Expresiones Racionales

Universidad de Ciencias Aplicadas

Introducción a la Matemática Universitaria

Una expresión racional es una fracción de la forma

Donde P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) ≠ 0.

Ejemplo de expresiones racionales:

Expresión RacionalExpresión Racional

)(

)(

xQ

xP

21

72

2

36

25

xy

yx

xxx 52

2

42

x

x

Conjunto de valores admisibles de una Conjunto de valores admisibles de una expresión racional C.V.Aexpresión racional C.V.AEl conjunto de valores admisibles o C.V.A que puede tomar la variable en una expresión racional, es el conjunto de todos los números reales que no anulan al denominador.

Ejemplos:

x

xx 52

2

42

x

x

CVA=R-{0}

CVA=R-{-2}

Decimos que una expresión racional está simplificada si el numerador P(x) y el denominador Q(x) no tienen factores en común (diferentes de 1).

SimplificaciónSimplificación

8

33

4x2

52

x

x4

4

y

x

Ejemplos de expresiones racionales simplificadas:

Primer Paso

Factorizamos completamente el numerador P(x) y el denominador Q(x).

Procedimiento para simplificar expresiones Procedimiento para simplificar expresiones racionalesracionales

Segundo Paso

Aplicamos la propiedad de cancelación de fracciones:

Si a, b, c son números reales, donde b y c son reales diferentes de cero.

b

a

cb

ca

Simplifique la expresión racional:

Factorizamos el numerador y el denominador

Aplicamos la propiedad de cancelación de fracciones

Respuesta

Ejemplo 1Ejemplo 1

2

2

14

21

xy

yx

y

x

yyx

yxx

yyx

yxx

xy

yx

2

3

...7.2

...7.3

...7.2

..7.3

14

212

2

Simplifique la expresión racional:

Factorizamos el numerador y el denominador

Aplicamos la propiedad de cancelación de fracciones

Respuesta

2

3

6

62

x

xx

x

x

xx

xx

xx

xx

x

xx

3

)3(

)3(2

)3(2

)3(2

)3(2

6

62

2

2

2

2

3

Ejemplo 2Ejemplo 2

Simplifique la expresión racional:

Factorizamos el numerador y el denominador

Aplicamos la propiedad de cancelación de fracciones

Respuesta

93

32

x

xx

3

)3(3

)3(

)3(3

)3(

93

32

x

x

xx

x

xx

x

xx

Ejemplo 3Ejemplo 3

Simplifique la expresión racional:

Factorizamos el numerador y el denominador

Aplicamos la propiedad de cancelación de fracciones

Respuesta

93

1522

x

xx

3

5

)3(3

)3)(5(

)3(3

)3)(5(

93

1522

x

x

xx

x

xx

x

xx

Ejemplo 4Ejemplo 4

Primer caso:

La suma o diferencia de expresiones racionales con el mismo denominador, tiene como numerador a la suma o diferencia de los numeradores y como denominador al denominador común.

Adición y SustracciónAdición y Sustracción

Hallando el C.V.A. C.V.A = - { 1 }

Realizando las operaciones de adición y sustracción en las expresiones racionales.

Respuesta

1x

2x

1x

2x

1x

5

1

225

x

xx

1

3

x

x

Ejemplo:

Simplifique la expresión:

Segundo caso:

Si las expresiones racionales no tienen el mismo denominador, entonces, se debe hallar el MCM de los denominadores y transformarlas en expresiones racionales con el MCM como denominador. Después se suma o resta los numeradores como en el caso anterior.

  Adición y SustracciónAdición y Sustracción

44xx

1

4x

x22

Ejemplo:

Simplifique la expresión:

Factorizando los denominadores

Hallando el M.C.M de los denominadores

Hallando el C.V.A

Homogenizando denominadores, recuerde que puede multiplicar el numerador y denominador de una fracción por un mismo factor

Realizando las operaciones de adición en las expresiones racionales

22x

1

22x

x

x

C.V.A = - { -2, 2 }

222 xx

)2()2(

2

)2()2(

)2(22

xx

x

xx

xx

)2()2(

23

)2()2(

)2()2(2

2

2

xx

xx

xx

xxx

Multiplicación

El producto de dos expresiones racionales es otra expresión racional cuyo numerador y denominador son, respectivamente, el producto de los numeradores y el producto de los denominadores de las expresiones dadas.

Multiplicación y DivisiónMultiplicación y División

Ejemplo: Efectúe el producto: 96

25.

5

32 2

x

x

x

x

Solución:3

5

)32)(5(3

)5)(5)(32(

96

25.

5

32 2

x

xx

xxx

x

x

x

x

División

La división de dos expresiones racionales es otra expresión racional cuyo numerador, es el producto del numerador de la primera expresión racional por el denominador de la segunda; y cuyo denominador, es el producto del denominador de la primera expresión racional por el numerador de la segunda.

Multiplicación y DivisiónMultiplicación y División

Ejemplo: Efectúe la división: 1

41x

6xx 2

2

2

xx

Solución:

)2)(1()3(

)2)(2)(1)(1()1)(2)(3(

41

.1x

6xx22

2

xxx

xxxxxxx

xx