หนวยท 2 งานและพลงงาน การอนรกพลงงาน โมเมนตมเชงเสน และโมเมนตมเชงมม

• งาน พลงงาน และก าลง

• การอนรกษพลงงาน

• โมเมนตมเชงเสนและโมเมนตมเชงมม

• การอนรกษโมเมนตมเชงเสนและโมเมนตมเชงมม

งาน พลงงาน ก าลง

• งานของแรงคงตว

• งานและพลงงานจลน

• ก าลง

งานของแรงคงตว

F

S

cos FSSFW

หนวยของงานทนยมใชคอหนวยในระบบ SIซงมหนวยเปนนวตน เมตร (Nm)

0 W

0 W

แสดงวาระบบไดงาน

แสดงวาระบบเสยงาน

งานเปนปรมาณสเกลาร

หรอ จล (joules , J)

ในกรณทมแรงหลายแรงกระท าตอวตถจะหางานลพธ

... W W WΣW 321

เมอ และ คองานเนองจากแรง และ ตามล าดบ

21 W , W 3W , F F 21 F3

S

1F

2F

3F

10510

3Genera

lPhysics

3/2557Unit0

2Khan

chai

Khoson

thon

gkee

1

ตวอยางท 2.1 คนงานท าความสะอาดก าลงดดฝนโดยออกแรง 50 นวตน ลากเครองดดฝนในทศทางท ามม 30 กบระนาบของพนดงรป ถาเขาลากเครองดดฝนไปเปนระยะ 3 เมตร บนพนและมแรงเสยดทานระหวางเครองดดฝนกบพนเปน 40 นวตน จงหา

a) งานเนองจากแรง 50 นวตน b) งานเนองจากแรงเสยดทาน c) งานลพธเนองจากแรงทงสอง

30 o

c a)

NF 50

sf

mg

N

cos FSSFW

30 ,350 m N , SF

)30 )(cos 3)( 50( mNWF

J .8660 3 50

J 130

180 3 40 และm N , Sf

)180 )(cosm 3)(N 40( fW

J )1(340

J 120

fF WWW

J 120130

J 10

b)

c)

ตวอยางท 2.2 มวล M ตดปลายเชอก ถกหยอนลงตามแนวดงเปนระยะ d ดวยความเรง ดงรป จงค านวณหา (a) งานของแรงตงเชอก (b) งานของแรงโนมถวง (c) งานลพธของแรงทงสอง

4g/

T

Mg4

g

a)

cos FSSFW

MaΣF

)4

( g

MTMg

4

gMMgT

cosFS SF WT

180cos Td

)1 )((4

3

dMg Mgd

4

3

Mg4

3

d

b)

c)

)0)(cos)((

dMgWg

)1)()(( dMg

Mgd

gT WW W

MgdMgd Mgd4

1

4

3

10510

3Genera

lPhysics

3/2557Unit0

2Khan

chai

Khoson

thon

gkee

2

งานและพลงงานจลน

dt

dx

dx

dvm

dt

dvmma FΣ

dx

dvmv ΣF

mvdv dxdx

dvmvΣF dxW

สมมตใหวตถมวล m ถกกระท าดวยแรงลพธ ทมคาคงตว วตถจะเคลอนทดวยอตราเรงคงตว a ซงตามกฎขอทสองของนวตนจะได

ΣF

งานของแรงมคา

ถาวตถเคลอนทดวยความเรวตน และความเรวปลาย จะได 1v 2v

2

1

v

vmvdv W 2

1 2

22

1

2

1mvmv

2

2

1mv

2

1

v

vmvdv W 2

1 2

22

1

2

1mvmv

คอพลงงานจลน ของวตถ kE

แสดงถงความสมพนธระหวางงานและพลงงานจลนของวตถ

งานทกระท าตอวตถจะท าใหพลงงานจลนของวตถเปลยนไป

12 kkk E EE W

ทฤษฎบทงาน-พลงงาน

ตวอยางท 2.3 a) จงค านวณพลงงานจลนในหนวยจลของรถยนตมวล 1600 kg ซง

ก าลงแลนทอตราเรว 50.0km/h b) ถาอตราเรวเปลยนเปน สองเทาพลงงานจลนเปลยนเปนกเทา

ตวอยางท 2.4 ปลอยแตงโมมวล 4.80 Kg ลกหนง จากหลงคาตกสง 25.0 m a) จงค านวณงานทแรงโนมถวงท าตอแตงโมในระหวางทแตงโมมการ

กระจดจากหลงคาถงพน b) พลงงานจลนของแตงโมกอนทจะกระทบพนพอด มคาเทาใด ไมตอง

ค านงถงแรงตานอากาศ

10510

3Genera

lPhysics

3/2557Unit0

2Khan

chai

Khoson

thon

gkee

3

ก าลง ก าลง (power) เปนปรมาณทใชวดขดความสามารถหรอประสทธภาพของการท างานของระบบ ระบบใดทสามารถท างานอนหนงไดเรวกวาอกระบบหนงถอวาระบบนนมก าลงสงกวา ดงนน

ก าลง กคออตราการท างานหรอปรมาณงานทท าไดในหนงหนวยเวลา

Δt

WPave

aveP คอ ก าลงเฉลย คอ งานทท าได W Δt คอ ชวงเวลาของการท างาน

SIหนวยของก าลงในระบบ คอ จลตอวนาท (J/s) หรอวตต (watt , W)

ก าลงมา (horsepower , hp) โดย 1 hp = 746 วตต

Δt

WPave

ในกรณทชวงเวลาทพจารณาเปนชวงสนๆ )0( t

ก าลงบดดล (instantaneous power , P)

vF dt

sdF

dt

dW P

คอ ของแรง F

คอ ความเรว v

ถาแรง มทศทางเดยวกบความเรว F

v

FvP

ตวอยางท 2.5 คอนของเครองตอกเสาเขมเครองหนงหนก 3800 N ถาตองการยกคอนนขนในแนวดง 2.80 m ทอตราเรวคงตวเปนเวลา 4.00s เครองยนตตองใหก าลงตอคอนกแรงมา

ตวอยางท 2.6 จงหาก าลงของหวรถจกรคนหนงซงสามารถลากขบวนรถไฟทมมวล 500,000 กโลกรม ใหเคลอนทไปบนรางดวยอตราเรวคงตว 40 เมตรตอวนาท เมอสมประสทธความเสยดทานระหวางรางและลอรถไฟเปน 0.02

mg f

)8.9)(000500)(02.0( 2m/s kg, f

N000,98

m/sN,fvP 4000098

W 10 92.3 6

แรงเสยดทานระหวางลอรถไฟและรางมคา

ก าลงของหวรถจกรคอ

10510

3Genera

lPhysics

3/2557Unit0

2Khan

chai

Khoson

thon

gkee

4

พลงงาน

พลงงานจลน

พลงงานศกย

การอนรกษพลงงาน

พลงงานศกยเปนพลงงานทสะสมอยในวตถ เนองจากสนามของแรง ทงนพลงงานศกยเปนปรมาณสมพทธ ทตองเทยบกบจดอางองเสมอ

พลงงานศกยโนมถวง

งานทท าเนองจากแรงโนมถวง

1 1PE m g y

m g

1y

2y

1 2

1 2

P PW E E

mg y y

2 2PE m g y

แรงอนรกษ

งานไมขนกบวถ คอขนอยกบต าแหนงเรมตน และสดทายเทานน

ตวอยางของแรงอนรกษ แรงโนมถวง แรงระหวางประจไฟฟา แรงของสปรง

งานในการเคลอนวตถใหกลบมาทเดมเทากบ ศนย

แรงอนรกษเนองจากแรงโนมถวง

mgh

mgh

2mgh 0

mgh0

mgh

2mgh

10510

3Genera

lPhysics

3/2557Unit0

2Khan

chai

Khoson

thon

gkee

5

การอนรกษพลงงานของแรงอนรกษ

งานคอการเปลยนแปลงพลงงาน

งานทกระท าตอวตถภายใตสนามโนมถวงจะท าให พลงงานจลน / พลงงานศกย ของวตถเปลยนไป

พลงงานรวมของระบบมคาคงตว ตามกฎการอนรกษพลงงาน

2 1 1 2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

0

1 1

2 2

k p k p

E E E E

E E E E

mv m g y mv m g y

หลกการอนรกษพลงงานของระบบอนภาค

พลงงานรวมของระบบกอนชน เทากบ พลงงานรวมระบบหลงชน

EEกอนชน หลงชน

ppk EEEE กอนชน สปรง โนมถวง

ppk EEEE หลงชน สปรง โนมถวง

ปลอยวตถมวล m ลงมาจากความสง h เมอวตถตกกระทบพนจะมความเรวเทาใด

พลงงานของวตถเทากบผลรวมของพลงงานจลน กบ พลงงานศกย

เรมตนวตถอยนง (พลงงานจลนเปนศนย) ทระดบความสง h ถาใหทพนดนเปนระดบอางองโดยพลงงานศกยมคาเปนศนย จะไดพลงงานกอนปลอยวตถเทากบ

21

2E mv mgh

1E mgh

เมอวตถตกลงมาจะมความเรวเพมขน (มพลงงานจลน) และเมอตกลงมายงพนดน วตถจะมพลงงานศกยเปนศนย

2

2

1

2E mv

จากกฎการอนรกษพลงงาน จะไดวา 1 2E E

2v ghดงนนแกสมการจะหาความเรวของวตถไดเทากบ

โมเมนตมเชงเสน และการอนรกษโมเมนตมเชงเสน

โมเมนตมเชงเสนและการดล

การอนรกษโมเมนตมเชงเสน

10510

3Genera

lPhysics

3/2557Unit0

2Khan

chai

Khoson

thon

gkee

6

โมเมนตมเชงเสนและการดล

โมเมนตมเชงเสน

vmP

2

1

)(12

t

t

dttFPPJ

tFPPJ ave 12

การดล แรงดล

แรงดลเฉลย

vmP

F ma

จากกฎของนวตน dv

mdt

dp

dt

F dt dpF แรงลพธจากภายนอก เขยนใหมแทนดวย F

2 2

1 1

p t

p t

dp F dt 2

1

2 1

t

t

p p F dt

ตวอยางท1 มวล 2 กโลกรม ซงอยนงไดรบการดล 10 นวตน วนาท หลงจากการนน มวล 2 กโลกรม จะมลกษณะอยางไร

โมเมนตมและหลกการอนรกษโมเมนตมของระบบอนภาค

โมเมนตมรวมของระบบกอนชน เทากบ โมเมนตมรวมระบบหลงชน

vmP

PP

กอนชน หลงชน

10510

3Genera

lPhysics

3/2557Unit0

2Khan

chai

Khoson

thon

gkee

7

ตวอยางท 2 ลกบอลมวล 2 กโลกรม มความเรว 1.5 เมตร/วนาท เคลอนทไปทางขวาชนกบลกบอลอกลกหนง ซงมมวล 2 กโลกรม เดมอยนงแลวตดไปดวยกนจงหาความเรวของมวลทตดกนน

ตวอยางท3 ยงลกปนมวล 0.002 กโลกรม ออกจากกระบอกปนมวล 4 กโลกรม ดวยความเรว 200 เมตร/วนาท อยากทราบวาตวปนถกถบใหถอยหลงดวยความเรวเทาไร

การชน

การชนแบบยดหยนสมบรณ

การชนแบบไมยดหยนสมบรณ

พลงงานจลนรวมของระบบกอนชนเทากบพลงงานรวมของระบบหลงชน

พลงงานจลนรวมของระบบกอนชนไมเทากบพลงงานรวมของระบบหลงชน

ตวอยางท4 ลกบอลลกทหนงมวล 4 กโลกรม ชนแบบยดหยนสมบรณและเปนแบบพงตรงกบลกบอลลกท 2 ซงมมวล 1 กโลกรม กอนการชนกนลกบอลลกทหนงมอตราเรว 10 เมตร/วนาท ลกบอลลกทสองอยนง อตราเรวของลกบอลลกท 2 หลงการชนเทากบเทาไร

10510

3Genera

lPhysics

3/2557Unit0

2Khan

chai

Khoson

thon

gkee

8

ตวอยางท 5 มวล m1 m2 ถกยดเขาดวยกนดวยสปรงทมคาคงท k ถามวล m1 และ m2 ถกดงออกจากกน แลวปลอยพรอมๆ กนในขณะหยดนง สมมตวาพนไมมแรงเสยดทาน จงหาสดสวนพลงงานจลนของมวลแตละกอนเทยบกบพลงงานจลนรวมของระบบ หลงจากทปลอยมวลทงสองกอน

ตวอยางท6 ลกระเบดมวล 1 kg. วางนงอยบนพน ตอมาลกระเบดนนระเบดออกเปน 2 ชนสวน ชนสวนแรกมวล 0.75 kg. ระเบดไปทางทศตะวนออกดวยความเรว 100 m/s ชนสวนทสองจะระเบดไปทางไหนดวยความเรวเทาใด

ตวอยางท7 แทงไมมวล 1 kg ตดอยกบสปรง มคาคงตวของสปรง วางบนพนทไมมแรงเสยดทาน กระสนปนมวล 200 g ถก

ยงไปยงแทงไม ปรากฏวาสปรงหดเขาไป 13.3 cm จงหาความเรวกอนชนของกระสนปน

1Nm 200

ตวอยางท 8 ลกปนมวล 10 g ยงเขาหาแทงไมมวล 5 kg แลวฝงตวในแทงไม ท าใหแทงไมและลกปนแกวงสงขน 10 cm จงหาความเรวตนของลกปน ( g = 10 m/s2 )

10510

3Genera

lPhysics

3/2557Unit0

2Khan

chai

Khoson

thon

gkee

9

ตวอยางท9 รถสนคามวล 35.0 ตน ชนกบรถโดยสารทอยนง รถทงสองตดกนไป และมการสญเสยพลงงานไป 27% ของพลงงานเรมตนในรปของความรอน เสยงและการสนตว จงค านวณหามวลของรถโดยสาร

ตวอยางท10 ลกบอลมวล 325 กรม มอตราเรว v = 6.22 เมตร/วนาท เขากระทบผนงเปนมม = 30 กบผนงแลวสะทอนออกมา ดวยอตราเรวเดมและมมเทาเดม ถาลกบอลเขากระทบผนงกนเวลา 10.4 มลลวนาท จงค านวณ

1) การดลทกระท าตอลกบอล 2) แรงดลเฉลยทลกบอลกระท าตอผนง

ตวอยางท11 นกสเกตน าแขงเขาชนกนและกอดกน เปนการชนแบบไมยดหยนสมบรณ ถาสมชายมมวล กโลกรม ก าลงเคลอนทไปทางตะวนออกดวยความเรว กโลเมตร/ชวโมง สมหญงมมวล กโลกรม ก าลงเคลอนทไปเหนอ ดวยความเรว กโลเมตร/ชวโมงจงค านวณ

(a) ความเรวรวมของสมชายและสมหญงหลงการชน (b) สดสวนของพลงงานจลนทเปลยนแปลงหลงการชน

83 mA

6.4 vA

55 mB

8.8vB

โมเมนตมเชงมม และการอนรกษโมเมนตมเชงมม

• การหมน

• พลงงานจลนเนองจากการหมน

• โมเมนตมเชงมม

• การอนรกษโมเมนตมเชงมม

10510

3Genera

lPhysics

3/2557Unit0

2Khan

chai

Khoson

thon

gkee

10

การหมน

• การเคลอนทแบบหมน คอการเคลอนทแบบหนงทเกดขนจากการทวตถหรออนภาคมการเคลอนทเปนวงกลมรอบจดหมน หรอแกนหมน ทถกก าหนดไว โดยมระยะหางจากจกหมนหรอแกนหมนคงท

• ทศทางของการหมนก าหนดไดโดยใชกฎมอขวา

การหมน

R

S

S R

มหนวยเรเดยน S

vt

S Rv

t t

อตราเรวเชงเสน

v R

t

อตราเรวเชงมม ทศทางใชกฎมอขวา

การเคลอนทเชงมมและการเคลอนทเชงเสน การเคลอนทเชงมม การเคลอนทเชงเสน

Sการกระจด

Sv

t

ความเรว

ความเรง v

at

มวล m

มมทเปลยนแปลง

t

ความเรวเชงมม

ความเรงเชงมม t

โมเมนตความเฉอย I

y

x

v i

ri

miyi

xi

โมเมนตมเชงมมของวตถแขงเกรงหมนรอบแกนตรง วตถเปนระบบอนภาคทตรงตดกน

n21 m....m ,m

iii z ,y ,x

2i

2ii yx r

ii rv

ii rv

iiii vmrL

สมมตระบบประกอบดวยอนภาคมวล

ใหอนภาคท i มมวล อยทต าแหนง im

ความเรวเชงเสนในแนวเสนรอบวง ir

คาโมเมนตมเชงมมของอนภาคท i 2 iiiiii rmvrmL ii vr

10510

3Genera

lPhysics

3/2557Unit0

2Khan

chai

Khoson

thon

gkee

11

)( zL

โมเมนตมเชงมมรอบแกน z รวมทงระบบ

iz LL

krm iiˆ 2

zz IL

2

iiz rmI

zI โมเมนตความเฉอย (moment of inertia) ของระบบ รอบแกนหมน z

L โมเมนตตมเชงมม

ตวอยาง จงหาโมเมนตความเฉอยของระบบทหมนรอบแกนตาง ๆ

A B

3m

m

m

2m

L

พลงงานจลนของการหมน

1. ถาระบบเปนอนภาคทตรงตดกน

หมนรอบแกน z ดวยความเรวเชงมม

อตราเรวเชงเสนของอนภาค i

พลงงานจลนของอนภาคi

พลงงานรวมของระบบ

ii rv

2222

,2

1 )(

2

1

2

1 iiiiiiik rmrmvmE

22

, )(2

1 iiikk rmEE

2

2

1IEk

y

x

v i

ri

miyi

xi

กฎการอนรกษโมเมนตมเชงมม

Before AfterL L

ผลรวมของโมเมนตมเชงมมกอนและหลงตองคงท

L I

10510

3Genera

lPhysics

3/2557Unit0

2Khan

chai

Khoson

thon

gkee

12

ตวอยาง นกสเกตน าแขงก าลงกางแขนหมนตวรอบแกนหมนของตนดวยอตราเรวเชงมมคาหนง จงอธบายวาเมอเขาหบแขนลงจะเกดเหตการณใดขนเพราะเหตใด

10510

3Genera

lPhysics

3/2557Unit0

2Khan

chai

Khoson

thon

gkee

13