F2 4 Predavanje Beamer[1]

4. predavanje

Vladimir Dananić

20. ožujka 2012.

Vladimir Dananić () 4. predavanje 20. ožujka 2012. 1 / 20

Sadržaj

1 Električna strujaO brzini nabijene čestice u vodičuGustoća strujeOhmov zakon

2 Snaga električne struje

3 Spajanje otpornikaSerijski spoj otpornikaParalelni spoj otpornikaKirchhoffova pravila


Električna struja O brzini nabijene čestice u vodiču

Narivna (narinuta) brzina

Zamislimo dugu ravnu vodljivu žicu valjkasta oblika. Žica je nenabijena, štoznači da je elekrično polje u svim njezinim dijelovima jednako 0. Krajevežice priključimo na izvor napona, tj. uspostavimo razliku električnogapotencijala između krajeva žice. Tada će se unutar žice uspostavitielektrično polje. Slobodni naboji u vodiču počet će se gibati. No, ti nabojinisu doslovce slobodni. I kad nema električnoga polja, oni se gibaju u poljukristalne rešetke vodiča (metali), ili u nekakvom drugom polju (vodljivipolimeri), ili u nekakvoj otopini. To je gibanje kaotično, što znači da jeprosječna brzina naboja jednaka 0. Prosječnu brzinu možemo shvatiti nauobičajeni (kinematički) način, ako uzmemo dovoljno dugi vremenskiinterval u kojemu mjerimo pomak naboja. No, definiciju prosječne brzinemožemo uzeti i u smislu određenoga statističkog prosjeka. Prosječna jebrzina jednaka 0 ma u kojem smislu. Možemo to zapisati ovako:

〈~v〉 = 0 ako nema vanjskoga polja. (1)




Uspostavom električnoga polja u vodiču, prosječna brzina više ne će bitijednaka 0, jednostavno zato što nabijena čestica ima ubrzanje u smjeruelektričnoga polja (suprotne ili iste orijentacije). Možemo reći da će vanjskopolje narinuti određenu prosječnu brzinu. Hoće li ta prosječna, narinuta,brzina rasti s vremenom? Ne će. Naime, kada nema električnoga polja (iliuopće neke vanjske sile), nabijena čestica zbog učestalih srazova,međudjelovanja, s drugim česticama učestalo mijenja i smjer i iznos svojetrenutne brzine–upravo je to mehanizam kojim čestica “dobiva” prosječnubrzinu jednaku 0. Uspostavom vanjske sile (električnoga polja), učestalostsrazova i promjene trenutne brzine ne će jednostavno nestati, nego možemogovoriti o tome da se međudjelovanje nabijene čestice sa svojom okolinomočituje u svojevrsnoj sili trenja, za koju u najjednostavnijem netrivijalnomslučaju pretpostavljamo da je razmjerna prosječnoj brzini čestice i suprotneorijentacije od te brzine. Dakle, imamo odnos:

~Ftrenja = −k 〈~v〉 (2)




Koeficijent k u jednadžbi (2) po pretpostavci je nekakva pozitivnakonstanta. Djelovanjem vanjskoga električnoga polja nabijena se česticaizmeđu dvaju srazova ubrzava zbog sile

~Fel = q~E (3)

gdje je q naboj čestice. No, narivna će brzina rasti sve dotle dok sila trenjane postane po iznosu jednaka vanjskoj sili. Drugim riječima, sila trenja ivanjska sila će se izjednačiti i uspostaviti mehaničku ravnotežu takvu davrijedi

~Ftrenja + ~Fel = 0 ⇒ 〈~v〉 =qk~E (4)

Narivna je brzina razmjerna električnomu polju. Uobičajeno je uzimatiodnos između iznosa narivne brzine i električnoga polja:

vnar ≡ |〈~v〉| = µq

∣∣∣~E ∣∣∣ , µq =∣∣∣qk

∣∣∣ (5)




Koeficijent µq u jednadžbi (5) zove se pokretljivost (mobilnost) nabijenečestice. Po svojoj definiciji taj je koeficijent uvijek pozitivan. Naprimjer,jednadžbu (4) za elektron (ili koju drugu negativno nabijenu česticu) pisatćemo kao 〈~v〉 = −µe~E , a za proton (ili koju drugu pozitivno nabijenučesticu) pisat ćemo kao 〈~v〉 = +µp~E . Pokretljivost µq nabijene česticenaboja q možemo izraziti preko jedne druge mikroskopskeveličine–prosječnog vremena τ u kojem se čestica giba između dvajuuzastopnih srazova. Naime, između dva uzastopna sraza čestica “osjeća”samo vanjsko polje (ako ono postoji). Ako je to vanjsko polje električno,onda nabijena čestica između dvaju uzastopnih srazova dobije prirast brzinejednak

∆~v = ~aτ =qm~Eτ =

(qτm

)~E (6)

Upravo je taj prirast brzine isto što i narivna brzina. Dakle:

〈~v〉 ≡ ∆~v =(qτ

m

)~E (7)




Iz jednadžbe (7) dobivamo da je pokretljivost čestice jednaka

µq = |q| τm

(8)

Mjerna je jedinica za pokretljivost jednaka As2kg = m2

Vs . Tipična vrijednost za

pokretljivost elektrona u bakru na sobnoj temperaturi je oko 2· 10−3 m2

Vs .Pojam pokretljivosti nema izraženu važnost kada govorimo o metalima gdjepostoje samo elektroni kao glavni i jedini nositelji naboja, ali ima izraženuvažnost kada govorimo o poluvodičima. Naime, ako u nekom materijaluimamo više vrsta nositelja naboja, onda su njihove pokretljivosti uglavnomrazličite i odnos tih pokretljivosti jako utječe na opća svojstva materijala uelektričnom polju zato što pokretljivosti ovise i o temperaturi.


Električna struja Gustoća struje

Vektor gustoće struje

Nakon što smo opisali što se zbiva s jednim, pojedinačnim, nositeljemnaboja u vodiču, možemo jednostavno prijeći na opis skupnoga gibanjavelikoga broja istovjetnih nositelja naboja (elektrona, protona, iona,šupljina, itd.). Što vrijedi za pojedinačnoga nositelja naboja, to isto vrijedi iza svakog drugog istog takvog nositelja naboja. Dakle, sljedeća je važnaveličina broj nositelja naboja u jedinici obujma, odnosno koncentracijanositelja naboja n. Svi nositelji naboja u jediničnom obujmu imajujednaku narivnu brzinu pod uvjetom da su svi podvrgnuti istom električnompolju, tj. homogenom električnom polju. Ukupni naboj jediničnoga obujmajednak je ρ = qn. Gustoću električne struje definiramo na istovjetan načinkao i gustoću struje u fluidu–kao umnožak gustoće naboja i brzine, tj.narivne brzine:

~J = ρ~vnar (9)




Vidjeli smo da je narivna brzina u smjeru električnoga polja i da je njezinaorijentacija suprotna orijentaciji električnoga polja za negativne nositeljenaboja, odnosno da je orijentacija narivne brzine za pozitivne nositelje istakao i orijentacija električnoga polja. Iz izraza za vektor gustoće struje (9)vidimo da je orijentacija toga vektora suprotna orijentaciji narivne brzine zanegativne nositelje naboja, odnosno da je iste orijentacije kao i narivnabrzina za pozitivne nositelje naboj. Iz ovoga slijedi nedvojbeni zaključak:Vektor gustoće struje uvijek je u smjeru električnoga polja i isteorijentacije kao i polje i za pozitivne i za negativne nositelje naboja.Dakle, orijentacija vektora gustoće struje ne ovisi o predznaku nositeljanaboja. Možemo uspostaviti zakonitost:

~J = σ~E (10)

gdje je σ određeni pozitivni koeficijent, koji se zove vodljivost. Tajkoeficijent možemo izraziti s pomoću pokretljivosti.




σ = n |q|µq (11)

Ako imamo više različitih vrsta nositelja naboja, onda je vodljivost jednaka:

σ =∑

i

ni |qi |µi (12)

U gibanju pod utjecajem električnoga polja možemo govoriti o jakostistruje na sličan način kao što u gibanju fluida govorimo o protoku. Krozodređeni površinski element d~S u vremenskom intervalu dt proći će količinanaboja dQ = ρd~S~vnardt = ~J· d~Sdt . Jakost struje je:

dI =dQdt

= ~J· d~S ⇒ I =

∫∫~J· d~S (13)


Električna struja Ohmov zakon

Mikroskopski i makroskopski oblik Ohmova zakona

Jednadžba (10) predočuje mikroskopski oblik Ohmova zakona. Akoimamo ravnu metalnu žicu stalne površine presjeka S , onda je jakost strujeI jednaka I = JS zato što se nositelji naboja gibaju uzduž žice na čijimkrajevima postoji razlika potencijala, napon U. Ako žica ima duljinu l ondaje električno polje u njoj jednako E = U

l i usmjereno je uzduž žice. Dakle,vrijedi

I = JS = σES = σUlS =

UR, R =

1σ

lS

(14)

Jednadžba (14) predočuje makroskopski oblik Ohmova zakona.Konstanta R zove se električni otpor, a recipročna vrijednost vodljivostizove se električna otpornost. Te konstante ovise o materijalu,temperaturi i razmjerima vodiča. Mjerna jedinica za električni otpor zove seohm i označuje se slovom Ω, a mjerna jedinica za otpornost je Ωm. Mjernajedinica za vodljivost je očito Ω−1m−1, odnosno S

m (siemens po metru).



Primjer

Bakar ima dva valentna elektrona po atomu, atomsku težinu 63, 546g/mol ,gustoću 8230kg/m3 i vodljivost 5, 8· 107S/m. Ako su svi valentni elektronislobodni, izračunajte:

koncentraciju nositelja naboja, tj. slobodnih elektrona.pokretljivost elektrona.

Rješenje:U 1m3 imamo 8230/0, 063546 = 129512, 479mol atoma, odnosno7, 799· 1028 atoma, odnosno 1, 55988· 1029 slobodnih elektrona. Dakle,n = 1, 56· 1029m−3. Vodljivost je jednaka σ = neµe , odakle zapokretljivost dobivamo µe = σ

ne = 5,8·1071,56·10291,6·10−19 = 2, 32· 10−3m2V−1s−1



Strujno-naponska karakteristika

Ohmov zakon (14) linearno povezuje struju i napon. No, takva povezanostje idealizacija, tj. takav odnos između struje i napona vrijedi samo uodređenom rasponu napona i struje. Tada govorimo o ohmskom otporu.Naprimjer, za poluvodiče linearna povezanost struje i napona ovisi opolarizaciji napona, tj. o smjeru električnoga polja. U jednom smjerupoluvodič propušta struju, a u suprotnom ne propušta struju. Dakle,poluvodič je tipični neohmski element. U plinovima naprimjer imamostruju saturacije, tj. pojavu da se jakost struje ne će bitno povećavati spovećanjem napona nakon određene vrijednosti. U supravodičima možemoimati struju bez napona uopće. No, gotovo za svaki materijal možemo rećida se u određenom području struja i napona ponaša kao ohmski otpor.


Snaga električne struje

Snaga

Da bismo količinu naboja dQ pomaknuli od jedne do druge točke izmeđukojih je napon U, moramo izvršiti rad dW = UdQ. No, premještanjenaboja zapravo nam određuje jakost električne struje, tako da imamodQ = Idt. Izvršeni rad jednak je dW = UIdt, odnosno snaga P je:

P =dWdt

= UI (15)

Trenutna električna snaga jednaka je umnošku trenutnoga napona itrenutne struje između dviju točaka. Ta se snaga u vodičima očituje na vrlojednostavan način–zagrijavanjem vodiča. Nositelji naboja stalno se sudarajusa svojom okolinom u vodiču, pa na nju prenose dio svoje energije. To jesmisao električnoga otpora R .


Snaga električne struje

Snaga

Snaga (15) razvijena u određenom otporniku otpora R ovisi o R dvojako.Ako napon držimo stalnim onda imamo P = UI = U2

R , tj. snaga opada spovećanjem otpora. Ako struju držimo stalnom, onda imamoP = UI = I 2R , tj. sada snaga raste s povećanjem otpora. U svakomslučaju snaga se u otpornicima očituje kao oslobođena toplina. Otpornostmaterijala ovisi o temperaturi, tako da općenito imamo složenu ovisnoststruje i temperature u otporniku o vremenu. Vodiči se mogu zapaliti akonjima teče prejaka struja. Zato su električne instalacije standardizirane iprilagođene određenoj vrsti otpornika, odnosno trošila. Jača trošilazahtijevaju deblje žice, koje mogu podnijeti veću količinu oslobođenetopline. Najjednostavniji osigurači sastoje se od običnoga komada bakrenežice točno određenoga presjeka i duljine, za koju onda znamo da ćepregorjeti i prekinuti strujni krug ako struja u njemu prijeđe neku određenuvrijednost.


Spajanje otpornika

Spajanje otpornika

Dva otpornika, ili više njih, možemo spojiti na različite načine. Svaki takavspoj možemo zamijeniti s jednim, ekvivalentnim, otpornikom koji imanekakav ekvivalentni, ili ukupni, otpor. Sada ćemo proučiti kako seukupni otpor može izračunati iz pojedinačnih. Jasno je da u promatranomspoju imamo samo otpornike, a ne i neke druge elemente.


Spajanje otpornika Serijski spoj otpornika

Serijski spoj

U serijskom spoju otpornika struja je krozsve otpornike ista. To znači da moravrijediti

I =U1

R1=

U2

R2(16)

Ukupni napon na oba otpornika jednak jeU = U1 + U2. Ukupni R definiramo kao

R =UI

=U1 + U2

I=

IR1 + IR2

I= R1 + R2

(17)

R1 R2

U1 U2

U


Spajanje otpornika Paralelni spoj otpornika

Paralelni spoj

U paralelnom spoju otpornika naponi nasvim otpornicima moraju biti isti. To značida mora vrijediti

U = I1R1 = I2R2 (18)

Ukupna je struja jednaka I = I1 + I2.Ukupni otpor R definiramo kao

R =UI

=U

I1 + I2=

UUR1

+ UR2

=1

1R1

+ 1R2(19)

R1

R2

U


Spajanje otpornika Kirchhoffova pravila

Kirchhoffova pravila

U jako složenim spojevima od mnogo otpornika, kapacitora i drugihelemenata imamo i serijske i paralelne spojeve, ali nemamo samo njih.Da bismo izračunali sve napone i struje na određenim elementima ili kroznjih, moramo postaviti određeni sustav jednadžbi i riješiti ih. Naprimjer,znamo da kroz kapacitore ne može teći istosmjerna struja. No, na svakomelementu može postojati određeni napon. Da bismo postavili jednadžbe zaodređeni složeni spoj od svega i svačega, dovoljna su nam dvapravila–Kirchhoffova pravila.

Algebarski zbroj sviju struja u svakoj točci grananja jednak je 0.∑i Ii = 0

Zbroj sviju napona u svakoj petlji jednak je 0.∑

i Ui = 0Prvo pravilo nije ništa drugo nego zakon očuvanja količine naboja. Drugopravilo nije ništa drugo nego zakon očuvanja energije. U primjeni ovihpravila moramo se držati određenih naputaka o predznacima. Što se tičesmjerova, tj. predznaka struja, njih možemo postaviti po volji.


Spajanje otpornika Kirchhoffova pravila

Kirchhoffova pravila

Ako je smjer određene struje drugačiji nego što smo ga odabrali, ondaćemo u rezultatu za tu struju dobiti predznak “-”. Što se tiče određenepetlje u krugu, smisao obilaženja te petlje možemo uzeti po volji. Ako pritom obilaženju potencijal na određenom elementu raste, napon na njemućemo smatrati pozitivnim. Ako pada, smatrat ćemo ga negativnim. Naotpornicima potencijal pada u smjeru struje, na izvoru potencijal raste odnegativnog prema pozitivnom polu. Ovo je dovoljno da bismo moglinapisati jednadžbe za svaki krug. Jasno, jednadžba se ne će bitno mijenjatiako ju pomnožimo s nekim brojem, ili s predznakom “-”. Što se tiče brojajednadžbi i broja nepoznanica, oni naizgled nisu isti. Stvar je u tome da susve suvišne jednadžbe mogu prikazati kao linearni spoj preostalih jednadžbi.To znači da u primjeni prvoga pravila ne ćemo uzeti baš sve točke grananjakoje vidimo, nego za jednu manje. U primjeni drugog pravila uzet ćemosamo nezavisne petlje.


Documents

F2 4 Predavanje Beamer[1]