‐ 1 ‐ U. Hoeppe, THM, Stand: 24.02.16 

Fehlerrechnung und –schätzung, lineare und nichtlineare Regression

Inhalt

0 Einleitung

1 Wahrer Wert, Erwartungswert, Messwert und Fehler

2 Einzelmessungen

3 Wiederholte (viele) Messungen

3.1 Gaußsche Normalverteilung

3.2 Vertrauensbereich = Konfidenzintervall

3.3 Fehler bei unbekannter Streuung „t-Faktoren“

4 (Viele) Messungen in Abhängigkeit einer Variablen: Regressionsanalyse

5 Gewichteter Mittelwert

6 Fehlerrechnung in der Kernphysik

7 Darstellung des Ergebnisses

8 Beispiele

8.1 Beispiel: Fehlerfortpflanzung

8.2 Beispiel: Statistischer Fehler bei definiertem Vertrauensniveau

8.3 Beispiele: Regressionsanalyse und Anfitten von Messdaten

8.3.1 Lineare Regression „von Hand“

8.3.2 Lineare Regression mit Excel

8.3.3 Lineare Regression mit Excel nach Linearisierung nichtlinearer Zusammenhänge

8.3.4 Lineare Regression mit qtiplot mit individuellen Fehlern

8.3.5 Nichtlineare Regression mit qtiplot

9 Im Script verwendete Notation

U. Hoeppe, 

0 E

PhysikaFehler zeinfach,

1 W

Im einfaWert „Fehler“„sehr w

Wir def

|

Die Ang

wahre W

[x-x, x

Dabei iswird:

Die

s

s

Achtung(ansche Bsp: StoAnwend

THM, Stand: 24.

Einleitung

alische Messzumindest g, die wichtig

Wahrer W

achsten Fall(= Erwartun“ wird aber

wahrscheinlic

finieren dah

|Wahrer We

gabe eines M

Wert mit e

x+x] liegt.

st egal ob d

Fehlerursa

statistische vers sind Ursa

systematisc vers habe Ursa

g: Die Unteinend) wide

oppuhr + 2 der; …

02.16 

sungen sindgrob abzuschgsten Begri

Wert, Erwar

l entspricht ngswert fallin der Fehl

ch max. Feh

her etwas vo

ert - Mess

Messergebn

einer (noch

er Fehler au

chen sind v

Fehler schwinden bd mit statistiache z.B. „R

che Fehler schwinden nen „immer dache z.B. fa

erscheidung ersprüchlich

Personen; V

d immer fehhätzen und ffe und Ver

rtungswert,

der Fehler ls nur statistlerrechnunghler“ verwe

orsichtiger:

swert x| = A

nisses in der

zu definiere

us Sicht des

vielfältig, zu

bei Mittelunischen MethRauschen“

nicht bei Mdie gleiche alsche Kalib

ist nicht imh.

Viele Geräte

hlerbehaftet,diesen auch

rfahren solle

, Messwert

x einer Mtische Fehle

g eher im Sinendet.

Abweichung

r Form x enden) hohe

s wahren W

u unterschei

ng von unenhoden berec

Mittelung voRichtung“,

brierung Me

mmer einfac

e/Bauteile H

, weshalb esh anzugebenen daher hie

und Fehle

Messung der er ) und demnne von „m

g Fehler

x bedeute

en Wahrsch

ertes oder d

iden (und ad

ndlich vielenchenbar

n unendlichaber nicht b

essmittel

h, die Liter

Hersteller –

s notwendign. Dies ist ner kurz wied

r

Differenz vm Messwert

max. möglich

x ( bzw

et dann, dass

heinlichkeit

des Messerg

ddieren) sin

n Messunge

h vielen Meberechenbar

atur teilwei

ein Gerät/B

Abb. 1: Abw

g ist, den jewnicht immerderholt wer

von dem wat x. Der Beghem Fehler“

w. xmax )

s der gesuch

in dem Inte

gebnisses be

nd

en

essungen ar

ise sogar

Bauteil bei

weichung un

‐ 2 ‐ 

weiligen r den.

ahren griff “ oder

(1)

hte

ervall

etrachtet

d Fehler

U. Hoeppe, 

2 E

Es ist ke

Falls dieentsprec

F

Für klei

linearisi

THM, Stand: 24.

Einzelmess

eine statistis

e Messgrößchend dem

F + F+ = F

ine Fehler ieren, und e

∆

02.16 

sungen

sche Betrac

ße x ungleicfunktionale

F(x+x) ; F

x lässt sich

es gilt F+ =

∆

htung mögl

h der gesucn Zusamme

F - F- = F(

h die Funktio

= F- = F

lich, der Fe

chten Größeenhang fort

(x-x)

on F(x) in d

mit

ehler x kan

e F(x) ist, p(Fehlerfort

F = F

der Umgebu

Abb. 

große

F + u

Abb. 

kleine

erlau

F m

nn nur abge

flanzt sich Fpflanzung):

F(x) +F+ /

ung des Mes

2: Fehlerfort

en Fehlern, e

und F – ist i.

3: Fehlerfort

en Fehlern, d

bt die Berech

it der Ableitu

eschätzt wer

Fehler :

/ -F-

sswertes me

tpflanzung b

eine Untersch

.A. notwendi

tpflanzung b

die Linearisie

hnung des Fe

ung der Funk

‐ 3 ‐ 

rden.

(2)

eist

(3)

bei 

heidung 

ig. 

bei 

erung 

ehlers 

ktion F. 

U. Hoeppe, 

Falls zuF=F(x, yTangent

a) Maxi

∆

b) Wahr

∆

(sog. Gaunabhän

Speziell

a) Summ

∆

∆

b) Produ

∆

∆

THM, Stand: 24.

udem mehrey, z, …) zu te tritt hier e

imal möglic

∆

rscheinlichs

∆

außsche Fengigen Mes

l gilt damit

men F =

∆ |

∆ ∙

ukte F =

∆

∆ ∙

02.16 

ere verschiedbestimmen

eine Tangen

cher Fehler

∆

ster Fehler b

∆

hlerfortpflassgrößen F a

für

ax + by + c

∙ ∆ | |

∙ ∆

xa · yb · zc …

∙ ∆ ∙ ∆

∆ ∙

dene Messun, addieren sntialebene):

= Summe fo

∆

bei unabhän

∆

anzung: Es ialle „in die

cz + … die

∙ ∆ | | ∙

∙ ∆

… die relat

∆ ∙ ∆

∙ ∆

ungen x, y, zsich die Feh:

fortgepflanz

∆ ⋯

ngigen Mes

∆ ⋯

ist unwahrsgleiche Ric

e Fehler add

∙ ∆ | ⋯

∙ ∆ ⋯

tiven Fehler

⋯

∙ ∆ ⋯

z, … nötig hlerfortpflan

zter Einzelfe

ssgrößen x, y

⋯

cheinlich, dchtung“ verf

dieren sich:

⋯

r addieren s

Abb. 

von z

Bei kl

darge

ebene

von 

sind um dienzungen (, a

ehler:

y, z, …:

dass die Fehfälschen.)

ich:

4: Fehlerfort

zwei unabhän

leinen Fehler

estellte Fläch

e und F ergFX undFY. 

e Größe an die Stelle

hler der

tpflanzung im

ngigen Mess

rn entspricht

he einer Tang

gibt sich als S

‐ 4 ‐ 

e der

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

m Fall 

sgrößen. 

t die 

gential‐

Summe 

U. Hoeppe, 

3 W

Hier ist

e

d

Zu unte

F

F

Zu beac

D

d

3.1 G

Streuen gemesseGaußvewahren

Für une

Messun

THM, Stand: 24.

Wiederholt

eine Statist

eine Mittelw

der Fehler d

erscheiden is

Fehler der E

Fehler des M

chten:

Statistische

Definition eder Breite d

Gaußsche N

n Messwerteene relative

erteilung g(xWert. Wie

endlich viele

ngen ist s zu

02.16 

te (viele) M

tik möglich,

wertbildung

der Einzelm

st der

Einzelmessu

Mittelwerte

e Streuung (

eines Vertrader gemesse

Normalver

e rein zufällie Häufigkeitx) an. Für ungroß ist der

e Messunge

umindest ein

Messungen

, insbesonde

g sinnvoll

messung bere

ung x, und

es ∆ ( wir

„Fehler“) b

auensbereichenen Häufig

rteilung

ig (stochasttsverteilungnendlich vir verbleiben

en entspricht

ne gute Schä

ere ist

echenbar (

d

rd mit Anza

bedingt Brei

hs erlaubt ugkeitsverteil

tisch) um deg mit der Aniele Messun

nde Fehler b

ht der Stan

ätzung für

Standard

ahl n der M

ite einer Häu

umgekehrt Alung

en wahren Wnzahl von Eingen entspribei endlich v

ndardabweic

.

dabweichun

essungen kl

ufigkeitsver

Angabe eine

Wert, so nähinzelmessunicht der Mitvielen Mess

chung s, bei

Abb. 5: 

Messun

dazu an

die norm

( Wah

ist const

ng).

leiner! )

rteilung

es Fehlers a

hert sich diengen einer ttelwert demsungen?

i endlich vi

Häufigkeitsv

ng eines Wer

ngepasste Ga

mierte Gauß

hrscheinlichk

t = 1.  

‐ 5 ‐ 

auf Basis

e

m

elen

verteilung de

tes x und die

außverteilung

verteilung 

keitsverteilun

er 

e 

g. Für 

ng) 

U. Hoeppe, 

Je besseMesswe

Je höherden Stan

Bei unemacht d

Standargrößer arechnun

weitere

3.2 V

Annahm

Da die nIntegralkeit, das

Bsp: D

dass der

Abb. 6: Z

ergibt fü

(grün + g

Grafik ge

THM, Stand: 24.

er die Qualierte also die

r die Anzahndardfehler

endlich vieledie Fehlerre

rdabweichunals der Stanng) bzgl. des

Korrekture

Vertrauens

me: Streuun

normierte Gl über die gess ein Mess

as Integral v

r Wert einer

Zur Definition

ür das 1‐Sigm

gelb) eine W

ewählten be

02.16 

tät der Einze Standardab

hl der Messur des Mittelw

√

en Messungchnung also

ng s auch nudardfehler s Mittelwer

en berücksic

sbereich =

g (und wa

Gaußverteiluesamte Vertwert in gen

von - 2

r Messung i

n des Konfid

ma‐Intervall (

Wahrscheinlich

ispielhaften 

zelmessungebweichung

∙ ∑

ungen, destowertes e

∙ ∑

gen wäre dero nur bei en

ur eine mäß. Für eine

rtes müssen

chtigt werde

Konfidenzi

ahrer Wert

ung G(x) einteilung = 1,

nau diesen B

bis + 2 e

in dem Inter

enzintervalls

(grün) eine W

hkeit von gu

Werten von

en, desto kls. Für den s

.

o genauer wergibt sich a

.

r Fehler desndlich vielen

ßig gute Sche genauere letztlich so

en.

intervall

) seien bek

ne Wahrsch und über e

Bereich fällt

ergibt 0,954

rvall [ - 2

s: Die Integra

Wahrscheinlic

t 95 %. (Die E

µ = 10 und 

einer wird dstatistischen

wird der daraus der Fehl

s Mittelwertn Messunge

hätzung für statistische

og. Vertraue

kannt.

heinlichkeitsinen Wertebt.

45 also gut 9

, + 2]

ation über di

chkeit von ca

Ergebnisse g

 = 2.) 

die Streuungn Standardfe

aus bestimmertheorie

tes also gleien. Leider is

und der FFehlerabsch

ensbereiche

sverteilung bereich die

95 %. Die W

liegt, ist da

ie normierte 

a. 68 %, für d

gelten unabh

g der einzelehler gil

mte Mittelw

ich null. Sinst dann die

Fehler ∆ ishätzung (bzdefiniert un

ist, ergibt dWahrschein

Wahrschein

aher gut 95%

Gaußverteil

das 2‐Sigma‐

hängig von de

‐ 6 ‐ 

lnen lt

(10)

wert. Für

(11)

nn

st i.A. zw. –nd

das nlich-

nlichkeit,

%.

ung 

‐Intervall 

en in der 

U. Hoeppe, 

Der Feh

dass der

entsprec

Umgeke

gut 95%

Der Feh

einer sta

3.3 F

Streuunendliche

In diese

W.S. Goeine (klwerden Faktoregewählt

Für den

∆

wobei s

Tab. 1: E

Bsp:  

n = 10 M

95 % sta

tP = 2

∆ %

Die tp-F„effektivVertraue

THM, Stand: 24.

hler des Mit

r aus n Mes

chend bei gu

ehrt heißt d

% im Interva

hler läge dem

atistischen S

Fehler bei

ng (und wen Zahl von

em Fall mus

osset) angeseine) endlicbei der Bern berücksicten statistisc

n von P und

∆ ∙

der Standa

Einige tP Fakt

Messungen 

at. Sicherheit

2,30

%, 2,3

aktoren entsven Vielfachensbereichs a

02.16 

ttelwertes ni

sungen best

ut 95%.

as (vgl. Kap

all [ - √

,

mnach mit e

Sicherheit v

unbekannt

ahrer Wert n Messunge

ss eigentlich

setzt werdenche Zahl vonrechnung vochtigt. Die t-chen Sicher

n abhängig

∙√

ardabweichu

toren  

t

30 ∙√

prechen alsoen“ der Streangesetzt we

immt mit de

timmte Mit

p.1), dass de

+

√] lieg

einer statist

von genau 9

ter Streuun

) sind i.A.n abgeschät

h an Stelle d

n. Für n n Messungeon Vertraue-Faktoren sirheit P abhä

gen Fehler d

∙

ung der gem

o in etwa eineeuung in der rden muss.

em Faktor √

ttelwert in d

er wahre W

gt.

tischen Sich

95% bei ∆

ng „t-Fa

. jedoch nictzt werden.

der Gaußver

geht diesen ergeben

ensintervalleind von derängig (vgl. T

des Mittelwe

∙ ∑

messenen Ei

em (von der Gaußverteilu

√ ab. Dahe

dem Interva

Wert mit ei

herheit von g

= , √

).

ktoren“

cht bekannt

rteilung ein

se in die Gasich (deutlien, und damr Anzahl derTab.1 und

ertes ∆ erg

,

inzelwerte e

Anzahl der Mung, welches

r ist die Wa

all [ -

√ ,

iner Wahrsc

gut 95% bei

, sondern m

e student-t-V

außverteilunche) Abwei

mit der Fehler Messungetp_Faktoren

gibt sich letz

entspricht.

Messungen as für die Bere

ahrscheinlic

+

√] lieg

cheinlichkei

i ∆ =

√ (

müssen aus e

Verteilung

ng über, abeichungen. Der, mit den sen n und dern.xls).

ztlich

abhängigen) echnung des

‐ 7 ‐ 

chkeit,

gt, auch

it von

(und mit

einer

(nach

er für Diese sog. t-r

(12)

U. Hoeppe, 

4 (

Oft wird(vgl. Ka

1. mögl

2. eine p

3. meist bestim Die meistandardden gesu

Abb. 7: Z

angepas

Summe (

mögliche

quadrate

Für denund b soStandargibt (wi

Wahrscviele M

Für ein Standarmultipli95 % stat

Die obewobei imFehler danalytis

THM, Stand: 24.

(Viele) Mes

d mit einer ap.3), sonde

ichst viele W

passende Fu

t mit einer gmmt, mit de

iste Softwardmäßig die uchten Para

Zur Methode

sst, bis die Su

(Residuen)

e Anpassung

e offensichtli

n Fall eines lowie die jewrdfehler ie schon in K

heinlichkeitMesspunkte (

höheres Verdfehler wieiziert werdet. Sicherheit,

en beschriebm Falle eineder Einzelmsch durchfüh

02.16 

ssungen in

Messung nern die Funk

Wertepaare

unktion (mi

geeigneten Senen sich di

re (z.B. auchMethode de

ametern auc

e der kleinste

umme der Ab

) bestimmen

g dargestellt,

ich größer.  

linearen Zuweiligen Stader daraus zKap.3) an, d

t von ca. 68(> 100) best

ertrauensniveder mit denen. , wobei h tP = 3,18)

bene Bestimer nichtline

messungen ahren und die

Abhängigk

nicht nur einktion oder d

F1(x1), F2(x

t zunächst n

Software unie Messdate

h Excel, Orer kleinsten ch deren Sta

en Quadrate:

bweichungsq

n sich die vom

 für die in a)

sammenhanandardfehlezu berechnedass der wa

8% im dem timmt wurd

veau oder/unn entsprechehier der We

mmung des Faren Regreslle gleich gre Parameter

keit einer V

n Wert x odderen Param

x2), … , Fn(

noch freien

nter Verwenen am besten

rigin, qtiplo Fehlerquad

andardfehle

: Die Parame

quadrate (grü

m Algorithmu

) angenomm

ngs er und enden Größahre Wert z.

Intervall [mden.

nd eine gerienden tp Fakert bei f = r-

Fehlers gilt ssion auch oroß, lässt sir und Fehler

Variablen:

der ein Funmeter selbst.

(xn) gemesse

Parametern

ndung der Mn beschreib

t, mathcad ,drate (least r.

eter der Gera

ün) minimal 

us angegebe

ene Gerade 

bestimmt

ße angB. des Para

m- m, m+

inge Anzahlktoren ( vgl2 zu nehme

für lineare oft von Fitteich eine liner „von Hand

Regression

nktionswert Dazu werd

en,

n) gewählt u

Messdaten den lassen.

,…) verwensquares fit)

adengleichun

wird. Aus de

en Fehler. In A

ist die Summ

werden z.Bt. Zudem wiegeben. Der

ameters m m

m] liegt, so

l von Messu. tp_Faktore

en ist. (Bsp.:

wie nichtlinen gesprocheare Regressd“ ausrechn

nsanalyse

F(x, …) bden

und

die Paramet

ndet hierfür ) und liefert

ng werden so

er verbleiben

Abb. b) ist di

me der Abwe

B. die Paramird der

er Standardfmit einer

ofern hinrei

ungen mussen_Tabelle.: r = 5 Wertep

neare Regrehen wird. Sision sogar nen (vgl. B

‐ 8 ‐ 

bestimmt

ter

t neben

o lange 

nden 

ie best‐

ichungs‐

meter m

fehler

chend

s der .pdf )

paare,

essionen, ind die

sp. in

U. Hoeppe, 

Kap. 8.3Sind dieMessbeEinzelm

(FehlOrigin oFall werwelche

AchtungMesswe

Anmerk

Auch wRegressMittelwfolgend

- Abwei Gültig- System

5 G

Haben vFehler, gebildetKehrweFehlern

Bsp: Zw

X1

X2

∆

Bei nich

Mittelwe

THM, Stand: 24.

3.1). Einface Fehler derreichs oder

messwerte en

lerbalken). Hoder qtiplotrden neben ggf. wie in

g: Auch hieerte berechn

kung:

wenn nur einsion (z.B. be

wertbildung den Gründen

ichungen vokeitsbereich

matische Fe

Gewichtete

voneinandermacht ein gt werden. Aerte der Fehln entspreche

∑

∑

wei verschie

1 = 32 0,5

2 = 34 2

32,1

0,49

ht statistisch b

ertbildung ge

02.16 

cher ist sicher Einzelmesverschieden

ntsprechend

Hierfür ben, die hier enden bestimm3.3 beschri

er wird nur dnet. Ein anzu

n Parameter ei vielen Me(nach ebens

n grundsätzl

on dem angh einer Linehler (z.B. K

er Mittelwe

r unabhängigewöhnliche

Als Wichtunlerquadrate

end stärker g

∙ ∆

edene Messu

9

 

Abb. 8

Mittel

genau

berechneten

emäß wi = x

er die Verwsungen untenen Zählratd ihren jewe

ötigt man entsprechendmten (Fit-)eben interpr

der statistiscunehmende

( z.B. eine essungen beso vielen Mlich vorzuzi

genommenenearisierung)Kalibrierung

ert

ige und meier Mittelwegsfaktoren w, womit diegewichtet w

∆∑

ungen der g

8: Messwerte

lwert von 33

ueren Messu

absoluten Ei

xi - 1 evtl. sinn

wendung einerschiedlichten in der Keiligen Fehl

eine etwas „pd erweiterte

Parameternretiert werd

che Fehler aer systematis

Proportionaei unterschi

Messungen biehen!

n Zusamme). gsfehler) kö

ist auch untert wenig Sinwi nimmt m

e vertrauenswwerden:

∑

gleichen Grö

e mit Fehlerb

3 nicht sinnvo

ng liegt. 

inzelfehlern

nvoller sein.

ner geeigneth groß (z.B.

Kernphysik),lern untersc

professioneAlgorithme

n deren Standen müssen.

aufgrund descher Fehle

alitätskonstaiedlichen Wbei dem glei

enhang werd

nnen ggf. er

terschiedlichnn. Hier sol

man bei statiwürdigeren

öße ergeben

balken: Offen

oll, da er auß

kann eine lin

ten Software. durch Wec, ist es sinnvhiedlich zu

ellere“ Softwen verwendendardfehler .

er Streuung er ist ggf. zu

ante) zu besWerten x ) ein

chen Wert x

den ggf. deu

rkannt werd

he Messungllte ein gewistischen Ei

n Ergebnisse

∆

n die Werte

nsichtlich ist 

ßerhalb des F

neare Wichtu

e wie z.B. Echsel des voll die wichten

ware, wie z.en. Auch inausgegeben

der einzelnu addieren!

stimmen istner einfachex) u.a. aus d

utlich (z.B.

den .

gen verschiewichteter Miinzelfehlerne mit den kl

t der arithme

Fehlerbalken

ung bei der

‐ 9 ‐ 

Excel.

.B. n diesem n,

nen

, ist eine en den

edene ttelwert

n die leineren

(13)

etische  

s der 

‐ 10 ‐ U. Hoeppe, THM, Stand: 24.02.16 

6 Fehlerrechnung in der Kernphysik

Die Messung sehr vieler (N) Einzelereignisse, also die Messung einer Zählrate über

eine lange Zeit reduziert den Fehler in z mit einem Faktor √ , da entsprechend mehr

Einzelereignisse gemessen werden. Wie ist aber im Falle der Messung einer Zählrate der absolute Fehler anzusetzen, und wie groß sind die Fehlerbalken bei einer grafischen Darstellung zu wählen?

Da die Zerfallswahrscheinlichkeit eines einzelnen Atomkerns sehr klein ist, bzw. die Zahl von Kernen sehr groß ist gegen die Zahl von gemessenen Zerfällen, kann die Standardabweichung hier über einen „Umweg über die Poisson-Verteilung“ abgeschätzt werden. Eine etwas schwierige Herleitung ergibt letztlich das einfache Ergebnis:

√ bzw. √ . (14)

Der Fehler N oder z (Fehlerbalken) ergibt sich dann entsprechend dem angesetzten Vertrauensniveau mit Δ ∙ bzw. Δ ∙ .

Für eine Sicherheit von z.B. 95% ist Δ ≅ 2 ∙ bzw. Δ ≅ 2 ∙ , da hier die Anzahl der Messungen der Zahl der Einzelereignisse N entspricht und i.d.R. sehr groß ist.

Bei gleicher Aktivität wird also der Fehler z mit √ kleiner, da N linear mit der

Messzeit t zunimmt!

Der absolute Fehler ∆ nimmt zwar mit N zu, der relative Fehler ∆

nimmt aber auch

hier mit √ab.

‐ 11 ‐ U. Hoeppe, THM, Stand: 24.02.16 

7 Darstellung des Ergebnisses Zu einem Messergebnis gehört auch immer der Fehler. Geben Sie daher Ihr Messergebnis abschließend immer mit Fehler an. Wird bei einer statistischen Auswertung abweichend vom Standardfehler ein höheres Vertrauensniveau als 68,3% gewählt, sollte dies ggf. angegeben werden.

Eine physikalische Größe besteht aus einer Zahl und einer Einheit. Wählen Sie sinnvolle Einheiten, d.h. gegebenenfalls Vorsätze wie k für„kilo“ oder m für „milli“ oder passende Zehnerpotenzen. Achten Sie darauf, dass zu vergleichende Werte, d.h. Ergebnis und Fehler, in gleichen Einheiten bzw. Zehnerpotenzen dargestellt werden.

Der Fehler wird üblicherweise mit ein bis zwei relevanten Stellen angegeben und grundsätzlich aufgerundet. Die Zahl der anzugebenden relevanten Stellen für das Ergebnis ist entsprechend der Größe des Fehlers zu wählen.

Als Zahl der relevanten Stellen bezeichnet man die Anzahl aussagekräftiger Ziffern ohne führende Nullen. Drei relevante Stellen haben z.B. die Zahlen 12,3 | 1,23 | 0,0123 | 1,23·10-4 .

Beispiele für eine falsche (schlechte) und richtige (sinnvolle) Angabe des Ergebnisses:

falsch / schlecht richtig / sinnvoll

g = (9,823456 0,481234) m/s² g = (9,823456 0,48) m/s² g =9,8 0,5 m/s²

g = (9,8 0,5) m/s²

x = 30 2210-2

x = 30,0 0,22

d = 0,023 m 0,976 mm

d = 23,0 cm 0,1 cm d = (23,0 0,1) cm

Tab. 2: Zur Darstellung eines Messergebnisses 

Um ganz allgemein die Qualität einer Messung zu beschreiben, ist die Angabe des relativen

Fehlers x/x sinnvoll, üblicher Weise in %. Für die Beispiele oben ergibt sich z.B.:

∆ 0,0510 0,06 → 6% bzw. ∆0,007333 0,0074 → 0,8% 1%

Je nach Zusammenhang ist auch die Angabe eines Fehlerintervalls sinnvoll, also z.B.:

Der Wert für g liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % im Intervall [9,3 m/s², 10,3 m/s²].

‐ 12 ‐ U. Hoeppe, THM, Stand: 24.02.16 

8 Beispiele

8.1 Beispiel: Fehlerfortpflanzung

Es wird die Geschwindigkeit v eines vorbeifahrenden Zugs bestimmt, indem mit einer Stoppuhr die Zeit t = 2,85 s gemessen wird, in welcher der Zug die Strecke s = 50 m zurücklegt. Eine Wiederholung der Messung ist nicht möglich, die Fehler der

Einzelmessungen werden mit t = 0,2 s und s = 0,5 m abgeschätzt.

Entsprechend Definition der Geschwindigkeit ergibt sich:

502,85

17,54 63,16

Entsprechend Gleichung (4) gilt für den maximalen Fehler:

∆ ∙ ∆ ∙ ∆

Die partiellen Ableitungen lauten explizit:

1

Für den maximalen Fehler ergibt sich damit

∆1∙ ∆ ∙ ∆

12,85

∙ 0,5502,85

∙ 0,2

0,175 1,23 1,405 1,5 ≅ 5,1

Das Endergebnis ist demnach 17,5 1,5 bzw. 63,1 5,1 .

Sind statistische Schwankungen für den abgeschätzten Fehler verantwortlich, und insbesondere die Messgrößen s und t voneinander unabhängig, verwendet man besser die Gaußsche Fehlerfortpflanzung entsprechend Gleichung (5):

∆ ∙ ∆ ∙ ∆1

∙ ∆ ∙ ∆

1

2,85∙ 0,5

502,85

∙ 0,2 1,24 ≅ 4,47

Das Endergebnis ist jetzt 17,5 1,3 bzw. 63,1 4,5 .

U. Hoeppe, 

8.2 B

Die TieZeit t bi

aus dem

genau b

Da von systemaGenauig

Die Me

Für denKap. 3.3Fehler d

∆

Nach Asich für

wahrschZeitmes

Der FehFehlerfo

∆

Die TieWahrscüber 10

THM, Stand: 24.

Beispiel: St

fe eines Bruis zum „Plat

m Zusammen

bekannt ang

Hand gestoatische Fehlgkeit zu erre

sswerte sind

n Fehler soll3 ergibt sichdes Mittelw

∆ %,

Addition des den Fehler

heinlichste Wssung zu

hler für die Tortpflanzung

∆ ∙

fe des Brunheinlichkeit%.

02.16 

tatistischer

unnens wirdtsch“ mit ei

nhang

enommen w

oppt wird, isler der Stoppeichen, wird

d:

l ein Vertrauh ein tp-Wer

wertes

∙√

systematiscr der Zeitme

Wert für die

∙ 9,81

Tiefe x des g:

∙ ∆ 2 ∙12

nnens beträgt von 95% i

r Fehler bei

d bestimmt, iner Stoppuh

, wobe

wird.

st die Zeitmpuhr, der md die Messu

Mittelwer

Standardf

Standardf

uensniveau rt von 2,3 u

2,3 ∙ 0,051

chen Fehleressung ∆

e Tiefe des

∙ 2,44 ∙

Brunnens e

∙ ∆ 9

gt demnach im Intervall

i definierte

indem manhr misst. Di

ei die Erdbe

messung ist smit 0,01 s anung daher 1

rt:

∑

fehler einer

fehler des M

√

von 95 % aund damit en

138 0,1

rs (obwohl h∆ %,

Brunnens b

29,20

ergibt sich a

9,81 ∙ 2,4

x = (29,2 l [ 26,1 m ;

em Vertrau

n kleine Steie Tiefe des

eschleunigu

sicher viel ungenommen 0 mal wiede

2,440

Einzelmess

∙ ∑

Mittelwertes

∙ ∑

angesetzt wentsprechend

1182 .

hier eigentli ∆

berechnet sic

.

aus dem Feh

44 ∙ 0,12

3,1) m, bzw32,3 m ]. D

uensniveau

ine hineinfas Brunnens x

ung mit

ungenauer awird. Um e

erholt.

sung nach G

0,

nach Gleich

erden. Entspd Gleichung

ich vernach

. 0,1282ch aus dem

hler der Zeit

82 3,07

w. x liegt mer relative F

allen lässt ux ergibt sich

9,81 hie

als der eine größere

Gleichung (1

,1625

chung (11):

0,05138

prechend Tg (12) für de

hlässigbar) e . Der

Mittelwert

tmessung u

7 3,1

mit einer Fehler liegt

‐ 13 ‐ 

und die h dann

er als

e

10):

ab.1 in en

ergibt

der

nd

bei

U. Hoeppe, 

8.3 B

8.3.1 L

GegebeDie Aufbei Anwdem Erg

Für die

Bsp.: M

x 

0,95 

2,2 

3,1 

4,0 

Die etw

m

Die obeVertrauFaktor mstatistisc

tp = 4,3

Damit g

m = 1,1

THM, Stand: 24.

Beispiele: R

Lineare Re

n seien n Mfgabe, diesewendung degebnis:

∙ ∑∙

Standardfeh

∙

∑

Messung von

y 

0,08 

1,38 

2,41 

3,65 

was mühselig

m = 1,16

en angegebeuensniveau vmultiplizierche Sicherh

zu multipli

gilt mit eine

6 0,24 un

02.16 

Regression

egression „v

Messwerte yi

en durch einr Methode d

∙ ∑

∙ ∑ ∑

hler gilt:

∑ ∑

1 ∑

n 4 Wertepa

ge Rechnun

b = -1,1

enen Fehler von z.B. 95%rt werden, wheit von 95%

zieren, also

er Sicherheit

nd b = -1,1

sanalyse un

von Hand“

i (xi) die verne lineare Gder kleinste

∑ ∙ ∑∑

∑∙ ∆

∙

aaren yi (xi)

ng (vgl. Line

0 y =

entsprechen% muss der

wobei hier d% sind hier

o m95% = 4

t von 95% f

0 0,66.

nd Anfitten

“

rmutlich in Gleichung deen Quadrate

∙ ∑ ∙

2

eare_Regress

= 0,124

n dem statisr Standardfe

der Wert beidie Fehler (

4,3·0,055 = 0

für Steigung

n von Mess

einem lineaer Form e zu einem lö

∑ ∙

∙

∑ ∙ ∑

sion_mit_Ex

m = 0,055

stischen Staehler wieder f = r-2 = 4-(vgl. tp_Fak

0,24 und b

g und Y-Ac

daten

aren Zusamm

ösbaren Gle

∙ ∑ ∑∙ ∑

∑∑ ∑

∑

cel.xls) ergib

b = 0,15

andardfehlerr mit dem en-2 = 2 zu nektoren_Tabe

b95% = 4,3·0

hsenabschn

mmenhang st darzustelleeichungssys

∙ ∑ ∙∑

∑∙ ∆

bt folgende

53

r. Für ein höentsprechendehmen ist. Felle.pdf ) m

0,153 = 0,66

nitt

‐ 14 ‐ 

tehen. en, führt stem mit

Werte:

öheres den tp Für eine mit

6.

‐ 15 ‐ U. Hoeppe, THM, Stand: 24.02.16 

8.3.2 Lineare Regression mit Excel

Die Länge einer hängenden Feder wird als Funktion daran aufgehängter Gewichte gemessen:

Mit Hilfe der Funktion „RGP“ von Excel (vgl. Lineare_Regression_mit_Excel.xls) wird eine Geradengleichung y = m·x + b angepasst. Man erhält als Ergebnis:

1) Y-Achsenabschnitt b = (33,3 1,0) mm, entspricht der Länge der Feder ohne Belastung.

2) Steigung der Ausgleichsgeraden m = (60,8 1,4) N/m , entspricht der Federkonstanten.

Die oben angegebenen Fehler entsprechen dem statistischen Standardfehler. Für ein höheres Vertrauensniveau von z.B. 99% muss der Standardfehler wieder mit dem entsprechenden tp Faktor multipliziert werden, wobei hier der Wert bei r = 12 bzw. bei f = r-2 = 12-2 = 10 zu nehmen ist. Der Tabellenwert (vgl. tp_Faktoren_Tabelle.pdf ) für tp ist 3,169. Der Fehler in der Steigung m, also der Federkonstanten, beträgt bei einer geforderten Sicherheit von 99% damit ∆ ∙ 3,169 1,4 / 4,44 / .

3) Ist z.B. aus konstruktiven Gründen nicht die Federkonstante, sondern die tatsächliche Länge der Feder entscheidend, verwenden wir den von der Funktion RGP ausgegebene Standardfehler „delta_y“ von in diesem Fall 1,634 mm und multiplizieren diesen mit dem tp Faktor 3,169 von oben.

∆ % ∙ 3,169 ∙ 1,634 5,178 5,2

Mit 99% Sicherheit ist der mit den aus der Messung bestimmten Parametern berechnete Wert

für die Federlänge mit einem Fehler von 5,2 mm behaftet.

y = 60,4 x + 33,8

0

20

40

60

80

100

120

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Federlän

ge / m

m

Kraft / N

U. Hoeppe, 

8.3.3 L

Oft lassfunktionmathemsollen h

a) Expo

Die Lin

Bsp.: La

Die LinDämpfu

und für

Der Feh

Fehlerfo

Die hierhöheres

Anmerku

Die Line

Offset Io

beschriebund vor durchfüh

THM, Stand: 24.

Lineare Re

en sich mit nalen Zusam

matische Umhier kurz bes

onentiell abf

nearisierung

ambert-Bee

neare Regresungsparame

0,029

die Anfang

,

hler für I0 er

ortpflanzung

r angegebens Vertrauens

ung:

earisierung w

off bei der Me

ben werden der Auswerthren. Dieser

02.16 

egression m

Hilfe der limmenhänge

mformung eischrieben w

fallende Fun

erfolgt inde

ersches Gese

∙ ∙

ssion (vgl. Leter

95 0,001

gsintensität

∙

rgibt sich au

g entsprech

∙

nen Fehler esniveau mus

wie oben besc

essung vorlie

muss. In eintung abzuziehFall tritt z.B

mit Excel na

inearen Regen bestimmeine Linearis

werden:

nktionen

em man den

etz

Lineare_Reg

12 ∙ 1/

115,9 8

us dem Fehl

hend

∙

entsprechenss ggf. wie

chrieben fun

egt und die g

em solchen Fhen oder ein. durch die s

ach Lineari

gression aucen, indem msierung vorn

n Logarithm

gression_mit_

,

8,3 ∙

ler für den Y

∙

n wieder demin Kap. 8.3

nktioniert nic

gemessene In

Fall muss mane nichtlinear

og. Nullrate

isierung ni

ch die Paramman zuvor dnimmt. Zwe

mus über der

ln ln

_Excel.xls) e

Y-Achsenab

:

115,9 ∙ 0

m statistisch.2 beschrieb

ht mehr, wen

ntensität eigen

an den Offsere Regressionbei Messung

chtlinearer

meter von nidurch eine gei häufig vo

r Variablen

n ∙

ergibt für de

bschnitt

,071 8,2

hen Standardben verfahre

nn z.B. ein zu

ntlich mit

et versuchen n mit der pasgen einer Ra

r Zusamme

ichtlinearengeeignete orkommende

n x = d auftr

: ∙

en linearen

ln und

23 8,3

rdfehler. Füren werden.

zusätzlicher a

∙ ∙

separat zu mssenden Funkadioaktivität a

‐ 16 ‐ 

enhänge

n

e Fälle

rägt.

d

r ein

additiver

messen ktion auf.

U. Hoeppe, 

b) Therm

Die Lin

Bsp.: Te

Die Lin

für den

1

Der Stan

Fehler d

Die Linder oben

Der Stan

Fehler d

Es verbl

Die hierhöheres

THM, Stand: 24.

mische Proz

nearisierung

emperaturab

neare Regres

Frequenzfa

139 1

ndardfehler

des Paramet

nearisierung n berechnet

ndardfehler

des Paramet

∙

leibt also fü

r angegebens Vertrauens

02.16 

zesse die du

erfolgt, ind

bhängige D

∙ ∙

ssion (vgl. B

aktor

.

r für D0 bere

ters ln

∙

von D wurte Fehler sin

r für Qa bere

ters

∙ |

ür wie

nen Fehler esniveau mus

urch den sog

dem man de

Diffusionsko

Beispiele_8.

72,5 1

echnet sich

bzw.

∙

rde in Einhend daher no

echnet sich

:

| ∙ 8

auch für

entsprechenss ggf. wie

g. Boltzman

en Logarithm

onstante

ln

.3.xls) liefer

11 und

wie bei a) m

∙

eiten cm²/s dch mit diese

formal auch

8,3145

nur die Mu

n wieder demin Kap. 8.3

nnfaktor bes

mus über de

n ln

rt nach Umr

d die molare

mittels Fehl

:

72,5 ∙ 0

durchgeführer Einheit z

h mittels Fe

∙∙ 103,4

ultiplikation

m statistisch.2 beschrieb

stimmt sind

er Variablen

∙

rechnung di

e Aktivierun

lerfortpflanz

0,142 10,

rt. Das Ergeu multiplizi

ehlerfortpfla

4 ∙ 859

n mit dem F

hen Standardben verfahre

d

n x = 1/T au

: ∙

die gesuchten

ungsenergie

zung aus de

,29 11

ebnis für D0

ieren.

anzung aus

9 1

Faktor R.

rdfehler. Füren werden.

‐ 17 ‐ 

ufträgt.

n Werte

em

0 und

dem

r ein

‐ 18 ‐ U. Hoeppe, THM, Stand: 24.02.16 

Lineare Regression ohne Wichtung

Y -

We

rte

0

20

40

60

80

100

120

140

x-Werte

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Dataset : Table1_2Function : A*x+BChi 2/doF = 8,8437e+01R^2 = 0,9339B = -1,6248e+01 +/- 5,1098e+00A = 7,6143e+00 +/- 5,6200e-01

Lineare Regression mit Wichtung / Fehlerbalken

Y -

We

rte

0

20

40

60

80

100

120

140

x-Werte0 2 4 6 8 10 12 14 16

Dataset : Table2_2Function : A*x+BChi 2/doF = 6,6031e+00R^2 = 0,9984B = -3,3575e+00 +/- 2,8237e-01A = 4,9319e+00 +/- 1,5570e-01

8.3.4 Lineare Regression mit individuellen Fehlern

Sind die Fehler der Einzelmessungen unterschiedlich groß (z.B. durch Wechsel des Messbereichs oder verschiedenen Zählraten in der Kernphysik), ist es sinnvoll die Einzelmesswerte entsprechend ihren jeweiligen Fehlern unterschiedlich zu wichten.

Hierfür benötigt man eine etwas „professionellere“ Software, wie z.B. Origin oder qtiplot, die hier entsprechend erweiterte Algorithmen verwenden. Wie unten gezeigt wird, ergeben sich bei unterschiedlicher Wichtung der Messpunkte entsprechend ihren jeweiligen Fehlern für die Fitparameter unterschiedliche Ergebnisse.

Bei qtiplot erfolgt die Wichtung durch das Einfügen von Fehlerbalken. (Dazu Grafik

anwählen, und dann im, Menü Graph Add Error Bars …wählen. Letztlich wird dann eine zusätzliche Spalte mit den Fehlern in der Datentabelle eingefügt, die dann auch frei editiert werden können.) Grundsätzlich können Fehlerbalken für x- und y-Werte angelegt werden.

Die folgenden Beispiele (vgl. Fit_linear_gewichtet.qti ) zeigen die Auswirkung einer Wichtung durch Einfügen von Fehlerbalken (10% des Messwertes y) bzgl. der Messwerte y:

 

Einfache lineare Regression: 

Alle Werte werden bei 

Berechnung der Ausgleichs‐

geraden gleich berücksichtigt. 

 

 

 

 

 

Gewichtete  lin. Regression 

nach Einfügen von Fehler‐

balken:  Die Messwerte y sind 

hier mit einem relativen 

Fehler von 10% behaftet.  

Die Ausgleichsgerade fällt 

deutlich flacher aus, da die 

„oberen“ Messwerte 

aufgrund ihres Fehlers 

weniger stark berücksichtigt 

werden. 

U. Hoeppe, 

Y -

We

rte

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0

Y -

We

rte

0

20

40

60

80

100

120

140

0

8.3.5 N

Der VortnichtlineFunktion

Im Folge

a) Expon

THM, Stand: 24.

20

Zum Ve

20

Nichtlinear

teil einer proeare Funktionnen, die sich

enden werde

nentieller Ab

02.16 

Fit: Exponen

40

Vergleich: Fit Ex

40

re Regressi

ofessionellerenen wählbar schlecht ode

en nur kurz d

bfall mit und

ntieller Abfall m

x-Werte

60 80

Dataset: TFunction: Chi^2/doR^2 = 0,9A = 1,3667t = 2,4279ey0 = 1,621

xponentieller A

x-Werte60 80

DataseFunctiChi^2R^2 = A = 1,3t = 3,73

ion mit qtip

en Software bzw. editierb

er gar nicht l

die Ergebniss

ohne Offset

mit Offset

100

Table1_2y0+A*exp(-x/t

oF= 4,3864e+099797e+02 +/- 2,98e+01 +/- 1,3115e+01 +/- 1,6

Abfall ohne Offs

100

et: Table1_2ion: A*exp(-x/t/doF= 4,50680,9754

3776e+02 +/- 350e+01 +/- 3

plot

wie Origin orbar sind. Inslinearisieren

se der Beispie

t ( vgl. Expo

120 14

t)00

845e+0077e+006080e+00

set

120 14

t)8e+01

6,9039e+003,6557e+00

oder qtiplot besondere lalassen, an M

ele anbei dar

onentieller_A

40

40

ist vor allemassen sich da

Messdaten anp

rgestellt:

bfall.qti )

Durch Be

offensich

Offsets, w

punkte gu

beschrieb

Die Quali

R² = 0,99

hoch, die 

Ohne Ber

Offsets, w

punkte de

durch den

Die Quali

R² = 0,975

Fehler für

und t ents

größer.

m, dass fast beadurch auch passen (fitten

erücksichtigu

htlich vorhan

werden die M

ut durch den

ben.  

ität des Fits i

79 entsprech

e Fehler relat

rücksichtigun

werden die M

eutlich schle

n Fit beschrie

ität des Fits i

754 schlechte

r die Parame

tsprechend d

‐ 19 ‐ 

el.

n).

  

ng des 

denen  

Mess‐

n Fit 

ist mit 

hend 

tiv klein. 

          ng des 

Mess‐

chter 

eben.  

ist mit 

er und die 

eter A 

deutlich 

U. Hoeppe, 

b) Gauß

MessdaLorentzvon beidsondern

Fit einer 

xc = 1008

 

Fit einer 

Qualität 

xc = 1008

bestimm

Tra

nsm

itti

erte

Leis

tun

g [

au

]

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

995

Tra

nsm

itti

erte

Leis

tun

g [

au

]

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

995

THM, Stand: 24.

ßkurve oder

aten ist i.A. nzkurve beschden Modell

n i.A. auch I

Gaußkurve a

8,6  und der 

Lorentzkurv

t des Fits mit 

8,7. Der Para

mt sich z.B. di

5

Dataset : TableFunction : y0+Chi 2/doF = R^2 = 0,9746A = 2,6490e+02xc = 1,0086e+0w = 3,0282e+0y0 = 3,8049e+0

5

Dataset : TableFunction : y0+Chi 2/doF = R^2 = 0,9926A = 3,9780e+02xc = 1,0087e+0w = 3,1088e+0y0 = -8,7541e-0

02.16 

r Lorentzkur

nicht einfachrieben werlen. Man erhInformation

an fiktive Me

Kurvenbreite

ve an die glei

R² = 0,993 d

ameter w = 3

ie Güte des R

1.000

e1_2+A*sqrt(2/PI)/w*e

1,5592e+01

2 +/- 1,4495e+003 +/- 7,3946e-0200 +/- 1,6366e-0100 +/- 1,1423e+0

1.000

e1_2+2*A/PI*w/(4*(x-

4,5592e+00

2 +/- 1,6061e+003 +/- 3,6673e-0200 +/- 1,3960e-0101 +/- 8,0857e-0

rve (vgl. G

ch anzuseherden. Hier hhält dadurch

nen über die

essdaten. Die

e w = 3,03 ge

ichen Daten m

deutlich höhe

3,11 gibt die 

Resonators zu

Ga

Freque1.005

exp(-2*((x-xc)/w)

12100

Lor

Freque1.005

-xc)^2+w^2)

12101

Gauss_Loren

en, ob sie behilft das Anfh nicht nur e

e zugrundeli

e wichtigen E

egeben. Die S

mit deutlich 

er. Die Kurve

sog. Halbwe

u f/f‐3dB  = 3

außkurve

enz f [ MHz1.010

)^2)

rentzkurve

enz f [ MHz1.010

ntz.qti )

esser mit einfitten und deine bessereiegenden ph

Ergebnisse s

Streuung   

besserem Er

nlage ( Re

ertslinienbrei

324.

z ]0 1

z ]0 1

ner Gaußkurer anschließer Beschreibhysikalische

ind mit der K

entspricht w

rgebnis, ents

esonanzfrequ

ite ( f‐3dB )

1.015

1.015

urve oder einßende Vergbung der Men Prozesse

Kurvenlage 

w/2 also ca. 1

sprechend lie

uenz in MHz)

) in MHz an.

1.020

1.020

‐ 20 ‐ 

ner leich

Messung, .

1,5 . 

egt die 

) liegt bei  

Damit 

‐ 21 ‐ U. Hoeppe, THM, Stand: 24.02.16 

c) Fit von überlagerten Kurven, hier: Spektrum mit zwei Lorentzlinien (z.B. Resonatormoden)

(vgl. Multiple_Lorentz.qti.)

In diesem Beispiel überlagern sich zwei Lorentzlinien (oder – kurven), diese sind zwar noch zu unterscheiden, aber nicht getrennt auswertbar. Hier hilft nur ein Fit mit dem Ansatz für zwei überlagerte Linien. Als Ergebnis erhält man dann die Parameter für zwei Linien:

A1 = 1,9293e+03 +/- 3,0999e+01 A2 = 1,3993e+03 +/- 3,3655e+01

xc1 = 1,0434e+03 +/- 8,5631e-02 xc2 = 1,0830e+03 +/- 1,3233e-01

w1 = 1,5086e+01 +/- 2,9119e-01 w2 = 1,6289e+01 +/- 4,6280e-01 In diesem Fall also die Resonanzlinien zweier Moden bei 1043,4 MHz und 1083,0 MHz mit leicht unterschiedlichen Amplituden aber vergleichbarer Linienbreite von ca. 1,5 MHz. 9 Im Script verwendete Notation

x Fehler

x Standardfehler (Statistik)

s Standardabweichung

Streuung

x, y, z Messwerte

wahrer Wert (Erwartungswert)

f Anzahl der Freiheitsgrade

n Anzahl von Messungen

r Anzahl Wertepaare bei lin. Regression

wi Wichtungsfaktoren

tp tp - bzw. t - Faktor bzgl. Student-t-Verteilung

Überlagerte Lorentzlinien

Tra

nsm

itti

ert

e L

eis

tun

g [

au

]

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Frequenz f [ MHz ]1.000 1.050 1.100 1.150

MesswerteLorentzFit1Peak1Peak2