential Equation, Bessel-Squared Equation

2008, 59 pages

  v

TEŞEKKÜR

Bu çalışmayı bana öneren, çalışmalarım süresince yakın ilgi ve yardımlarını esirgemeyen, değerli hocam Sayın Prof. Dr. Bilender PAŞAOĞLU’na teşekkür ederim.

Ayrıca tezimin her aşamasında maddi ve manevi desteklerini devamlı hissettiğim aileme en içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım.

Pakize Neval ZEYNELGİL

ISPARTA, 2008

vi

SİMGELER DİZİNİ

R Reel sayılar kümesi

C Kompleks sayılar kümesi

)(AD A’nın tanım kümesi

L Maksimal operatör 2∇ Laplace operatörü

)(xJv ν inci basamaktan 1 inci çeşit Bessel fonksiyonu

)(xIv ν inci basamaktan 1 inci çeşit değiştirilmiş Bessel fonksiyonu

γ Euler sabiti

)(xYv ν inci basamaktan 2 inci çeşit Bessel fonksiyonu (Weber Fonksiyonu)

)(xHv ν inci basamaktan 3 üncü çeşit Bessel fonksiyonu (Hankel)

)(vΓ Gamma fonksiyonu

)(λω Özdeğer

)(xf Özfonksiyon

),.,( λxG Green fonksiyonu

1

1.GİRİŞ

Doğada gerçekleşen fiziksel olayların incelenmesi, kuantum mekanik ve kuantum

fiziğin konularının oluşmasına yol açmıştır. Fizik alanındaki bu bilimsel gelişmeler

matematik biliminin gelişmesinde büyük ölçüde etkili olmuştur.

Tezde singüler adi diferansiyel denklemlerden biri olan Bessel denklemlerine yer

verilmiştir. Bessel denklemleri ile matematiğin birçok dallarında matematiksel fizik,

temel bilimler ve mühendislik bilimlerinin uğraşlarına giren pek çok problemin

çözümünde karşılaşılır. Bessel fonksiyonlarına göre seri açılımı hem diferansiyel

denklemler teorisi hem de fonksiyonlar ve seriler teorisi gibi dallarda sıkça

kullanılmaktadır. Bessel fonksiyonları üzerindeki çalışmalar 19. yüzyılda Alman

matematikçi Freidrich Wilhelm Bessel (1784-1846) tarafından yapılmıştır.

Astronomik bir problem olan yerkürenin güneş etrafında dönme yörüngesinin

bulunması ile uğraşırken Bessel denklemini ortaya çıkarmıştır. Zaman geçtikçe telin

ve zarın titreşimleri gibi fiziksel olaylarda Bessel denklemine getirilmiştir. 20.

yüzyılda ise bu denklem, kuantum mekanik ve kuantum fizik problemlerinde de sık

sık kullanılmıştır.

Ayrıca fiziğin ve mekaniğin pek çok problemi adi diferansiyel denklemler için sınır

değer problemi ile bağlantılıdır. Bu problemler genellikle kısmi türevli denklemlerde

değişkenleri ayrılması yöntemi (Fourier yöntemi) kullanıldıktan sonra adi

diferansiyel denklemler için sınır değer problemine dönüşmektedir. Bu problemlerin

singüler (tekil) diferansiyel denklemler için daha da önemli olduğu son yıllarda

ortaya çıkmıştır. Tanım kümesi sınırlı ve katsayıları sürekli fonksiyonlar olan

diferansiyel operatörlere regüler; tanım bölgesi sınırsız veya katsayıları (bazıları veya

tamamı) integrallenebilir olmayan (veya her ikisi sağlanacak biçimde) diferansiyel

operatörlere ise singüler denir. Singüler operatörler için spektral teori ilk olarak Weyl

tarafından incelenmiştir. Daha sonra Rietsz, Neumann ve diğer matematikçiler

tarafından simetrik ve self-adjoint operatörlerin genel spektral teorisi

oluşturulmuştur.

2

Dördüncü mertebeden Bessel denklemleri, Bessel denklemlerine ait sınır değer

problemini ve Bessel karesi denklemini Everitt (2006-2007) ve Fulton (1988) yapmış

oldukları çalışmalarında incelemişlerdir.

Bu tezde Bessel karesi denklemi ele alınmış daha sonra bu denklem için özfonksiyon

elde etme noktasına kadar analizler yapılmıştır. Son olarak da Lim-4 durumunun

genel teorisi verilerek Bessel karesi denklemi için Lim-4 durumu incelenmiştir.

3

2.TEMEL KAVRAMLAR

Tanım 2.1: ( )xf ve ( )xg fonksiyonları bir axx ≤− 0 aralığında birinci türevlere

sahip olsunlar. Bu durumda ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxfgfW ′−′=, ifadesine ( )xf ve

( )xg fonksiyonlarının wronskiyeni denir (Marchenko, 1986).

Tanım 2.2: (Hilbert uzayı) zyx ,, elemanlarından oluşan herhangi bir cümle H

olsun ve aşağıdaki aksiyomları sağlasın.

1. H lineer kompleks uzay olsun

2. H nin her yx, ikili elemanına karşılık gelen >< yx, kompleks sayısı için

a) ><>=< xyyx ,,

b) ( )Hxxyxyxyxx ∈><+>>=<+< 212121 ,,,,,

c) ><>=< yxyx ,, λλ (Her kompleks λ sayısı için)

3. ( ) yxyxd −=, metriği anlamında H tamdır.

4. Her n doğal sayısı için H de n sayıda lineer bağımsız eleman vardır. Yani

H sonsuz boyutludur. Bu durumda, 41− şartlarını sağlayan uzaya Soyut Hilbert

Uzayı, 31− şartlarını sağlayan uzaya ise Üniter Hilbert uzayı denir (Liusternik,

1961).

Tanım2.3: (Lineer Operatör) H Hilbert uzayının herhangi bir HD ⊆ lineer alt

uzayı ve bir A operatörü için,

HHDA →⊆:

dönüşümü verilsin. Eğer C∈21 ,αα ve her Dxx ∈21 , için

( ) 22112211 AxAxxxA αααα +=+

eşitliği sağlanıyorsa A dönüşümüne lineer operatör, D ye ise A operatörünün tanım

bölgesi denir ve D ( A ) ile gösterilir. A operatörünün değer kümesi de )Im(A veya

)(AR ile gösterilir (Naimark, 1968).

Tanım2.4: H Hilbert uzayında tanımlanan bir lineer A operatörü için, her

Hx∈ olmak üzere

4

xCAx ≤

eşitliğini sağlayacak şekilde bir C sayısı varsa A ya sınırlı operatör denir. Bu C

sayılarının en küçüğüne A sınırlı operatörünün normu denir ve A ile gösterilir.

xAx

AxAxx 01

supsup≠≤

==

eşitliği yardımı ile de normu hesaplayabiliriz (Naimark, 1968).

Tanım:2.5: (Eşlenik Operatör) H hilbert uzayı ve A bu uzayda lineer bir operatör

olmak üzere, A nın tanım kümesi )(AD , H kompleks Hilbert uzayında yoğun

olsun. )(, ADgf ∈ için,

gAfgAf ∗= ,,

eşitliğini sağlayan ∗A operatörüne A nın adjoint (eşlenik) operatörü denir. Bu

eşitliği sağlayan Hg ∈ vektörler kümesine ∗A ın tanım kümesi denir ve )( ∗AD ile

gösterilir (Naimark, 1968).

Eşlenik operatörü aşağıdaki şartları sağlar:

)(i AA =∗∗

)(ii ∗∗ = AA λλ )(

)(iii ∗∗∗ +=+ BABA )(

)(iv ∗∗∗ = ABBA)(

)(v AA =∗ ( A sınırlı ise) (Naimark, 1968).

Tanım 2.6: (Self-adjoint Operatör) Eğer AA =∗ ise, A ya self-adjoint (kendine eş)

operatör denir (Naimark, 1968).

Tanım 2.7: ),(( 2 baL uzayı) ),( ba aralığında karesi integrallenebilen fonksiyonların

Hilbert uzayına ( )baL ,2 uzayı denir.

( ) ( ) ( )[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⟨∞= ∫b

a

dttxtxbaL 22 :,

5

Bu uzay reel ise iç çarpım

∫=b

a

dxxgxfxgxf )()()(),(

şeklinde tanımlanır. Burada, ( )xf ve ( )xg reel fonksiyonlarıdır (Naimark, 1968).

Tanım 2.8: (Özdeğer, özfonksiyon) L lineer bir operatör olsun. Bu durumda A

operatörünün tanım kümesinde

yAy λ=

olacak şekilde bir 0≠y vektörü varsa λ sayısına A operatörünün özdeğeri, y

vektörüne ise λ özdeğerine karşılık gelen özvektör denir.

6

3. BESSEL DİFERANSİYEL DENKLEMİ VE BESSEL DİFERANSİYEL

DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

Frobenius seri metodu ile çözülebilen ikinci mertebeden değişken katsayılı

diferansiyel denklemler arasında Bessel diferansiyel denkleminin önemi büyüktür.

Matematiksel fizik, temel bilimler ve mühendislik bilimlerinin uğraşı alanına giren

birçok problemin çözümünde bu denklem ve çözümü ile çok karşılaşılır. Bu

bakımdan Bessel denklemi ve Bessel fonksiyonlarının incelenmesi oldukça önem

taşımaktadır.

3.1. Bessel Diferansiyel Denklemi

Bessel diferansiyel denklemi,

02

2

2

2

2

22 =

∂∂

+∂∂

+∂∂

≡∇zV

yV

xVV (3.1)

eşitliği ile verilen üç boyutlu Laplace denklemi için ( )zyx ,, düzleminde ( )zu ,,φ

silindirik koordinatları kullanılmak suretiyle elde edilebilir. Burada yx, ve z

değişkenleri u ve φ ye bağlı olarak;

φcosux = , φsinuy = , zz =

şeklinde tanımlanır ve bu dönüşümler ile ( )zu ,,φ silindirik koordinatlarına geçilirse;

0112

2

2

2

22

22 =

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

≡∇zVV

uuV

uuVV

φ (3.2)

denklemi elde edilir. Bu denklemlerin çözüm yollarından biri olan, değişkenlerine

ayırma yöntemi uygulanırsa, yani çözümün;

( ) ( ) ( ) ( )zZuUzuV φφ Φ=,,

olduğu farz edilerek gerekli türevler alınırsa; türevler

ZdudU

uV

Φ=∂∂ ; Z

duUd

uV

Φ=∂∂

2

2

2

2

;

UZddV

2

2

2

2

φφΦ

=∂∂ ; Φ=

∂∂ U

dzZd

zV

2

2

2

2

olarak bulunur. Bu türevler yukarıdaki (3.2) denkleminde yerine yazılırsa;

7

Φ+Φ

+Φ+Φ Udz

ZdUZdd

uZ

dudU

uZ

duUd

2

2

2

2

22

2 11φ

=0

denklemi elde edilir. ( ) ( ) ( ) 0≠Φ zZuU φ olduğundan bulunan yukarıdaki son

denklemin her iki tarafı ZUΦ ile bölünürse;

01111112

2

2

2

22

2

=+Φ

Φ++

dzzd

Zdd

ududU

uUduUd

U φ

0112 =

′′+

ΦΦ ′′

+′

+′′

ZZ

uUU

uUU

ZZ

uUU

uUU ′′

−=ΦΦ ′′

+′

+′′

2

11 (3.3)

eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin sağ tarafı yalnız z ye ve sol tarafı da yalnız u ve φ

ye bağlı olması nedeniyle 2λ− gibi bir sabite eşit olabilir. Buradan;

22

11 λ−=ΦΦ ′′

+′

+′′

uUU

uUU (3.4)

2λ+=′′

ZZ olacağından

02 =−′′ ZZ λ

elde edilir. (3.4) de verilen denklemin her iki tarafı 2u ile çarpılırsa;

222 uUUu

UUu λ−=

ΦΦ ′′

+′

+′′

bulunur. Burada gerekli düzenlemeler yapılırsa,

ΦΦ ′′

−=+′

+′′ 222 u

UUu

UUu λ (3.5)

elde edilir. Bu ifade de 2V sabitine eşit seçilsin. Bu durumda yukarıdaki denklem;

2222 VuUUu

UUu −=+

′+′′

λ (3.6)

şeklinde yazılabilir. Burada,

2V−=ΦΦ ′′

olacağından

02 =Φ+Φ ′′ V

elde edilir. Böylece son olarak elde edilen (3.6) denklemi

( ) 02222 =−+′+′′ UuUuUu νλ (3.7)

8

şeklinde yazılabilir. Burada xu =λ dönüşümü yapılırsa λxu = olması nedeniyle,

)(uU da )(xy şeklini alabilir. )(uU fonksiyonunun birinci ve ikinci türevleri

alınırsa türevler;

dxdy

dxdU

dudx

dxdU

dudU λλ ===

2

22

2

2

dxyd

dudx

dxdy

dxd

dudU

dxd

duUd λλ =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

olarak bulunur. Bu türevler (3.7) denkleminde yerine yazılırsa;

022

22

2

22

2

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

dxdyx

dxydx ν

λλλ

λλ

λ

( ) 0222

22 =−++ yx

dxdyx

dxydx ν (3.8)

bulunur. Yukarıdaki denklemden de;

( ) 0222 =−+′+′′ yxyxyx ν

denklemi elde edilir. Bu denklem Bessel denklemi olarak bilinir ve çözümleri olan

fonksiyonlara ν inci dereceden Bessel fonksiyonları veya silindirik fonksiyonlar

denir.

3.2. Bessel Diferansiyel Denkleminin Çözümü

ν sabit sayı olmak üzere Bessel diferansiyel denklemi;

( ) 0222 =−+′+′′ yxyxyx ν (3.9)

şeklinde ifade edilir. Bessel denkleminde 0=x noktası singüler (tekil) yani düzgün

aykırı nokta olduğundan, bu denklemin çözümünü Frobenius metodu ile

genelleştirilmiş kuvvet serisi şeklinde bulunur. Yani;

k

kk

p xaxy ∑∞

=

=0

)0( ≠oa (3.10)

serisi ile çözüm bulunabilir. Burada y nin birinci ve ikinci türevleri alınırsa;

( ) 1

0

−∞

=∑ +=′ k

kk

p xakpxy

9

( )( ) 2

0

1 −∞

=∑ −++=′′ k

kk

p xakpkpxy

eşitlikleri bulunur. Bu türevler Bessel diferansiyel denkleminde yerlerine yazılırsa;

( )( ) ( ) ( ) 010

221

0

2

0

2 =−+++−++ +∞

=

−+∞

=

−+∞

=∑∑∑ pk

kk

pkk

k

pkk

kxaxxakpxxakpkpx ν

( )( ) ( ) 010

22

000=−+++−++ ∑∑∑∑

∞

=

+++∞

=

+∞

=

+∞

= k

pkk

pk

kk

pkk

k

pkk

kxaxaxakpxakpkp ν

elde edilir. Buradan da;

( ) ( )[ ] ( )[ ]{ } 012

222122

122

0 =+−++−++− ∑∞

=−

+ k

kkk

ppp xaakpxxpaxpa ννν (3.11)

eşitliği bulunur. Yukarıdaki eşitliğin sağlanması için x in kuvvetlerinin tüm

katsayıları sıfıra eşit olmalıdır. Yani;

( ) 0220 =−νpa

( )[ ] 01 221 =−+ νpa

( )[ ] 0222 =+−+ −kk akpa ν

bağlantıları sağlanmalıdır. İlk eşitlikte oa sıfırdan farklı seçilebileceğinden

022 =−νp dan νm=p bulunur. Buradan 01 =a ve

( )[ ] ;0222 =+−+ −kk aakp ν 2≥k

indirgeme formülü elde edilir ve ...3,2=k için

( )[ ] ( )( ) 020222 2202 aappaap −=+−++⇒=+−+ ννν

( )[ ] ( )( ) 131322 3303 aappaap −=+−++⇒=+−+ ννν (3.12)

( )[ ] ( )( ) 242422 4404 aappaap −=+−++⇒=+−+ ννν

( )[ ] ( )( ) 353522 5505 aappaap −=+−++⇒=+−+ ννν

.

.

.

eşitlikleri yazılabilir. Bu ifadelerde görüldüğü gibi ,...,, 531 aaa katsayıları 0a dan

bağımsızdır. Bu durumda

0...... 1253 ===== −naaa

10

olur. Diğer katsayılar ise,

( )( )220

2 +−++−=

νν ppa

a

( ) ( ) )4(2)4(20

4 +−+−+++++=

νννν ppppa

a (3.13)

.

.

.

( )( )( ) ( )( )( )( )kpppkppp

aa

k

k 2422...421 0

2 +−+−+−−+++++−

+=νννννν

şeklinde 0a katsayısına bağlı olarak bulunur. ν=p olarak alınırsa, katsayılar;

( )1!1220

2 +−=

νa

a

( )( )21!2240

4 ++−=

ννa

a

.

.

.

( )( )( ) ( )kk

aa k

k

k +++−

−=ννν ...21!2

12

02

2

olarak elde edilir. Bu durumda çözüm;

( ) ( )( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−++

++

−= ...42224.2222

142

0 νννν xxxay

( ) ( )( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−++

++

−= ...21!2212

1 4

4

2

2

0 νννν xxxay (3.14)

olarak bulunur. Burada 0a katsayısı için özel bir değer seçilir. Bu özel değer Gamma

fonksiyonudur. Faktöriyel fonksiyonunun genelleştirmesi olan Gamma fonksiyonu;

( ) ( ) ( ) ( )...111 −Γ−=Γ=+Γ νννννν (ν reel)

olarak tanımlanır (Karaoğlu, 1998). Tamsayılı argüman için Gamma fonksiyonu

faktöriyele dönüşür. Yani;

11

( ) ( ) ( ) ( ) !...211 ννννννν ==−Γ−=Γ=+Γ

olarak yazılabilir. Buna göre 0a özel olarak,

( )121

0 +Γ=

ννa (3.15)

biçiminde seçilirse, yukarıda ka2 ile verilen ifade de 0a yerine yazılırsa diğer

katsayılar bulunur. Bu durumda diğer katsayılar;

( )( )( )( ) ( )kk

a k

k

k ++++Γ−

−=ννννν ...211!22

122

( )( )1!21

2 ++Γ−

= + νν kkk

k

şeklinde ifade edilir. Gamma fonksiyonu, tüm pozitif ν değerleri ve tüm pozitif

kompleks değerler için belirlenir. ( )νΓ fonksiyonu integralle;

( ) dxxe x 1

0

−∞

−∫=Γ νν

olarak da ifade edilir. (3.15) eşitliği ile gösterilen 0a değeri (3.14) ile ifade edilen

çözümde yerine yazılırsa;

( ) ( ) ( )( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−++

++

−+Γ

= ...21!2212

112 4

4

2

2

ννννν

ν xxxy

çözümü elde edilir. Buradan ( )xJν fonksiyonu;

( )( )

( )∑∞

=

+

++Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=0

2

1!2

1

k

kk

kk

x

xJν

ν

ν (3.16)

şeklinde bulunur. Bu fonksiyona birinci çeşit ν inci dereceden Bessel fonksiyonu

denir ve ( )xJν ile gösterilir. Burada 0>ν olup x in her sonlu değeri için (3.16)

yakınsaktır. İkinci çözümü bulmak için; (3.13) ifadelerinde ν−=p alınarak

katsayılar elde edilir ve bu katsayılar (3.14) ile ifade edilen çözümde yerine

yazıldığında;

( ) ( )( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−+−

++−

−= − ...21!2212

1 4

4

2

2

0 νννν xxxay

bulunur. ( )121

0 +−Γ= − ννa olarak alınırsa

0<ν için çözüm;

12

( )( )

( )∑∞

=

−

− ++−Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=0

2

1!2

1

k

kk

kk

x

xJν

ν

ν (3.17)

şeklinde elde edilir. Eğer ν tamsayı değilse bu iki çözüm birbiriyle lineer

bağımsızdır. O halde Ζ∉ν iken A ve B keyfi sabitler olmak üzere Bessel

denkleminin genel çözümü;

( ) ( ) ( )xBJxAJxy νν −+=

şeklinde ifade edilebilir.

ν =0 İken Bessel Denkleminin Çözümü

0=ν için (3.9) ile ifade edilen Bessel denklemi;

( ) 00222 =−+′+′′ yxyxyx

022 =+′+′′ yxyxyx

şekline dönüşür. (3.14) den de çözüm,

( ) ( ) ( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−++

++

−= ...422

1 22

4

2

2

0 ppx

pxxay p (3.18)

olarak bulunur. 022 =−νp dan 0=ν için 0=p bulunur. Yukarıdaki denklemde

0=p yazılırsa,

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−= ...422

1 22

4

2

2

0xxay

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+− ...22!22!1

1 2

4

2

2

0xxa

∑∞

= +Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=0

2

0 )1(!2

)1(

k

kk

kk

x

a

( )xJay 00=

13

elde edilir. Burada ( )xJ 0 fonksiyonu 0 ıncı dereceden 1 inci çeşit Bessel

fonksiyonudur. 0,0 21 == pp ise ikinci çözüm, ( )0=

=pdp

dyxy dan bulunur (Uyhan,

1999). (3.18) eşitliğinin her iki yanının p ye göre türevi alınırsa,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++++

−++

+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−++

++

−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+++

+−=

...4

22

2422

22

...422

1ln

...422

1

22

4

2

2

0

22

4

2

2

0

22

4

2

2

0

ppppx

ppxxa

ppx

pxxxa

ppx

pxxa

dpd

dpdy

p

p

p

bulunur (Uyhan,1999). Burada 0=p değeri yerine konursa,

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−= ...42

22

4222

2...

4221ln

22

4

2

2

022

4

2

2

0xxaxxxa

dpdy (3.19)

elde edilir. ( )xJ 0 fonksiyonu;

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−= ...422

1 22

4

2

2

00xxaxJ

şeklinde ifade edilmektedir ve ( )xY0 fonksiyonu da;

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+= ...

211

422ln 22

4

2

2

00xxxxJxY (3.20)

olduğundan (3.19) ifadesi

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

...211

422ln 22

4

2

2

0000

xxaxxJadpdy

p

olur. Bu durumda,

( )xYadpdy

p00

0

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

bulunur (Uyhan, 1999). ( )xY0 fonksiyonuna 0 ıncı dereceden 2 inci çeşit Bessel

fonksiyonu denir. ν tamsayı iken Bessel denkleminin genel çözümünün

14

bulunabilmesi için ikinci lineer bağımsız özel çözümün bulunması gerekir. Bu çözüm

)(xYν ile gösterilir ve )(xYν fonksiyonu;

( )νπ

νπ ννν sin

)()(cos xJxJxY −−= (3.21)

şeklinde tanımlanmıştır. ( )xYν fonksiyonu ( )xJν ve ( )xJ ν− fonksiyonlarının bir

lineer birleşimi olduğundan Bessel denkleminin çözümü olduğu görülür. (3.21) ile

tanımlanan ( )xYν fonksiyonuna 2 inci cins ν dereceden Bessel fonksiyonu veya

Weber fonksiyonu denilir (Yıldız, 2000). Sonuç olarak A ve B keyfi sabitler olmak

üzere Bessel denkleminin genel çözümü;

)()()( xBYxAJxy νν +=

şeklinde ifade edilir.

3.3. Bessel Fonksiyonlarının İndirgeme Formülleri

Bessel fonksiyonları arasındaki bazı indirgeme formülleri aşağıda verilmiştir.

( ) ( ) ( )xJxJ νν

ν 1−=− ...3,2,1=ν dir. (3.22)

( ){ } ( )xJxxJxdxd

1−= νν

νν (3.23)

( ){ } ( )xJxxJxdxd

1+−− −= νν

νν (3.24)

( ) ( ) ( )xJxJxJ 112 +− −=′′ ννν (3.25)

10 JJ −=′ (3.26)

( ) ( ) ( )xJx

xJxJ νννν2

11 =+ +− (3.27)

( ) ( ) ( )xJxJxJ ννν ′=− +− 211 (3.28)

( ) ( ) ( )xJxxJxxJ ννν ν ′=−−1 (3.29)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xJxJrrxrJxJxJ rr

rrrrr

++−+−− −+−−

+−= ννννν 1...!2

1.2 42)( (3.30)

Benzer indirgeme bağıntıları ( )xJ ν− Bessel fonksiyonu içinde elde edilebilir.

15

3.4. Hankel Fonksiyonları

Hankel fonksiyonları üçüncü çeşit Bessel fonksiyonları olarak isimlendirilir. Hankel

fonksiyonları birinci çeşit Bessel fonksiyonu ( )xJν ve ikinci çeşit Bessel fonksiyonu

( )xYν ye bağlı olarak;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )νπ

νννπ

ννν sin)1( xJxJe

ixYixJxHi

−− −

=+= (3.31)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )νπ

νννπ

ννν sin)2( xJxJe

ixYixJxHi

−−−=−= (3.32)

şeklinde ifade edilir (Koronev, 2002). Yukarıdaki fonksiyonlar sırasıyla ν inci

dereceden birinci ve ikinci çeşit Hankel fonksiyonları olarak isimlendirilir (Koronev,

2002). Ayrıca bu fonksiyonlar Bessel denkleminin lineer bağımsız çözümleridir.

Özellikle büyük x ler ( )∞→x için asimptotik tanımların basitliği nedeniyle birçok

uygulamada kullanılır. Yukarıda ifade edilen ν inci dereceden birinci ve ikinci çeşit

Hankel fonksiyonları kullanılarak aşağıdaki bağıntılar elde edilebilir.

( )xH )1(ν ve ( )xH )2(

ν ile ifade edilen fonksiyonlar taraf tarafa toplanırsa;

( ) ( ) ( ) ( )xJxHxH ννν 22)1( =+

( ) ( ) ( )[ ]xHxHxJ )2()1(

21

ννν += (3.33i)

ifadesi elde edilir. Taraf tarafa çıkarılırlarsa da;

( ) ( ) ( ) ( )xiYxHxH ννν 22)1( =−

( ) ( ) ( )[ ]xHxHi

xY )2()1(

21

ννν −= (3.33ii)

elde edilir. Yine burada ν inci mertebeden birinci çeşit Hankel fonksiyonu νπie ve

ikinci çeşit Hankel fonksiyonu da νπie− ile çarpılıp taraf tarafa toplanırsa; ( ) ( ) ( ) ( )xJHexHe ii

νννπ

ννπ

−− =+ 221

( ) ( ) ( )[ ]xHexHexJ ii )2()1(

21

ννπ

ννπ

ν−

− += (3.33iii)

elde edilir. n≠ν ( )0Nn∈ için burada elde edilen fonksiyonlarda Bessel

denkleminin bir temel çözüm sistemini oluşturur (Tuncer, 1997).

16

3.5. ν tek Tamsayının Yarısı iken ( )xJν Bessel Fonksiyonu

(3.16) ile ifade edilen ( )xJν fonksiyonunda 21

=ν alınırsa,

( ) ( ) k

k

k x

kkxJ

221

021 2

23!

1 +∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ

−= ∑

fonksiyonu elde edilir. Burada Gamma fonksiyonu;

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++Γ kk

21...2

211

21

211

211

olarak yazılır. 22

3 π=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Γ olduğu göz önünde bulundurulsun. Bu durumda

yukarıdaki Gamma fonksiyonu;

( )2...2.2.2

12...3.2.1211 +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++Γ

kk π

şeklinde ifade edilir. Yukarıdaki eşitliğin pay ve paydası !.2)2...(6.4.2 kkk = ile

çarpılırsa;

( )!2!12

211 12 k

kk k+

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++Γ π

eşitliği elde edilir (Tuncer, 1997). Bu eşitlik ( )xJ21 fonksiyonunda yerine yazılırsa;

( ) ( )( ) x

xkx

xxJ

k

kk

sin2!12

120

12

21 ππ

=+

−= ∑

∞

=

+

(3.34)

fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyonun türevi alınırsa;

( ) xxx

xx

xJ cos221cos2

21 ππ

−=′ (3.35)

fonksiyonu elde edilir.

( ) ( ) ( )x

xJxJxJ

dxd ν

ννν

−= −1 formülü kullanılarak

( ) ( )( )

x

xJxJxJ

dxd 2

1

121

21

21

−=−

17

( ) ( ) ( )xJx

xJxJ2

121

21 2

1−=′

−

eşitliği bulunur (Koronev, 2002). Bu eşitlik x ile çarpılırsa;

( ) ( ) ( )xJxJxxJx2

121

21 2

1−=′

−

( ) ( ) ( )xJxxJxJx21

21

21 2

1−

=+′ (3.36)

eşitliği elde edilir. (3.34) ve (3.35) fonksiyonları, yukarıda yerine yazılırsa, )(21 xJ

−

fonksiyonu;

( )xxJxx

xxx

xx

x21sin2

21cos

211cos2

−=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

πππ

( )xJxxx

xxx

xx 2

1sin221cos

211cos2

−=+−

πππ

( ) xx

xJ cos2

21 π

=−

olarak bulunur. Z∈ν olmak üzere 21

+νJ Bessel fonksiyonları sinüs ve cosinüs

fonksiyonları cinsinden;

( ) ( ) ( )( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

=+

+ xx

dxdxxJ sin21

2

21

21 ν

ννν

ν π

( ) ( ) ( )( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

=+

−− xx

dxdxxJ cos21

2

21

21 ν

ννν

ν π

şeklinde elde edilir (Koronev, 2002).

3.6. ( )xJν ile ( )xJ ν− in lineer bağımsızlığı

( )xJy ν=1 ile ( )xJy ν−=2 fonksiyonlarının lineer bağımsızlığı için wronskiyenin

sıfırdan farklı olması gerekir. Wronskiyen;

18

21

2121 ),(

yyyy

yyW′′

=

ile ifade edilir. Bu durumda ( )xJν ve ( )xJ ν− fonksiyonları için wronskiyen;

( ) ( )[ ]xJxJWyyW νν −= ,),( 21

( ) ( )( ) ( )xJxJ

xJxJ

νν

νν

−

−

′′=

( ) ( ) ( ) ( )xJxJxJxJ νννν −−− ′−′= . (3.37)

şeklinde bulunur. ( )xJ ν− ve ( )xJν fonksiyonları, Bessel denkleminin çözümü

olduğundan (3.9) denklemi sağlanmalıdır. ( )xJ ν− ve ( )xJν fonksiyonları, (3.9)

denkleminde yerine yazılırsa;

0112

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+′+′′ −−− νννν Jx

Jx

J (3.38i)

0112

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+′+′′ νννν Jx

Jx

J (3.38ii)

denklemleri elde edilir. Yukarıdaki denklemlerden birincisi νJ ile ikincisi de ν−J

ile çarpılırsa,

0112

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+′+′′ −−− ννννννν JJx

JJx

JJ

0112

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+′+′′ −−− ννννννν JJx

JJx

JJ

denklemleri bulunur. Bu denklemler taraf tarafa çıkarılırsa da;

[ ] 01=′−′+′′−′′ −−−− νννννννν JJJJ

xJJJJ

denklemi elde edilir. Bu da;

[ ] [ ] 01=′−′+′−′ −−−− νννννννν JJJJ

xJJJJ

dxd (3.39)

demektir. Buna göre 0=+xw

dxdw olup integrasyonla

( ) ( )x

Cxw ν= (3.40i)

19

( ) [ ]ννννν JJJJxC ′−′= −− (3.40ii)

eşitlikleri yazılır. Burada 0→x yapılarak ( )νC belirlenebilir (Tuncer, 1997).

Bunun için,

( ) ( ) ( )ν

ν ν

+∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++Γ−= ∑

k

k

k xkk

xJ2

0 21!11

( ) ( ) ( )νν

νν

+∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++Γ−+

+Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

k

k

k xkk

x 2

1 21!11

11

2

ve 0→x için,

( ) ( ) ( )( )2011

12

xxxJ ++Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ν

ν

ν (3.41)

ve benzer biçimde

( ) ( ) ( )( )21

012

12

xxxJ +Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=′

−

ν

ν

ν (3.42)

yazılabilir. ν=x yerine –ν almakla 0→x için

( ) ( ) ( )( )20111

2xxxJ +

−Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

− ν

ν

ν (3.43)

( ) ( ) ( )( )21

012

12

xxxJ +−Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=′

−−

− ν

ν

ν (3.44)

dir (Koronev, 2002). (3.41), (3.42), (3.43), (3.44) ifadeleri (3.40ii) de yerine konursa;

)(vC =( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

+−Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

+Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−−

21

2

21

2

12

12

111

2

12

12

111

2

xOxxOx

xOxxOx

x

νν

νννν

νν

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

Γ−Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

−Γ+Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−22

122

1

0121

12

0121

12

xxxxxνννν

eşitliği elde edilir. Burada 0→x yapılırsa ( ) 00 2 =x olur. Bu durumda ( )νC

fonksiyonu;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ννννν

Γ−Γ−

−Γ+Γ=

11

11C (3.45)

20

olarak bulunur. Diğer yandan ( ) ( )x

xxππ

sin1 =−ΓΓ de ν−=x ve ν=x yazılırsa

(3.45) den

( )πνπ

πνπ

πνπν sin2sinsin

−=−−=C

( ) ( )[ ]x

xJxJWπνπ

ννsin2, −=−

elde edilir. ν tamsayı olmamak üzere 0sin ≠νπ olduğundan ( ) ( )[ ] 0, ≠− xJxJW νν

dır. ( )xJν ile ( )xJ ν− fonksiyonları lineer bağımsız olup, dolayısıyla bir temel

çözüm sistemi oluşturur (Tuncer, 1997).

3.7. Değiştirilmiş (modifiye) Bessel Denklemi

( ) 0222 =−+′+′′ yxyxyx ν

ile ifade edilen Bessel denkleminde ixx ±= değişken değişimi yapılırsa,

( ) ( ) ( )( ) 0222

22 =−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− yix

dxdyix

dxydix ν

( ) 0222

22 =−−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− yx

dxdyx

dxydx ν

( ) 0222

22 =+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

dxdyx

dxydx ν

( ) 0222 =+−′+′′ yxyxyx ν (3.46)

denklemi elde edilir. Bu denklem Değiştirilmiş (modifiye) Bessel denklemi olarak

bilinir. Değiştirilmiş (modifiye) Bessel denkleminin çözümleri

( ) ( )ixJixI νν

ν−=

( ) ( ) ( )νπ

π ννν sin2

xIxIxK

−= −

olarak tanımlanmıştır. ν nin tamsayı olması durumunda ( ) ( )xIxI νν =− olduğundan

Modified Bessel denkleminin ikinci çözümü ( )xKν fonksiyonudur (Yıldız, 2000). ν

21

nin tamsayı olmaması durumunda ise bu denkleminin çözümleri ( )xI ν− ile ( )xIν

fonksiyonlarıdır.

3.8. Jacobi Açılımı ve Bessel İntegrali

0≠t için ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= ttx

etx1

2,ϕ fonksiyonunu gözönüne alalım. xe , Maclaurin serisinden

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= ttx

etx1

2,ϕ

txtx

ee 22−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= ∑∑∞

=

∞

= 00 !2

!2

sr

r

s

s

s

tr

x

ts

x

bulunur (Tuncer, 1997). mt ve mt1 nin katsayılarını belirlenirse;

( ) ( ) ( ) km

km

m k

kk

m k

kmrm

trm

x

k

x

r

x

km

xttx +

+

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

++

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= ∑∑∑∑ !2

!2

!2

!2,

1 00 0ϕ

( )( ) ( ) ( )

( )!2

!111

!2

!1

2

1 0

2

0 0 km

x

ktkm

x

kt

mk

m k

km

m

mk

m k

km

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−+

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

+

∞

=

∞

=

+

∞

=

∞

=∑ ∑∑ ∑

elde edilir (Tuncer, 1997). ( ) ( ) ( )xJxJ mmm

−=−1 olduğundan

(3.47)

( ) ( )xJtxJt mm

mm

m

m ∑∑∞

=

−∞

=

+=10

( ) ( ) ( )xJtxJttx mm

mm

m

m−

∞

=

−∞

=∑∑ +=

10,ϕ

( ) ( )xJttx m

m

m

m∑+∞=

−∞=

=,ϕ

22

elde edilir. (3.47) ifadesi ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= ttx

etx1

2,ϕ nin 0=t da Laurent açılımıdır (Tuncer,

1997). t yerine t1

− konursa;

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= ttx

etx1

2,ϕ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

==t

tx

tt

x

ee1

21

112

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

txe t

tx 1,1

2 ϕ

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

txtx 1,, ϕϕ olur. Buradan

( ) ( ) ( )xJtx mm

m−

+∞

−∞=∑ −= 1,ϕ

elde edilir. Açılımın tekniğinden

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xJxJxJxJ mmm

mm

mm =−=−=− −−

−− 111

olarak bulunur.

( ) ( )xJtetx mm

mttx

∑+∞

−∞=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

== .,1

2ϕ (3.48)

Fonksiyonuna, Bessel fonksiyonuna ilişkin doğurucu fonksiyon denir. (3.47)

eşitliğinde θiet ±= olarak alınırsa,

( ) ( )xJeee mm

imeexe

ex iii

i

∑+∞

−∞=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

==−

θθθ

θθ

2

12

olur. Burada iee ii

2sin

θθ

θ−−

= ve θθθ mimeim sincos += olduğundan

( ) ( )xJmime mm

ix ∑∞

−∞=

+= θθθ sincossin

bulunur. Buradan

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xJmimxJxJmime mm

mm

ix ∑∑∞

=

−

−∞=

++++=1

0

1sin sincossincos θθθθθ

23

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xJmimxJmimxJ mm

mn

∑∑∞

=−

∞

=

++−+=11

0 sincossincos θθθθ

şeklinde yazılabilir. ( ) ( ) ( )xJxJ mm

m 1−=− olduğundan

( ) ( ) ( )( ) ( )xJmimimmxJe mm

mmix ∑∞

=

−−+−++=1

0sin sin1sincos1cos θθθθθ

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )xJmixJmxJ mm

m 121

20 12sin22cos2 +

∞

=∑ +++= θθ

( ) ( ) ( ) ( )∑∑∞

=+

∞

=

+±+=0

121

20 12sin22cos2m

mm

m mxJimxJxJ θθ (3.49)

elde edilir. xixeix sincos += olduğundan (3.49) eşitliğinin reel ve sanal kısımları

ayrılırsa

( ) ( ) ( )∑∞

=

+=1

20 2cos2sincosm

m mxJxJx θθ (3.50i)

( ) ( ) ( )∑∞

=+ +=

012 12sin2sinsin

mm mxJx θθ (3.50ii)

olarak elde edilir. (3.50i) eşitliğinde θ yerine θπ−

2 yazılırsa

( ) ( )∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

120 2

2cos22

sincosm

m mxJxJx θπθπ

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

=

−+=1

20 2cos2coscosm

m mmxJxJx θπθ

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

=

−+=1

20 2cos12coscosm

mm mxJxJx θθ (3.51i)

elde edilir. (3.50ii) eşitliğinde de θ yerine θπ−

2 yazılırsa

( ) ( )∑∞

=+ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

012 2

12sin22

sinsinn

m mxJx θπθπ

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

=+ +−=

012 12cos12cossin

nm

m mxJx θθ (3.51ii)

elde edilir. (3.50i), (3.50ii), (3.51i) ve (3.51ii) açılımlarına Jacobi açılımı adı verilir.

(3.50i) ifadesinde m yerine k alınır, eşitliğin her iki yanı θmcos ile çarpılır ve 0

dan π ye kadar integrali alınırsa,

24

( ) θθθθθθπ π

dmkxJxJdmxk

k cos)2cos()(2)(cossincos0 0 1

20∫ ∫ ∑ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

∞

=

( ) ( )∫∑∫∞

=

+=ππ

θθθθθ0 1

20

0 cos2cos2cos)( dmkxJdmxJk

k

( ) ( )∫∑∞

=

=π

θθθ0 1

2 cos2cos2k

k dmxJk

( )

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≠=

=kmkmxJ m

202π

(3.52)

elde edilir (Korenev, 2002). Benzer şekilde (3.50ii) eşitliğinde m yerine k alınır,

eşitliğin her iki yanı θmsin ile çarpılır ve 0 dan π ye kadar integrali alınırsa,

( ) ( )∫∑∫∞

=+ +=

0 012

0

sin12sin2sin)sinsin( θθθθθθπ

dmkxJdmxk

k

( )⎩⎨⎧

−≠+=

=isekmxJisekm

m 12120

π (3.53)

elde edilir (Korenev, 2002). (3.52) ve (3.53) eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa,

( ) [ ] θθθθθππ

dmxmxxJ m ∫ +=0

sin)sinsin(cos)sincos(

θθθπ

∫ −=0

)sincos( dxm

( ) θθθπ

π

∫ −=0

)sincos(1 dxmxJ m (3.54)

elde edilir (Korenev, 2002). Burada m sıfır ya da pozitif tamsayıdır. (3.54) eşitliğine

Bessel integrali denir.

3.9. Bessel Denklemine Dönüşebilen Denklemler

Bessel denkleminin kanonik şekilde yazılışı;

( ) 0222 =−+′+′′ yxyxyx ν

şeklindedir. Bu denklemdeki x ve y değişkenleri, yeni bir t değişkeni ve ( )tu

fonksiyonuna bağlı olarak tanımlansın. Yani;

25

βγ tx = ve ( )tuty α= (3.55)

özel dönüşümleri yapılsın. Burada 0, ≠γβ olmak üzere βα , ve γ sabitlerdir

(Yıldız, 2000). Bessel denklemi bu dönüşümler altında tekrar düzenlenirse,

1−= ββγ tdtdx

dtdyt

dxdt

dtdy

dxdy β

βγ−== 11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

dtdyt

dxd

dxyd β

βγ1

2

2 1

dxdt

dtdyt

dtd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −β

βγ11

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= −−−

2

211

22 11dt

ydtdtdytt βββ β

γβ

bulunur. Yani,

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= −−−

2

211

222

2

11dt

ydtdtdytt

dxyd βββ β

γβ (3.56)

elde edilir. (3.55) dönüşümlerinin ikincisinden,

( )tutdtdut

dxdy 1−+= αα α (3.57)

( ) ( )dtduttut

dtudt

dtdut

dtdy

dtd

dtyd 12

2

21

2

2

1 −−− +−++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= αααα αααα

yani,

( ) ( )tutdtdut

dtudt

dtyd 21

2

2

2

2

12 −− −++= ααα ααα (3.58)

elde edilir (Yıldız, 2000). (3.55)-(3.56) ifadeleri, kanonik tipli Bessel diferansiyel

denkleminde yerine yazılır ve yeniden düzenlenirse;

( ) ( ) 01 22212

211

2

2

=−++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− −−−− yt

dtdytt

dtydt

dtdyttt νγ

ββ

βββ

ββββ

β

veya,

[ ] 0222222

22 =−++ yt

dtdyt

dtydt νβγβ β (3.59)

26

şeklinde yazılabilir. (3.57) ve (3.58) ifadeleri yukarıdaki son denklemde yerlerine

yazılırsa,

( )

[ ] 0

12

222221

212

22

=−+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−++

−

−−

uttutdtdutt

utdtdut

dtudtt

αβαα

ααα

νβγβα

ααα

elde edilir (Yıldız, 2000). Bu ifade düzenlenirse,

( ) ( ) 012 2222222

22 =+−+++ ut

dtdut

dtudt βγβνβαα (3.60)

elde edilir. Bu denklemde; 12 += αa , 222 νβα −=b , 22γβ=c , β2=m alınırsa,

( ) 02

22 =+++ uctb

dtduat

dtudt m (3.61)

elde edilir. Burada 0,0,0 ≠≠≠ cba dır. Kanonik tipli Bessel denkleminin genel

çözümü

( ) ( ) ( )xJcxJcxy νν −+= 21

şeklindedir. Sonuç olarak (3.55) özel dönüşümü göz önüne alınarak, (3.60)

şeklindeki Bessel denklemine dönüşen bir denklem sınıfının çözümü, kanonik tipli

Bessel denkleminin çözümü vasıtasıyla,

( ) ( ) ( ) ( )βν

αβν

αα γγ tJtctJtcxyttu −−−− +== 21 (3.62)

şeklinde bulunur (Yıldız, 2000).

Örnek3.1. 0913 6

2

22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++ yt

dtdyt

dtydt denklemi verilsin. Bu denklemin genel

çözümünü bulunuz.

Çözüm:

Burada, (3.61) ile verilen denklemden; cba ,, ve m ifadeleri;

312 =+= αa

91222 =−= νβαb

122 == γβc

62 == βm

27

olur. Yukarıdaki denklemler çözüldüğünde m,,, γβα değerleri;

922,

31,3,1 ==== mγβα

olarak bulunur. (3.62) den denklemin çözümü,

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

−− 3

922

12

3

922

11 3

191 tJtctJtcty

şeklinde bulunur.

3.10: Fourier-Bessel Açılımları

Bir )(xf fonksiyonu seri şeklinde;

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

1)(

kkk

xJaxfλ

µν (3.63)

olarak verilsin. Burada 1−>ν ve ...,, 321 µµµ ; 0)( =xJν denkleminin pozitif

kökleridir. ka katsayılarını belirlemek için (3.63) açılımının her iki tarafı ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λµν

xxJ k

ile çarpılır ve [ ]λ,0 aralığında integrali alınırsa;

∫ ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛λ λ

ννν λµ

λµ

λµ

0 0

)( dxxJxJadxxJxxf kkkk

elde edilir. Burada Bessel fonksiyonlarının aşağıdaki ortogonallik özelliğinden

yararlanılır.

( ) ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

==′

≠=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+∫ ikJJ

ikdxxJxxJ

ikik µλµλλ

µλ

µνν

ν

λ

ν1

22

0 22

0 (3.64)

(3.64) eşitliği ν ye göre Bessel fonksiyonlarının ortogonallik şartıdır. (3.64) eşitliği

göz önüne alındığında ia katsayıları;

( ) dxxJxxfJ

a kk

i ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+

λ

νν λ

µµλ 0

21

2 )(2 (3.65)

şeklinde bulunur. (3.63) formülündeki ia katsayıları (3.65) formülü ile belirlenir ve

)(xf fonksiyonuna Fourier Bessel seri ayrışımı denir.

28

4.BESSEL KARESİ DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ VE BU DENKLEM İÇİN

LİM-4 DURUMU

Aşağıdaki dördüncü mertebeden diferansiyel denklemi göz önüne alalım;

( ) ( ) yyqyqyqxr

Ly λ=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +′′−″′′= 012)(

1 bxa << , (4.1)

burada q0, q1 , 1q′ , q2 , 2q′ , 2q ′′ nin q2 > 0 olmak üzere bu fonksiyonların ),( ba

aralığında sürekli ve reel değerli olduğu farz edilir. Buradaki amaç Bessel

diferansiyel denkleminin karesi için öz fonksiyon açılım elde etme noktasına kadar

analizler yapmaktır. ν inci dereceden Bessel denklemi ;

2

2

dxyd +

x1

dxdy + ( s2 - 2

2

xν ) y = 0 (4.2)

şeklindedir. Bu denklemde s = λ alınırsa,

2

2

dxyd +

x1

dxdy + λ y - 2

2

xν y = 0

- 2

2

dxyd -

x1

dxdy + 2

2

xν y = λ y

x1 (- 2

2

dxydx -

dxdy +

x

2ν y ) = λ y

elde edilir. Burada ;

- 2

2

dxydx -

dxdy = - ( )′′yx

olduğundan yukarıda yerine yazılırsa;

x

My 1= (- )( ′′yx +

x

2ν y) =λ y (4.3)

denklemi elde edilir. Bu denkleme Bessel diferansiyel denklemi denir. Bu denkleme

M işlemi tekrar uygulanırsa;

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+′+′′−= y

xyyx

xMy

21 ν

yxx

yyMy 2

2ν+′

−′′−=

29

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+′

−′′−+′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−′+

′+′′

−′′′−−= yxx

yyx

yx

yxx

yxyyx

xyM 2

22

3

2

2

2

22 21 νννν

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+′−′′−+

′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−′+

′+′′−′′′−− y

xy

xy

xy

xy

xxyyyx

x 3

4

2

22

2

22 21 ννννν

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+′−′′−+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+′−′−′′+

′−′′

+′′′−′′′′−′′′−−

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yxx

yxyyyxy

x3

4

2

22

3

2

2

2

2

22

2

421

ννν

νννν

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+′−′′−

−′+′+′′−′

+′′

−′′′+′′′′

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yxx

yxyyyx

x3

4

2

22

3

2

2

222

2

4221

ννν

νννν

= ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+′⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++′′⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−′′′+′′′′ y

xy

xxy

xxyyx

x 3

22

2

2

2

2 4212121 νννν

elde edilir. Burada gerekli düzenlemeler yapılarak ;

( ) yyx

yx

yxx

yM λννν=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −+′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′+

−″′′= 3

2222 )4(211 (4.4)

denklemi elde edilir. Burada elde edilen dördüncü merteben diferansiyel denkleme

de Bessel karesi denklemi denir. (4.1) ve (4.4) denklemleri aynı olduğundan

xxr =)( , xxq =)(2 , )(1 xq = x

221 ν+ , )(0 xq = 3

22 )4(x−νν

bulunur.

4.1 Hamilton Sistem Formülü ve Regüler Sınır Koşulları

Dördüncü mertebeden diferansiyel denklemi Hamilton sistem şekline çevirmek için

Y= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

YY

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

4

3

2

1

yyyy

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′+′′′−

′

yqyqyq

yy

2

12 )( (4.5)

30

eşitliği kullanılarak (4.1) dördüncü mertebeden diferansiyel denklemi;

JY ′ = (λ A+B) Y = Y

q

qqxr

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

2

1

0

10000010000000

000000000000000)(

λ (4.6)

şeklinde ifade edilebilir. Burada hem A hem de B reel ve simetrik matrislerdir. J

matrisi

J = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −0

0

2

2

II

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−

001000011000

0100

(4.7)

şeklinde tanımlanmıştır (Fulton, 1988). Dördüncü mertebeden diferansiyel

denklemin çözümleri 1φ , 2φ sembolleri ile ve (4.5) den elde edilen vektörler de )2()1( ,ΦΦ sembolleri ile gösterilsin. (4.1) dördüncü mertebeden diferansiyel

denklemin çözümleri ),( λxy ve ),( µxz olsun; bu durumda denklemin Green

formülü;

[ ]∫ Ι=−b

a

baxzydxxryLzzLy )(,)()( (4.8)

olarak bulunur (Fulton, 1988). Burada [ ] )(, xzy ;

[ ]( ) ( ) ( )∫ −=b

a

dxxryLzzLyxzy,

( ) ( ) ( ) ( )∫⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +′′−″′′−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +′′−″′′=

b

a

dxzqzqzqxryyqyqyq

xrz

012012 )()(

( ) ( ) ( ) ( )∫ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +′′−″′′−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +′′−″′′=

b

a

dxzqzqzqyyqyqyqz 012012

zyqzyqzyqzyqzyqzyqzyqzyq ′+′′′−′′′+′′′−′−′′′+′′′−′′′= 12221222

( ) ( )[ ] [ ] [ ]zyzyqzyzyqzyzyzyzyq ′′−′′′+′−′−′′′−′′′−′′′−′′′= 212 (4.9)

olarak elde edilir. ),( λxZ ve ),( λxY , (4.5) in yöndeş vektörleri ise Green

formülünün;

31

( )∫ =−−b

a

ba

TT JYZAYdxZ |λµ (4.10)

versiyonu elde edilir (Fulton, 1988). (4.5) kullanılarak;

( ) ( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′+′′′−

′

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′+′′′−

′=

yqyqyq

yy

zqzqzq

zz

JYZ

T

T

2

12

2

12

001000011000

0100

= ( ) ( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′+′′′−

′

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′′′+′′′−′

yqyqyq

yy

zqzqzqzz

2

12212

001000011000

0100

= ( ) ( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′+′′′−

′⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′−−′′′+′′′−

yqyqyq

yy

zzzqzqzq

2

12212

= ( ) ( ) yqzyzqyqzyzqzyqzqy ′′′−′−′′′+′′′+′+′′′− 212212

= yqzyzqyqyqzyzqzyqzqzqy ′′′−′−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ′′′+′′′+′′′+′+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ′′′+′′′− 21222122

= ( ) ( ) yqzyzqyqzyzqzyqzqy ′′′−′−′′′+′′′+′+′′′− 212212

= ( ) ( )[ ] [ ] [ ]zyzyqzyzyqzyzyzyzyq ′′−′′′+′−′−′′′−′′′−′′′−′′′ 212 =[y,z](x)

bulunur. Buradan da;

[ ]zyxJYZ T ,))(( = (4.11)

eşitliğinin sağlandığı görülür. (4.1) dördüncü mertebeden diferansiyel denkleminin

dört çözümünün wronskiyenlerini değerlendirmek için bir özdeşliğe ihtiyaç vardır.

Bu özdeşlik; üçüncü mertebeden türevleri sürekli olan, dört fonksiyonu

},,,{ 4321 uuuu şeklinde tespit edilen cebirsel bir niceliktir. Dördüncü merteben

diferansiyel denklem için wronskiyen;

4321

4321

4321

4321

4321 ),,,(

uuuuuuuuuuuuuuuu

uuuuWx

′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′

= (4.12)

32

şeklinde tanımlanır. Bu durumda;

[ ]( ) [ ]( )

[ ]( ) [ ]( )

[ ]( ) [ ]( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+−

=

xx

xx

xx

x

uuuuuuuuuuuu

uuuuWq

3241

4231

4321

432122

,,,,,,

),,,( (4.13)

eşitliği elde edilir (Fulton,1988). ),( ba aralığındaki dördüncü mertebeden

diferansiyel denklem ile ilişkisi olan maksimal 1L operatörünün tanım kümesi;

),(|);,(({)( 321 baCfrbaLfLD ∈∈= ve )4(f nün ),( ba deki öz alt kümeleri

mutlak süreklidir, )});,((2 rbaLLf ∈ (4.14)

şeklinde ifade edilsin. Eğer ax = regüler bir uç noktası olursa, o zaman ax = da iki

sınır koşulu verilebilir. 1α ve 2α reel 2 x 2 matrisleri;

22211 ITT =+ αααα (4.15i)

01221 =− TT αααα (4.15ii)

koşullarını sağlasın. Bu matrisler yukarıdaki koşullara denk olan;

22211 ITT =+ αααα (4.15iii)

01221 =− αααα TT (4.15iv)

koşullarını da sağlar. )( 1LDf ∈ ve F nin (4.5) değişkenler değişimi adı altında

yöndeş vektörler oldukları düşünülürse, ax = daki iki regüler sınır koşulları;

( 1α , 2α ) F (a) = 1α 1F (a) + 2α 2F (a)

= 1α ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′ )(

)(afaf

+ 2α ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′′

′+′′′−)(

)()()(

2

12

afqafqafq

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡00

(4.16)

olarak yazılabilir. Benzer bir şekilde, eğer bx = regüler bir uç noktası olursa 1β ve

2β reel 2 x 2 matrisleri seçilsin. Bu matrisler

22211 ITT =+ ββββ (4.17i)

01221 =− TT ββββ (4.17ii)

koşullarını sağlasın. Buradan da iki regüler sınır koşulları;

( 1β , 2β ) F (b) = 1β 1F (b) + 2β 2F (b)

= 1β ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′ )(

)(bfbf

+ 2β ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′′

′+′′′−)(

)()()(

2

12

bfqbfqbfq

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡00

(4.18)

33

olarak yazılır. Burada ax = ve bx = deki regüler sınır koşulları (4.6) Hamilton

sistemi için self-adjoint sınır değer problemini ifade etmektedir. Diğer bir alternatifte

dördüncü mertebeden (4.1) diferansiyel denklemi ax = ve bx = deki regüler sınır

koşulları ile birlikte bir sınır değer problemi olarak kabul edilebilir (Fulton, 1988).

Bu da hem sistem formülünü hem de özdeğer probleminin skaler dördüncü

mertebeden formülünü elde etmeye yardımcı olur. Buradaki amaç Bessel karesi

denkleminin açılım teorisini ele almak için nasıl genişletilebileceğini göstermektir.

iα ve iβ matrisleri

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= )(

22)(

21

)(12

)(11

ii

ii

i αααα

α , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= )(

22)(

21

)(12

)(11

ii

ii

i ββββ

β i = 1,2 (4.19)

şeklinde tanımlansın. Bu durumda 1α ve 2α matrisleri;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= )1(

22)1(

21

)1(12

)1(11

1 αααα

α , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= )2(

22)2(

21

)2(12

)2(11

2 αααα

α

olarak ifade edilir. Burada da (4.15ii) koşulunda 1α ve 2α matrisleri yerine yazılırsa;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)1(

22)1(

21

)1(12

)1(11

αααα

T

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)2(

22)2(

21

)2(12

)2(11

αααα

- ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)2(

22)2(

21

)2(12

)2(11

αααα

T

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)1(

22)1(

21

)1(12

)1(11

αααα

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0000

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0000

122

112

121

111

222

221

212

211

222

212

221

211

)1(22

)1(21

)1(12

)1(11

αααα

αααα

αααα

αααα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0)1(

22)2(

22)1(

21)2(

21)1(

12)2(

22)1(

11)2(

21

)1(22

)2(12

)1(21

)2(11

112

212

)1(11

211

222

122

221

)1(21

212

122

211

)1(21

222

112

221

)1(11

212

112

211

)1(11 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++++

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++++

αααααααααααααααα

αααααααααααααααα

( ) ( )( ) ( ) 0

00

)1(12

)2(22

)1(11

)2(21

)2(12

)1(22

)2(11

)1(21

)1(22

)2(12

)1(21

)2(11

)2(22

)1(12

)2(21

)1(11 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−++−+

αααααααααααααααα

bulunur. Böylelikle;

( ) ( ) 0)1(22

)2(12

)1(21

)2(11

)2(22

)1(12

)2(21

)1(11 =+−+ αααααααα (4.20i)

( ) ( ) 0)1(12

)2(22

)1(11

)2(21

)2(12

)1(22

)2(11

)1(21 =+−+ αααααααα (4.20ii)

koşulları elde edilir. Bu da (Everit, 1957) tarafından kullanılan self-adjoint sınır

koşuluna denktir. Uygun başlangıç koşullarıyla a ve b deki iki sınır koşulunu

sağlayan lineer bağımsız çözümü bulmak için; ),( λxΦ ve ( )λ,xΨ sırasıyla a ve b

de tanımlanan çözümler olsun, başlangıç koşulları;

34

Φ (a,λ ) =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

)1(22

)1(12

)1(21

)1(11

)2(22

)2(12

)2(21

)2(11

1

2

αααααααα

αα

T

T

ve (4.21)

Ψ (b,λ ) = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−T

T

1

2

ββ

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

)1(22

)1(12

)1(21

)1(11

)2(22

)2(12

)2(21

)2(11

ββββββββ

olarak verilirsin. Burada Φ nin a da ki sınır koşulları, Ψ nin de b deki sınır

koşullarını sağladığı kolaylıkla gösterilir. Yukarıdaki başlangıç koşulları ile verilen

çözüm

Φ (x,λ ) = ( ))2()1( ,ΦΦ = ( ) ( )⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′′′+

′′′−′+′′′−

′′

2212

21221112

21

21

φφφφφφ

φφφφ

qqqqqq

(4.22)

ve

Ψ (x, λ ) = ( ))2()1( ,ΨΨ = ( ) ( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′′+′′′−+′′′−

′′′

2212

21221112

21

21

χχχχχχ

χχχχ

qqqqqq

(4.23)

olarak yazılabilir. Bu Φ nın her bir bileşeninin a da ki sınır koşullarının her ikisini

de sağladığı ve Ψ nin de b deki sınır koşullarının her ikisini de sağladığını gösterir.

(4.21) deki başlangıç koşullarında lineer bağımsız { })2()1( ,ΦΦ ve { }21,φφ ; lineer

bağımsız çözümlerdir. Aynı durum { })2()1( ,ΨΨ ve { }21 ,χχ içinde geçerlidir

(Fulton, 1988). Dördüncü mertebeden (4.1) diferansiyel denklemin çözümleri

{ }2121 ,,, χχφφ olarak gösterilir. (4.11) eşitliği ve (4.21) başlangıç koşulları

kullanılarak

( ) ( )λλ ,, xJxT ΦΦ = [ ]( ) [ ]( )[ ]( ) [ ]( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡xxxx

2221

1211

,,,,φφφφφφφφ

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0000

(4.24i)

35

( ) ( )λλ ,, xJxT ΨΨ =[ ]( ) [ ]( )[ ]( ) [ ]( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡xxxx

2221

1211

,,,,χχχχχχχχ

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0000

(4.24ii)

ve

( ) ( )λλ ′ΦΦ ,, aJaT = 0 ∀ λ , λ′ ∈C (4.25i)

( ) ( )λλ ′ΨΨ ,, bJbT = 0 ∀ λ ,λ′ ∈C (4.25ii)

bağıntıları elde edilir (Fulton, 1988). Burada [ ]( )x21 ,φφ = [ ]( )x21 ,χχ = 0 olduğu

görülür. (4.16) ve (4.18) sınır koşulları Φ ve Ψ kullanılarak;

( ) ( )aJFaT λ,Φ = [ ]( )[ ]( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛afaf

2

1

,,φφ

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛00

(4.26)

( ) ( )bJFbT λ,Ψ = [ ]( )[ ]( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛bfbf

2

1

,,χχ

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛00

(4.27)

olarak yazılabilir. İki regüler (4.16) ve (4.18) sınır koşulu için ara durumlar

özetlenirse; İlk önce öz değerler, aşağıdaki fonksiyonun kökleri olarak belirlenir.

( ) ),,,()( 212122

, χχφφλβαxWxqW = (4.28)

Yukarıdaki eşitlik de (4.13) eşitliği kullanılarak;

( )[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] ⎪

⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+−

==)(,)(,)(,)(,)(,)(,

),,,()(

1221

2211

2121

212122

,

λχφλχφλχφλχφλχχλφφ

χχφφλβαxWxqW

yazılabilir. Burada birinci satır (4.24i) ve (4.24ii) bağıntılarından 0 a eşit olur. Bu

durumda;

( )

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′′′′−

′′′′+

=

12

12

21

21

22

22

11

11

,

χφχφ

χφχφ

χφχφ

χφχφ

λβαW

=( )( )( )( )⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

′−′′−′−

′−′′−′

12122121

22221111

χφχφχφχφχφχφχφχφ

=22222121

12121111

χφχφχφχφχφχφχφχφ′−′′−′′−′′−′

=[ ] [ ][ ] [ ] )(,)(,

)(,)(,

2221

1211

λχφλχφλχφλχφ

36

=[ ]

[ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)](,[)(,)(,)](,[

det2221

1211

λχφλχφλχφλχφ

şeklinde yazılabilir. Bu eşitliğinde (4.24) den ( ) ( )λλ ,, xJxT ΦΨ ye eşit olduğu

biliniyor. Bu durumda;

=)(, λβαW det( ( ) ( )λλ ,, xJxT ΦΨ ) (4.29)

yazılabilir. Hamilton sistemi formülüne yardımcı olan 24× matrisleri için Φ ve Ψ

nin başka sembolleri kullanılır. 1φ ve 2φ hem de onların türevlerini içeren 22×

matrisleri ( )λ,1 xΦ ve ( )λ,2 xΦ ;

( )λ,xΦ = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΦΦ

)(x, )(x,

2

1

λλ

(4.30)

olarak tanımlanır. Benzer tanımlama ),( λxΨ için de yapılır. Yukarıdaki tanımlama

kullanılarak öz değerleri belirleyen 2x2 matrisi ; ( ) ( )λλλω ,),( xJxTT ΦΨ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

)()()()(

2212

2111

λωλωλωλω

= [ ]( ) [ ]( )[ ]( ) [ ]( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λχφλχφλχφλχφ

2221

1211

,,,,

= ),(),( 2211 λβλβ bb Φ+Φ

= ( ) ( ) TTTT aa 2211 ,, αλαλ Ψ−Φ−

= ( ) ( ) Taa ),,( 2211 λαλα Ψ+Ψ− (4.31)

olarak yazılabilir (Fulton, 1988). φ ve χ fonksiyonlarını Titchmarsh’ın

fonksiyonları “φ ve χ ’’ ile kıyaslayınca, φ ve χ ;

( )λφ ,x : = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)(x, )(x,

2

1

λφλφ

ve ( )λχ ,x : = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)(x, )(x,

2

1

λχλχ

(4.32)

olarak tanımlanır. (4.1) dördüncü mertebeden diferansiyel denklemi , ax = ve bx =

deki sınır koşullarıyla elde edilen sınır değer problemi için Green fonksiyonunun

ξ=x da bulunan 3 üncü mertebeden türevdeki sıçrayan süreksizliği ;

( )λω matrisiyle;

37

G(x, ξ , λ ) = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤≤

−

−

bxxxxaxx

T

T

p

p

ξλξφωλξλφωλξ

),,(),(),,(),(

1

1

(4.33)

olarak ifade edilir (Fulton, 1988). ( ) 0, ≠λβαW sağlayan her λ için rezolvent

operatör

( ) ( ) ( ) ( ) ξβα ξξλξλ drfxGfLR

b

a∫= ;,:; , (4.34)

şeklindedir (Fulton, 1988). Buradaki βα ,L ; sınır koşulları (4.16) ve (4.18) ile verilen

ve 1L in kısıtlanması olarak belirlenen self-adjoint operatördür.

)(λr = ( )λωrank ; ],[),( bak λ üzerinde lineer bağımsız olan λ nın öz fonksiyon

sayısı olarak tanımlansın. (4.35)

Teorem 4.1: (i) λ nın bütün değerleri için ( ) 2)( =+ λλ kr

(ii) λ n , βα ,W nin bir basit sıfırı ise , ( ) 1)( == nn kr λλ dir.

normal durumdaki reel değere sahip bir öz fonksiyon için

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]nnnnnn

n xxW

kx λφλωλφλωλλω

,, 212122

21

22

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′

=Ψ (4.36)

elde edilir. Burada “ k ” lineer bağımlılık ilişkisi tarafından belirlenen bir reel sabit

katsayıdır.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]nnnnnnn xxkxx λφλωλφλωλχωλχλω ,,,, 212122221122 −=− (4.37)

Burada ( ) 022 ≠λω kabulü yapılırsa, yukarıdaki öz fonksiyon

( ) ( )∫ =Ψb

an dxxrx 12 (4.38)

olarak elde edilir.

(iii) Eğer 0)( =nr λ ve 2)( =nk λ ise ve hem 1χ hem de 2χ , φ 1 ve φ 2 üzerinde

lineer bağımlı olursa;

( ) ( ) ( )λφλφλχ ,,, 22111 xcxcx += (4.39i)

( ) ( ) ( )λφλφλχ ,,, 22112 xdxdx += (4.39ii)

şeklinde sabitler oluşur. 01221 ≠−=∆ dcdc olur.

Bu durumda Schmidt ortagonalleştirme yöntemi ile;

38

( ) ( ) ( ) ( )nnn

n xcd

x λφλωλω

,1

21

1221121 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′−′

∆=Ψ (4.40i)

{ } ⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

′′−′′′−′

′−′−′−′=Ψ

21

21122211122112

212211211111212

))()()()())(()((

),())()((),())()(()(

nnnnnn

nnnnnnn

cd

xcdxdcx

λωλωλωλωλωλω

λφλωλωλφλωλω (4.40ii)

elde edilir.

(iv) βα ,L , self-adjoint operatöre karşılık gelen öz fonksiyon açılımı da;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xdxxrxfxxf n

b

an

n

Ψ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ψ= ∫∑

∀λ

(4.41)

şeklinde elde edilir. (Fulton, 1988)

4.2 ‘ S’ Dönüşümü ve Plücker Özdeşliği

S– dönüşümü, Bessel karesi denkleminin Lim-4 durumu için yardımcıdır. (4.1)

dördüncü mertebeden diferansiyel denklemin temel çözümleri },,,{ 4321 uuuu olarak

alınsın bu durumda

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

44434241

34333231

24232221

14131211

,,,,,,,,,,,,,,,,

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

001000011000

0100

(4.42)

normal koşulu yazılabilir (Fulton, 1988). Yukarıda yazılan koşul ve (4.13) eşitliği

kullanılarak;

[ ]( ) [ ]( )

[ ]( ) [ ]( )

[ ]( ) [ ]( )

1010

,,,,,,

),,,(

3241

4231

4321

432122 =

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+−

=

xx

xx

xx

x

uuuuuuuuuuuu

uuuuWq

elde edilir ve

( ) 1),,,( 432122 =uuuuWxq x (4.43)

olduğu görülür. (4.5) altındaki },,,{ 4321 uuuu den elde edilen vektörleri

},,,{ 4321 UUUU ile ifade edilerek ;

JxJUxU T =)()( 00 (4.44)

39

normal koşulu yazılabilir. 0U ;

[ ]43210 ,,, UUUUU = (4.45)

olarak ifade edilen 4x4 matrisidir (Fulton, 1988). Bu da 0U ın üçüncü ve dördüncü

satırlarını takip ederek 1det 0 =U olan (4.42) normal koşulunu kullanarak devam

ediyor. )( 1LDf ∈ için, (4.5) vasıtasıyla Hamilton sistemleri için yöndeş

elementlerle bağlantı kurulursa ;

f ↔ F =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′+′′′−

′

fqfqfq

ff

2

12 )(

elde edilir. Buradan S dönüşümü;

(SF) (x) = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)()()()(

2

1

xSFxSF

= 10−U F =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

),,,(),,,(),,,(),,,(

32122

42122

43122

43222

fuuuWxqufuuWxquufuWxquuufWxq

(4.46)

olarak tanımlanır. Bu eşitliğin sağ tarafı, Cramer kuralı uygulanarak ve FSFU =)(0

formülü kullanılarak kolayca bulunabilir (Fulton,1988). Yukarıdaki eşitliğin sağ

kısmı (4.12) kullanılarak sadeleştirilebilir; böylelikle

(SF) (x) =

[ ][ ][ ][ ] ⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

)(,)(,)(,)(,

2

1

4

3

xfuxfuxufxuf

=

( )( )( )( ) ⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

)()()()(

2

1

4

3

xJUFxJUFxJFUxJFU

T

T

T

T

(4.47)

elde edilir. Bu eşitlik ikinci mertebeden denklemlerdeki duruma benzer bir Plücker

özdeşliğidir (Fulton,1988).

Lemma4.1 : )(, 1LDgf ∈∀ için

[ ] )()()(, SFJSGJFGxgf TT == (4.48)

Sağlanır (Fulton, 1988).

İspat: Eğer (4.44) normalleştirmesi kullanılıp ve V0= 10−U yerine yazılırsa ;

JJVV T =00 (4.49)

elde edilir. Buradan ;

40

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) JFGFJVVGFUJGUSFJSG TTTTT === −−00

10

10

bulunur.

4.3: Lim-4 Durumu Genel Teori

(4.6) denklemi;

FJ ′= (λ A+B) F (4.50)

şeklinde yazılabilir. (4.42-45) ün 0U matrisinin

00 BUUJ =′ (4.51)

formülünü sağladığını varsayalım. (4.50) sisteminin çözümleri için S dönüşümünü

uygularsak;

)())(()( 10 xFUxSFxY −== (4.52)

olduğu görülür. 100−=UV için, (4.44) ve (4.49) kullanarak 0V ın

BUVJ T00 −=′ (4.53)

denklemini sağladığı görülür. Bu eşitlik kullanılarak; yukarıdaki değişken

değişiminin,(4.50) ifadesini;

( )YAUUYJ T00λ=′ (4.54)

eşitliği ile ifade edilen modifiye şekle dönüştürdüğü görülür. Burada

][00 ruuAUU jiT = (4.55)

alınmıştır. bx = deki lim-4 önermesi altında, )(xr e göre tüm çözümlerin

integrallenebilir fonksiyonlar olması koşulu sağlanır. Böylece ( )baLAUU T ,100 ∈ ve

(4.54) denkleminin bu çözümleri de, singüler lim-4 uç noktasındaki başlangıç

koşulları ile tanımlanabilir. Regüler uç noktasında da bx = , self-adjoint sınır

koşulları ifade edilebilir (Fulton, 1988). 1γ ve 2γ reel 2x2 matrisleri;

22211 ITT =+ γγγγ (4.56i)

01221 =+ TT γγγγ (4.56ii)

koşullarını sağlasın. bx = deki Lim-4 koşulları

( )21 ,γγ (SF)(b)= 1γ (SF)1(b) + 2γ (SF)2(b)

41

= 1γ [ ][ ] ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)(,)(,

4

3

bufbuf + 2γ

[ ][ ] ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)(,)(,

2

1

bfubfu = 0 (4.57)

olarak yazılabilir. Burada )(; 1LDf deki keyfi bir vektör ve Ff , de (4.46) – (4.47)

ile ilişkilidir. Lim-4 önermesi altında 4,1, =iui çözümleri bx = de r ye göre

integrallenebilir fonksiyonlardır (Fulton, 1988). Bu durumda bu da Green’nin (4.8)

formülünü

))((lim xSFbx→

=bx→

lim

[ ][ ][ ][ ] ⎟⎟

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

)(,)(,)(,)(,

2

1

4

3

xfuxfuxufxuf

(4.58)

olarak takip eder, bu ifade de )( 1LDf ∈∀ için geçerlidir. Bu şekilde (4.57) da

belirtilen limitler var olur ve bx = de dört lineer bağımsız sınır değeri ifade edilir

(Dunford and Schwarlz, 1963). ),( λxYb , bx = deki sınır koşullarını sağlayan (4.54)

denkleminin tek çözümü olsun. O halde

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

→ T

T

bbxxY

1

2,limγγ

λ (4.59)

olmak üzere

),()(),( λλ xYxUx bo=Ψ : (4.60)

alalım. (4.52) değişken değişimi altında, ),( λxΨ ; (4.50) denkleminin bir çözümüdür

ve bu yüzden dördüncü mertebeden (4.1) denklemin iki skaler çözümü 1χ ve 2χ nin

terimleri (4.23) şeklinde yazılabilir (Fulton, 1988). Bu durumda;

),)((),( λλ xSxYb Ψ=

elde edilir. Burada (4.54) modifiye edilmiş denklemi ihmal edip, (4.50) denkleminin

tek çözümü Ψ yi gözlemleyerek sınır koşullarıyla;

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Ψ

→1

2,)(limγγ

λT

bxXS (4.61)

yazılabilir. Burada (4.57) koşulları yerine yazılırsa, Ψ nin b deki sınır koşullarını

sağladığı görülür. (4.59) ve (4.60) deki iki sütun vektörde lineer bağımsız

olduklarından, ( ) ( ) ),( 21 ΨΨ=Ψ , (4.50) denkleminin iki lineer bağımsız çözümünü

42

verir ve skaler çözümlerden { 21,χχ } de lineer bağımsızdır. (4.11) ve (4.61) sınır

koşulları kullanıldığında

( ) ( ) [ ] [ ][ ] [ ] ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=ΨΨ

0000

)(,)(,)(,)(,

,,2221

1211

xxxx

xJxT

χχχχχχχχ

λλ (4.62)

ve

( ) ( ) CxJxT

bx∈′∀=′ΨΨ

→λλλλ ,0,,lim (4.63)

bağıntıları elde edilir (Fulton,1988). Bu bağıntıları kanıtlamak için (4.48) de Plücker

özdeşliği kullanılarak ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )λλλλ ′ΨΨ=′ΨΨ→→

,,lim,,lim xSJxSxJx T

bx

T

bx

= ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− T

T

J1

212 ,

γγ

γγ (4.64)

elde edilir. (4.57) singüler sınır koşulu Ψ nin terimleri ile ifade edilirse;

( ) ( ) [ ]( )[ ]( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Ψ

→ 00

,,

,lim2

1

bfbf

xJFxT

bx χχ

λ (4.65)

elde edilir (Fulton, 1988). Bu da kolaylıkla Plücker özdeşliğini ve (4.61) sınır

koşullarını kullanarak saptanabilir. γα ,L operatörünün tanım kümesi

{ }0)()()()(,0)()(|)()( 221122111, =+=+∈= bSFbSFaFaFLDfLD γγααγα (4.66)

olarak tanımlansın. γα ,L operatörü bir self-adjoint (kendine eş) operatördür. Regüler

durumda olduğu gibi, öz değerler aşağıdaki fonksiyonun kökleriyle belirlenir

( ) ( ) ( )( )xWqW x ωχχφφλγα det,,, 212122

, == . (4.67)

Buradan

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=ΦΨ=

)()()()(

,,2212

2111

λωλωλωλω

λλλω xJxTT

= [ ] [ ][ ] [ ] ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)(,)(,)(,)(,

2221

1211

λχφλχφλχφλχφ

= 1γ (SΦ )1 (b,λ ) + 2γ (SΦ )2 (b,λ )

= ( ) ( )( )Taa λαλα ,, 2211 Ψ+Ψ− (4.68)

elde edilir. (4.31) den kaynaklanan tek değişiklik, Plücker özdeşliği ve sınır

koşullarının (4.61) kullanımını gerektiren bx = deki )(λω nın değerlendirilmesidir.

43

Green fonksiyonu, rezolvent operatörü ve (4.32) – (4.41) deki öz fonksiyon açılımı

için olan formüller aynı kalır (Fulton, 1988).

Lemma 4.1. ( )γα ,, LDgf ∈ ve F, G (4.5) in yöndeş vektörleri olsun. Bu durumda;

[ ]( ) 0,lim =→

xgfbx

sağlanır (Fulton, 1988).

İspat : ( )γα ,LDf ∈ ise;

( ) ( ) ( )( ) 0211 =+ bSFbSF γγ

olduğu biliniyor. A sabit vektörü;

( ) ( ) ( ) ( )bSFbSFA 2211 γγ +=

şeklinde tanımlansın. Bu denklemler;

( ) ( )( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− AbSF

bSF 0

2

1

12

21

γγγγ

şeklinde yazılabilir. Burada 44× matrisinin tersi;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

TT

TT

12

211

12

21

γγγγ

γγγγ

olarak elde edilir. Yukarıdaki eşitlik 44× matrisinin tersi ile çarpılırsa;

( ) ( )( ) ( ) A

bSFbSF

T

T

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1

2

2

1

γγ

bulunur. Benzer şekilde G için bir 2-vektör vardır. G için de;

( ) ( )( ) ( ) B

bSGbSG

T

T

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1

2

2

1

γγ

eşitliği yazılır. Bu sonuçlar kullanılarak;

[ ]( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0,lim,lim1

212 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−===

→→AJBbSFJbSGxJFGxgf T

TTTT

bxbx γγ

γγ

elde edilir.

44

4.4. Bessel – Karesi Denkleminin Çözümleri

Bessel diferansiyel denkleminin (4.3) ;

( ) yyx

yxx

Ly λν=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+′′−=

21

şeklinde ifade edildiği biliniyor. Bu denklemi Bessel denklemine çevirmek için

gerekli düzenlemeler yapılırsa (4.3) denklemi

( ) 0222

22 =−++ yx

dxdyx

dxydx νλ

şekline dönüşür. Burada xs λ= dönüşümü yapılırsa

( ) 0222

22 =−++ νs

dsdys

dsyds

denklemi elde edilir. Bu denklem Bessel diferansiyel denklemidir. Bu denklemin

genel çözümü :

)()( sBJsAJy νν −+= (4.69)

olarak elde edilir. Burada A ve B sabitlerdir. Yukarıdaki genel çözümde s yerine

λ x yazılırsa (4.3) denkleminin genel çözümü;

)()( xBJxAJy λλ νν −+=

olarak elde edilir. Bessel karesi denkleminin dört çözümü; 0=x singüler bir nokta

olduğu için, 0=x ın yakınındaki Frobenius teorisinin uygulanması ile elde

edilebilir. Daha kolay bir yaklaşım da ),( λxz ikinci dereceden Bessel denkleminin

çözümü ise bunu yorumlamaktır (Fulton,1988). Bessel diferansiyel denkleminde y

yerine z yazılırsa;

( ) zzx

zxx

Az λν=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+′′−=

21

elde edilir. Bu denkleminin iki çözümü;

)(),( 21 xJxz λλλ ν

ν−

=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++Γ−

+∞

=

−

∑νν λ

νλ

k

k

k xkk

2

0

2

2)1(!)1(

45

= ν

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2x

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++Γ−∑

∞

=

k

k

kk xkk

2

0 2)1(!)1(

νλ (4.70i)

)(),( 22 xJxz λλλ ν

ν

−=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++−Γ−

−∞

=∑

νν λν

λk

k

k xkk

2

0

2

2)1(!)1(

=ν−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2x

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++−Γ−∑

∞

=

k

k

kk xkk

2

0 2)1(!)1(ν

λ (4.70ii)

olarak alınır. Bu çözümler, sabit ),0( ∞∈x için λ ya göre tam fonksiyonlardır.

Yukarıdaki yorumdan yyALy λ== 2 denkleminin çözümleri ),(),(2,1 λλ ±= xzxy

dır. Buradan dördüncü mertebeden Bessel karesi denkleminin çözümleri ;

),(),( 111 λλ += xzxy ),(),( 112 λλ −= xzxy (4.71i)

),(),( 221 λλ += xzxy ),(),( 222 λλ −= xzxy (4.71ii)

şeklinde yazılabilir. Yukarıdaki çözümler, λ nin kesirli üslerinin oluşumundan

dolayı λ ya göre tam fonksiyon değildirler. Ancak uygun lineer kombinasyonlarla,

kesirli üsler yok edilebilir. Bu şekilde dört lineer bağımsız çözüm ;

[ ]22211 21),( yyxw +=λ =

ν−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2x

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++−Γ∑∞

=

k

k

k xkk

4

0 2)12()!2( νλ (4.72i)

[ ]12112 21),( yyxw +=λ =

ν

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2x

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++Γ∑∞

=

k

k

k xkk

4

0 2)12()!2( νλ (4.72ii)

=),(3 λxwλ2

y y- 1211 + =ν

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2x

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+Γ−

−∞

=

−

∑24

1

1

2)2()!12(

k

k

k xkk ν

λ (4.72iii)

=),(4 λxwλ2

y y- 2221 + = ν−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2x

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−Γ−

−∞

=

−

∑24

1

1

2)2()!12(

k

k

k xkk ν

λ (4.72iv)

olarak bulunur. Yukarıdaki teorinin uygulanması için, normal çözümleri (4.42) ve

(4.43) koşullarını sağlayan λ = 0 için dört lineer bağımsız çözümü seçmek gerekli

olacaktır. Dört çözümü elde etmek için (4.4) Bessel karesi denkleminde λ = 0

yazılarak elde edilen Cauchy-Euler denklemi çözülebilir (Fulton, 1988). (4.4) Bessel

karesi denkleminde paydalar eşitlenip gerekli düzenlemeler yapılırsa;

46

0)4()21()21(2 2222234 =−+′++′′+−′′′+′′′′ yyxyxyxyx νννν

Cauchy-Euler denklemi elde edilir. tex = dönüşümü yapılarak gerekli düzenlemeler

yapılırsa;

[ ] 0)4()21()1()21()2)(1(2)3)(2)(1( 2222 =−+++−+−−−+−−− yDDDDDDDDDD νννν[ ] 0)4()22)(2( 2222 =−+−−− yDDDD ννν

bulunur. Buradan karakteristik denklemin çözümleri 2,, 321 +=−== νν mmvm ve

24 +−= νm olarak elde edilir. Bu durumda denklemin dört çözümü 2,, +− ννν xxx ve ν−2x olarak elde edilir. Plücker özdeşliğinin gerekliliği ve (4.42) normalleştirmesine

ulaşmak için, (4.9) eşitliği kullanılarak lineer olmayan sonuçlar hesaplanabilir.

Buradan

[ ]2, +− νν xx = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++−++−

++−++−−−−+−−

+−+−−

νννν

νννν

νννννν

νννννν

xxxxxxxx

x112

123

)2)(1()2)(1()2)(1()2)(1(

- [ ]1212

)2(21 +−+−− +−−+ νννν ννν xxxx

x

[ ]νννν νννν xxxx −+−− ++−++ )2)(1()1(1 22

= [ ] [ ] [ ]2222448124 2323 −−+−−−−−−−− ννννννν

= 2222448124 2323 −−++++−−− ννννννν

= νν 88 2 −−

= )1(8 +− νν

[ ]νν −2,xx = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−+−−−

−−−−−−−−−−

−−−−

νννν

νννν

νννννν

νννννν

xxxxxxxx

x112

123

)2)(1()2)(1()1)(2()2)(1(

- [ ]νννν ννν −−− −−+ 121

2

)2(21 xxxxx

[ ]νννν νννν xxxx −−− −−−−+ )1)(2()1(1 22

= [ ] [ ] [ ]2222448124 2323 −+−+−−+− ννννννν

= 2222448124 2323 −++−+−+−− ννννννν

= νν 88 2 +−

= )1(8 −− νν

elde edilir. (4.43) koşulunun sağlanması için; { }4321 ,,, uuuu fonksiyonları;

47

ν

ν−= xxu

21)(1

(4.73i)

ν

νxxu

21)(2 = (4.73ii)

23 )1(4

1)( +

+−= ν

νxxu (4.73iii)

24 )1(4

1)( +−

−−= ν

νxxu (4.73iv)

şeklinde seçilebilir. Bu fonksiyonlar (4.4) Bessel karesi denkleminin çözümüdür ve

dolayısıyla bu denklemi sağlar. Bu fonksiyonların her biri yukarıdaki Cauchy-Euler

denkleminde yerine yazılırsa;

02

)4(2

)21(2

)1)(21(2

)2)(1(22

)3)(2)(1( 221

222

23344 =

−+

+−

++−

++−

+++ −−−−−−−−− ννννν

ννννννννννν xxxxxxxxx

02

)4(2

)21(2

)1)(21(2

)2)(1(22

)3)(2)(1( 221

222

23344 =

−+

++

−+−

−−+

−−− −−−− ννννν

ννννννννννν xxxxxxxxx

0)1(4)4(

)1(4)2)(21(

)1(4)2)(1)(21(

)1(4)2)(1(2

)1(4)1)(2)(1( 2

221

22

21324 =

+−

−+++

−+

++++

+++

−+

−++− ++−− ννννν

ννν

ννν

νννν

νννν

ννννν xxxxxxxxx

0)1(4)4(

)1(4)2)(21(

)1(4)2)(1)(21(

)1(4)2)(1(2

)1(4)1)(2)(1( 2

221

22

21324 =

−−

−−−+

+−

−−++

−−−

+−

+−−− +−+−−−−−− ννννν

ννν

ννν

νννν

νννν

ννννν xxxxxxxxx

bulunur. Bu da { }4321 ,,, uuuu fonksiyonlarının Bessel karesi denkleminin çözümleri

olduğunu gösterir. Bu çözümlerin wronskiyeni için (4.43) koşulu, (4.12) in

kullanımıyla kanıtlanabilir. Bu durumda (4.43) koşulu;

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

′′′′′′′′′′′′−+

′′′′′′′′′′′′′′−+

′′′′′′′′′′′′′′′′−+

′′′′′′′′′′′′′′′′′′

−= ++++

432

432

432

114

432

432

432

113

432

432

432

112

432

432

432

1112 )1()1()1()1(

uuuuuuuuu

uuuuuuuuuu

uuuuuuuuuu

uuuuuuuuuu

ux

4321

4321

4321

4321

24321

22 ),,,()(

uuuuuuuuuuuuuuuu

xuuuuWxq x

′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′

=

48

şeklinde açılır. Buradaki her bir determinant birinci satıra göre ayrı ayrı açılırsa;

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

′′′′′′′′′′

′−+′′′′′′′′′′

′−+′′′′′′′′′′

′−=′′′′′′′′′′′′′′′′′′

− ++++

32

324

31

42

423

21

43

432

111

432

432

432

111 )1()1()1()1(

uuuu

uuuuu

uuuuu

uuuuuuuuuuu

u

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−+−−

++

−+−++

+−= −−−− 2

22

232

3

)1(16)2)(2(

)1(16)254)(2(

164

21 νννν

νννν

ννννννν

νxxxx

223

)1)(1(168822 −

−+−++−

= xνν

ννν

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

′′′′′′′′′′

−+′′′′′′′′′′

−+′′′′′′′′′′

−′−=′′′′′′′′′′′′′′′′− ++++

32

324

31

42

423

21

43

432

111

432

432

432

112 )1()1()1()1(

uuuu

uuuuu

uuuuu

uuuuuuuuuuu

u

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−+

++

−+−+

−−= −−−−− 1

21

231

21

)1(16)2(

)1(16)254(

16)4(

21 νννν

ννν

ννννν

νxxxx

223

)1)(1(162482 −

−+−−+−

= xνν

ννν

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

′′′′′′′′

−+′′′′′′′′

−+′′′′′′′′

−′′=′′′′′′′′′′′′′′− ++++

32

324

31

42

423

21

43

432

111

432

432

432

113 )1()1()1()1(

uuuu

uuuuu

uuuuu

uuuuuuuuuuu

u

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−+

++

−+

−+−+

= −− νννν

νννν

νν

νννν xxxx

)1)(1(16)232(

)1(162

)1)(1(16)4(

2)1( 22

2

22

)1(1622 −

−−

= xνν

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

′′′′′′

−+′′′′′′

−+′′′′′′

−′′′−=′′′′′′′′′′′′− ++++

32

324

31

42

423

21

43

432

111

432

432

432

114 )1()1()1()1(

uuuu

uuuuu

uuuuu

uuuuuuuuuuu

u

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−++

+−+−+−

+−+

−++= +++−− 11

21

23

)1)(1(162

)1)(1(1623

)1)(1(16)4(

2)2)(1( νννν

ννν

νννν

ννννν xxxx

22

)1(16422 −

−−+

= xννν

49

elde edilir. Bu değerler yukarıda yerine yazılırsa;

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−+

+−−

+−+

−−+−+

−+−++− −−−− 2

22

22

232

232

)1(16422

)1(1622

)1)(1(162482

)1)(1(168822 xxxxx

ννν

νν

ννννν

ννννν

=1

bulunur. Bu da (4.43) koşulunun sağlandığını gösterir. Bessel karesi operatörünün

0<ν <1 için Lim-4 durumuna düşmesi (4.72) ve (4.73) den görülür. Lim-4 durumunu

analiz edip, uygun sınır koşullarıyla bağlantılı öz değerlerin determinantı için 2x2

w – matrisi elde edilebilir. Buradan çözümler ;

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++−Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

+−Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

∞

=

−− k

k

k xkk

xxxw4

01 2)12()!2(21

12

),(νλ

νλ

νν

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

+Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

∞

=

k

k

k xkk

xxxw4

02 2)12()!2(21

12

),(νλ

νλ

νν

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+Γ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−∞

=

−

∑24

2

12

3 2)2()!12(2221

2),(

k

k

k xkk

xxxxwν

λν

λνν

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−Γ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−∞

=

−−−

∑24

2

12

4 2)2()!12(2221

2),(

k

k

k xkk

xxxxwν

λν

λνν

olarak yazılabilir. Burada 0→x için

( ) ))(01(1

12

),( 41 xxxw +

+−Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

νλ

ν

( ) ))(01(1

12

),( 41 xxxw +

+−Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

νλ

ν

( ) ))(01(2

12

),( 42

3 xxxw ++Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+

νλ

ν

( ) ))(01(2

12

),( 42

4 xxxw ++−Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+−

νλ

ν

bulunur. Bu eşitlikler aşağıda yerine yazılırsa;

( )λν

νλ ν ,21)1(2),( 11 xwxy −Γ= −

= ))(01()1(

122

1)1(2 4xx+

+−Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−Γ

−−

ννν

νν

50

= [ ])(0121 4xx +−ν

ν (4.74i)

( )λν

νλ ν ,21)1(2),( 22 xwxy +Γ=

= ))(01()1(

122

1)1(2 4xx+

+Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+Γ

ννν

νν

= [ ])(0121 4xx +ν

ν (4.74ii)

( )λν

νλ ν ,))1(4

1)(2(2),( 32

3 xwxy+

−+Γ= +

= ))(01()2(

12)1(4

1)2(2 42

2 xx+

+Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+Γ+

+

ννν

νν

= [ ])(01)1(4

1 42 xx ++

− +ν

ν (4.74iii)

( )λν

νλ ν ,))1(4

1)(2(2),( 42

4 xwxy−

−+−Γ= −

= ))(01()2(

12)1(4

1)2(2 42

2 xx+

+−Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+−Γ+−

−

ννν

νν

= [ ])(01)1(4

1 42 xx +−

− +−ν

ν (4.74iv)

şeklinde elde edilir. (4.47) eşitliğini uygulayıp, (4.46) deki S – dönüşümünde (4.73)

deki çözümü kullanarak, yukarıdaki her bir çözüm içinde (4.9) u, kullanıp lineer

bağımlı olmayan sonuçlar hesaplanabilir. 0→x gibi )](,[ 31 xuy için (4.9)

uygulanırsa;

)]()[()](,[ 31313131231 uyuyuyuyqxuy ′′′−′′′−′′′−′′′= ][ 31311 uyuyq ′−′− ][ 31312 uyuyq ′′−′′′+

elde edilir. Burada değerler yerine yazılırsa;

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++−+−

+−

+++−

= −−+−− 1424331 )1(4

)2)(1()](01[21

)1(41)](01[

2)2)(1()](,[ νννν

νννν

νννν xxxxxxxxuy

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++−+

−−

++−

++

− −−+−− νννν

ννν

ννν xxxxxxx

)1(4)2)(1()](01[

21

)1(4)2()(01[

2)1( 41142

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−

+−+

−+−

+− +−+−− 142:41

2

)1(4)2()](01[

21

)1(41)](01[

2121 νννν

νν

ννν xxxxxx

x

51

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++−+−

+−

++

+ −+−− νννν

ννν

ννν xxxxxx

)1(4)2)(1()](01[

21

)1(41)](01[

2)1(1 4242

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++=

νννν

8)](01[2

4)](01[21

2)](01)[2( 4424 xxx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−

++=

νννν

41

421

22)](01[

24x

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−−++=

νννν

412142)](01[

224x

)](01[ 4x+=

bulunur. Aynı yolla diğer değerlerde elde edilip yerine yazılırsa;

[ ][ ][ ][ ] ⎟⎟

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

)(,)(,)(,)(,

),)((

12

11

41

31

1

xyuxyuxuyxuy

xSY λ =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ +

+−

+−

)(0)(0)(0)(01

2

22

42

4

xxx

x

ν

ν

(4.75i)

[ ][ ][ ][ ] ⎟⎟

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

)(,)(,)(,)(,

),)((

22

21

42

32

2

xyuxyuxuyxuy

xSY λ =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+

+

)(0)(0

)(01)(0

22

2

4

42

ν

ν

xx

xx

(4.75ii)

[ ][ ][ ][ ] ⎟⎟

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

)(,)(,)(,)(,

),)((

32

31

43

33

3

xyuxyuxuyxuy

xSY λ =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

+

)(0)(01

)(0)(0

42

4

6

62

ν

ν

xx

xx

(4.75iii)

[ ][ ][ ][ ] ⎟⎟

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

)(,)(,)(,)(,

),)((

42

41

44

34

4

xyuxyuxuyxuy

xSY λ =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+−

+−

)(01)(0)(0

)(0

4

42

62

6

xxx

x

ν

ν

(4.75iv)

sonuçları bulunur. Buradaki iY vektörleri, (4.5) in değişken değişimleri altında iy ,

4,1=i den elde edilir.

52

4.5. Lim-4 Durumu 0<ν <1

Lim-4 durumunun genel teorisi; sağ uç noktasının lim-4 ve son bitiş noktasında

regüler olduğu zamanki durumu olarak aşağıdaki şekilde olur. 0=x da Lim-4

durumuna sahip olan ve bx = de regüler olan )1,0(∈ν için Bessel karesi

denklemine bu teori uygulansın. Buna göre 0=x daki sınır koşulu (4.46) – (4.47) da

(4.73) çözümlerini ve S dönüşümünü kullanarak

)0()()0()()0)()(,( 221121 SFSFSF γγγγ +=

= 1γ[ ][ ] ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)0(,)0(,

4

3

ufuf + 2γ [ ]

[ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)0(,)0(,

2

1

fufu = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛00

(4.76)

olarak tanımlanır (Fulton, 1988). bx = deki regüler sınır koşulları (4.18) şeklinde

verilir.Ψ çözümleri 1β ve 2β yi dahil eden (4.21) başlangıç koşullarıyla bx = de

tanımlanır ve Φ çözümleri de aşağıdaki sınır koşullarıyla (4.76) sınır koşullarını

doğrulamak için 0=x da tanımlanır.

( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Φ

→ T

T

xxS

1

2

0,lim

γγ

λ (4.77)

Burada 1γ ve 2γ , (4.56) koşullarını sağlayan 2x2 reel matrisleridir. 0=x daki Φ

çözümleri ve bx = deki bu Ψ çözümleri genelde 4x2 matrisiyle (4.22) ve (4.23)

olarak ifade edilir. (4.68) deki 2x2 matrisi ( )λω ifadesi

( ) ( ) ( )λλλω ,, xJxTT ΦΨ=

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)()()()(

2212

2111

λωλωλωλω

= [ ] [ ][ ] [ ] ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)(,)(,)(,)(,

2221

1211

λχφλχφλχφλχφ

= ( ) ( )λβλβ ,, 2211 bb Φ+Φ

= TSS )),0()(),0()(( 2211 λγλγ Ψ+Ψ− (4.78)

olarak elde edilir. (4.4) ve (4.18) self-adjoint sınır değer probleminin öz değerleri

( ) ( )( )λωλβγ det, =W (4.79)

fonksiyonunun sıfırlarıdır. 0=x noktası, Bessel karesi denklemi için singüler

noktası olduğu için, 0=x dan başka bir noktadaki başlangıç koşulları yardımıyla

53

çözümleri ortaya çıkarmak hiç de doğal olmaz. Bu sebepten dolayı, Bessel karesi

denkleminin çözümlerinin terimlerindeki; bx = de (4.21) başlangıç koşullarıyla

tanımlanan Ψ çözümünü ifade etmeye çalışmaktan kaçınılır. Bunun yerine (4.77)

uç koşulları ile tanımlanan Φ çözümüyle bağlantılı skaler { }21 ,φφ fonksiyonlarını

belirlenir. Böylelikle ( )λω fonksiyonunu kullanarak, öz fonksiyon teorisinin tüm

detayları çözülebilir (Fulton, 1988). Bu çözümler için

( ) ( ) ( )λβλβλω ,, 2211 bbT Φ+Φ=

= β 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′′ )()(

)()(

21

21

bbbb

φφφφ

+β 2 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′′′′

′+′′′−′+′′′

))(())(())(()()())(()()(

2212

21221112

bqbqbqbqbqbq

φφφφφφ

(4.80)

elde edilir. { }21 ,φφ fonksiyonlarının her biri (4.74) da 4,1, =iyi dört çözümünün

lineer bir birleşimi olmalı. (4.5) değişken değişimi altında 4,1=y yöndeş vektörlerin

terimleri, )1,0(∈ν için (4.75) dan takip edilirse,

[ ])0)((),0)((),0)((),0)(( 4321 SYSYSYSY = 1 ∈∀λ C (4.81)

elde edilir. (4.26) için

1γ = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)1(

22)1(

21

)1(12

)1(11

γγγγ

, 2γ = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)2(

22)2(

21

)2(12

)2(11

γγγγ

(4.82)

formülü veya

∑=

=4

1),(),(

jjiji xycx λλφ 2,1=i

ve

∑=

=Φ4

1

)( ),(),(j

jiji xYcx λλ 2,1=i

formülleri kullanılır. S dönüşümünü her iki tarafa uygulayıp, bilinmeyen sabit cij yi

bulmak için (4.77) sınır koşulları ve (4.81) eşitliği uygulanabilir. Buradan da ;

( ) 4)1(

123)1(

112)2(

121)2(

111 , yyyyx γγγγλφ ++−−= (4.83i)

( ) 4)1(

223)1(

212)2(

221)2(

212 , yyyyx γγγγλφ ++−−= (4.83ii)

54

elde edilir. (4.78) deki 2x2 matrisi ( )λω ; (4.80) de (4.83) eşitliği göz önünde

bulundurularak, bx = de değerlendirilen 4,1, =iyi çözümlerinin terimleriyle

yazılabilir. Bu da 21 ,γγ ve β 1, β 2 matrisleri ile ifade edilen tüm on altı sınır koşulu

katsayıları üzerindeki ( )λω nin açık ifadesini verir (Fulton, 1988).

Örnek: Bessel karesi denklemini 21

=ν için çözüp, Lim-4 durumunu uygulayınız.

Çözüm: Bessel karesi denkleminin çözümünü bulmak için Bessel fonksiyonlarından

yararlanılabilir. Bu durumda 21

=ν durumu için; )(xJν ve )(xJ ν− fonksiyonları;

( ) x

xxJ sin2

21 π

=

( ) xx

xJ cos2

21 π

=−

olarak ifade edilmektedir. Burada x yerine xλ yazılarak,

)sin(2)(21

21 x

xxJ λ

λπλ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (4.84i)

)cos(2)(21

21 x

xxJ λ

λπλ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (4.84ii)

şeklinde elde edilir. (4.74) de verilen Bessel karesi denklemlerinin dört çözümü ;

21

41

41

21

1 ))cosh()(cos(21),( xxxxxy =+=

−λλλ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑∞

=0

4

)!4(k

kk

xkλ (4.85i)

21

41

41

21

41

2 ))sinh()(sin(21),( xxxxxy =+=

−−λλλλ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∑

∞

=0

4

)!14(k

kk

xkλ (4.85ii)

21

41

41

21

43

3 ))sin()(sinh(21),( xxxxxy −=−−=

−−λλλλ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∑

∞

=

−−

1

241

)!14(k

kk

xkλ (4.85iii)

21

41

41

21

21

4 ))cos()(cosh(21),(

−−−=−= xxxxxy λλλλ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∑

∞

=

−−

1

241

)!24(k

kk

xkλ (4.85iv)

55

olarak bulunur. Bir örnek olarak ikinci mertebeden öz değer problemiyle birleşmiş öz

fonksiyon ve öz değerlerin karesini almayla sonuçlanan öz fonksiyon açılımını

düşünülebilir. Bu durumda

( )′′yx + 041

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+− yxx

λ (4.86i)

0,lim 21

0=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→

yxxWxx (4.86ii)

0)( =by (4.86iii)

eşitlikleri yazılabilir. (4.85) ile bağlantılı öz değer ve öz fonksiyonlar; 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

bk

kπλ , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

bxkxykπsin2

1

olarak tanımlanabilir. Buradaki öz fonksiyonu koruyan Bessel karesi denklemi için

uygun sınır koşullarına ulaşılırken ikinci mertebeden denklemin sınır koşullarının

nasıl alınması gerektiği açık değildir. Ancak bazı deneyimlerden sonra

1γ = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0001

, 2γ = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−1000

(4.87i)

β 1 = ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

21001

, β 2 = ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

21000

(4.87ii)

sınır koşullarının uygun olduğu görülür. 1γ , 2γ , β 1 ve β 2 matrisleri (4.76) ve (4.18)

de yerine yazılarak ;

[ ][ ]

[ ][ ] ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛00

)0](,[0

0)0](,[

)0(,)0(,

1000

)0(,)0(,

0001

2

3

2

1

4

3

fuuf

fufu

ufuf

[ ][ ] ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− )0(,

)0(,

2

3

fuuf

= [ ][ ] ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)0(,)0(,

22

3

yfyf

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛00

(4.88i)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′

′+′′′−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

00

)()()()(

21000

)()(

21001

bfbbfbbfb

bfbf

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

′′+′ ))()((2

1)(

bfbbf

bf = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛00

(4.88ii)

56

yöndeş sınır koşulları elde edilir. Buradaki sınır koşulları uygulanarak

),(),( 31 λλφ xyx = ),(),( 22 λλφ xyx = (4.89)

elde edilir. Bessel karesi probleminin, ( )λω matrisini belirleyen (4.78) kullanılarak

(4.88);

Tω (λ ) = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

′′+′′′+′ )]()([2

1)]()([2

1)()(

2211

21

bbbbbb

bb

φφφφ

φφ (4.90)

formülü ile verilir. (4.89) ve (4.85) yi kullanarak yapılan hesaplama daha sonra tüm

fonksiyonun sıfırları olarak öz değerleri verir.

))(det()(, λωλβγ =W

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−)sin()sinh(

21 4

141

21

bb λλλ (4.91)

)(, λβγW nın sıfırları

λ k = 4

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

bkπ , k = 1,2 … (4.92)

olup, bunların tümü basittir. ( ) 022 ≠nλω olduğundan, (4.36) – (4.37) in

normalleştirilmiş öz fonksiyonu hesaplamak için kullanılabilir. Buradan

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

bxkx

bxk

πψ sin2)( 21

(4.93)

bulunur. (4.88) sınır koşulları ile bağlantılı ν = 21 için öz fonksiyon açılım formülü

∑∞

=

Ψ=1

),()(k

kk xcxf ∫ Ψ=b

kk dxxfc0

)( (4.94)

olarak elde edilir.

59

ÖZGEÇMİŞ

Adı Soyadı : Pakize Neval ZEYNELGİL

Doğum Yeri ve Yılı : Isparta 1981

Medeni Hali : Bekâr

Yabancı Dili : İngilizce

Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)

Lise : 1995 - 1999, Gürkan Süper Lisesi

Lisans : 1999 - 2003, Dokuz Eylül Üniversitesi

Buca Eğitim Fakültesi, İlköğretim Matematik Öğretmenliği

Çalıştığı Kurumlar ve Yıl

Budur – Bucak Kocaaliler İlköğretim Okulu (2003 - 2005)

Isparta – Atabey 75. Yıl Y.İ.B.O (2005 - 2008)