Fascicule RDM

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HBBCHAPITRE II. COMPORTEMENT DES MATERIAUXLeon 01: BUT ET METHODES DE LA RDMI. But de la RdMCest une science dont lobjet est de dterminer les dimensions dun lment dune construction de telle sorte quil soit capable de rsister dans les meilleures conditions de scurit et dconomie, aux efforts quil est cens recevoir compte tenu de la fonction quil possde dans la construction.Cest une science qui sappuie sur la statique et la complte: la statique sintresse aux forces extrieures sollicitant un solide la R.d.M. va plus loin et soccupe des forces intrieures et des dformations rsultant de lapplication sur le solide tudi dactions extrieures.Lors de ltude dune construction (btiment, ouvrage dart, ), la R.d.M. intervient trois niveaux: stabilit: chaque lment doit tre en quilibre. Lensemble de la construction doit tre galement en quilibre (stabilit densemble) rsistance: chaque lment de la construction doit pouvoir supporter les charges prvues sans risque de rupture dformation: les lments de la construction doivent avoir une rigidit suffisante de faon supporter les charges sans dformation excessive.La R.d.M permet de traiter les deux problmes suivants: le dimensionnement:Dterminer les dimensions dune pice de telle sorte quen tout point de celle-ci, les contraintes (forces intrieures) et dformations produites par les charges quelle est cense recevoir, restent dans des limites conformes au rglement spcifique du matriau utilis (BAEL) la vrification:Connaissant les dimensions de la pice ainsi que les charges qui lui sont appliques, sassurer quen tout point, les contraintes et les dformations restent infrieures aux limites fixes par les diffrents rglements.

II. Les mthodes de la RDMLa RDM comporte deux parties distinctes: ltude des proprits mcaniques des matriaux rels (et des modles) les mthodes de calcul des contraintes et des dformations. Les mthodes de calcul de la RDM classique utilisant des hypothses simplificatrices (hypothses fondamentales de la RDM) facilitant les calculs tout en garantissant une prcision suffisante.Cest ainsi que lhypothse que le matriau utilis est lastique se vrifie tout fait pour lacier dans son domaine courant dutilisation.Les constructions mtalliques font donc appel , dans leur tude, de nombreux rsultats directs de RDM.Par contre, le bton arm prsente un caractre htrogne et discontinu (fissuration) sloignant ainsi des hypothses habituelles de la RDM.Il ncessite alors lemploi de thories spcifiques sous tendues par de nombreux essais et expriences et donnant lieu des rgles particulires (BAEL).

Leon 02 : NOTIONS DE POUTREI DfinitionLes notions abordes dans ce cours ne sont valables que pour des solides ayant une forme de poutre;On appelle poutre, un solide gnr par une section droite (S) dont le centre de gravit dcrit une courbe; la section restant perpendiculaire la courbe en (G). On appellera aussi poutre toute pice mcanique sur laquelle des calculs de R.d.M pourront tre effectus et qui rpond aux critres suivants: - Une poutre est un solide long par rapport aux dimensions des sections droites. (L>10D pour avoir un rsultat prcis)- La poutre doit comporter un plan de symtrie longitudinal not ().- Les sections droites (S) doivent rester constantes ou ne varier que progressivement entre A et B (pas de variation brusque de section).- La Ligne moyenne ou fibre neutre est le lieu des centres de gravit de toutes les sections droites du solide (A, G, B,.)

cest donc un solide pour lequel: il existe une ligne moyenne, continue, passant par les barycentres des sections du solide; la longueur L est au moins 4 5 fois suprieure au diamtre D; il ny a pas de brusque variation de section (trous, paulements); le solide admet un seul et mme plan de symtrie pour les charges et la gomtrie.

Conditions : Les sections droites doivent rester constantes ou ne varier que progressivement entre A et B. Les brusques variations de sections (trous, paulements...) amnent des phnomnes de concentrations de contraintes, qui doivent tre tudis sparment. Les charges supportes sont contenues dans le plan de symtrie.

Remarque : Une poutre est un solide long par rapport aux dimensions des sections droites.Les quations et rsultats tablis par la suite donnent des rsultats prcis si la longueur(L) de la ligne moyenne est suprieure 10 fois la plus grande dimension transversale (0). Ces quations donnent des rsultats 30 % prs, si les proportions sont de lordre de 4 et 5.

Exemples de poutres:

Exemples de poutres ne satisfaisant pas lhypothse de symtrie:

Remarque:- La fibre neutre est la seule ne pas subir de variation de longueur aprs dformation

Leon 03: Hypothses de calcul en R.D.M.I. DfinitionsUn corps est homogne lorsque tous les cristaux ou tous les grains de matires sont identiques : mme constitution, mme structure.Un solide est isotrope lorsque tous les points de sa structure ont les mmes caractristiques mcaniques dans toutes les directions. Le bois nest pas un matriau isotrope ; en effet, il est plus rsistant dans le sens des fibres que dans le sens perpendiculaire aux fibres.

II. Hypothses fondamentales1. Hypothses sur les matriaux : Lhomognit: on admet que les matriaux ont les mmes proprits mcaniques en tous points (matriaux parfaits sans dfauts). LIsotropie: on admet que les matriaux ont, en un mme points, le mme comportement dans toutes les directions (valable uniquement pour les matriaux non fibrs: hypothse non valable pour le bois par exemple).

2. Hypothses sur les forces extrieures : Plan de symtrie: Toutes les forces extrieures sont contenues dans le plan de symtrie de la poutre ou alors disposes symtriquement par rapport ce plan. Types dactions mcaniques extrieures: Deux types dactions mcaniques peuvent sexercer sur la poutre:- Charges concentres: forces ou moments- Charges rparties.

3. Hypothses sur les dformations : Hypothse de Navier et Bernoulli: Les sections planes et perpendiculaires la ligne moyenne (section droite) avant dformation, restent planes et perpendiculaires la ligne moyenne aprs dformations. Amplitude des dformations: On se place toujours dans le cas de petites dformations (les dformations restent faibles par rapport aux dimensions de la poutre). On peut donc admettre que les forces extrieures conservent une direction fixe avant et aprs dformation.

CHAPITRE III. FLEXION PLANE ISOSTATIQUELeon 1: Calcul des ractions dappuisI. Notion de charges

II. Diffrents types dappuis ou liaisonsLa RDM tudie les lments douvrage soumis laction de forces. Dans ltude des ractions dappuis, nous ne nous occuperons que des forces extrieures qui sont: les forces directement appliques (connues) les ractions dappuis (inconnues; donc calculer)Dans le cas dune structure plane charge dans son plan, on distingue trois types de "liaison parfaite"

Remarque : Dans la plupart des schmatisations, la poutre est modlise par sa ligne moyenne.TLes poutres sont identifies partir des charges extrieures exerces.

IV. Mthode gnrale de calcul des ractions dappuis:Pour calculer les ractions dappuis dun systme on suit le cheminement suivant:1. Faire le schma mcanique du systme: on reprsente llment douvrage par des barres, on fait linventaire des forces appliques louvrage (position, direction; sens; intensit) on rattache le systme un Repre Orthonorm en prcisant le sens des moments positifs.2. Faire un schma mcanique simplifiDans le cas de systme soumis des charges reparties ou mixtes, on remplace les charges reparties par leur rsultante dont on dterminera lintensit, le sens et le point dapplication. N.B.: Pour un systme soumis des charges ponctuelles uniquement, cela nest pas ncessaire.3. Ecrire les 3 quations dquilibre on rappelle les 3 quations (P.F.S.) on crit les 3 quations littralement en mesure algbrique en partant de la gauche vers la droite.4. Rsoudre les quations on explicite numriquement ces quations en tenant compte du signe on calcule et on dduit la direction, le sens, lintensit des ractions inconnues.

Leon 02: Etude des sollicitations internesLes efforts intrieurs ou de cohsion sont les efforts qui agissent lintrieur des poutres et qui assurent lquilibre ou la cohsion de la structure sous laction des charges extrieures exerces.

I. Forces intrieures ou efforts intrieurs, sollicitations dans une section Il sagit de dterminer quels sont les efforts qui se dveloppent lintrieur de la matire, appels efforts intrieurs, efforts internes ou encore efforts de cohsion car ils assurent la cohsion (la liaison) entre les particules constitutives du matriau.

1. Notion de coupureSoit une poutre droite en quilibre soumises des actions extrieurs quelconqueset des actions de liaisons quelconques

Pour connatre ce qui se passe lintrieur de la poutre, on effectue par la pense labscisse x une coupure fictive audroit dune section note S(x). Isolons le tronon de poutre situ gauche de la section S(x). Ce tronon est en quilibre sous laction : - des forces extrieures qui lui sont appliques - des actions de liaisons , - des forces que le tronon de droite (2) exerce sur le tronon de gauche (1). Ces forces se dveloppent lintrieur du matriau. On peut exprimer ces efforts internes sous la forme dun torseur pris au centre de gravit de la section S(x).Tronon de gauche (1) isol :

Action du tronon de droite (2) sur le tronon de gauche (1) = torseur des efforts internes de cohsion

Dfinition des sollicitationsPar dfinition, on appelle sollicitations les projections sur les axes (G, x), (G, y) et (G, z) des vecteurs

Le torseur des efforts internes de cohsion scrit alors

Ce torseur correspond un torseur dencastrement

REMARQUE les problmes que nous sommes amens traits sont des problmes plan, tous les efforts extrieurs tant situs dansle plan (O, x, y). Dans ces conditions, les seules composantes non nulles du torseur des sollicitations sont : - leffort normal N(x), - leffort tranchant suivant y, Vy(x), que nous noterons V(x), - le moment flchissant suivant z, Mfz (x), que nous noterons M(x),

2. Conventions de signeLaction entre les deux tronons est une action dencastrement qui se modlise par une rsultante R, et un moment rsultant MG en G. Deux conventions de signe sont alors possibles: Etudions lquilibre des 2 tronons de poutre spars par la section S(x) :

REMARQUE :Aucune convention nest ni normalise ni impose. Les conventions de signe varient dun livre lautre, dun pays lautre, etc. Quelle que soit la convention retenue, on dispose toujours de deux possibilits (au signe prs) pour dterminer les efforts internes : - somme des forces droite de la coupure, - somme des forces gauche de la coupure..IV. Proprits de N(x), V(x) et M(x):1. La fonction M(x) est continue en tout point ou nest pas appliqu un couple extrieur,On admet en tout point o est appliqu un couple extrieur une discontinuit gale au moment algbrique de ce couple.2. La fonction V(x) estdiscontinue en tout point o est applique une force ponctuelle suivant laxe de laxe de leffort tranchant.3. La fonction N(x) estdiscontinue en tout point o est applique une force ponctuelle admettant une composante suite laxe de leffort normal.

V. Diagrammes de N(x), V(x) et M(x)La finalit de la thorie des poutres est de connatre le comportement des particules dans toute section dune poutre. La premire tape consiste exprimer les sollicitations dans une section S(x) quelconque de la poutre en fonction : - des actions extrieures (connues), - des actions de liaisons (calcules en appliquant le PFS la poutre entire). Connaissant les sollicitations dans une section quelconque S(x), il suffit alors de faire varier x le long de la poutre pour connatre les sollicitations dans toutes les sections. On obtient alors les diagrammes des sollicitations N, V et M en fonction de x.

Ce sont les courbes reprsentatives des fonctions N(x), V(x) et M(x). Ces fonctions peuvent donc tre continues ou discontinues (selon les proprits). On les reprsente graphiquement aprs avoir choisi les chelles.

VI. Relations entre q(x), V(x) et M(x).Considrons un tronon de poutre charg par une charge rpartie q(x) (ventuellement variable) et dlimit par deux sections S etS1 infiniment voisines, distantes de dx

dV(x) et dM(x) reprsentent les variation lmentaires de V(x) et de M(x) sur la distance dx.

CHAPITRE IV. CALCUL DES PIECESLeon 1:TRACTION SIMPLE COMPRESSION SIMPLEI. Etat de traction compression simple1. Dfinitions, exemples:Une section droite de poutre est soumise la traction ou compression simple si les efforts internes relatifs cette section se rduisent au seul effort normal N.N > 0 compression simpleN < 0 traction simple.Si toutes les sections droites de la poutre sont soumises uniquement un effort normal, la poutre est dite soumise la traction simple ou la compression simple" (on dit gnralement "est sollicite en "; " travaille en Traction / Compression simple" ).Exemples:* Traction simple:Une barre de section constante soumise, sur ses 2 sections extrmes, 2 forces gales et opposes appliques au C.d.G. des sections et agissant selon laxe de la poutre.

En toute section : N = - F.

* compression simple:Un poteau est soumis en tte une charge verticale agissant selon son axe.

La raction verticale au pied du poteau est:Q + P (P poids du poteau)Leffort normal varie linairement entre les Valeurs Q et (Q + P) systmes rticuls:dans un systme rticul toutes les barres "travaillent en T.C. simple"

Remarque:Dans le cas dune pice sollicite en compression simple, ce qui va suivre ne sera valable que si la pice est courte (L < 15.a). pour une pice lance, il faudra tenir compte du phnomne de flambement.

2. Contrainte normale due N:

avec N: effort normal de T.C. en NS: Aire de la section droite en mm

en Mpa

3. Dformation lmentaire due NSi le matriau lastique de longueur dx est soumis une contrainte normale , il subit un allongement (ou raccourcissement) relatif proportionnel la contrainte (loi de HOOKE)

E: module dlasticit longitudinal ou module dYoung.Cest une des caractristiques mcaniques du matriau. Il a la dimension dune contrainte:Valeurs approximatives de E:Acier = 200 000 MPa Fontes = 60 000 160 000 Mpa Aluminium = 70 000 Mpa

La variation de longueur de llment sous laction de N est: Remarque:Si N est constant le long dune barre de longueur l, lallongement total l vaut (N/ES). lSi N varie et est une fonction de x N(x) lallongement total sobtient en intgrant la dformation lmentaire.

4. Contrainte normale dorigine thermique:Sous leffet dune variation de temprature , une poutre aura tendance subir galement une variation de longueur.

si est le coefficient de dilatation thermique du matriau, lallongement relatif est pour lacier et le bton 10-5 par degr.

1- Si la poutre peut se dilater librement:Elle sallonge et ne subit aucune contrainte due la variation doncl = ..l

l

Si la dilatation de la poutre est empche (par exemple par les liaisons extrieures), elle subira une contrainte thermique produisant une dilatation oppose celle de la variation de temprature de faon ce que, globalement, la longueur de la poutre reste constante.

Contrainte thermique : elle produit une dilatation - .l/EVariation de temprature : elle produit une dilatation ..l Au total l = 0 - .l/E + ..l = 0 = E. .

l

Pour une lvation de temprature 0 la poutre est comprimePour une baisse de temprature 0 la poutre est tendue.II. Comportement des matriaux rels en traction compression simple:Une des hypothses de la RDM est que le matriau est lastique et obisse la loi de HOOKE. Quen est-t-il en ralit?

Nous nous intresserons au comportement de lacier et du bton, deux matriaux de base du gnie civil.

1. Lacier: essai de traction: Diagramme contraintes allongements: aciers doux.

Si lon exerce sur une prouvette en acier de section S une force F de traction, on produit, dans la partie centrale de lprouvette, une contrainte normale uniforme de traction = F/S (en module)Pour chaque valeur de la force, on peut mesurer au moyen dun extensomtre par exemple, lallongement l subi par un tronon dprouvette limit par deux repres distants de l, do lallongement unitaire = l/l.

La courbe reprsentative = f() ainsi obtenue est appele diagrammecontraintes - dformations

on distingue deux parties essentielles: partie OA: domaine lastiquedans ce domaine, les contraintes sont proportionnelles aux allongements et le phnomne rversible. La contrainte au point A est la limite lastique du matriau note e ou fe. Dans cette rgion, la loi de HOOKE est vrifie - E.

Partie ABCD: domaine plastique partie AB: palier plastique ou palier dcoulement.Les dformations se poursuivent alors que la contrainte reste sensiblement constante. partie BC: zone de raffermissementA partir du point B, un faible accroissement de contrainte produit un allongement important. La courbe passe par un maximum au point C correspondant la limite de rupture r du matriau. partie CD: striction et ruptureA partir du point C, le phnomne de striction apparat. La dformation se concentre autour dune section qui samincit considrablement jusqu la rupture finale de lprouvette (point D).

Aciers durs et aciers crouis:Pour ces aciers, les limites dlasticit et de rupture slvent tandis que lallongement la rupture tend diminuer.Linexistence de palier de rupture fait que sur le diagramme de traction, la limite lastique napparat pas nettement.Pour la dfinir, on a alors recours la limite dlasticit conventionnelle 0,2 . Cest la contrainte qui aprs relchement de leffort produit un allongement rsiduel de 0,2 %.

comportement en compression:Il est analogue, dans lensemble, son comportement en traction. Cependant, le palier de plasticit est moins marqu. Les limites lastiques en compression et en traction sont sensiblement gales.

2. Le bton: essai de compressionSi lon soumet une prouvette cylindrique de bton un essai de compression (essai normalis: voir cours de matriaux), le diagramme contraintes dformations lallure suivante:

Le dbut du diagramme prsente une partie sensiblement linaire correspondant au domaine lastique ( = - E.). puis aprs, la dformation a tendance augmenter rapidement. La contrainte slve jusqu une valeur maximale R, la limite de rupture du bton en compression.Il est impossible de dfinir prcisment la limite lastique et la caractristique essentielle dun bton sera sa limite de rupture R.R et E dpendent de la compression et de lge du bton.E dpend en plus de la dure dapplication des charges (phnomne de fluage).Pour les btons courants:R compris entre 20 MPa et 40 MPaE varie de 20 000 50 000 MPa.

En fin, si le bton est un matriau bien en compression, en revanche, il est trs fragile en traction: il se rompt pour une contrainte faible et sans allongement notable.

III. Dimensionnement et vrification des pices sollicites en traction compression simple1. calcul aux contraintes admissiblesLe dimensionnement ou la vrification dune pice sollicite en T.C. simple doit se faire de sorte que le matriau reste dans son domaine lastique. On doit donc dterminer les dimensions de faon ce quen toute section la contrainte normale reste infrieure la limite e.

Dans la ralit, pour tenir compte du degr dimprcision des calculs ainsi que du caractre alatoire des charges appliques et des proprits mcaniques des matriaux, on minore la limite lastique par un coefficient de scurit.

On simpose donc de ne pas dpasser une certaine contrainte admissible = k.e fix par les rglements (K est gnralement gal 1,15). Donc la contrainte dans le matriau doit toujours tre infrieure la contrainte admissible.

2. Calcul aux Etats LimitesLa mthode prcdente est de moins en moins utilise car elle prsente linconvnient de faire intervenir un coefficient global de scurit ne tenant pas compte du caractre spcifique de chaque source dincertitude. On lui prfre maintenant la mthode semi- probabiliste de calcul aux Etats Limites.

Elle consiste majorer ou pondrer les charges par des coefficients dpendant de la nature de la charge et de la combinaison de charges envisage, et dfinir ainsi une contrainte pondre que lon pourra comparer une contrainte caractrisant la ruine de llment (le plus souvent e).

Nature de la sollicitationSymbolescontrainteDformation

Traction simpleSection S

xy

G DNN

S

N:effort NormalS: aire de la sectionL: AllongementL:longueurE: Module de Young: allongement unitaire

Compression simpleSection S

xy

G DNN

S

N:effort NormalS: aire de la sectionL: RaccourcissementL:longueurE: Module de Young: raccourcissement unitaire

Leon 2: Flexion dune poutreI. Dfinition :Une poutre est soumise une sollicitation de FLEXION chaque fois quil-y-a flchissement de la ligne moyenne faible

II. Hypothses de calculEn plus des hypothses gnrales valables pour toutes les sollicitations de la RDM (homognit, continuit, isotropie pour le matriau ; Navier-Bernoulli et Barr de St Venant pour les dformations) il faut rajouter des hypothses supplmentaires, spcifiques la flexion : * La ligne moyenne de la poutre est rectiligne * La poutre admet un plan de symtrie * Toutes les forces appliques la poutre sont : - Perpendiculaires la ligne moyenne - Situes dans le plan de symtrie longitudinal ou rparties symtriquement par rapport celui-ci - Soit concentres en un point, soit rparties suivant une loi dtermine - De position relative et dintensit constantes au cours de la dformation

2. Contraintes de flexionEn flexion, les contraintes normales sont gnralement prpondrantes devant les contraintes de cisaillement .

2.1 Contraintes normales en flexionLes contraintes normales rsultent du moment flchissant Mf (les efforts tranchants nont aucun effet sur leur valeur). Dans le cas de flexion pure (Mf0 et T=0), les poutres se dforment suivant des arcs de cercles.

La ligne moyenne GG ne subit ni allongement ni raccourcissement (contraintes s nulles).Pour la figure propose, les fibres situes au -dessu s de la ligne neutre sont comprimes et supportent des contraintes de compression ; celles situes au-dessous (MM) sont tendues et supportent des contraintes de traction.

En exprimant lallongement de la fibre MM, en utilisant la loi de Hooke et en faisant intervenir le moment flchissant Mf, on montre la relation suivante :

2.2 Conditions de rsistancePour des questions de scurit lies lusage des machines, la contrainte normale Maxi dans la section droite la plus charge doit rester infrieure une contrainte limite admissible lie au matriau et fixe par le constructeur ou par des normes : Rpe.Dans le cas prcis de la flexion, il faut donc procder ainsi :Commencer par dterminer la section la plus charge (en gnral celle o le moment flchissant est maximum) ;Puis vrifier que la contrainte maximale dans cette section est infrieure la contrainte admissible Rpe impose par le constructeur.

2.3 Contraintes de cisaillement en flexion

Les contraintes de cisaillement qui sexercent dans les joints colls assurent le maintien (vitent le glissement) entre les poutres respectives et limitent ainsi les dformations.On a la distribution des contraintes de cisaillement dans une section droite (S) supportant un effort tranchant T.Cas des poutres rectangulaires la contrainte de cisaillement la distance y (MPa)Q le moment statique de laire hachure SA (mm3) T leffort tranchant (N)I le moment quadratique de la section S par rapport (G, z) (mm4)Remarque : la contrainte est maximale au niveau du plan neutre (y = 0) :Cas des poutres circulaires

3. Dformations en flexionDans ce qui prcde, on sest intress au poutres flchies et leur dimensionnement dun point de vuede rsistance sous charge. Nous allons voir prsent laspect dformation. En particulier, la dtermination de la flche maximale (et de sa valeur admissible) est lun des lments fondamentaux de la conception des poutres.Si nous considrons en effet deux sections droites de la pice S et S', infiniment voisines et distantes de dx, sous leffet du moment flchissant M, la section droite S' subit, par rapport la section droite S, une rotation damplitude qui l'amne dans la position S1. Les traces AB et A'1 B1 des sections droites (S) et (S1) se coupent au point O et font entre elles l'angle dLa portion daxe GG est devenue un arc de courbe, dont la longueur est toujours dx, car laxe tant fibre neutre ne subit aucune variation de longueur. Etant donne la petitesse de dx. on peut assimiler cet arc de courbe un arc de cercle de centre 0 et de rayon OG = .

3.1 Notion de dformePour la poutre ci-dessus la ligne moyenne AICJBD a pour direction laxe des x avant dformation et la courbe y = f(x) aprs dformation. Cette courbe est appele dforme.y = f(x) est lquation mathmatique de la dforme dans le systme daxes (x, y).Dsignons par y et yrespectivement la drive premire et seconde de lordonne y dun point de la fibre moyenne dforme, drive prise par rapport labscisse x du point considr..Si lon remarque que, dans le domaine lastique. les dformations sont faibles, y et y sont faibles, et on peut, avec une

3.2 Mthode par intgration3.2.1 Principe

Connaissant lquation des moments flchissants Mf en fonction de x (position le long de la poutre), la pente y et la dforme y sont obtenues par intgrations successives partir de Dtermination des constantes dintgration:

Dtermination de la flche maximale:Pour dterminer la position de la flche on rsout lquation dcoulant de lexpression de la rotation car la flche est maxi l o la rotation sannule.

CHAPITRE V FLEXION PLANE HYPERSTATIQUE

I. GnralitsLes poutres droites hyperstatiques sont des poutres dont les liaisons aux extrmits sont telles quil nest pas possible dutiliser le principe fondamental de la statique (P.F.S.).Les ractions inconnues sont suprieures 2 (si on part du principe que N est toujours gale 0). Prenons une poutre encastre ses extrmits A et B et soumise des forces verticales.Entre A et B on a une raction verticale (Ray) et un moment (Ma); soit 4 ractions inconnues. La statique ne peut donner que 2 quations. Il reste donc 2 ractions hyperstatiques: la poutre est dite hyperstatique de degr 2

II. Formule gnrale de leffort tranchant et moment flchissant Soit une poutre bi encastre de longueur l et M0 et M1, les moments aux extrmits 0 et 1.Dans un premier temps, on suppose que la poutre nest soumise aucune force, mais seulement aux moments aux extrmits et aux ractions R0 et R1.

1. Calcul des inconnues isostatiques R0 et R1La somme des moments par rapport lextrmit 1 donne lquilibre isostatique:

etOn en dduit que

2. Calcul de leffort tranchant et moment flchissant labscisse xSoit une section en un point dabscisse x de la poutre.Le moment gauche de la section sera:

;

3. Formule gnrale de T(x) et M(x) labscisse xDaprs le principe de la superposition:

* Si la poutre reoit des charges. On la considre, reposant sur des appuis simples do et le moment flchissant et leffort tranchant isostatique associs au cas de charges.

* Si la poutre ne supporte aucune charges mais soumise seulement aux moments et On en dduit:

et III. Etude de Cas 1. Poutre encastre ses deux extrmits

et

O et dpendent de et il faut donc dterminer ces deux inconnues. Pour ce faire on utilise la notion de dformation de la poutre. Donc utiliser lquation:

Pour une charge uniformment rpartie de densit p /ml ,

donne

Par symtrie =alors et

On en dduit que

Et

Du fait de lencastrement, la tangente la dforme reste horizontale au voisinage des deux encastrements. Do =0 en 0 et en 1 donc finalement = = On en dduit donc que

2. Poutre encastre une extrmit, sur appui simple de lautreSi on a un encastrement en 0 et appui simple en 1 alors M1=0

Devient alors

et

Une premire intgration de donne:

En supposant un encastrement parfait lorigine, la tangente la dforme est horizontale aux appuis, do =0.Une deuxime intgration permet dobtenir la flche

Pour dterminer la valeur de M0, nous crivons :dune part, y0 = 0, flche nulle lorigine,dautre part, y1 = 0, flche nulle lautre extrmit, en supposant les deux appuis sur une mme horizontale (2).y() = 0 permet dobtenir :

Au final M(x) a pour quation :

3. Poutre continueUne poutre continue est une poutre reposant sur plus de deux appuis simples. Pour une poutre de n traves, on numrote les appuis de 0 n .La trave i de porte l i est la trave comprise entre les appuisA i 1 et A i , de moment quadratique I i suivant laxe de flexion concern, de module dYoung E . On appellera Fi le chargement extrieur sur la trave i .

Poutre isostatique associeUne poutre continue comportant n traves peut tre dcompose en n poutres isostatiques sur lesquelles sappliquent les mmes charges que sur la poutre continue avec en plus les moments aux appuis. Nous obtenons alors pour la trave i + 1 o : M i dsigne le moment sur lappui A i M i +1 dsigne le moment sur lappui A i +1 M i +1(x ) dsigne le moment flchissant dans la trave i + 1 de la poutre continue M 0,i +1(x ) dsigne le moment flchissant dans la trave i + 1 isostatique associe et charge uniquement par Fi +1 sans les moments sur appuis V0,i +1(x ) dsigne leffort tranchant dans la trave i + 1 isostatique associe et charge uniquement par Fi +1 sans les moments sur appuis V0i , d la rotation droite de lappui i dans la trave i + 1 isostatiqueassocie et charge uniquement par Fi +1 sans les moments sur appuis V0i +1, g la rotation gauche de lappui i +1 dans la trave i +1 isostatique associe et charge uniquement par Fi +1 sans les moments sur appuisSoit une poutre deux traves, charge uniformment sur toute sa longueur avec une densit p /ml.

Cette poutre est 1 fois hyperstatique.Remarque: Sil y avait n traves, la poutre serait (n-1) fois hyperstatique)M1 au droit de A1 est linconnue hyperstatique. On choisirait comme inconnues hyperstatiques les moments flchissant au droit des appuis intermdiaires. Le moment flchissant labscisse x est donn:

Dans la trave A0A1, le moment flchissant tant nul sur lappui libre :

De la mme manire, sur la deuxime trave, M(x) est donn par :

Pour dterminer M1, nous prenons en compte la continuit de la fibre moyenne sur lappui A1, en crivant que la tangente est la mme gauche et droite cest dire : Et

- EI y1(0) est la constante dintgration, - EI y2 est obtenu par la mme mthode :Du fait de la symtrie des charges et des poutres, la dforme est symtrique.

On a donc . On peut en dduire, et par consquent vrifier, que (tangente horizontale sur lappui central).

et . sont alors donns par :

Seules les constantes dintgration ont pu tre limines, mais pas linconnue hyperstatique. Cest logique, puisque les flches nont pas encore t prises en compte, et notamment le fait que la flche est nulle sur lappui central, du fait du caractre incompressible des appuis, pris par hypo thse.En intgrant les deux valeurs cidessus de yl , deux nouvelles constantes dintgration vont apparatre, mais nous allons obtenir trois quations : flches nulles aux trois appuis. Ainsi linconnue hyperstatique pourra tre dtermine. Nous avons :

En crivant que la flche est nulle en A0 et en A1 on dduit immdiatement que les constantes dintgration y1(0) et y2(0) sont nulles.Puisque y1() est nul, il vient :

On en dduit que:

a. Formule des trois moments*. Traves quelconques

Traves de mmes inerties

*. Traves identiques

*. Traves quelconques avec dnivellations dappuiLes dnivellations dappui (vi pour lappui A i par exemple) sont comptes positivement vers le haut.

*. Expression des sollicitations et actions de liaisonLes sollicitations dans la trave hyperstatique i sont dtermines par superposition des sollicitations dues au chargement extrieur et celles dues aux moments sur appuis.Soit, pour le moment flchissant, on peut crire :

De mme pour leffort tranchant :

On dduit les actions de liaisons de lappui A i des valeurs de leffort tranchant droite et gauche de celui-ci

ce qui donne pour des traves quelconques :

et pour des traves de longueurs identiques :

Prof.: M. Faustin A. KOUASSI Page 1 sur 1Cours de R.d.m des classes dingnieur et de BTS