1 2つの数列 fangと fbngが a1 = 0，b1 = 1および

W an+1 = an ¡ bnbn+1 = an + 3bn + 1

(n = 1; 2; 3; Ý)

によって定められている．

(1) cn = an + bn + 1によって定められる数列 fcngの一般項を求めよ．

(2) an+1を anと nを用いて表せ．

(3) dn =an + 12n

によって定められる数列 fdngの一般項を求めよ．

(4)nP

k=1

ak2kを求めよ．

（愛媛大学 2016）

2 Aは 3桁の自然数で，その百の位の数 x，十の位の数 y，一の位の数 zは，

100x+ 10y+ z = x! + y! + z!

を満たしている．

(1) 6!の値を求め，x; y; zはすべて 5以下であることを示せ．

(2) xは 3以下であることを示せ．

(3) y; zのうち少なくとも 1つは 5であることを示せ．

(4) Aを求めよ．

（愛媛大学 2014）

3 nは自然数，mは整数，k; ®; ¯は実数とする．

(1) ® = 1，¯ = 1のとき，®¯ = ®+ ¯¡ 1が成り立つことを示せ．

(2) xに関する 2次方程式 x2 ¡mx+ k = 0の 2つの解を p; qとする．pが整数ならば，qと k

も整数であることを示せ．

(3) xに関する 2次方程式 x2 ¡ n2x+ n = 0は，整数の解をもたないことを示せ．

(4) xに関する 2次方程式 x2¡ (n¡ 2)2x+ n = 0が整数の解をもつとき，nの値とその解をすべ

て求めよ．

（愛媛大学 2014）

4 次の各問の答えとして正しいものを選択肢から選びなさい．

(1) 10¡7 £ 10¡7 = ア

1 1014 2 10¡49 3 10¡14 4 1049 5 10

(2) y = 10¡xのグラフは イ である．

(3) y = BxA+ x（A; Bは正の定数）において，y =

B2のときの xの値は， ウ である．

1 B 2 A 3AB 4

BA 5 AB

次の空所 エ ～ テ を埋めよ．

(4)¡12

(x+ 1)(x¡ 3)=

エ

x+ 1 +オカ

x¡ 3

(5) %B8¡F 43=%F 3

4+B

18= = キク ¡D

ケ

(6) (43

2 )¡4

3 =コ

サシ

(7)12log2 6¡ log4 24 = スセ

(8) (4x2 + 5x¡ 4)¥ (x¡ 2) = ソ x+ タチ ，余り ツテ

（松山大学 2014）

5 座標平面上において，2点A(¡2; 5)，B(7; ¡1)を通る直線を `とする．また，点 Pは放物線

y = ¡3x2上を動く．

(1) 線分ABの長さは アC

イウ である．

(2) 直線 `の方程式は y = ¡エ

オx+

カキ

クである．

(3) 4ABPの面積の最小値はケコ

サであり，このとき点 Pの座標は % シ

ス;

セソ

タチ=で

ある．

（松山大学 2013）

6 次の空所 ア ～ タ を埋めよ．

赤玉が 5個，青玉が 7個，黄玉が 4個入っている袋から，玉を同時に 3個取り出した．

(1) 玉の色の組み合わせは アイ 通りである．

(2) 取り出した 3つの玉がすべて同じ色である確率はウ

エオである．

(3) 取り出した 3つの玉がすべて別の色である確率はカ

キである．

(4) 赤玉を 2点，青玉を 1点，黄玉を 0点とするとき，合計点が 4点となる確率はクケ

コサシである．

(5) (4)のように点数をつけるとき，合計点の期待値はスセ

ソタである．

（松山大学 2014）

7 次の空所 ア ～ ト を埋めよ．

関数 f(x) = x3 + 12ax2 ¡ 6x¡ 1

2bがある．ただし，

a =Z 1

0f(t)dt ÝÝ1 b =

Z 1

¡1f(t)dt ÝÝ2

とする．

(1) 関数 f(x)の不定積分は

Z

f(t)dt = 1

アt4 + 1

イat3 ¡ ウ t2 ¡ 1

エbt+ C （Cは積分定数）

であり，式1，2より a = ¡ オ ，b = ¡カ

キである．

(2) y = f(x)が表す曲線Aにおいて，x = 32のときの接線Bを y = g(x)とおくと，関数f(x)

の導関数は

f0(x) = ク x2 ¡ ケ x¡ コ

であるので，

g(x) = ¡サシ

スx¡

セソ

タ

である．

接点以外の，曲線Aと接線Bの交点は，%¡ チ

ツ;

テ

ト=である．

（松山大学 2014）

8 正 12角形の異なる 3つの頂点を結んで三角形を作る．

(1) 三角形は全部で アイウ 個できる．

(2) 正三角形となる確率はエ

オカである．

(3) 直角三角形となる確率はキ

クケである．

(4) 二等辺三角形となる確率はコサ

シスである．

（松山大学 2013）

9 一般項が，an =1p5

T$ 1 + p52

<n ¡ $ 1¡ p52

<nlで与えられる数列 fang (n = 1; 2; 3; Ý)がある．

このとき，fangは自然数からなる数列であることが次のようにして示される．

® = 1+p5

2; ¯ = 1¡

p5

2とおくと，®+ ¯ = ア ，®¯ = イウ となる．

ここで

a1 = エ ，a2 = オ ÝÝ1

anを ®; ¯を用いて表すと，an =1p5(®n ¡ ¯n)である．

このとき

an+2 =1p5(®n+2 ¡ ¯n+2)

=1p5

S#®n+ カ ¡ ¯n+ キ ; (®+ ¯)¡ ®¯(®n ¡ ¯n)kとなり

an+2 = ク an+1 + ケ an ÝÝ2

が成り立つ．よって1，2より，a3 = コ ，a4 = サ ，Ýとなり，fangは自然数か

らなる数列であることが示された．

（松山大学 2013）

10 4点O(0; 0)，A(5; 0)，B(5; 4)，C(0; 4)を頂点とする長方形OABCの辺AB，BC上にそ

れぞれ点 P(5; m)，Q(n; 4)がある．また，ÎPOQ = 45±，ÎAOP = µとする．

(1) tanµをmで表すと tanµ = mア

である．tan(µ+ 45±)を nで表すと tan(µ+ 45±) =

イ

n である．

(2) (1)の結果を利用して，mを nで表すと，m =ウエ

n + 4 ¡ オ である．また，nの値の範

囲はカ

キ5 n 5 ク である．

(3) 4OPQの面積を Sとするとき，Sを nで表すと

S = ケコ ¡サシ nn + 4 +

ス

2n

=セ

2(n + 4)¡

ソタ (n + 4)¡ チツ

n + 4

=セ

2(n + 4) +

チツ

n + 4 ¡ ソタ となる．

したがって，Sの最小値は テト (C

ナ ¡1)となり，そのとき，n = ニ (C

ヌ ¡1)

である．

（松山大学 2013）

11 次の空所 ア ～ ソ を埋めよ．

図のような一辺が長さ 1の正四面体ABCDがある．

(1) Aから底面BCDに垂線AHを下ろすとき，AHの長さは

C

ア

イとなり，正四面体ABCD

の体積は

C

ウ

エオである．

(2) 辺AB上に点 P，辺 BC上に点 Qを BP = CQ = xとなるようにとる．四面体 PBQDの体積

は x =カ

キのときに最大となり，これは正四面体ABCDの体積の

ク

ケ倍である．

(3) x =カ

キのとき，ÎDPQ = µとすると，cosµ =

C

コ

サであり，4DPQの面積は

C

シス

セソである．

（松山大学 2014）

12 等差数列 fangは a9 = ¡5; a13 = 6を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1) 一般項 anを求めよ．

(2) anが正となる最小の nを求めよ．

(3) 第 1項から第 n項までの和 Snを求めよ．

(4) Snが正となる最小の nを求めよ．

（高知大学 2010）

13 次の問いに答えよ．

(1) log4 6; log8 9; log9 8を小さい順にならべよ．

(2) 関数 y = log 12

(5¡ x) + log 18

(x¡ 1)3の最小値を求めよ．

（高知大学 2016）

14 方程式 x2 + y2 + 2kx¡ 4ky+ 10k¡ 20 = 0の表す図形 Cを考える．ただし，kは実数とす

る．次の問いに答えよ．

(1) 図形 Cは円であることを示せ．

(2) 図形 Cは kがどのような値であっても定点を通る．その定点の座標を求めよ．

(3) 図形 Cで囲まれる部分の面積の最小値を求めよ．

(4) 図形 Cと直線 y = x¡ 2の共有点の個数を求めよ．

（高知大学 2015）